28.2.2应用举例 (1)
人教版九年级数学下册：28.2.2《应用举例》说课稿4
人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿4一. 教材分析人教版九年级数学下册28.2.2《应用举例》是全册书的重点内容之一，主要讲述了分式方程的应用。
本节课通过具体的例子，让学生了解并掌握分式方程的解法及其在实际问题中的应用。
教材内容紧密联系实际，具有一定的挑战性，有利于培养学生的思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了分式的基本知识，对分式方程有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为分式方程，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与数学知识有机结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能灵活运用分式方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过合作交流，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究的精神，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的解法及其在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为分式方程，以及分式方程在实际问题中的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，培养学生的解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合现代教育技术，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对分式方程的思考，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新知：讲解分式方程的解法，并通过例题让学生理解和掌握。
3.应用拓展：让学生分组讨论，运用分式方程解决实际问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
4.总结反思：让学生总结本节课所学知识，反思自己在解决问题过程中的优点和不足。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出本节课的主要内容。
主要包括以下几个部分：1.分式方程的定义2.分式方程的解法3.分式方程在实际问题中的应用八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、解决问题的能力、合作交流等方面进行。
人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿2
人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿2一. 教材分析人教版九年级数学下册28.2.2《应用举例》这一节主要讲述了分式方程的应用。
在学习了分式方程的基本概念和求解方法之后，学生可以通过本节课的学习，将分式方程应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
教材通过举例的方式，让学生了解分式方程在生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了分式方程的基本知识，对于如何求解分式方程已经有了一定的了解。
但是，将分式方程应用到实际问题中，解决实际问题，这是学生们的弱项。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握分式方程在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
2.过程与方法：通过举例，让学生学会如何将分式方程应用到实际问题中，培养学生的数学应用意识。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将分式方程与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例教学法，让学生通过分析、讨论实际问题，掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题，引导学生进行分析、讨论。
六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，让学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.新课讲解：讲解分式方程在实际问题中的应用，让学生通过案例学习，掌握解决实际问题的方法。
3.课堂练习：给出几个实际问题，让学生独立解决，巩固所学知识。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调分式方程在实际问题中的应用。
5.作业布置：布置一些相关的实际问题，让学生课后练习。
七. 说板书设计板书设计主要包括以下几个部分：1.分式方程在实际问题中的应用2.案例分析3.解题步骤4.课堂练习八. 说教学评价教学评价主要从学生的课堂表现、作业完成情况、课后练习三个方面进行。
人教版九年级下册28.2.2应用举例(第二课时)方位角优秀教学案例
（一）情景创设
1.利用现实生活中的情境，如迷路、找方向等，引发学生对方位角的兴趣，激发学生的学习动机。
2.通过展示图片、视频等多媒体资源，让学生直观地感受方位角在实际生活中的应用，增强学生的空间想象力。
3.设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生主动探究方位角的定义和计算方法，提高学生的思维能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，如方位角的定义、计算方法和应用等。
2.学生分享自己在讨论过程中的收获和感悟，总结解决问题的方法和经验。
3.教师强调方位角在实际生活中的应用，提醒学生关注数学与生活的联系。
4.教师对学生的学习情况进行点评，给予肯定和鼓励，并提出改进建议。
（五）作业小结
（三）学生小组讨论
1.教师布置具有挑战性和启发性的任务，让学生分组讨论并解决实际问题。
2.教师指导学生运用所学知识，如方位角、坐标系等，进行问题分析和解决。
3.教师关注学生的讨论过程，及时给予指导和鼓励，促进学生的有效合作。
4.各小组展示讨论成果，分享解决问题的方法和经验，促进学生之间的相互学习和借鉴。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和教训，提高学生的自我认知能力。
2.教师通过课堂提问、作业批改等方式，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导和反馈。
3.教师组织学生进行自我评价和同伴评价，让学生了解自己的优点和不足，培养学生的评价能力。
4.教师注重评价学生的综合素质，如空间想象力、逻辑思维能力、合作意识等，全面客观地评价学生的学习成果。通过评价激发学生的学习动力，促进学生的全面发展。
1.教师布置具有针对性和实践性的作业，让学生巩固所学知识，提高应用能力。
人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）
28.2.2 解直角三角形应用举例(第3课时)
l
α
h
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（ h ）和水平长度（ l ）的比 h 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = . l 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝ h = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 100 3 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 ( 50) m 3 ，则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
l h α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡 是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡
“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小
段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直” 的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以 算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
l
例7. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）坝斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
AF tan i 11.5 ： BF
A 6m
D i=1:3 β C
i=1:1.5 B α
33.7
应用举例
【示范题2】(2015·凉山州中考)如图,在楼房AB和塔CD之间有一棵 树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点,且俯角α 为45°, 从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点,且仰角β 为 30°.已知树高EF=6米,求塔CD的高度(结果保留根号).
