常见数列求和教案(重点)

教学过程一.课程导入：在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?二、复习预习通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容三、知识讲解考点1、公式法如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。

如果一个数列{a n}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。

若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

适用于类似（其中{a n}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：考点5、分组求和法有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.四、例题精析【例题1】【题干】数列{1＋2n－1}的前n项和为( )．A．1＋2n B．2＋2nC．n＋2n－1 D．n＋2＋2n【答案】C【解析】S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.【例题2】【题干】若数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )．A．15 B．12 C．－12 D．－15【答案】A【解析】设b n＝3n－2，则数列{b n}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.【例题3】【题干】数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )． A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12nD ．n 2＋2－12n －1【答案】C【解析】由题意知已知数列的通项为a n＝2n－1＋12n ，则S n＝n1＋2n－12＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n1－12＝n2＋1－12n.【例题4】【题干】已知数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数n为( )．A．11 B．99 C．120 D．121【答案】C【解析】∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.令n＋1－1＝10，得n＝120.五、课堂运用【基础】1.数列{a n}，{b n}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{a n＋b n}的前20项的和为( )．A．700 B．710 C．720 D．730【答案】C【解析】由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为：S 20＝20a 1＋b 1＋a 20＋b 202＝20×5＋7＋602＝720.2.在等差数列{a n}中，S n表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________.【答案】54【解析】由等差数列的性质，a2＋a8＝18－a5，即2a5＝18－a5，∴a5＝6，S9＝a1＋a9×92＝9a5＝54.3.等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________.【答案】见解析【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴a n＝2n－1，∴a2n＝4n－1.∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a21＋a22＋…＋a2n＝1·1－4n1－4＝13(4n－1)．4. 已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.【答案】见解析【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n n ＋1＝1n－1n ＋1. 则S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.【巩固】5.已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{a n}的通项公式；(2)若等比数列{b n}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{b n}的前n项和公式．【答案】见解析【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 11－q n1－q ＝4(1－3n )．6.设{a n}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n＋b n}的前n项和S n.【答案】见解析【解析】(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)(2)S n ＝21－2n 1－2＋n ×1＋n n －12×2＝2n ＋1＋n 2－2.7. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为( )．A.158或5B.3116或5C.3116D.158【解析】设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且91－q 31－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.8. 若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )． A ．1－14nB ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n【解析】a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .9. 数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.【答案】见解析【解析】由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.10. 已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为________．【答案】见解析【解析】 由已知条件可得数列{a n }的通项为a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2. ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1.六、课堂小结1.数列求和的策略与思路数列的求和,其关键是先求出数列的通项公式,然后根据通项公式的结构，选择适当的求和方法. (1)首先判断数列是等差还是等比数列？若是，则代公式，这就是公式法. (2)若不是，再考虑是否可以转化为等差或等比数列求和. 2.数列求和的常用方法:(1)公式法（直接求和）;(2)分组转化法(3)错位相减法(4)裂项相消法。