苏科版七年级数学下全等三角形的训练题(侧重基础)
全等三角形的提高拓展训练经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AND【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D EB M A F E DCBA O ED CBA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =， 求BDC ∠.DCB A NM D CB AC EDBADCBA NMC【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBDADBCM CA B即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，CDB ABA CDF2 1 E所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形单元测试题(含答案)
全等三角形单元测试题一、填空题（每小题4分,共32分）.1．已知：///≌，/ABC A B C∆∆∠=∠，70B B∠=∠，/A A=，则AB cmC∠=︒，15 /∠=_________，//CA B=__________．∆中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角2．如图1，在ABC形_______对．图1 图2 图33．已知△AB C≌△A′B′C′，若△ABC的面积为10 cm2，则△A′B′C′的面积为______ cm2，若△A′B′C′的周长为16 cm，则△AB C的周长为________cm．4．如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)．5．如图3所示，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件________，依据是________________．6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部．7．如图4，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于________．图4 图5 图68．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为______．二、选择题（每小题4分,共24分）9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，EC 与B F 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠EOB 的度数为（ ）A 、600B 、700C 、750D 、85010．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( )A ．35 cmB ．30 cmC ．45 cmD ．55 cm11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( )A ．A 、FB ．C 、E C ．C 、AD ．E 、F12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD =•BC ，再定出BF的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ≌△ABC ，•得到ED =AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ）A ．边角边公理B ．角边角公理；C ．边边边公理D ．斜边直角边公理13．如图9，在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =3:5:10，又△MNC ≌△ABC ，则∠BCM ：∠BCN 等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．1:414．如图10，P 是∠AOB 平分线上一点，CD ⊥OP 于F ，并分别交OA 、OB 于CD ，则CD _____P 点到∠AOB N A M C B 图7 图8 图9 图10两边距离之和．( )A．小于B．大于C．等于D．不能确定三、解答题（共46分）中，∠ACB=90°，延长BC至B'，使15．已知如图11，ABCC B'=BC，连结A B'．求证：△AB B'是等腰三角形．参考答案。
苏科版七年级下册数学三角形全等的条件测试题
测试2 三角形全等的条件（一）学习要求1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．课堂学习检测一、填空题1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等．2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是________________________________________________________________________________．3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了．图2－1图2－2图2－34．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．5．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF .求证：∠A ＝∠D ．分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______．证明：∵BE ＝CF （ ），∴BC ＝______．在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,AC BC AB∴______≌______（ ）．∴ ∠A ＝∠D （______）．6．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ，求证：△ABC ≌△BAD ．证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，∴______＋______＝______＋______，即______＝______．