【小题快练】
1.判断对错:
(1)视线与水平线的夹角叫仰角. (2)水平线下方的角叫俯角. (3)仰角可以是钝角. (×) (×)
(×)
2.高度为8 3 m的一棵树,在水平地面上形成的影子长为24m,那么太 30° 阳光线与水平地面形成的夹角是_____. 3.如图,为测量一幢大楼的高度,在地面上距离楼底O点20m的点A处, 42.9 测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°,则这幢大楼的高度为_____m.
28.2.2 应用举例
第1课时
如图,完成下列填空题:
DAB 如图是两座楼房的位置,在点A观察点D的仰角是60°,即∠____=60 °; BAC 在点A观察点C的俯角是45°,即∠____=45 °.
【结论】仰角、俯角的概念 上方 的角叫 (1)测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线_____ 做仰角. 下方 的角叫做俯角(如图所示). (2)视线在水平线_____
【思路点拨】根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°,进而根据等腰直角三
角形的性质求得FD,在Rt△PEH中,利用特殊角的三角函数值求出PH, 即可求得PG,在Rt△PCG中,求出CG的长度,进而求出CD的长度.
【自主解答】由题意可知∠BAD=∠ADB=45°,
∴FD=EF=6米,
在Rt PEH中， tan BF EH 5 ， PH BF
三角函数应用举例(1)仰角俯角
A
C
从D看B的仰角是 ∠BDE .
水平线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部
的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果
取整数）
分析：我们知道，在视线与水平线所
仰角
水平线
成的角中视线在水平线上方的是仰角
B
，视线在水平线下方的是俯角，因此
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
我的收获
模型一
模型二
A
B
模型三
C
A
D
C
Байду номын сангаас
D
B
模型四
总结
1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示 意图中的什么元素对应，只有明确这些概念， 才能恰当地把实际问题转化为数学问题；
2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角 形；
当堂反馈
3.如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰 角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=(4_0__3___1_.5_)_m （结果保留根号）．
4.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角 是30∘,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是 45∘,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是 _4_0__3_m(结果保留根号)
解决问题）
变式2： 站在一栋楼的顶端A处，看另一栋楼楼 顶的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60° ，这两栋楼间的水平距离为240m，楼BC有多高 ？（注：此题可以转化为变式1的解法）
当堂反馈
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处， 观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__10_0__米. 2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30 米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯 角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
锐角三角函数《应用举例》第2课时示范公开课教学设计【人教版九年级数学下册】
第二十八章锐角三角函数28.2.2应用举例第2课时一、教学目标1.能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中；2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题；3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力；4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在航海方面的应用，使学生感受到数学的广泛作用.二、教学重难点重点：能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.难点：灵活选择三角函数解决问题.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【回顾】教师活动：教师带领学生回顾前面所学知识，为下面做基础.如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c2___；思考并配合老师回答问题通过前面所学知识的复习，为后面解题做基础.(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=__90°___；(3) 边角之间的关系：sin A=__ac___，cos A=_bc____，tan A=_ab____.解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.环节二探究新知【探究】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 °方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数) ？【归纳】方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.在下图中依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65°、南偏东34°方向的射线.学生跟随教师写过程经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.解：如图 ，在Rt △APC 中， PC ＝P A ·cos(90°－65°) ＝80×cos25° ≈72.505在Rt △BPC 中，∠B =34°，sin PCB PB=()72505130n mile sin sin34PC .PB B ∴==≈ 当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130海里． 环节三应用新知 【典型例题】例1：铁路的路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝3∶2，顶宽是3m ，路基高是1.5m ，求路基的下底宽是多少？【归纳】坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成tan hi lα==的形式.坡度越大 坡角越大 坡面越陡解：如图，AD =3m ，作AE ⊥BC ， DF ⊥BC .集体回答通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.∵i=3∶2，AE=DF=1.5m.∴BE=CF=1m.∴BC=1+1+3=5m.环节四巩固新知【随堂练习】教师活动：通过Pk作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习1如图，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶1，坝高BE=20m，迎水坡AB=_______m，坡角α=_______.答案：202；45°练习2如图，海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？答案：(方法1）解：如图，过A作AC⊥BD，交BD的延长线于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，由题意，得∠CAD=30°，∠CAB=60°，∠ABD=90°－60°= 30°，又∵∠BAD=∠CAB－∠CAD=60° －30°=30°，∴∠ABD=∠BAD，分组讨论进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.=⨯12∴渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．3=tan30360°= 30°=3x以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.。
