一元一次不等式含参数问题
专题03 解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型(学生版)
专题03解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型【类型一解一元一次不等式模型】例题:(2022·陕西·模拟预测)解不等式3136x x-<-,并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集.【变式训练1】(2022·陕西·西安市西光中学二模)解不等式7132184x x->--,并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来.【变式训练2】(2021·上海徐汇·期中)解不等式38236x x---≤,把解集在数轴上表示出来,并求出最小整数解.【变式训练3】(2022·福建·三明一中八年级阶段练习)解不等式:(1)2(41)58x x -≥-(2)261136x x +-≤【变式训练4】(2022·河南驻马店·八年级阶段练习)解下列一元一次不等式,并把它们的解集表示在数轴上:(1)2﹣5x <8﹣6x ;(2)53-x +1≤32x .【类型二解一元一次不等式组模型】例题:(2022·福建·三明一中八年级阶段练习)解不等式组52331132x xx x -≤⎧⎪-+⎨<-⎪⎩,并把不等式组的解集在数轴上表示出来:【变式训练1】(2022·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习)解不等式组:1011122x x -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩,并写出它的所有整数解.【变式训练2】(浙江省温州市2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题)解一元一次不等式组523(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩,并把解集在数轴上表示出来.【变式训练3】(2022·广东揭阳·八年级阶段练习)解不等式组:12(1)2235xx x x ⎧+<-⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩,并把它的解集在数轴上表示出来.【变式训练4】(2022·湖南岳阳·八年级期末)(1)解不等式121132x x+++≥;(2)解不等式组:3242(1)31x x x -<⎧⎨-≤+⎩,并把它的解集在数轴上表示出来.【类型三一元一次不等式的定义时含参数问题】例题:(2021·全国·七年级课时练习)已知不等式||1(2)20n n x --->是一元一次不等式,则n =____.【变式训练1】(2022·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习)已知()3426m m x --+>是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为______.【变式训练2】(2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校八年级期中)若21(2)15m m x --->是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为______________.【类型四一元一次不等式整数解中含参数问题】例题:(2022·上海·七年级期中)如果不等式2x ﹣3≤m 的正整数解有4个,则m 的取值范围是_____.【变式训练1】(2020·全国·八年级单元测试)已知不等式30x m -≤有5个正整数解,则m 的取值范围是________.【类型五一元一次方程组与不等式间含参数问题】例题:(2022·全国·八年级)关于x 的方程42158x m x -+=-的解是负数,则满足条件的m 的最小整数值是_____.【变式训练1】(2021·四川成都·八年级期末)已知关于x 的方程35x a x +=-的解是正数,则实数a 的取值范围是______.【变式训练2】(2021·全国·七年级课时练习)如果关于x 的方程2435x a x a++=的解不是负数,那么a 的取值范围是________.【变式训练3】(2021·全国·七年级课时练习)当m________时,关于x的方程222x m xx---=的解为非负数.【类型六二元一次方程组与不等式间含参数问题】例题:(2021·内蒙古呼和浩特·七年级期末)已知关于x、y的二元一次方程组231231x y kx y k+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y<4,则满足条件的k的最大整数为____.【变式训练1】(2021·四川绵阳·x,y的二元一次方程组221x yx y k+=⎧⎨+=+⎩的解为正数,则k的取值范围为__.【变式训练2】(2021·江苏江苏·七年级期末)已知关于x,y的二元一次方程组231323x y mx y m+=+⎧⎨-=+⎩,且x,y满足x+y>3.则m的取值范围是___.【变式训练3】(2021·四川南充·七年级期末)已知关于x,y的方程组24223x y kx y k+=⎧⎨+=-+⎩,的解满足x﹣y>0,则k的最大整数值是______________.【变式训练4】(2021·甘肃·九年级专题练习)若关于x,y的二元一次方程组3331x yx y a+=⎧⎨+=+⎩的解满足x+y<2,则a的取值范围为_______.【类型七解一元一次不等式组中有无解集求参数问题】例题:(2021·内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中)关于x的不等式组352x ax a->⎧⎨-<⎩无解,则a的取值范围是_____.【变式训练1】(2022·广西贵港·八年级期末)若关于x的不等式组33235x xx m-<⎧⎨->⎩有解,则m的取值范围是______.【变式训练2】(2021·四川凉山·七年级期末)已知关于x的不等式组5122x ax x->⎧⎨->-⎩无解,则a的取值范围是_________.【变式训练3】(2021·河南南阳·三模)已知关于x的不等式组3xx m>⎧⎨≤⎩有实数解,则m的取值范围是____.【变式训练4】(2022·江苏南通·九年级阶段练习)如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解,则常数a的取值范围是______________.【类型八解一元一次不等式组中有整数解求参数问题】例题:(2021·宁夏中卫·八年级期末)不等式组,3x ax>⎧⎨<⎩的整数解有三个,则a的取值范围是_________.【变式训练1】(2021·安徽·马鞍山二中实验学校七年级期中)已知不等式组211x x a-<⎧⎨-≤⎩,只有三个整数解,则a 的取值范围是_________.【变式训练2】(2021·黑龙江佳木斯·模拟预测)不等式组2312x ax -⎧⎨-≤⎩<有3个整数解,则a 的取值范围是_____.【变式训练3】(2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校一模)关于x 的不等式组3x ax <⎧⎨≥⎩只有两个整数解,则a 的取值范围是_____.【变式训练4】(2022·湖南湘潭·八年级期末)已知关于x 的不等式组3010x a x -≤⎧⎨-≤⎩①②,有且只有3个整数解,则a 的取值范围是______________。
第4讲 含参不等式--尖子班
第4讲 含参的不等式知识点1 含参的一元一次不等式含参的一元一次不等式(1)含未知数项的系数不含参数,如x >a ,(其中a 为常数);(2)含未知数项的系数含参数,如mx >n ,(其中m 为参数、n 为常数).【典例】1.已知不等式2(m ﹣x )+1>3x ﹣2的解集是x <32,则m 的值为 . 【答案】94.【解析】解:去括号,得2m ﹣2x+1>3x ﹣2, 移项,得3x+2x <2m+1+2, 合并同类项,得,5x <2m+3, 系数化为1,得,x <2m+35,∵不等式2(m ﹣x )+1>3x ﹣2的解集是x <32, ∴2m+35=32,解得m=94.2.若不等式(a+1)x >a+1的解集是x <1,则a 的取值范围是____________.【答案】a<﹣1.【解析】解:∵当a+1=0,即a=-1时,0>0不成立,∴当a+1=0时,不等式(a+1)x>a+1无解集,∴a+1≠0,∵不等式(a+1)x>a+1两边都除以a+1,得其解集为x<1,∴未知数x的系数(a+1)为负,∴a+1<0,解得:a<﹣1,故答案为:a<﹣1.3.关于x的两个不等式①3x+a2<1与②1﹣3x>0.(1)若两个不等式的解集相同,求a的值.(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.【答案】略.【解析】解:(1)由①得:x<2−a3,由②得:x<13,由两个不等式的解集相同,得到2−a3=13,解得:a=1;(2)由不等式①的解都是②的解,得到2−a3≤13,解得:a≥1.4.若关于x,y的方程组{3x+y=1−ax+3y=3的解满足x+y<2,则a的取值范围为.【答案】a>﹣4.【解析】解:{3x+y=1−a ①x+3y=3 ②,①+②得:4(x+y)=4﹣a,则x+y=14(4﹣a ), 则14(4﹣a )<2,解得:a >﹣4. 故答案是:a >﹣4.【方法总结】1. 已知一元一次不等式(系数不含参)及其解集,求参数的值的思路. 如已知不等式2(m ﹣x )+1>3x ﹣2的解集是x <32,求m 的值,①求不等式2(m ﹣x )+1>3x ﹣2的解集为x <2m+35,②令2m+35=32,从而不难求出m 的值,2. 求一元一次不等式ax >b(a ,b 是常数)解集的思路.需要借助分类讨论思想,①若a >0,则不等式ax >b 的解集为x >ba ;②若a <0,则不等式ax >b 的解集为x <ba ;③若a=0,b <0,则不等式ax >b 的解集为任意实数;若a=0,b ≥0,则不等式ax >b 无解集.3. 已知一元一次不等式①和②的解集相同,求参数的值的思路.如关于x 的两个不等式①3x+a 2<1与②1﹣3x >0,若两个不等式的解集相同,求a 的值.①分别求出不等式①和②的解集为x <2−a 3和x <13,②令2−a 3=13,从而不难求出a 的值.4. 已知一元一次不等式①的解都是②的解,求参数的取值范围的思路. 如关于x 的两个不等式①3x+a 2<1与②1﹣3x >0,若不等式①的解都是②的解,求a 的取值范围的思路.①分别求出不等式①和②的解集为x <2−a 3和x <13,②令2−a 3≤13,从而不难求出a 的取值范围.【随堂练习】1.如果关于x的不等(2m﹣n)x+m﹣5n>0的解集为x<,试求关于x的不等式mx>n的解集.【解答】解:移项得(2m﹣n)x>5n﹣m,∵关于x的不等(2m﹣n)x+m﹣5n>0的解集为x<,∴2m﹣n<0,且x<,∴=,整理得n=m,把n=m代入2m﹣n<0得,2m﹣m<0,解得m<0,∵mx>n,∴mx>m,∴x<.∴关于x的不等式mx>n的解集是x<.知识点2 含参的一元一次不等式组含参的一元一次不等式组常考题型1.给出不等式组解集的情况,求参数取值范围2.给出不等式组的解集,求参数的值3.给出方程(组)解的情况,转化为不等式(组),求参数的取值范围4.给出不等式组整数解的个数,确定参数的取值范围【典例】1. 若关于x 的一元一次不等式组{x −2m <0x +m >2有解,则m 的取值范围为 .【答案】m >23.【解析】解:{x −2m <0⋯①x +m >2⋯ ②,解①得:x <2m , 解②得:x >2﹣m ,∵关于x 的一元一次不等式组{x −2m <0x +m >2有解,∴2m >2﹣m ,解得:m >23. 故答案是:m >23.2.已知不等式{2x −a <1x −2b >3的解集为﹣1<x <1,求(a+1)(b ﹣1)的值为 .【答案】﹣6.【解析】解:由2x −a <1,解得x <a+12.由x −2b >3,解得x >3+2b .∵不等式{2x −a <1x −2b >3的解集为﹣1<x <1,∴a+12=1,3+2b=﹣1,解得a=1,b=﹣2,∴(a+1)(b ﹣1)=(1+1)×(﹣2﹣1)=﹣6, ∴(a+1)(b ﹣1)的值为﹣6. 故答案为﹣6.3.如果关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数,则a 的取值范围是 .【答案】﹣4<a <5. 【解析】解:{x +y =3 ①x −2y =a −2②,①﹣②得3y=5﹣a ,则y=5−a 3, 把y=5−a 3代入①得x=3﹣5−a 3=4+a 3.则方程组的解是{x =4+a3y =5−a 3,∵关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数,∴{4+a3>05−a 3>0, 解得﹣4<a <5. 故答案是:﹣4<a <5.4.不等式组{3x −5>15x −a ≤12有2个整数解,则实数a 的取值范围是 .【答案】8≤a <13.【解析】解:解不等式3x ﹣5>1,得:x >2, 解不等式5x ﹣a ≤12,得:x ≤a+125,∵不等式组有2个整数解,∴不等式组{3x −5>15x −a ≤12整数解为3和4,则4≤a+125<5,解得:8≤a <13, 故答案为:8≤a <13.【方法总结】1.给出不等式组解的情况,求参数取值范围,解题思路如下:①分别求出不等式组中每个不等式的解集,②确定参数的取值范围,记住:“大小小大有解;大大小小无解.”注意:端点值另外考虑.2.给出不等式组的解集,求参数的值,解题思路如下:①先求出含参不等式组中每个不等式的解集;②再利用已知解集和所求解集之间的对应关系,建立方程(组);③解方程(组),从而求出参数的值.3.给出方程(组)解的情况,转化为不等式(组),求参数的取值范围,解题思路如下:①先求含参数的方程组的解,方程组的解用含参的式子表示出来;②列出题目中解满足的不等关系,将含参数的式子代入,转化为关于参数的不等式(组),③解不等式(组),从而求出参数的取值范围.4.给出不等式组整数解的个数,确定参数的取值范围,解题思路如下:①先求出不含参数的不等式的解集;②再结合题意,在不含参数的不等式解集范围内找出连续的几个整数解;③参数的范围就在最后一个整数解差一个单位长度的范围内(借助数轴解决问题),注意:端点值特殊考虑.【随堂练习】1.已知关于x,y的方程组,其中﹣3≤a≤1.(1)当a=﹣2时,求x,y的值;(2)若x≤1,求y的取值范围.【解答】解:(1),①﹣②,得:4y=4﹣4a,解得:y=1﹣a,将y=1﹣a代入②,得:x﹣1+a=3a,解得:x=2a+1,则,∵a=﹣2,∴x=﹣4+1=﹣3,y=1+2=3;(2)∵x=2a+1≤1,即a≤0,∴﹣3≤a≤0,即1≤1﹣a≤4,则1≤y≤4.2.已知关于x、y的方程组(实数m是常数).(1)若x+y=1,求实数m的值;(2)若﹣1<x﹣y<5,求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,化简:|m+2|﹣|2m﹣6|.【解答】解:(1)将方程组中的两个方程相加,得3(x+y)=6m+1,将x+y=1代入,得6m+1=3,解得m=;(2)将方程组中的两个方程相减,得x﹣y=2m﹣1,解不等式组﹣1<2m﹣1<5,得0<m<3;(3)当0≤m≤3时,|m+2|-|2m﹣6|=(m+2)+(2m﹣6)=3m-4.知识点3 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用(1)由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式,求出解集.④写出符合题意的解.【典例】1.某中学计划用2500元购买一批名著和辞典作为奖品,其中名著每套60元,辞典每本40元,现已购买名著24套,学校最多还能买多少本辞典?【答案】略.【解析】解:设学校能买x本辞典,∵名著每套60元,现已购买名著24套,辞典每本40元,学校能买x本辞典,∴购买24套名著费用=24×60(元),购买x本辞典费用=40x(元),∵购买24套名著费用与购买x本辞典费用和不超过2500元,,∴可列出关于x的一元一次不等式:40x+24×60≤2500,解得:x≤2612∵x为整数,∴x=26.答:学校最多能买26本辞典.【方法总结】一元一次不等式的应用解决此类问题关键在于掌握解列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式,求出解集.④写出符合题意的解.【随堂练习】1.为了开展全校学生阳光体育运动活动,增强学生身体素质,张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球.他曾三次在某商场购买过足球和篮球,其中有一次购买时,遇到商场打折销售,其余两次均按标价购买.三次购买足球和篮球的数量和费用如下表:足球数量(个)篮球数量(个)总费用(元)第一次65750第二次37780第三次78742(1)张老师是第三次购买足球和篮球时,遇到商场打折销售的;(2)求足球和篮球的标价;(3)如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销,张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个,且总费用不能超过2200元,那么最多可以购买多少个篮球.【解答】解:(1)张老师是第三次购买足球和篮球时,遇到商场打折销售.理由:∵张老师在某商场购买足球和篮球共三次,只有一次购买时,足球和篮球同时打折,其余两次均按标价购买,且只有第三次购买数量明显增多,但是总的费用不高,∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买;故答案为:三;(2)设足球的标价为x元,篮球的标价为y元.根据题意,得,解得:.答:足球的标价为50元,篮球的标价为90元;(3)设购买a个篮球,依题意有0.6×50(50﹣a)+0.6×90a≤2200,解得a≤29.故最多可以买29个篮球.2.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超出50元的部分按95%收费.若顾客购物应付x元,请根据x的取值,讨论顾客到哪家商场购物花费少?【解答】解:(1)当x≤50时,在甲、乙两个商场购物都不享受优惠,因此到两个商场购物花费一样;(2)当50<x≤100时,在乙商场购物享受优惠,在甲商场购物不享受优惠,因此在乙商场购物花费少;(3)当累计购物超过100元时,即x>100元,甲商场消费为:100+(x﹣100)×0.9元,在乙商场消费为:50+(x﹣50)×0.95元.当100+(x﹣100)×0.9>50+(x﹣50)×0.95,解得:x<150,当100+(x﹣100)×0.9<50+(x﹣50)×0.95,解得:x>150,当100+(x﹣100)×0.9=50+(x﹣50)×0.95,解得:x=150.综上所述,当累计消费大于50元少于150元时,在乙商店花费少;当累计消费大于150元时,在甲商店花费少;当累计消费等于150元或不超过50元时,在甲乙商场花费一样.知识点4 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的实际应用问题,通常列一元一次不等式组,并求解.一元一次不等式组解应用题,其一般步骤:(1)分析题意,找出不等关系;(2)设未知数,列出不等式组;(3)解不等式组;(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案;(5)作答.【典例】1.把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本?