北京101中学10月高一数学试题

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北京海淀区北京一零一中学2020-2021学年高一10月月考数学试卷(解析版)

【详解】 ,又，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，选A.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则 ”、“若则 ” 真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非， ⇒ 与非 ⇒非， ⇔ 与非 ⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
对于B，因为，，所以，所以B错误，
对于C，因为是数集，是点集，所以，所以C错误，
对于D，因为，，所以，所以D正确，
故选：D
5.已知函数为奇函数，且当时，，则（）．
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可得，再由已知的解析式求出可得答案
【详解】因为当时，，所以，
【答案】A
【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性求函数的值域即可
【详解】任取，且，则
，
当，且时，，，所以，即，
当，且时，，，所以，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
所以在上的值域为
故选：A
9.已知，，，为实数，且，则“ ”是“ ”的（）
【分析】（1）利用补集的定义直接求解即可，
（2）由，可得，从而可求得的值
【详解】（1）因为为全集，集合，
所以或，
（2）因为集合，集合，，
所以，且，
解得
18.已知，，且，求的取值范围．
【答案】
【分析】首先分别对集合A和集合求解，然后利用交运算即可求解.
【详解】由题意，，

北京101中学2022-2023学年高一数学第一学期期末监测试题含解析

则有，又由为奇函数，则，
则有，即，即函数是周期为4的周期函数，
所以，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由图象得到，且，得到，结合五点法，列出方程求得，即可得到函数的解析式；
（2）由题意，求得，，结合利用两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由题意，“ ”是“ ”的充分不必要条件
故
故
故选：B
5、C
【解析】先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离.
【详解】
弓形所在的扇形如图所示，则的长度为，
故扇形的圆心角为，故 .
故选：C.
6、B
【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解，得到答案.
D选项：，排除；
根据图像知
选项：，排除；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键.
8、D
【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，b⊂α，∴a、b没有公共点，
∴a、b平行或异面．
故选D
9、D
【解析】写出与角终边相同的角的集合，即可得出结论.
【详解】与角终边相同角的集合为，
9．与角的终边相同的最小正角是（）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，在R上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，，则向量在方向上的投影为___________.
12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦的长是，则弧田的弧长为________；弧田的面积是________.

【数学】北京市101中学高三10月统练试卷(5)(理) (解析版)

北京市101中学高三10月数学（理）统练试卷（5）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -1【答案】D【解析】设，得到：+∴，且解得：故选：D2.已知为等差数列，为其前n项和，若，则（）A. 17B. 14C. 13D. 3【答案】A【解析】根据等差数列的前n项和公式求出公差d，再利用通项公式求。

设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，，解得，，所以，故答案选A。

【点睛】本题考查等差数列的通式公式及前n项和公式，关键是掌握两个公式，准确进行基本量计算，属于基础题。

3.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充要条件的定义进行判断即可。

由得，，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“”是“”的充要条件。

答案选C。

4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为结果得到函数已知，可以逆向思考，反向得到函数的图像，确定相等关系。

【详解】由题意知，，其图像向左平移a个单位得到函数，而函数，所以有，取得。

答案选C。

5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有（）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案】C【解析】可以分两步进行：（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，即可得到答案。

（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，不同的分配方法有种。

北京市一零一中学2017年10月2017～2018学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用

北京一零一中2017年10月2017～2018学年度度第一学期数学期中考试一、选择题1.设全集＝R,M＝{0,1,2,3},N＝{－1,0,1},则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{1}B.{－1}C.{0}D.{0,1}【参考答案】B【试题解析】由图可知阴影部分中的元素属于,但不属于,故图中阴影部分所表示的集合为,由,,得,故选B.2.下列函数中与具有相同图象的一个函数是( ).A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】对于A,与函数的定义域不同,所以函数图像不同；对于B,与函数的对应关系不同,值域不同,所以函数图象不同；对于C,与函数的定义域不同,所以函数图像不同；对于D,与函数的定义域相同,对应关系也相同,所以函数图象相同,故选D.点睛:本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数,属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数,值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.3.已知为奇函数,当时,,则在上是( )A.增函数,最小值为B.增函数,最大值为C.减函数,最小值为D.减函数,最大值为【参考答案】C【试题解析】试题分析:,图像为开口向下对称轴为的抛物线,所以时在上单调递减.因为位奇函数图像关于原点对称,所以函数在也单调递减.所以在上,.故C正确.考点:1函数的奇偶性；2二次函数的单调性.4.已知函数,则的值等于( ).A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】将代入函数第二段表达式,得到,再代入第二段表达式后得到,此时代入第一段就可以求得函数值.【试题解答】依题意,故选D.本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后,还是无法求得函数值,要继续再代入两次才可以.属于基础题.5.若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2,则函数g(x)＝bx2－ax的图象可能是( )A. B.C. D.【参考答案】C【试题解析】∵一次函数有一个零点2,∴,即；则,令可得和,即函数图象与轴交点的横坐标为0,,故对应的图象可能为C,故选C.6.已知函数y＝(),则其单调增区间是( )A.(－,0]B.(－,－1]C.[－1,＋)D.[－2,＋)【参考答案】B【试题解析】函数可以看作是由和两者复合而成,为减函数,的减区间为,根据“同增异减”的法则可得函数的单调增区间为,故选B.点睛:本题主要考查了复合函数的单调性,属于基础题；寻找函数是由哪两个初等函数复合而成是基础,充分理解“同增异减”的意义是关键,同时需注意当和类似于对数函数等相结合时,要保证单调区间一定在定义域内.7.已知函数,则函数的零点个数为( ).A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】画出函数图像,通过观察与图像的交点个数,得到函数的零点个数. 【试题解答】画出和的图像如下图所示,由图可知,两个函数图像有个交点,故函数有两个零点.所以选A.本小题主要考查分段函数图像的画法,考查函数的零点问题,将函数零点的问题转化为两个函数图像的交点来解决.8.定义在上的函数满足,,,且当时,,则等于( ).A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】∵,,令得:,又,∴当时,；令,由得:；同理可求:；；①,再令,由,可求得,∴,解得,令,同理反复利用,可得；；…②,由①②可得:有,∵时,而,所以有,；故,故选B.点睛:本题考查抽象函数及其应用,难点在于利用,,两次赋值后都反复应用,分别得到关系式两个关系式,结合时,从而使问题解决,实际上是两边夹定理的应用,属于难题.二、填空题9.计算:__________.【参考答案】【试题解析】原式,故答案为.10.已知集合,,则__________.【参考答案】【试题解析】由,得,,则,故答案为.11.已知函数的定义域是,则的定义域是__________.【参考答案】【试题解析】∵函数的定义域为,∴,解得,即函数的定义域为,故答案为.点睛:本题主要考查了抽象函数的定义域,属于基础题；已知的定义域,求的定义域,其解法是:若的定义域为,则中,从中解得的取值范围即为的定义域.12.函数的值域为,则实数a的取值范围是______. 【参考答案】.【试题解析】∵函数的值域为,∴,解得或,则实数a的取值范围是,故答案为.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时,f(x)＝6－x,则f(919)＝________.【参考答案】6【试题解析】先求函数周期,再根据周期以及偶函数性质化简,再代入求值.【试题解答】由f(x＋4)＝f(x－2)可知,是周期函数,且,所以.本题考查函数周期及其应用,考查基本求解能力.14.某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中,所有正确结论的序号是 .【参考答案】①④【试题解析】试题分析:∵食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.∴24k＋6＝16,即4k＋6＝4,解得:k＝﹣,∴,当x＝6时,t＝8,故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时,正确；②当x∈[﹣6,0]时,保鲜时间恒为64小时,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t 随看x增大而逐渐减少,故错误；③到了此日10时,温度超过8度,此时保鲜时间不超过4小时,故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故错误；④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故正确,故正确的结论的序号为:①④,故答案为:①④.考点:命题的真假判断与应用.三、解答题15.已知集合,,且,,求实数,,的值及集合,.【参考答案】【试题解析】试题分析:由,所以,,代入方程可得和集合A,再由,可得集合B,运用韦达定理即可得到所求,的值.试题解析:因为,且,所以,解得；又,所以,又,,所以,解得,,所以.16.已知是定义在上的奇函数.()若,求,的值.()若是函数的一个零点,求函数在区间上的值域.【参考答案】(1)1；(2)【试题解析】试题分析:(1)由奇函数的定义可得,即可解出的值,将代入解析式即可得到的值；(2)将代入可得的值,化简可得函数,由和的单调性可得函数的单调性,故而可得函数的值域.试题解析:(1)由题意,,所以,所以,因为,所以＝3,所以。

北京中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析

1 4
三、解答题（本大题共 4 小题，共 45 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知全集U R ，集合 A {x R | 2x 1 1} ，集合 B {x R | 1 x 2} ．
（1）求集合 A B 及 (ðU A) B ；
（2）若集合 C {x R | a x 2a, a 0} ，且 C B ，求实数 a 的取值范围．【答案】（1） A B (1,1] ， ðU A B (1, ) ；
故选：D
8.
设集合 M
x | x
k 3
1 6
,
k
Z
,
N
x | x k 61 3,k
Z
，则（
）
A. M = N
B. M N
C. N M
D. M N
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合 M , N 的表达式，可求出集合 M 是 1 的奇数倍， N 是 1 的整数倍，即可得出 M , N 的关
由 B (1, 2]，所以 A B (1,1] ， ðU A B (1, ) ．
3x y 2 11. 方程组 2x 3y 27 的解集用列举法表示为______________.
【答案】3, 7
【解析】
【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对 a, b 的形式表示
元素）.
3x y 2
x 3
【详解】因为
2
x
3
y
27
，所以
对于 C.原式 x 2 x 3 ，符合题意；
对于 D.原式 x 2 42 x 2 2 ，不符合题意.
故选：C.
4. 若集合 A {x∣x 3}, B x∣x 2n 1, n Z ，则 A B （）