解直角三角形教案最新
28.2.1 解直角三角形教学目标：知识与技能：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．重难点、关键：1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题见课本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．sin=5.254.5BCAB≈0.0954．所以∠A≈5°28′．二、探索新知、分类应用【活动一】理解直角三角形的元素【提问】1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
【活动二】直角三角形的边角关系直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．【活动三】解直角三角形例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a=6解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．例2：在Rt△ABC中，∠B =35°，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。
数学人教版九年级下册28.2.2解直角三角形的应用——坡度问题
E
F
B
A=4 5 ,
AE = DE = 6 ∴AB=AE+EF+FB=22
答:路基的底宽为22米，坡角为45°.
∴BF=6
练习．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，坝高10 米，斜坡AB的坡度 i1 = 1 : 3,斜坡CD的坡度为 i2 = 1 : 3
练 习一
求（1）斜坡CD的坡角； （2）斜坡AB的长度。
天高任鸟飞，海阔凭鱼跃。
三边之间关系 锐角之间关系
a2+b2=c2（勾股定理）
∠A+∠B=90º
A的对边 a = = sin A c 斜边
A的对边 a = tan A = A的邻边 b
边角之间关系 (以锐角A为例)
A的邻边 b = cos A = c 斜边
观察
图（１）和（２）中，哪个山坡比较陡？
1 0.
答：斜坡CD的坡角为30°，斜坡AB的长度为 10 10 ( m )
有一段防洪大堤，横截面为梯形ABCD，
AB∥CD，斜坡AD的坡度 i 1 为1：1.2，斜坡BC
的坡度 为1：0.8，大坝底宽AB为10米,坝高2 2 米,求坝顶宽。
D 2米 A E 10米 F C
i
B
小结
山坡的坡度 i =
M
6
E 2 B
4
6
C
H
A
D
H
6 E BB 2 CC 666 6 4 4 4 A A N G 图① F H
M
D DD
图③
图②
B C
i1 = 1 : 3
A
10米
i2 = 1 : 3
D F
E
B
C
28.2.2解直角三角形的应用1-仰角、俯角
P
M
O
B
A
合作与探究 【变式1】如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点 在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
P
M
O
B
A
合作与探究 【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
c
c
cos A b , cos B a
c
c
tan A a , tan B b
b
a
注意变式 例：b=c∙sinB
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， （1）若∠A=30°，BC=3，则AC=
温故而知新
B
（2）若∠B=60°，BC=3，则AC=
A
C
【定义】 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
解法一：
P
C
30°
D
A
45°Biblioteka 200米OB
合作与探究 【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解法二：
C P
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
abcd仰角水平线俯角合作与探究变式热气球的探测器显示从热气球看一栋高楼顶部的仰角仰角????为为45看这栋高楼底部的俯角俯角????为为60已知这栋楼的高度bc为50m求热气球与高楼的水平距离ad结果保留根号
《28.2.2应用举例》学历案-初中数学人教版12九年级下册
《应用举例》学历案（第一课时）一、学习主题本节课的学习主题是“初中数学课程《应用举例》”，主要围绕初中数学知识的实际应用展开，旨在让学生通过实际问题的解决，掌握数学知识的实际应用，提高解决实际问题的能力。
二、学习目标1. 掌握初中数学知识的实际应用，能够运用所学知识解决实际问题。
2. 培养学生的数学思维，提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3. 培养学生的合作意识和团队协作能力，通过小组合作完成实际问题解决。
4. 让学生体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心和兴趣。
三、评价任务1. 评价学生对数学知识的理解和掌握程度，能否正确运用所学知识解决实际问题。
2. 评价学生的合作意识和团队协作能力，能否在小组合作中积极参与、有效沟通。
3. 评价学生的学习态度和学习能力，是否能够认真听讲、积极思考、独立完成作业。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考数学知识的实际应用，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：教师通过讲解、演示等方式，让学生掌握本节课所需掌握的数学知识。
3. 实例分析：教师通过实际问题，引导学生分析问题的本质，找出解决问题的关键，让学生了解数学知识的实际应用。
4. 小组合作：学生分组合作，运用所学知识解决实际问题，培养学生的合作意识和团队协作能力。
5. 交流分享：小组代表向全班同学展示本组的解决方案，其他同学进行评价和补充。
6. 总结归纳：教师对本节课的知识进行总结归纳，强调数学知识的实际应用和重要性。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过简单的练习题，检测学生对本节课所学知识的掌握程度。
2. 作业布置：布置相关的实际问题，让学生运用所学知识解决，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在本次学习中的表现，找出自己的不足之处，制定改进措施。
2. 教师反思：教师应对本次教学进行反思，总结教学经验和不足之处，为今后的教学提供参考。
3. 教学改进：根据学生和教师的反思，对教学内容、方法、手段等方面进行改进，提高教学效果。
人教版九年级数学下册-28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形【数学专题教学设计】
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1.如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．9mB ．6mC ．mD ．2.在某次海上搜救工作中，A 船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A 船正东10km 处的B 船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B 船到该漂浮物的距离是（ ）A ．kmB ．kmC ．10kmD ．20km3.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）A ．4kmB ．kmC ．kmD ．+1）km第3题图 第4题图4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ） A.34米B.56米C.512米D.24米5.如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了_________cm.第5题图第6题图7.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离.9.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．10.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)11.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6)考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合◆类型一反比例函数与一次函数的综合一、判断函数图象1．当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是【方法3④】( )二、求交点坐标或根据交点求取值范围2．