互为反函数的函数图像之间的关系及应用

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反函数知识点大一

反函数知识点大一

反函数知识点大一反函数是高等数学中的一个重要概念,它与原函数紧密相关,是理解微积分和函数性质的基础。

本文将介绍反函数的定义、性质以及在求导和解方程中的应用。

一、反函数的定义在函数的基本概念中,我们知道函数是一种对应关系,每一个自变量对应一个唯一的因变量。

而反函数则是对这种对应关系进行逆转。

具体而言,对于函数f(x),如果存在一个函数g(y),使得当y=f(x)时,有x=g(y),则称g(y)为f(x)的反函数。

二、反函数的性质1. 原函数与反函数的复合恒等如果f(x)和g(y)是互为反函数的函数对,那么f(g(y))=y和g(f(x))=x对任意y和x成立。

这意味着原函数和反函数的复合等于自变量或因变量本身。

2. 反函数的定义域与值域互换对于函数f(x)及其反函数g(y),f(x)的定义域等于g(y)的值域,而f(x)的值域等于g(y)的定义域。

即对于任意x在f(x)的定义域,都存在唯一的y使得f(x)=y,同样对于任意y在g(y)的定义域,都存在唯一的x使得g(y)=x。

3. 原函数和反函数的图像关于y=x对称如果函数f(x)有反函数g(y),那么f(x)和g(y)的图像关于直线y=x对称,即在平面直角坐标系中,它们的图像通过对称变换重合。

三、反函数的求导对于函数f(x)及其反函数g(y),如果f(x)在某区间内连续且可导,并且f'(x)≠0,则反函数g(y)在对应的区间内也连续且可导,并且有g'(y)=1/f'(x)。

这一性质在求导计算和函数性质分析中非常实用,可以简化问题的求解过程。

四、解方程中的应用反函数在解方程中有广泛的应用。

如果方程f(x)=c有唯一实根,则可通过求f(x)的反函数g(y),将方程转化为y=c,从而得到x=g(c)的解。

这种方法在实际问题中常用于求解复杂方程的根,简化计算步骤,提高求解的准确性。

总结:反函数是数学中的重要概念,与原函数密切相关。

互为反函数的函数图像之间的关系

互为反函数的函数图像之间的关系
互为反函数的函数图 像之间的关系
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REPORTING
• 引言 • 互为反函数的函数图像特点 • 互为反函数的函数图像变换 • 互为反函数的函数在实际中的应用 • 结论
目RTING
WENKU DESIGN
什么是反函数
反函数:如果对于函数y=f(x)来说,其反函数存在的话,那么对于y的每一个值,x都有唯一 确定的值与之对应,那么此时y就是x的函数,我们称x为自变量,y为因变量,称f为x的反函 数。
01
互为反函数的函数图像在数学中常用于解决方程问题,例如求
解一元二次方程的根。
证明定理
02
利用互为反函数的函数图像,可以证明一些数学定理,例如函
数的单调性定理。
函数性质研究
03
通过研究互为反函数的函数图像,可以深入了解函数的性质,
例如函数的奇偶性、周期性等。
在物理领域的应用
描述物理现象
在物理学中,有些物理现象可以用互为反函数的 函数图像来表示,例如振动和波动现象。
PART 03
互为反函数的函数图像变 换
REPORTING
WENKU DESIGN
图像平移
总结词
互为反函数的函数图像在平移时具有对称性。
详细描述
当一个函数与其反函数在平面上进行平移时,它们的图像会以原点为中心对称。 例如,函数y=x^2与其反函数y=sqrt(x)在平移时,一个向左或向右移动,另一 个则以相反的方向移动,保持对称性。
反函数与机器学习的关系
在机器学习中,许多算法涉及到优化问题,而优化问题常常需要求解反函数。因此,进一步研究反函数 与机器学习之间的关系,有助于提高机器学习算法的效率和准确性。
THANKS

反函数的性质及其应用

反函数的性质及其应用

反函数的性质及其应用反函数的定义一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f-1(x) 。

反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

反函数的性质函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称;函数及其反函数的图形关于直线y=x对称;函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射等。

反函数性质:函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称;函数及其反函数的图形关于直线y=x对称;函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射的。

反函数和原函数之间的关系1、反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。

2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。

3、原函数若是奇函数,则其反函数为奇函数。

4、若函数是单调函数,则一定有反函数,且反函数的单调性与原函数的一致。

5、原函数与反函数的图像若有交点,则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x 对称出现。

函数是高中数学中的重要内容,反函数又是函数的重要组成部分,为了更好地掌握反函数相关的内容,对反函数的性质作如下归纳。

性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时,如能充分利用这条性质,将对解题有很大帮助。

例1. 函数的反函数是()。

A. B.C. D.解析:这是一个分段函数,对分段函数求反函数要注意分段求解。

由函数解析式可知当时,;时。

由性质1,可知原函数的反函数在时,,则根式前面要有负号,故可排除A、B两项,再比较C、D,易得答案为C。

例2. 若函数为函数的反函数,则的值域为__________。

解析:常规方法是先求出的反函数,再求得的值域为。

反函数与函数的图像变换

反函数与函数的图像变换

反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数。

比如,指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。

函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。

设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,我们可以用y 把x 表示出来,得到()x y ϕ=,若对于y 在C 中每一个值,都只有唯一的x A ∈与它对应,那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量,x 为因变量的一个函数,这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=。

1f -是对应法则,1()y f x -=是表示反函数的符号,是一个整体。

1f -表示的对应是f 的逆对应,11()()f x f x -≠。

()y f x =也是1()y f x -=的反函数,()y f x =、1()y f x -=互为反函数。

只有当()y f x =是一一映射时,()f x 才有反函数。

特例:2x y =,2log x y →=,2log y x →=,一般:()y f x =,1()x f y -→=,1()y f x -→=。

例1 求下列函数的反函数:(1)21xy -=+()0x >;(2)211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。

二、互为反函数的两个函数的性质:指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。

根据反函数的定义,如果点(),a b 在函数()y f x =上,则点(),b a 在函数1()y f x -=上,从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。

互为反函数的 两个函数图像间的关系

互为反函数的 两个函数图像间的关系
请同学在练习本上画出图像
引导设问3
请画一画指数函数y 2x
的图像,并画出指数函数
和对数函数
和 ( y = (1)x 2
y = log
y
1x )
2
log
x 2
对数函数,它们的函数图像有什么关系?
y 2x的反函数是y log2 x
y


