工程力学 第10章 习题
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— 92 —
方程。
FPl EI
x
d2 M dx2
FPl EI
B
A
习题 10-12 图
FP
w0
C
(1 ) B
D
FP
FP (w1)B
B
C
2FP
D
x
解： （1）作弯矩图（a） ，确定
d2w dx 2
图，画出挠曲线形状，由边界，中间铰和连续，以及 AB 上凹，BD
下凹可画出图示挠曲线图（b） 。 （2）求支座反力：FRA = FP（↓） ，MA = FPl（顺） ，FRC = 2FP（↑） 3 1 FP l 2 FP l 3 FP l AB 段： ( w0 ) B （↑） l l EI 3! 2! 3EI
0.3m
4m
x
6mm
FN
12KN 12kN
FN
x
0.9m
习题 10-3 图
(a)
3 3
B
(b)
E
x
解： u B u A
( FN ) AB l AB 1210 0.3 10 0 0.2857 mm E c Ac 105103 20 6
( FN ) BE l BE 24103 0.9 103 0.2857 1.186 mm Es As 200103 20 6
FP l 3 （↑） 3EI 由 w1 | xl (w1 ) C 0 ，定初参数 EI ( 1 ) B 。
由连续条件： ( w1 ) B ( w0 ) B
F 1 FP l 3 ( EI EI ( 1 ) B l P l 3 ) 0 EI 3EI 3! EI ( 1 ) B FP l 2 6
l 4 ql 2 l 2 ql l 3 1 2 l 2 ( ) ( ) ql ( ) 4 q( ) 2 7ql （↑） （2） w A ( w A )1 ( w A ) 2 2 8 2 2 2 2 2 EI 3EI 2 EI 384EI 8EI ql (2l ) (ql) (2l ) 2 ql 3 （3） B ( B )1 ( B ) 3 2 （顺） 3EI 16EI 12EI
uE uB
10－4 长为 1.2m、横截面面积为 1.10103 m2 的铝制筒放置在固定刚块上，直径为 15.0mm 的钢杆 BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别 F P 60 kN 为 Es = 200Gpa，Ea = 70GPa，FP = 60kN。试求钢杆上 C 处位移。
第 10 章 杆件横截面的位移分析 10－1 直径 d = 36mm 的钢杆 ABC 与铜杆 CD 在 C 处连接， 杆受力如图所示。 若不考虑杆的自重， 试： 1．求 C、D 二截面的铅垂位移； F l 2．令 FP1 = 0，设 AC 段长度为 l1，杆全长为 l，杆的总伸长 l P 2 ，写出 E 的表达式。 EA
B
F P 60kN
O
B
As
Ea
A' 2 . 1m
1 .2 m
Es
A
FP
C
F P 60 kN
x
习题 10-4 图 (a)
x
(b)
FP l AB 解： u A u B （其中 uA = 0） E a Aa
∴
uB
60 103 1.2 103 70 103 1.10 103 106
1 FP l 2 FP 3 x x （0 xl ） EI 6 2
1 EI
AB 段挠曲线方程（原点在点 A） ： w0 ( x) BD 段挠曲线方程（原点在点 B） ： w1 ( x)
FP l 3 FP l 2 F F x P x3 P x l 3 6 6 3 3 10－13 变截面悬臂梁受力如图所示。试用奇异函数写出其挠度方程，并说明积分常数如何确定（不 FRA 作具体运算） 。
10－9 图示简支梁承受一对大小相等、方向相反的力偶，其数值为 M0。试分析判断四种挠度曲线中 哪一种是正确的。
— 91 —
正确答案是
D 。
习题 10-9 图
(A)
(B)
(C)
(D)
10－10 的。
图示外伸梁受集中力和集中力偶作用，挠度曲线有四种形状。试分析判断其中哪一种是正确
FP
A
习题 10-10 图
FP
MA
2EI
EI
w
F RA F P
l
FP
2EI
l
2FP
习题 10-13 图
M A 2FPl 解：将阶梯梁化为等直截面梁（图 a） 支反力 FRA = FP（↑） ，MA = 2FPl（逆） l 挠度方程，积分常数由固定端的挠度和转角均为零确定。 2F l F F l F l 1 w( x) 0 0 P x 2 P x3 P x l 2 P x l 3 2 EI 2 ! 3 ! 2 ! 3 !
