陕西省第九次大学生高等数学竞赛复赛试题_
数学专业竞赛内容
3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.
二、极限与连续
1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.
2.定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.
3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.
4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.
5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.
6.线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.
7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数
四、 矩阵
1.矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.
2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.
3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.
八、若当标准形
1.矩阵.
2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.
3.若当标准形.
九、欧氏空间
1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.
2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.
3.欧氏空间的同构.
4.正交变换、子空间的正交补.
5.对称变换、实对称矩阵的标准形.
大学生数学竞赛考试大纲
中国大学生数学竞赛大纲（初稿）为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%,具体内容如下：I、数学分析部分一、集合与函数1.实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 口2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、口2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在口〃上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2.数列收敛的条件々@皿卜丫准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限lim（1 + i）n = e及其应用.n3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限lim.=1, lim（1 + ：）% = e 及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大置0阶的比较7°记号O与。
的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4.函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性）有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor 公式（Peano余项与Lagrange余项）.3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1.偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：1R（cos x,sin x）dx型，J R（x, 7ax2 + bx + c）dx型.2.定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：Z 3A x <£）、可积函数i i 类.3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、f（x）非负时』.f （x）dx的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5.微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1.数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.——2——3.幕级数幕级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幕级数的一致收敛性，幕级数的逐项可积性、可微性及其应用，幕级数各项系数与其和函数的关系、函数的幕级数展开、Taylor级数、Maclaurin 级数.4.Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2及21周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.11、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3.行列式的计算.4.行列式按一行(列)展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6.克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3.向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价4.向量组的极大无关组、向量组的秩.5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6.线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1.矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4.分块矩阵及其运算与性质.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示.3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2.维数，基与坐标.3.基变换与坐标变换.4.线性子空间.5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.九一矩阵.2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3.若当标准形.九、欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3.欧氏空间的同构.4.正交变换、子空间的正交补.5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形7.酉空间.HI、解析几何部分一、向量与坐标1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系 .3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程 .三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程^2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程 .3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点 .3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径 .4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根 .5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2.函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限7.函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8.连续函数的性质和初等函数的连续性.9.闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）.二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理6.洛必达(L’ Hospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9 .弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1 .原函数和不定积分的概念.2 .不定积分的基本性质、基本积分公式.3 .定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4 .不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5 .有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6 .广义积分.7 .定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.四.常微分方程1 .常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等2 .变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3 .可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y (n )= f (x ), y 〃= f (x , y '), y 〃 = f (y , y ').4 .线性微分方程解的性质及解的结构定理.5 .二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程6 .简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7 .欧拉(Euler )方程.8 . 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1 .向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积2 .两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3 .向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦4 .曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5 .平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和 点到直线的距离.6 .球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次 曲面方程及其图形.7 .空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程六、多元函数微分学1 .多元函数的概念、二元函数的几何意义.2 .二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质3 .多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件4 .多元复合函数、隐函数的求导法.5 .二阶偏导数、方向导数和梯度.6 .空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7 .二元函数的二阶泰勒公式.8 .多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幕级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数.6.幕级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幕级数的和函数的求法.7.初等函数的幕级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在［-1，1］上的傅里叶级数、函数在［0,1］上的正弦级数和余弦级数。
西安理工大学陕西高校第八次大学生高等数学竞赛获奖名单
2012年我校学生参加各种竞赛获奖统计一、2012年美国数学建模竞赛（9人）二等奖（9人）力学091 李石自091 杨超计093 王文青电力092 何智鹏电气094 杨树有自094 张童童电力094 李胜玉计算092 成珍成型092 李鑫二、2012年全国大学生数学建模竞赛（99人）全国二等奖（12人）机卓101 张小静材料108 王仲刘欢自103 李然计102 熊宇材料108 钱政计算092 成珍材料108 刘子潇软092 陈东计算102 魏冰杰化102 唐流洋计算102 康小东陕西一等奖(21人)通信101 杨腾机109 权雄章材料1010 刘勃自105 段伟锋设101（理）刘颖材料106 王佳斌机108 邹阿配印卓101易团勇机103 吕鹏电气101 王丹工102 孙雅典光信102 闫怡菲电子102 蔡金博电气105 苟俊杰仪104 徐腾飞计算092 杜青通信102 马永通信102 冯超电气101 雷慧艳涂鹏媒体102 杨红陕西二等奖（66人）电信101 张凯英电气104 王建华土木103 杨波计算091 席江欢计算102 张金霞自102 王世雄电气103 董丹计算102 秦毅机106 尤亚军车辆102 魏志强光信101 徐贺计算101 蒋卓韵电力101 娄馨文电力102 杨俊工101 黄辉电气102 于雅洁电气103 徐静动102 王荣光计算092 辛晶妮自105 郭龙飞给102 薛帅帅微电102 段晓昌土木102 姚焕微电102 刘唯电力101闫晔电力101 郭艺璇计092 段快快机101 黄启炎材料106 李春涛管102 王雨自101 韩耀辉计算张阳计算102 王媛莉电信102 孙豆材料1010 皮书扬热动王源自102 龚佩芬仪101 刘航浩仪104 刘鑫化101 肖勇电力102 申嘉旭电信102 刘佳玉材料108 邱沙计算092 龙庚微电091 谭巍自102 冉宝敬电气103 邹承宇郝金莉材料1012 任朝闻罗杰姜顺坤材料104 薛川川计算李瑞媒体102 田红计算091 余小娟土木102 黄栋工103 王宇飞通信102 申文玲应物101 冯权胜自103 孙志鑫电气103 关晓亚自105 王月岭电信102 张恒计算091杨帅媒体101姚雪莹工101姜秦汉三、第四届全国大学生数学竞赛陕西赛区西安理工大学获奖名单（46人）省一等奖（9人）微电092 胡晓辉给112 谷天宝电力112 付菁电力092 何智鹏电气116 雷阳电气094 柳青微电102 潘涛自095 涂鹏电气103 邹承宇省二等奖（14人）力学091 刘玉建电气095 陈杨飞电气091 程思雨电子111 侯志彬计113 胡志勇材料119 李旭电子092 李延峰电力093 栗峰电气094 陆梦云工103 王宇飞城地111 徐志才机119 袁鑫电力091 赵洪彬微电092 周阳省三等奖（23人）给111 淡娇娇自104 段晓伟仪112 冯茹工114 郭鹏飞工093 郝晓卫自104 姜嘉元工093 姜顺坤电子092李琨通信091 李岩电气093 吕图园工093 罗杰电气113 马文良城地111 任艳婷化111 宋燕材料113 孙涛自092 王苗苗工092 吴文博微电092 