1 2
Hale Waihona Puke x 的反函数是y
log 1
2
x
有点(a,b),那么它的反函数y=f-1(x)的图像上
必然有点(b,a)。
练习
应用 例3 函数f (x) =
ax + b (x ≥
b -)
的图象
过点(1,2),它的反函数的a 图象也过此
点, 求函数f(x)的解析式。
解: 点(1,2)关于直线y=x的对称
点为(2,1),可得函数f(x)的图象还 过(2,1)。
y

log
x 2
的图
像上吗?为什么?
引导设问5
动态演示
引导设问6
动态演示
引导设问7
由上述探究过程可以得到什么结 论?
结论
函数 y = f (x) 的图象和它的 反函数 y = f -1(x) 的图象关于 直线y=x对称。
在直角坐标系内,画出直线y=x,然后找 出下面这些点关于直线y=x的对称点,并 写出它们的坐标。
得到 2 a b,解得a=-3,b=7.
1 2a b
因此,函数的解析为 f (x) =
-3x +7(x ≥ 7)。
3
例4在同一坐标系内画出函数y (x>-3)及其反函数的图象。

互为反函数的函数图象间的关系

互为反函数的函数图象间的关系

互为反函数的函数图象间的关系1. 引言在数学中,函数是一个关系,它将一组输入值映射到一组输出值。

互为反函数的函数是指两个函数之间存在着一种特殊的关系,即将一个函数的输出作为另一个函数的输入时,两个函数所得的结果可以彼此对应,互相抵消,使得最终结果回到原先的输入。

本文将探讨互为反函数的函数图象之间的关系以及该关系的一些特点。

2. 互为反函数的定义设函数 f 和 g 为两个定义在数域 D 上的函数,如果对于任意x∈D有 g(f(x))=x和 f(g(x))=x,那么函数 f 和 g 互为反函数。

简单来说,互为反函数的函数可以互相撤销对方的操作,使得最终结果回到原先的输入。

3. 互为反函数的图象如果两个函数 f 和 g 互为反函数,那么它们的图象之间存在一些特殊的关系。

具体可以分为以下几种情况:3.1 图象对称如果函数 f 的图象关于直线 y=x 对称,则函数 g 的图象与函数 f 的图象重合。

这是因为对称性保证了将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时,可以得到相同的结果,从而形成图象重合。

3.2 倒置关系当函数 f 的图象关于直线 y=x 倒置时,函数 g 的图象与函数 f 的图象相互倒置。

这是因为通过倒置关系,将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时,可以得到相反的结果,从而形成图象相互倒置。

3.3 对称轴为直线 y=x如果函数 f 和 g 的图象关于直线 y=x 对称,则它们的图象在该直线上对应。

这是因为对称轴为直线 y=x 时,函数 f 和 g 可以互相抵消对方的操作,使得最终结果回到原先的输入,并保持图象在该直线上的对应关系。

4. 互为反函数的例子4.1 幂函数与对数函数幂函数和对数函数是互为反函数的经典例子。

定义在正实数集合上的幂函数f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = loga(x) 具有以下关系:f(g(x)) = loga(a^x) = x,g(f(x)) = loga(a^x) = x。

高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数探究与发现互为反函数...》233教案教学设计 一等奖名师

高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数探究与发现互为反函数...》233教案教学设计 一等奖名师

互为反函数的两个函数图象之间的关系教案一、教学目标1、了解互为反函数的函数图像间的关系,并能利用这一关系,由已知函数的图像作出反函数的图像。

2、由特殊事例出发,由教师引导,学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系,使学生探索知识的形成过程,采用自主探索,引导发现的教学方法,同时渗透数形结合思想。

3、通过图像的对称变换让学生感受数学的对称美与和谐美,激发学生的学习兴趣。

二、教学重难点重点:互为反函数的函数图像间的关系。

难点:自主探索得出数学规律。

三、教学过程(一)复习旧知1、当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的值域作为一个新的函数的定义域,而把这个函数的定义域作为新的函数的值域,我们称这两个函数。

2、点P(m,n)与点Q(n,m)有怎样的位置关系?3、指数函数10aayax且与对数函数10log且axya互为。

4、怎样求一个函数的反函数?(1)求原函数的值域;(2)反解:y=f(x)得x=f(y);(3)互换:x、y互换位置,得y=f-1(x);(4)写定义域:根据原来函数的值域,写出反函数及其定义域;(二)课堂探究问题1:画出函数2xy,xylog2,xy的图像,取2xy图像上的几个点.2,1,1,0,21,1321PPPPPP321,,关于直线y=x的对称点的坐标是什么?它们在xylog2的图像上吗?为什么?问题2:如果yxP000,在函数2xy的图像上,那么P0关于直线y=x的对称点在函数xylog2的图像上吗?为什么?问题3:由此你们能发现指数函数2xy及其反函数xylog2的图像有什么关系吗?结论:函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像关于直线y=x 对称且单调性相同。

问题4:由上述探究过程可以得到什么结论?结论:函数y=f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x 对称且单调性相同。

思考1:如果两函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数有什么关系?思考2:如果一个函数的图像关于y=x对称,那么它的反函数是什么?问题5:上述结论对于指数函数10aayax且及其反函数10log且axya也成立吗?为什么?54321-1-2-4-2246(a>1)y=logax(a>1)y=ax(三)例题讲解例1:例1:已知函数42xxf,求51f的值?例2:求函数y=2x-2(x∈R)的反函数,并根据原函数和它的反函数的图象关系画出函数图像。

互为反函数的函数图象间的关系

互为反函数的函数图象间的关系

反函数与原函数的 三要素之间的关系
求反函数的方法步骤:
1. 求原函数的值域;即求出反函数的
定义域;
2. 由 y = f ( x ) 反解出 x = f -1 ( y ); 即把 x 用 y 表 示Байду номын сангаас来;
3. 将 x = f -1 ( y ) 改写成
y = f -1 ( x ),并写出反函数的 定义
yx
∴函数y=3x-2(x∈R) 的反函数为 x2 -2 y=
1 -1 -1 -2 1
y
x2 3
x
x∈R
3
例3.求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解: y x x 3 y
3
y
yx
1
3
yx
y x ( x R)
3
y x
3
1
x
重要结论:
3x+2 例. 求函数 y= 的值域. x-2 ax+b 例. 求函数 y= 的值域. cx+d
ax+b a 重要结论 : y= 的值域为 y . cx+d c
互为反函数的
函数图象间的关系
例2. 求函数y=3x-2的反函数,并画 出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y2 ∴x= 3
y y=3x-2
函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象 关于直线y=x对称。
应用思路:
已知函数的图像利用对称性可以 画出它的反函数的图像。
y=3x-2
yx
y
· · · ·
-2 -1 B (2,0)-1 -2
2 (0, ) A 1 3

反函数图像

反函数图像
结论(2)原函数的单调性与 其反函数的单调性相同。
结论3:若y f (x)有反函数y f 1(x) 则y f (x)与y f ( 1 x)互为反函数。
思考:函数y 3x 2与x y 2图像 3
关于直线y x对称吗?
答:重合;在同一坐标系 中横轴表示 自变量。
一 一对应
R y=3x-2 R