2023-2024学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ≤1}，则A ∩B ＝（） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．设命题p ：∃x ∈Z ，x 2≥2x +1，则p 的否定为（） A ．∀x ∉Z ，x 2＜2x +1 B ．∀x ∈Z ，x 2＜2x +1 C ．∃x ∉Z ，x 2＜2x +1D ．∃x ∈Z ，x 2＜2x +13．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（） A ．f （x ）＝3﹣x B ．f （x ）＝x 2﹣3x C ．f （x ）=−1x+1D ．f （x ）＝﹣|x |4．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则一定有（） A ．ac＞bdB ．a d＜bcC ．a c＜bdD ．a d＞bc5．定义在R 上的函数f （x ）在（﹣∞，2）上是单调增函数，且f （x +2）＝f （2﹣x ）对任意x ∈R 恒成立，则（）A ．f （﹣1）＜f （3）B ．f （﹣1）＝f （3）C ．f （0）＞f （3）D ．f （0）＝f （3）6．若函数f(x)={3−x 2−1≤x ≤2x −32＜x ≤5，则方程f （x ）＝1的解是（）A ．√2或2B ．√2或3C ．√2或4D ．±√2或47．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +m4=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1+1x 2=4m ，则m 的值是（） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在8．已知a ＞0，且关于x 的不等式x 2﹣2x +a ＜0的解集为（m ，n ），则1m+4n的最小值为（）A ．92B ．4C ．72D ．29．已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，不等式a 1x +b 1＜0与不等式a 2x +b 2＜0的解集分别为集合M 和集合N ，那么“a 1a 2=b 1b 2”是“M ＝N ”的（）A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件10．已知f （x ）＝x 2﹣2kx +3k 2﹣3k +1（k ∈R ）．以下四个命题： ①对任意实数x ，存在k ，使得f （x ）＞0； ②对任意k ，存在实数x ，使得f （x ）＞0； ③对任意实数k ，x ，均有f （x ）＞0成立； ④对任意实数k ，x ，均有f （x ）＜0成立．其中所有正确的命题是（） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年北京市101中学高三(上)10月月考数学试卷