夏洋洋包112 徐瑶自093 移建鹏电气094 尹海霞媒体102 张蒙电力112 赵朗四、陕西省第九次大学生高等数学竞赛（57人）一等奖（4人）电力093 栗峰电力091 赵洪彬工093 万宇豪电气094 高晓杰二等奖（23人）电气092 张斌材物091 梁永梅电力093 黄珍经类102 谌欢水文091王天宇材料091 张立志材料111 邹建琨土木092 呼腊梅土木095 毛钟毓电技111 徐嘉钢电气092 李傲岸电力094 张晓静土木095 王强林水文091 房晶力学091 何廉土木095 左松林电力094 刘浩杰自(卓)101 姜嘉元微电092 周阳电力113 孙涛机094 李伟工092 李旭风动111 凌冬三等奖(30人)自093 温奎自091 犹然成型093 金艳婷电气094 郑亚茹微电092 胡晓辉电气093 张海涛自095 王婷婷电气093 李勃弘电力112 赵朗材料091 吉蓓蓓自094 任雪动101杨涛通信092 方云包091 张冲给112 谷天宝工094 杨学华电力092 何智鹏土木095 张栋材料0911 张岳雷水工115 尹聪聪工093 梁耀祺工设111 郭晨光电气093 吕图圆力学091 李石印093 李咪丹车辆092 张琳电气094 牛莹化092 王昊阳计093 王文青电气093 秦丹五、2011年全国大学生英语竞赛陕西赛区获奖（24人）一等奖：（2人）电力092 李雪源光信111 陆虹二等奖：（8人）经济091 梁爽机091 郭翼天会111 刘淑欣微电092 李兵包091 杜金辉通信113 杨晴川郑元鹏李英浩三等奖：（14人）工管091张妙卿水工115 郭超宇管092 赵思思经类101潘迪管095 段梦娟工程092 武梦超电技111 徐嘉钢水文111吴秋琴仪092 李兰成型092 李鑫公共101 卢虹好机117 沈涛管092 马玉工管091徐小钰六、2012年“外研社”英语演讲及口译比赛获奖情况（8人）国家三等奖省特等奖（1人）英语093 韦予荃一等奖（1人）经济111 姜琨二等奖（2人）英语092 高娇网络112 陈子如三等奖（3人）城地112 谢超仪器112张子贺英语112 黄宇航陕西省口译大赛三等奖（1人）英语093韦予荃七、2012年嵌入式大学生电子设计大赛（3人）三等奖（3人）秦虎豹尹珅杰韩世强八、第二届全国大学生工程训练综合能力竞赛（18人）国家一等奖（3人）机083 田晓凯伍斌李国强省一等奖（6人）韩晨飞张海山黄博张博曹建波李沛省二等奖（9人）齐含程帆许松伍国庆王金宏陈保存柴星赵小超康耀东九、第三届全国高等院校斯维尔杯BIM软件建模大赛（15人）本科组全能团体三等奖（5人）工管081 陈雪娇土木094 杨丰春工管091 徐小钰土木082 刘维维土木082 李路苹“建筑设计”专项三等奖（5人）工管081 陈雪娇土木094 杨丰春工管091 徐小钰土木082 刘维维土木082 李路苹“项目管理与投标工具箱”专项三等奖（5人）工管081 陈雪娇土木094 杨丰春工管091 徐小钰土木082 刘维维土木082 李路苹十、第五届全国大学生节能减排社会实践与科技竞赛（12人）全国三等奖（12人）电力092延肖何电力092李雪源农水091王剑峰电力092 许继飞媒体092王漫电力103谢永涛研1107胡龙研1107谢高伟研1207苗芊材1114朱雷材1114曹潜材1114杨柳青十一、第五届全国大学生机械创新设计大赛（51人）陕西赛区一等奖（8人）机099程雨机099马家坤机099 袁曦机099 赵博机099 李阳仪103 江健健电气093 苏方舟机107乐启红陕西赛区二等奖（22人）机091郑煜机091薛攀机091陈沛机091唐莉莎机卓101李国铭机卓101齐秦力机卓101刘任机卓101曾武机卓101雷佩红机091钱茂峰机091郭翼天机091白静涛机091潘碧云经济091梁爽机092冉荣获机094张向龙机094赵通明机094杨涛车辆101李小波车辆101康靖车辆101 李射车辆101 陈胜陕西赛区三等奖（21人）机099顾兴龙机099 侯静文机099高园园机099杨蕾机099马转机092张向龙机094冉荣获机094赵通明机094杨涛车辆082柴星车辆082康耀东车辆082王晓机109羊志鹏机109张亚军机1010 李扬机105王雪萌机099顾兴龙十二、陕西省2012年工业工程改善创意竞赛（18人）省特等奖（10人）谢俊康康盼弟衡晓刚王佳尧申小军刘方超杨志远张娇娇李喜盈杨菲省一等奖（5人）黄放王超罗登电气104 奚波纹动画092 龚雪省三等奖（3人）马文杰许传海张超十三、第五届全国大学生先进成图技术与产品信息建模创新大赛获（15人）一等奖（4人）动101黄国豪设101马超设111安妍水工卓101武慧生二等奖（11人）车辆101魏航工管102刘海军水工112赵明仓土木114贺炯煌土木112万金怀动101黄国豪设111安妍工程104石学文水工卓101武慧生工管102刘海军水工112赵明仓十四、第七届全国大学生“飞思卡尔”杯智能车竞赛（9人）二等奖（3人）自092 王一松自092 白鹏鹏电信091 董亚科三等奖（6人）自093 贾洋洋自093 解荣康自093 温奎自092 刘浩自094 张童童电气092喻旭辉计103 赵睿计103 马冲计103 韩翔辉十五、2012年陕西省大学生工业设计大赛比赛结果（11人）国家二等奖（1人）工设083 王瑾一等奖（1人）工设083 王瑾二等奖（4人）工设083郭安欣工设082聂晶晶工设082是业菲工设083黃孟卉三等奖（5人）工设083王晨菁工设092杨建工设091巩伦庆工设083许倩工设083李瑾誉十六、第八届全国大学生“用友杯”沙盘模拟经营大赛（5人）全国三等奖（5人）管093 董书昆信管091 刘庆信管101 党先工程091 郭新桥经类091 廖咪咪十七、2012年陕西省“蓝盾杯”大学生信息安全竞赛（6人）省三等奖（6人）朱腾绩黄蓉雍欣于孙秀文王晓阳沈奇。
陕西高等数学竞赛试题
陕西高等数学竞赛试题在高等数学竞赛中，题目通常涉及微积分、线性代数、概率论与数理统计、常微分方程等高等数学领域的知识。
以下是一份模拟的陕西高等数学竞赛试题，供参考：一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间[0, 5]上的最大值是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量\( \vec{a} = (1, 2) \)和\( \vec{b} = (3, 4) \)，它们的点积是：A. 5B. 6C. 7D. 83. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x} \)的值为：A. 1B. 2C. 4D. 84. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2x \)在点(1, 0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为\( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \)，若\( E(X) =2 \)，则λ的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题3分，共15分）6. 若\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值为______。
7. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式为______。
8. 若函数\( f(x) = \ln(x) \)，则\( f'(1) \)的值为______。
9. 已知常微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)，其特征方程为\( r^2- r - 6 = 0 \)，其通解为______。
陕西省高校第九次大学生(本科)高等数学竞赛获奖名单(西建大)
陕西省高校第九次大学生（本科）高等数学竞赛获奖名单（西建大）
38 39 40 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 曹轶秉 王月月 许曼 陈凯 陈彤 张于 张浩 赵阳 惠秀娟 尚进 王友 王璐 刘晓霏 侯梦君 林晓丹 唐超 童京京 黎衡慧 李斌 陈姣 夏超 赵欣丹 刘鹏 聂唯一 男 女 女 男 男 男 男 男 女 男 男 女 女 女 女 男 女 男 男 女 男 女 男 女 安全1001 矿资0902 材料1104 机制1104 电气1104 智能1101 材料1102 安全1102 交通0903 电子1001 电气1101 土木0902 环工1001 土木1109 给水1103 应化1101 环工1101 建环0901 土木0902 土木0901 总图1101 机制1002 工力0901 国贸0901 材矿学院 材矿学院 材矿学院 机电学院 机电学院 信控学院 材矿学院 材矿学院 土木学院 信控学院 机电学院 土木学院 环工学院 土木学院 环工学院 理学院 环工学院 环工学院 土木学院 土木学院 土木学院 机电学院 理学院 管理学院
陕西省高校第九次大学生（本科）高等数学竞赛获奖名单（西建大）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 姓名 刘昌盛 刘辉 高小攀 刘警锋 程续 第五徐涛 马志强 王淼 李勋 谢波 白晓伟 闫伟 周华 刘建领 郝小东 谭炎 熊凯 白杨 张仕月 王卫凯 刘亚 戎翀 杨巧银 肖婷婷 董志芳 王凡 张亮聪 赵凯龙 张丹 储召文 张浩 梅关送 刘刚 余小龙 杨长青 杨帆 张姣 性别 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 女 女 男 男 男 女 女 男 女 男 男 女 男 男 男 男 男 男 男 女 专业班级 土木0904 土木0908 建环0901 电子1001 金材1101 建环0902 土木1104 应数0901 电子0901 土木0907 土木1004 金材0902 土木1104 土木0907 土木0903 土木0905 自动化1102 工程0901 材料1004 通信1101 土木1004 应化1101 建环0901 自动化1101 土木1004 材成1104 计算机1102 土木1006 土木0902 土木0901 电气0901 自动化1103 自动化1102 总图1001 建环0902 材料1103 环工1102 所在院系 土木学院 土木学院 环工学院 信控学院 冶金学院 环工学院 土木学院 理学院 信控学院 土木学院 土木学院 冶金学院 土木学院 土木学院 土木学院 土木学院 信控学院 管理学院 材矿学院 信控学院 土木学院 理学院 环工学院 信控学院 土木学院 冶金学院 信控学院 土木学院 土木学院 土木学院 机电学院 信控学院 信控学院 土木学院 环工学院 材矿学院 环工学院
【水印已去除】2018-2019学年陕西省西安市西工大附中高三(下)第九次适应性数学试卷(理科)(3月份)
2018-2019学年陕西省西安市西工大附中高三（下）第九次适应性数学试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z（i﹣1）＝i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣ax≤0，a＞0}，B＝{0，1，2，3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是（）A．（1，2]B．[1，2）C．（0，2]D．（0，1）∪（1，2]3．（5分）下列说法：①将一组数据中的每一个数都加上会减去同一个常数后，方差恒不变②设一个回归方程y＝3﹣4x，变量x增加一个单位时，变量y平均增加4个单位③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤﹣2）＝0.16④命题：若x+y≠0，则x≠0或y≠0则正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．（5分）口袋中有5个小球，其中两个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则在取到的两个球同色的条件下，取到的两个球都是白球的概率（）A．B．C．D．5．（5分）{a n}是公差不为0的等差数列，满足，则S13＝（）A．﹣1B．0C．﹣2D．﹣36．（5分）函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）已知过抛物线y2＝6x焦点的弦AB长为8，则直线AB的倾斜角为（）A．B．C．或D．或8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则角C的取值范围为（）A．（0，]B．[，）C．[，]D．（，] 9．（5分）已知有5双不同的手套打乱放置在一木箱中，从中任意取出4只，则取出的4只中恰有1双的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．11．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v 的值为（）A．210﹣1B．210C．310﹣1D．31012．（5分）若函数f（x）满足f（x）＝x（f′（x）﹣lnx），且f（）＝，则ef（e x）＜f′（）+1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（0，）D．（，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（）＝0（O为坐标原点），且3||＝4||，则双曲线的离心率为．14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，若PC＝BC＝，AB＝2，P A与平面ABC所成线面角的正弦值为，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．15．（5分）已知AB为圆O：x2+y2＝1的直径，点P为椭圆＝1上一动点，则•的最小值为．16．（5分）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式λeλx﹣lnx≥0恒成立，则λ的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（1）必考题：共60分.17．（12分）已知f（x）＝2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）＝2，BC＝1，求的最大值．18．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一种元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E﹣ACD的体积．20．（12分）已知椭圆的离心率分别为左、右焦点，P为椭圆τ上一点，若∠F1PF2＝60°，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆τ的方程；（2）经过椭圆τ的左、右焦点F1，F2分别作两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD 面积的最小值．21．（12分）已知函数．（1）函数f（x）的定义域和单调区间；（2）若存在x∈[e，e2]，使得，求k的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ＝4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|P A|+|PB|的值．[选修4-：5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）＝|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．2018-2019学年陕西省西安市西工大附中高三（下）第九次适应性数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（i﹣1）＝i，得z＝，∴．