学生有多少人?【答案】略.【解析】解:设有x个学生,那么共有(3x+8)本书,∵如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本,∴可知最后一人分到书的数的数量大于等于0且小于3,即0≤书的总数-(x-1)×5<3,∴可列不等式组为{3x+8−5(x−1)≥03x+8−5(x−1)<3,解得5<x≤6.5,∵x为整数,∴x=6,∴共有6×3+8=26本,答:有26本书,6个学生.【方法总结】一元一次不等式组的应用解题思路①将题目中所给信息与数学思想联系起来,读懂题,列出不等式关系;②根据不等关系,列一元一次不等式组;③解一元一次不等式组;④从不等式组解集中找出符合题意的答案,并作答.【随堂练习】1.青县祥通汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B 型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元?(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,且A型号车不少于2辆,购车费不少于130万元,则有哪几种购车方案?【解答】解:(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元.则,解得,答:每辆A型车的售价为18万元,每辆B型车的售价为26万元;(2)设购买A型车a辆,则购买B型车(6﹣a)辆,则依题意得18a+26(6﹣a)≥130,解得a≤3,∴2≤a≤3.a是正整数,∴a=2或a=3.共有两种方案:方案一:购买2辆A型车和4辆B型车;方案二:购买3辆A型车和3辆B型车;2.义安中学工会“三八妇女节”共筹集会费1800元,工会决定拿出不少于270元,但不超过300元的资金为“优秀女职工”购买纪念品,其余的钱用于给50位女职工每人买一瓶洗发液或护发素,已知每瓶洗发液比每瓶护发素贵9元,用200元恰好可以买到2瓶洗发液和5瓶护发素.(1)求每瓶洗发液和每瓶护发素价格各是多少元?(2)有几种购买洗发液和护发素的方案?哪种方案用于为“优秀女职工”购买纪念品的资金更充足?【解答】解:(1)设每瓶洗发液和每瓶护发素价格分别为x元和y元,则,解得.答:每瓶洗发液和每瓶护发素的价格分别为35元和26元.(2)设购买洗发液t瓶,购买护发素(50﹣t)瓶,则1800﹣300≤35t+26(50﹣t)≤1800﹣270解得22≤t≤25,因为t为正整数,所以t=23,24,25,即有三种方案:第一种方案:购买洗发液23瓶,护发素27瓶,余下资金293元.第二种方案:购买洗发液24瓶,护发素26瓶,余下资金284元.第三种方案:购洗发液25瓶,护发素25瓶,余下资金275元.综合运用1.若不等式(k﹣4)x>﹣1的解集为x<−1k−4,则k的取值范围是.【答案】k<4.【解析】解:∵不等式(k﹣4)x>﹣1的解集为x<−1k−4,∴k﹣4<0,解得:k<4.故答案为k<4.2.关于x的两个不等式3x+a2<1与3﹣3x>0的解集相同,则a= .【答案】-1.【解析】解:由3x+a2<1得:x<2−a3,由3﹣3x >0得:x <1, 由两个不等式的解集相同,得到2−a 3=1,解得:a=-1. 故答案为:-1.3.已知关于x ,y 的方程组{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②(1)由方程①﹣②,可方便地求得x ﹣y= ;(2)若方程组的解满足x+y >0,则a 的取值范围是 . 【答案】2a ; a >﹣1.【解析】解:(1){3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②,①﹣②得,2x ﹣2y=1+3a ﹣1+a , 即x ﹣y=2a ;(2)①+②得,4x+4y=1+3a+1﹣a , 即x+y=12a+12; ∵x+y >0,∴12a+12>0,解得a >﹣1; 故答案为2a ;a >﹣1.4.已知不等式组 {x +1<a3x +5>x −7无解,则a 的取值范围是 .【答案】a ≤﹣5【解析】解:解不等式x+1<a ,可得:x <a ﹣1;解不等式3x+5>x ﹣7,可得:x >﹣6, 因为不等式组 {x +1<a3x +5>x −7无解,所以a ﹣1≤﹣6, 解得:a ≤﹣5, 故答案为:a ≤﹣55.关于x 的不等式组{x −a >01−x >0的整数解共有3个,则a 的取值范围是 .【答案】﹣3≤a <﹣2.【解析】解:由不等式①得x >a , 由不等式②得x <1,所以不等式组的解集是a <x <1,∵关于x 的不等式组{x −a >01−x >0的整数解共有3个,∴3个整数解为0,﹣1,﹣2, ∴a 的取值范围是﹣3≤a <﹣2.6.已知不等式组{x +2>m +nx −1<m −1的解集为﹣1<x <2,则(m+n )2018=_________.【答案】1.【解析】解:解不等式x+2>m+n ,得:x >m+n ﹣2, 解不等式x ﹣1<m ﹣1,得:x <m ,∴不等式组{x +2>m +nx −1<m −1的解集为m+n ﹣2<x <m ,∵不等式组的解集为:﹣1<x <2, ∴m+n ﹣2=﹣1,m=2, 解得:m=2,n=﹣1,则(m+n )2018=(2﹣1)2018=1, 故答案为:1.7.已知关于x ,y 的二元一次方程组{4x +y =k +2x +4y =3的解满足0<x+y <1,则k 的取值范围是 . 【答案】﹣5<k <0.【解析】解:将两方程相加可得5x+5y=k+5, ∴x+y=k+55,∵0<x+y <1,∴{k+55>0k+55<1,解得﹣5<k <0,∴k 的取值范围是﹣5<k <0, 故答案为:﹣5<k <0.8.某种商品的进价为15元,出售时标价是22.5元.由于市场不景气销售情况不好,商店准备降价处理,但要保证利润率不低于10%,那么该店最多降价_________元出售该商品. 【答案】6.【解析】解:设降价x 元出售该商品,,则降价出售获得的利润是(22.5﹣x ﹣15)元,根据利润率不低于10%,列出不等式得,22.5﹣x﹣15≥15×10%,解得x≤6,故该店最多降价6元出售该商品.故答案为:6.9.某种毛巾的原零售价为每条6元,凡一次性购买两条以上(含两条),商家推出两种优惠方案:(1)两条按原价,其余按七折优惠;(2)全部按八折优惠.若在购买相同数量的毛巾的情况下,要使方案(1)比方案(2)合算,则最少要购买毛巾___________条.【答案】7.【解析】解:设购买毛巾x条,∵根据题意可得不等关系:2条毛巾的价格+(x﹣2)条毛巾的价格×0.7<x条毛巾打8折的价格,∴可列出不等式为:6×2+6×0.7(x﹣2)<6×0.8x,解得x>6,∵x为最小整数,∴x=7,故答案为:7.<1与②2(x﹣2)>3x﹣6.10.关于x的两个不等式:①a+2x3(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;(2)若不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4,求a的取值范围.【答案】略.,【解析】解:(1)由①得:x<3−a2由②得:x<2,由两个不等式的解集相同,得到3−a=2,2解得:a=﹣1.故a的值为﹣1;(2)由不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4,得到3−a+1<4,2解得a>﹣3.故a的取值范围是a>﹣3.11.某储运站现有甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,安排用一列货车将这批货物运往青岛,这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节.已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,按此要求安排A、B两种货厢的节数,有哪几种运输方案?请设计出来.【答案】略.【解析】解:设用A型货厢x节,则用B型货厢(50﹣x)节,∵甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,∴x节A型货厢可装甲种货物35x吨,乙种货物15x吨;(50-x)节B型货厢可装甲种货物25(50-x)吨,乙种货物35(50-x)吨;∴x节A型货厢和(50﹣x)节B型货厢共装甲种货物为[35x+25(50-x)]吨,x节A型货厢和(50﹣x)节B型货厢共装乙种货物为[15x+35(50-x)]吨,∴{35x+25(50−x)≥153015x+35(50−x)≥1150解得28≤x≤30,∵x为整数,∴x只能取28,29,30,∴当x=28时,则50-x=22,当x=29时,则50-x=21,当x=30时,则50-x=20,共有三种调运方案:第一种调运方案:用A型货厢28节,B型货厢22节;第二种调运方案:用A型货厢29节,B型货厢21节;第三种调运方案:用A型货厢30节,B型货厢20节.12.某工厂生产A、B两种产品共50件,其生产成本与利润如下表:若该工厂计划投入资金不超过40万元,且希望获利超过16万元,问工厂有哪几种生产方案?哪种生产方案获利润最大?最大利润是多少?【答案】略.【解析】解:设生产A产品x件,则生产B产品(50﹣x)件,∴该工厂生产A种产品和B种产品一共投入资金为[0.6x+0.9(50-x)]元,∵该厂生产A种产品和B种产品投入资金不超过40万元,且希望获利超过16万元,∴可列不等式组为:{0.6x+0.9(50−x)≤40 0.2x+0.4(50−x)>16,解得:50≤x<20,3∵x取整数,∴x可取17、18、19,共三种方案:①A 17件,B 33件;②A 18件,B 32件;③A 19件,B 31件;第一种方案获利:0.2×17+0.4×33=16.6万元;第二种方案获利:0.2×18+0.4×32=16.4万元;第三种方案获利:0.2×19+0.4×31=16.2万元;故可得方案一获利最大,最大利润为16.6万元.答:工厂有3种生产方案,第一种方案获利润最大,最大利润是16.6万元.21。
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集:使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注:其标准形式: ax+b <0或ax+b ≤0, ax+b >0或ax+b ≥0(a ≠0).二、一元一次不等式的解法:解一元一次不等式,要根据不等式的性质,将不等式逐步化为x a<(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式,其一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1。
说明:解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是:一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方.例如:131321≤---x x解不等式: 解:去分母,得 6)13(2)13≤---x x ((不要漏乘!x <a x >a x ≤a x ≥a五、不等式组解集的确定方法,可以归纳为以下四种类型(b a <)①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >,如下图: ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <,如下图:同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b xa x 的解集是b x a <<,如下图:④⎩⎨⎧><bx a x 无解,如下图:大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
有些问题用方程不能解决,而用不等式却能轻易解决。
专题3.3一元一次不等式(组)含参问题八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练(浙教版)[含答案]
专题3.3 一元一次不等式(组)含参问题(12大类型)(全章知识梳理与考点分类讲解)第一部分【题型目录】【题型1】已知含参方程的解的正负性,求参数取值范围............................1;【题型2】已知含参一元一次不等式的解集,求参数取值范围........................2;【题型3】已知含参一元一次不等式整数解,求参数取值范围........................2;【题型4】已知含参一元一次不等式组有解,求参数取值范围........................2;【题型5】已知含参一元一次不等式组无解,求参数取值范围........................2;【题型6】已知含参一元一次不等式组有且只有几个整数解,求参数取值范围......3;【题型7】已知含参一元一次不等式组至少(多)有几个整数解,求参数取值范围......3;【题型8】已知含参一元一次不等式组解集,求参数值或取值范围.............3;【题型9】由含参一元一次不等式组解集和分式方程解的情况,求参数取值范围........4;【题型10】由含参一元一次不等式组解集和二元一次方程解的情况,求参数取值范围...4;【题型11】直通中考...........................................................5;【题型12】拓展延伸...........................................................5.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】已知含参方程的解的正负性,求参数取值范围【例1】(23-24八年级下·陕西汉中·期末)1.关于x 的分式方程32211x mx x -=+++的解为负数,则m 的取值范围是( )A .0m <B .4m >-C .4m <-D .4m <-且5m ¹-【变式1】(20-21八年级下·江苏扬州·期中)2.已知关于x 的方程232x mx -=-的解是非负数,则m 的取值范围为 .【变式2】(23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习)3.若关于x 的方程528x a -=的解是非正数,则a 的取值范围是( )A .4a >-B .4a <-C .4a ³-D .4a £-【题型2】已知含参一元一次不等式的解集,求参数取值范围【例2】(23-24七年级下·全国·期中)4.已知关于x 的不等式 413x a +>的解都是不等式 2103x +>的解,则a 的取值范围是( )A .5a £B .<5a C .3a £D .>5a 【变式1】(23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)5.如果关于x 的不等式(1)1a x -³解集为11x a³-,则a 的取值范围是 .【变式2】6.如果关于x 的不等式()11a x a +>+的解集为1x <,那么a 的取值范围是 .【题型3】已知含参一元一次不等式整数解,求参数取值范围【例3】(2024七年级下·江苏·专题练习)7.若关于x 的一元一次不等式1x m +£只有1个正整数解,则m 的取值范围是 .【变式1】(23-24八年级下·陕西宝鸡·期中)8.若关于x 的不等式57x m x +³的正整数解是1234、、、.则m 的取值范围为( )A .10m <B .8m ³C .810m ££D .810m £<【变式2】(23-24六年级下·上海浦东新·期末)9.若关于x 的不等式0x m -³的最小整数解是2x =,则m 的取值范围是⋯( )A .12m £<B .12m <£C .23m <£D .23m £<【题型4】已知含参一元一次不等式组有解,求参数取值范围【例4】(23-24七年级下·河南南阳·期末)10.已知关于x 的不等式组()12432x mx x -ì<-ïíï-£-î有解,则实数m 的取值范围是( )A .3m >B .2m ≥C .1m <D .1m £-【变式1】(23-24七年级下·全国·单元测试)11.若不等式组12x x k <£ìí>î有解,则k 的取值范围是( )A .2k <B .2k ³C .1k <D .12k £<【变式2】(23-24七年级下·湖南衡阳·期中)12.关于x 的不等式组3284a x x a ->ìí+>î有解且每一个x 的值均不在26x -££的范围中,则a 的取值范围是 .【题型5】已知含参一元一次不等式组无解,求参数取值范围【例5】(23-24八年级下·陕西西安·期末)13.若关于x 的一元一次不等式组11340x xx a ì-³-ïíï->î无解,则a 的取值范围是 .【变式1】(23-24六年级下·上海杨浦·期末)14.若关于x 的不等式组62x x m m -<<ìí-<î无解,那么m 的取值范围是【变式2】(24-25八年级上·湖南长沙·开学考试)15.已知不等式组40329x a x x -<ìí-³-+î无解,则a 的取值范围是.【题型6】已知含参一元一次不等式组有且只有几个整数解,求参数取值范围【例6】(24-25八年级上·湖南衡阳·开学考试)16.若关于x 的不等式组()()324122x x x m x ì-<-í-£-î,恰好有三个整数解,则m 的取值范围是 .【变式1】(22-23八年级下·四川达州·期中)17.若关于x 的不等式组()213644x x m x +<ìí-³+î只有3个整数解,则m 的取值范围是 .【变式2】(23-24八年级下·全国·单元测试)18.关于x 的不等式组()1023544133x x k x x k +ì+>ïïí+ï+>++ïî恰有三个整数解,则k 的取值范围是( )A .112k <£B .112k £<C .312k £<D .312k <£【题型7】已知含参一元一次不等式组至少(多)有几个整数解,求参数取值范围【例7】(22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习)19.如果关于x 的不等式组2030x m n x -³ìí-³î仅有四个整数解;1-、0、1、2,那么适合这个不等式组的整数m 、n 组成的有序实数对(),m n 最多共有( )A .4个B .6个C .8个D .9个【变式】(23-24七年级下·四川资阳·期末)20.已知关于x 的不等式组0217x a x -<ìí-³î至少有两个整数解,且存在以3,a ,6为边的三角形,则整数a 的值有个【题型8】已知含参一元一次不等式组解集,求参数值或取值范围【例8】(2024·湖北·模拟预测)21.若关于x 的一元一次不等式组63(1)51x x x m -+<-ìí->-î的解集是2x >,则m 的取值范围是( )A .3m >B .3m …C .3m <D .3m …【变式1】(23-24八年级下·全国·单元测试)22.若关于x 的不等式组220x a b x ->ìí->î的解集为11x -<<,则2019()a b +的值是( )A .1B .12C .1-D .12-【变式2】(22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习)23.不等式组29612x x x k +>+ìí-<î的解集为2x <.则k 的取值范围为 .【题型9】由含参一元一次不等式组解集和分式方程解的情况,求参数取值范围【例9】(22-23八年级下·重庆忠县·期中)24.如果关于x 的不等式组441113(22m x x x ->ìïí-<+ïî有且仅有三个整数解,且关于x 的分式方程26122mx x x --=--有非负数解,则符合条件的所有整数m 的和为 .【变式1】(23-24七年级下·重庆北碚·期末)25.