在△ABC 和△BAD 中，＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （ ）．综合、运用、诊断一、解答题7．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .图2－48．画一画．已知：如图2－5，线段a 、b 、c ．求作：ΔABC ，使得BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．图2－59．“三月三，放风筝”．图2－6是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．图2－6拓展、探究、思考10．画一画，想一想：利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗？。
《全等三角形》测试题A卷及答案
第十四章全等三角形测试题、选择题（每小题4分，共32 分）1 .下列命题中真命题的个数有（）⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等,C、1个2.如图，已知△ ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和，厶=/ A'，若证N ABC B" A'B'C'还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（C. BC=B'C'D. AC=A C'4. P是/ AOB平分线上一点，CD丄OP于F,并分别交OA、OB于CD，贝U CD _____________ P点到/ AOB两边距离之和.（）A.小于B.大于5.如图，从下列四个条件：①BC= B C,②AC= A 'C,③/ A 'CA=Z B CB,④AB= A B '中, 任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等。
其中能判断两直角三角形全等的是（）A.① B ② C ③ D ①②7 .如图，△ ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ ABC分A .甲和乙 E.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙△ ABC全等的图形是（3 .在"ABC 和"A 'B'C'中,AB=A 'B'C.等于D.不能确定（5题）CF = 4,贝V S ABEF 为.三：解答题（共44 分）15、（ 5分）已知：如图，AC 、BD 相交于点 O , Z A = Z D , AB=CD.求证：△ AOB ^A DOC ,。
为三个三角形，则 &ABO : S ^BCO : &CAO 等于（ B . 1 : 2 : 3 C . 2 : 3 : 4 &如图所示，在 Rt △ ABC 中，AD 是斜边上的高，Z 交AD AC 于点F 、E, EG 丄BC 于 G 下列结论正确的是 A . Z C= / ABC B. BA=BG CC . AE=CE D. AF=FD 二、填空题（每小题4分，共24 分） 9 .如图，Rt △ ABC 中，直角边是 ，斜边是 10.如图，点D,E 分别在线段 AB, AC 上, BE, CD 相交于 /A点 O, AE AD , 要使△ ABE ACD ，需添加一个条件是（只要写一个（10 题） （11题）11.如图，把△ ABC 绕C 点顺时针旋转35。
苏科版七年级数学下册全等三角形单元测试卷36
苏科版七年级数学下册全等三角形单元测试卷36一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列图形中具有稳定性的是A. 正方形B. 矩形C. 平行四边形D. 直角三角形2. 如图，已知，，下列哪个条件不能判定A. B. C. D.3. 如图，，若，，则的长为A. B. C. D.4. 在生产和生活中，下列情形用到三角形的稳定性的有①用人字架来建筑房屋②用窗钩来固定窗扇③在栅栏门上斜着钉根木条④商店的推拉活动防盗门A. 种B. 种C. 种D. 种5. 如图，已知，点在上，点在上，，与相交于点，那么图中全等的三角形共有A. 对B. 对C. 对D. 对6. 如图所示，，，，，在一条直线上．下列结论：①是的平分线；②；③；④线段是的中线；⑤．其中正确的有个．A. B. C. D.7. 王师傅用根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为A. 根B. 根C. 根D. 根8. 如图所示，已知，，，相交于点，则图中全等三角形共有A. 对B. 对C. 对D. 对9. 已知，与，与是对应角，有下列个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有A. 个B. 个C. 个D. 个10. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是A. 两点之间的线段最短B. 三角形具有稳定性C. 长方形是轴对称图形D. 长方形的四个角都是直角二、填空题（共6小题；共30分）11. 下列图形中，图①与图⑧是全等图形．再找出两对全等图形：．12. 如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是．13. 如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是利用了 .14. 如图，，请根据图中提供的信息，写出．15. 如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是．（注：将你认为正确的结论都填上）16. 如图，中，是中线，是角平分线，于，，则的长为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 用直线将下列图形中的全等图形连起来．18. 要使下列木架稳定，在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍?19. 如图，在中，，，平分，交的延长线于，若，求的长．20. 已知四边形的四条边的长度确定，这个四边形的内角的大小是否确定?21. 如图，点在的外部，点在上，交于点，，，求证：．22. 