变化，其中
O Ao
FP
dFN ) A( )d FN 0
A0
FP
x
d
l
dFN A( )d A0 e
d
FN ( x )
- FP
dFN A0 e
0
x
A0
FP
d
A0 x
A0 x
FN ( x) FP ( FPe
FP
习题 10-7 图
10－8 图示悬臂梁在 BC 二处承受大小相等、方向相反的一对力偶，其数值为 M0。试分析判断下列 挠度曲线中哪一种是正确的。 正确答案是 D 。
MO MO
A
B
C
EI
D
x
习题 10-8 图
x
M d2w EI dx2
Mo EI
(A)
(B)
A
B1
C1
D1
(C)
(D)
(a)
解： 作
d 2 w M ( x) 对应的弯矩图 EI dx 2 而截面 A：wA = 0， A 0 AB 和 CD 为直线挠曲线 BC 段为上凹的曲线（见图 a 所示） 。
(b)
— 93 —
1 ql 2
2
(B )2
q
ql 2
(wA)2
( Hale Waihona Puke Baidu ) 2 B
A
B
(wA )1
ql 2 8
A
l 2 l 2
l 2
(a-2) (a-3)
( w ) 3 ( B ) 3 l
A
lA 2
1 ql 2
2
(a-1)
q
ql
ql
B
l l l
A
l
l
B
(B )3
ql 2 2
A
q
(B )1
(b) wmax
(
(a)
习题 10-6 图
(b)
(b) max
(b) wmax
w max
(b) f max
(a-1)
(b-1)
(b-1)
x
M
Fp l 4
x
M
Fpl 4
(a-2)
(b-2)
10－7 对于图 a、 b、 c、 d 所示的坐标系， 小挠度微分方程可写成 d 2 w / dx 2 M / EI 形式有以下四种。 试判断哪一种是正确的。 （A）图 b 和 c； （B）图 b 和 a； （C）图 b 和 d； （D）图 c 和 d。 正确答案是 D 。
钢杆 u C u B
BA
10－6
G π [2r ( x)]
0 4
l
M x dx
l
0
32
2Tdx 2Tl 1 7Tl x 4 3π r 4 x 3 12 G π r4 Gπ [(1 )r ] (1 ) 0 l l
2
(a)
4 π 362
2.947 mm
( FN ) CD l CD Ec
100 103 2500 4 105 103 π 362
5.286 mm
（2）
FP 2 l F l F (l l1 ) l l AC l CD P 2 1 P 2 EA Es A Ec A
F N (kN)
150
100
x
习题 10-1 图
解： （1） u C u A
( FN ) AB l AB
2
0
u D uC
πd πd Es 4 4 150103 2000 100103 3000 Es
20010
πd2 4 2.947
3
( FN ) BC l BC
A0 x
FP
dx
EA
FP dx
0
u
FP x F l F C ，当 u | x l 0 。∴ C P ，则 u ( x) P (l x) EA0 EA0 EA0
10－3 图示连接件由两片宽 20mm、厚 6mm 的铜片与一片同样宽厚的钢片在 B 处连接而成。已知钢 与铜的弹性模量分别为 Es = 200GPa，Ec = 105GPa，钢片与铜片之间的摩擦忽略不计。试求 E 和 B 处的位 移。 E C B 12KN 12kNC 24kN B E 24kN 24KN A 24KN
1 1 E Es Ec
E
10－2
E c Es E c (1 ) Es
令
l1 l
A0 x
FP
承受自重和集中载荷作用的柱如图所示，其横截面积沿高度方向按 A( x) A0 e 为材料的比重。试作下列量的变化曲线： 1．轴力 FNx ( x) ； 2．应力 x ( x) ； 3．位移 u ( x) 。 解： （1） 0 ， ( FN
FPl
x
l
10－14
F F l F 1 FP lx 2 P x 3 P x l 2 P x l 3 2 EI 6 2 6 试用叠加法求下列各梁中截面 A 的挠度和截面 B 的转角。图中 q、l、EI 等为已知。
(a)
习题 10-14 图
B
C
D
FP l
FPl EI
B
M dw EI dx2
2
C
D
x
(a)
(b)
w
x
(c)
(d)
2
解：作
d w dx
2
M ( x) 对应的弯矩图。 EI
M d2w 0 ，即 2 0 ，挠曲线为直线。 AB 段 EI dx