已知关于y 的分式方程52211a y y --=---解为非负整数,且关于y 的不等式组2311122y a y ->ìïí+£ïî有解且至多三个整数解,则所有满足条件的整数a 的和为( )A .6B .5C .9D .13【变式2】(22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习)26.已知方程21144a a a +=--,且关于x 的不等式组x a x b>ìí£î只有2个整数解,那么b 的取值范围是( )A .13b -<£B .23b <£C .45b £<D .34b £<【题型10】由含参一元一次不等式组解集和二元一次方程解的情况,求参数取值范围【例10】(24-25八年级上·湖南长沙·开学考试)27.若存在一个整数m ,使得关于,x y 的方程组432173453x y m x y m +=+ìí+=-î的解满足1x y +£,且让不等式5041x m x ->ìí-<-î只有3个整数解,则满足条件的所有整数m 的和是( )A .12B .6C .—14D .—15【变式】(23-24七年级下·山东威海·期末)28.已知关于x ,y 的方程组3454331x y m x y m +=-ìí+=+î的解满足0,0x y x y +<->,求m 的取值范围.第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型11】直通中考【例1】(2024·四川南充·中考真题)29.若关于x 的不等式组2151x x m -<ìí<+î的解集为3x <,则m 的取值范围是( )A .m>2B .2m ≥C .2m <D .2m £【例2】(2023·四川眉山·中考真题)30.关于x 的不等式组35241x m x x >+ìí-<+î的整数解仅有4个,则m 的取值范围是( )A .54m -£<-B .54m -<£-C .43m -£<-D .43m -<£-【题型12】拓展延伸【例1】(22-23七年级下·重庆江津·期中)31.已知关于x 、y 的方程组3453x y ax y a +=-ìí-=î,下列结论中正确的个数有( )① 当3a =时,41x y =ìí=î是方程组的解;② 不存在一个实数a ,使得x 、y 的值互为相反数;③ 当方程组的解是52x y =ìí=-î时,方程组()()()()391232106m n m n a m n m n a ì++-=-ïí+--=ïî的解为3272m n ì=ïïíï=ïî;④ x 、y 都为自然数的解有3对.A .1个B .2个C .3个D .4个【例2】(23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习)32.关于x 的分式方程23133a x x x -+=++的解为整数,且关于y 的不等式组1313212y y a y y +ì+³ïïí+ï<-ïî有解且最多有六个整数解,则所有满足条件的整数a 的值之和为 .1.D【分析】本题考查了分式方程的解,分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数,解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数.【详解】解:322,11x mx x -=+++方程两边同乘以()1x +得:()3221,x x m -=++解得:4,x m =+∵关于x 的分式方程32211x mx x -=+++的解为负数,10x \+¹且 0,x <即410m ++¹且40,m +<解得:4m <-且 5.m ¹-故选:D .2.6m £且4m ¹##4m ¹且6m £【分析】本题考查了分式方程的解,解不等式等知识,首先求出关于x 的方程232x mx -=-的解,然后根据解是非负数,再解不等式求出m 的取值范围..【详解】解:关于x 的方程232x mx -=-得6x m =-+,20x -¹Q ,2x \¹,Q 方程的解是非负数,60m \-+³且62m -+¹,解这个不等式得6m £且4m ¹.故答案为:6m £且4m ¹.3.D【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式,熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键.先解一元一次方程,再根据题意构建一元一次不等式,最后解不等式即可.【详解】∵528x a -=,∴825ax +=,∵关于x 的方程528x a -=的解是非正数,∴8205ax +=£,解得4a £-,故选:D .4.A【分析】考查不等式的解集,掌握一元一次不等式的求法是解题的关键. 先把a 看作常数求出两个不等式的解集,再根据同大取大列出不等式求解即可.【详解】解:解不等式 413x a +>得,34ax ->,解不等式2103x +>得,12x >-,Q 关于x 的不等式 413x a +>的解都是不等式 2103x +>的解,3142a -\³-,解得:5a £,故选:A ;5.1a <【分析】本题考查了不等式的性质,根据题意可知关于x 的不等式(1)1a x -³解集为11x a³-,则x 的系数的正数,再根据这个结果求出a 的取值范围,解题的关键是正确理解不等式的两边都加(或减)同一个数,不等号的方向不变,不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.【详解】解:∵关于x 的不等式(1)1a x -³解集为11x a³-,∴10a ->,∴1a <,故答案为:1a <.6.1a <-【分析】本题考查了不等式的性质和解不等式,根据不等式的性质求解即可,解题的关键是正确理解不等式的两边都加(或减)同一个数,不等号的方向不变,不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.【详解】∵关于x 的不等式()11a x a +>+的解集为1x <,∴10a +<,解得:1a <-,故答案为:1a <-.7.2<3m £【分析】先解一元一次不等式可得x ≤m−1,然后根据题意可得11<2m £-,进行计算即可解答.本题考查了一元一次不等式的整数解,准确熟练地进行计算是解题的关键.【详解】解:1x m +£,解得x ≤m−1,∵一元一次不等式1x m +£只有1个正整数解,∴11<2m £-,∴2<3m £,故答案为:2<3m £.8.D【分析】本题考查解不等式,解57x m x +³得2m x £,再由题意可得452m£<,解这个不等数组即可得出答案.【详解】解:解57x m x +³得2mx £,∵该不等式的正整数解为1、2、3、4,∴452m £<解得810m £<.故选:D .9.B【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力,解关于x 的不等式求得x m ³,根据不等式的最小整数解是2x =即可作答.【详解】解:0x m -³,移项,得:x m ³,Q 不等式的最小整数解是2x =,12m \<£,故选:B .10.A【分析】本题考查了求不等式的解集及其参数,先求出不等式组的解集,再根据不等式组有解的情况得到关于m 的不等式,求解即可,理解题意,熟练掌握求不等式组的解集是解题的关键.【详解】解:()12432x mx x -ì<-ïíï-£-î①②,解不等式①得,2x m <-,解不等式②得,1x ³,∵关于x 的不等式组()12432x mx x -ì<-ïíï-£-î有解,∴21m ->,解得:3m >故选:A .11.A【分析】本题考查已知不等式的解集求参数,根据求不等式组解集的方法“大中取大,小中取小,大小小大中间找,大大小小找不到” 的原则求解即可.【详解】Q 不等式组有解,\两个不等式的解有公共部分,2.k \<故选:A .12.1a <【分析】本题考查了解一元一次不等式组,根据不等式组的解的情况求参数的取值范围,先求出不等式组的解集为243a x a -<<-,再结合题意得出243246a a a -<-ìí-³î或24332a a a -<-ìí-£-î,求解即可得出答案.【详解】解:3284a x x a ->ìí+>î①②,解不等式①得:3x a <-,解不等式②得:24x a >-,Q 不等式组有解,243a x a \-<<-,Q 每一个x 的值均不在26x -££的范围中,\243246a a a -<-ìí-³î或24332a a a -<-ìí-£-î,解得:1a <,故答案为:1a <.13.0a ³【分析】本题考查了解一元一次不等式组,不等式组解集的情况求参数,先对不等式进行求解,再根据关于x 的一元一次不等式组11340x x x a ì-³-ïíï->î无解即可解答,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.【详解】解:11340x x x a ì-³-ïíï->î①②解不等式①得,0x £,解不等式②得,x a >,∵关于x 的一元一次不等式组11340x x x a ì-³-ïíï->î无解,∴0a ³,故答案为:0a ³.14.3m £-【分析】本题考查了不等式的解集,先解不等式x m m -<,然后根据不等式组无解,即可求出m 的取值范围.【详解】解:解不等式x m m -<,得2x m <,∵62x x m m -<<ìí-<î无解,∴26m £-,∴3m £-,故答案为:3m £-.15.16a £【分析】本题考查了解一元一次不等式组.熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键.解40x a -<得4a x <,解329x x -³-+得4x ³,由不等式组40329x a x x -<ìí-³-+î无解,可得44a £,计算求解即可.【详解】解:40329x a x x -<ìí-³-+î,40x a -<,解得,4a x <,329x x -³-+,解得,4x ³,∵不等式组40329x a x x -<ìí-³-+î无解,∴44a £,解得,16a £,故答案为:16a £.16.14m £<##41m >³【分析】本题考查不等式组的整数解问题,正确理解恰有3个整数解得意义是解题的关键.先解不等式组,写出不等式组的解集,再根据恰有三个整数解,可求出m 的范围.【详解】解:()()324122x x x m x ì-<-í-£-î①②解不等式①得:2x >-,解不等式②得:23m x +£,Q 不等式组有解,\不等式组的解集是:223m x +-<£.Q 不等式组恰好有3个整数解,则整数解是1,0,1-,\2123m +£<.14m \£<,故答案为:14m £<.17.5433m -<£-【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围,先求出不等式组的解集,再根据不等式组的解集只有3个整数解可得3322m -<+£-,解不等式即可求解,掌握解一元一次不等式组是解题的关键.【详解】解:()213644x x m x +<ìïí-³+ïî①②,由①得,x <1,由②得,32x m ³+,∴不等式组的解集为321m x +£<,∵关于x 的不等式组()213644x x m x +<ìí-³+î只有3个整数解,∴3322m -<+£-,即322323m m +£-ìí+>-î,解得5433m -<£-,故答案为:5433m -<£-.18.D【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数,先分别求出不等式组中两个不等式得解集,再根据原不等式组只有三个整数解建立关于k 的不等式组,解之即可得到答案.【详解】解:()1023544133x x k x x k +ì+>ïïí+ï+>++ïî①② 解不等式①得:25x >-,解不等式②得:2x k <,∵原不等式组恰有三个整数解,∴223k <£,∴312k £<,故选:D .19.B【分析】先求出不等式组的解,得出关于m 、n 的不等式组,求出整数m 、n 的值,即可得出答案.【详解】解:∵解不等式20x m -³得:2m x ³,解不等式30n x -³得:3n x £,∴不等式组的解集是23m n x ££,∵关于x 的不等式组的整数解仅有1-,0,1,2,∴212m -<-≤,233n £<,解得:4269m n -<£-£<,,即m 的值是32--,,n 的值是6,7,8,即适合这个不等式组的整数m ,n 组成的有序数对(),mn 共有6个,是()()()()()()363738262728------,,,,,,,,,,,.故选:B .【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的整数解的应用,解此题的关键是求出m 、n 的值.20.3【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用,求不等式组的解集应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.依据不等式组至少有两个整数解,即可得到a 5>,再根据存在以3,a ,6为边的三角形,可得39a <<,进而得出a 的取值范围是59a <<,即可得到a 的整数解有3个.【详解】解:解不等式组得:4x a £<,∵至少有两个整数解,则整数解至少为4和5,∴5a >,又∵存在以3,a ,6为边的三角形,∴39a <<,∴a 的取值范围为59a <<,∴整数a 的值为:6,7,8,有3个故答案为:3.21.D【分析】本题考查的是解一元一次不等式组,求出第一个不等式的解集,根据口诀:“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定m 的范围.【详解】解:解不等式63(1)5x x -+<-得x >2,解不等式1x m ->-得1x m >-,∵解集是2x >,∴12m -£,解得3m £,故选D .22.C【分析】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.分别求出每一个不等式的解集,根据不等式组的解集得到a 、b 的值,代入计算即可.【详解】解:220x a b x ->ìí->î①②,解①得:2x a >+,解②得:2b x <,∵不等式组220x a b x ->ìí->î的解集为11x -<<,∴2112a b +=-ìïí=ïî,解得:32a b =-ìí=î,∴()20192019()321a b +=-+=-.故选:C .23.0k ³##0k £【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数,先分别求解两个不等式,再根据口诀“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”得出22k £+,求解即可.【详解】解:29612x x x k +>+ìí-<î①②,由①可得:2x <,由②可得:2x k <+,∵该不等式组的解集为2x <,∴22k £+,解得:0k ³,故答案为:0k ³.24.5【分析】本题主要考查解一元一次不等式组,分式方程的综合,掌握不等式的性质,不等式组的取值方法,解分式方程的方法是解题的关键.根据不等式的性质分别求解,根据不等式组的取值方法“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解”及不等式组的解集的情况可得04m <£,再根据解分式方程的方法得到61x m =-,由分式方程有非负数解,可得14m <<,由此即可求解.【详解】解:441113(22m x x x ->ìïí-<+ïî,解不等式44m x ->,得:44m x -<,解不等式111322x x æö-<+ç÷èø,得:72x >-,∵不等式组有且仅有三个整数解,∴4104m --<£,解得:04m <£,解关于x 的分式方程26122mx x x --=--,得:61x m =-,∵分式方程有非负数解,∴601m ³-,且621m ¹-,10m -¹,解得:1m ³且4m ¹且1m ¹,综上,14m <<,所以所有满足条件的整数m 的值为2,3,∴符合条件的所有整数m 的和为235+=.故答案为:5.25.A【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式方程组,首先解得不等式方程组的解,根据题意找到a 的范围,再解的分式方程的解,结合分式方程的解和a 的范围求得a 的可能值即可.【详解】解:2311122y a y ->ìïí+£ïî由23y a ->,解得32a y +>,由11122y +£,解得5y £,则不等式方程组的解为,352a y +<£,∵关于y 的不等式组2311122y a y ->ìïí+£ïî有解且至多三个整数解,∴3252a +££,解得17a ££,52211a y y --=---,去分母得,()()2152y a ---=,去括号、移项得,25y a -=-,系数化为1得,52a y -=,∵1y =为分式方程的增根,∴512a -¹,解得3a ¹,∵y 的分式方程52211a y y --=---解为非负整数,∴502a y -=³,解得5a £,∴15a £<且3a ¹,∴当1a =时,2y =;当2a =时,32y =,舍去;当3a =时,1y =,舍去;当4a =时,12y =,舍去;当5a =时,0y =;则所有满足条件的整数a 的和为156+=.故选:A .26.D【分析】此题考查了解分式方程,以及一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法则是解本题的关键.先解分式方程,得到a 的值,代入不等式组确定出b 的范围即可.【详解】解:解方程21144a a a+=--,得1a =,经检验,1a =是该分式方程的解,∵关于x 的不等式组x a x b >ìí£î,即1x x b >ìí£î只有2个整数解,∴34b £<.故选:D .27.D【分析】根据方程组的解的情况,以及不等式组的解集情况,求出m 的取值范围,再进行求解即可.本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组,求不等式的整数解等知识点,掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键.【详解】解:432173453x y m x y m +=+ìí+=-î①②,+①②,得:77714x y m +=+,∴2x y m +=+,∵1x y +£,∴21m +£, 解得:1m £-,解不等式50x m ->,得:5m x >, 解不等式41x -<-,得:3x <,故不等式组的解集是:35m x <<∵不等式组只有3个整数解,∴105m -£<,解得50m -£<,∴51m -££-,∴符合条件的整数m 的值的和为5432115-----=-,故选:D .28.31m -<<【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围,求不等式组的解集,根据方程组的解集的情况,得到关于m 的不等式组,求解即可.【详解】解:3454331x y m x y m +=-ìí+=+î①②,+①②得:7744x y m +=-,即447m x y -+=,-②①得:26x y m -=+,∵00x y x y +-,,∴4407260m m -ì<ïíï+>î∴31m -<<,故答案为:31m -<<.29.B【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围,先解不等式组,再根据不等式组的解集,得到关于参数的不等式,进行求解即可.【详解】解:解2151x x m -<ìí<+î,得:31x x m <ìí<+î,∵不等式组的解集为:3x <,∴13m +³,∴2m ≥;故选B .30.A【分析】不等式组整理后,表示出不等式组的解集,根据整数解共有4个,确定出m 的范围即可.【详解】解:35241x m x x >+ìí-<+î①②,由②得:3x <,解集为33m x +<<,由不等式组的整数解只有4个,得到整数解为2,1,0,1-,∴231m -£+<-,∴54m -£<-;故选:A .【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组,一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握,能根据不等式组的解集得到231m -£+<-是解此题的关键.31.B【分析】此题考查了二元一次方程组的解,一元一次不等式组,①把3a =代入方程组求出解,即可做出判断;②根据题意得到0x y +=,代入方程组求出a 的值,即可做出判断;③()()()()391232106m n m n a m n m n aì++-=-ïí+--=ïî的各项和原方程成比例,故可得方程52m n m n +=ìí-=-î,即可解答;④用a 表示,x y ,可得一元一次不等式组,再根据a 的取值范围,即可解答,熟知方程的各项成比例时,两个方程的解相同,是解题的关键.【详解】解:当3a =时,原方程为343533x y x y +=-ìí-=´î,解得41x y =ìí=-î,故①错误;x 、y 的值互为相反数时,可得0x y +=,可得方程3453y y a y y a-+=-ìí--=î,方程无解,故②正确;()()()()391232106m n m n a m n m n a ì++-=-ïí+--=ïîQ 的各项和原方程成比例,故可得52m n m n +=ìí-=-î,解得3272m n ì=ïïíï=ïî,故③正确;解3453x y a x y a +=-ìí-=î,可得5212a x a y +ì=ïïí-ï=ïî,当,x y 为自然数时,可得502102a a +ì³ïïí-ï³ïî,解得51a -££且a 为奇数,故5,3,1,1a =---,即x 、y 都为自然数的解有4对,故④错误;故选:B .32.20-【分析】本题考查了分式方程的解,一元一次不等式组的整数解,由分式方程得12a x +=,由一元一次不等式组得23a y +<£-,根据不等式组1313212y y a y y +ì+³ïïí+ï<-ïî有解且最多有六个整数解,即可得到125a -<<-,再由12a x +=为整数,即可得到a 的值,正确掌握解一元一次不等式组和解分式方程得方法是解题的关键.【详解】解:∵23133a x x x-+=++,∴12a x +=,由1313212y y a y y +ì+³ïïí+ï<-ïî得23a y +<£-,∵不等式组1313212y y a y y +ì+³ïïí+ï<-ïî有解且最多有六个整数解,∴125a -<<-,∵12a x +=为整数,∴11a =-或9-或―7,又∵30x +¹,∴1302a ++¹,∴7a ¹-,∴11a =-或9-,∴所有满足条件的整数a 的值之和()11920=-+-=-,故答案为:20-.。