求证：全等三角形对应边上的高相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证，并证明）23. 如图所示，，且，试判断线段与的关系，并说明理由．24. 如图，每个正方形的面积都为，试用皮克公式计算图中“喇叭”“小猫”“小狗”的面积各是多少?答案第一部分1. D2. C3. A 【解析】根据三角形全等可以得出，则．4. C5. C【解析】在与中，，，，，，即．在与中，，．在与中，，．在与中，．综上所述，全等的三角形有：，，，，共对．6. A 【解析】①，，是的平分线，故①正确．②，，，，，，，，，，可能不在同一直线上可能不垂直于，故②不正确．③，，，，，若，，不在同一直线上，则，，故③不正确．④，，线段是的中线，故④正确．⑤，，若，，不在同一直线上，则，，故⑤不正确．7. B8. C 【解析】在和中，；，，，，在和中，；；在和中，；在和中，；9. C 【解析】，与，与是对应角，，，，①②④共个正确的结论．与不是对应边，不正确．10. B第二部分11. 图②与图④，图③与图⑤分别全等12. 三角形的稳定性【解析】给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．13. 三角形的稳定性14.【解析】，，，即．15. ①②③【解析】由题意可知，，，，．．，．，．，即．，，．16.【解析】如图，延长交于点．证明，则，从而求出．再根据为中点，从而可知，．第三部分17. ①与⑨，③与⑧，④与⑩，⑤与⑦．18. 图①四边形木架至少需要钉上根木棍；图②五边形木架至少需要钉上根木棍；图③六边形木架至少需要钉上根木棍．19. 延长与延长线交于点．，，，，，在和中，，，平分，，，在和中，，，．20. 不确定．21. ，，，，，，在和中，．22. 已知，如图，，于点，于点，求证：．，，，，，，，在和中，，．23. = ，；如图，延长交于点 .， .，...．24. “喇叭”边界上有个格点，图内没有格点，面积为“小猫”边界上有个格点，图内有个格点，面积为．“小狗”图案可以看做是由两个格点多边形组成，先分别求出每个格点多边形的面积，再求出总面积．躯干面积为，尾巴面积为，总面积为．第11页（共11 页）。
七年级数学下册期中期末专题07 全等三角形(真题测试)(解析版)
专题07 全等三角形【真题测试】 一、选择题1．（长宁2019期末18）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ） A. 含60︒角的两个直角三角形； B.腰对应相等的两个等腰三角形； C.边长均为5厘米的两个等边三角形； D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形. 【答案】C ；【解析】含60度角的两个直角三角形的对应边不一定相等，因此不一定全等，A 错误；腰对应相等的两个等腰三角形的顶角不一定相等，故B 错误；边长为5厘米的两个等边三角形全等，因此C 正确；一个钝角对应相等的两个等腰三角形的对应边不一定相等，因此D 错误；故此题选C.2．（长宁2018期末18）在ABC ∆中，已知点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ，依据下列各个选项中所列举的条件，不能说明AB=AC 的是（ ） A. BE=CD ，EBC DCB ∠=∠； B. AD=AE ，BE=CD ； C. OD=OE ，ABE ACD ∠=∠； D. BE=CD ，BD ＝CE ．O D C BA E【答案】B ；【解析】 A 、因为EBC DCB ∠=∠，所以OB=OC ，又BE=CD ，故OD=OE ，可证DOB EOC ∆∆≌，得ABE ACD ∠=∠，可得ABC ACB ∠=∠，即得AB=AC ；B 、已知两边及一边的对角对应相等，不一定能得出ABE ACD ∆∆≌，故不一定能得AB=AC ；C 、由OD=OE ，ABE ACD ∠=∠及DOB EOC ∠=∠得DOB EOC ∆∆≌，所以OB=OC ，所以OBC OCB ∠=∠，因此ABC ACB ∠=∠，所以AB=AC ； D 、由BE=CD ，BD ＝CE 胶BC=CB 得出DBC ECB ∆∆≌，所以ABC ACB ∠=∠即AB=AC ；故此题选B.二、填空题3．（普陀2018期末14）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、DB 交于点E ，AB=CD ，AC=DB ，图中全等的三角形共有 对．DC BAE【答案】3;【解析】解：∵AB=CD ，AC=DB ，BC=BC ，∴△ABC ≌△DBC ，∴∠BAC=∠BDC ，∵∠AEB=∠DEC ，AB=DC ，∴△ABE ≌△DEC ，∴BE=CE ，AE=DE ，∵AB=DC ， BD=AC ，AD=AD ，∴△ABD ≌△ADC ，∴图中全等的三角形共有3对，故答案为：34.（松江2018期末16）如图，已知ABC ∆与DEF ∆全等，且724563A B E ∠=︒∠=︒∠=︒、、、BC=10、EF=10，那么D ∠= 度.1045°72°C BA【答案】72；【解析】因为7245A B ∠=︒∠=︒、，所以180724563C ∠=︒-︒-︒=︒，又63E ∠=︒，故E C ∠=∠，又BC=EF=10，依题得ABC DFE ∆∆≌，故72D A ∠=∠=︒.5.（浦东四署2019期末16）如图，ABC DCB ∆∆≌，A 、B 的对应顶点分别为点D 、C ，如果AB=6cm ，BC=12cm ，AC=10cm ，DO=3cm ，那么OC 的长是 cm.OD CBA【答案】7；【解析】因为ABC DCB ∆∆≌，所以AC=BD ，ACB DBC ∠=∠，所以OB=BC ，所以AO=DO=3cm ，所以OC=AC-AO=10-3=7cm. 三、解答题6．（闵行2018期末24）如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，且FD ＝ED ，BF ＝CD ，∠FDE ＝∠B ，那么∠B 和∠C 的大小关系如何？为什么？ 解：因为∠FDC ＝∠B +∠DFB ，即∠FDE +∠EDC ＝∠B +∠DFB ． 又因为∠FDE ＝∠B （已知）， 所以∠＝∠ ． 在△DFB 和△EDC 中，所以△DFB ≌△EDC ． 因此∠B ＝∠C ．DFBA E【答案与解析】解：因为∠FDC ＝∠B +∠DFB （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即∠FDE +∠EDC ＝∠B +∠DFB ．