2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a2-2}.若A∩B={-1.2}.则a的值为（）A.-2或1B.0或1C.-2或-1D.0或-22.（单选题.3分）已知向量a⃗ =（1.-2）. b⃗⃗ =（m.4）.且a⃗ || b⃗⃗ .那么2 a⃗ - b⃗⃗等于（）A.（4.0）B.（0.4）C.（4.-8）D.（-4.8）3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √334.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-35.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数6.（单选题.3分）在△ABC 中.“cosA ＜cosB”是“sinA ＞sinB”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题.3分）设x 1.x 2.x 3均为实数.且 (13)x 1=log 2（x 1+1）. (13)x 2=log 3x 2. (13)x 3=log 2x 3.则（） A.x 1＜x 3＜x 2 B.x 3＜x 2＜x 1 C.x 3＜x 1＜x 2 D.x 3＜x 1＜x 28.（单选题.3分）设函数f （x ）=sin （ωx+ π5 ）（ω＞0）.已知f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f （x ）在（0.2π）有且仅有3个极大值点； ② f （x ）在（0.2π）有且仅有2个极小值点； ③ f （x ）在（0. π10 ）单调递增； ④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）．其中所有正确结论的编号是（） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A 0.A 1.A 2.B 1.B 2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列.其中An （n∈N .n≤8）系列的幅面规格为：① A 0.A 1.A 2.….A 8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为 x ：y =1：√2 ；② 将A 0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 1规格.A 1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 2规格.….如此对开至A 8规格．现有A 0.A 1.A 2.….A 8纸各一张．若A 4纸的宽度为2dm.则A 0纸的面积为___ dm 2；这9张纸的面积之和等于___ dm 2．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）= {k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2，其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n }中.a 3=6.a 5+a 8=26．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n =2a n +n .求数列{b n }的前n 项和S n ．16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ．（Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．17.（问答题.0分）已知函数 f (x )=cos2x √2sin(x+π4)+2sinx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及其单调增区间；（Ⅱ）当 x ∈[π2，2π3] 时.对任意t∈R .不等式mt 2-mt+2≥f （x ）恒成立.求实数m 的取值范围．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0＜a＜3时.记f（x）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．垂直.求a的值；（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.若A∩B={-1.2}.则a 的值为（） A.-2或1 B.0或1 C.-2或-1 D.0或-2【正确答案】：A【解析】：由交集定义得到 {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 .由此能求出a 的值．【解答】：解：∵集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.A∩B={-1.2}. ∴ {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 . 解得a=-2或a=1．故选：A ．【点评】：本题考查a 的值的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意交集定义的合理运用． 2.（单选题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .那么2 a ⃗ - b ⃗⃗ 等于（） A.（4.0） B.（0.4） C.（4.-8） D.（-4.8）【正确答案】：C【解析】：向量是以坐标形式给出的.首先运用共线向量基本定理求出m.然后运用向量的数乘运算和向量的减法运算求解．【解答】：解：由向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .所以.1×4-m×（-2）=0.所以m=-2．则 b ⃗⃗=(−2，4) .所以 2a ⃗−b⃗⃗=2(1，−2)−(−2，4)=(4，−8) ．故选：C．【点评】：本题考查了向量共线的条件.已知向量a⃗=(x1，y1) .向量b⃗⃗=(x2，y2) .则a⃗∥b⃗⃗⇔x1y2-x2y1=0．3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √33【正确答案】：B【解析】：直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】：解：已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .则：sinα=√2√3=−√63．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题题型．4.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-3【正确答案】：D【解析】：首先利用关系式的变换.构造新数列.进一步求出数列的通项公式.最后确定结果．【解答】：解：数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.所以a n+1+3=2（a n+3）.即a n+1+3a n+3=2（常数）.所以数列{a n+3}是以a1+3=4为首项.2为公比的等比数列．所以a n+3=4×2n−1 .整理得a n=2n+1−3 .所以a101=2102−3．故选：D．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式.构造新数列.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．5.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数【正确答案】：C【解析】：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.考察四个选项.本题要研究函数的奇偶性.故对所给的x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】：解：∵对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.∴令x1=x2=0.得f（0）=-1∴令x1=x.x2=-x.得f（0）=f（x）+f（-x）+1.∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1].∴f（x）+1为奇函数．故选：C．【点评】：本题考查函数的性质和应用.解题时要认真审题.仔细解答．6.（单选题.3分）在△ABC中.“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.得出答案．【解答】：解：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.故“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的充要条件.故选：C．【点评】：本题考查四个条件的判断.并考查了解三角形问题.属于基础题．7.（单选题.3分）设x1.x2.x3均为实数.且(13)x1=log2（x1+1）. (13)x2=log3x2. (13)x3=log2x3.则（）A.x1＜x3＜x2B.x3＜x2＜x1C.x3＜x1＜x2D.x3＜x1＜x2【正确答案】：A【解析】：利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象.即可得出结论．【解答】：解：如图所示.由图象可知：x1＜x3＜x2．故选：A．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质.属于基础题．8.（单选题.3分）设函数f（x）=sin（ωx+ π5）（ω＞0）.已知f（x）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f（x）在（0.2π）有且仅有3个极大值点；② f（x）在（0.2π）有且仅有2个极小值点；③ f（x）在（0. π10）单调递增；④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）．其中所有正确结论的编号是（） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象.可判断 ① 和 ② .根据f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点.可得5π≤2πω+ π5 ＜6π.解出ω.然后判断 ③ 是否正确即可得到答案．【解答】：解：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象如图.其中 m ⩽2π＜n. 显然 ① 正确. ② 错误；当x∈[0.2π]时.ωx+ π5∈[ π5.2πω+ π5]. ∵f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点. ∴5π≤2πω+ π5 ＜6π. ∴ 125≤ω＜2910 .故 ④ 正确.因此由选项可知只需判断 ③ 是否正确即可得到答案. 下面判断 ③ 是否正确. 当x∈（0. π10 ）时.ωx+ π5 ∈[ π5 .(ω+2)π10]. 若f （x ）在（0. π10 ）单调递增. 则 (ω+2)π10＜π2.即ω＜3.∵125≤ω＜2910.故 ③ 正确．故选：D ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质.关键是数形结合的应用.属中档题． 9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：设z=a+bi （a.b∈R ）.代入z 2=-3.由复数相等的条件列式求得a.b 的值得答案．【解答】：解：由z+ 3z=0. 得z 2=-3.设z=a+bi （a.b∈R ）.由z 2=-3.得（a+bi ）2=a 2-b 2+2abi=-3.即 {a 2−b 2=−32ab =0.解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ．则|z|= √3 ．故答案为： √3 ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数相等的条件以及复数模的求法.是基础题．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ．【正确答案】：[1] π12【解析】：由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式.再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数图象的对称性.得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12cos2x= √32sin2x+ 12cos2x=sin （2x+ π6）. 若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后.可得y=sin （2x-2φ+ π6 ）的图象. 根据所得的图象关于原点对称.可得-2φ+ π6 =kπ.k∈Z . 则φ的最小值为 π12. 故答案为： π12 ．【点评】：本题主要考查三角恒等变换.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的图象的对称性.属于中档题．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ．【正确答案】：[1]3n ＞n 2-1（答案不唯一）【解析】：设f（n）=a n-n2+1.令f（n）单调递增.且f（1）＞0即可找出a满足的条件得出答案．【解答】：解：不妨将不等式变为a n＞n2-1.令f（n）=a n-n2+1（n∈N*）.则f′（n）=a n lna-2n.显然当a＞e时.f′（n）＞e n-2n.再令g（n）=e n-2n（n∈N*）.则g′（n）=e n-2≥e-2＞0.∴g（n）单调递增.故g（n）≥g（1）=e-2＞0.即f′（n）＞0.∴f（n）单调递增.故f（n）≥f（1）=a＞0.∴当a＞e时.a n＞n2-1恒成立.故答案为：3n＞n2-1（答案不唯一）．【点评】：本题考查函数单调性与最值.导数与函数恒成立问题.属于中档题．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A0.A1.A2.B1.B2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列.其中An（n∈N.n≤8）系列的幅面规格为：① A0.A1.A2.….A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为x：y=1：√2；② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A2规格.….如此对开至A8规格．现有A0.A1.A2.….A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm.则A0纸的面积为___ dm2；这9张纸的面积之和等于___ dm2．【正确答案】：[1]64 √2 ; [2] 511√24【解析】：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由题意可得y4=2 √2 .再由等比数列的通项公式和面积公式.以及求和公式.即可得到所求值．【解答】：解：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由A4纸的宽度为2dm.且纸张的幅宽和长度的比例关系都为x：y=1：√2 .可得y4=2 √2 .由题意可得y0=2 √2•24=32 √2 .即有A0纸的面积为32 √2 ×2=64 √2 dm2；由A0.A1.A2.….A8纸9张纸的面积构成一个以64 √2为首项. 12为公比的等比数列.可得这9张纸的面积之和为64√2(1−129)1−2= 511√24dm2．故答案为：64 √2 . 511√24．【点评】：本题考查数列模型的应用题的解法.考查等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：设 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .根据三点共线得出a+b= 1λ.从而得出答案．【解答】：解：设 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λa OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λb OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵A .B.Q 三点共线.∴λa+λb=1. ∴a+b= 1λ .∵Q 在圆外.∴λ＞1.∴0＜ 1λ ＜1. 即0＜a+b ＜1．故答案为：（0.1）．【点评】：本题考查了平面向量的基本定理.向量的共线定理.属于基础题．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）={k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2，其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][ 13 . √24 ）【解析】：由已知函数解析式结合周期性作出图象.数形结合得答案．【解答】：解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图.由图可知.函数f（x）与g（x）=- 12（1＜x≤2.3＜x≤4.5＜x≤6.7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则f（x）= √1−(x−1)2 .x∈（0.2]与g（x）=k（x+2）.x∈（0.1]的图象有2个不同交点.由（1.0）到直线kx-y+2k=0的距离为1.√k2+1=1 .解得k= √24（k＞0）.∵两点（-2.0）.（1.1）连线的斜率k= 13.∴ 1 3≤k＜√24．即k的取值范围为[ 13 . √24）．故答案为：[ 13 . √24）．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查分段函数的应用.体现了数形结合的解题思想方法.是中档题．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n}中.a3=6.a5+a8=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2a n+n .求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差.然后求解数列的通项公式．（Ⅱ）化简数列的通项公式.利用等差数列以及等比数列求和公式求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1.公差为d.则 {a 1+2d =6a 1+4d +a 1+7d =26解得 {a 1=2d =2．所以a n =a 1+（n-1）d=2n ． …（7分）（Ⅱ）由（I ）可得 b n =22n +n =4n +n . 所以 s n =4(1−4n )1−4+n (1+n )2=4n+1−43+n+n 22． …（13分）【点评】：本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用.考查计算能力． 16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ．（Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由正弦定理.同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanA =√3 .结合范围 0＜A ＜π2 .可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理可得c 2-5c+4=0.解得c 的值．【解答】：（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中.由正弦定理 a sinA =bsinB .……（2分）得asinB=bsinA ．又 asinB =√3bcosA .得 tanA =√3 ．……（4分）由于 0＜A ＜π2 .所以 A =π3．……（6分）（Ⅱ） a =√21 .b=5. A =π3.在△ABC 中.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA.……（7分）得 21=52+c 2−2•5•c •12 .即c 2-5c+4=0. 解得c=1.或c=4．……（11分）当c=1时. cosB =2√21)222•1•√210 ．此时.△ABC为钝角三角形.舍去．经检验.c=4满足题意．……（13分）【点评】：本题主要考查了正弦定理.同角三角函数基本关系式.余弦定理在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．17.（问答题.0分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)+2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间；（Ⅱ）当x∈[π2，2π3]时.对任意t∈R.不等式mt2-mt+2≥f（x）恒成立.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）化简f（x）解析式.根据正弦函数的性质求出单调区间和周期；（II）求出f（x）的最大值.转化为二次函数恒成立问题解决．【解答】：解：（I）f(x)=√2sin(x+π4)2sinx =√2(√22sinx+√22cosx)+2sinx = (cos2x−sin2x)sinx+cosx+2sinx =sinx+cosx= √2sin(x+π4) .函数f（x）的定义域为{x|x≠−π4+kπ，k∈Z} .周期T=2π|ω|=2π1=2π .令−π2+2kπ≤x+π4＜2kπ .解得：−3π4+2kπ≤x＜−π4+2kπ .令2kπ＜x+π4≤π2+2kπ .解得：−π4+2kπ＜x≤π4+2kπ .所以f（x）的递增区间为[−3π4+2kπ，−π4+2kπ)，(−π4+2kπ，π4+2kπ](k∈Z)．（Ⅱ）∵ x∈[π2，2π3] .∴x+ π4∈[ 3π4. 11π12].∴当x=π2时.f（x）取得最大值1.所以mt2-mt+2≥1恒成立.即mt2-mt+1≥0恒成立.① 当m=0时.显然成立；② 当m≠0时.若对于t∈R.不等式mt2-mt+1≥0恒成立. 只需△=m2-4m≤0成立.且m＞0即可.解得：0＜m≤4.综上.m 的取值范围是0≤m≤4．【点评】：本题考查了三角恒等变换.正弦函数的性质.函数恒成立问题.属于中档题． 18.（问答题.0分）已知函数f （x ）=2x 3-ax 2+2．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当0＜a ＜3时.记f （x ）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出原函数的导函数.得到导函数的零点.对a 分类求解原函数的单调性；（2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a3 ）上单调递减.在（ a3 .1）上单调递增.求得f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．得到M-m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3.分类求得函数值域.可得M-m 的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x ）=6x 2-2ax=2x （3x-a ）. 令f′（x ）=0.得x=0或x= a 3 ．若a ＞0.则当x∈（-∞.0）∪（ a 3，+∞ ）时.f′（x ）＞0；当x∈（0. a 3）时.f′（x ）＜0．故f （x ）在（-∞.0）.（ a3，+∞ ）上单调递增.在（0. a3 ）上单调递减；若a=0.f （x ）在（-∞.+∞）上单调递增；若a ＜0.则当x∈（-∞. a3 ）∪（0.+∞）时.f′（x ）＞0；当x∈（ a3 .0）时.f′（x ）＜0．故f （x ）在（-∞. a3 ）.（0.+∞）上单调递增.在（ a3 .0）上单调递减；（2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a 3）上单调递减.在（ a 3.1）上单调递增.∴f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．于是.m= −a 327 +2.M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．∴M -m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3 ．当0＜a＜2时.可知2-a+ a 327单调递减.∴M-m的取值范围是（827，2）；当2≤a＜3时. a 327单调递增.∴M-m的取值范围是[ 827.1）．综上.M-m的取值范围[ 827.2）．【点评】：本题主要考查导数的运算.运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查分类讨论的数学思想方法.属难题．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.求a的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.列出方程即可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x +lnx) .求出导函数.构造函数设ℎ (x)=a+2x−1x2+lnx利用函数的导数判断导函数的单调性以及函数的符号.求解函数的极值.转化求解即可．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f′(x)=e x•(a+lnx)+e x•1x =e x•(a+1x+lnx)．[（2分）]依题意.有 f'（1）=e•（a+1）=e.[（3分）] 解得a=0．[（4分）]（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x+lnx) .所以g′(x)=e x•(a+1x +lnx)+e x•(1x−1x2)=e x•(a+2x−1x2+lnx)．[（6分）]因为e x＞0.所以g'（x）与a+2x −1x2+lnx同号．设ℎ (x)=a+2x −1x2+lnx .[（7分）]则ℎ′(x)=x 2−2x+2x3=(x−1)2+1x3．所以对任意x∈（0.+∞）.有h'（x）＞0.故h（x）在（0.+∞）单调递增．[（8分）]因为a∈（0.ln2）.所以h（1）=a+1＞0. ℎ(12)=a+ln12＜0 .故存在x0∈(12，1) .使得h（x0）=0．[（10分）]g（x）与g'（x）在区间(12，1)上的情况如下：所以g（x）在区间(2， x0)上单调递减.在区间（x0.1）上单调递增．所以若a∈（0.ln2）.存在x0∈(12，1) .使得x0是g（x）的极小值点．[（11分）]令h（x0）=0.得a+lnx0=1−2x0x02.所以f(x0)=e x0•(a+lnx0)=e x0•1−2x0x02＜0．[（13分）]【点评】：本题考查函数的导数的应用.切线方程以及函数的极值的求法.函数的单调性的判断.考查转化思想以及构造法的应用.考查计算能力．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用定义性数列的应用求出数列的各项；（2）利用构造关系式的变换.假设法的应用求出结果；（3）利用定义性数列的应用求出结果．【解答】：解：（1）a4=2a2=4.a2=2.由于a2＜a3＜a4.所以a3=3.a54=2a32=4a15=8a8=16a4=64.a128=2a54=128.由题意可知：a54＜a55＜…＜a101＜a102＜…＜a127＜a128.且n∈N+.整理得a101=101．（2）数列为“跳级数列”.∀n∈N*.a n+1-a n为正整数.记s=min{a n+1-a n|n∈N*}.可知s∈N*.且p＞s≥a2-a1=a1．记m∈{n∈N*|s=a n+1-a n）.对于质数p.必存在k.使得2k＞p（k∈N*）．反复应用a2n=2a n.得a2k(m+1)−a2k m=2(a2(k−1)(m+1)−a2(k−1)m)=⋯=2k−1(a2(m+1)−a2m)=2k s另一方面.因为对于满足2k m≤n≤2k（m+1）-1的任意n.均有a n+1-a n≥s．所以对于所有2k m≤n≤2k（m+1）-1.都有a n+1-a n=s（利用迭加）．这表明.数列a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k(m+1)是以s为公差的等差数列．假设对于整数对（i.j）（0≤i＜j≤p-1）.均有a2k m+j - a2k m+i是质数p的整数倍.即a2k m+j - a2k m+i =（j-i）s必为p的整数倍.0＜j-i＜p.且0＜s≤a2-a1=a1＜p同时成立.知这与p为质数矛盾．由此可知. a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k m+p−1除以p所得余数互不相同．（构造一个p的完全剩余系）所以必有一个是p的倍数．（3）对于正整数n.设k n为非负整数.且满足2k n≤n＜2k n+1 .则：2k n≤2n＜2k n+1×2 .即2k n+1≤2n＜2k n+2．根据定义有2k2n≤2n＜2k2n+1 .由k n≤k n+1.且k2n=k n+1.令a n=np+ 2k n .则a2n=2np+ 2k2n =2np+ 2k n+1 = 2(np+2k n) =2a n.则显然{a n}为跳级数列.又p为奇质数.于是2k n不为p的倍数.因此a n也不为p的倍数．【点评】：本题考查的知识要点：构造关系式的变换.假设法的应用.定义性数列的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．。