考点07 一元一次不等式(组)及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点07 一元一次不等式(组)及其应用中考数学中,一元一次不等式(组)的解法及应用时有考察,其中,不等式基本性质和一元一次不等式(组)解法的考察通常是以选择题或填空题的形式出题,还通常难度不大。
而对其简单应用,常会和其他考点(如二元一次方程组、二次函数等)结合考察,此时难度上升,需要小心应对。
对于一元一次不等式中含参数问题,虽然难度系数上升,但是考察几率并不大,复习的时候只需要兼顾即可!一、不等式的基本性质二、一元一次不等式(组)的解法三、求不等式(组)中参数的值或范围四、不等式(组)的应用考向一:不等式的基本性质【易错警示】1.若a >b ,则下列不等式中,错误的是( )A .3a >3bB .﹣<﹣C .4a ﹣3>4b ﹣3D .ac 2>bc 2【分析】根据不等式的性质进行一一判断.【解答】解:A 、在不等式a >b 的两边同时乘以3,不等式仍成立,即3a >3b ,故本选项正确;B 、在不等式a >b 的两边同时除以﹣3,不等号方向改变,即﹣<﹣,故本选项正确;C 、在不等式a >b 的两边同时先乘以4、再减去3,不等式仍成立,4a ﹣3>4b ﹣3,故本选项正确;D 、当c =0时,该不等式不成立,故本选项错误.故选:D .2.已知x <y ,下列式子不成立的是( )A .x +1<y +1B .x <y +100C .﹣2022x <﹣2022yD .【分析】根据不等式的性质判断即可.【解答】解:A 、在不等式x =y 的两边同时加上1得x +1<y +1,原变形成立,故此选项不符合题意;B 、在不等式x <y 的两边同时加上100得x +100<y +100,原变形成立,故此选项不符合题意;C 、在不等式x <y的两边同时乘以﹣2022得﹣2022x >﹣2022y ,原变形不成立,故此选项符合题意;D 、在不等式x <y 的两边同时除以2022得x <y ,原变形成立,故此选项不符合题意;故选:C .3.若x>y,且(a+3)x<(a+3)y,求a的取值范围 a<﹣3 .【分析】根据题意,在不等式x>y的两边同时乘以(a+3)后不等号改变方向,根据不等式的性质3,得出a+3<0,解此不等式即可求解.【解答】解:∵x>y,且(a+3)x<(a+3)y,∴a+3<0,则a<﹣3.故答案为:a<﹣3.4.已知3x﹣y=1,且x≤3,则y的取值范围是 y≤8 .【分析】根据3x﹣y=1求出x=,根据x≤3得出≤3,再根据不等式的性质求出不等式的解集即可.【解答】解:∵3x﹣y=1,∴3x=1+y,∴x=,∵x≤3,∴≤3,∴1+y≤9,∴y≤8,即y的取值范围是y≤8,故答案为:y≤8.5.已知a,b,c为三个非负实数,且满足,若W=3a+2b+5c,则W的最大值为 130 .【分析】将方程组两个方程相加,得到3a+5c=130﹣4b,整体替换可得W=130﹣2b,再由b的取值范围即可求解.【解答】解:,①+②,得3a+4b+5c=130,可得出a=10﹣,c=20﹣,∵a,b,c为三个非负实数,∴a =10﹣≥0,c =20﹣≥0,∴0≤b ≤20,∴W =3a +2b +5c =2b +130﹣4b =130﹣2b ,∴当b =0时,W =130﹣2b 的最大值为130,故答案为:130.考向二:一元一次不等式(组)的解法1. 一元一次不等式的解法2. 一元一次不等式(组)的解法①按照一元一次不等式的解法解出每个不等式的解集②依据数轴取各不等式解集的公共部分一元一次不等式组解法及解集的四种情况无解大大小小则无解1.不等式3(2﹣x)>x+2的解在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.【解答】解:∵3(2﹣x)>x+2,∴6﹣3x>x+2,﹣3x﹣x>2﹣6,﹣4x>﹣4,x<1,故选:C.2.在平面直角坐标系中,点A(a,2)在第二象限内,则a的取值可以是( )A.1B.﹣C.0D.4或﹣4【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式,求出a的取值范围即可.【解答】解:∵点A(a,2)是第二象限内的点,∴a<0,四个选项中符合题意的数是,故选:B.3.关于x的方程ax=2x﹣7的解为负数,则a的取值范围是 a>2 .【分析】先解方程得到x=,根据题意得到<0,所以2﹣a<0,然后解不等式即可.【解答】解:解方程ax=2x﹣7的得x=,∵方程ax=2x﹣7的解为负数,∴<0,∴2﹣a<0,解得a>2,即a的取值范围为a>2.故答案为:a>2.4.已知x>2是关于x的不等式x﹣3m+1>0的解集,那么m的值为 1 .【分析】先把m看作常数,求出不等式的解集,再根据不等式解集为x>2,建立关于m的方程,求解即可.【解答】解:x﹣3m+1>0x>3m﹣1,∵x>2 是关于x的不等式x﹣3m+1>0 的解集,∴3m﹣1=2,解得:m=1,故答案为:1.5.若关于的不等式﹣ax>bx﹣b(ab≠0)的解集为x>,则关于x的不等式3bx<ax﹣b的解集是 x>﹣1 .【分析】根据已知不等式的解集,即可确定的值以及a+b的符号,进而求得a=2b,进一步求得b<0,从而解不等式即可.【解答】解:移项,得:(a+b)x<b,根据题意得:a+b<0且=,即3b=a+b,则a=2b,又a+b<0,即3b<0,则b<0,则关于x的不等式3bx<ax﹣b化为:3bx<2bx﹣b,解得x>﹣1.故答案为:x>﹣1.6.解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来.(1)﹣x+19≥2(x+5);(2).【分析】(1)先去括号,再移项、合并同类项,把x的系数化为1,再把不等式的解集在数轴上表示出来即可;(2)不等式两边都乘12去分母后,去括号,移项合并,将x系数化为1,求出解集,表示在数轴上即可.【解答】解:(1)﹣x+19≥2(x+5),去括号,得)﹣x+19≥2x+10,移项,得﹣x﹣2x≥10﹣19,合并同类项,得﹣3x≥﹣9,系数化为1,得x≤3.将解集在数轴上表示为:(2),去分母,得3(x+4)﹣12<4(4x﹣13),去括号,得3x+12﹣12<16x﹣52,移项,得3x﹣16x<﹣52﹣12+12,合并同类项,得﹣13x<﹣52,系数化为1,得x>4.解集在数轴上表示为:7.关于x的方程5x﹣2k=6+4k﹣x的解是负数,求字母k的值.【分析】解方程得出x=k+1,根据方程的解为负数得出关于k的不等式,解之可得.【解答】解:解方程5x﹣2k=6+4k﹣x得x=k+1,∵方程的解是负数,∴k+1<0,∴k<﹣1.8.不等式组的解集在数轴上表示为( )A.B.C.D.【分析】先解出每个不等式的解集,即可得到不等式组的解集,然后在数轴上表示出其解集即可.【解答】解:,解不等式①,得:x≥1,解不等式②,得:x≥2,故原不等式组的解集是x≥2,其解集在数轴上表示如下:,故选:C.9.对于任意实数x,我们用{x}表示不小于x的最小整数.如:{2.7}=3,{2022}=2022,{﹣3.14}=﹣3,若{2x+3}=﹣2,则x的取值范围是( )A.B.C.D.【分析】根据{x}表示不小于x的最小整数,可得﹣3<2x+3≤﹣2,然后进行计算即可解答.【解答】解:∵{2x+3}=﹣2,∴﹣3<2x+3≤﹣2,∴﹣6<2x≤﹣5,∴﹣3<x≤﹣,故选:D.10.不等式组的解集是 x<3 .【分析】先求出每个一元一次不等式的解集,再求出它们的公共部分即为不等式组的解集.【解答】解:,解①得:x≤8,解②得:x<3,∴不等式组的解集为x<3.故答案为:x<3.11.解不等式(组),并把解集在数轴上表示出来:(1)2(x﹣1)+2<3x;(2).【分析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤:去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得;(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.【解答】解:(1)∵2(x﹣1)+2<3x,∴2x﹣2+2<3x,∴2x﹣3x<2﹣2,∴﹣x<0,则x>0,将解集表示在数轴上如下:(2)解不等式3x﹣(x﹣2)≥6,得:x≥2,解不等式x+1>,得:x<4,则不等式组的解集为2≤x<4,将不等式组的解集表示在数轴上如下:考向三:求不等式组中参数的值或范围方法步骤总结:①解出不等式(组)的解集——用含参数的表达式表示;②根据题目要求,借助数轴,确定参数表达式的范围,必在两个相邻整数之间;③由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”,哪边不能取“=”。
人教版初中数学七年级下册第9章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题(专题课)教案
人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题(专题课)教案核心素养:1.使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的理解,会用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围;2.培养学生探究、独立思考的学习习惯,感受数形结合的作用,熟悉并掌握数形结合的思想方法,提高分析问题和解决的能力;3.提升学生之间合作与交流以及对问题的探讨能力,从中发现数学的乐趣.【教学重难点】重点:含参一元一次不等式组的分类解法难点:1.一元一次不等式中字母参数的讨论2.一元一次不等式中运用数轴分析参数的范围【教学过程】1.问题引导 合作交流出示问题:请同学们解下列两个不等式(1)x-2m<0,(2)x+m >3并思考m 的取值范围. 同学们不难得出不等式(1)的解为x <2m ;(2)的解为x >3-m.引导分析m 的取值范围. 师引导,生回答:任意实数.[问题1]如果将上述两个不等式联立成不等式组⎩⎨⎧>+<-302m x m x ,你能确定不等式组的解集吗? 师提示学生画数轴 ,问:能画几种情况[问题2]如果这个不等式组无解,你能确定m 的取值范围吗?(学生分组讨论)(借助数轴)师生一起分析:如果不等式组无解,则2m <3-m ,解得m <1。
确定一下“<”要不要添加“=”(这是参数取值问题中的难点)学生借助数轴讨论.师生总结:2m 和3-m 在两个不等式的解中都不包含,所以2m 可以等于3-m ,即m ≤1.2.变式拓展 强化理解变式1:若不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 无解,这时m 的取值会有变化吗?解不等式①得x ≤2m 解不等式②得x >3-m(学生分组探究)引导:虽然第一个不等式“<”改成“≤”通过数轴可以看到由于和第二个不等式的解集不包含3-m ,所以2m ≤3-m ,m 的取值范围仍然是m ≤1.变式2:如果不等式组变化为⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x ,这时m 的取值又会有改变吗?(学生分组探究)由于两个不等式都含有等号,这时2m 和3-m 可能是公共点,而要想使不等式组无解,2m 和3-m 不能重合,只能2m <3-m ,所以m 不能等于1,即m <1.3.问题反转[问题3]如果不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 有解,怎样确定 m 的取值范围?把两个不等式的解集在数轴上表示出,同学们观察数轴 ,不难得出要想使不等式组有解,只要2m ≥3-m ,即m ≥1这样两个不等式的解集有公共部分,不等式组有解,所以m 的取值范围m ≥14.方法小结 归纳步骤解含参一元一次不等式(组)有、无解问题时注意掌握四个步骤:一解 .解不等式组,用参数分别表示出两个不等式的解集;二画.借助数轴进行视觉观察,画出有无解的情况;三验:验证端点取舍判断等号是否可取;四:列出不等式,确定取值范围5,拓展演练 题型再变[问题4]下面这种类型的一元一次不等式组如何确定字母参数取值范围?例:已知不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-②①22-10x x a x 的解集是x >1,求a 的取值范围?学生分组解出每个不等式的解集:解①得:x ≥a 解②得:x >1因为不等式的解集是x >1,(学生分组探讨):a 的位置在数轴上应该在哪个位置? 分析得出:a 在数轴上的位置应该在1的左侧.把不等式组的解集在数轴上表示出来:即a <1,[思考3]a 可不可以等于1?因为a=1时不等式组的解集仍然是x >1.所以a 可以等于1,即a 的取值范围a ≤15.基础过关1.若不等式组⎩⎨⎧≤≥-m x x 062 无解,求m 的取值范围? 2.若不等式组⎩⎨⎧>+<--xx a x x 422)2(3有解,求a 的取值范围?3.若不等式组⎩⎨⎧+>+<+1137m x x x 的解集是x >3,求m 的取值范围?。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一:解一元一次不等式组1、解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨:先求出不等式①②的解集,然后在数轴上表示不等式①②的解集,求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析:解不等式①,得x≥-;解不等式②,得x<1。
所以不等式组的解集为-≤x<1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华:用数轴表示不等式组的解集时,要切记:大于向右画,小于向左画。
有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈。
举一反三:【变式1】解不等式组:解析:解不等式①,得:解不等式②,得:在数轴上表示这两个不等式的解集为:∴原不等式组的解集为:【变式2】解不等式组:思路点拨:在理解一元一次不等式组时要注意以下两点:(1)不等式组里不等式的个数并未规定;(2)在同一不等式组里的未知数必须是同一个.(3)注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一:解不等式①,得:解不等式②,得:解不等式③,得:在数轴上表示这三个不等式的解集为:∴原不等式组的解集为:解法二:解不等式②,得:解不等式③,得:由与得:再与求公共解集得:.【变式3】解不等式组:解析:解不等式①得:x>-2解不等式②得:x<-7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式:-1<≤5思路点拨:(1)把连写不等式转化为不等式组求解;(2)根据不等式的性质,直接求出连写不等式的解集。
解法1:原不等式可化为下面的不等式组解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x≤8所以不等式组的解集为-1<x≤8。
即原不等式的解集为-1<x≤8解法2:-1<≤5,-3<2x-1≤15,-2<2x≤16,-1<x≤8。
所以原不等式的解集为-1<x≤8总结升华:对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解,而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解,如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨:按照不等式组的解法,先求出每个不等式的解集,在数轴上表示出各个不等式的解集,取其公共部分得到不等式的解集,再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
含参数的一元一次不等式组讲课教案
自主学习
1. 不等式 x ? 4 ? 2(1? x) 的解集为 x ? 2 .
2. 问题1中不等式的解集表示在数轴上为( B )
A
B
C
D
3. 问题1 中不等式非负的整数解为 0 ,1 .
类型1:系数含参数的一元一次不等式
问题1 :求关于x 的一元一次不等式 mx ? 2的解集.
不等式式 x ? a(x ? a )
分析: (1)如果 m ? 0,那么 x ? 2 m
(2)如果 m ? 0,那么 x ? 2 m
练习
1. 已知a ? 3 ,求不等式 2 xa? x ??2
0 的解集.
x
?
2 2?a
变式
1. 关于x 的不等式 (3 ? a )x ?
求a 的范围.
2
的解集为 x ?
问题3 :关于x 的不等式组
?5? 2x ? ?1
? ?
x
?
a
?
0
无解,
求a 的取值范围.
变
式:关于x 的不等式组
?2x ??3 x
? ?
3x a?
? 5
3
有解,
求a 的取值范围.
a? 4
类型2:已知不等式组的特殊解,确定参数取值范围
问题1 :关于x 的不等式组
?x? m ? 0
? ?7
?
2
x
?