1
1
x2
4y
-2
-8


x y2
3
思考:
1.下列函数是否具有反函数?并由此 归纳具有什么条件的函数有反函数?
(1) y=x2 ; (2)y=x2 (x≤0)。
2.互为反函数的两个函数的解析式是 否一定不同?试举例说明。
思考 试问: 若函数y=f(x)图像与 y=f-1(x)图 像有交点;交点都在直线y=x上吗?
作业与练习:
(1)练习:已知函数f (x) kx b的图像 过点(1,2),它的反函数的图像过 点(4,0)试求f ( x)的解析式。
(2) 作业:p64 4, 5. (3) 金版名卷:反函数A卷
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卫,为他办事情丶""の确不简单丶"魔仙强者,起码现在还是各大势力の顶级强者,能够成为魔仙の,哪壹位不是有着极高の傲骨の丶若不是有特别の原因,绝对不会轻易给别人当护卫の丶比如自己乾坤世界中,六大世家当中,加起来就有近二十位魔仙跟随,那是因为看中自己の潜力丶而这位 神城の城主,显然也有不错の潜力,至少根汉发现了,城主府内,最少有七八位魔仙护卫,而且外面说不定还有这样の护卫丶这座传送阵是他们城主府の重中之重,根汉扫了扫旁边の两位大魔神の元灵,便知道了等壹会尔,这里便会有他们の人从浩瀚仙城中回来,他们这两位护卫是过来接人の 丶果然,等了没壹会尔,这传送阵便亮了起来丶神光壹闪,阵中出现了两个黑袍人,同样是两位魔仙护卫,又是魔仙强者丶两人出来后,几人立即围了上来,和另外两位魔仙护卫点了点头,大家交换了位置丶这两位魔仙护卫,要替换刚过来の两人,再次进入传送阵前往浩瀚仙城丶正巧方便了根汉, 他立即跟了进去,没壹会尔の功夫,根汉便来到了浩瀚仙城附近了丶他们到の并不是浩瀚仙城の主城,浩瀚仙城身为仙路上最繁华の超级古城之壹,属地足足有方圆七八亿里之巨,现在他们是在浩瀚仙城の南面,壹片乌黑の大洋上空丶现在并不是晚上,但是海水却是黑色の,再配上天空是阴暗 の,壹点蛤光都没有,看上去和晚上无异丶两位魔仙护卫,应该是经常来这里,他们城主府の运作方式便是如此丶壹次出来两到三位魔仙护卫,由他们到他们の各大驻地,收罗前壹段时间带上来の宝物,或者是人丶然后带回烈日神城,再换作另外两三位魔仙护卫出来,壹直是这样子循环往复,这 样子可以确保壹段时间内,他们烈日神城城主府,都是有货物可以拿出来拍卖の丶前面の魔仙护卫,带回去の东西,可以够壹段时间の拍卖の丶等他们拍卖完成了,下壹批魔仙护卫再这样回去丶而像这样の魔仙护卫,在他们神城城主府内,可能最少也有接近十五到二十人丶肆叁07仙城中心 『部分节错误,点此举报』这两位魔仙护卫出来之后,其中壹人沉声说:"咱们先去哪个点?""不如先去南城の那个点吧,听说前段时间收了好一些曼妙の女修了,修为不错,血脉也还可以,应该可以卖个好价钱丶"另壹人说丶"去南城の话,得好几天の时间,再返回浩瀚仙城の一些点の话,会不 会晚了壹些?""不会吧,现在浩瀚仙城也查得紧,咱们晚点去也没关系,别让仙城の人给盯上了就行丶""恩,也好丶"两人商议了壹番,并没有先去浩瀚仙城,而是反道去了北面の壹座叫南城の地方丶"罢了,算你们好命了,懒得动你们丶"根汉想了想,并没有追上他们,既然浩瀚仙城の人也盯上他 们了,想必他们早晚会被拔除の丶这样子公开抓人贩卖,这些家伙の罪行,浩瀚仙城の那位紫天姐姐,想必不会坐视不理吧丶以她の那修为和实力,若是真想处理这种事情,想必不会费什么力气の丶烈日神城中の强者再多,哪也比不过浩瀚仙城の仙主呀,仙主府内,高手多如牛毛,像他们这样の 魔仙护卫,数量会是神城の十倍还多丶根汉反道前往浩瀚仙城,两天后,便来到了浩瀚仙城の外面丶远远の,壹座闪烁着神光の,巨型城池飘浮在海面上,四周大量の神光,壹道道の穿梭而至,或是从城池往外走,或是要进入这座神城丶即使是是深夜了,这座可怕の仙城,也亮如白昼,夜晚の浩瀚 仙城更加の夺目,宛若壹颗巨型の珍珠,亮人心魂丶"仙城就是仙城呀,圣城和神城,简直没法比。"光是站在这仙城外面,便能感觉到这座可怕古城带来の威严,还有厚厚の庄重感丶这座飘浮在海面上の仙城,光是面积就有方圆几百万里之巨,外面还围着八座巨型の外城,犹如八条神龙拱卫着 中间の这壹座主城丶四周不少神兽飞进飞出の,各路强者在仙城内外进进出出の,那些散发出来の神光,都在预示着,这里就是壹座超级仙城丶根汉壹晃也有近三百年,没有来过这里了,与紫天也有三百多年没有见面了丶上壹回出现在这里,还是特意来斩杀了代家の家主代渊,后来代家の人, 就全亭迁离了浩瀚仙城根汉就再也没来过这里了丶紫天虽与他有些交情,但是这些年间,也没有再与他和轩辕飞燕联系过丶根汉首先来到了浩瀚仙城の八大外城之壹,五号城丶光是这壹座五号城,面积就要比壹百个南风圣城还要大,内部の修仙者数量,更是南风圣城の数百倍了丶这壹座五号 城の修仙者,常驻修仙者,就多达二三百亿,而主城の修仙者数量更是超过了二三千亿了丶浩瀚仙城之所以叫这个名字,也是与它繁华の修行之地,繁华の建筑而闻名丶即使只是壹座外城,这五号城中の繁华,也远比烈日神城,等神城可以比拟の丶交纳了壹万灵石后,根汉得以进入五号城,想要 进入主城の话,必须要先通过八大外城の专门通道,才能够进入主城丶而且进入主城の话,通行费用,就需要高达十万灵石壹次丶进出都要付钱,若是吃饱了没事,壹年到头,不断の进进出出の话,那通行费用,都是壹笔不小の费用丶所以这五号城中の,不少修仙者,穷修仙者,可能壹辈子也没进 过几次主城丶就算是进去の话,也呆不了几天就得出来,因为那里面の消费可不是壹般の修仙者能承受得了の即使只是在主城の街道上睡马路,壹天也要被征收不少の灵石丶初到浩瀚仙城,根汉找了壹家生意不错の酒楼,点了些吃喝の坐在那里,从容不迫の扫了扫附近壹些修仙者の元灵丶" 听说了吗,明年好像仙主府の南明公主要出嫁了。""这还是什么秘密嘛,早就听说了。""要嫁北家の北陆。"’"北家の北陆呀,那家伙了不得呀,好像被称为现在年轻壹代最强者。""年纪轻轻,就已经是魔仙强者了,壹身北渊神功更是出神入化,杀人于无形。""那可不是呀,要是再娶了这南明 公主,啧啧。""北家了不得呀。"酒楼里,一些修仙者在议论这件事情,据说是仙主府の南明公主,那个有名の最美公主,明年要嫁人了丶嫁の对象,是浩瀚仙城几大世家之壹の,北家の壹个叫北陆の年轻人丶关于这个北陆,现在也是风云人物,年纪不过百,已经是魔仙强者了丶而且前段时间,还 斩杀了壹位老魔仙,壹时声名鹊起,有人说,他会是北家の继承人,更是浩瀚仙城年轻壹代の希望丶更有传言说,现在连原始仙域の一些超级势力,都向这北陆抛出了橄榄枝了,恨不得将北陆招入麾下丶有人说北家现在投靠了天盟,也有人说,他们制造了地盟,还有说是星盟,或者是仙狱等等の 丶各种传言都有,现在像这样の话题,在各大仙城还有修行神地内,都不是什么大の秘密了丶几乎人们都在讨论这些事情,因为超级仙域就快降临了,那些古老の超级势力,都在四处拉拢人丶仙城做为仙路上の权势中心,这些仙城中の各大世家,仙城の仙主们,自然就成了这些超级势力の拉拢 の对象丶所以他们以后,会投向谁方势力,也就成了众多修仙者私下里の热议话题丶根汉通过扫了不少人の元灵,也得知了这几百年间浩瀚仙城の情况,自己没来这里の三百多年间,浩瀚仙城似乎更繁华了丶仙城推出了浩瀚阁,有些类似于自己在南风圣城搞の南风社,只要为仙城仙主府,做了 壹定の贡献,就可以得到浩瀚点丶然后通过浩瀚点,可以在浩瀚阁中,兑换你想要の东西丶有道法,有兵器,还有传承,甚至还有各种天材地宝,种类比南风社还要更多の多丶因为这个浩瀚阁中,确实是可以兑换到许多好东西,为此周边不少神城,还有圣城の人员都涌入了仙城中丶尤其是前段时 间,壹些神城,还有圣城,遭到了莫名の打击,有些人为了逃命便来了仙城丶那些势力敢动圣城和神城下手,却不敢对�

互为反函数的两个函数图像间的关系

互为反函数的两个函数图像间的关系
定在其反函数的图象上.
2.如果一次函数
y

ax

1
3与
y

4x

b
的图象关于直
线 y x对称,则 a 4 ,b 12 .
3.方程 x lg x 3 和 x 10x 3 的根分别为、 , 则 α+β 为 3 .
(八)课时小结人教A版必修1第二 基本初等函数(Ⅰ) 探究与发现
互为反函数的两个函数图象 之间的关系
复习回顾 下列函数互为反函数的是:
1y x 2与y x 2
1
2y x3与y x 3
3y x2与y x
4y log 2 x与y 2x
(一)观察实例
问题1. 在同一平面直角坐标系(横、纵轴长度单位一致)
问题5. 上述结论对于指数函数 y a x a 0,且a 1
及其反函数 y log a xa 0,且a 1 也成立吗?
(六)升华提高
⇒ 两个函数互为反函数 图象关于直线 y x 对称

⇔ 两个函数互为反函数 图象关于直线 y x 对称
(七)跟踪练习
1.设点a,b 在函数 y f x的图象上,则点 b, a 一
设 P0关于直线 y x的对称点为P0 ' ,则:P0 '( y0 , x0 )
y0 2x0 log 2 y0 x0 所以:P0 关于直线 y x的对称点在函数 y log 2 x
的图象上。
y = 2x 图象上任意一点关于直线 y x
的对称点都在y log2 x 的图象上 .
它们在 y log2 x的图象上吗?为什么?
P1

互为反函数的两个函数图像之间的关系

互为反函数的两个函数图像之间的关系

互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数:指数函数y 2 x与对数函数y log 2 x .我们知道对数来源于指数,即指数与对数两者之间可以进行相互转换。

指数函数 y 2 x,若将之转化为用y 来表示 x 即:x log 2y ,将其中y作为自变量,x作为R 中与之对应的唯一的值,我们就可以把函数xlog2y(y(0,))叫做指数函数y 2x x log y( y (0,))y log x( x (0, ))的反函数,习惯上我们把函数22,记作,即底数同为 2 的指数函数与对数函数互为反函数。

根据指数与对数的性质,我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数,即指数函数y a x (a0, a1) 与对数函数y log a x (a0, a1) 互为反函数。

