互为反函数的函数图像之间的关系及应用

3x 1 1 ax xa x3
∴ a = －3
练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么 y=f-1(x)–1的图象过点__(_2_,_0_)____
分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f-1(x)的 图像过点（2，1），而y=f-1(x)–1的图像是由y=f-1(x) 的图像向下平移1个单位得到的，故y=f-1(x)–1的图象 过点（2,0)
互为反函数的函数图像之间的 关系及应用
一、复习提问：
1.叙述反函数的定义： 一般地，函数y=f(x)(xA )中,设它的值域为C,我们 根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A中 都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变
练习3：如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于 直线y=x对称，求a,b的值
解：据题意， y=ax+2与y=3x-b互为反函数，
y=3x-b的反函数为：y x b (x R), 3
ax 2 x b , 3
比较系数得：
a

1 3
,
b

6
练习4：已知函数 f (x) ax b 的图像经过点 （1，3），且它的反函数f-1(x)的图像过点 （2，0），求f(x).
⑶.指出反函数的定义域（即原函数的值域).
反解
互换 写出定义域
3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的 坐标为（b, a.）（即横坐标与纵坐标对换位置）
4、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？为什 么？如何改写定义域才能使其有反函数？
解：函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数； 因为它不是由一一映射构成的函数；
Fra Baidu bibliotek
∴函数
y

x (x x 1

1
)
数的图象关于y = x 对称； 反之，如果一个函数的图象 关于y = x 对称，那么这个
的图象关于直线y=x对称
函数的反函数就是它本身。
例5、已知函数
f
(
x
)
=
3x 1 ( x a,a 1)
xa
3
1）求 f ( x ) 的反函数；
2）若这个函数图象关于 y = x 对称，求 a 值。
注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经
过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。 2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴
（y轴）长度单位一致的情况下得出的。
3）函数y=f(x)与函数y=f－1(x)互为 反函数，图像关于直线y = x对称；
y=f(x)=3x-2
x f 1( y) y 2
y
3
yx
函数y=f(x)与函数x=f－1(y)互为 反函数，图像相同。
函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是
同一函数，图像关于直线y=x对称
1
4）如果两个函数的图象 关于y = x 对称，那么 这两个函数互为反函数；
-2 -1 -1 1 -2
y f 1(x) x 2 3
x
例2 、求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画 出原来的函数和它的反函数的图象.
解法一：由
f (x) x 5 得反函数 2x m
y mx 5 2x 1
由
x 5 mx 5 2x m 2x 1
令 x=0得
5 5 m
解法二：令x=0
∴m=-1
则(0,
5 m5
)在f(x)的图象上
m
由已知f(x)的反函数是自身
∴(

5 m
,
0)在f(x)的图象上， ∴m=-1

x (x x 1
1)
的图
yx
证明：
y

x x 1
∴yx-y=x
y
(y-1)x=y
y x y 1
∴函数 y 的反函数为
x x
y
1x(xx1(1x)
1)
1 －1 1
O
x
－1
即：函数
y

x (x x 1

1) 注：如果一个函数的反函 数就是它本身，那么这个函
的反函数是该函数自身
5 -5=0 m
三、课堂小结
1、函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f －1 ( x ) 的图 象关于直线 y = x 对称。
2、函数y=f(x)与函数y=f -1(x)互为反函数，图像关于直线 y = x对称；函数y=f(x)与函数x=f -1(y)为互为反函数，图 像相同。函数y=f -1(x)与函数x=f -1(y)是同一函数，图像 关于直线y=x对称
3
x0
2
3
y -2 0
1 -2 -1 -1 1
x -2 0
-2
y
0
2
3
yx
y x2 3
x
问题：
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系?
回答：
它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。
给出定理：
函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。
3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象
4、如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么这两个函数 互为反函数； 5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的 图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。
四、布置作业：课本：习题2.4 3,4,5
当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时 它才有反函数.
二、讲授新课
首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系
例1 、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画 出原来的函数和它的反函数的图象。
解： ∵y=3x-2
y=3x-2
∴x= y 2
y
函数y=3x-2(x∈R)的3反函数为y=x 2（x∈R)
量,x是自变量y的函数，这样的函数x = (y),(yC)叫
做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作 x = f 1(y) 字母x、y互换，得 y=f-1(x)
例如：函数x= y+1是函数y=3x-1的反函数。 3
2、求反函数有哪些基本步骤？
求反函数的基本步骤：
⑴.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x = f1(y); ⑵.将x，y互换得到y = f1(x);
解：1)由y

3x 1
xa
yx
ay

3x
1

x

1 ay y3
又y

3( x
a) 1 xa
3a

3

1 3a xa
≠3
f 1( x) 1 ax ( x 3)
x3
2）由题 函数图象关于 y = x 对称
可知 f（x）的反函数是它本身即 f （x） = f -1 （x）
解：由题意知，P（1，2）在函数 y ax b 的反函 数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线 y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 y ax b 的图象上。因此，得
2 a b 1 2a b
解得，a=－3，b=7
例4、求证：函数 y 象关于直线y=x对称.
利用对称性画出它的反函数的图象.
yx
y y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y x
x
x 0 1 4 9…
y 0 1 2 3…
然后我们利用互为反函数的函数图像间 的关系来解决相应问题
例3、若点P（1，2）在函数 y ax b 的图象 上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。
解： ∵f(x)的图像过点（1，3）
∴a+b=3 ① 由f(x)的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），可知 f(x)的图像过点（0，2）
∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
f (x) 2x 1
练习5：已知函数 f (x) x 5 2x m
的图象关于直线y=x对称，求m的值.
解：由函数 y x3 (x R)，
y x3 y x
得 x3 y
y
所以函数 y x3
(x R)的反函数是：
y 3 x(x R)
y3 x
注：当已知函数y=f（x）
x
的图象时，利用所学定理，
作出它关于直线y=x对称的
图象，就是反函数y=f－1（x） 的图象。
练习1：
画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象，再