M d2w 0 ，即 2 0 ，挠曲线为下凹的曲线。 EI dx 正确答案是 C 。 10－11 简支梁承受间断性分布载荷，如图所示。试用奇导函数写出其小挠度微分方程，并确定其中 q w 点挠度。
l
习题 10-5 图
试比较图示二梁的受力、内力（弯矩） 、变形和位移，总结从中所得到的结论。
(a) 解： wmax
FPl 3 48EI
— 90 —
FP l l F l ) ( P )( )3 l F l3 2 2 2 2 2 P 3EI 2 3EI 24EI 两者弯矩相同，挠曲线曲率相同，但（b）梁的最大挠度比（a）梁要大，即不相等。
(wA)1 (B )1 l
l
(wA)2
(b-1) (b-1) (b-3)
1 l ( ql 2 ) ( ) q(l ) 3 ql 3 2 2 解： （1） B ( B )1 ( B ) 2 ( B )1 ( A ) 2 （逆） 6 EI EI 12EI
∴
EI E w( x)
21ql 3 16
21ql 3 ql q q q 1 [ x x 0 3 x l 4 x 2l 4 x 3l 4 ] EI 16 8 24 24 24
wC w | x 2l
10－12
5ql 4 （↓） 3EI 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并用奇异函数表示其挠度曲线
FP ) FPe
FP
习题 10-2 图
(a)
A0 x
F ( x) FP e FP F P （2） ( x) N A0 x A( x) A0 A0 e FP
— 89 —
A0 x
（3） du
FN ( x)dx EA( x)
FP e EA0 e
FP
BCD 段
q
x
A
q
B
D
C
E
l
l
l
l
习题 10-11 图
解：采用左手系： M A 0 ， FRE 定初参数 E ，∵ w A w | x 4l 0
ql
l 5 ql l 2 2 3 ql 4l 4
3 ql q q q EI E (4l ) 4 (4l ) 3 (4l l ) 4 (4l 2l ) 4 (4l 3l ) 4 0 3! 4! 4! 4!
0.935 mm
FP l BC 60103 2.1103 0.935 4.50 mm π E s As 200103 152 4 10－5 变截面圆锥杆下端 B 处固定，上端 A 处承受外力偶矩 T 作用，如图 所示，试证明 A 端扭转角表达式为 7Tl A 12π Gr 4 解：Mx = T
方程。
FPl EI
x
d2 M dx2
FPl EI
B
A
习题 10-12 图
FP
w0
C
(1 ) B
D
FP
FP (w1)B
B
C
2FP
D
x
解： （1）作弯矩图（a） ，确定
d2w dx 2
图，画出挠曲线形状，由边界，中间铰和连续，以及 AB 上凹，BD
下凹可画出图示挠曲线图（b） 。 （2）求支座反力：FRA = FP（↓） ，MA = FPl（顺） ，FRC = 2FP（↑） 3 1 FP l 2 FP l 3 FP l AB 段： ( w0 ) B （↑） l l EI 3! 2! 3EI
0.3m
4m
x
6mm
FN
12KN 12kN
FN
x
0.9m
习题 10-3 图
(a)
3 3
B
(b)
E
x
解： u B u A
( FN ) AB l AB 1210 0.3 10 0 0.2857 mm E c Ac 105103 20 6
( FN ) BE l BE 24103 0.9 103 0.2857 1.186 mm Es As 200103 20 6
FP l 3 （↑） 3EI 由 w1 | xl (w1 ) C 0 ，定初参数 EI ( 1 ) B 。
由连续条件： ( w1 ) B ( w0 ) B
F 1 FP l 3 ( EI EI ( 1 ) B l P l 3 ) 0 EI 3EI 3! EI ( 1 ) B FP l 2 6
l 4 ql 2 l 2 ql l 3 1 2 l 2 ( ) ( ) ql ( ) 4 q( ) 2 7ql （↑） （2） w A ( w A )1 ( w A ) 2 2 8 2 2 2 2 2 EI 3EI 2 EI 384EI 8EI ql (2l ) (ql) (2l ) 2 ql 3 （3） B ( B )1 ( B ) 3 2 （顺） 3EI 16EI 12EI
uE uB
10－4 长为 1.2m、横截面面积为 1.10103 m2 的铝制筒放置在固定刚块上，直径为 15.0mm 的钢杆 BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别 F P 60 kN 为 Es = 200Gpa，Ea = 70GPa，FP = 60kN。试求钢杆上 C 处位移。