2025届北京市一零一中学高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

2
【详解】由 k
2
x 4
k
2
k Z
，可得 k
3 4
x
k
4
k Z ，所以函数
y
tan
x
4
的单
调递增区间为
k
3
Z
，
故选 C.
3、C
【解析】根据指数函数的性质判断 A ，利用特殊值判断 B ，利用对数函数的性质判断 C ，利用偶函数的性质判断 D
【详解】对于 A ， f x (101)x ，是指数函数，在整个定义域内单调递增，不符合题意；
D.{0,3, 4}
10．下列说法正确的有（）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
4．已知向量 a 1, m，b 3, 1 ，且 (2a b ) b ，则 m
A. 4
B. 2
C. 2
D. 4
5．设集合 A 1, 2， B{2, 3， 4} ，则正确的是 ( )
A. A B {1, 3， 4}
B. A B {2, 3， 4}
C. 1 A
D.1 A
6．已知函数
f
x
(a 1)x2 ax ax1, (x 1)
3a, (x
1)
是定义域上的递减函数，则实数
a
的取值范围是（
）
A.
2 5
,1
B.
0,
2 5

北京市第一零一中学2024届高三上学期10月月考数学试题(含解析)

北京—零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C.D. 3. 已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则是（）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形4. 复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B.C. D.5. 已知，则下列不等式正确的是（）A.B. C. D. 6. 如图，在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（）A. －4B. －1C. 1D. 47. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的.{}21012M =--，，，，2{|60}N x x x =--≥M N ⋂={}2101--，，，{}012，，{}2-{}2(0,)+∞3y x =29y x =-y x =1y x=ABC cos cos cos a b cA B C==ABC cos isin z αα=+2z α0π4π3π20a b c <<<b aa b>22a c >()()log log c c a b ->-1122ac⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC 14AN NC = P BN 25AP mAB AC =+m {}n a q n n S 1q >1012112+>S S SA 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 如图，在曲柄绕C 点旋转时，活塞A 做直线往复运动，设连杆长为40cm ，曲柄长10cm ，则曲柄从初始位置按顺时针方向旋转60°时，活塞A 移动的距离约为（））A. B. C. D. 9. 已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（）A.B.C.D.10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数，.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（）A. 83B. 87C. 91D. 95二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为________.12. 已知等差数列的前项和为．若，公差，则的最大值为_______.13. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．14. 已知为等边三角形，且边长为2，则________；若，，则最大值为__________..的CB AB CB CB 0CB 0AA 7.81≈8.37≈8.15cm 6.95cm 5.95cm 3.15cm()1,0A x ()2,0B x ()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈x 12min 3x x π-=()f x 6πy ϕ6π3π23π56π020*********N 50N >N N ()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭{}n a n n S 19a =2d =-n S ABC A B C a b c S ABC cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=ABC ,AB BC = 1BD = CE EA = AD EB ⋅15. 已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列满足，.（1）求通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?（3）在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大?17. 如图所示，已知中，为上一点，．（1）求；（2）若，求的长．18. 已知函数.的()πππ,,22πcos ,π2e 4,πx a x xf x x x a x -+⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()f x a 1,0π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x t =t [][)π,441,a a a ++∞ 12a ≤-()()224f x f x +>+()2,2-1a ≥12x x <()()1210f x f x -<=<120x x +>{}n a 1210a a +=432a a -={}n a {}n b 23b a =37b a =6b {}n a 5n n n c a b =-{}n c n n S n n S ABC DAC π,4,4A AB BD AD AB ∠===>sin ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=DC ()()()221ln 02f x a x x a x x -=-+≤≤（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，，求证：.19. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定（1）求的解析式及最小值；（2）若函数在区间上有且仅有2个零点，求t 取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.20. 对于函数，，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数和在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数，.（1）当，时，判断函数和是否相切?并说明理由；（2）已知，，且函数和相切，求切点P 的坐标；（3）设，点P 的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切?若点P 的坐标为呢?（结论不要求证明）21. 对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.（1）设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；的()f x 1a =()()()()ln g x f x f x x x '=---[]1,2x ∈()12g x ≥()()2sin sin cos 0,f x x x x b b ωωωω=++>∈R ()f x ()f x ()f x ()(),0t t t ->()f x π2()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x ()g x ()f x ()g x ()()20f x ax bx a =-≠()ln g x x =1a =-0b =()f x ()g x a b =0a >()f x ()g x 0a >1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1{}n a 1i i i a a a +=-△{}n a 21+=-i i i a a a △△△{}n a {}n a i j a a ≠△△()*,,i j i j ∀∈≠N {}n a {}n a 22j i a a =△△()*,i j ∀∈N {}n a 1A 2A 1A 2A（2）若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；（3）已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.{}n a {}n a 10a =2a a =2i a d =△d {}n a B 12212,,,,n n b b b b -⋅⋅⋅{}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅北京—零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考二一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】对一元二次不等式求解得到解集，再计算．【详解】不等式解得或，则，又，所以．故选：C.2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，，为奇函数，不符合题意；对于B ，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；对于C ，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；对于D ，为奇函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.3. 已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则{}21012M =--，，，，2{|60}N x x x =--≥M N ⋂={}2101--，，，{}012，，{}2-{}2N M N ⋂260x x --≥2x ≤-3x ≥{}][()2|6023N x x x =--≥=-∞-+∞ ，，{}21012M =--，，，，{}2M N =-I (0,)+∞3y x =29y x =-y x =1y x=3y x =29y x =-(0,)+∞,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩(0,)+∞1y x=ABC cos cos cos a b cA B C==ABC是（）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】先由正弦定理得，进而得到，即可求解.【详解】由正弦定理得，则，又为三角形内角，则，则是等边三角形.故选：B.4. 复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算、二倍角公式化简，再复数的概念得到，结合余弦函数的性质求出，即可得解.【详解】因为，所以，因为为纯虚数，所以，所以，，所以，.故选：B5. 已知，则下列不等式正确的是（）A.B. C D. 【答案】D 【解析】.tan tan tan A B C ==A B C ==sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tan tan tan A B C ==,,A B C A B C ==ABC cos isin z αα=+2z α0π4π3π22z cos 20α=αcos isin z αα=+()2222cos isin cos sin 2sin cos i cos 2sin 2i z αααααααα=+=-+=+2z cos 20sin 20αα=⎧⎨≠⎩π2π2k α=+Z k ∈ππ42k α=+Z k ∈0a b c <<<b aa b>22a c >()()log log c c a b ->-1122ac⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】A 作差法比较大小；B 特殊值法，令即可判断正误； C 令，利用对数函数的性质判断即可；D 根据指数函数的单调性判断大小关系.【详解】A：，又，则，，故，即，错误；B ：当时，不成立，错误；C ：由，即，当时有，错误；D ：由，则，正确.故选：D.6. 如图，在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（）A. －4B. －1C. 1D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线定理的推论的推论，根据题意化简，再由即可得解.【详解】由，所以，，由，可得，故选：B7. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件1,2a c =-=01c <<22b a b a a b ab--=0a b <<220b a -<0ab >0b a a b -<b a a b <1,2a c =-=22a c >0a b <<0a b ->->01c <<()()log log c c a b -<-0<<a c 11122a c⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC 14AN NC = P BN 25AP mAB AC =+m 2AP mAB AN =+21+=m 14AN NC = 15AN AC =225255AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+21+=m 1m =-{}n a q n n S 1q >1012112+>S S SC. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题，变形得即可选出选项【详解】由题：，，即，由于题目给定各项为正，所以等价于公比为.故选：C【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用.8. 如图，在曲柄绕C 点旋转时，活塞A 做直线往复运动，设连杆长为40cm ，曲柄长10cm ，则曲柄从初始位置按顺时针方向旋转60°时，活塞A 移动的距离约为（））A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】作图，在三角形中，根据三角函数求出相关线段的长度，结合图形，即可得出答案.【详解】如图，过点作于点，由已知可得，，，，，1012112+>S S S 1211a a >1012112+>S S S 12111110S S S S ->-1211a a >{}n a 1q >1012112+>S S S CB AB CB CB 0CB 0AA 7.81≈8.37≈8.15cm 6.95cm 5.95cm 3.15cm B 1BB AC ⊥1B 40AB =0040A B =10BC =60ACB ∠=︒所以，，，所以，.在中，由勾股定理可得，，所以，，所以，.故选：C.9. 已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据，即可求得，再根据平移后函数为偶函数，即可求得.【详解】令，解得，因为，故令，并取，则，即可求得.此时，向左平移个单位得到，若其为偶函数，则，解得.当时，.160sin 10BB BC =︒==15601cos 102CB BC =︒=⨯=10015B B CB CB =-=1Rt AB B △139.05AB ==≈011039.05534.05AB AB B B =-≈-=00004034.05 5.95AA A B AB =-≈-=()1,0A x ()2,0B x ()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈x 12min 3x x π-=()f x 6πy ϕ6π3π23π56π12min 3x x π-=ωϕ()2sin 10x ωϕ++=()1sin 2x ωϕ+=-12min 3x x π-=21x x >12711,66x x ππωϕωϕ+=+=()2123x x πω-=2ω=()()2sin 21f x x ϕ=++6π2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭2,32k k Z ππϕπ+=+∈26k πϕπ=+0k =6πϕ=【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数，.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（）A. 83B. 87C. 91D. 95【答案】D 【解析】【分析】根据题意进行分组，然后分组求和即可.【详解】根据题意将数列分组，第一组为第一项是，第二组为为第二项和第三项是，，依次类推，第组为，，，…，第组含有项，所以第组的和为：，前组内一共含有的项数为：，所以前组内的项数和为：，若该数列的前项和为2的整数幂.，只需将消去即可；若，则，，不满足；若，则，，不满足；若，则，，满足；故满足如条件的最小整数为95.020*********N 50N >N N 020212n 02122212n -n n n 122112nn -=--n ()12n n +n 123121212121=22n n n S n +=-+-+-+⋯+---N 2n --()122=0n ++--=1n ()12=32n n N +=+50N >()1242=0n +++--5n =()13=182n n N +=+50N >()12482=0n ++++--=13n ()14=952n n N +=+50N >N二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据正切函数的定义域求解即可.【详解】由，，即，，所以函数的定义域为.故答案为：.12. 已知等差数列的前项和为．若，公差，则的最大值为_______.【答案】25【解析】【分析】由已知求出等差数列的通项公式，求出满足的最大值，代入可得的最大值．【详解】，，令，解得，又，则的最大值为故答案为：2513. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭πππ32x k -≠+Z k ∈5ππ6x k ≠+Z k ∈()πtan 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭5ππ,Z 6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭{}n a n n S 19a =2d =-n S {}n a 0n a ≥n n S 19a = 2d =-()()912112n a n n \=+-´-=-0n a ≥112n ≤*n ∈N 15n ≤≤n S ()554592252S ´=´+´-=ABC A B C a b c S ABC cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=【答案】【解析】【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．14. 已知为等边三角形，且边长为2，则________；若，，则的最大值为__________.【答案】 ①.②. 【解析】【分析】根据向量夹角的定义即可求出，根据向量的运算可以得到，由，设，由向量夹角的取值范围即可求解.【详解】因为为等边三角形，所以，所以；因为，所以为中点，所以，设，则，所以，又，4π222cos 2b c a A bc +-=22211sin()24S bcA b c a ==+-11sin 2cos 24bc A bc A =⨯tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=2sin()sin A B C +=sin 1C =2C π=4B π=tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=90C =︒B ABC ,AB BC = 1BD = CE EA = AD EB ⋅23π3,AB BC3AD EB BD BE ⋅=-⋅,BD BE θ= ABC π3ABC ∠=2π,3AB BC = CE EA =E AC ()1122AD EB AB BD BA BC ⎛⎫⋅=+⋅-- ⎪⎝⎭()1111112π1422cos 22222232BA AB BC AB BA BD BC BD BD BA BC=-⋅-⋅-⋅-⋅=⨯-⨯⨯⨯-⋅+ 3BD BE =-⋅,BD BE θ=[]cos 1,1θ∈-1BD BE θθ⎡⋅==∈⎣3AD EB BD BE ⋅=-⋅所以当有最大值故答案为：；15. 已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③④【解析】【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当时，，当时，，若，则当时，，则此时函数无最小值；若，则当时，，时，，则函数有最小值为满足题意；若，则当时，，时，，要使函数有最小值，则，解得；BD BE ⋅= AD EB ⋅3+23π3()πππ,,22πcos ,π2e 4,πx a x xf x x x a x -+⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()f x a 1,0π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x t =t [][)π,441,a a a ++∞ 12a ≤-()()224f x f x +>+()2,2-1a ≥12x x <()()1210f x f x -<=<120x x +>πx >()()πe44,41x f a a a x -++∈=+ππ2x ≤≤()[]cos 1,0x f x ∈-=0a >π2x <()π(π2f a f x <=0a =π2x <()0f x =πx >()πe4(0,1)x f a x -+∈=+1-a<0π2x <()π()π2f a f x >=πx >()()πe44,41x f a a a x -++∈=+π141a a ≥-⎧⎨≥-⎩104a -≤<综上，的取值范围是，①错误；当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减，作图如下，因为无实根，所以或，②正确；当时，因为，所以函数在单调递减，又因为所以由可得，，即，解得，所以，所以不等式的解集为，③正确；a 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a >()f x π,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()π,+∞()f x t =π4a t a ≤≤41t a ≥+12a ≤-411a +≤-()f x π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭222,44,x x +≥+≥()()224f x f x +>+224x x +<+220x x --<02x ≤<()2,2x ∈-()()224f x f x +>+()2,2-函数在点处的切线斜率为，所以切线方程为，则由图象可知，时，，设，记直线与函数，，的交点的横坐标为，因为经过点，所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确；故答案为:②③④.【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列满足，.()f x π,02⎛⎫⎪⎝⎭π()sin 12f x '=-=-π2y x =-+π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πcos 2x x ≥-+()()()121,0f x f x m ==∈-y m =π(),,2f x x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭π2y x =-+π(),,π2f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦102,,x x x ()2ππ,2f x a x x ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π(,0)2-1a ≥100x x +≥20x x >120x x +>{}n a 1210a a +=432a a -=（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?（3）在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大【答案】（1）（2）第63项（3）当时，的值最大【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解；（2）先求得，，再利用等比数列的定义与通项公式求得，再令，从而得解；（3）利用分组求和法即可求出，再利用导数求得的单调性，从而得解.【小问1详解】依题意，设等差数列的公差为d ，则，又，得，解得，所以；【小问2详解】设等比数列的公比为q ，则，，所以，，所以，令，解得.