(2017·自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【方法3③】( )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜1第2题图 第3题图 第5题图3．如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点为A (－1，2)，则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )A ．(－2，1)B ．(2，1)吧C ．(1，－2)D ．(2，－1)4．若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤05．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k 的值为________．6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】7．(2017·广安中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx和y ＝kx ＋b 的解析式；(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.◆类型二 反比例函数与二次函数的综合8．(2017·广州中考)当a ≠0时，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )9．★如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？◆类型三 与三角形的综合10．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－211．(2017·包头中考)如图，一次函数y ＝x －1的图象与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上．若AC ＝BC ，则点C 的坐标为________．第11题图 第12题图 第13题图12．(2017·西宁中考)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x ＞0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B .当AC ＝1时，△ABC 的周长为________．13．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是________．14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A .反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点C ，交AB 于点D .已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．◆类型四 与特殊四边形的综合15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x(x ＞0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第15题图 第16题图16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx 的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．C 2.D 3.D4．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.5．436．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入双曲线y ＝6x ，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.故答案为36.7．解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数y ＝mx，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y＝8x .∵OB ＝6，∴B (0，－6)，把点A (4，2)，B (0，－6)代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C (3，0)，∴CO ＝3.设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 8．D9．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B 点坐标为(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴F 点坐标为(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫k 2，2，F ⎝⎛⎭⎫3，k 3，∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k ×⎝⎛⎭⎫3－12k ＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34.当k ＝3时，S △EF A 有最大值，最大值为34. 10．B11．(0，2) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴A (2，1)，B (1，0)．设C (0，m )，∵BC ＝AC ，∴AC 2＝BC 2，即4＋(m －1)2＝1＋m 2，∴m ＝2，故答案为(0，2)．12.3＋113．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2；把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx 的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，即k 的取值范围是2≤k ≤9，故答案为2≤k ≤9.14．解：(1)如图，作CE ⊥AB ，垂足为E .作CF ⊥x 轴，垂足为F .∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2.在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，由勾股定理得CE ＝32.∵OA ＝4，∴OF ＝OA－CE ＝52，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2.∵点C 在y ＝kx的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)．∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32，∴D ，C 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫m ，32，⎝⎛⎭⎫m －32，2.∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2⎝⎛⎭⎫m －32，解得m ＝6，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，2，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2，∴OC ＝972.15．C16．6 解析：∵∠NOM ＝90°，PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形ONPM 是矩形．∵点P 的坐标为(6，3)，∴PM ＝3，PN ＝6.∵A ，B 在反比例函数y ＝k x 上，∴S △NOB ＝S △OAM ＝k2.∵S四边形OAPB＝S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12k －12k ＝12，解得k ＝6.17．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)把y ＝3代入y ＝－6x 得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.在y ＝－x －1中，当y ＝9时，x ＝－10；当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合◆类型一 反比例函数与一次函数的综合 一、判断函数图象1．当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是【方法3④】( )二、求交点坐标或根据交点求取值范围2．(2017·自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【方法3③】( )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜1第2题图 第3题图 第5题图3．