则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．【分析】A∩B有3个真子集，从而A∩B＝{0，1}，进而1≤a＜2，由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣ax≤0，a＞0}＝{x|0≤x≤a}，B＝{0，1，2，3}，A∩B有3个真子集，∴A∩B＝{0，1}，∴1≤a＜2，∴a的取值范围是[1，2）．故选：B．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．【分析】①根据方差的计算公式可知恒不变，即可判断出正误；②利用一次函数的单调性即可判断出正误；③由已知可得P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4），即可判断出正误；④若x＝0且y＝0，则x+y＝0，是真命题．则它的逆否命题：若x+y≠0，则x≠0，或y≠0，也是真命题．【解答】解：①将一组数据中的每一个数都加上会减去同一个常数后，根据方差的计算公式可知恒不变，因此正确；②设一个回归方程y＝3﹣4x，变量x增加一个单位时，变量y平均减少4个单位，因此不正确；③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝1﹣0.84＝0.16，正确；④若x＝0且y＝0，则x+y＝0，是真命题．则它的逆否命题：若x+y≠0，则x≠0，或y≠0，也是真命题，因此正确．综上可得：正确命题的个数为3．故选：D．【点评】本题考查了方差的计算公式、一次函数的单调性、正态分布的性质、逆否命题、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．【分析】取到两个白球的情况有＝3种，取到两个黑球的情况有种，由此能求出在取到的两个球同色的条件下，取到的两个球都是白球的概率．【解答】解：∵口袋中有5个小球，其中两个黑球三个白球，从中随机取出两个球，∴取到两个白球的情况有＝3种，取到两个黑球的情况有种，∴在取到的两个球同色的条件下，取到的两个球都是白球的概率：p＝＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．【分析】由已知可得：（a4+a10）（a4﹣a10）＝（a8+a6）（a8﹣a6），根据d≠0，a4+a10＝a8+a6，可得a8+a6＝0，再利用求和公式即可得出．【解答】解：由已知可得：（a4+a10）（a4﹣a10）＝（a8+a6）（a8﹣a6）⇒（a4+a10）×（﹣6d）＝（a8+a6）×2d．又∵d≠0，a4+a10＝a8+a6，∴a8+a6＝0，故S13＝＝0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．【分析】判断f（x）的单调性，再根据f（x）在（0，）上的函数值的符号得出答案．【解答】解：f（x）＝（﹣1）cos x＝cos x，f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cos x＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x＜时，e x＞1，cos x＞0，∴f（x）＝cos x＜0，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题．7．【分析】首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F（，0），从而设所求直线方程为y ＝k（x﹣）．再将所得方程与抛物线y2＝6x消去y，利用韦达定理求出x1+x2，最后结合直线过抛物线y2＝6x焦点截得弦长为8，得到x1+x2+3＝8，求出k，得到直线的倾斜角．【解答】解：∵抛物线方程是y2＝6x，∴2p＝6，可得＝3，焦点坐标为F（，0）设所求直线方程为y＝k（x﹣），与抛物线y2＝6x消去y，得k2x2﹣（3k2+6）x+k2＝0设直线交抛物线与A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系，得x1+x2＝，∵直线过抛物线y2＝9x焦点，交抛物线得弦长为8，∴x1+x2+3＝8，可得x1+x2＝5，因此，＝5，解之得k2＝3，∴k＝tanα＝±，结合α∈[0，π），可得α＝或．故选：D．【点评】本题给出已知方程的抛物线焦点弦长为8，求这条弦所在直线的倾斜角，着重考查了直线倾斜角、抛物线的基本概念和直线与抛物线的位置关系等知识点，属于中档题．8．【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cos C ≥，即可确定出C的取值范围．【解答】解：∵a2+b2＝2c2，∴c2＝，∴由余弦定理得：cos C＝＝≥＝（当且仅当a＝b时取等号），∴0＜C≤．故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9．【分析】基本事件总数n＝＝210，取出的4只中恰有1双包含的基本整个数m＝＝30，由此能求出取出的4只中恰有1双的概率．【解答】解：有5双不同的手套打乱放置在一木箱中，从中任意取出4只，基本事件总数n＝＝210，取出的4只中恰有1双包含的基本整个数m＝＝30，∴取出的4只中恰有1双的概率为p＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，利用三视图的数据求解几何体的体积，可得答案．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，D﹣ABC，几何体的体积为：＝．故选：C．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．11．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的x＝2，v＝1，k＝1，满足进行循环的条件，v＝2+C101，k＝2，满足进行循环的条件，v＝22+2C101+C102，…∴v＝210+29C101+…+C1010＝310，故输出的v值为：310，故选：D．【点评】本题考查程序框图，考查二项式定理的运用，属于中档题．12．【分析】将函数整理得（）′＝，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及f′（），则不等式转化成f（e x）＜＝f（）＝f（e﹣1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：由f（x）＝x（f′（x）﹣lnx），整理得xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，即（）′＝，两边积分＝＝∫lnxd（lnx）＝ln2x+C，整理得：f（x）＝ln2x+Cx，f（）＝，代入求得c＝，∴f（x）＝ln2x+x，f′（x）＝ln2x+lnx+，令lnx＝t，t∈R，∴f′（t）＝t2+t+＝（t+1）2≥0，∴f（x）单调递增，由f（x）＝x（f′（x）﹣lnx），f（）＝，f′（）＝0，由ef（e x）＜f′（）+1，整理得：f（e x）＜＝f（）＝f（e﹣1），由函数单调性递增，即e x＜e﹣1，由y＝e x，单调递增，则x＜﹣1，∴不等式的解集（﹣∞，﹣1），故选：A．【点评】本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【分析】运用双曲线的定义，结合条件可得|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，再由（）＝0，可得|OP|＝|OF2|，得到∠F1PF2＝90°，由勾股定理及离心率公式，计算即可得到．【解答】解：由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝|PF2|，解得|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，由（）＝0，即为（）•（﹣）＝0，即有2＝2，则△PF1F2中，|OP|＝|OF2|＝|OF1|，则∠F1PF2＝90°，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即有64a2+36a2＝4c2，即有c＝5a，即e＝＝5．故答案为：5【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查向量垂直的条件和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．14．【分析】根据已知可得AB⊥BC，可得三棱锥P﹣ABC的外接球，即为以PC，AC，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC、AC、AB的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：∵PC⊥平面ABC，P A与平面ABC所成线面角的正弦值为，∴，⇒P A＝4，根据勾股定理可得AC＝，在△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝2，则△ABC为直角三角形．三棱锥P﹣ABC外接球即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，故2R＝，三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝16π．故答案为：16π．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P﹣ABC的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键．15．【分析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出P的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可．方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可．【解答】解：依据对称性，不妨设直径AB在x轴上，P（2cos x，sin x），A（﹣1，0），B（1，0）．从而•＝（2cos x﹣1）（2cos x+1）+3sin2x＝2+cos2x≥2．故答案为：2．方法二：•＝＝＝2﹣1＝|PO|2﹣1，而|PO|min＝，则答案为2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系椭圆方程的综合应用．考查转化思想以及计算能力．16．【分析】推导出（）min≥0，设f（x）＝，x＞0，，令f′（x）＝0，得，y＝eλx与y＝有且只有一个交点，设交点为（m，n），当x＞m时，f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值，由此能求出λ的最小值．【解答】解：∵实数λ＞0，对任意的x∈（0，+∞），不等式λeλx﹣lnx≥0恒成立，∴（）min≥0，设f（x）＝，x＞0，，令f′（x）＝0，得，由指数函数和反函数在第一象限的图象，得到y＝eλx与y＝有且只有一个交点，设交点为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值，∴eλm＝，令eλm﹣＝0，解得m＝e，，当时，不等式≥0恒成立，则λ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式性质、函数性质、导数性质等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（1）必考题：共60分.17．【分析】（Ⅰ）根据二倍角的正余弦公式，和两角和的正弦公式即可化简f（x）＝，而由x的范围可以求出x+的范围，从而可得出f（x）的值域；（Ⅱ）由f（A）＝2即可求得A＝，从而由余弦定理和不等式a2+b2≥2ab可求得|AB||AC|≤1，根据向量数量积的计算公式便可得出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）；∵；∴；∴；∴f（x）的值域为[1，2]；（Ⅱ）∵f（A）＝2，∴；在△ABC中，∵0＜A＜π，∴；∴；∴|AB||AC|＝|AB|2+|AC|2﹣1≥2|AB||AC|﹣1；∴|AB||AC|≤1；∴；∴的最大值为．【点评】考查二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及余弦定理，已知三角函数值求角，不等式a2+b2≥2ab的运用，数量积的计算公式．18．【分析】（Ⅰ）用元件A的正品数除以样本容量，可得元件A为正品的概率；用元件B 的正品数除以样本容量，可得元件B为正品的概率．（Ⅱ）先求得随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15，再求出随机变量X取每一个值的概率，即可得到随机变量X的分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为＝，（1分）元件B为正品的概率约为＝．（2分）（Ⅱ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．（3分）由题意可得P（X＝90）＝×＝，P（X＝45）＝×＝；P（X＝30）＝×＝，P（X＝﹣15）＝×＝，（7分）所以，随机变量X的分布列为：EX＝90×+45×+30×+（﹣15）×＝66．（9分）【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列数数学期望，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD＝60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD＝60°，∵AP＝1，AD＝，∠ADP＝30°，∴PD＝2，E为PD的中点．AE＝1，∴DM＝，CD＝＝．三棱锥E﹣ACD的体积为：＝＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．20．【分析】（1）椭圆的离心率e＝，a＝2c，再由△F1PF2的面积为，结合正弦定理即余弦定理得a2﹣c2＝3，求得a＝2，c＝1，再由隐含条件求得b2＝3，则椭圆方程可求；（2）设l1：y＝k（x+1），l2：y＝﹣（x﹣1），分别与椭圆方程联立，利用弦长公式求得|AC|＝，|BD|＝．代入四边形面积公式，由换元法及配方法求最值．【解答】解：（1）椭圆的离心率e＝，a＝2c，①△F1PF2的面积为，则|PF1||PF2|sin60°＝，则|PF1||PF2|＝4，由|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝（2c）2．则a2﹣c2＝3，②解得：a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆E的标准方程为；（2）设l1：y＝k（x+1），l2：y＝﹣（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，|AC|＝＝．联立，得（3k2+4）x2﹣8x+4﹣12k2＝0．同理：|BD|＝．∴＝．令k2+1＝t（t＞1），则＝，当，即t＝2，k＝±1时，四边形ABCD面积的最小值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与配方法求最值，是中档题．21．【分析】（1）根据函数成立的条件，建立不等式关系进行求解即可得函数的定义域，求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）构造函数φ（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣kx+k，（e≤x≤e2），由题意知φ（x）min ≤，然后求出函数的导数研究函数的单调性和最值进行求解即可．