故是数列的第63项；【小问3详解】由（2）可知，则，所以，{}n a {}n b 23b a =37b a =6b {}n a 5n n n c a b =-{}n c n n S n n S 22n a n =+4n =n S 2b 3b 6b 6n a b =n S {}n S {}n a 432d a a =-=1210a a +=11210a a ++=14a =42(1)22n a n n =+-=+{}n b 238b a ==3716b a ==321628b q b ===214bb q==576422128b =⨯==22128n a n =+=63n =6b {}n a 11422n n n b -+=⨯=155(22)2n n n n c a b n +=-=+-()()()4224(12)546225421122n n n n n S n ++-=++++-=⨯--⎡⎤⎣⎦- 2225154n n n +=-+++令，则，由于，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，且，，所以当时，有最大值且最大值为.17. 如图所示，已知中，为上一点，．（1）求；（2）若，求的长．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由两角差的正弦展开式求出，在中由正弦定理可得答案．【小问1详解】在中，由正弦定理可得，所以，又因为，所以；()222515)4(N x f x x x x++=-+++∈()2ln 221015x fx x +'=-++N x +∈14x ≤≤()0f x ¢>()f x 5x ≥()0f x '<()f x ()128125754756f =-+++=()4648060480f =-+++=4n =n S 480S =ABC D AC π,4,4A AB BD AD AB ∠===>sin ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=DC ABD △cos ADB ∠sin 2sin BDC C ∠∠=BC DC sin ∠C cos C ∠sin DBC ∠BDC ABD △sin sin AB BDADB A=∠∠sin sin ABADB A BD∠∠=π,4,4A AB BD ∠===sin ADB ∠==小问2详解】因为，所以，所以，由（1）结论，计算可得法1：由正弦定理可知，又，所以，由余弦定理可得，化简整理得，解得法2：因为且，所以由题意可得，所以所以，在中，由正弦定理可得，所以18. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；【AD AB >ABD ADB ∠∠>90ADB ∠<o cos ∠==ADB sin sin BC BDBDC C∠∠=sin 2sin BDC C ∠∠=2BC BD ==2222cos BC BD DC BD DC BDC ∠=+-⋅2300DC +-=DC =sin sin BDC ADB ∠∠==sin 2sin BDC C ∠∠=sin sin 2BDC C ∠∠==C ADB ∠<∠cos C ∠=()sin sin DBC ADB C ∠∠∠=-sin cos cos sin ADB C ADB C∠∠∠∠=⋅-⋅35==BDC sin sin DC BDDBC C∠∠=sin sin DBC DC BD C ∠∠===()()()221ln 02f x a x x a x x -=-+≤≤()f x（2）当时，令，，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，然后分，，三种情况，根据导函数即可得出函数的单调性；（2）代入，化简得出，求导根据导函数得出在上的单调性，进而得出最小值，即可证明.【小问1详解】由已知可得，，定义域为，所以.（ⅰ）当时，.当时，有，上单调递增；当时，有，在上单调递减.（ⅱ）当时，解，可得，或（舍去负值）.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.在1a =()()()()ln g x f x f x x x '=---[]1,2x ∈()12g x ≥()()()2312x a f x x x --='0a =02a <<2a =1a =()233121g x x x x=+--()g x []1,2()221ln x ax a x xf x =-+-()0,∞+()()()22331222x ax a a x x f x x x '--=--+=0a =()()321x f x x --='01x <<()()3210x f x x--=>'()f x ()0,11x >()()3210x f x x--=<'()f x ()1,+∞02a <<()()()23120x ax f x x--=='1x =x =1>()0f x ¢>01x <<x >()f x ()0,1⎫+∞⎪⎪⎭()0f x '<1x <<()f x ⎛ ⎝（ⅲ）当时，在上恒成立，所以，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增.【小问2详解】由（1）知，当时，，，所以，.所以，.解，可得（舍去负值），且，所以.当时，解可得，所以在上单调递增；当时，解，所以在上单调递减.又，，所以，当时，在处取得最小值，2a =()()()232110x x f x x '-+=≥()0,∞+()f x ()0,∞+0a =()f x ()0,1()1,+∞02a <<()f x ()0,1⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭2a =()f x ()0,∞+1a =()221ln x x x x f x =-+-()231221x f x xx '=--++()()()()ln g x f x f x x x '=---()22321122ln 1ln x x x x x x x x x =⎛⎫-+----++-- ⎪⎝⎭233121x x x =+--()234326g x x x x '=--+()241326x x x=-+-()0g x '=x =45<<4123<<<12x ≤≤()0g x '>1x ≤<()g x ⎡⎢⎣12x ≤≤()0g x '<2x <≤()g x 2⎤⎥⎦()131211g =+--=()()31212112482g g =+--=<12x ≤≤()g x 2x =()122g =所以有.19. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定（1）求的解析式及最小值；（2）若函数在区间上有且仅有2个零点，求t 的取值范围.条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值与最小值的和为1.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将解析式化简，再选择相应条件，结合三角函数的性质逐一分析，从而得解；（2）先求得在附近的五个零点，从而得到关于的不等式组，由此得解.【小问1详解】选条件①②：由题意可知，，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，因为函数的图象经过点，所以，所以，()12g x ≥()()2sin sin cos 0,f x x x x b b ωωωω=++>∈R ()f x ()f x ()f x ()(),0t t t ->()f x π2()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =π3π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x 0x =t 21cos 21()sin sin cos sin 222x f x x x x b x b ωωωωω-=++=++π1242x b ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()f x π2π2π222T ω==1ω=()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭πππ1212242f b ⎛⎫⎛⎫=⨯-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0b =所以，所以.选择条件①③：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，，函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，所以，所以.选条件②③：，函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，因为函数的图象经过点，所以，所以所以或，显然此时的值有多个，的解析式唯一确定，所以此种情形不符合题意，舍去.【小问2详解】由（1）知，π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =+()f x π2π2π222T ω==1ω=min max 1(),()2f x b f x =++=12b +()f x 11122b b ++++=0b =π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭min 1()2f x =+min max 11(),()22f x b f x b =++=+()f x 11122b b ++++=0b =()f x π,12⎛⎫⎪⎝⎭πππ1212242f ω⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin π4ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ2π,44k k ω-=+∈Z π3ππ2π,44k k ω-=+∈Z ω()f x π124()2f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，得，所以或，即或，所以在附近的五个零点为，，，，，因为在区间上有且仅有2个零点，所以，为在区间上的两个零点，故，解得，所以的取值范围是.20. 对于函数，，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数和在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数，.（1）当，时，判断函数和是否相切?并说明理由；（2）已知，，且函数和相切，求切点P 的坐标；（3）设，点P 的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切?若点P 的坐标为呢?（结论不要求证明）【答案】（1）不相切，理由见解析（2）切点的坐标为.（3）P 的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切，P的坐标为时，不存在.π1202()4f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ22π,44x k k -=-+∈Z π3π22π,44x k k -=-+∈Z π,x k k =∈Z ππ,4x k k =-+∈Z ()f x 0x =πx =-π4x =-0x =3π4x =πx =()f x ()(),0t t t ->π4x =-0x =()f x ()(),0t t t ->ππ43π04t t ⎧-<-≤-⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩π3π44t ≤<t π3π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()g x ()f x ()g x ()()20f x ax bx a =-≠()ln g x x =1a =-0b =()f x ()g x a b =0a >()f x ()g x 0a >1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1P (1,0)1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()e,1【解析】【分析】（1）根据两函数相切可得，即可说明求解；（2）根据题意可知函数和在切点处满足，即可求解；（3）根据两个函数存在切点，则有，即，将所给的两个点坐标分别代入即可求解.【小问1详解】当，时，，，，，令，即无解，所以函数和不相切.【小问2详解】因为，，所以，，，设切点为,则，消去得，（*）注意到，所以，设函数，，令，解得或（舍），令，解得；令，解得；所以函数在单调递增，单调递减，()()f x g x ''=()f x ()g x (,)P s t 2ln 12as as sas a s ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩2ln 12ax bx xax b x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩22ln 21ax bx x ax bx ⎧-=⎨-=⎩1a =-0b =()2f x x =-()lng x x =()2f x x '=-()1g x x'=()()f x g x ''=12x x-=()f x ()g x a b =0a >()()20f x ax ax a =->()2f x ax a '=-()1g x x'=(,),(0)P s t s >2ln 12as as s as a s ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩a 1ln 21s s s -=-10(21)a s s =>-12s >11()ln ,,212x F x x x x -⎛⎫=-∈+∞ ⎪-⎝⎭2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-()0F x '=1x =14x =()0F x '>112x <<()0F x '<1x >11()ln ,,212x F x x x x -⎛⎫=-∈+∞ ⎪-⎝⎭1,12⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞所以,所以（*）方程有且仅有一个解为，于是，所以切点的坐标为.【小问3详解】，，若两个函数存在切点，则有，即，假设存在P 的坐标为，则，即，解得，满足题意，所以P 的坐标为，存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切，此时，.假设存在P 的坐标为，则，解得，不满足题意，所以P 的坐标为，不存在符合条件的函数和，使得它们在点P 处相切.21. 对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.（1）设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；max ()(1)0F x F ==1s =ln 0t s ==P (1,0)()2f x ax b '=-()1g x x'=2ln 12ax bx xax b x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩22ln 21ax bx x ax bx ⎧-=⎨-=⎩1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭221e e 21e e a b a b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩221e e 21e ea ba b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩22e 3e a b ⎧=⎨=⎩1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()222e 3e f x x x =-()ln g x x =()e,122e e 12e e 1a b a b ⎧-=⎨-=⎩01e a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩()e,1()f x ()g x {}n a 1i i i a a a +=-△{}n a 21+=-i i i a a a △△△{}n a {}n a i j a a ≠△△()*,,i j i j ∀∈≠N {}n a {}n a 22j i a a =△△()*,i j ∀∈N {}n a 1A 2A 1A 2A（2）若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；（3）已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.【答案】21. 答案见解析22. 答案见解析23. 证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义分析判断即可；（2）根据题意分析可知为定值，利用累加法结合等差数列运算求解；（3）根据“绝对差异数列”结合充分、必要条件分析证明.【小问1详解】对于数列：2，4，8，10，14，16；可得：差数列为：2，4，2，4，2，不满足，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：2，，2，，满足，所以是“累差不变数列”，对于数列：6，1，5，2，4，3；可得：差数列为：，4，，2，，不满足，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：9，，5，，不满足，所以不是“累差不变数列”.【小问2详解】因为，则，反证：假设不是定值，即存在，使得，可得，即，这与既是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以为定值，①若，即，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，{}n a {}n a 10a =2a a =2i a d =△d {}n a B 12212,,,,n n b b b b -⋅⋅⋅{}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅2i a △1A i j a a ≠△△2-2-22j i a a =△△2A 5-3-1-i j a a ≠△△7-3-22j i a a =△△2i a d =△2=±i a d △2i a △*k ∈N 2210++=k k a a △△()()1210+++--+=k k k k a a a a △△△△2+=k k a a △△{}n a 2i a △2=i a d △1+-=i i a a d △△{}n a △211=-=a a a a △d当时，则，当时，符合上式，综上所述：；②若，同理可得；综上所述：若，；若，.【小问3详解】因为，根据集合的互异性可知，，则，又因为数列是“绝对差异数列”，则，，充分性：若，可得，即，所以，若差数列为，符合的排序只能为；若差数列为，符合的排序只能为或，若差数列为，符合排序只能为或，若差数列为，符合的排序只能为或或或，的2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()()12111212----=+⋅⋅⋅++=+-+n n n n a a a a n a d △△△1n =10a =()()()1212--=-+n n n a n a d 2=-i a d △()()()1212--=--n n n a n a d 2=i a d △()()()1212--=-+n n n a n a d 2=-i a d △()()()1212--=--n n n a n a d {}{}122,,,1,2,,2n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≠i j b b ()*,,i j i j ∀∈≠N 1,2,,21,1,2,,21=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-i n i b n △B ≠i j b b △△()*,,i j i j ∀∈≠N 21-=-n b b n ()()()12212122212----=-+-=+⋅⋅⋅+--n n n n n b b b b b b b b n 21221--++⋅⋅⋅+=-n n b b b n △△△*12,,22i mb m n m m -⎧=≤∈⎨-⎩N 12n -2,1n 22n -2,2,1n 2,1,21-n n 32n -21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n 24n -3,21,2,2,1-n n 21,2,2,1,23--n n n 2,1,21,2,22--n n n 4,2,1,21,2-n n若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；所以符合的排序只能为或，利用数学归纳法证明：当差数列为，符合的排序为，显然，符合题意；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为，符合的排序为；则当差数列为时，符合的排序为或，当差数列为时，对于可得符合的排序为；对于，无法排序；所以符合的排序为，即当差数列为，符合的排序为；所以当差数列为，符合的排序为，成立；同理可证：当差数列为，符合的另一种排序为；依次类推，可得其排列为或，所以，故充分性成立；若，则，若差数列为，则符合的排序为或，若差数列为，则符合的排序为或或或，21,2,2,1,23--n n n 52n -4,2,1,21,2-n n 52n -3,21,2,2,1-n n 2,1,21,2,22--n n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 1i =122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 22-n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 21,,,21,2,2,1,221-+⋅⋅⋅--+n i i n n n i ()1221221--++=-++n i n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n ()211,1,21,,,21,2,2,1-+-+-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 21,,,21,2,2,1,221-+⋅⋅⋅--+n i i n n n i ()211,1,21,,,21,2,2,1-+-+-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 122--+n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 122--+n i 2,1,21,2,,21,-⋅⋅⋅-+n n n i i 1,,2,1,3,2,,2,2,1++-+-⋅⋅⋅n n n n n n n 2,1,21,2,23,3,,1,--⋅⋅⋅+n n n n n {}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}2131,,,1,2,,2-⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅n b b b n n n ()21±-n 2,1n 1,2n ()22±-n 2,2,1n 2,1,21-n n 1,2,2n 21,1,2-n n若差数列为，则符合的排序为或，因为的排序为，不合题意，的排序为，不合题意，所以若差数列为，则符合的排序为，若差数列为，则符合的排序为或，若差数列为，则符合的排序为或，利用数学归纳法证明：当差数列为时，符合的的排序为，当时，成立；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为，符合的排序为；当差数列为，符合的排序为或，当差数列为，对于可得排序为，对于则无法排序，所以当差数列为，符合的排序为；同理可证：当差数列为，符合的排序为；此时满足数列是“绝对差异数列”的排序只有两种：或，则，必要性成立；所以充要条件是.的()23±-n 21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n 1,2,2n 1,2,2,21-n n 21,1,2-n n 2,21,1,2-n n ()21±-n 2,1n ()22±-n 2,2,1n 2,1,21-n n ()23±-n 21,2,2,1-n n 2,1,21,2-n n ()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n 1i =()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ()22±-n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 21,,,21,2,2,1,22-+⋅⋅⋅--n i i n n n i ()()2121±+-+n i 1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n ()211,1,21,,,21,2,2,1-+++-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n 21,,,21,2,2,1,22-+⋅⋅⋅--n i i n n n i ()212±+-n i 21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ()212±+-n i 2,1,21,2,,21,-⋅⋅⋅-+n n n i i B 1,,2,1,3,2,,2,2,1++-+-⋅⋅⋅n n n n n n n 2,1,21,2,23,3,,1,--⋅⋅⋅+n n n n n ()()()112232221--=-+-+⋅⋅⋅+-n n n b b b b b b b b ()1221-=-++⋅⋅⋅+=-n n b b b △△△12n b b n -={}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.。