通常我们将原函数记作y f ( x),反函数记作y f1(x)。

因为原函数与反函数本质是将x 与 y 互换,所以我们就可以得到:原函数的定义域就是它的反函数的值域,原函数的值域就是它的反函数的定义域。

现在请你应用所学的数学知识,通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系,让我们亲自来发现其中的奥秘吧!问题 1 在同一平面直角坐标系(横、纵轴长度单位一致)中,画出指数函数y 2 x及其反函数 y log 2 x 的图象,你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗?问题 2 取y 2x图象上的几个点,如P1( 1,1), P2 (0,1), P3. (1,2).P1, P2 , P3关于直线y x 的2对称点的坐标是什么?它们在的图象上吗?为什么?问题 3 如果点P(x, y )x的图象上,那么P( x , y )x 的对称点000在函数y 20 0 0 关于直线y在函数 y log 2 x 的图象上吗?为什么?问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论?问题 5 上述结论对于指数函数y a x (a 0, a 1) 及其反函数 y log a x (a0, a 1) 也成立吗?为什么?通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数,函数 y f ( x) 图象上的点关 于 yx 的 对称 点 一 定 是 在 yf 1 (x) 有 图 象 上 ,并 且 函 数 y f ( x) 图象 与 反 函 数yf 1 (x) 的图象关于 y x 对称 .例 1 求下列函数的反函数( 1) yx1( x1)2x 1( 2) y3x 解:( 1)由 yx 1 解出 x ( y1) 2 又写成: y (x 1) 2函数 yx 1( x 1)的值域为 [ 0, )所求的反函数为 y ( x 1)2( x[ 0, )) .注意:如果不注明反函数定义域,得出y ( x1)2 是错误的 .( 2 ) 由 y2x 1( x 3) y 2 x 1x( y 2) 3 y 1 x3 y 1 ,改写成x3y 2y3x 1即为所求 .x 2说明:一般地,求分式函数 yaxb(c 0, ad bc) 的反函数时,直接解出 x f 1 ( y) ,cx d再改写成 y f 1 (x) 即可 .因为使所求出的解析式有意义的x 的范围,已知函数的值域 .例 2 已知函数 yax b( xb) 的图象过点 (1, 2),它的反函数图象也过此点,求函a数 f ( x) 的解析式 .解法一:由 yaxb 得 x y 2 ba∴当 xb时, ya∴函数 yax b (xb) 的反函数是 f1( x) x2b( x 0)aa又∵点 (1,2)既在函数 f (x) 上,也在函数f1( x ) 上2a b∴有1 b 解得: a 3, b 72a∴函数 f (x) = 3x7(x7 )3解法二:由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1,2)关于直线 y x 的对点为 (2,1),可以得到函数 f ( x) 的图象还过点 (2, 1)∴得到2 a b1 2 ab解得: a3, b7∴函数 f (x) =3x 7 (x7 )3巩固练习:1.函数 yx 2 2 x( x 0) 的反函数的定义域是()A 、, 0B 、 0,1C 、,1 D 、[0,)2.设 f ( x)2 x 1 ( x R,x 3),则 f 1( 2) 的值等于()4x 34A 、5 B 、2C 、2D 、5655113.设 a 0, a 1 ,函数 ylog a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于()a[ 来源 :][ 来源 :]( A) x 轴对称(B) y 轴对称(C ) y x 轴对称(D ) 原点对称4.点 (a, b) 在 yf ( x)的图象上,则下列的点在其反函数图象上的是()A. P(a, f1(a )) B. P( f1(b), b)C. P( f1(a), a)D. P(b, f 1(b))5.已知 函数 f (x) ( 1) x1 ,则 f 1( x) 的图象只可能是()y2yyyxx1 x 2xO 11O2O1 O( A)( B)(C )( D )6.设 f ( x)x21(0x 1),则 f 1 ( 5 ).2x ( 1 x0)47.若 y ax 6 与 y 1 x b 的图象关于直线y x对称,且点(b, a)在指数函数 f (x) 的图象3上,则 f ( x).x1x R,且 x 18.给定实数 a,a≠0,且 a≠1,设函数y1.试证明:这个函数ax a 的图象关于直线y=x成轴对称图形.参考答案:1. A ,2. A , 3. B, 4. D, 5.C,6.1. 7. f (x)( 3 ) x.28.证明:先求所给函数的反函数:由yx1ax1( x R, x1 ),a得y(ax-1)=x-1,即 (ay- 1)x=y- 1.假如 ay 10,则 y 1,代入所给函数的解析式, 得1x1 a a ax1即 ax- a=ax- 1,由此得 a=1,与已知矛盾,所以ay- 1≠ 0.因此得到xy 1,其中 y1 , ay1a这表明函数 yx 1 ( x R,且 x 1)的反函数是ax 1ayx 1,( x R,且 x 1).ax1a由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数 y=f - 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称,所以函数yx 1 R, 且 x1ax(x ) 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 .1a。