第 10 章 杆件横截面的位移分析 10－1 直径 d = 36mm 的钢杆 ABC 与铜杆 CD 在 C 处连接， 杆受力如图所示。 若不考虑杆的自重， 试： 1．求 C、D 二截面的铅垂位移； F l 2．令 FP1 = 0，设 AC 段长度为 l1，杆全长为 l，杆的总伸长 l P 2 ，写出 E 的表达式。 EA
B
F P 60kN
O
B
As
Ea
A' 2 . 1m
1 .2 m
Es
A
FP
C
F P 60 kN
x
习题 10-4 图 (a)
x
(b)
FP l AB 解： u A u B （其中 uA = 0） E a Aa
∴
uB
60 103 1.2 103 70 103 1.10 103 106
1 FP l 2 FP 3 x x （0 xl ） EI 6 2
1 EI
AB 段挠曲线方程（原点在点 A） ： w0 ( x) BD 段挠曲线方程（原点在点 B） ： w1 ( x)
FP l 3 FP l 2 F F x P x3 P x l 3 6 6 3 3 10－13 变截面悬臂梁受力如图所示。试用奇异函数写出其挠度方程，并说明积分常数如何确定（不 FRA 作具体运算） 。
10－9 图示简支梁承受一对大小相等、方向相反的力偶，其数值为 M0。试分析判断四种挠度曲线中 哪一种是正确的。
— 91 —
正确答案是
D 。
习题 10-9 图
(A)
(B)
(C)
(D)
10－10 的。
图示外伸梁受集中力和集中力偶作用，挠度曲线有四种形状。试分析判断其中哪一种是正确
FP
A
习题 10-10 图
FP
MA
2EI
EI
w
F RA F P
l
FP
2EI
l
2FP
习题 10-13 图
M A 2FPl 解：将阶梯梁化为等直截面梁（图 a） 支反力 FRA = FP（↑） ，MA = 2FPl（逆） l 挠度方程，积分常数由固定端的挠度和转角均为零确定。 2F l F F l F l 1 w( x) 0 0 P x 2 P x3 P x l 2 P x l 3 2 EI 2 ! 3 ! 2 ! 3 !
变化，其中
O Ao
FP
dFN ) A( )d FN 0
A0
FP
x
d
l
dFN A( )d A0 e
d
FN ( x )
- FP
dFN A0 e
0
x
A0
FP
d
A0 x
A0 x
FN ( x) FP ( FPe
FP
习题 10-7 图
10－8 图示悬臂梁在 BC 二处承受大小相等、方向相反的一对力偶，其数值为 M0。试分析判断下列 挠度曲线中哪一种是正确的。 正确答案是 D 。
MO MO
A
B
C
EI
D
x
习题 10-8 图
x
M d2w EI dx2
Mo EI
(A)
(B)
A
B1
C1
D1
(C)
(D)
(a)
解： 作
d 2 w M ( x) 对应的弯矩图 EI dx 2 而截面 A：wA = 0， A 0 AB 和 CD 为直线挠曲线 BC 段为上凹的曲线（见图 a 所示） 。
(b)
— 93 —
1 ql 2
2
(B )2
q
ql 2
(wA)2
( Hale Waihona Puke Baidu ) 2 B
A
B
(wA )1
ql 2 8
A
l 2 l 2
l 2
(a-2) (a-3)
( w ) 3 ( B ) 3 l
A
lA 2
1 ql 2
2
(a-1)
q
ql
ql
B
l l l
A
l
l
B
(B )3
ql 2 2
A
q
(B )1
(b) wmax
(
(a)
习题 10-6 图
(b)
(b) max
(b) wmax
w max
(b) f max
(a-1)
(b-1)
(b-1)
x
M
Fp l 4
x
M
Fpl 4
(a-2)
(b-2)
10－7 对于图 a、 b、 c、 d 所示的坐标系， 小挠度微分方程可写成 d 2 w / dx 2 M / EI 形式有以下四种。 试判断哪一种是正确的。 （A）图 b 和 c； （B）图 b 和 a； （C）图 b 和 d； （D）图 c 和 d。 正确答案是 D 。
钢杆 u C u B
BA
10－6
G π [2r ( x)]
0 4
l
M x dx
l
0
32
2Tdx 2Tl 1 7Tl x 4 3π r 4 x 3 12 G π r4 Gπ [(1 )r ] (1 ) 0 l l
2
(a)
4 π 362
2.947 mm
( FN ) CD l CD Ec
100 103 2500 4 105 103 π 362