北京一零第一中学高一数学文测试题含解析

北京一零第一中学高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 840和1764的最大公约数是()A．84 B．12 C．168 D．252参考答案：A2. 若（）A． B． C． D．参考答案：A3. 是（）第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角参考答案：D4. 已知集合A=｛小于｝，B=｛为第一象限角｝，则A B=（）：A.｛是锐角｝B.｛小于｝C.｛为第一象限角｝D.以上都不对参考答案：D略5. 已知{a n}为等差数列，，则{a n}的前9项和（）A. 9 B. 18 C. 72 D. 81参考答案：D由题意得，而，选D.6. 在等差数列中,，则（）A. 5B. 8C. 10D. 14参考答案：B试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，故选B.考点：等差数列通项公式.7. 已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是( )A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β)C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)<f(cos β)参考答案：B8. 已知集合，若，则（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B。

9. 已知函数，在[－3,3]的大致图象如图所示，则可取（）A. B. π C. 2π D. 4π参考答案：B分析：从图像可以看出为偶函数，结合形式可判断出为偶函数，故得的值，最后通过得到的值．详解：为上的偶函数，而为上的偶函数，故为上的偶函数，所以．因，故，．因，故，所以，．因，故，所以．综上，，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．10. 集合和{0}的关系表示正确的一个是( )A.{0}=B. {0}C. {0}D.参考答案：D 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G 的截面平行的棱有____________条。