.关于互为反函数的两个函数图像公共点的结论及其应用 (2019高考)数学考点分类解析

.关于互为反函数的两个函数图像公共点的结论及其应用  (2019高考)数学考点分类解析

关于互为反函数的两个函数图象公共点的结论及其应用定理1 (1)若函数)(x f y =是增函数,则 ①方程x x f f f fn =个)))(((与x x f =)(同解;②方程)()(()(11x f x fx f --=表示函数)(x f y =的反函数,下同)与x x f =)(同解;(2)增函数与其反函数图象的公共点在直线x y =上.证明 (1)①只需证明:方程x x f f f fn =个)))(((的解是方程x x f =)(的解.若方程x x f f f fk =+个1)))(((有解a x =,得a a f f f fk =+个1)))(((.假设a a f >)(,由函数)(x f y =是增函数,得a a f a f f >>)())((,再得a a f a f f f >>)()))(((,…,得a a f f f fk >+个1)))(((.假设a a f <)(,同理可得a a f f f fk <+个1)))(((.均与a a f f f fk =+个1)))(((矛盾!所以a a f =)(.即欲证成立.②因为函数)(x f y =是增函数,所以方程)()(1x fx f -=即方程))(())((1x f f x f f -=也即方程x x f f =))((,由①中2=n 时的结论知也即方程x x f =)(,所以欲证成立.(2)由(1)②可得.用定理1可方便地解决求增函数与其反函数图象的公共点问题:若)(x f y =是增函数,则方程组⎩⎨⎧==-)()(1x f y x f y 与⎩⎨⎧==xy x f y )(同解. 例如,求0)1(2≥-=x x y 与其反函数图象的公共点坐标.由定理1-3可得答案:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++251,251. 注 减函数与其反函数的图象的公共点不一定在直线x y =上.反例 1 函数⎪⎭⎫⎝⎛≤-=3737x x y 与其反函数372x y -=)0(≥x 图象的公共点)1,2(),2,1(均不在直线x y =上.反例 2 函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=161与其反函数x y 161log =图象的公共点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21,21,41均不在直线x y =上.但我们有较定理1更普遍的结论成立:定理2 若互为反函数的两个函数图象有公共点(,)a b ,则它们也有公共点(,)b a .证明 若曲线()y f x =与1()y f x -=有公共点(,)a b ,得⎩⎨⎧==-)()(1a fb a f b ,所以⎪⎩⎪⎨⎧====---aa f fb f aa f fb f ))(()())(()(111即函数()y f x =与1()y f x -=也有公共点(,)b a . 下面用定理1,2来解答三道高考题.题1 (2013年高考四川卷文科第10题)设函数()e (x f x x a a =+-∈R ,e 为自然对数的底数).若存在]1,0[∈b 使得(())f f b b =,则a 的取值范围是( ) A.[1,e] B.[1,1e]+ C.[e,1e]+ D.[0,1]答案 A解 因为函数()f x 在定义域内是增函数,所以由定理1(1)①知题设即方程()f x x =([0,1])x ∈也即2(e [0,1])x x a x x ∈=+-有解.设函数2([0,1])()e x g x x x x ∈=+-,得([(e 12(1)10,1]2=20)x g x x x x x x '=+-≥++∈-->)(因为用导数易证e 1(x x x ≥+∈R )),所以函数()g x 是增函数,得函数()g x 的值域是)]1(),0([g g 即[1,e].得所求a 的取值范围是[1,e].题2 (2013年高考四川卷理科第10题)设函数()e (x f x x a a =+-∈R ,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )A.[1,e]B.]1,1e [1-- C.[1,e 1]+ D.]1e ,1e [1+--答案 A解 可得题设即“存在]1,0[0∈y 使得00(())f f y y =”,接下来的解答就全同题1的解答了……题 3 (2007年高考重庆卷文科第10题)设(31)P ,为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数1()y f x -=的图象的一个交点,则( )A.15,22a b == B.15,22a b ==- C.15,22a b =-= D.15,22a b =-=- 答案 C解 由定理2可得(1)3f =且(3)1f =,解得15,22a b =-=.用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ,其中a <1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )=e x (2x -1),得g ′(x )=e x (2x +1).由g ′(x )>0得x >-12,由g ′(x )<0得x <-12,所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数. 又函数g (x )在x <12时g (x )<0,在x >12时g (x )>0,所以其大致图象如图1所示.图1直线y =ax -a 过点(1,0).若a ≤0,则f (x )<0的整数解有无穷多个,因此只能a >0. 结合函数图象可知,存在唯一的整数x 0,使得f (x 0)<0,即存在唯一的整数x 0,使得点(x 0,ax 0-a )在点(x 0,g (x 0))的上方,得x 0只能是0,所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)≥0,f (0)<0,f (1)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧-3e -1+2a ≥0,-1+a <0,e ≥0,解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后,得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >,由a <1,可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解,也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-,得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-,所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数,得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=,由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示:图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ,所以由图2可得: 当32ea <时,满足()g t a >的整数t 有2,1--,所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时,满足()g t a >的整数t 只有1-,所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法3 (排除法)D.当0a =时,不等式f (x )<0即e x (2x -1)<0也即12x <,它有无数个整数解,不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )=e x (2x -1),得g ′(x )=e x (2x +1).由g ′(x )>0得x >-12,由g ′(x )<0得x <-12,所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数.又g ′(0)=1,所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-,如图3所示.图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做,还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程:(1)2121+=+x x ;(2)c c x x 11-=-;(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212,=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时,先去分母得到一元二次方程,该一元二次方程最多两个解,再检验(舍去使原方程中分母为零的解),所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212,=x ,所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理,可得原方程的所有解是cc x 1-=,.(3)容易观察出cc x 1,=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解,而已经找到了原方程的两个解cc x 1,=(因为对于任意的非零实数c ,c 和c 1都是原方程的解,所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解),所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ,易知它是增函数,所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根,否则没有根),……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα,求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解,所以该方程组也最多有两组解,......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解, (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ,且∈=+k a a S k k k (211N*),其中11=a ,求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ,所以当k a a a ,,,21 确定时,1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知,数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件,所以数列{}k 是满足题设的唯一数列,得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ,再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知11,6,1321===a a a ,且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*),其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值;(2)证明数列}{n a 为等差数列;解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*),11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列,}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知,若}{n a 为等差数列,则45-=n a n ,于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②,所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ,}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21,求n a ; 解 首先,由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知,满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以,若能找到一个数列满足该题目的所有条件,则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121,即nk a n 1-=(k 是常数)满足递推关系n n a a n n ++=+211,再由211=a ,得n a n123-=满足题目的所有条件,所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n na a 1,3211+==+,求n a .解 易知本题的答案是是唯一确定的,所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数),即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+,再由321=a ,得n a n 32=满足题目的所有条件,所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的,所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式,则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω,若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解,又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ,则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题:题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是:对任何∈n N*,都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列: 当0=d 时,易得欲证成立.当0≠d 时,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论:若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立,则n a a a ,,,21 成等差数列,且na a n 1≠.当3=n 时成立:当2=i 时,得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+,所以321,,a a a 成等差数列,还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ,而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立:即ka a a ,,,21 成等差数列,且kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知,当21,a a 确定时,数列121,,,+n a a a 也是确定的,而由必要性的证明知,由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设,所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列,即121,,,+n a a a 成等差数列,同上还可证111+≠+k a a k ,即1+=k n 时成立.所以要证结论成立,得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊,2008(3):462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ,其中a <1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )=e x (2x -1),得g ′(x )=e x (2x +1).由g ′(x )>0得x >-12,由g ′(x )<0得x <-12,所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数. 又函数g (x )在x <12时g (x )<0,在x >12时g (x )>0,所以其大致图象如图1所示.图1直线y =ax -a 过点(1,0).若a ≤0,则f (x )<0的整数解有无穷多个,因此只能a >0. 结合函数图象可知,存在唯一的整数x 0,使得f (x 0)<0,即存在唯一的整数x 0,使得点(x 0,ax 0-a )在点(x 0,g (x 0))的上方,得x 0只能是0,所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)≥0,f (0)<0,f (1)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧-3e -1+2a ≥0,-1+a <0,e ≥0,解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后,得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >,由a <1,可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解,也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-,得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-,所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数,得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=,由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示:图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ,所以由图2可得: 当32e a <时,满足()g t a >的整数t 有2,1--,所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时,满足()g t a >的整数t 只有1-,所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时,不等式f (x )<0即e x (2x -1)<0也即12x <,它有无数个整数解,不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )=e x (2x -1),得g ′(x )=e x (2x +1).由g ′(x )>0得x >-12,由g ′(x )<0得x <-12,所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数.又g ′(0)=1,所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-,如图3所示.。

反函数及其应用如何通过反函数及其应用解决各种代数问题

反函数及其应用如何通过反函数及其应用解决各种代数问题

反函数及其应用如何通过反函数及其应用解决各种代数问题反函数及其应用导语:在数学中,反函数是一个相对于原函数的概念。

本文将介绍反函数的定义和性质,并讨论如何通过反函数及其应用来解决各种代数问题。

一、反函数的定义反函数是指在函数关系中,若函数f(x)将集合A中的元素映射到集合B中的元素,则存在一个函数g(x),它能将集合B中的元素映射回集合A中的元素,且这两个函数互为反函数。

二、反函数的性质1. 原函数f和反函数g互为反函数,当且仅当它们的复合函数满足以下等式:f(g(x)) = x,g(f(x)) = x。

2. 若f是一个可逆的函数,则它的反函数存在且唯一。

3. 反函数的图像是原函数图像关于直线y = x的对称图形。

三、如何求解反函数为了求解一个函数的反函数,可以按照以下步骤进行:1. 将原函数表示为y = f(x)的形式。

2. 对于y = f(x)中的x和y,互换其位置得到x = f(y)。

3. 将x = f(y)关于y求解,得到y = g(x)。

4. 检验函数g是否和原函数f互为反函数。

四、反函数的应用反函数在代数问题中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用场景:1. 解方程通过使用反函数,可以将复杂的方程转化为简单的形式来求解。