又因为∠FDE ＝∠B （已知），所以∠DFB ＝∠EDC ． 在△DFB 和△EDC 中，()(FB ED DFB EDC BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知)，所以△DFB ≌△EDC （SAS ）．因此∠B ＝∠C ．7.（黄浦2018期末26）如图，在ABC V 中，点D 在AC 边上，AE//BC ，联接ED 并延长交BC 于点F. 若AD=CD ，请说明ED=FD 的理由.DFCB AE【答案与解析】解：如图所示，Q AE//BC ，1,2C E ∴∠=∠∠=∠，在AED CFD ∆∆和中，12C E AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AED CFD ∴∆∆≌（AAS ），ED FD ∴=.21DF CBA E8.（宝山2018期末27）如图，已知点D、E、F分别在AB、BC、CA上，DEF∆是等边三角形，且123∠=∠=∠，ABC∆是等边三角形吗？试说明理由.【答案与解析】解：ABC∆是等边三角形.因为DEF∆是等边三角形，可知60DEF∠=︒（等边三角形每个内角是60︒），因为31DEC DEF B∠=∠+∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），又13∠=∠，所以60B DEF∠=∠=︒（等式性质），同理可证：60,60A C∠=︒∠=︒，所以A B C∠=∠=∠，所以ABC∆是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）.9.（松江2018期末27）如图，在ABC∆中，已知AB=AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且BD=CE，BF=CD. （1）说明BDF CED∆∆≌的理由；（2）说明FDE=B∠∠的理由.DFCBAE【答案与解析】（1）因为在ABC∆中，已知AB=AC，所以B C∠=∠，在BDF CED∆∆与中，BF CDB CBD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以BDF CED∆∆≌（SAS）；（2）因为BDF CED∆∆≌，所以BFD CDE∠=∠，又FDC B BFD∠=∠+∠，所以FDE CDE B BFD∠+∠=∠+∠，所以FDE B∠=∠.10.（浦东2018期末25）如图，在ABC∆中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，FDE=B∠∠，那么B C∠∠与的大小关系如何？为什么？【答案与解析】因为FDC B BFD ∠=∠+∠即FDE CDE B BFD ∠+∠=∠+∠，又因为FDE=B ∠∠，所以CDE BFD ∠=∠，在BFD CDE ∆∆与中，BF CD BFD CDE FD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以BFD CDE ∆∆≌（SAS ），所以B=C ∠∠.11．（普陀2018期末25）如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且BD=CE ，∠DEF=∠B ，问：DE 和EF 是否相等？并说明理由．【答案与解析】解：∵∠B=∠C ，∵∠DEF=∠B ，∵∠DEC=∠B +∠BDE （三角形的外角定理）， ∴∠BDE=∠FEC ，在△BDE 与△CEF 中，∵，∴△BDE ≌△CEF （ASA ），得DE=EF ．12．（普陀2018期末26）如图，∠1=∠2，AD=AE ，∠B=∠ACE ，且B 、C 、D 三点在一条直线上． （1）试说明△ABD 与△ACE 全等的理由．（2）如果∠B=60°，试说明线段AC 、CE 、CD 之间的数量关系，并说明理由．【答案与解析】解：（1）理由：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （AAS ）；（2）由（1）△ABD ≌△ACE 可得：BD=CE ，AB=AC ，∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∴BD=CE=BC +CD=AC +CD ，即CE=AC +CD ．13.（杨浦2018期末25）如图，已知90,B C AE ED ∠=∠=︒⊥，AB=EC ，点F 是AD 的中点，说明EF AD ⊥的理由.解：AE ED ⊥Q （已知），90AED ∴∠=︒（垂直的意义）， 又90B ∠=︒Q （已知），B AED ∴∠=∠（等量代换）.AEC B BAE ∠=∠+∠Q（）即AED DEC B BAE ∠+∠=∠+∠Q ，DEC BAE ∴∠=∠（等式性质）在ABE ECD ∆∆与中，B CAB EC DEC BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ABE ECD ∴∆∆≌（ ）AE ED ∴=（ ）Q （已知）EF AD ∴⊥（ ）【答案与解析】解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）；ASA ；全等三角形对应边相等；点F 是AD 的中点；等腰三角形的三线合一.14.（松江2018期末26）阅读并补充完成下列解题过程：如图：用尺规作线段中点的方法，作出了线段AB 的中点C ，请说明这种方法正确的理由. 解：联结AE 、BE 、AF 、BF.在AEF BEF ∆∆与中，(______________)(________EF EF AE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩画弧时所取的半径相等）（画弧时所取的半径相等），所以AEF BEF ∆∆≌（ ）. 所以AEF=BEF ∠∠（ ）.又因为AE=BE ，所以AC=BC （ ）.即点C 是线段AB 的中点.【答案与解析】公共边； AF=BF ；SSS ；全等三角形对应角相等； 等腰三角形的三线合一. 15．（闵行2018期末26）已知∠AOB ＝120°，OC 平分∠AOB ，点P 是射线OC 上一点． （1）如图1，过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，说明PD 与PE 相等的理由；（2）如图2，如果点F 、G 分别在射线OA 、OB 上，且∠FPG ＝60°，那么线段PF 与PG 相等吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，联结FG ，△PFG 是什么形状的三角形，请说明理由．