北京市101中学高一数学下学期期末考试试题

北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题：1. 某市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A. 19B. 20C. 21.5D. 232.等差数列中，则数列的公差为A. 4B. 3C. 2D. 13.在区间上随机选取一个数，则的概率为A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，输出的值为A.3B. 4C. 5D. 65.已知满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D.6.在梯形中，将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A. B. C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A． B．C． D．58.对于集合和常数，定义：为集合相对的“正弦方差”，则集合相对的“正弦方差”为A． B． C． D．与有关的一个值二、填空题：9. 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示. 在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.10.在中，则_________.11.等比数列的前项和为，公比不为1，若，且对任意的都有，则_________.12.已知，则的取值范围是______.13.如图，在正三棱柱中，，分别是棱的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为_________.14.已知函数（1）若的解集为，则的值等于_________；（2）对任意，恒成立，则的取值范围是_________.北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. __________________________. 10. __________________________.11. __________________________. 12. __________________________.13. __________________________. 14. ____________, ___________.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6件样品中来自各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.16.如图，长方体中，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由），并说明在棱上的具体位置；（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.17.已知，三个内角的对边分别为且.（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值.18.某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．5×中，同时购买乙和丙的频率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；（Ⅲ）用样本估计总体，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？说明理由.19.已知数列和满足，若为等比数列，且（I）求与；（Ⅱ）设,记数列的前项和为（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. __________6000____________. 10. _____________1____________.11. __________11______________. 12. ____________(7,14)____ _____.13. ____________________. 14. _________, ____.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6件样品中来自各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(1)共进口300件商品，其中来自A地区的商品占的比例为；其中来自B地区的商品占的比例为；其中来自C地区的商品占的比例为；根据分层抽样的原则，6件样品中来自A地区1件，自B地区3件，自C地区2件.(2)共有15个基本事件，其中2件商品来自相同地区对应的基本事件有4个，设事件A=“6件样品中随机抽取2件，这2件商品来自相同地区”，则P(A)=16.如图，长方体中，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由），并说明在棱上的具体位置；（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.（Ⅰ）如图，（Ⅱ）平面把该长方体分成的两部分是两个棱柱，高相同，体积比等于底面积的比；两个棱柱的底面均为直角梯形，所以体积比=17.已知，三个内角的对边分别为且.（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值.解：（I）因为又，，所以，（Ⅱ）由余弦定理得到，所以解得（舍）或18.某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．√（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；（Ⅲ）用样本估计总体，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？说明理由.【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为.（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.19.已知数列和满足，若为等比数列，且（I）求与；（Ⅱ）设,记数列的前项和为（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．解答：（I）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；（II）（i）由（I）知，，所以；（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．。

2021学年北京市高一(上)10月月考数学试卷(有答案)