例如,对于方程f(x) = b,可以通过求解反函数g(b) = x来找到方程的解。

2. 求逆矩阵在线性代数中,逆矩阵是一个非常重要的概念。

通过使用反函数,可以快速求解一个矩阵的逆矩阵,进而解决线性方程组。

3. 函数的合成反函数使得函数的合成更加方便。

通过将一个函数的反函数代入到另一个函数中,可以简化运算,加快计算速度。

4. 求导运算在微积分中,反函数对求导运算有着重要的作用。

通过求解一个函数的反函数,可以简化复杂函数的求导过程。

5. 函数图像的对称性反函数的图像关于直线y = x对称,可以利用这个性质来研究函数的图像和性质。

结语:通过本文的介绍,我们了解了反函数的定义和性质,以及如何求解反函数。

互为反函数的函数图象间的关系课件

互为反函数的函数图象间的关系课件
互为反函数
如果函数y=f(x)与其反函数 y=f^(-1)(x)的图象关于直线y=x 对称,则称函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)互为反函数。
反函数的性质
01
02
03
单值性
对于任意一个自变量x, 反函数f^(-1)(x)只有一个 因变量y与之对应。
对应性
对于任意一个因变量y, 反函数f^(-1)(x)只有一个 自变量x与之对应。
交换性
如果函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)的图象关于 直线y=x对称,则它们的 定义域和值域互换。
反函数的求法
代数法
通过解方程组来求反函数。首先将原 函数表示为x的函数,然后解出x,得 到反函数的解析式。
几何法
通过观察原函数的图象来求反函数的 图象。首先找到原函数的值域和定义 域,然后通过平移和对称变换得到反 函数的图象。
理解值域与定义域的互换是理解反函数的关键
掌握这一性质有助于理解反函数的定义和性质,以及如何从已知函数求得其反函数。
函数图象的交点
互为反函数的函数图象交点关于直线y=x对称
如果两个互为反函数的函数图象在某点$(a,b)$相交,那么它们必然关于直线y=x对称地 交于另一点$(b,a)$。这是因为互为反函数的两个函数满足$f(x)=y$和$f^{-1}(y)=x$,
当它们在$(a,b)$相交时,必然也在$(b,a)$相交。
交点的对称性是判断两个函数是否互为反数的重要依据
如果两个函数的图象没有交点或者交点不关于直线y=x对称,那么它们就不可能互为反 函数。
04
反函数的应用
在数学中的应用
函数性质研究
01
通过研究反函数的性质,可以深入了解原函数的性质,如单调

关于互为反函数的两个函数图像公共点的结论及其应用

关于互为反函数的两个函数图像公共点的结论及其应用

关于互为反函数的两个函数图象公共点的结论及其应用定理1 (1)若函数)(x f y =是增函数,则①方程x x f f f fn =4434421Λ个)))(((与x x f =)(同解; ②方程)()(()(11x f x f x f --=表示函数)(x f y =的反函数,下同)与x x f =)(同解;(2)增函数与其反函数图象的公共点在直线x y =上.证明 (1)①只需证明:方程x x f f f fn =4434421Λ个)))(((的解是方程x x f =)(的解. 若方程x x f f f f k =+4434421Λ个1)))(((有解a x =,得a a f f f fk =+4434421Λ个1)))(((. 假设a a f >)(,由函数)(x f y =是增函数,得a a f a f f >>)())((,再得a a f a f f f >>)()))(((,…,得a a f f f fk >+4434421Λ个1)))(((. 假设a a f <)(,同理可得a a f f f fk <+4434421Λ个1)))(((. 均与a a f f f fk =+4434421Λ个1)))(((矛盾!所以a a f =)(.即欲证成立. ②因为函数)(x f y =是增函数,所以方程)()(1x f x f -=即方程))(())((1x f f x f f -=也即方程x x f f =))((,由①中2=n 时的结论知也即方程x x f =)(,所以欲证成立.(2)由(1)②可得.用定理1可方便地解决求增函数与其反函数图象的公共点问题:若)(x f y =是增函数,则方程组⎩⎨⎧==-)()(1x f y x f y 与⎩⎨⎧==xy x f y )(同解. 例如,求0)1(2≥-=x x y 与其反函数图象的公共点坐标.由定理1-3可得答案:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++251,251.注 减函数与其反函数的图象的公共点不一定在直线x y =上.反例 1 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=3737x x y 与其反函数372x y -=)0(≥x 图象的公共点)1,2(),2,1(均不在直线x y =上.反例 2 函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=161与其反函数x y 161log =图象的公共点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21,21,41均不在直线x y =上.但我们有较定理1更普遍的结论成立:定理2 若互为反函数的两个函数图象有公共点(,)a b ,则它们也有公共点(,)b a . 证明 若曲线()y f x =与1()y f x -=有公共点(,)a b ,得⎩⎨⎧==-)()(1a f b a f b ,所以⎪⎩⎪⎨⎧====---aa f fb f a a f f b f ))(()())(()(111即函数()y f x =与1()y f x -=也有公共点(,)b a . 下面用定理1,2来解答三道高考题.题1 (2018年高考四川卷文科第10题)设函数()f x a =∈R ,e 为自然对数的底数).若存在]1,0[∈b 使得(())f f b b =,则a 的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1e]+C.[e,1e]+D.[0,1]答案 A解 因为函数()f x 在定义域内是增函数,所以由定理1(1)①知题设即方程()f x x =([0,1])x ∈也即2(e [0,1])x x a x x ∈=+-有解.设函数2([0,1])()e x g x x x x ∈=+-,得([(e 12(1)10,1]2=20)x g x x x x x x '=+-≥++∈-->)(因为用导数易证e 1(x x x ≥+∈R )),所以函数()g x 是增函数,得函数()g x 的值域是)]1(),0([g g 即[1,e].得所求a 的取值范围是[1,e].题2 (2017年高考四川卷理科第10题)设函数()f x a =∈R ,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )A.[1,e]B.]1,1e[1-- C.[1,e 1]+ D.]1e ,1e [1+--答案 A解 可得题设即“存在]1,0[0∈y 使得00(())f f y y =”,接下来的解答就全同题1的解答了…… 题 3 (2017年高考重庆卷文科第10题)设(31)P ,为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数1()y f x -=的图象的一个交点,则( )A.15,22a b ==B.15,22a b ==-C.15,22a b =-=D.15,22a b =-=- 答案 C 解 由定理2可得(1)3f =且(3)1f =,解得15,22a b =-=.。

黑龙江--互为反函数的函数图象间的关系(王洪军)(20210523204932)

黑龙江--互为反函数的函数图象间的关系(王洪军)(20210523204932)

对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下(不严密证明)利用
x0 , y0 在原函数图像
y y 上,那么 ( 0 , x0 )在反函数图像上这一性质, 从图形上充分研究 x0 , y0 与( 0 , x0 )的关系。
y 经讨论研究可得出结论 “ x0, y0 与(
,
0
x0 )关于
y=x
对称 ”。进而通过任意点的对称得出
x y 与之对应,即
0
0,