1
?x?a ? 0 ??? 2x ? 2 ?
?6
的解集为
x
?
4
求a 的取值范围.
练习
1 :关于x 的不等式组
?x
? ?
x
? ?
2 ?m
一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一元一次不等式组含参问题是指在一元一次不等式组中引入一个或多个参数,求解参数使得不等式组成立或不成立的问题。
解决这类问题的一般方法是通过对参数的取值范围进行讨论,将不等式系统转化为关于参数的方程或不等式,然后解方程或不等式来确定参数的取值范围。
下面通过几个例子来说明如何解决一元一次不等式组含参问题。
【例1】求参数m的取值范围,使得不等式组 3x - 2 < mx + 1和 2x + 3 < 4m + 1 同时成立。
解:首先,我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数m的方程组,然后解方程来确定参数的范围。
将不等式组化简得到:3x - mx < 3 + 2 和 2x - 4m < -2。
化简后的不等式组可以写成关于参数m的方程组:3 - m > 0和 -4m - 2 < 2x。
解这个方程组可以得到参数m的取值范围。
对不等式3 - m > 0,我们可以将m移到左边得到m < 3。
因此,参数m的取值范围是m < 3。
这是因为当m小于3时,不等式3 - m > 0成立。
对于不等式-4m - 2 < 2x,我们可以将m移到右边得到2x > -4m - 2,再除以2得到x > -2m - 1。
这说明在参数m小于3时,也必须满足x > -2m - 1,才能使得不等式组成立。
综上所述,参数m的取值范围是m < 3,并且在这个范围内,x > -2m - 1。
【例2】求参数a的取值范围,使得不等式组 2x + a - 1 < 3 和5 - 3x < 2a 同时成立。
解:首先,我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数a的方程组,然后解方程来确定参数的范围。
化简不等式组得到:a + 2x < 4 和 3x + 5 < 2a。
化简后的不等式组可以写成关于参数a的方程组:a - 4 < -2x和 2a - 3x > 5。
一元一次不等式(组)提升专题
一元一次不等式(组)提升专题【问题归纳】1、知含参不等式组的解集,求参数的取值范围;2、知含参不等式组有解、无解,求参数的取值范围;3、知含参不等式组整数解的情况;求参数的取值范围;4、不等式与方程综合,求多元代数式的取值范围;5、与不等式相关的新定义(高斯函数,“四舍五入”).【典例讲练】【例1】若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01456m x x x 的解集为x <4,则m 的取值范围是__________. 【练】关于x 的不等式组1235a x a x -<<+⎧⎨<<⎩的解集为32x a <<+,则a 的取值范围是__________.【例2】(1)如果关于x 的不等式(m -n )x +m -7n >0的解集为x <1,那么关于x 的不等式nx ≥m 的解集 为__________.【练】若不等式(2a -b )x +3a -4b <0的解集是x >94,求不等式(a -4b )x +2a -3b >0的解集.【例3】(1)若关于x 的不等式组⎩⎨⎧++>-++>-x m m x m x x m 122)15(253有解,求m 的取值范围.【练】若关于x 的一元一次不等式组0230x a x a +>⎧⎨-+⎩≤有解,则a 的取值范围为____________.【变1】若关于x 的不等式组121x m x m <+⎧⎨>-⎩无解,则m 的取值范围是____________.【变2】若关于x 的不等式组204(1)20x a x a +>⎧⎨-+>⎩无解,则a 的取值范围是____________.【例4】若关于x 的不等式组0721x m x -<⎧⎨--⎩≤有4个正整数解,则m 的取值范围为__________.【练】若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-0240x a x 的整数解共有5个,求a 的取值范围.【变1】若关于x 的不等式组423()23(2)5x x a x x +>+>-+⎧⎨⎩仅有三个整数解,则a 的取值范围是__________.【变2】若关于x 的不等式组5060x m x n -<⎧⎨-⎩≥整数解仅为1,2,3,则(m ,n )的有序整数对有多少个?【拓1】若关于x 的不等式组3190x x a +<⎧⎨-⎩≥的整数解的和为0,则a 的取值范围是__________.【拓2】关于x 的不等式组2132x x x m+⎧>-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是﹣7,则m 的范围是__________.【拓3】(1)已知关于x 、y 的方程组2525x y x y a -=⎧⎨+=⎩的解满足不等式x +y <b ,且满足条件的正整数a 仅有2个,则b 的范围是________.(2)已知关于x ,y 的方程组3434x y a x y a -=+⎧⎨+=+⎩的解满足不等式x -2y ≥b ,且满足条件的正整数a 仅有4个,则b 的范围是________.【例6】已知x 、y 为非负数,且满足x +2y -3=0,求m =2x +y 的最大值.【变】若a ,b 满足3a +5|b |=7,且S =2a -3|b |,求S 的取值范围.【拓1】已知4325x y -+≤≤,13x y -≤≤,则2x y +的最大值为__________,最小值为__________.【拓2】已知实数a 、b 满足14a b +≤≤,01a b -≤≤,且2a b -有最大值,求82018a b +的值.【拓3】已知三个非负数a 、b 、c 满足3a +2b +c =5和2a +b -3c =1,若m =3a +b -7c ,求m 的最 大值和最小值.【拓4】已知非负数a ,b ,c 满足条件a +b =7,c ﹣a =5,设S =a +b +c 的最大值为m ,最小值为n , 则m ﹣n 的值为__________.【拓5】已知非负实数x 、y 、z 满足123234x y z ---==,记345W x y z =++,求W 的最大值、最小值.【例7】对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x >,即:当n 为非负整数时,如果n -21≤x <n +21,则<x >=n . 如:<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,…①填空:<π>=_________(π为圆周率);②如果<2x ﹣1>=3,求实数x 的取值范围.【变】已知[x ]表示不超过x 的最大整数,如[﹣1]=﹣1,[﹣1.5]=﹣2,[3.5]=3,则满足方程x ﹣2[x ]﹣103=0的解的个数为__________.【拓】设[x ]表示不超过x 的最大整数(例如:[2]=2,[1.25]=1),则方程3x -2[x ]+4=0的解为 _______________.【思考题】1、已知有理数x 满足31752233x x x -+-≥-,若32x x --+的最小值为a ,最大值为b ,求ab .2、若a +b =﹣2,且a ≥2b ,则( )A .a b 有最小值21B .ba 有最大值1 C .b a 有最大值2 D .b a 有最小值98-3、已知a +b +c =0,a >b >c ,则ac 的取值范围是_______________.4、求满足下列条件的最小正整数n ,对于n 存在正整数k 使871513n n k <<+成立.5、已知a 、b 、c 、d 是正整数,且a +b =20,a +c =24,a +d =22,设a +b +c +d 的最大值为M ,最小 值为N ,则M -N =______________.【补充练习】1、已知关于x 的不等式(4a -3b )x >2b -a 的解集是x <94,求ax >b 的解.2、(1)若不等式12634x x a -<⎧⎨+⎩≤无解,求a 的取值范围.(2)关于x的不等式12634xx a-<⎧⎨+⎩≤仅有两个负整数解,求a的取值范围.(3)如果关于x的不等式2≤3x+b<8的整数解之和为7,求b的取值范围是.(4)若不等式组9080x ax b-⎧⎨-<⎩≥的整数解仅为1,2,3,则适合这个不等式组的整数解a、b有序整数对(a,b)共有多少个?(5)已知关于x,y的方程组922x yx y a-=⎧⎨+=⎩的解满足不等式x+y≤b,且满足条件的正整数a仅有3个,则b的范围是________.(6)已知关于x、y的方程组521365x y ax y a-=+⎧⎨-=+⎩的解满足不等式2x-y>b,且满足条件的非正整数a仅有4个,则b的范围是________.3、(1)m为何值时,方程组713x y mx y m+=-⎧⎨-=+⎩的解满足2x+3y>0.(2)已知方程组5331x yx y m+=⎧⎨+=⎩的解为非负数,求m的整数解.(3)求同时满足a+b+c=6,2a-b+c=3和b≥c≥0的a的最大值及最小值.(4)已知13a b -<+<,24a b <-<,求23a b +的取值范围.(5)当x 、y 、z 为非负数时,且3x +3y +z =4,x -3y -2z =-3,求t =3x -2y +z 的最大值和最小值.4、(1)定义取整函数[]x 为不超过x 的最大整数,例如[]4.54=,[]55=,若整数x 、y 满足2133x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 342y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则有序数对(x ,y )共有__________对.(2)对非负实数x ,“四舍五入”到个位的值记为<x >,即:当n 为非负整数时,如果n -21≤x < n +21,则<x >=n .如:<0.48>=0,<3.5>=4; 如果<2x -1>=3,则实数x 的取值范围为__________;如果<x >=34x ,则x =__________.。
2023浙教版八上数学期末专题复习 含参一元一次不等式专练
含参一元一次不等式专练一、选择题1.已知关于x 的不等式(4)4a x a -<-的解集为1x <-,则a 的取值范围是( ) A .4a >B .4a ≠C .4a <D .4a2.已知不等式组2<x ﹣1<4的解都是关于x 的一次不等式3x ≤2a ﹣1的解,则a 的取值范围是( ) A .a ≤5B .a <5C .a ≥8D .a >83.不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解是x >a ,则a 的取值范围是( )A .a <3B .a =3C .a >3D .a ≥34.不等式组53351x x x a -<+⎧⎨<+⎩的解集为4x <,则a 满足的条件是( )A .a 3<B .3a =C .3a ≤D .3a ≥5.若不等式组有解,则a 的取值范围是( ) A .a≤﹣2B .a≥﹣2C .a <﹣2D .a >﹣26.已知关于x 的不等式21x m x -<-的正整数解是1,2,3,则m 的取值范围是( ) A .34m <B .34m <C .811m <D .811m <7.整数a 使得关于x 的不等式组6202()3x x a x ->⎧⎨+≥+⎩至少有4个整数解,且关于y 的方程1﹣3(y ﹣2)=a有非负整数解,则满足条件的整数a 的个数是( ) A .6个B .5个C .3个D .2个8.已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥,且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解,那么所有符合条件的整数a 的个数为( ) A .4个B .3个C .2个D .1个9.关于x 的不等式组3420x ax -<⎧⎨->⎩有3个正整数解,且关于x 方程2x ﹣a =2有整数解,则满足条件的所有整数a 的值之和为( ) A .25B .26C .27D .3910.如果关于x的不等式组2030x ax b-≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有2x=、3x=,那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对(,)a b共有()A.3个B.4个C.5个D.6个11.如果关于x的方程ax﹣3(x+1)=1﹣x有整数解,且关于y的不等式组31252130ya y+⎧≤⎪⎨⎪+-≤⎩有解,那么符合条件的所有整数a的个数为()A.3B.4C.5D.612.有两个正数a,b,且a<b,把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a,b].例如,大于等于1且小于等于4的所有数记作[1,4].若整数m在[5,15]内,整数n在[﹣30,﹣20]内,那么的一切值中属于整数的个数为()A.6个B.5个C.4个D.3个二、填空题13.若不等式组x bx a-<⎧⎨+>⎩的解集为23x-<<.则关于x、y的方程组521ax yx by+=⎧⎨-=⎩的解为_____________.14.已知关于x、y的二元一次方程组253x y ax y a+=⎧⎨-=+⎩的解满足x>y,且关于x的不等式组213147212xx a-⎧≥⎪⎨⎪+⎩<无解,那么所有符合条件的整数a的和为_____.15.若不等式组240xx m->⎧⎨<⎩无解,则m的取值范围是______.16.一个三角形的三边长均为整数.已知其中两边长为3和5,第三边长x是不等式组212357213x xx x⎧-+⎪⎨⎪->+⎩的正整数解.则第三边的长为:______.17.已知不等式组32,152,33x a xx x+<⎧⎪⎨-<+⎪⎩有解但没有整数解,则a的取值范围为_____.18.关于x的不等式组1(25)131(3)2x xx x a⎧+>+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩的所有整数解的和为﹣5,则a的取值范围是_____.nm19.关于x 的不等式组23112x a x x -+<⎧⎪⎨-+⎪⎩恰有3个整数解,则a 的取值范围是_______.20.定义:把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3,则该不等式组的整数解之和为______.21.对非负实数“四舍五入”到个位的值记为,即当为非负整数时,若,则.如,.若,则实数的取值范围是__________.22.对于实数x ,y 规定“x △y =ax ﹣by (a ,b 为常数)”.已知2△3=4,5△(﹣3)=3(1)a +b =___.(2)已知m 是实数,若2△(﹣m )≥0,则m 的最大值是 ___. 三、解答题23.关于x 、y 的方程组731x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解满足0x <,0y >.求a 的取值范围.24.对,定义一种新运算(中,均为非零常数).例如:;已知,.(1)求,的值;(2)若关于的不等式组恰好只有个整数解,求的取值范围.25.阅读下面的材料:对于实数,我们定义符号的意义为:当时,;当时,,如:.根据上面的材料回答下列问题:(1)______;(2)当时,求x 的取值范围.b a -a x b ≤≤x 0230x a x a +≥⎧⎨-+≤⎩x ()x n 0.50.5n x n -≤<+()x n =()1.341=()4.865=()0.516x -=x x y (,)()(3)F x y ax by x y =++a b (1,1)44F a b =+(3,1)0F =(0,1)9F =-a b F (31,)(6,12)27F t t kF t t +≥⎧⎨-<⎩1k ,a b min{,}a b a b <min{,}a b a =a b min{,}a b b =min{4,2}2,min{5,5}5-=-=min{1,3}-=2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭26.如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解,那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.例如方程的解为,不等式组的解集为,因为2<3<5,所以,称方程为不等式组的关联方程.(1)若不等式组的一个关联方程的解是整数,则这个关联方程可以是__________________(写一个即可)。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式(组)知识图谱含参数一元一次不等式(组)知识精讲含字母的一元一次不等式(组)未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式(组) 未知数的系数含有字母若0a >,axb >的解为b x a >; 若0a <,ax b >的解为bx a<;若0a =,则当0b ≥时,ax b >无解, 当0b <时,ax b >的解为任何实数已知23a ≠,解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为:()()13214a x a x +--<--()325a x -<-(1)当320a ->时,即23a >时,不等式的解为523x a <-;(2)当320a -<,即23a <时,不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来,然后把它与已知解集联系起来求解,在求解过程中可以利用数轴进行分析.五.易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题.2.分清参数和未知数,不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一.考点:含参的一元一次方程(组).二.重难点:参数与解集之间的关系,整数解问题,不等式与方程综合. 三.易错点:注意参数取值范围导致的变号问题.解含参一元一次不等式(组)例题1、 解关于x 的不等式:ax ﹣x ﹣2>0. 【答案】 当a ﹣1=0,则ax ﹣x ﹣2>0为空集,当a ﹣1>0,则x >21a -,当a ﹣1<0,则x <21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2>0. (a ﹣1)x >2,当a ﹣1=0,则ax ﹣x ﹣2>0为空集,当a ﹣1>0,则x >21a -,当a ﹣1<0,则x <21a -.例题2、 已知a 、b 为常数,解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时,()212b x a +>- 2a <时,()212b x a +<-2a =时,①如果10b +≥,不等式无解;②如果10b +<,则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+,(1)当20a ->,即2a >时,不等式的解为()212b x a +>-; (2)当20a -<,即2a <时,不等式的解为()212b x a +<-;(3)当20a -=,即2a =时,有 ①:如果10b +≥,不等式无解;②如果10b +<,则不等式的解为任何实数.例题3、 已知a 、b 为常数,若0ax b +>的解集为23x >,则0bx a -<的解集是( ) A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式.0ax b +>的解集为23x >,化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >,32x >-.所以该题的答案是C .例题4、 已知23a ≠,解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时,不等式的解为523x a <-;当23a <时,不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为:()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-,因为23a ≠,所以320a -≠,即32a -为正数或负数.(1)当320a ->时,即23a >时,不等式的解为523x a <-;(2)当320a -<,即23a <时,不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx ->12x ﹣1.(1)当m=1时,求该不等式的解集;(2)m 取何值时,该不等式有解,并求出解集.【答案】 (1)x <2(2)当m≠﹣1时,不等式有解,当m >﹣1时,不等式解集为x <2;当x <﹣1时,不等式的解集为x >2【解析】 (1)当m=1时,不等式为22x ->2x﹣1,去分母得:2﹣x >x ﹣2, 解得:x <2;(2)不等式去分母得:2m ﹣mx >x ﹣2, 移项合并得:(m+1)x <2(m+1), 当m≠﹣1时,不等式有解,当m >﹣1时,不等式解集为x <2; 当m <﹣1时,不等式的解集为x >2.随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+.