【解答】解：（1）由得，即x＞0且x≠1，则函数的定义域为{x|x＞0且x≠1}，函数的导数f′（x）＝，由f′（x）＞0得lnx＞1，得x＞e，即的单调递增区间为（e，+∞），由f′（x）＜0得lnx＜1，得0＜x＜e且x≠1，即的单调递减区间为（0，1）和（1，e）．（2）令φ（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣kx+k，（e≤x≤e2），由题意知φ（x）min≤，则φ′（x）＝﹣k＝﹣（﹣）2+﹣k，φ′（x）的值域为[﹣k，﹣k]，①当﹣k≥0，即k≤0时，φ′（x）≥0，∴φ（x）在x∈[e，e2]上单调递增，∴φ（x）min＝φ（e）＝e﹣k（e﹣1）≤，解得k≥，不合题意．②当﹣k≤0，即k≥时，φ′（x）≤0，∴φ（x）在x∈[e，e2]上单调递减，∴φ（x）min＝φ（e2）＝﹣k（e2﹣1）≤，解得k≥，满足题意．③当0＜k＜时，垂直唯一x0∈（e，e2），满足φ′（x0）＝0，∴x∈（e，x0）时，φ′（x）＜0，此时φ（x）为减函数，x∈（x0，e2）时，φ′（x）＞0，此时φ（x）为增函数，即φ（x）min＝φ（x0）＝﹣k（x0﹣1）≤，解得k≥（﹣）＝，这与0＜k＜矛盾，不合题意．综上所述，k的取值范围是k≥．【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性和导数之间的关系，以及函数最值和导数的关系，进行转化是解决本题的关键．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ＝4cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ．把代入上述方程即可化为直角坐标方程．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t＝0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6t ﹣6＝0，利用|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ＝4cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2＝4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t＝0时），把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6＝0，∴|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝4．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与抛物线相交问题、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-：5：不等式选讲]（本小题10分）23．【分析】（Ⅰ）f（x）＝|x﹣4|+|x+5|和f（x）＝|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a 的解集非空，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|＝|2x+1|，当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．所以若f（x）＝|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）＝|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|＝9，所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min＝9，即a的取值范围是（9，+∞）．【点评】考查绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，及等号成立的条件是a＝b，求解问题（Ⅱ）体现了转化的数学思想，属中档题．。
(整理)数学竞赛考试范围
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
2019年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2019年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(x)=的无穷间断点的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C2．设函数f(x)=｜x(x一1)｜，则A．x=0是f(x)的极值点，但点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点B．x=0是f(x)的极值点，且点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点C．x=0不是f(x)的极值点，但点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，且点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B3．通过x轴和点(一3，1，一2)的平面方程为A．x一2y+3z=0B．x+3y=0C．2x—y—z=0D．2y+z=0正确答案：B4．微分方=ex-y的通解为A．ey-ex=CB．ey+ex=CC．ey+x=CD．ey-x=C正确答案：A5．下列级数中绝对收敛的是A．B．C．D．正确答案：C填空题6．极限=_______．正确答案：17．已知函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，f’(0)=1，则极限=_______．正确答案：28．函数y=y(x)由参数方程所确定，则=_______．正确答案：2t9．设连续函数f(x)满足f(x)=sinx—，则f(x)=_______．正确答案：10．设曲线L：x2+y2=a2，则对弧长的曲线积(1+x2+y2)2ds=_______．正确答案：2πa(1+a2)2解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限正确答案：原式12．求由方程y=1+xey的确定的隐函数y=y(x)的二阶导数．正确答案：两边对x求导得y’=ey+xeyy’，解出y’得13．求不定积分正确答案：原式14．计算定积分∫04正确答案：15．设函数u=f(x2—y2，exy)，函数f具有二阶连续偏导数，求及．正确答案：=f1’·(一2y)+f2’·exy·x=一2yf1’+xexyf2’=一4xyf11’’+2(x2一y2)exyf12’’+xye2xyf22’’+(1+xy)exyf2’16．已知函数f(x，y，z)=x+y2+z3(1)求函数f(x，y，z)的梯度；(2)求函数f(x，y，z)在点P0(1，1，1)处沿方向l=(2，一2，1)的方向导数.正确答案：f(x，y，z)=x+y2+z3在点P0(1，1，1)处可微，则在该点的梯度为gradfP0=(1，2，3)，l0=(cosα，cosβ，cosγ)=从而有17．计算二重积(1—4x2—4y2)dxdy，其中D是由y=z，x2+y2=1和x轴在第一象限内所围成的区域．正确答案：D={(r，θ)：0≤θ≤，0≤r≤1}18．计算曲线积(2x—y+4)dx+(5y+3x一6)dy，其中L为三顶点分别为(0，0)、(3，0)和(3，2)的三角形的正向边界．正确答案：由格林公式得19．求幂级数的和函数.正确答案：，收敛半径R=3，当x=3时，级数收敛，当x=一3时，级数发散，故收敛域为(一3，3]．令=ln3一ln(3+x)，x∈(一3，3] 20．求微分方程y’’一2y’=3e2x的通解．正确答案：特征方程为λ2一2λ=0，特征根λ1=0，λ2=2，对应齐次方程的通解y=C1e2x+C2，设方程y’’一2y’=3e2x的一个特解为y*=Axe2x，代入方程y’’一2y’=3e2x，得，特解为y*=xe2x，故原方程的通解为y=C1e2x+C2+xe2x．证明题21．证明：当x＞0时，不等式＜ln(1+x)＜x．正确答案：令f(x)=ln(1+x)，x＞0在[0，x]上对f(x)应用拉格朗日定理得ξ∈(0，x)，使得f(x)一f(0)=f’(ξ)(x一0)=，因为0＜ξ＜x，所以从而得证22．求由曲线y=x2与y2=x2所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕x轴旋转所形成旋转体的体积V．正确答案：两曲线交点为(0，0)和(1，1)两曲线交点为(0，0)和(1，1)S=∫01V=π∫01(x3一x4)dx=。
第九届全国大学生数学竞赛参考答案(非数学类)
2017年数学竞四川赛区（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l nc o sl n c o s211==cos cos cos x x e e dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n co s xx c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。
2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。
3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则21xx yy w w c-=_________。
解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。
所以1221=4xx yy w w f c-。
4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。
这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。
高等数学竞赛模拟试题【精品】
1 1 a + b f (b) = f (a) + (b − a ) f ' (a ) + f ' (b) + 4 f ' − (b − a ) 5 f (5) (ξ ). 6 2 2880
四、 （本题满分 14 分） 求经过三条平行直线 L1 : x = y = z ， L2 : x − 1 = y = z + 1 ， L3 : x = y + 1 = z − 1 的圆柱 面的方程.
（2）求
∑
k =1
1
∏ ( k + m)
m =0
2017
.
第九届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题（二） 第 1 页 共 2 页
三、 （本题满分 14 分） 计算三重积分
∫∫∫ xyzdxdydz ，其中 Ω 位于第一象限，由下列曲面所围成：x
Ω
2
+ y 2 = mz ，
x 2 + y 2 = nz ， xy = a 2 ， xy = b 2 ， y = αx ， y = βx ，其中 0 < a < b ， 0 < α < β ，
.
(−1) n 2.使级数 ∑ ln 1 + n p n=2
( p > 0) 条件收敛的 p 的取值范围为
.
3.设 f (u , v) 具有一阶连续偏导数，且满足 f (tu , tv ) = t 2 f (u , v) ， f (1,2) = 0, f u (1,2) = 3 ，
n →∞
. .
2.设 f ( x) =
∫
1
0
ln x − t dt ，则 max f ( x) =
高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位
高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】摘要通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。
本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS和mathematica等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。
针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。
然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。
其次根据我们建立的模型，利用MATLAB编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。
针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS进行拟合得到多组数据，再用MATLAB进行检验得到符合的两组经纬度。
然后我们又以太阳方位角K为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l做回归目标时一样。
我们分步做了两次拟合，先用MATLAB拟合出经度，再N E和杆长做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74,109.35)=。
综上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。
1.993L m针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20）=，得到天数利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m=，得到天n=。
利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E)和杆长L 1.962m 307n数=140针对问题四，首先运用MATLAB软件，根据画面灰度，运用MATLAB软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。
（整理）数学竞赛考试范围
（整理）数学竞赛考试范围（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
一道赛题的解法及问题之延伸--陕西省大学生高等数学竞赛题系列分析之四
π （２ ｋ － １） π 观察极限式 ｎ ｌｉｍ ｓｉｎ 的构成 ， 联 → ∞ ２ ｎ ｋ∑ ４ｎ ＝１ π 想起区间 ［０ ， ］ 上 ｎ 等分的 ｓｉｎ ｘ 的定积分 ， 记 ２ Δｘ ｋ ＝ π／２ ， ｘ ｋ ＝ ｋ ， ｋ ＝ ０ ， １ ，… ， ｎ； ｎ
（５） ｃｋ ＝ （２ ｋ － １） π ＝ ｘ ｋ － １ Δ ｘ ｋ （ ｋ ＝ １ ， ２ ，… ， ｎ） ， ４ｎ ２ 其中 ｃｋ ＝ （ ｘ ｋ － １ ＋ ｘ ｋ ）／２ 是第 ｋ 个小区间 ［ ｘ ｋ － １ ， ｘｋ ］
ｒｅｍａｉｎｄｅｒ
深入考察数学赛题的解法 ， 看看这种或那种方 法是否还可以解决其它哪些问题 ， 或者针对问题挖 掘某种解法 ， 从中探索和发现该问题可否引申出更 为本质的一般问题 ， 都是饶有兴趣的 ． 我们针对陕西 省第九次大学生高等数学竞赛复试中的第 ９ 题 （下 面的例 １） ， 做些这样的思考 ． 例１
Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ａ Ｃｏｎｔｅｓｔ Ｑｕｅｓｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ
（ １ ．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍ ａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ，Ｘｉ’ａｎ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕ ｎｉｖｅｒｉｓｔｙ ，Ｘｉ’ ａｎ ７１００４９ ，ＰＲＣ ； ３ ．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｎａｔｕｒａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ ，Ｎｏｒｔｈｗ ｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ，Ｘｉ’ａｎ ７１００７２ ，ＰＲＣ ） ２ ．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ，Ｘｉ’ａｎ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔ ｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ，Ｘｉ’ａｎ ７１００５４ ，ＰＲＣ ；
［１ ］
分析 求解的要点是如何求和 Ｓｎ ＝
数形结合方法实例分析_陕西省大学生高等数学竞赛赛题系列分析之一_龚冬保
ＳＤ１ ＝ ＳＤ２ ＝
所以
１ ０
ｆ ∫
１
１ －
２ （ ｘ） ｄ ｘ＝ ， ３ ２ ４
ｘ） ｄ ｘ ＝ ２－ ＝ ． ｆ（ ３ ３ ∫
（ ）如图 ２ （ ） ， 由累次 积 分 与 重 积 分 的 关 系 以 ２ ｂ 及积分对称性可知
１ １
（ 例２ 陕西省第 ９ 次高等数学竞赛复试第 １ ０
［ １］ 题） 且 ｘ）在 ［ ａ， ｂ］上连续且单调增 ， 设 ｆ（
２ ４ ２ ４
其中 ｆ－１（ 求 ｘ）是 ｆ（ ｘ）的反函数 ．
１
则最后一个积分值不必算出 ． 注 ２ 如 果 试 图 利 用 二 元 函 数 的 最 值 问 题 求 ， 求 ａ， 使 解 则本题是在条件 ａ ｘ ＋ｂ ≥ｌ ｎ ｘ 下， ｂ，
４
）根 据 题 设 条 件 、 分析 （ 函数与其反函数图 １ 、 （ ） 形的对称 性 以 及 定 积 分 的 几 何 意 义 ， 参 考 图２ ａ 可知区域 Ｄ１ 与 Ｄ２ 的三对边界 ， 即曲线ｙ ＝ｆ（ 与 ｘ） ， ）与 曲线 ｙ ＝ ｆ－１（ 直线段ｙ ＝０ （ ｘ） １≤ｘ ≤２ （ ） ， （ ）与 直线段ｘ ＝２ ｘ ＝０ １≤ｙ ≤２ ０≤ｙ ≤１ （ ）分别关于直线 ｙ ＝ ｘ 为轴对称 ， ０≤ｘ ≤１ ｙ ＝２ 从而区域 Ｄ１ 与 Ｄ２ 关于直线 ｙ ＝ ｘ 对称 ， 因此这 两 个区域的面积相等 ． 而 Ｄ１ 的 面 积 是 已 知 的 ， 从而易 得待求积分 ． （ ）注意累次积分中被积 函 数 是 变 量 分 离 的 乘 ２ ， 其二重积分 积形式ｆ（ ｘ） ｆ（ ｙ）
） 令Ｓ 可解得当ｔ＝３时梯形面积最小 ， 由此 ′ ｔ ＝０， Ｔ（ 得切线方程为 １ ｘ ＋ｌ ｎ ３ －１， ３
陕西省西北工业大学附属中学2016届高三第九次适应性考
2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第九次适应性训练数学（文） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1． 已知a 是实数，1a i i+- 是纯虚数，则a等于（ ） A ． 1 B ． -1 C ．．2．已知全集U ，A B ⊆ ,那么下列结论中可能不成立的是（ ）A ． AB A = B ．A B B =C ．()U A B ≠∅ðD ．()U B A =∅ð3．若 :,2p k k Z πϕπ=+∈;()()():sin 0q f x x ωϕω=+≠ 是偶函数。
则p是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．设[],2x ππ∈ ，则1sin 2x ≤-的概率为（ ）A ． 13B ． 14C ．23D ．12 5．执行如图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为( )A ． 5-8B ．5-4C ．1-2D ．16．若非零向量,a b 满足=a b a b =+，则a 与b a -夹角为（ ） A ． 56π B ．23π C ．16π D ．13π 7．设,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩ 则目标函数4z x y =+ 的最小值为（ ）A ． -1B ． 0C ． 1D ．28．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值31B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最小值639．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为()1010f )的月饼最小值为 ( )A ． 16B ． 20C ．27D ．1810．1by += 与圆221x y += 相交于A 、B 两点，且AOB ∆是直角三角形（O 为坐标原点），则点(),P a b 与点()0,1 之间距离的最大值是（ ）A ． 2 BC1 D111．若0,022x y ππ<<<<，且sin cos x x y = ，则（ ） A ．4x y < B ． 42x x y << C ．2x y x << D ．x y < 12．给出下列命题： ①在区间()0,+∞ 上，函数()12132,,1,y x y x y x y x -===-= 中有三个是增函数；②若log 3log 30m n << ，则01n m <<< ；③若函数()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0A 对称；④已知函数()()2332log 12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()12f x =有2个实数根。
应用Cauchy-Schwarz不等式证明积分不等式举例
第24卷第2期2021年3月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.24,No.2Mar.,2021doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2021.02.005应用Cauchy-Schwarz不等式证明积分不等式举例吴克坚，刘烁，徐清华，王瑞星，赵清波(空军军医大学基础医学院数学物理教研室,陕西西安710032)摘要本文主要以近年大学生数学竞赛的两道典型题目为例，说明Cauchy-Schwarz不等式在证明积分不等式中的应用.这些题目的不同解法既体现了普遍适用性也体现了技巧的针对性，对教师的教学和学生的学习提供帮助.关键词Cauchy-Schwarz不等式；积分不等式；数学竞赛中图分类号O13；O178文献标识码A文章编号1008-1399(2021)02-0013-03Using Cauchy-Schwarz Inequality to Prove Integral InequalitiesWU Kejian,LIU Shuo,XU Qinghua,WANG Ruixing,and ZHAO Qingbo (Department of Mathematics&Physics,School of Basic Medicine,Air Force Medical University,Xi'an710032China)Abs4rac4Thispaper main6y ana6yzes two c6assica6app ications of using Cauchy-Schwarzinequaityto prove some integral inequalities appeared in the Mathematics Competitions in recent years,and shows the un?versaltyofthecorrespond?ngmethodsandtherelevanceofsometechn?ques.Wehopetoprov?deuseful helpforteach?ngandlearn?ng.Keywords Cauchy-Schwarz?nequalty?ntegral?nequalty mathemat?cscompet?t?onsCauchy-Schwarz不等式是一个在众多数学背景下都有应用的不等式,例如向量代数、数学分析、概率论等领域.具体地,在积分学中,设函数fCx),A (x)在区间*,小上连续,则有不等式f(x)A(x)drr)—f2(x)drr•g2(x)drr,a'J a J a其中等号成立的充要条件是：存在实数沧或A,使f(x)=kg(x)或g(x)=A f(x)成立.在实数域中，设任意实数+,*28(=12,…,n),则有不等式—(*+2)•(**2),3=13=13=1当且仅当a=+=…=尹取等号.特别地，二维*1*2*n形式为(ac+*d)2—(+*2)(?+92),当且仅当收稿日期：2020-07-22修改日期：2020-10-19基金项目：空军军医大学基础医学院《人才建设行动计划》公共教研室骨干人才.作者简介：吴克坚0983—),男，博士,副教授,研究方向：生物统计及临床试验统计方法Email：wukejianl983@.通讯作者：赵清波(1966—),女,硕士,教授,卫生统计学方向,Email：zhaoqbo@.ad=*c时取等号.作为数学中最重要的不等式之一,不同形式的Cauchy-Schwarz不等式的证明方法成为许多学者研究的热点,比如利用二次三项式的判别式、构造辅助函数法等*1+.近年来,在各类数学竞赛中Cauchy-Schwarz不等式应用于证明积分不等式的题型比较常见且难度较大,学生往往感觉无从下手.本文从全国大学生数学竞赛网站*〕历届初赛真题及各省、市竞赛中选取了两道典型题目，对其证明方法的思想背景和特点进行了简要的分析说明，并进行了适当的拓展，一些巧妙的解法来源于文献[34],体现了证法的普适性和技巧的针对性,目的是帮助学生举一反三,拓展解题思路,切实掌握这类证明题目的证法和技巧.例1(2017年全国大学生数学竞赛华中科技大学校内选拔赛)设f(x)在*1+上有连续导数，且f(0)= f(1)=0,证明：f f2(x)dz—1[[f'(x)+2d xJo4J o证法1由$4高等数学研究2021年3月f(x%=x f1(t%I t+f(0%=x f1(t%I t00fd x f1(t)d t+f)f'Odz,再由不等式右边的#。
大学生数学竞赛
关于举办第三届全国大学生数学竞赛的通知 各省、市、自治区数学会、解放军院校协作中心数学联席会： 为了培养人才、服务教学、促进高等学校数学课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养分析、解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台，经中国数学会批准，第三届全国大学生数学竞赛由上海同济大学承办。 经全国大学生数学竞赛委员会研究确定，本届比赛分区预赛在2011年10月29日（星期六）上午9：00—11：30举行，决赛于2012年3月份的第三周周六上午在同济大学举行。 现将竞赛的具体事宜通知如下： （1） 参赛对象： 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 （2） 竞赛内容： 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。 （3） 报名办法： 2011年9月30日前按所在省、直辖市、自治区数学会或学会委托的承办大学的要求报名。 （4） 竞赛组织工作： 分区预赛由各省（市、区、军队院校）数学会负责组织选拔，使用全国统一试题，在同一时间内进行考试。 决赛由全国大学生数学竞赛委员会和承办单位负责组织实施。 （5） 竞赛收费标准： 每个参赛学生要向参赛单位交报名费60元，其中50元用于分赛区，10元交给全国大学生数学竞赛组委会，分别用于分区预赛和决赛阶段竞赛工作的组织、命题、评奖、颁奖等项费用。 （6） 奖项的设立： 设赛区（一般以省、市、自治区作为赛区，军队院校为一个独立赛区）奖与全国决赛奖。 赛区奖。按照重点学校与非重点学校，数学类专业与非数学类专业分别评奖。每个赛区的获奖总名额不超过总参赛人数的15%（其中一等奖、二等奖、三等奖分别占各类获奖总人数的20%、30%、50%）。冠名为“第三届全国大学生数学竞赛（**赛区）*等奖”。 决赛奖。参加全国决赛的总人数不超过300人。每个赛区参加决赛的名额不少于5名（其中数学类2名，非数学类3名）,由各赛区在赛区一等奖获得者中推选。最后入选名单由竞赛组织委员会批准。决赛阶段的评奖等级按绝对分数评奖。 分区预赛和决赛的获奖证书均加盖“中国数学会普及工作委员会”的公章，获奖证书由承办单位统一印制。每份获奖证书，承办单位收取工本费5元。 （8）命题、阅卷、评奖工作： 分区预赛和决赛的试题由全国大学生数学竞赛委员会统一组织专家命题。 分区预赛的试卷印刷、保密、阅卷、评奖工作，由各个赛区统一安排，由各赛区的竞赛负责人统一部署。各赛区在考试结束后，当堂密封试卷，及时送交到赛区指定试卷评阅点集中阅卷。评奖工作由各赛区自行组织。 决赛阶段的试卷印刷、保密、评阅工作在全国大学生数学竞赛委员会的领导下，由承办单位组织进行。评奖工作由全国大学生数学竞赛委员会组织专家组评定。 （9）决赛试题和获奖名单将在全国大学生数学竞赛网站上公布
陕西省西安市西北工大附中九级2025届九上数学期末复习检测模拟试题含解析
陕西省西安市西北工大附中九级2025届九上数学期末复习检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．抛物线的顶点为(1,4)-，与y 轴交于点(0,3)-，则该抛物线的解析式为（ ）A ．223y x x =--B ．223y x x =+-C ．223y x x =-+D ．2233y x x =--2．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD 的度数是( )A ．20°B ．30°C ．45°D ．60°3．若ABC DEF ∽，相似比为2，且ABC 的面积为12，则DEF 的面积为 （ ）A ．3B ．6C ．24D ．484．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，4），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O'A'B'，A 的对应点A'是直线45y x =上一点，则点B 与其对应点B'间的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 5．抛物线2y (x 2)=-的顶点坐标是( )A．(2, 0)B．(-2, 0)C．(0, 2)D．(0, -2)6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF 的长度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm7．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（）A．25°B．40°C．45°D．50°8．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为9005，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（）（图中所有点在同一平面内2≈1.41，3≈1.73）A．60分钟B．70分钟C．80分钟D．90分钟9．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )A ．22B ．32C ．1D ．62 10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝20°，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．70°二、填空题(每小题3分,共24分)11．二次函数21(2)12y x =+-向左、下各平移2个单位，所得的函数解析式_______． 12．抛物线2 y x bx c =-++的部分图象如图所示，对称轴是直线1x =-，则关于x 的一元二次方程20x bx c -++=的解为____．