2021学年北京市高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A ＝{1, 2, 4, 6}，B ＝{2, 3, 5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（）A.{2}B.{3, 5}C.{1, 4, 6}D.{3, 5, 7, 8}2. 下列函数中与函数y =x 表示同一函数的是( )A.y =(√x)2B.y =√x 2C.y =√x 33D.y =x 2x3. 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A.y =2xB.y ＝x 3C.y ＝−x 2D.y =√x4. 设集合A ={x|0≤x ≤6}，B ={y|0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( )A.f:x →y =12xB.f:x →y =13xC.f:x →y =14xD.f:x →y =16x5. 函数y =|x|x +x 的图象是( )A. B.C.D.6. 已知函数f(x)=[x +32]（取整函数），g(x)={1,x ∈Q 0,x ∉Q，则f （g(π)）的值为（） A.1B.0C.2D.π7. 已知函数f(x)＝−x 2+6x +a 2−1，那么下列式子中正确的是（）A.f(√2)<f(3)<f(4)B.f(3)<f(√2)<f(4)C.f(√2)<f(4)<f(3)D.f(3)<f(4)<f(√2)8. 将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）A.115元B.105元C.95元D.85元9. 已知函数f(x)＝kx +1在区间(−1, 1)上存在零点，则实数k 的取值范围是（）A.−1<k <1B.k >1C.k <−1D.k <−1或k >110. 函数f(x)＝−|x −1|，g(x)＝x 2−2x ，定义F(x)={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)<g(x)，则F(x)满足( )A.既有最大值，又有最小值B.只有最小值，没有最大值C.只有最大值，没有最小值D.既无最大值，也无最小值二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.函数f(x)=x 2x 2+1的定义域为{0, 1}，则值域为________．若{(x,y)|{x +y −2=0x −2y +4=0}⊆{(x,y)|y =3x +c}，则c ＝________．已知偶函数f(x)在[0, +∞)上是单调函数，且图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点，f(x)<1的解集为________．函数f(x)＝x 2−2bx +3在x ∈[−1, 2]时有最小值1，则实数b ＝________−32或√2 ．已知函数y ＝f(x)是定义在[a, b]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0<b <−a ．设函数F(x)＝[f(x)]2−[f(−x)]2，且F(x)不恒等于0，则对于F(x)有如下说法：①定义域为[−b, b]②是奇函数③最小值为0④在定义域内单调递增其中正确说法的序号是________．三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知集合A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，若A∩B＝{−3}，求实数a的值及A∪B．设全集是实数集R，A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x2−a<0}．(1)当a=4时，求A∩B和A∪B；(2)若B⊆∁R A，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=√x−1（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．已知函数f(x)＝x⋅|x|−2x．（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；（2）求函数f(x)的零点；（3）画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出方程f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围；（4）写出函数f(x)的单调区间．如果函数f(x)满足：在定义域D内存在x0，使得对于给定常数t，有f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)成立，则称f(x)为其定义域上的t级分配函数．研究下列问题：是否为1级分配函数？说明理由；（1）判断函数f(x)＝2x和g(x)=2x(a>0)能否成为2级分配函数，若能，则求出参数a的取值（2）问函数φ(x)＝）√ax+1范围；若不能请说明理由；(a>0)都是其（3）讨论是否存在实数a，使得对任意常数t(t∈R)函数φ(x)=√ax2+1定义域上的t级分配函数，若存在，求出参数a的取值范围，若不能请说明理由．参考答案与试题解析2021学年北京市高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，根据已知的A、B，分析可得答案．【解答】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，即阴影部分表示(∁U A)∩B，又有A＝{1, 2, 4, 6}，B＝{2, 3, 5}，则(∁U A)∩B＝{3, 5}，2.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】3=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，解：∵y=√x3∴二者是同一函数．故选C．3.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】满足定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，在由f(x)与f(−x)的关系判定．【解答】对于A、B，满足定义域关于原点对称，f(−x)＝−f(x)是奇函数，排除A、B；对于C，满足定义域关于原点对称，f(−x)＝f(x)是偶函数，排除C；对于D，定义域不关于原点对称既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；f4.【答案】A【考点】映射【解析】通过举反例，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故选项A不是映射，从而选出答案．【解答】解：A不是映射，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．B，C，D是映射，因为按照对应法则f，集合A中的每一个元素，在后一个集合B中都有唯一的一个元素与之对应，故B，C，D满足映射的定义.故选A．5.【答案】D【考点】函数的图象【解析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．【解答】解：函数y=|x|x+x可化为：当x>0时，y=1+x；它的图象是一条过点(0, 1)的射线；当x<0时，y=−1+x．它的图象是一条过点(0, −1)的射线；对照选项，故选D．6.【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】先求出g(π)＝0，从而f（g(π)）＝f(0)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)=[x+32]（取整函数），g(x)={1,x∈Q0,x∉Q，∴g(π)＝0，f（g(π)）＝f(0)＝[32]＝1．7.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】f(x)＝−x2+6x+a2−1＝−(x−3)2+a2−10，对称轴为x＝3，开口向下，即可得出结论．【解答】f(x)＝−x2+6x+a2−1＝−(x−3)2+a2−10，对称轴为x＝3，开口向下，∴f(√2)<f(4)<f(3)，8.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据题意，设售价定为(90+x)元，由利润函数＝（售价-进价）×销售量可得关于x的函数方程，由二次函数的性质可得答案．【解答】设售价定为(90+x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90+x−80)(400−20x)＝20(10+x)(20−x)＝20(−x2+10x+200)；∴当x＝5时，y取得最大值；即售价应定为：90+5＝95（元）；9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】讨论k是否为0，根据零点的存在性定理列不等式解出．【解答】当k≠0时，f(x)为单调函数，∵f(x)＝kx+1在区间(−1, 1)上存在零点，∴f(−1)f(1)<0，即(−k+1)(k+1)<0，解得k<−1或k>1．故选：D．10.【答案】B【考点】分段函数的应用函数最值的应用【解析】作出f(x)和g(x)的函数图象即可得出F(x)的函数图象，根据图象判断最值．【解答】解：由题意，作出f(x)与g(x)的函数图象如图所示：∵F(x)={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)<g(x)，∴F(x)的函数图象如下：由图象可知，F(x)只有最小值，没有最大值．故选B.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 【答案】{0, 1 2 }【考点】函数的值域及其求法【解析】根据x的取值，求出对应的f(0)，f(1)的值即可．【解答】f(x)=x2x2+1=1−1x2+1，若f(x)的定义域为{0, 1}，x＝0时，f(0)＝0，x＝1时，f(1)=12，故函数的值域是{0, 12}，故答案为：{0, 12}．【答案】2【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由题意，方程组的解为(0, 2)，代入y＝3x+c，可得c的值．【解答】由题意，方程组的解为(0, 2)，代入y＝3x+c，可得c＝2．【答案】(−3, 3)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数f(x)的图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点可知f(0)＝−1，f(3)＝1，根据函数f(x)为偶函数则f(−3)＝f(3)＝1，函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数，然后讨论x的正负，根据函数单调性解不等式即可．【解答】∵函数f(x)的图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点∴f(0)＝−1，f(3)＝1设x≥0，则f(x)<1＝f(3)∵函数f(x)在[0, +∞)上是增函数∴0≤x<3∵函数f(x)为偶函数∴f(−3)＝f(3)＝1，函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数设x<0，则f(x)<1＝f(−3)∴−3<x<0综上所述：f(x)<1的解集为(−3, 3)；【答案】√2−3 2【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】讨论f(x)的对称轴与区间[−1, 2]的关系，判断f(x)的单调性，根据最小值为1列方程计算b．【解答】f(x)的对称轴为x＝b，（1）若b≤−1，则f(x)在[−1, 2]上单调递增，∴f min(x)＝f(−1)＝1，即4+2b＝1，∴b=−32．（2）若b>2，则f(x)在[−1, 2]上单调递减，∴f min(x)＝f(2)＝1，即7−4b＝1，∴b=32（舍）．（3）若−1<b<2，在f(x)在[−1, 2]上先减后增，∴f min(x)＝f(b)＝1，即−b2+3＝1，解得b=√2或b=−√2（舍）．综上，b=−3或b=√2．2．故答案为：√2−32【答案】①②【考点】函数单调性的性质与判断【解析】对于①，根据F(x)的解析式以及f(x)的定义域，可得a≤x≤b，a≤−x≤b，又由0<b<−a，可得F(x)定义域，可得①正确；对于②，先求出F(−x)，可得F(−x)＝−F(x)，再结合F(x)的其定义域，可得F(x)为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f(x)>1时，可得F(x)的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F(x)是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案．【解答】根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F(x)＝f2(x)−f2(−x)，有a≤x≤b，a≤−x≤b，而又由0<b<−a，则F(x)＝f2(x)−f2(−x)中，x的取值范围是−b≤x≤b，即其定义域是[−b, b]，则①正确；对于②，F(−x)＝f2(−x)−f2(x)＝−F(x)，且其定义域为[−b, b]，关于原点对称，则F(x)为奇函数，②正确；无最小值，对于③，由y＝f(x)无零点，假设f(x)＝2x，F(x)＝22x−2−2x＝22x−122x故③错误；对于④，由于F(x)是奇函数，则F(x)在[−b, 0]上与[0, b]上的单调性相同，故F(x)在其定义域内不一定单调递增，④错误；三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】∵A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，且A∩B＝{−3}，B中a2+1≥1，∴a−3＝−3或2a−1＝−3，解得：a＝0或a＝−1，①当a＝0时，A＝{0, 1, −3}，B＝{−3, −1, 1}，不满足题意舍去；②当a＝−1时，A＝{1, 0, −3}，B＝{−4, −3, 2}，满足题意，综上所述：实数a的值为−1，A∪B＝{−4, −3, 0, 1, 2}．【考点】并集及其运算交集及其运算【解析】由A，B，以及A与B的交集确定出a的值，进而求出A与B的并集即可．【解答】∵A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，且A∩B＝{−3}，B中a2+1≥1，∴a−3＝−3或2a−1＝−3，解得：a＝0或a＝−1，①当a＝0时，A＝{0, 1, −3}，B＝{−3, −1, 1}，不满足题意舍去；②当a＝−1时，A＝{1, 0, −3}，B＝{−4, −3, 2}，满足题意，综上所述：实数a的值为−1，A∪B＝{−4, −3, 0, 1, 2}．【答案】解：(1)根据题意，由于A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2−a<0}．当a=4时，B=(−2, 2)，而A=[1, 3]，所以A∩B=[1, 2), A∪B=(−2, 3]．(2)∵B⊆∁R A，若B=⌀，则a≤0，若B≠⌀，则B=(−√a,√a)⊆∁R A=(−∞, 1)∪(3, +∞)，∴√a≤1，∴0<a≤1，综上，a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题补集及其运算交集及其运算并集及其运算【解析】(1)先化简集合A，B，然后利用集合的运算求A∩B和A∪B．(2)利用B⊆∁R A，求实数a的取值范围．【解答】解：(1)根据题意，由于A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2−a<0}．当a=4时，B=(−2, 2)，而A=[1, 3]，所以A∩B=[1, 2), A∪B=(−2, 3]．(2)∵B⊆∁R A，若B=⌀，则a≤0，若B≠⌀，则B=(−√a,√a)⊆∁R A=(−∞, 1)∪(3, +∞)，∴√a≤1，∴0<a≤1，综上，a≤1．【答案】要使函数f(x)=√x−1有意义，需使x≥1，所以函数f(x)=√x−1的定义域为[1, +∞)；函数f(x)=√x−1在定义域[1, +∞)上为增函数，证明：任取x1，x2∈[1, +∞)，且△x＝x2−x1>0，则△y=f(x2)−f(x1)=√x2−1−√x1−1=(√x−1−√x−1)(√x−1+√x−1)x2−1+x1−1=√x2−1+√x1−1=21x−1+x−1；因为x2−x1>0且√x2−1+√x1−1>0，所以△y＝f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在[1, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的性质与判断函数的定义域及其求法【解析】（1）根据二次根式的被开方数大于或等于0，求出f(x)的定义域；（2）利用单调性的定义即可证明函数f(x)在定义域上为增函数．【解答】要使函数f(x)=√x−1有意义，需使x≥1，所以函数f(x)=√x−1的定义域为[1, +∞)；函数f(x)=√x−1在定义域[1, +∞)上为增函数，证明：任取x1，x2∈[1, +∞)，且△x＝x2−x1>0，则△y=f(x2)−f(x1)=√x2−1−√x1−1=(√x−1−√x−1)(√x−1+√x−1)x2−1+x1−1=(x−1)−(x−1) x2−1+x1−1=21x−1+x−1；因为x2−x1>0且√x2−1+√x1−1>0，所以△y＝f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在[1, +∞)上是增函数．【答案】函数f(x)为奇函数，证明：对于函数f(x)＝x⋅|x|−2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，−x∈R，有f(−x)＝−x⋅|−x|+2x＝−x⋅|x|+2x，而−f(x)＝−x⋅|x|+2x，f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数；令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，所以x(|x|−2)＝0，解得x＝0或|x|＝2所以函数的零点为−2，0，2；f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${= \, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x\, }$\${geq\, 0\, }$\\ ${-\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，其图象如图：若方程${f(x)}$＝${m}$有三个不同实根，则函数${f(x)}$的图象与直线${y}$＝${m}$有三个不同的交点，由图象可得实数${m}$的取值范围为${(-1,\, 1)}$；f(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，f(x)的单调递减区间为(−1, 1)．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数零点的判定定理分段函数的应用函数的图象与图象的变换函数的零点与方程根的关系【解析】（1）对于函数f(x)，先分析其定义域，进而分析可得f(−x)＝−f(x)，即可证明函数f(x)为奇函数；（2）令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，解可得x的值，由函数零点的定义，即可得答案；（3）将f(x)的解析式变形可得f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${=\, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x\, }$\${geq\,0\, }$\\ ${\{x\}}$^${\{2\}\, + \, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，据此作出函数的图象；若方程f（x）＝m有三个不同实根，则函数f（x）的图象与直线y＝m有三个不同的交点，由图象可得实数m的取值范围；（4）由图象，分析可得函数的单调区间，即可得答案．【解答】函数f(x)为奇函数，证明：对于函数f(x)＝x⋅|x|−2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，−x∈R，有f(−x)＝−x⋅|−x|+2x＝−x⋅|x|+2x，而−f(x)＝−x⋅|x|+2x，f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数；令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，所以x(|x|−2)＝0，解得x＝0或|x|＝2所以函数的零点为−2，0，2；f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${= \, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\,x\, }$\${geq\, 0\, }$\\ ${-\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，其图象如图：若方程${f(x)}$＝${m}$有三个不同实根，则函数${f(x)}$的图象与直线${y}$＝${m}$有三个不同的交点，由图象可得实数${m}$的取值范围为${(-1,\, 1)}$；f(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，f(x)的单调递减区间为(−1, 1)．【答案】若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，即x0＝−2，所以函数f(x)=2x是1级分裂函数．若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0＝1，故f(x)＝2x是1级分裂函数由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)2+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0当a＝5时，x0＝−1，符合题意；当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得a∈[15−10√2,5)∪(5,15+10√2]．综上，实数a的取值范围是[15−10√2,15+10√2]．存在，a＝1当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．下面验证a＝1是否满足条件．∵f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)，∴(x+t)2+1＝(x2+1)(t2+1)⇒t＝0或t=2x，故t可取任意实数，故a＝1满足条件．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，得x0若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0，（2）由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0（5分）当a＝5时，x0＝−1，符合题意当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得实数a的取值范围（3）当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．再验证a＝1是否满足条件．【解答】若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，即x0＝−2，所以函数f(x)=2x是1级分裂函数．若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0＝1，故f(x)＝2x是1级分裂函数由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)2+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0当a＝5时，x0＝−1，符合题意；当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得a∈[15−10√2,5)∪(5,15+10√2]．综上，实数a的取值范围是[15−10√2,15+10√2]．存在，a＝1当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．下面验证a＝1是否满足条件．∵f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)，∴(x+t)2+1＝(x2+1)(t2+1)⇒t＝0或t=2x，故t可取任意实数，故a＝1满足条件．。

北京市一零一中学2021届高三数学10月月考试题.doc

北京市一零一中学2021届高三数学10月月考试题一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合A={－1，l ，2}，B={a +1，22-a }，若A B={－1，2}，则a 的值为（） A. －2或－1B. 0或1C. －2或1D. 0或－22. 已知向量a =（1，－2），b =（m ，4），且a ∥b ，那么2a －b 等于（） A. （4，－8） B. （4，0） C. （0，4） D. （－4，8）3. 已知∈α（23,2ππ），且tan α=2，那么sin α=（） A .36B.33C. 33-D. 36-4. 在数列{n a }中，若11=a ，321+=+n n a a （n ∈N*），则101a =（）A. 2100－3B. 2101－3C. 2102－lD. 2102－35. 若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意1x ，2x ∈R 有)(21x x f +=)()(21x f x f ++1，则下列说法一定正确的是（）A. )(x f 为奇函数B. )(x f +l 为奇函数C. )(x f 为偶函数D. )(x f +1为偶函数6. 在△ABC 中，“cosA<cosB ”是“sinA>sinB ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设1x ，2x ，3x 均为实数，且)1(log )31(121+=x x ，23log )31(2x x =，32log )31(3x x =，则（）A. 1x <3x <2xB. 3x <2x <1xC. 3x <1x <2xD. 2x <1x <3x8. 设函数)(x f =sin （5πω+x ）（ω>0），已知)(x f 在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①)(x f 在（0，2π）有且仅有3个极大值点；②)(x f 在（0，2π）有且仅有2个极小值点；③)(x f 在（0，10π）单调递增； ④ω的取值范围是[512，1029）。