【答案】当2a >-且0a ≠时,有2x a ≤-;当2a =-时,x 为任意数不等式都成立; 当2a <-时,有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠,所以20a >,将原不等式去分母,整理得()224a x a +≤-.当2a >-且0a ≠时,有2x a ≤-;当2a =-时,x 为任意数不等式都成立;当2a <-时,有2x a ≥-.随练2、 已知23a ≠,解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--.【答案】 当23a >时,不等式的解为523x a <-;当23a <时,不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为:()325a x -<-,因为23a ≠,所以320a -≠,即32a -为正数或负数. (1)当320a ->时,即23a >时,不等式的解为523x a <-;(2)当320a -<,即23a <时,不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组:()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩;【答案】 13a >时,32x a >+;13a ≤时,3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩.当323a +>,即13a >时,不等式组的解集为32x a >+.当323a +≤,即13a ≤时,不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ,b 为实数,若不等式ax +b <0的解集为12x >,则不等式b (x -1)-a <0的解集为( )A.x >-1B.x <-1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->, 移项得:()232a b x a b ->-,由已知解集为1x >,得到20a b ->,变形得:322a bx a b ->-,可得:3212a ba b-=-,整理得:a b =, ()4230a a x a a ∴-+->,即0a >,∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得:31x ->,解得:13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数,解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥()< ,并依据a 的取值情况写出其解集. 【答案】 当a >3时,不等式组的解集为x ≤3,当a <3时,不等式组的解集为x <a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥(①②)<, 解①得:x ≤3,解①得:x <a ,∵实数a 是不等于3的常数,∴当a >3时,不等式组的解集为x ≤3, 当a <3时,不等式组的解集为x <a .随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩.(1)若不等式组的解集是1<x <2,求a 的值;(2)若不等式组无解,求a 的取值范围. 【答案】 (1)a=3;(2)a≤2【解析】 (1)解不等式2x+1>3得:x >1, 解不等式a ﹣x >1得:x <a ﹣1, ∵不等式组的解集是1<x <2,∴a ﹣1=2, 解得:a=3;(2)∵不等式组无解, ∴a ﹣1≤1, 解得:a≤2.参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解,则a 的取值范围是 .【答案】 a≥2.【解析】 由x ﹣a >0得,x >a ;由1﹣x >x ﹣1得,x <1, ∵此不等式组的解集是空集, ∴a≥1.例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解,求实数a 的取值范围,并写出该不等式组的解集.【答案】 a <﹣6,3a≤x <﹣2.【解析】 解不等式3x ﹣a≥0,得:x≥3a,解不等式12(x ﹣2)>3x+4,得:x <﹣2,由题意得:3a<﹣2,解得:a <﹣6,∴不等式组的解集为3a≤x <﹣2.例题3、 如果关于x 的不等式(a+1)x >a+1的解集为x <1,那么a 的取值范围是( ) A.a <﹣1 B.a <0 C.a >﹣1 D.a >0或a <﹣1 【答案】 A【解析】 (a+1)x >a+1, 当a+1>0时,x >1, 当a+1<0时,x <1, ∵解集为x <1, ∴a+1<0, a <﹣1. 故选:A .例题4、 当1≤x≤4时,mx ﹣4<0,则m 的取值范围是( ) A.m >1 B.m <1 C.m >4 D.m <4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4,由题意得,当x=1时,y <0,即m ﹣4<0, 解得m <4,当x=4时,y <0,即4m ﹣4<0, 解得,m <1,则m 的取值范围是m <1,例题5、 若不等式(a ﹣3)x >1的解集为x <13a -,则a 的取值范围是 .【答案】 a <3.【解析】 ∵(a ﹣3)x >1的解集为x <13a -, ∴不等式两边同时除以(a ﹣3)时不等号的方向改变, ∴a ﹣3<0, ∴a <3.故答案为:a <3.例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <,则a 的取值范围是( ) A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较,在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三,因此有10a +<,故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2<x <4,求出a 、b 的值.【答案】 a=﹣10,b=3.【解析】 解不等式10﹣x <﹣(a ﹣2),得:x >a+8,解不等式3b ﹣2x >1,得:x <312b -,∵解集为﹣2<x <4, ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩,解得:a=﹣10,b=3.随练1、 已知关于x 的不等式(m -2)x >2m -4的解集为x <2,则m 的取值范围是________. 【答案】 m <2【解析】 不等式(m -2)x >2m -4的解集为x <2, ∴m -2<0,m <2.随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x <3,那么m 的取值范围是 .【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②,解①得x <3,∵不等式组的解集是x <3, ∴m≥3.故答案是:m≥3.随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解,则m 的取值范围为( )A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②,解不等式①得,x <2m , 解不等式②得,x >2-m , ∵不等式组有解, ∴2m >2-m ,∴23m >.随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解,则实数a 的取值范围是( )A.a≥-2B.a <-2C.a≤-2D.a >-2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥,解不等式x +a≥0得,x≥-a ,由不等式4-2x >x -2得,x <2,∵不等式组:不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解,∴a >-2,随练5、 已知不等式31(x ﹣m )>2﹣m . (1)若上面不等式的解集为x >3,求m 的值.(2)若满足x >3的每一个数都能使上面的不等式成立,求m 的取值范围. 【答案】 (1)23(2)m≥23 【解析】 (1)解不等式可得x >6﹣2m ,∵不等式的解集为x >3, ∴6﹣2m=3,解得m=23;(2)∵原不等式可化为x >6﹣2m ,满足x >3的每一个数都能使不等式成立, ∴6﹣2m≤3,解得m≥23.整数解问题例题1、 关于x 的不等式-1<x≤a 有3个正整数解,则a 的取值范围是________. 【答案】 3≤a <4【解析】 ∵不等式-1<x≤a 有3个正整数解, ∴这3个整数解为1、2、3, 则3≤a <4.例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解,则b 的取值范围是( ) A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
一元一次不等式(组)培优训练(参数问题)
一元一次不等式(组)培优训练(参数问题) 拔高级训练:1、已知关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=++=-222323t y x t y x ,当A=x -2y 且-1<t ≤2,求A 的取值范围.2、若关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+333y x a t y x 的解满足x+y<505,则a 的取值范围是( )A. a>2016B.a<2016C.a>505D.a<5053、已知关于x ,y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+m y x m y x 12312的解x ,y 满足x+y1<1,且m 为正数,求m 的取值范围.4、已知关于x ,y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+34272a y x a y x . (1)若a=2,求方程组的解;(2)若方程组的解x ,y 满足x>y ,求a 的取值范围并化简110118+-+a a5、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥-≥-0250x m x 有解,则m 的取值范围是?6、关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-<-)1(2130x x m x 无解,那么m 的取值范围为( ) A. m ≤-1 B.m<-1 C.-1<m ≤0 D.-1≤m<07、(1)若不等于组⎩⎨⎧>≤<k x x 21无解,则k 的取值范围是( ) A.k ≤2 B.k<1 C.k ≥2 D.1≤k<2(2)已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-1250x a x 只有四个整数解,则实数a 的取值范围是________. (3)定义[]x 表示不大于x 的最大整数,即x 的整数部分,例如[]47.4=.①根据定义,[][][]______;4.1_____,2_____,=-==π②比较[][]1,,1,++x x x x 的大小关系,按照从小到大的顺序用不等号连接的结果为____________________________; ③解方程:412213+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x8、若整数使关于的x 方程x +2a=1的解为负数,且使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≥->--31210)(21x x a x 无解,则所有满足条件的整数a 的值之和是( )A.5B.7C.9D.109、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=+-=+ky x k y x 13233的解满足x+y>0,且关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--x x k x x 323)1(2有解,则符合条件的整数k 的值的和为( )A.2B.3C.4D.510、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧<+>-13430x a x 有且只有3个整数解,则a 的取值范围是( ) A.a>-1 B.-1≤a<0 C.-1<a ≤0 D.a ≤0培优级训练:1、已知⎩⎨⎧+=+=+12242k y x k y x 且0<y -x<1,则k 的取值范围是( )A.211-<<-kB.210<<kC.10<<kD.121<<k 2、如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->-0809b x a x 的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a ,b 的有序数对(a ,b )共有______个.3、阅读以下材料:对于三个数a,b,c ,用M{a ,b ,c}表示这个三个数中最小的数,例如:M{-1,2,3}=343321-=++;⎩⎨⎧->--≤=--=-)1(1)1(},2,1min{;1}3,2,1min{a a a a 解决下列问题:(1)填空:如果min{2,2x+2,4-2x}=2,则x 的取值范围为_________.(2)如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x.4、社会主义核心价值观"富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善"体现了社会主义核心价值理念.我们用"核心符号"[x]来表示不大于x 的最大整数(如[1.5]=1,[-1.5]=-2,我们把满足[x]=a (a 为常数)的x 取值范围叫做的核心范围)(如[x]=3的x 的核心范围为3≤x<4,[x]=-1的x 的核心范目-1≤ x<0).(1)请直接写出[2.6]的值和[x]=1的的核心范围;(2)己知关于x 的不等式⎩⎨⎧<->a x x ]2.1[有且只有两个整数解,写出这两个整数解并求出a 的取值范围.5、先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:例题:对于(x -2)(x -4)>0,这类不等式我们可以通过下面的解题思路来分析:由有理数的乘法法则"两数相乘,同号得正",可得①⎩⎨⎧<->-0402x x ,②⎩⎨⎧<-<-0402x x .从而将陌生的高次不等式化为学过的一元一次不等式年解不等式组,分别去解两个不等式组即可求得原不等式的解集,即:解不等式组①得x>4,解不等式组②得x<2,所以(x -2)(x -4)>0的解集为x>4或x<2.请利用上述解题思想解决下面的问题:(1)请直接写出(x -2)(x -4)<0的解集;(2)对于0>nm ,请根据除法法则化为我们学过的不等式(组); (3)求不等式013>-+x x 的解集.6、先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:例题:解一元二次不等式x ²-4>0.解:∵x ²-4=(x +2)(x -2),∴x ²-4>0可化为(x +2)(x -2)>0.由有理数的乘法法则"两数相乘,同号得正",得①⎩⎨⎧>->+0202x x ,②⎩⎨⎧<-<+0202x x 解不等式组①,得x >2,解不等式组②,得x<-2.∴x ²-4>0的解集为x >2或x<-2,即一元二次不等式x ²-4>0的解集为x >2或x<-2.(1)一元二次不等式x ²-16>0的解集为______________.(2)分式不等式031>--x x 的解集为______________.课堂检测:1、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=++=-ay x a y x 523的解满足x>y>0,求a 的取值范围.2、已知a>1,则a x x a -=-2)2(2中x 的取值范围是多少?3、若关于x 不等式组⎩⎨⎧≥-≥-0035m x x 有实数解,则实数m 的取值范围是( )A.35≤m B.35<m C.35>m D.35≥m4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧+≥++≤)1(341m x m x 无解,则m 的取值范围是__________.5、已知关于x 的不等式a ≤x<b 的整数解为7,8,9,10.当a 、b 为实数时,a 、b 的取值范围分别为________、__________.。
一元一次不等式(组)中参数取值范围的解题方法和技巧(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大
专题2.14 一元一次不等式(组)中参数取值范围的解题方法与技巧(专项练习)一、单选题1.已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解,则a 的取值范围是( ) A .a <3 B .a ≥3 C .a >3 D .a ≤3 2.已知关于x 的不等式组15x a x b -≥⎧⎨+≤⎩的解集是3≤x ≤5,则+a b 的值为( ) A .6 B .8C .10D .12 3.关于x 的方程26a x -=的解是非负数,那么a 满足的条件是( ) A .3a > B .3a ≤ C .3a < D .3a ≥ 4.已知关于x 的不等式组3x 05m x +⎧⎨-⎩<>的所有整数解的和为-9,则m 的取值范围( ) A .3≤m <6B .4≤m <8C .3≤m <6或-6≤m <-3D .3≤m <6或-8≤m <-4 5.若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解,则a 的取值范围为( ) A .74a -<<- B .74a -≤≤- C .74a -≤<- D .74a -<≤- 6.若mx 5m >,两边同除以m 后,变为x 5<,则m 的取值范围是( ) A .m 0> B .m 0< C .m 0≥ D .m 0≤ 7.若实数3是不等式2x a 20--<的一个解,则a 可取的最小整数为( ) A .2 B .3 C .4 D .58.已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解,且关于x 的不等式组155222228x x x k x +⎧>+⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩有且只有4个整数解,则不满足条件的整数k 为( ).A .8-B .8C .10D .26二、填空题9.已知不等式组11x x a >⎧⎨<-⎩无解,则a 的取值范围为__. 10.已知不等式1322x x -≥ 与不等式30x a -≤的解集相同,则a =_______. 11.不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >,则a 的取值范围是______. 12.在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别为(3,5),(3,7),直线y =2x +b 与线段AB 有公共点,则b 的取值范围是______.13.若不等式组52355x x x a+≤-⎧⎨-+<⎩无解,则a 的取值范围是______.14.如图,直线y =3x 和y =kx +2相交于点P (a ,3),则不等式3x >kx +2的解集为_____.15.若关于x 的不等式0x a -<的正整数解只有3个,则a 的取值范围是________________. 16.若关于x 的不等式组0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个,则整数解是________,m 的取值范围是________.17.已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解为正数,求a 的取值范围是_______. 18.已知不等式组43103x x a -≤≤-⎧⎪⎨->⎪⎩有解,那么a 的取值范围是___________. 19.已知关于x 的不等式组221x a b x a b -≥⎧⎨-<+⎩的解集为55x -≤<,则a b 的值为___________. 20.若不等式组31x x m <⎧⎨>-⎩无解,则m 的取值范围是_____. 21.若关于x 的不等式组25011222x x m +>⎧⎪⎨+⎪⎩,有四个整数解,则m 的取值范围是____________.22.若关于x 的不等式23x a +的解集如图所示,则常数a =__________.23.关于x ,y 的二元一次方程组22123x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足不等式1x y ->,则m 的取值范围是______.24.已知直线()110y kx k =+<与直线()20y nx n =>的交点坐标为11,22n ⎛⎫⎪⎝⎭,则不等式组42nx kx nx -<+<的解集为________. 25.