13．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个．14．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm 的等边三角形，点是母线的中点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的表面爬行到点处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______cm ．15．一家鞋店对上一周某品牌女鞋的销量统计如下：尺码（厘米）22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销量（双） 1 2 5 11 7 3 1 该店决定本周进货时，多进一些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是___________ .16．函数y ＝x 2﹣4x +3的图象与y 轴交点的坐标为_____．17．已知关于x 的方程260--=x kx 的一个根为6，则实数k 的值为__________．18．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x +2＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根．20．（6分）为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍. 现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分别为3000元和600元.（1）求最多能购进多媒体设备多少套？（2）恰逢“双十一”活动，每套多媒体设备的售价下降3%5a ，每个电脑显示屏的售价下降5a 元，学校决定多媒体设备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加%a ，实际投入资金与计划投入资金相同，求a 的值. 21．（6分）已知一次函数4y x =+的图象与二次函数(2)y ax x =-的图象相交于(1,)Ab -和B ，点P 是线段AB 上的动点（不与,A B 重合），过点P 作PC x ⊥轴，与二次函数(2)y ax x =-的图象交于点C ．（1）求,a b 的值；（2）求线段PC 长的最大值；（3）当PAC ∆为90ACP ︒∠=的等腰直角三角形时，求出此时点P 的坐标．22．（8分）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．23．（8分）小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15︒，小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45︒，求楼房AB的高度．（计算结果精确到1m）（参考数据：1sin154︒≈，24cos1525︒≈，25tan1596︒≈）24．（8分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．25．（10分）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC AC AD DE AE==，点B 、D 、E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．26．（10分）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （米）与运动时间t （秒）之间的关系式为h=30t ﹣5t 2，那么小球抛出 秒后达到最高点．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】设出抛物线顶点式，然后将点(0,3)-代入求解即可.【详解】解：设抛物线解析式为2(1)4y a x =--，将点(0,3)-代入得：23(01)4a -=--，解得：a=1，故该抛物线的解析式为：223y x x =--，故选：A.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2、B【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．3、A【解析】试题分析：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为12，∴△DEF的面积为：12×14=1．故选A．考点：相似三角形的性质．4、C【分析】根据平移的性质知BB′＝AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．【详解】解：如图，连接AA′、BB′，∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是4，又∵点A 的对应点在直线y ＝45x 上一点， ∴4＝45x ，解得x ＝1， ∴点A′的坐标是（1，4），∴AA′＝1，∴根据平移的性质知BB′＝AA′＝1．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化−−平移．根据平移的性质得到BB′＝AA′是解题的关键． 5、A【分析】依据抛物线的解析式即可判断顶点坐标.【详解】解：∵抛物线2(2)y x =-，∴抛物线的顶点坐标为（2，0）.故选A.【点睛】掌握抛物线y =a (x -h )2+k 的顶点坐标为（h ，k ）是解题的关键.6、D【解析】分析：根据垂径定理得出OE 的长，进而利用勾股定理得出BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．详解：连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，BD=1cm ，AE=2cm ．在Rt △OEB 中，OE 2+BE 2=OB 2，即OE 2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=1．在Rt △EBC 中，22224845BE EC +=+=∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OF OCBE BC=，即5445OF=，解得：OF=5．故选D．点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．7、B【分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．【详解】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．8、C【分析】如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．想办法求出AQ、CQ即可解决问题．【详解】解：如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．由题意：PAPB＝2，AQ＝AH+FG+DE，CQ＝CD+EF+GH，∠AQP＝45°，∵∠APB＝90°，AB＝9005，∴PB＝900，PA＝1800，∵∠PQA＝∠PAQ＝45°，∴PA＝PQ＝1800，AQ＝2PA＝18002，∵∠C＝30°，∴PC＝3PA＝18003，∴CQ＝18003﹣1800，∴小伟从C出发到坡顶A的时间＝1800318001800265.742.3-+≈80（分钟），故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．9、C【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=22AM=2，再根据角平分线性质得BM=MH=2，则AB=2+2，于是利用正方形的性质得到AC=2AB=22+2，OC=12AC=2+1，所以CH=AC-AH=2+2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．【详解】试题分析：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴22×2，∵CM平分∠ACB，∴BM=MH=2，∴AB=2+2，∴AC=2AB=2（2+2）=22+2，∴OC=12AC=2+1，CH=AC﹣AH=22+2﹣2=2+2，∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴ON OCMH CH=，即21222ON+=+，∴ON=1．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．10、B【分析】连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠DBC＝∠BAC＝20°，则∠ADC＝110°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠DAC的度数．【详解】解：连接BD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DBC＝∠BAC＝20°，∴∠ADC＝90°+20°＝110°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠DAC ＝12（180°﹣110°）＝35°． 故选：B ．【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．二、填空题(每小题3分,共24分)11、21(4)32y x =+- 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】二次函数21(2)12y x =+-向左平移2个单位所得的函数解析式为21(22)12y x =++-，再向下平移2个单位所得的函数解析式为21(22)122y x =++--，即21(4)32y x =+-， 故答案为：21(4)32y x =+-． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移规律，掌握理解二次函数图象的平移规律是解题关键．12、121,3x x ==-【分析】根据二次函数的性质和函数的图象，可以得到该函数图象与x 轴的另一个交点，从而可以得到一元二次方程20x bx c -++=的解，本题得以解决．【详解】由图象可得，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线1x =-，则抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），即当0y =时，20x bx c -++=，此时方程的解是1213x x ==-，，故答案为：1213x x ==-，．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13、1．【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【详解】设袋中红球有x 个，根据题意，得：0.73x x=+， 解得：x ＝1， 经检验：x ＝1是分式方程的解，所以袋中红球有1个，故答案为1．【点睛】 此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用红球在总数中所占比例进行求解.14、2【详解】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=， ∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，∴在圆锥侧面展开图中BD=， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是2cm ．故答案为：2． 15、众数【解析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量;方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量.销量大的尺码就是这组数据的众数.【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数,故应最关心这组数据中的众数.故答案为众数.【点睛】此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.熟练掌握均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键.16、（0，3）．【分析】令x ＝0，求出y 的值，然后写出与y 轴的交点坐标即可．【详解】解：x ＝0时，y ＝3，所以．图象与y 轴交点的坐标是（0，3）．故答案为（0，3）．【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.17、1【分析】将一元二次方程的根代入即可求出k 的值．【详解】解：∵关于x 的方程260--=x kx 的一个根为6∴26660k --=解得：k=1故答案为：1．【点睛】此题考查的是已知一元二次方程的根，求方程中的参数，掌握方程的解的定义是解决此题的关键．18、y ＝-132（x ﹣4）2+1 【分析】根据二次函数的顶点式即可求出抛物线的解析式．【详解】解：根据题意，得设抛物线对应的函数式为y ＝a （x ﹣4）2+1把点（0，52）代入得： 16a+1＝52解得a ＝﹣132， ∴抛物线对应的函数式为y ＝﹣132（x ﹣4）2+1 故答案为：y ＝﹣132（x ﹣4）2+1． 【点睛】 本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，同时还考查了方程的解法等知识，难度不大．三、解答题(共66分)19、（1）k ＜2且k ≠0；（2）x 1＝，x 2＝2．【解析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k ≠0且△＝42﹣4k •2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）先确定k 的最大整数值得到方程x 2﹣4x +2＝0，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，b 2﹣4ac ＞0即42﹣4k •2＞0k ＜2，又∵一元二次方程k ≠0∴k ＜2且k ≠0；（2）∵k ＜2且k 取最大整数∴k ＝1，当k ＝1时，x 2﹣4x +2＝0解得，x 1＝，x 2＝2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．20、（1）15套；（2）37.5【分析】（1）设购买A 种设备x 套，则购买B 种设备6x 套，根据总价=单价×数量结合计划投入99000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量结合实际投入资金与计划投入资金相同，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）设能购买多媒体设备x 套，则购买显示屏6x 套，根据题意得：3000600699000x x +⨯≤解得：15x ≤答：最多能购买多媒体设备15套.（2）由题意得：330001%15(1%)(6005)90(1%)990005a a a a ⎛⎫-⨯++-⨯+= ⎪⎝⎭设%t a =，则原方程为： 33000115(1)(600500)90(1)990005t t t t ⎛⎫-⨯++-⨯+= ⎪⎝⎭整理得：2830t t -=解得：10.375t =，20t =（不合题意舍去）∴37.5a =.答：a 的值是37. 5.【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出关于x 的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．