5.286 mm
（2）
FP 2 l F l F (l l1 ) l l AC l CD P 2 1 P 2 EA Es A Ec A
F N (kN)
150
100
x
习题 10-1 图
解： （1） u C u A
( FN ) AB l AB
2
0
u D uC
πd πd Es 4 4 150103 2000 100103 3000 Es
20010
πd2 4 2.947
3
( FN ) BC l BC
A0 x
FP
dx
EA
FP dx
0
u
FP x F l F C ，当 u | x l 0 。∴ C P ，则 u ( x) P (l x) EA0 EA0 EA0
10－3 图示连接件由两片宽 20mm、厚 6mm 的铜片与一片同样宽厚的钢片在 B 处连接而成。已知钢 与铜的弹性模量分别为 Es = 200GPa，Ec = 105GPa，钢片与铜片之间的摩擦忽略不计。试求 E 和 B 处的位 移。 E C B 12KN 12kNC 24kN B E 24kN 24KN A 24KN
1 1 E Es Ec
E
10－2
E c Es E c (1 ) Es
令
l1 l
A0 x
FP
承受自重和集中载荷作用的柱如图所示，其横截面积沿高度方向按 A( x) A0 e 为材料的比重。试作下列量的变化曲线： 1．轴力 FNx ( x) ； 2．应力 x ( x) ； 3．位移 u ( x) 。 解： （1） 0 ， ( FN
FPl
x
l
10－14
F F l F 1 FP lx 2 P x 3 P x l 2 P x l 3 2 EI 6 2 6 试用叠加法求下列各梁中截面 A 的挠度和截面 B 的转角。图中 q、l、EI 等为已知。
(a)
习题 10-14 图
B
C
D
FP l
FPl EI
B
M dw EI dx2
2
C
D
x
(a)
(b)
w
x
(c)
(d)
2
解：作
d w dx
2
M ( x) 对应的弯矩图。 EI
M d2w 0 ，即 2 0 ，挠曲线为直线。 AB 段 EI dx
M d2w 0 ，即 2 0 ，挠曲线为下凹的曲线。 EI dx 正确答案是 C 。 10－11 简支梁承受间断性分布载荷，如图所示。试用奇导函数写出其小挠度微分方程，并确定其中 q w 点挠度。
l
习题 10-5 图
试比较图示二梁的受力、内力（弯矩） 、变形和位移，总结从中所得到的结论。
(a) 解： wmax
FPl 3 48EI
— 90 —
FP l l F l ) ( P )( )3 l F l3 2 2 2 2 2 P 3EI 2 3EI 24EI 两者弯矩相同，挠曲线曲率相同，但（b）梁的最大挠度比（a）梁要大，即不相等。
(wA)1 (B )1 l
l
(wA)2
(b-1) (b-1) (b-3)
1 l ( ql 2 ) ( ) q(l ) 3 ql 3 2 2 解： （1） B ( B )1 ( B ) 2 ( B )1 ( A ) 2 （逆） 6 EI EI 12EI
∴
EI E w( x)
21ql 3 16
21ql 3 ql q q q 1 [ x x 0 3 x l 4 x 2l 4 x 3l 4 ] EI 16 8 24 24 24
wC w | x 2l
10－12
5ql 4 （↓） 3EI 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并用奇异函数表示其挠度曲线
FP ) FPe
FP
习题 10-2 图
(a)
A0 x
F ( x) FP e FP F P （2） ( x) N A0 x A( x) A0 A0 e FP
— 89 —
A0 x
（3） du
FN ( x)dx EA( x)
FP e EA0 e
FP
BCD 段
q
x
A
q
B
D
C
E
l
l
l
l
习题 10-11 图
解：采用左手系： M A 0 ， FRE 定初参数 E ，∵ w A w | x 4l 0
ql
l 5 ql l 2 2 3 ql 4l 4
3 ql q q q EI E (4l ) 4 (4l ) 3 (4l l ) 4 (4l 2l ) 4 (4l 3l ) 4 0 3! 4! 4! 4!
0.935 mm
FP l BC 60103 2.1103 0.935 4.50 mm π E s As 200103 152 4 10－5 变截面圆锥杆下端 B 处固定，上端 A 处承受外力偶矩 T 作用，如图 所示，试证明 A 端扭转角表达式为 7Tl A 12π Gr 4 解：Mx = T