关于x ,y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足x +y >﹣1,则m 的取值范围是_____.26.若不等式00x b x a -<⎧⎨+>⎩的解集为23x <<,则a ,b 的值分别为_______________. 27.关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解,则a 的取值范围是________. 28.若x y >,且(2)(2)a x a y -<-,则a 的取值范围是________.29.若关于x 的不等式组2()102153x m x 的解集为76x -<<-,则m 的值是______.30.关于x 的不等式组3112x x a+⎧-<⎪⎨⎪<⎩有3个整数解,则a 的取值范围是_____.三、解答题31.一直关于x 的不等式()1a x 2->两边都除以1a -,得2x 1a<-. (1)求a 的取值范围;(2)试化简1a a 2-++.32.如图,直线y=kx+b 经过点A (5,0),(1,4).(1)求直线AB 的解析式;(2)如图,若直线y=mx+n (m >0)与直线AB 相交于点B ,请直接写出关于x 的不等式mx+n <4的解.33.(1)关于x 的方程32x m m x +=- 与方程()3423x x +=-的解互为倒数,求m 的值. (2)已知关于x 的方程()()1232x x a -=+的解适合不等式312x a -+>,求a 的取值范围.参考答案1.B【分析】首先解不等式,然后根据不等式组无解确定a 的范围.【详解】解:5210x x a -≥-⎧⎨->⎩①② 解不等式①,得3x ≤;解不等式②,得x a >;∵不等式组无解,∴3a ≥;故选:B .【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.2.D【分析】先求出两个不等式的解集,再求其公共解,再根据不等式组的解集列出求出a 、b 的值,再代入代数式进行计算即可得解.【详解】15x a x b -≥⎧⎨+≤⎩①②, 由①得,x ≥a +1,由②得,x ≤b−5,∵不等式组的解集是3≤x ≤5,∴a +1=3,b−5=5,解得a =2,b =10,所以,a +b =2+10=12.故选:D .【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解). 3.D【分析】先用含字母a 的式子表示出x ,再根据题意建立不等式求解即可.【详解】解方程得:26x a =-,由题意得:260a -≥,解得: 3a ≥,故选:D .【点拨】本题考查一元一次方程的解及解一元一次不等式,准确根据解的情况建立关于参数的不等式并求解是解题关键.4.C【分析】先求解不等式组,再根据条件判断出含参代数式的范围,从而求得参数的范围即可.【详解】 解原不等式得:35m x x ⎧<-⎪⎨⎪>-⎩,即53m x -≤<-, 由所有整数解的和为-9,可知原不等式包含的整数为-4,-3,-2或-4,-3,-2,-1,0,1,当整数为-4,-3,-2时,则13m -2<-≤-,解得:36m ≤<, 当整数为-4,-3,-2,-1,0,1时,则23m 1<-≤,解得:63m -≤<-, 故选:C .【点拨】本题考查含参不等式组求解问题,熟练掌握对含参代数式范围的确定是解题关键. 5.D【分析】先解不等式得出23a x -≤,然后根据不等式只有2个正整数解可知正整数解为1和2,据此列出不等式组求解即可.【详解】解:32x a +,32x a ∴-,则23a x -, ∵不等式只有2个正整数解,∵不等式的正整数解为1、2,则2233a -≤<, 解得:74a -<-,故答案为D .【点拨】本题主要考查一元一次不等式的整数解,正确求解不等式并根据不等式的整数解的情况列出关于某一字母的不等式组是解答本题的关键.6.B【分析】利用不等式的性质判断即可.【详解】解:若mx 5m >,两边同除以m 后,变为x 5<,则m 的取值范围是m 0<.故选:B .【点拨】此题考查了不等式的性质,熟练掌握不等式的性质是解本题的关键.7.D【分析】将x 3=代入不等式得到关于a 的不等式,求解即可.【详解】根据题意,x 3=是不等式的一个解,∴将x 3=代入不等式,得:6a 20--<,解得:4a>,则a可取的最小整数为5,故选:D.【点拨】此题考查不等式的解的定义,解一元一次不等式,正确理解不等式的解的定义将x=3代入得到关于a的不等式是解题的关键.8.A【分析】解不等式组和方程得出关于x的范围及x的值,根据不等式组有4个整数解和方程的解为整数得出k的范围,继而可得整数k的取值.【详解】解:解关于x的方程9x-3=kx+14得:179xk =-,∵方程有整数解,∴9-k=±1或9-k=±17,解得:k=8或10或-8或26,解不等式组155222228xxx kx+⎧>+⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩得不等式组的解集为2528kx-≤<,∵不等式组有且只有四个整数解,∴20128k-<≤,解得:2<k≤30;所以满足条件的整数k的值为8、10、26,故选:A.【点拨】本题主要考查方程的解和一元一次不等式组的解,熟练掌握解方程和不等式组的能力,并根据题意得到关于k的范围是解题的关键.9.2a【分析】求出不等式组中每个不等式的解集,根据已知即可得出关于a 的不等式,即可得出答案.【详解】 解:不等式组11x x a >⎧⎨<-⎩无解, 11a ∴-,解得:2a ,故答案为:2a .【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用,解此题的关键是能得出关于a 的不等式,题目比较好,难度适中.10.6-【分析】首先根据解不等式的方法,求出两个不等式的解集2x -≤和3a x ≤,根据两个不等式的解集相同,可知23a =-,进而求出答案. 【详解】 解: 解不等式1322x x -≥得:2x -≤, 解不等式30x a -≤得:3a x ≤, 两个不等式的解集相同, ∴23a =-, ∴6a =-.故答案为:6-.【点拨】本题考查了解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键. 11.2a ≤【分析】根据不等式组的公共解集即可确定a 的取值范围.【详解】由不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >, 可得2a ≤.故答案为:2a ≤.【点拨】本题主要考查了不等式组的解法,关键是熟练掌握不等式组解集的确定:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.12.-1≤b ≤1【分析】由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点,即可得出关于b 的一元一次不等式,解之即可得出b 的取值范围.【详解】解:当x=3时,y =2×3+b=6+b ,∴若直线y =2x +b 与线段AB 有公共点,则6567b b +≥⎧⎨+≤⎩,解得-1≤b ≤1 故答案为:-1≤b ≤1.【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,利用一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点,列出关于b 的一元一次不等式是解题的关键.13.172a ≤ 【分析】先解一元一次不等式组,再根据不等式组无解即可得出a 的取值范围.【详解】解:解一元一次不等式组52355x x x a +≤-⎧⎨-+<⎩, 得:725x x a⎧≤-⎪⎨⎪>-⎩,∵不等式组无解,∴752a -≥-, 解得:172a ≤, 故答案为:172a ≤. 【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法,会根据不等式组无解求解参数a 的取值范围是解答的关键.14.x >1【分析】先把点P (a ,3)代入直线y =3x 求出a 的值,故可得出P 点坐标,再根据函数图象进行解答即可.【详解】解:∵直线y =3x 和直线y =kx +2的图象相交于点P (a ,3),∵3=3a ,解得a =1.∵P (1,3).由函数图象可知,当x >1时,直线y =3x 的图象在直线y =kx +2的图象的上方, ∵3x >kx +2的解集为x >1.故答案为:x >1.【点拨】本题考查的是一次函数与一元一次不等式,能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键.15.3<a ≤4【分析】先求出不等式0x a -<的解集,然后再根据只有3个正整数解,确定出a 的取值范围即可.【详解】解:∵0x a -<∴x <a∵关于x 的不等式0x a -<的正整数解只有3个,∴3<a ≤4.故答案为:3<a ≤4.【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解的相关知识点,根据不等式的解集得到关于m 的不等式组成为解答本题的关键.16.3,4,5,6 67m <≤【分析】首先解不等式组,利用m 表示出不等式组的解集,然后根据不等式组有4个整数解即可求得m 的范围.【详解】0721x m x -<⎧⎨-≤⎩①②, 由①得:x m <,由②得:26x ≥,3x ≥,∵不等式组的整数解共有4个,∴整数解为3,4,5,6,∴m 取值范围为67m <≤.故答案为:3,4,5,6;67m <≤.【点拨】本题考查了不等式组的解法及整数解.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.17.-54<a <4 【分析】先解方程组用含a 的式子表示方程组的解,根据方程组的解是正数,列出关于a 的不等式组,再求解.【详解】解:3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩①②, ①+②得:2810x a =+,45x a =+,①-②得:228y a =-+,4y a =-+,所以,原方程组的解为:454x a y a =+⎧⎨=-+⎩, ∵ 方程组的解为正,∴45a +>0且4a -+>0, 解得:-54<a <4, 故填:-54<a <4. 【点拨】本题考查了方程组的解法,以及一元一次不等式组的解法,解此类问题要先用字母a 表示方程组的解,再根据题意,列不等式组,最后求解.18.1a <-【分析】先求出不等式组中第二个不等式的解,再结合数轴,根据不等式组有解即可得.【详解】 解103x a ->得:3x a >, 在数轴上表示两个不等式的解如下:要使不等式组有解,则33a <-,解得1a <-,故答案为:1a <-.【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解,熟练掌握不等式组的解法是解题关键.19.1914- 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解,再根据不等式组的解集可得一个关于a 、b 的二元一次方程组,解方程组可得a 、b 的值,然后代入即可得.【详解】221x a b x a b -≥⎧⎨-<+⎩①②, 解不等式①得:x a b ≥+, 解不等式②得:212a b x ++<, 由题意得:52152a b a b +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩, 解得1914a b =-⎧⎨=⎩, 则1914a b =-, 故答案为:1914-. 【点拨】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组,熟练掌握不等式组和方程组的解法是解题关键.20.4m ≥【分析】利用不等式组取解集的方法进行判断即可得到关于m 的不等式,再解不等式即可得解.【详解】解:∵不等式组31x x m <⎧⎨>-⎩无解 ∴13m -≥∴4m ≥.故答案是:4m ≥【点拨】本题考查了由一元一次不等式的解集确定参数,熟练掌握不等式组取解集的方法是解题的关键,一般有两种方法,数周表示法,或者口诀(大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小无处找).21.32m -<-【分析】解不等式组的两个不等式,根据其整数解的个数得出1≤4+m <2,解之可得.【详解】 解:25011222x x m +>⎧⎪⎨+⎪⎩①②, ①式化简得25x >-, ∴52x >-, ②式化简得4x m +,542x m ∴-<+, 又∵该不等式组有4个整数解,∴整数解为2-,1-,0,1.故142m +<,得4142m m +⎧⎨+<⎩, 解得3m -,2m <-,故m 的取值范围为32m -<-,故答案为:32m -<-.【点拨】本题主要考查不等式组的整数解问题,根据不等式组的整数解的个数得出关于m 的不等式组是解题的关键.22.5【分析】先根据数轴上不等式解集的表示方法求出此不等式的解集,再求出所给不等式的解集与已知解集相比较即可求出a 的值. 【详解】由图可知x 的解集为1x -,∵23x a +,∴23x a -, 32a x -, 312a -∴=-, 32a -=-,5a =.故答案为5.【点拨】 本题考查在数轴上表示一元一次不等式的解集,熟知实心圆点与空心圆点的区别是解题关键.23.32m >【分析】将两个方程相减得到x y -,再根据题意建立不等式求解即可.【详解】 22123x y m x y +=+⎧⎨+=⎩①②,由①-②得=22x y m --, 建立不等式221m ->,解得32m >, 故答案为:32m >. 【点拨】 本题考查解一元一次不等式、二元一次方程的解,解答本题的关键是明确题意,明确它们各自的解答方法.24.1<x <3【分析】根据一次函数的图象与性质,将11,22n ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()110y kx k =+<,可得k =n−2,将42nx kx nx -<+<化为不等式组4(2)2(2)2nx n x n x nx -<-+⎧⎨-+<⎩,解此不等式组即可得解. 【详解】解:把11,22n ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y 1=kx +1,可得12n =12k +1, 解得k =n−2.∴y 1=(n−2)x +1.则42nx kx nx -<+<可化为4(2)2(2)2nx n x n x nx -<-+⎧⎨-+<⎩. 解此不等式组得:1<x <3.∴不等式组42nx kx nx -<+<的解集为1<x <3.故答案为:1<x <3.【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系,解题的关键是理清题意并建立相应的一元一次不等式组进而求解.25.3m <【分析】先将方程组中的两个方程相加化简可得2x y m +=-+,再代入1x y +>-可得一个关于m 的一元一次不等式,然后解不等式即可得.【详解】23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩, 两个方程相加得:3336x y m +=-+,即2x y m +=-+,由题意得:21m -+>-,解得3m <,故答案为:3m <.【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式,熟练掌握二元一次方程组的特殊解法是解题关键.26.2a =-、3b =【分析】由于不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩有解,则解不等式组得到-a <x <b ,然后与2<x <3进行对比即可确定a 和b 的值.【详解】解:∵不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩的解集为2<x <3,而解不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩得-a <x <b ,∴-a=2,b=3,即a=-2,b=3.故答案为:2a =-、3b =.【点拨】本题考查了不等式的解集,掌握不等式的性质是解题的关键.27.32a -<≤-【分析】先解出不等式组,根据它有3个整数解求出a 的取值范围.【详解】解:解不等式组得1a x ≤<,∵它有3个整数解,∴解是-2,-1,0,∴32a -<≤-.故答案是:32a -<≤-.【点拨】本题考查函参不等式组求参数问题,解题的关键是掌握解不等式组的方法.28.2a <【分析】根据不等式的性质,两边同时乘一个负数不等号改变,求出a 的取值范围.【详解】解:∵x y >,而(2)(2)a x a y -<-,∴20a -<,即2a <.故答案是:2a <.【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是掌握不等式的性质.29.152【分析】 先解不等式组得出其解集为1262mx ,结合76x -<<-可得关于m 的方程,解之可得答案.【详解】解:2()102153x m x ①②由∵得:2210x m +->,221x m >-+, 12x m >-+由∵得:212x <-,6x <-, ∴不等式的解集为:162m x -+<<- ∵关于x 的不等式组的解集为76x -<<-,172m ∴-+=- 152m ∴= 【点拨】本题考查的是利用一元一次不等式组的解集求参数,熟悉相关性质是解题的关键. 30.2﹤a ≤3【分析】先解出第一个不等式的解集,进而得到不等式组的解集,再根据不等式组有3个整数解确定a 的取值范围即可.【详解】解:解不等式3112x +-<得:x ﹥﹣1, ∴原不等式组的解集为:﹣1﹤x ﹤a ,∵不等式组有3个整数解,∴2﹤a ≤3,故答案为:2﹤a ≤3.【点拨】本题考查了不等式组的整数解,能根据已知不等式组的整数解确定参数a 的取值范围是解答的关键,必要时可借助数轴更直观.31.(1)a 1>;(2)2a 1+.【分析】(1)根据不等式的基本性质,得到关于a 的不等式,即可求解;(2)根据求绝对值的法则以及a 的范围,即可得到答案.【详解】(1)∵ 关于x 的不等式()1a x 2->两边都除以1a -,得2x 1a<-, ∴ 1a 0-<,∴ a 1>∵2()由(1)得a 1>, ∴1a 0-<,a 20+>, ∴1a a 2a 1a 22a 1-++=-++=+.【点拨】本题主要考查不等式的性质以及求绝对值的法则,熟练掌握不等式的性质是解题的关键. 32.(1)5y x =-+;(2)x <1.【分析】(1)先设出直线AB 的解析式,利用待定系数法求AB 的解析式即可,(2)利用函数的增减性和x=1时的函数图像上点的位置来求即可.【详解】解:(1)∵直线y=kx+b 经过点A (5,0)、B (1,4),∴504k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解方程组得15k b =-⎧⎨=⎩, ∴直线AB 的解析式为y=﹣x+5;(2)∵直线y=mx+n (m >0)与直线AB 相交于点B (1,4),∴当x=1时,mx+n=4,∵m >0,∴函数y=mx+n 随x 的增大而增大,∴关于x 的不等式mx+n <4的解集是x <1.【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式,掌握一次函数解析式的求法,以及一次函数与一元一次不等式的关系,会求函数值,会比较函数值的大小关系是解题关键.33.(1)85m =;(2)113a <-. 【分析】 (1)首先解方程()3423x x +=-,得到12x =,根据两个方程解是互为倒数,可知另一个方程的解为2x =,将2x =代入方程32x m m x +=-即可; (2)首先解方程()()1232x x a -=+,得到143x a =+,根据方程()()1232x x a -=+的解适合不等式312x a -+>,所以将143x a =+代入不等式,求出答案即可. 【详解】解:(1)()3423x x +=- 解方程得:12x =, 两个方程解是互为倒数,∴另一个解为:2x =,将2x =代入方程32x m m x +=-, 得:2232m m +=-,解得:85m =. 故m 的值为85. (2)()()1232x x a -=+ 112622x x a -=+ 31622x a =+ ∴143x a =+, 方程()()1232x x a -=+的解适合不等式312x a -+>, ∴将143x a =+代入312x a -+>,得: 134123a a ⎛⎫-⨯++> ⎪⎝⎭1212a a --+>311a ->113a <- 故a 的取值范围为:113a <-. 【点拨】本题考查了倒数,一元一次方程的解和解一元一次方程,方程和不等式的综合题,正确求出方程的解是解题的关键.。
一元一次不等式含参问题