21、（1）1，3；（2）最大值为254；（3）()3,7P 【分析】（1）将点(1,)A b -分别代入一次函数解析式可求得b 的值，再将点A 的坐标代入二次函数可求出a 的值； （2）设(,4)P m m +，则()2,2C m m m -，根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PC 的长关于m 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；（3）同（2）设出点P ，C 的坐标，根据题意可用含m 的式子表示出AC ，PC 的长，根据AC=PC 可得关于m 的方程，求得m 的值，进而求出点P 的坐标．【详解】解：（1）∵(1,)A b -在直线4y x =+上，∴143b =-+=，∴(1,3)A -．又∵(1,3)A -在拋物线(2)y ax x =-上，∴3(12)a =-⋅--，解得1a =．（2）设(,4)P m m +，则()2,2C m m m -， ∴()2(4)2PC m m m =+--234m m =-++232524m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴当32m =时，PC 有最大值，最大值为254． （3）如图，∵PAC ∆为90ACP ︒∠=的等腰三角形且PC x ⊥轴，∴连接AC ，AC y ⊥轴，∵()2(,4),2(1,3)P m m C m m m A +--，，，∴(1)1C A AC x x m m =-=--=+， ()22(4)234P C PC y y m m m m m =-=+--=-++．∵AC PC =，∴2134m m m +=-++，化简，得2230m m --=，解得3m =，1m =-（不合题意，舍去）．当3m =时，47m +=，∴此时点P 的坐标为()3,7P ．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了求待定系数法求函数解析式，二次函数的最值以及等腰三角形的性质等知识，利用平行于y 轴的直线上两点间的距离建立出二次函数模型求出最值是解题关键．22、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）连接GE ，根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG=∠CGE ，根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG=∠FGE ，解答即可；（2）证明Rt △HAE ≌Rt △GDH ，得到∠AHE=∠DGH ，证明∠GHE=90°，根据正方形的判定定理证明．【详解】解：（1）连接GE ，∵AB ∥CD ，∴∠AEG=∠CGE ，∵GF ∥HE ，∴∠HEG=∠FGE ，∴∠HEA=∠CGF ；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH 是菱形，∴HG=HE ，在Rt △HAE 和Rt △GDH 中AH DG HE HG=⎧⎨=⎩， ∴Rt △HAE ≌Rt △GDH （HL ），∴∠AHE=∠DGH ，又∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形．【点睛】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．23、26m．【分析】作DH⊥AB于H，根据余弦的定义求出BC，根据正弦的定义求出CD，结合题意计算即可．【详解】作DH⊥AB于H，∵∠DBC=15°，BD=20，∴242019.225BC BD cos DBC=∠=⨯=，12054CD BD sin DBC=∠=⨯=，由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，∴EF=BC=19.2，BH=CD=5，∵∠AEF=45°，∴AF=EF=19.2，∴AB=AF+FH+HB=19.2+1.6+5=25.8≈26m，答：楼房AB的高度约为26m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24、（1）y=-6x，y=-2x-4（2）1【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB 与x 轴相交于点C ，根据一次函数解析式求出点C 的坐标，从而得到点OC 的长度，再根据S △AOB =S △AOC +S △BOC 列式计算即可得解．【详解】（1）将A （﹣3，m+1）代入反比例函数y=m x 得， -3m =m+1， 解得m=﹣6，m+1=﹣6+1=2，所以，点A 的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y=﹣6x， 将点B （n ，﹣6）代入y=﹣6x 得，﹣6n =﹣6， 解得n=1，所以，点B 的坐标为（1，﹣6），将点A （﹣3，2），B （1，﹣6）代入y=kx+b 得，326k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得24k b =-⎧⎨=-⎩， 所以，一次函数解析式为y=﹣2x ﹣4；（2）设AB 与x 轴相交于点C ，令﹣2x ﹣4=0解得x=﹣2，所以，点C 的坐标为（﹣2，0），所以，OC=2，S △AOB =S △AOC +S △BOC ，=×2×2+×2×6，=2+6，=1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．25、证明见解析；【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，即可得∠BAD=∠CAE，再由AB ACAD AE=可得AB ADAC AE=，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD∽△ACE．【详解】∵在△ABC和△ADE中，AB BC AC AD DE AE==,∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB AC AD AE=，∴AB AD AC AE=，∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键．26、1【解析】试题分析：首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h=10t﹣5t2的顶点坐标即可．解：h=﹣5t2+10t，=﹣5（t2﹣6t+9）+45，=﹣5（t﹣1）2+45，∵a=﹣5＜0，∴图象的开口向下，有最大值，当t=1时，h最大值=45；即小球抛出1秒后达到最高点．故答案为1．。
陕西省部分学校2025届高三9月联考数学试题及参考答案
陕西省部分学校2025届高三9月联考数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题是全称量词命题的是（）A.2,2>∈∃x R x B.存在一个菱形的四条边不相等C.偶数的平方是偶数D.至少有两个合数小于72.曲线27x x y -=在点()0,1处的切线斜率为（）A.1B.4C.9D.53.已知集合{}*,14N m m x x P ∈==，{}*,41N n n x x Q ∈==，222557-=a ，则（）A.P a ∉且Q a ∈B.P a ∈且Q a ∉C.P a ∈且Qa ∈ D.P a ∉且Q a ∉4.已知函数()()π+=x x f sin ，则（）A.()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增B.曲线()x f y =关于直线2π-=x 对称C.曲线()x f y =关于点⎪⎭⎫⎝⎛02π对称 D.曲线()x f y =关于直线4π=x 对称5.已知0>x ，常数0>m ，则“x m x +的最小值大于4”是“xmx 4+的最小值大于8”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知552sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈02，πθ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ（）A.3B.31-C.3- D.317.大荔冬枣是陕西省渭南市大荔县的特产.大荔冬枣果个大，果实近圆形，果面平整光洁，果皮薄，完整期呈浅黄状赭红色，肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆且味香甜.假设某水果店销售的大荔冬枣的单价y （三位：元/斤）与单果的直径x （单位：mm ）满足关系式bax ey +=，当单果的直径为16mm 时，大荔冬枣的单价为8元/斤；当单果的直径为40mm 时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为24mm 时，大荔冬枣的单价约为（参考数据：08.293≈，44.133≈）（）A.11.5元/斤B.12.5元/斤C.10元/斤D.14元/斤8.若256log 4=a ，97125.0-=b ，2log 63=c ，则（）A.cb a >> B.ca b >> C.ba c >> D.abc >>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知集合()(){}068<-+=x x x A ，{}53+≤≤=m x m x B ，则（）A.当2=m 时，{}78≤<-=x x B A B.当2=m 时，(){}76≤≤=x x A C B R C.当1=m 时，BA ⊆D.当B B A = 时，m 的取值范围是()()∞+-，51,4 10.已知幂函数()x f 的图象经过点()4,2，则函数()()mx mx f x g +=的大致图象可能为（）11.对任意R y x ∈,，函数()()x g x f ,满足()()()()y e y g x g y f x f x+=-++2，则（）A.()()1002=-g f B.()332-+=x e x f x C.()x g 的极小值为0D.()()x g x f y 2-=是奇函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题22,y x y x p ≠≠∀：，则p 的否定是，命题p 是（填入“真”或“假”）命题13.已知函数()()⎩⎨⎧-≥---<+=1,211,1000100x x f x x x f ，则()=-4f ,()=1001f .14.若函数()mx x x x x x f -+=2cos 324sin 2在⎦⎤⎢⎣⎡60π，上恰有3个零点，则m 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知cb a 、、分别是ABC∆内角CB A 、、的对边，且C c A b B b A a sin sin 3sin sin +-=+.（1）求C ；（2）若D 为线段BC 上一点，3=CD ，且ACD ∆的面积为3，求线段AD 的长.16.（本小题满分15分）已知函数()x f 满足()2422x x a x f -=，其中0>a 且1≠a .（1）求()x f 的解析式；（2）若2=a ，求函数()41-=x f y 的定义域；（3）讨论()x f 的值域.17.（本小题满分15分）已知函数()x bx ax x f ln 42-+=.（1）若()11=f ，0>ab ，求ba 41+的最小值；（2）当1=b 时，()3>x f 恒成立，求a 的取值范围.18.（本小题满分17分）已知函数()()()0,0sin 211<<->+=θπωθωx x f ，()()ϕω+=x x g 2cos ，()πϕω<<>0,02的部分图象如图所示.（1）求ϕθωω，，，21；（2）若将()x g 的图象向左平移πθk 个单位长度后，所得图象关于原点对称，证明：13≥k ；（3）若函数()()⎪⎭⎫⎝⎛++=21mx f mx f x h （常数0>m ）在区间[]2,1上是单调函数，求m 的最大值.19.（本小题满分17分）若关于x 的方程01121=+++++-n n n na x a xa x a （3,≥∈n N n ）的系数()1,,2,1+=n i a i 均整数，01≠a ，则称该方程为n 次整系数方程，若该整系数方程存在无理数根，则称该方程为n 次优越方程.若关于x 的方程01121=+++++-n n n n a x a x a x a （3,≥∈n N n ）的系数()1,,2,1+=n i a i 均实数，01≠a ，则称该方程为n 次实系数方程.（1）试问023=--x x x ，0223=--x x x 这两个方程哪个是3次优越方程？说明你的理由；（2）已知4次实系数方程()023622234=----+m mx mx x m x 有4个互不相等的实根，求m 的取值范围；（3）若103sinπ是6次优越方程01246=-++cx bx ax 的一个实根，求c b a ,,的一组值.参考答案一、选择题1.C 解析：“偶数的平方是偶数”是全称量词命题，其余三个命题都是存在量词命题.2.D 解析：x x y 276-='，当1=x 时，5='y .3.A解析：∵()()622241255725572557⨯=-+=-=a ，且2与41均为质数，∴P a ∉且Q a ∈.4.B解析：∵()()x x x f sin sin -=+=π，∴()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递减，曲线()x f y =关于直线2π-=x 对称，不关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，不关于直线4π=x 对称.5.A解析：∵0>x ，常数0>m ，∴m x m x 2≥+，m m m xmx 224424⨯==≥+，∴“x m x +的最小值大于4”是“xmx 4+的最小值大于8”的充要条件6.B解析：∵552sin =⎪⎭⎫⎝⎛-θπ，∴55cos =θ，又∵⎪⎭⎫⎝⎛-∈02，πθ，∴552cos 1sin 2-=--=θθ，∴2cos sin tan -==θθθ，∴31tan 11tan 4tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθπθ.7.A 解析：依题意可得⎪⎩⎪⎨⎧==++2484016ba b a ee ，则3241640==++a b a b a e e e ，∴6143=ae ，则()833244==b ba e ee，∴398=b e ，∴5.1108.22492432424≈≈==+b a ba e e e，故当单果的直径Wie24mm 时，大荔冬枣的单价约为11.5元/斤.8.B解析：∵44log 256log 444===a ，428125.029797====-b ，481log 2log 2log 63633=<==c ，∴c a b >>.二、选择题9.ABD解析：{}68<<-=x x A ，若2=m 时，{}74≤≤=x x B ，∴{}78≤<-=x x B A ，(){}76≤≤=x x A C B R ，故A,B 均正确；当1=m 时，{}62≤≤=x x B ，A ∈0，B ∉0，则B A ⊆不成立，故C 错误；若B B A = ，则A B ⊆，则m m 25<+或⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+->m m m m 256582，∴m 的取值范围是()()∞+-，51,4 ，故D 正确.10.AC解析：设()ax x f =，∵幂函数的图象过点()4,2，∴42=a，解得2=a ，∴()4213222m m x m mx m x x g -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=，022<-m ，故A，C 正确，B，D 错误.11.AC解析：令0==y x ，得()()()()0020000+=-++e f g f f ，得()()1002=-g f ，故A 正确；由题意得()()()()y g y f y x g x f e x2-+-=--恒成立，∴存在常数a ，使得()()a x g x f e x=--，且()()a y g y f y =-+-2.