如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点为A (－1，2)，则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )A ．(－2，1)B ．(2，1)吧C ．(1，－2)D ．(2，－1)4．若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤05．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k 的值为________．6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】7．(2017·广安中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx和y ＝kx ＋b 的解析式；(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.◆类型二 反比例函数与二次函数的综合8．(2017·广州中考)当a ≠0时，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )9．★如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？◆类型三 与三角形的综合10．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－211．(2017·包头中考)如图，一次函数y ＝x －1的图象与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上．若AC ＝BC ，则点C 的坐标为________．第11题图 第12题图 第13题图12．(2017·西宁中考)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x ＞0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B .当AC ＝1时，△ABC 的周长为________．13．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是________．14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A .反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点C ，交AB 于点D .已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．◆类型四 与特殊四边形的综合15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x ＞0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第15题图 第16题图16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx 的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．C 2.D 3.D4．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.5．436．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入双曲线y ＝6x ，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.故答案为36.7．解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数y ＝mx，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y＝8x .∵OB ＝6，∴B (0，－6)，把点A (4，2)，B (0，－6)代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C (3，0)，∴CO ＝3.设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 8．D9．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B 点坐标为(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴F 点坐标为(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫k 2，2，F ⎝⎛⎭⎫3，k 3，∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k ×⎝⎛⎭⎫3－12k ＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34.当k ＝3时，S △EF A 有最大值，最大值为34. 10．B11．(0，2) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴A (2，1)，B (1，0)．设C (0，m )，∵BC ＝AC ，∴AC 2＝BC 2，即4＋(m －1)2＝1＋m 2，∴m ＝2，故答案为(0，2)．12.3＋113．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2；把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx 的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，即k 的取值范围是2≤k ≤9，故答案为2≤k ≤9.14．解：(1)如图，作CE ⊥AB ，垂足为E .作CF ⊥x 轴，垂足为F .∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2.在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，由勾股定理得CE ＝32.∵OA ＝4，∴OF ＝OA－CE ＝52，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2.∵点C 在y ＝kx的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)．∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32，∴D ，C 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫m ，32，⎝⎛⎭⎫m －32，2.∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2⎝⎛⎭⎫m －32，解得m ＝6，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，2，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2，∴OC ＝972.15．C16．6 解析：∵∠NOM ＝90°，PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形ONPM 是矩形．∵点P 的坐标为(6，3)，∴PM ＝3，PN ＝6.∵A ，B 在反比例函数y ＝k x 上，∴S △NOB ＝S △OAM ＝k2.∵S四边形OAPB＝S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12k －12k ＝12，解得k ＝6.17．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)把y ＝3代入y ＝－6x 得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.在y ＝－x －1中，当y ＝9时，x ＝－10；当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．。
《28.2.2 解直角三角形的应用——测量问题》 视频实录+课件+教案+反思+教学素材
一、预习导学 （二）活动1：如图（1）所示，为了测量一池塘的宽度 DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m,在DC的延长线 上找一点A，测得AC= 5m， 过点A作AB∥DE交EC的延 则池塘的宽度DE为（ A ） 长线于B，测得AB=4m ，
30m 28m D、 A、 24m B、 26m C、
3、从高出海平面55cm的灯塔处收到一艘 帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 210，帆船距灯塔有多远（结果保留三角函 数）？