【答案与解析】解：（1）∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC ＝∠BOC ，∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°，在△POD 和△POE 中，90PDO PEO POD POE OP OP ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△POD ≌△POE ，∴PD ＝PE ；（2）相等，理由：如图2，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°， 同（1）的方法得，PM ＝PN ，在四边形PMON 中，∠MPN ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵∠FPG ＝60°，∴∠FPG ＝∠MPN ，∴∠MPF ＝∠NPG ，在△PMF 和△PNG 中，90FPM NPG PM PN PMF PNG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△PMF ≌△PNG ，∴PF ＝PG ；（3）△PFG 是等边三角形，理由：如图2，连接FG ，由（2）知，PF ＝PG ，∵∠FPG ＝60°， ∴△PFG 是等边三角形．16.（杨浦2019期末30）在ABC ∆中，90,60C BAC ∠=︒∠=︒，ABC ∆绕点C 顺时针旋转，旋转角为(0180)αα︒<<︒，点A 、B 的对应点分别是点D 、E.（1）如图1，当点D 恰好落在边AB 上时，试判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由.（2）如图2，当点B 、D 、E 三点恰好在一直线上时，旋转角α=︒，此时直线CE 与AB 的位置关系是 .（3）在（2）的条件下，联结AE ，设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，则12S S 与的数量关系是 .（4）如图3，当点B 、D 、E 三点不在一直线上时，（3）中的12S S 与的数量关系仍然成立吗？试说明理由.【答案与解析】解：（1）DE//AC. 理由：ABC ∆Q 旋转后与DCE ∆全等，,A CDE AC DC ∴∠=∠=，60,BAC AC DC ∠=︒=Q ，DAC ∴∆是等边三角形. 60DCA ∴∠=︒. 又60CDE BAC ∠=∠=︒Q ，60DCA CDE ∴∠=∠=︒，DE AC ∴∥.（2）如图4所示：延长EC 交AB 于点F. 由旋转的性质可知：CB=CE ，30CBE E ∴∠=∠=︒.120BCE ∴∠=︒，即旋转角120α=︒，30,30ABC CBE ∠=︒∠=︒Q ，60FBE ∴∠=︒，306090E FBE ∴∠+∠=︒+︒=︒，90BFE EC AB ∴∠=︒∴⊥. 故旋转角120α=︒，EC AB ⊥（3）如图5所示，延长EC 交AB 于点F ，过点D 作DG BC ⊥于G . Q 由（2）可知CE AB ⊥，120BCE ∠=︒，9030CFA BCD ∴∠=︒∠=︒，6030FAC FCA ∠=︒∴∠=︒Q ，30FCA DCG ∴∠=∠=︒. 由旋转的性质可知：AC=CD ，在FCA GCD ∆∆和中，90FCA DCG CFA DGC AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，FCA GCD ∆∴∆≌，AF GD ∴=，又因BC=CE ， 1122EC AF CB DG ∴=g g 即12S S =. （4）12S S =仍然成立；理由：如图6所示：过D 作DH BC ⊥于H ，过A 作AG EC ⊥交EC 的延长线于G.,DH BC AG EC ⊥⊥Q ，90AGC DHC ∴∠=∠=︒，ABC ∆Q 旋转后与DCE ∆全等，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC=DC ，BC=CE. 180,ACE BCD ∠+∠=︒Q180,GCA ECA ∠+∠=︒Q ACG DCH ∴∠=∠.在AGC DHC ∆∆和中，AGC DHCACG DCHAC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AGC DHC ∴∆∆≌，AG DH ∴=，1122EC AF CB DG ∴=g g ，即12S S =.。
(完整版)七年级下册数学三角形全等动点问题
初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。
动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。
动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。
《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。
本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。
对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。
本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。
二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角 三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?BCPA CQBPA QDBCPAA变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。
苏科版七年级数学(下)第十一章 11.2 全等三角形教案
问题3的解决,使我记住同时会用……
活动二：
取出两个重合的全等三角形,随意、自由放在桌面上，任意摆放，你除去能摆出课本上的图形，还能有新的发现吗？试试看。
先由学生说出，师再给出主要几种，如下图：
学生的体验：
①能摆出很多仅位置不同，但始终全等的图示
②（突出）能否体验出，不同的位置图示，是可以通过平移、旋转实现两个三角形重合，即图形全等，对应边、对应角相等.