一元一次不等式(组)专项培优【学习目标】1.理解不等式组的概念;2.会解一元一次不等式组,并会利用数轴正确表示出解集;3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题,感受不等式组在实际生活中的作用. 要点一、不等式组的概念定义:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组.如,等都是一元一次不等式组.一元一次不等式的解法【学习目标】1.理解并掌握一元一次不等式的概念及性质;2.能够熟练解一元一次不等式;3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,是一个一元一次不等式. 要点诠释:(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式);②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式. 不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”、“≤”、“≥”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向.要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式.2.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:(或)的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)化为(或)的形式(其中);(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.要点诠释:(1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用. 2562010x x ->⎧⎨-<⎩7021163159x x x ->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩2503x >a x <a x >ax b >ax b <0a ≠(2)解不等式应注意:①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项;②移项时不要忘记变号;③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号;④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变.要点三、不等式的解及解集1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.2.不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集.要点诠释:3.不等式的解集的表示方法(1)用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x ≤8.(2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解.如图所示:(3)要点诠释:借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:一是确定“边界点”,二是确定方向.(1)确定“边界点”:若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”:对边界点a 而言,x >a 或x ≥a 向右画;对边界点a 而言,x <a 或x ≤a 向左画.注意:在表示a 的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念1.下列式子哪些是一元一次不等式?哪些不是一元一次不等式?为什么?(1) (2)(3) (4) (5)0x >1x1->2x 2>3y x ->+1x -=类型二、解一元一次不等式2.求不等式﹣≤的非负整数解,并把它的解在数轴上表示出来.举一反三:【变式1】解不等式:【变式2】代数式的值不大于的值,求x 的范围.3.m 为何值时,关于x 的方程:的解大于1?举一反三:【变式】已知关于方程的解是非负数,是正整数,则 .4.(2016•杭州模拟)若关于x ,y 的二元一次方程组的解满足x ﹣y >﹣3.5,求出满足条件的m 的所有正整数解. 2x ]2)14x (32[23<---6151632x m m x ---=-x 3x 23m x 2x -=--m =m类型二、不等式的解及解集5.若关于的不等式只有三个正整数解,求的取值范围.举一反三:【变式】已知的解集中的最大整数为3,则的取值范围是 .类型四、逆用不等式的解集6. 若关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集 .一元一次不等式组【典型例题】类型一、解一元一次不等式组1.(2016•深圳)解不等式组:.x a x ≤a a x <a x n m x >53x <x 0n 5m x )n m 2(>-+-2. 不等式组是否存在整数解?如果存在请求出它的解;如果不存在要说明理由.举一反三:【变式】(2015•北京)解不等式组,并写出它的所有非负整数解.3.试确定实数a 的取值范围.使不等式组 恰好有两个整数解.3(2)5(4) 2.......(1)562(2)1,........(2)32211............(3)23x x x x x x ⎧⎪++-<⎪+⎪+≥+⎨⎪++⎪-≤⎪⎩1023544(1)33x x a x x a +⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩类型二、解特殊的一元一次不等式组4.(2015•黔西南州)求不等式(2x﹣1)(x+3)>0的解集.解:根据“同号两数相乘,积为正”可得:①或②.解①得x>;解②得x<﹣3.∴不等式的解集为x>或x<﹣3.请你仿照上述方法解决下列问题:(1)求不等式(2x﹣3)(x+1)<0的解集.(2)求不等式≥0的解集.课堂练习类型一根据不等式租的整数解情况确定字母的取值范围例1.不等式组有3个整数解,则m的取值范围是.变式练习1.不等式组有3个整数解,则m的取值范围是.变式练习2.已知关于x的不等式组只有3个整数解,则实数a的取值范围是.变式练习3. 已知关于x 的不等式组{4x +2>3(x +a)2x >3(x −2)+5,仅有4个整数解,则实数a 的取值范围是 .变式练习4. 已知关于x 的不等式组{5x +2>3(x −1)12x ≤8−32x +2a ,仅有4个整数解,则实数a 的取值范围是 .类型二 根据不等式组的解集确定字母的取值范围例2.已知关于x 的不等式组无解,则a 的取值范围是 .变式练习1.若关于x 的不等式组有解,则实数a 的取值范围是 .变式练习2.若不等式的解集为x >3,则a 的取值范围是 .变式练习3.若关于x 的不等式的解集为x <2,则a 的取值范围是 .变式练习4.已知不等式组无解,则a 的取值范围是 .类型三 根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围例3. 已知方程组⎩⎨⎧-=++=+my x m y x 12312满足x +y <0,求m 的取值范围变式练习1.若关于x ,y 的二元一次方程组的解满足x +y <2,则a 的取值范围为 .2.已知⎩⎨⎧+=+=+12242k y x k y x 且的取值范围为则k y x ,01-〈-〈 .例4. 已知关于x的不等式(1﹣a)x>2的解集为x<,则a的取值范围是.变式练习1.不等式(x﹣m)>3﹣m的解集为x>1,则m的值为.2.若关于x的不等式3m﹣2x<5的解集是x>3,则实数m的值为.3.若不等式ax+b<0的解集是x>﹣1,则a,b应满足的条件有.综合练习1.关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4,则m的值为()A.14B.7C.﹣2D.22.不等式组的解集是x>﹣1,则a的取值范围是.3.若关于x的一元一次不等式组无解,则a的取值范围是.4.若不等式组的解集为3≤x≤4,则不等式ax+b<0的解集为.5.已知关于x的不等式组无解,则a的取值范围是.6.不等式组的解是0<x<2,那么a+b的值等于.7.已知关于x的不等式组只有3个整数解,则实数a的取值范围是.8.已知关于x的不等式组的整数解共有6个,则a的取值范围是.。
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧一、引言在数学学习过程中,一元一次不等式与一次函数题型是我们经常会遇到的内容。
它们不仅在中学阶段占据着重要的位置,而且在后续学习中也有着深远的影响。
本文将以一元一次不等式与一次函数为主题,探讨其相关的题型及做题技巧,帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
二、一元一次不等式的基础概念在开始探讨一元一次不等式的题型及做题技巧之前,我们首先需要了解一元一次不等式的基础概念。
一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b<c的不等式,其中a、b、c均为实数,且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时,我们需要找到不等式的解集,即满足不等式的实数的集合。
针对一元一次不等式,我们通常会涉及到一些常见的题型,例如绝对值不等式、含参数的不等式等。
在解题过程中,需要根据不等式的特点选取合适的解法,以便快速有效地求解不等式。
三、一元一次不等式题型及做题技巧1. 绝对值不等式绝对值不等式是一种常见的不等式类型,它的形式通常为|ax+b|>c或|ax+b|<c。
在解绝对值不等式时,我们需要将不等式分为两种情况讨论,即当ax+b>0时和ax+b<0时。
对于不等式|ax+b|>c,我们需要分别解出ax+b>c和ax+b<-c的不等式组,并将其合并得到最终的解集。
而对于不等式|ax+b|<c,我们同样需要分别解出ax+b<c和ax+b>-c的不等式组,然后得到最终的解集。
在解绝对值不等式时,我们需要注意 |ax+b| = a * x + b 或者 |ax+b| = -a * x - b ,然后分别进行讨论。
2. 含参数的不等式含参数的不等式是指不等式中存在未知参数的情况,通常我们需要根据参数的取值范围来求解不等式。
在解含参数的不等式时,我们需要分情况讨论参数的取值范围,然后分别求解不等式并得出最终的解集。
与绝对值不等式类似,在解含参数的不等式时,我们需要将不等式分为不同情况进行讨论,以免遗漏某些情况带来的解集。
一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法
2022年8月下半月㊀学习交流㊀㊀㊀㊀一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法◉白银区武川新村学校㊀刘振琴㊀㊀摘要:一元一次不等式组是学生在学完一元一次不等式㊁一元一次方程和二元一次方程组基础上接触到的新知识,该知识点本身难度不大.但是,如果一元一次不等式组中出现了另一个参数,那么这对学生求出解集和确定参数取值范围带来了很大困扰.如果借助数形结合与分类讨论的方法,采用 解㊁画㊁移㊁比 四个步骤,可顺利解决一元一次不等式组中关于参数取值范围的确定问题.关键词:一元一次不等式组;数形结合;分类讨论;参数;取值范围1引言含参数的一元一次不等式组中参数取值范围的确定是 一元一次不等组 这一节的重难点内容.从课堂教学情况来看,学生在该知识点上存在很大问题,出现了诸多错误.所以,笔者对一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法进行了研究,希望对学生有更多帮助.2例题分析例1㊀若不等式组x<m,x>3{无解,则m的取值范围是.分析:本题中的不等式组无需进一步求解,只需在数轴上将x<m和x>3表示出来.然而,由于m是除未知数x之外的又一个字母,且m的值题中未给出,这就给在数轴上的表示解集增加了难度.所以,根据题意应该采用数形结合和分类讨论的方法,分析如下.第一步,画出数轴,在数轴上表示出x>3的解集,将x<m的解集表示图如图1所示画出;第二步,将x<m的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况;第三步,观察符合题意的x<m解集表示图所在的位置,比较m与3的大小.解:首先,将x<m和x>3在数轴上表示出来,如下图1所示.㊀图1然后,分析x<m的解集表示图有三个不同的位置可以放置,分别是数轴上3的左边㊁3的上面和3的右边,如图2所示.㊀图2再者,根据 无解 这一题意,可以确定(1)(2)两种情况符合.很明显,(1)中m<3,(2)中m=3.最后,综上分析可得出m的取值范围为mɤ3.例2㊀若不等式组x+1>a,xɤ2{有3个整数解,则a的取值范围是.分析:本题与例1的不同点在于本题中不等式组需要求解及不等式组有解集两个方面,同样用数形结合和分类讨论的方法分析如下.第一步,解出不等式的解集,分别是x>a-1和xɤ2;第二步,画出数轴,在数轴上表示出xɤ2的解集,将x>a-1的解集表示图如图3所示画出;第三步,将x>a-1的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况;第四步,观察符合题意情况下的x>a-1解集表示图所在的位置,比较a-1与2的大小.34Copyright博看网. All Rights Reserved.学习交流2022年8月下半月㊀㊀㊀解:解不等式组x +1>a ,x ɤ2,{得x >a -1,x ɤ2.{将不等式组的解集在数轴上表示,如图3所示:㊀图3因为原不等式组有3个整数解,所以a -1一定小于2.因为x ɤ2确定了原不等式组中的一个解,又由于x >a -1,a -1处是空心,所以在满足原不等式组有三个解的前提下,a -1一定要在0的左边㊁-1的右边,即-1ɤa -1<0,如图4所示.㊀图4所以,a 的取值范围是0ɤa <1.3解法总结通过以上两道例题的分析可以发现,一元一次不等式组中参数取值范围的确定,不仅要利用数形结合的方法将之直观地在数轴上表示出来,还需要借助分类讨论思想,对符合题意的几种情况逐个分析[1].对于这类问题,大致可采用以下思路解决:第一步,解.解出不等式的解集.第二步,画.画出数轴,在数轴上分别表示出不等式组的解集.对于含参数的解集,可像例1,2中一样先画出其形状待用.第三步,移.将含参数的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况.第四步,比.观察符合题意情况下含参数的解集表示图所在的位置,比较对应数字的大小[2].另外,在操作第三步和第四步时,需注意以下几个方面的问题:首先,为了让学生有更直观的移动体验,教师可以利用多媒体画图工具,先用一种颜色将不含参数的解集在数轴上画好,然后用另一种颜色将含参数的解集在数轴以外的地方画好,然后利用 平移 或 移动 工具移动该解集的表示图,让学生经历解集表示图移动的过程,更直观地感受符合题意的几种情况.这样操作,比教师包办效果更好.其次,在移动到相应位置取值时,一定要注意 空心 和 实心 的区别[3].空心 意味着取不到该点对应的数值,需继续移动. 实心 意味着可以取到该点对应的数值,移动时需结合题意谨慎进行.例如,在例2中a -1处是空心 ,那么在 不等式组x +1>a ,x ɤ2{有3个整数解 的条件下,a -1不能放在0上,因为这样不等式解集无法取到0,那么原不等式组只有1和2两个整数解,与题意矛盾,所以应将a -1处是 空心 移向-1的左边.但是,a -1处是 空心 可以放在-1处,因为即使a -1处是 空心 可以放在-1处时原不等式组也取不到-1这个整数解,原不等式组仍只有3个整数解,符合题意.最后,解㊁画㊁移㊁比是解这类问题的通用步骤,学生不仅要对这些步骤进行常规化练习,而且要进行变式训练,以不断激发思维和拓展解题思路[4].4结语综上所述,虽然含有参数的一元一次不等式组会给人以疑惑感,但如果能在 解 的基础上一步步尝试探究和深入,学生可能会获得不一样的学习心得.这种心得不仅体现在学习本身,更体现在与学生全面发展有关的诸多素养方面.所以,作为一线教师不仅要重视解㊁画㊁移㊁比这四个步骤的不断训练,更要借助变式练习激发学生的思维,培养学生更好的学习品质,为学生更全面的发展奠定基础.参考文献:[1]李进,王磊.解决含参数一元一次不等式问题 数形结合与分类讨论在解题中的运用[J ].初中生世界,2017(Z 3):28G29.[2]钮丹媛.数学思想方法在课堂教学中的应用 以 一元一次不等式 教学为例[J ].成长,2021(10):101G102.[3]曹元军.例谈一元一次不等式组中参数取值问题[J ].初中数学教与学,2017(5):13G14.[4]马永刚.用 三定法 解决一类一元一次不等式组中参数取值范围的问题[J ].中小学数学,2022(Z 1):69G70.Z44Copyright 博看网 . All Rights Reserved.。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
.
解:(2)去分母,得:8﹣(7x﹣1)>2(3x﹣2),
去括号,得:8﹣7x+1>6x﹣4,
移项,得:﹣7x﹣6x>﹣4﹣1﹣8,
合并同类项,得:﹣13x>﹣13,
系数化1,得:x<1.
考点二:解不等式(组)并在数轴上表示解(集)
5.(2021•武汉)解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一:不等式的性质
C 1.(2021•常德)若a>b,下列不等式不一定成立的是( )
A.a﹣5>b﹣5
B.﹣5a<﹣5b
C. a b
cc
D.a+c>b+c
考点一:不等式的性质
2.(2021•临沂)已知a>b,下列结论:①a2>ab;②a2>b2;③若b<0,
A 则a+b<2b;④若b>0,则 1 1 ,其中正确的个数是( ) ab
性质3:不等式两边同时乘或除同一个负数,不等号的。方向改变
知识点梳理:
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3.(2021•南京)解不等式1+2(x﹣1)≤3,并在数轴上表示解集. 解: 1+2(x﹣1)≤3, 去括号,得1+2x﹣2≤3. 移项、合并同类项,得2x≤4. 化系数为1,得x≤2.
表示在数轴上为:
考点二:解不等式(组)并在数轴上表示解(集)
Hale Waihona Puke 4.(2021•泰安)(2)解不等式: 1- 7x 1 3x 2
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x x
4 1
的解集是___1___x____4
x ⑷不等式组x
5 的解集是___无__解_____ 4
讲授新知
类型一:解集对照法求字母的值
例1. x 2 m
x
1
n
的解集是-1<x<2,则m=____,
n=____.
例1.若不等式组
x 2
解含参数的一元一次不等式(组)
初一年级 杨坤
课前回顾
解一元一次不等式组口诀: 大大取大,小小取小,大小小大
取中间,大大小小取不到(无解)
⑴不等式组
x x
2 1
的解集是___x____2___
抢 答
⑵不等式组xx
2 1
的解集是__x_____2___
⑶不等式组
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
m n
① ②
的解集是-1<x<2,则m=____, n=____.
解: 解不等式①,得,x>m-2
这里是一个含x
的一元一次不等
解不等式②,得,x < n +
因为不等式组有解,所以 m-2
1<x<式作求n组两不,个等+将已式1知组m,数的n看,解
又因为
-1<x<2
集
-1
2
m-2 < x < n + 1
类型三:含参数的二元一次方程组与不等式综合 例3、已知关于x, y的方程组2xxyy36a的解满足不等式
x y 3,求实数a的取值范围。
解:+得: x 2a 1 代入式,得
y 2a 2
将xy
2a 2a
1 代入x 2
y
3中
有4a 1 3
1的
解x, y满足x y 1,求k的取值范围。
方法二 (整体思想)
解:+得:4(x y) 4 k
x y 1 k 1 4
k 0
返回
m-2= -1, n + 1 = 2
所以 m=1
n=1
对应练习
求若m不, 等n 的式值组。 xx
m m
n n
的解集是
3
x
5
,
解:解原不等式组可得: x m n x m n
由题意可得:m n x m n 又 3 x 5
m n 3 m n 5
解得:nm14
类型二:借助数轴,分析求解
例2
(1)、如果关于x的不等式组
x x
3的较解小集是x a 较大
a,那么a的取值范围是
_____。
思路一:利用数轴 (数形结合的思想) a
3a aa
思路二:利用口诀
大大取大
练习
(2)、已知关于x的不等式组 xx2mm15的解集是x 2m 5,那么m 的取值范围是 _____。
解:
由图可知:不等式组的3个整数解是:1,0,1
1 2a 3 2
即12a
2a 3 32
解得 1 a 1 2
-2 -1 0 21a+23a+23a2+23a+3
对应练习
已知关于x的不等式组5xx42a3(x 1)有4个整数解, 求实数a的取值范围。
a 1
对应练习
若关于x,
y的方程组3xx3
y y
k 3
1的
解x, y满足x y 1,求k的取值范围。
方法一:解出方程组的解x,y再代入到x+y<1中 (常规方法)
方法二:直接通过两个方程相加得到x+y的值 (整体思想)
拓展延伸
x 2 有例34、个已整知数关解于,x求的a一的元取一值次范不围等。式组x 2a 3
y y
k 3
1的
解x, y满足x y 1, 求k的取值范围。
方法一(常规方法):解:
原方程组的解为: x
3 8
k
y
1
k 8
代入不等式中x+y<1可得:3 k 1 k 1
8
8
解得:k 0
返回
对应练习
若关于x,
y的方程组3xx3
y y
k 3
解:由题意不等式组的解集为 5 x 4 a 2
不等式组的整数解为 2,1,0,1 1 4 a 2 3 a 2
课堂小结
1、本堂课你学到了哪些数学思想和方法?
2、对于一元一次不等式(组)含参数问 题你会处理吗?
对应练习
若关于x,
y的方程组3xx3