根据题意，请你先画出它的平面示意图 A 解：∵∠B=210，∠C=900 0
21
55
AC tan B BC
55 BC AC tan B 0 tan 21
补：（2）如图： DE∥BC，AD=2,DB=1
A 2 D 3 1 ? B
E
E
√? 30
D
C
CA 5√ 4
图（1） B
4.5 DE=3,则 BC=___ 注：在测量中，相似法 ______ 是一种常用的方法之一.
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
（三）活动2： ∠1 ∠2 COA BOA ；俯角是 1、如图（2），仰角是 ____ ____.
在Rt 解： BDA中，
?
AB tanBDA= AD AD AB tan BDA 3 又在Rt CDA 中， AC tan CDA AD AC 3 ta资源请到 新世纪教 BC AC 3 3 3( m) 育网AB -
4、如图（7）是某货物站传送货物的平面示 E 意图，为了提高传送过程的安全性，工人师 91 傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45° E 改为30°. 已知原传送带AB长4米. 图（8） 1）求新传送带AC的长度； A 2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道， 试判断距离B点4米的货物MNQP N Q ？ 4 是否需要挪走，并说明理由.
28.2.2解直角三角形应用举例(教案)
（1）在直角三角形中，已知一个锐角和一条直角边，求另一条直角边和另一个锐角。
（2）在直角三角形中，已知两条直角边，求锐角。
（3）运用解直角三角形的方法，解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过解直角三角形的练习，让学生掌握逻辑推理的方法，能够从已知条件出发，逐步推导出未知角度和边长。
2.学生在将实际问题转化为数学模型方面的能力。在实践活动和小组讨论中，部分学生对于如何将实际问题抽象为直角三角形模型感到困惑。为了提高学生的这一能力，我计划在后续教学中加入更多实际情境的案例分析，引导学生学会从问题中提取关键信息，构建数学模型。
3.课堂互动的充分性。在今天的课堂上，我尽量让每个学生都能参与到课堂讨论和实践中，但仍有部分学生显得较为沉默。为了提高课堂互动的充分性，我将在今后的教学中更加关注这些学生，鼓励他们积极参与，表达自己的观点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解解直角三角形的基本概念。解直角三角形是指通过已知条件求解直角三角形中未知角度或边长的方法。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于现实生活中的测量问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用解直角三角形的方法测量建筑物的高度。通过这个案例，大家可以看到解直角三角形在实际中的应用。
2.提高学生的几何直观能力：通过观察和分析直角三角形的图形，让学生能够直观地理解直角三角形的性质，并运用这些性质解决问题。
3.增强学生的应用意识：结合实际生活中的例子，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的意识，提高学生的数学应用能力。
28.2.2 应用举例 课件PPT 《全品学练考》九年级下数学
28.2.2 应用举例
例3 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目 标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在 离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合 体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到 的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距 离是多少？（地球半径为6 400 km，π AD tan 120 tan 30 =120 3 =40 3,
3
CD AD tan 120 tan 60 =120 3=120 3.
BC=BD+CD=40 3 120 3 160 3 27（ 7 m）.
因此，这栋楼高约277 m.
28.2.2 应用举例
28.2.2 应用举例
分析：（1）什么是仰角、俯角？
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角是仰角；视线在水平线下方的角是俯角.