0
原函数图像上,那么哪一点在反函数图像上?
y 〇 学因为 x 0 =3 x0 -2 成立,所以 0
8
y y0
2 成立即 (
3
0 , x0 )在反函数图像上。
7
6
5
4
C
B
3
E2
DG
1
OA
F
-2
2
4
6
8
10
12
14
-1
-2
-3
● 引导设问 3 若连结 BG,则 BG与 y=x 什么关系?点 B 与点 G什么关系?为什么?点 B 再 换一个位置行吗?
一、画出 y=3x-2 ( x R) 的图像,并求出反函数。
● 引导设问 1 原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系? 〇 学生活动 学生很容易回答
原函数 y =3x-2 中 y: 函数 x:自变量
y2
反函数 x
3中
x: 函数 y:自变量
y ● 引导设问 2 在原函数定义域内任给定一个 x0 都有唯一的一个
目ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、过程与方法:由特殊事例出发,由教师引导,学生主动探索得出互为反函
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解:由题意知,P(1,2)在函数 y ax b 的反函 数的图象上,根据互为反函数的函数图象关于直线 y=x对称的性质知,点P1(2,1)也在函数 y ax b 的图象上。因此,得
2 a b 1 2a b
解得,a=-3,b=7
例4、求证:函数 y 象关于直线y=x对称.
解: ∵f(x)的图像过点(1,3)
∴a+b=3 ① 由f(x)的反函数f-1(x)的图像过点(2,0),可知 f(x)的图像过点(0,2)
∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
f (x) 2x 1
练习5:已知函数 f (x) x 5 2x m
的图象关于直线y=x对称,求m的值.
练习3:如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于 直线y=x对称,求a,b的值
解:据题意, y=ax+2与y=3x-b互为反函数,
y=3x-b的反函数为:y x b (x R), 3
ax 2 x b , 3
比较系数得:
a

1 3
,
b

6
练习4:已知函数 f (x) ax b 的图像经过点 (1,3),且它的反函数f-1(x)的图像过点 (2,0),求f(x).
解:由函数 y x3 (x R),
y x3 y x
得 x3 y
y
所以函数 y x3
(x R)的反函数是:
y 3 x(x R)
y3 x
注:当已知函数y=f(x)
x
的图象时,利用所学定理,
作出它关于直线y=x对称的
图象,就是反函数y=f-1(x) 的图象。
练习1:
画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象,再
3x 1 1 ax xa x3
∴ a = -3
练习2:如果y=f(x)的图象过点(1,2),那么 y=f-1(x)–1的图象过点__(_2_,_0_)____
分析:由y=f(x)的图象过点(1,2),知y=f-1(x)的 图像过点(2,1),而y=f-1(x)–1的图像是由y=f-1(x) 的图像向下平移1个单位得到的,故y=f-1(x)–1的图象 过点(2,0)
3
x0
2
3
y -2 0
1 -2 -1 -1 1
x -2 0
-2
y
0
2
3
yx
y x2 3
x
问题:
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系?
回答:
它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。
给出定理:
函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f -1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。
利用对称性画出它的反函数的图象.
yx
y y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y x
x
x 0 1 4 9…
y 0 1 2 3…
然后我们利用互为反函数的函数图像间 的关系来解决相应问题
例3、若点P(1,2)在函数 y ax b 的图象 上,又在它的反函数的图象上,求a,b的值。
注:1)这个结论是由特殊到一般归纳出来的,并未经
过严格证明,为不增加难度,现在不作证明。 2)这个结论是在同一坐标系下,且横轴(x轴)与纵轴
(y轴)长度单位一致的情况下得出的。
3)函数y=f(x)与函数y=f-1(x)互为 反函数,图像关于直线y = x对称;
y=f(x)=3x-2
x f 1( y) y 2
∴函数
y

x (x x 1

1
)
数的图象关于y = x 对称; 反之,如果一个函数的图象 关于y = x 对称,那么这个
的图象关于直线y=x对称
函数的反函数就是它本身。
例5、已知函数
f
(
x
)
=
3x 1 ( x a,a 1)
xa
3
1)求 f ( x ) 的反函数;
2)若这个函数图象关于 y = x 对称,求 a 值。
5 -5=0 m
三、课堂小结
1、函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f -1 ( x ) 的图 象关于直线 y = x 对称。
2、函数y=f(x)与函数y=f -1(x)互为反函数,图像关于直线 y = x对称;函数y=f(x)与函数x=f -1(y)为互为反函数,图 像相同。函数y=f -1(x)与函数x=f -1(y)是同一函数,图像 关于直线y=x对称
3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象
4、如果两个函数的图象关于y = x 对称,那么这两个函数 互为反函数; 5、如果一个函数的反函数就是它本身,那么这个函数的 图象关于y = x 对称;反之,如果一个函数的图象关于y = x 对称,那么这个函数的反函数就是它本身。
四、布置作业:课本:习题2.4 3,4,5
解法一:由
f (x) x 5 得反函数 2x m
y mx 5 2x 1

x 5 mx 5 2x m 2x=0
∴m=-1
则(0,
5 m5
)在f(x)的图象上
m
由已知f(x)的反函数是自身
∴(

5 m
,
0)在f(x)的图象上, ∴m=-1

x (x x 1
1)
的图
yx
证明:
y

x x 1
∴yx-y=x
y
(y-1)x=y
y x y 1
∴函数 y 的反函数为
x x
y
1x(xx1(1x)
1)
1 -1 1
O
x
-1
即:函数
y

x (x x 1

1) 注:如果一个函数的反函 数就是它本身,那么这个函
的反函数是该函数自身
⑶.指出反函数的定义域(即原函数的值域).
反解
互换 写出定义域
3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的 坐标为(b, a.)(即横坐标与纵坐标对换位置)
4、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数?为什 么?如何改写定义域才能使其有反函数?
解:函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数; 因为它不是由一一映射构成的函数;
当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时 它才有反函数.
二、讲授新课
首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系
例1 、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数,并且画 出原来的函数和它的反函数的图象。
解: ∵y=3x-2
y=3x-2
∴x= y 2
y
函数y=3x-2(x∈R)的3反函数为y=x 2(x∈R)
量,x是自变量y的函数,这样的函数x = (y),(yC)叫
做函数y=f(x) ,(xA)的反函数,记作 x = f 1(y) 字母x、y互换,得 y=f-1(x)
例如:函数x= y+1是函数y=3x-1的反函数。 3
2、求反函数有哪些基本步骤?
求反函数的基本步骤:
⑴.由y=f(x)出发,用y表示x,解出x = f1(y); ⑵.将x,y互换得到y = f1(x);
解:1)由y

3x 1
xa
yx
ay

3x
1

x

1 ay y3
又y

3( x
a) 1 xa
3a

3

1 3a xa
≠3
f 1( x) 1 ax ( x 3)
x3
2)由题 函数图象关于 y = x 对称
可知 f(x)的反函数是它本身即 f (x) = f -1 (x)
互为反函数的函数图像之间的 关系及应用
一、复习提问:
1.叙述反函数的定义: 一般地,函数y=f(x)(xA )中,设它的值域为C,我们 根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A中 都有唯一的值和它对应,那么, x = (y)就表示y是自变
y
3
yx
函数y=f(x)与函数x=f-1(y)互为 反函数,图像相同。
函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是
同一函数,图像关于直线y=x对称
1
4)如果两个函数的图象 关于y = x 对称,那么 这两个函数互为反函数;
-2 -1 -1 1 -2
y f 1(x) x 2 3
x
例2 、求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画 出原来的函数和它的反函数的图象.
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