陕西省第九次大学生高等数学竞赛复赛试题_

（ 设ｒ 是ｘ Ｏ θ） ｙ 平面上的与ｘ 轴正向夹角 为θ 的单位向量 ． 质点 Ｍ 在变力
２ ｝ Ｆ＝ ｛ ｘ ｚ， ２ ｚ ｚ， ｙ
的作用下 ， 在曲面 Σ 上从原点出发 ， 沿方 （ （ 向ｒ 运动到ｚ ＝１的位置 ０≤θ≤π） θ） 上． 问θ取何值时 ， 变力 Ｆ 所作的功 Ｗ 最 小？ 并求此 Ｗ 的最小值 ． （ 且 １ ２ １ ０ 分 ） 设 ｆ（ ｘ）三阶可导 ， ）＝－１ １ ｆ（ 是其极小值 ， 而 ）＝ ３ －１ ｆ（ ） ， 是其极大值 ． 证明存在ξ ∈ （ 使 １ －１，
ｙ） ｙ ｘ， １＋ｅ ｃ ｏ ｓ ｘ －ｙ ｅ ｆ（ ｙ）＝ （
（ ） ２ ｋ－１ π π ． ２ ｌ ｉ ｍ ｎ １－ ∑ｓ ｉ ｎ ｎ→ ∞ ２ ｎｋ＝１ ４ ｎ
ｎ
（
）
（ ］上连续且单调增 ， 且 １ ０ １ ０ 分 ） 设 ｆ（ ｘ）在 ［ ０， １ ）＝ １， ）＝ ２， ０ １ ｆ（ ｆ（
０ １ ０ １
ｘ）＝ ｙ（
是微分方程
∑ａｘ
ｎ ｎ＝０
ｎ
∫ ） （ ２ ｘ） ｄ ｄ ｆ（ ｆ（ ｙ） ｙ． ∫ｘ ∫
ｘ
２ ２来自百度文库ｚ ＝４ ｘ ３ ｘ Σ： ＋２ ｙ， ｙ ＋２ 槡
（ １ １ １ ０ 分 ） 给定椭圆抛物面
ｘ ″＋ｙ ′－ｙ ＝ ０ ｙ
的满足初始条件 ）＝ ｙ ）＝ １ ０ ′（ ０ ｙ（ 的解 ， 求此幂级数 ． （ ６ １ ５ 分） 已知
ｘ， ０ ≤ ｘ ≤ １， 烄 ｘ）＝ 烅 ｆ（ ０， 其它 ． 烆
１， ０ ≤ ｘ ≤ １， 烄 ｘ）＝ 烅 ｇ（ ０， 其它 ． 烆 试求
＋∞ －∞
Ｆ（ ｘ）＝
） ｔ－ｘ） ｔ ｄ ｔ ． ｇ（ ∫ ｆ（
２
（ ７ １ ０ 分） 求解微分方程 （ ′） ＋ｘ ′－ｙ ＝ ０． ｙ ｙ
２
的极大值点与极小值点及相应的极值 ． （ ４ １ ５ 分） 将函数
ｆ ∫
１
１ －
２ （ ｘ） ｄ ｘ＝ ， ３
ｘ）＝ ｓ ｎ（ ｃ ｏ ｓ ｘ） ｇ ｆ（
展开成傅立叶级数 ． （ ５ １ ５ 分） 设幂级数
∞
其中 ｆ－１（ 求 ｘ）是 ｆ（ ｘ）的反函数 ．
１
（ ） １ ｘ） ｄ ｘ， ｆ（
（ ｆ ξ）＝ ６．
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竞赛试题
陕西省第九次大学生高等数学竞赛复赛试题
（ 且 １ １ ５ 分） ″（ ｘ）连续 ， 设ｆ π）＝ ２， ｆ（ ］ ｘ） ″（ ｘ） ｓ ｉ ｎ ｘｄ ｘ ＝ ６， ＋ｆ ｆ（ ∫［
０
（ 使得 ８ １ ０ 分） ｂ 的值 ， 求 ａ，
π
ａ ｘ ＋ｂ ≥ｌ ｎ ｘ，
且积分
４
） 求 ｆ（ ０ ．
π （ ２ １ ５ 分） 设 三 维 非 零 向 量 ａ 与ｂ 的 夹 角 为 ， ３
且｜ 求 ｂ｜＝ １，
Ｉ（ ａ， ｂ）＝
取得最小值 ． （ ９ １ ０ 分） 求极限
ａ ｘ ＋ｂ－ｌ ｎ ｘ） ｄ ｘ ∫（
２
ａ ｘ ｂ － ａ｜ ｜ ｌ ｉ ｍ｜ ＋ ｜ ． ｘ→０ ｘ
（ ３ １ ５ 分） 求函数