（2）如何根据题意构造几何图形？ （3）怎样求出BC的长？
28.2.2 应用举例
解：如图， =30 ， =60 ，AD 120.
tan BD , tan CD ,
谢 谢 观 看！
的长为
18.36π 180
6
400
18.36 3.142 180
6
400
2
051（km）.
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时最远 点距离P点约2 051 km.
28.2.2 应用举例
例4 热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°, 看 这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m ,这栋楼 有多高（结果取整数）？
人教版初中数学九年级下册《28.2.2应用举例》公开课
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．
1 ∵斜坡AB的坡度i＝tanα ＝ ≈0.33，∴α ≈18.43°， 3 23 BE BE ∵ ＝sinα ，∴AB＝ ＝ ≈72.7(m)． 0 . 3162 sin AB 点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形
∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里， ∴x•tan42°＋x•tan55°＝80.解得x≈34.4
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里．
CD CD (2)在Rt△BCD中，cos55°＝ ，∴BC＝ ≈60(海里)． BC cos 55°
答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．
解:过点A作,垂足为H, (2) 求海轮在B处时与灯塔 C的距离 (结果保留整数)． 由题意可知四边形 ABDH为矩形 ,, ,,参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900， ( 在中,, tan35 °≈0.700，tan48°≈1.111) , (米), , , 在中, ,, (米), 答:拉线CE的长约为5.7米.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡 重点、难点知识★ 角相关的问题？
活动1
构造单一直角三角形
例1：平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示 意图如图所示．量得∠A为54°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部 分的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m， 参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38) 解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
33.7
B
在Rt△CDE中，∠CED=90°
DE tan i 1: 3 CE
18.4
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
C
练习 1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的 D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m） 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 D AC tan ADC DC
例5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A C
65° P
34°
B
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. • 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三 角形;
3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2.2应用举例
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a b c （勾股定理）
2 2 2
b c
A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
C
a
B
A的对边 a sin A 斜边 c
A的邻边 b cos A 斜边 c
B的对边 b sin B 斜边 c
B的邻边 a cos B 斜边 c
B的对边 b tan B B的邻边 a
A的对边 a tan A A的邻边 b
例3 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交汇对接。“神州” 九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆 形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的 正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么 位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约6400km， π取3.142，结果取整数）？
A B
45° 54° 40m
C
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要 在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多 远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） 解：要使A、C、E在同一直 线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130.23 sin B sin 34 0.559
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯 塔P大约130.23海里．
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为 点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 OB 100 6km ． 台
200 20 6 30
5 6 11 D
O
60
C
x/km
台风从生成到最初侵袭该城要经过 11小时．
B
图2
1、海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
30°
பைடு நூலகம்
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
A B 140° C E
∴∠BED=∠ABD－∠D=90° DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDE BD
cos 50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
思想与方法
1．数形结合思想. 2 ． 方程思想 . 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如 果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线 ，构造出直角三角形.
视线
仰角 水平线
俯角 视线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰 角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼 的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线 所成的角中视线在水平线上方的是 仰角，视线在水平线下方的是俯角， 因此，在图中，a=30°,β=60° Rt△ABC中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的知 识求出BD；类似地可以求出CD， 进而求出BC．
风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点 C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移 动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转 折点C的坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的 侵袭．如果某城市（设为A点） y/km 位于点O的正北方向且处于台风 A 中心的移动路线上，那么台风从 生成到最初侵袭该城要经过多长 C x/km 时间？ O
A 仰角 水平线
B
α β D
俯角 C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a , tan AD AD
B α A β D
BD AD tana 120 tan30
3 120 40 3 3
CD AD tan 120 tan60
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2、 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是 指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中 数据求：（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中， ∠AFB=90 AF ° i=1:1.5 tan i 11.5 ： BF α
北 东
B
解：（1） B(100
200 100 3) 3， 100 3) C(100 3，
（2）过点C作 CD OA 于点D，如图2，则
CD 100 3
在 Rt△ ACD 中
ACD 30 CD 100 3
y/km
CD 3 cos 30 CA 200 CA 2 A
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 解：如图 ，在Rt△APC中， A 65° PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° P C ≈80×0.91 =72.8 34° 在Rt△BPC中，∠B＝34°