“弹簧类”问题的综合分析

解题技巧： (1)若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定 律和能量守恒定律(机械能守恒定律). (2)若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应 优先考虑动能定理. (3)动量守恒定律、能量守恒定律(机械能守恒定律)、动 能定理都只考查一个物理过程的初、末两个状态有关物 理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的 方便之处.特别对于变力做功问题，就更显示出它们的优 越性.
(2)小物块滑到C点的速度大小；
(3)P和Q最后的速度大小； (4)Q的长度.
答案：5.8 J；2 m/s；0.4 m/s； 0.4 m
解析：（1）由能量守恒，增加的弹性势能为：
Ep＝WF－μmgL1＝(6－0.4×1×10×0.05) J＝5.8 J （2）对BC过程由动能定理可知： Ep－μmg(L1＋L2)＝ mv02，代入数据解得小物块滑到C 点的速度为：v0＝2 m/s； （3）以向右的方向为正方向，对P、Q由动量守恒定律 得：mv0＝(m＋M)v 解得共同速度：v＝0.4 m/s （4）对P、Q由能量守恒得：
最低点时与物块B发生正碰(碰撞时间极短)，反弹后上升到最高点
时到水平面的距离为
h 16.
小球与物块均视为质点，不计空气阻力，
重力加速度为g，求碰撞过程B物块受到的冲量大小及碰后轻弹簧获
得的最大弹性势能.
答案
5 4m 2gh
15 128mgh
A、B共速。系统动量守恒，以向右为正方向， 由动量守恒定律得 mAv0＝(mA＋mB)v，解得 v＝mmA＋Avm0 B＝11＋×43 m/s＝1 m/s 弹簧的最大弹性势能即滑块 A、B 损失的动能 Epm＝12mAv20－12(mA＋mB)v2＝6 J。 (2)当弹簧恢复原长时，滑块B获得最大速度，
答案 1438mv02 解析 当A、B、C速度相同时，弹簧的弹性势能最大. 以v0的方向为正方向，根据动量守恒定律得 mv0＝3mv 解得 v＝v30 根据能量守恒定律得，弹簧的最大弹性势能 Ep＝12mv02－12(3m)v2－ΔE＝1438mv02.
课堂小结
“滑块—弹簧”模型的解题思路： (1)应用系统的动量守恒。 (2)应用系统的机械能守恒。 (3)应用临界条件：两滑块同速时，弹簧的弹性势能 最大。
动力学、动量和能量观点的综合应用
——“弹簧类”问题的综 合分析
复习回顾 研究动力学问题的三个观点：
1.力的观点：运动学公式、牛顿运动定律 2.动量的观点：动量定理、动量守恒定律 3.能量的观点：动能定理、机械能守恒定律、能量守恒 定律
解题步骤： 1.明确研究对象 2.受力分析，判断动量是否守恒 3.确定正方向及初末状态动量 4.列方程求解
变式训练 如图3所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另 一端与滑块C接触但不连接，该整体静止在光滑水平 地面上，并且C被锁定在地面上.现有一滑块A从光滑 曲面上离地面h高处由静止开始下滑，与滑块B发生 碰撞并粘连在一起压缩弹簧，当速度减为碰后速度 一半时滑块C解除锁定.已知mA=m,mB=2m,mC=3m. 求： 被压缩弹簧的最大弹性势能.
由动量守恒定律和能量守恒定律得mAv0＝mAvA＋mBvm 12mAv20＝12mBv2m＋12mAv2A，解得 vm＝2 m/s，向右。
“滑块—弹簧”模型的解题思路 (1)应用系统的动量守恒。 (2)应用系统的机械能守恒。 (3)应用临界条件：两滑块同速时，弹簧的弹性势能 最大。
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【例2】如图2所示，光滑水平直轨道上有三个质量
新知讲授
1.模型图：
“弹簧”模型
2.模型特点： 对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中： (1)在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能 将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功， 系统机械能守恒。 (2)在动量方面，系统动量守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大， 系统满足动量守恒，机械能守恒。 (4)弹簧处于原长时，弹性势能为零。
答案： (1)3 m/s (2)12 J
解析 (1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大， 根据A、B、C三者组成的系统动量守恒，取向右为正方向， 有(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vABC 代入数据解得vABC＝3 m/s (2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰撞后瞬间B、C的共 同速度为vBC， 则有mBv＝(mB＋mC)vBC，代入数据解得vBC＝2 m/s 当A、B、C三者的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，设为Ep，在B、 C碰撞后，A与B、C组成的系统通过弹簧相互作用的过程中机械能守
恒。 根据机械能守恒定律得 Ep＝12(mB＋mC)v2BC＋12mAv2－12(mA＋mB＋mC)v2ABC＝12 J。
【练习2】如图所示，水平放置的轻弹簧左端固定，小物块P置于水 平桌面上的A点并与弹簧的右端接触，此时弹簧处于原长.现用水平 向左的推力将P缓缓推至B点(弹簧仍在弹性限度内)时，推力做的功 为WF＝6 J.撤去推力后，小物块P沿桌面滑动到停在光滑水平地面上、 靠在桌子边缘C点的平板小车Q上，且恰好物块P在小车Q上不滑出去 (不掉下小车).小车的上表面与桌面在同一水平面上，已知P、Q质 量分别为m＝1 kg、M＝4 kg，A、B间距离为L1＝5 cm，A离桌子边缘 C点的距离为L2＝90 cm，P与桌面及P与Q的动摩擦因数均为μ ＝0.4，g＝10 m/s2，试求： (1)把小物块推到B处时，弹簧获得的弹性势能；
图3
解：
课后加油站
【练习1】两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时 弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水 平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。 已知B与C碰撞后二者会粘在一起运动。在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？ (2)系统中弹性势能的最大值是多少？
课前热身
【例1】如图1所示，质量分别为1 kg、3 kg的滑块A、B位于 光滑水平面上，现使滑块A以4 m/s的速度向右运动，与左侧 连有轻弹簧的滑块B发生碰撞。求二者在发生碰撞的过程中:
图1 (1)弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大速度。
答案 (1)6 J (2)2 m/s，向右
解析:(1)当弹簧压缩最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块
μmgL＝12mv02－12(m＋M)v2
代入数据解得小车的长度：L＝0.4 m.
【练习3】如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一
端固定在O点，O点到光滑水平面的距离为h.物块B和C的质量分别是
5m和3m，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O
点正下方.现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到
解析 以v0的方向为正方向，对A、B组成的系统，由动
量守恒定律得
mv0＝2mv1 解得 v1＝12v0 B与C碰撞的瞬间，B、C组成的系统动量定恒，有 m·v20＝2mv2 解得 v2＝v40 系统损失的机械能 ΔE＝12m(v20)2－12×2m(v40)2＝116mv02
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能.
均为m的物块A、B、C，B的左侧固定一轻弹簧(弹簧 左侧的挡板质量不计).设A以速度v0朝B运动，压缩弹 簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一 起，然后继续运动.假设B和C碰撞过程时间极短，求 从A开始压缩弹簧直到与弹簧分离的过程中.
(1)整个系统损失的机械能；
答案 116mv02 图2