令x y =，得()()()()⎩⎨⎧=-+-=--a x g x f x a x g x f e x 2，解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=3232ax e x g ax e x f xx ，代入检验，符合条件.由()32ax e x f x -+=，得a 未必等于3，B 错误；由()32a x e x g x --=可得()31-='x e x g ，当0<x 时，()0<'x g ；当0>x 时，()0>'x g ，∴()x g 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()x g 在0=x 处取得极小值，故C 正确；()()()()a x ax e a x ex g x f x x+=----+=-32222，当0≠a 时，()()x g x f y 2-=不是奇函数，D 错误.三、填空题12.22y x y x =≠∃，；假解析：命题“22,y x y x ≠≠∀”的否定是“22,y x y x =≠∃”.∵11-≠，()2211-=，∴命题p 是假命题.13.600；700解析：()60010004004=+-=-f .当1-≥x 时，()()12=-+x f x f ，则()()12=++x f x f ，∴()()22+=-x f x f ，∴()()()()25041001241001410011001⨯-==⨯-=-=f f f f ()()700100030031=+-=-==f f .14.()3232+，解析：()()m x x x x f -+=2cos 324sin 2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，上必有1个零点为0，设函数())334sin 24cos 134sin 2cos 324sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=+=πx x x x x x g ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈60π，x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+πππ334x ，()3233sin 20=+=πg .依题意可得()m x g y -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，上有2个异于0的零点，则方程()m x g =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，上有2个异于0的实根，结合()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，上的图象，可得m 的取值范围是()3232+，.四、解答题15.解：（1）∵C c A b B b A a sin sin 3sin sin +-=+，∴2223c ab b a +-=+，∴232cos 222-=-+=ab c b a C ，∵()π，0∈C ，∴65π=C .（2）∵343sin 21==⋅=∆b C b CD S ACD ，∴4=b ，∴3112163cos 2222=++=⋅-+=C CD b b CD AD ，∴31=AD .16.解：（1）法一：令t x =2，得2tx =，则()222422t t t t a a t f -⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯==，∴()2x x a x f -=.法二：∵()()2222422x x x x aa x f --==，∴()2x x ax f -=.（2）若2=a ，则()412412-=--x x x f ，由04122≥--x x ，得2222--≥x x ，则22-≥-x x ，解得21≤≤-x ，∴函数()41-=x f y 的定义域是[]2,1-.（3）设412122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=x x x u ，则u 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41，.当1>a 时，ua y =为增函数，∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎝⎛41,0a .当10<<a 时，u a y =为减函数，∴()x f 的值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41a .17.解：（1）∵()11=f ，∴1=+b a ，又0>ab ，∴0,0>>b a ，∴()9425454141=+≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+baa b b a b a b a ，当且仅当b a a b 4=，即322==a b 时，等号成立，∴ba 41+的最小值为9（2）当1=b 时，()3ln 42>-+=x x ax x f ，则x x x a 3ln 42+->对()+∞∈,0x 恒成立.设函数()xx x x g 3ln 42+-=，则()()2222ln 413ln 424x x x x x x x x x x g -+-=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-='，∵()x x x h ln 412-+-=在()+∞∈,0x 上单调递减，且()01=h ，∴当10<<x 时，()0>x h ，()0>'x g ；当1>x 时，()0<x h ，()0<'x g ，∴()()21max ==g x g ，∴2>a ，即a 的取值范围为()∞+，2.18.（1）解：设()x f ，()x g 得最小正周期分别为21T T ，.由()()θω+=x x f 1sin 2，()()ϕω+=x x g 2cos 可知，()x f ，()x g 的最小值分别为12--，.由图可知，365613213656132321=⎪⎭⎫⎝⎛--==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T T ，，则2211==ωπT ，6222==ωπT ，解得321πωπω==，.由图可知，()x f ，()x g 的图象都经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-065，，则()Z k k ∈=+-11165πθω，()Z k k ∈=+-12265πϕω，∵0<<-θπ，πϕ<<0，∴976πϕπθ=-=.（2）证明：由（1）知6k k =πθ，将()x g 的图象向左平移6k 个单位长度后，得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=6k x g y 的图象，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+97183cos 9763cos 6πππππk x k x k x g ，依题意可得()Z k k k ∈+=+3329718ππππ，则()Z k k k ∈+-=33185，∴13185=+-≥k .（3）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin 26sin 2ππππmx x m x h ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos 26sin 2ππππx m x m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 22ππx m .∵0>m ，∴由[]2,1∈x ，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈+1221212ππππππm m x m ，.∵函数()x h 在区间[]2,1上是单调函数，∴ππππππ≤=⎪⎭⎫⎝⎛+-+m m m 12122，则10≤<m .由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤++≥+ππππππππ4423122212k m k m ，其中Z k ∈4，解得()Z k k m k ∈+≤≤+444212417125，又10≤<m ，∴m 的最大值为2417.19.解：（1）023=--x x x 是3次优越方程，0223=--x x x 不是3次优越方程.理由如下：∵()1223--=--x x x x x x ，()()()2122223-+=--=--x x x x x x x x x ，∴023=--x x x 存在无理数根251±=x ，方程0223=--x x x 不存在无理数根.又方程中各项的系数均为整数，且011≠=a ，∴023=--x x x 是3次优越方程，0223=--x x x 不是3次优越方程.（2）()()()22334223423622362m mx mxx mx x m mx mx x m x +-+-+=----+()()m x x m x --+=2332.由()023622234=----+m mx mx x m x ，得x m 2-=或233x x m -=，令x x x 2323-=-，得0=x 或1或2.设函数()233x x x f -=，则()()23632-=-='x x x x x f ，令()0<'x f ，得20<<x ；令()0>'x f ，得0<x 或2>x ，∴()x f 在()2,0上单调递减，在()()∞+∞-，，，20上单调递增，∴()x f 在0=x 处取得极大值，且极大值为0，()x f 在2=x 处取得极小值，且极小值为4-.∵()21-=f ，∴m 的取值范围是()()0,224--- ，.（3）法一：5cos 52sin 103sin ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，⎪⎭⎫ ⎝⎛-===15cos 25cos 5sin 452cos 52sin 254sin 5sin 2πππππππ.∵05sin >π，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=15cos 25cos 412ππ，∴15cos 45cos 83=-ππ，∴15cos 165cos 645cos 645cos 45cos 824623=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππππ.又103sinπ是6次优越方程01246=-++cx bx ax 的一个实根，∴5cos π是6次优越方程01246=-++cx bx ax 的一个实根，故c b a ,,的一组值可以为16,64,64=-==c b a .法二：5cos 52sin 103sin ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，︒==∠365πBAC ，作ABC ∠的角平分线BD ，可得BDC ABC ∆∆~，设1=BC ，y AB =,则1-=y CD ，则y y 111=-，解得251+=y ，111-=+y y y .取CD 的中点E ，则CD BE ⊥，∴()451121212115cos cos +=-=+=-+===∠y y y y y AB AE BAC π.∴8535cos 2+=π，325378535cos 24+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，64549325378535cos 6+=+⨯+=π.又103sinπ是6次优越方程01246=-++cx bx ax 的一个实根，∴5cos π是6次优越方程01246=-++cx bx ax 的一个实根，∴018533253764549=-+++++c b a ，整理得()()()6458245614549=+++++c b a .∵c b a ,,均为整数，∴⎩⎨⎧=++=++08646424149c b a c b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=12161643a c a b .又∵c b a ,,均为整数，01≠a ，∴12,1612,16+=--==k c k b k a ，其中Z k ∈且0≠k .注：本题第（3）问的答案不唯一，只要c b a ,,满足12,1612,16+=--==k c k b k a 即可.。
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陕西省第九次大学生高等数学竞赛复赛试题
（ 且 １ １ ５ 分） ″（ ｘ）连续 ， 设ｆ π）＝ ２， ｆ（ ］ ｘ） ″（ ｘ） ｓ ｉ ｎ ｘｄ ｘ ＝ ６， ＋ｆ ｆ（ ∫［
０
（ 使得 ８ １ ０ 分） ｂ 的值 ， 求 ａ，
π
ａ ｘ ＋ｂ ≥ｌ ｎ ｘ，
且积分
４
） 求 ｆ（ ０ ．
（ 设ｒ 是ｘ Ｏ θ） ｙ 平面上的与ｘ 轴正向夹角 为θ 的单位向量 ． 质点 Ｍ 在变力
２ ｝ Ｆ＝ ｛ ｘ ｚ， ２ ｚ ｚ， ｙ
的作用下 ， 在曲面 Σ 上从原点出发 ， 沿方 （ （ 向ｒ 运动到ｚ ＝１的位置 ０≤θ≤π） θ） 上． 问θ取何值时 ， 变力 Ｆ 所作的功 Ｗ 最 小？ 并求此 Ｗ 的最小值 ． （ 且 １ ２ １ ０ 分 ） 设 ｆ（ ｘ）三阶可导 ， ）＝－１ １ ｆ（ 是其极小值 ， 而 ）＝ ３ －１ ｆ（ ） ， 是其极大值 ． 证明存在ξ ∈ （ 使 １ －１，
０ １ ０ １
ｘ）＝ ｙ（
是微分方程
∑ａｘ
ｎ ｎ＝０
ｎ
∫ ） （ ２ ｘ） ｄ ｄ ｆ（ ｆ（ ｙ） ｙ． ∫ｘ ∫
ｘ
２ ２ ｚ ＝４ ｘ ３ ｘ Σ： ＋２ ｙ， ｙ ＋２ 槡
（ １ １ １ ０ 分 ） 给定椭圆抛物面
ｘ ″＋ｙ ′－ｙ ＝ ０ ｙ
的满足初始条件 ）＝ ｙ ）＝ １ ０ ′（ ０ ｙ（ 的解 ， 求此幂级数 ． （ ６ １ ５ 分） 已知
ｙ） ｙ ｘ， １＋ｅ ｃ ｏ ｓ ｘ －ｙ ｅ ｆ（ ｙ）＝ （
（ ） ２ ｋ－１ π π ． ２ ｌ ｉ ｍ ｎ １－ ∑ｓ ｉ ｎ ｎ→ ∞ ２ ｎｋ＝１ ４ ｎ
ｎ
（
）
（ ］上连续且单调增 ， 且 １ ０ １ ０ 分 ） 设 ｆ（ ｘ）在 ［ ０， １ ）＝ １， ）＝ ２， ０ １ ｆ（ ｆ（
２
的极大值点与极小值点及相应的极值 ． （ ４ １ ５ 分） 将函数
ｆ ∫
１
１ －
２ （ ｘ） ｄ ｘ＝ ， ３
ｘ）＝ ｓ ｎ（ ｃ ｏ ｓ ｘ） ｇ Nhomakorabeaｆ（展开成傅立叶级数 ． （ ５ １ ５ 分） 设幂级数
∞
其中 ｆ－１（ 求 ｘ）是 ｆ（ ｘ）的反函数 ．
１
（ ） １ ｘ） ｄ ｘ， ｆ（
（ ｆ ξ）＝ ６．
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ｘ， ０ ≤ ｘ ≤ １， 烄 ｘ）＝ 烅 ｆ（ ０， 其它 ． 烆
１， ０ ≤ ｘ ≤ １， 烄 ｘ）＝ 烅 ｇ（ ０， 其它 ． 烆 试求
＋∞ －∞
Ｆ（ ｘ）＝
） ｔ－ｘ） ｔ ｄ ｔ ． ｇ（ ∫ ｆ（
２
（ ７ １ ０ 分） 求解微分方程 （ ′） ＋ｘ ′－ｙ ＝ ０． ｙ ｙ
π （ ２ １ ５ 分） 设 三 维 非 零 向 量 ａ 与ｂ 的 夹 角 为 ， ３
且｜ 求 ｂ｜＝ １，
Ｉ（ ａ， ｂ）＝
取得最小值 ． （ ９ １ ０ 分） 求极限
ａ ｘ ＋ｂ－ｌ ｎ ｘ） ｄ ｘ ∫（
２
ａ ｘ ｂ － ａ｜ ｜ ｌ ｉ ｍ｜ ＋ ｜ ． ｘ→０ ｘ
（ ３ １ ５ 分） 求函数