板书
设计
11.2全等三角形
一、情景三、问题1、2、3、4四、拓展
二、探究活动练例
作业
习题11.2
2、3、4（选做两题）
教
学
反
思
这堂课选择了生活实例作为新课的导入，给学生有一种生活气息，有一种亲切感，不感到陌生，利用数学活动共同探索，去除学生犯难的心理，在活动教学中，选择用问题作为课堂主线，使学生在有目的、有方向，自主、宽松的环境中学习，更重要的是激发学生对学习的兴趣。学生的积极性高了，学习活动就会更深入。但是，从教学中发现，还有极少数同学对于“一些细节（使用符号表示时，做时表示正确，其中有没在意的）的把握，会出现问题；深度的探究（复杂图形中全等三角形的确定）上，存在不足”。在后面教学中，需要侧重的。
在（2）中，,则有：DF=，∠ACB=
2、填空后，回答问题：
在下图中，两三角形全等，
(1)FE的对应边是___________，∠D的对应角是___________.∠DFE的对应角是___________.
(2)若将△EDF沿着AC方向平移，使点A与点E重合，上述结论成立吗？
（3）若将△EDF围绕点A旋转任意一个角度，还成立吗？
四、拓
展
延
伸
(完整word版)七年级数学下---全等三角形之动点问题练习
七年级数学下---全等三角形之动点问题练习1、如图，在直角三角形ABC中，/ B= 90°, A吐5cm BO6cm 点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cn/s的速度向点C运动•几秒后，△ PBQ 的面积为9亦？2、如图所示，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题:(1)填空: △ ABC的面积为;(2)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由.(3)在点P与点Q的运动过程中，△ BPC是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由.(4)当厶BPQ是直角三角形时，求t的值。
3、如图(1)，AB= 4cm, AC丄AB BD丄AB AOBD= 3cm 点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动•它们运动的时间为t (s)(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1时，△ ACP与△ BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2）,将图（1）中的“AC丄AB BD L AB'为改“/ CAB=Z DBA= 60°”，其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△人。
卩与厶BPC全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由.4、如图，△ ABC中，/ ACB=90，AC=6 BC=8点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点.点P和Q分别以1和3的运动于E,QHl速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE丄l5、如图,已知三角形ABC中,AB=AC=24S米,BC=16，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上从4厘米/秒的速度由B向C运动,同时，点Q在线段CA上由C向A运动,当Q的运动速度为多少厘米/秒时，能在某一时刻使三角形BPD与三角形CQP全等.6 如图，在长方形ABCD中, BC=8cm AC=10cm动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ设点P的运动时间为t秒，当t为多少秒时，△ PQC是以PQ 为底的等腰三角形.7、已知：如图，在△ ABC中, AB=AC=18 BC=12点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3 个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由C点向A点匀速运动，连接DP QP设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：8、（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为（）、A. 0€（壬4 B. c. 0€£壬12 D.910、（2）若某一时刻△ BPD与△ CQP全等，贝U t的值与相应的CQ的长为（）A.t=2 ，CQ=9B.t=1 ，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1 ，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1 ，CQ=3(3) 若某一时刻△ BPD^A CPQ 贝U a=( )A. J B.2 C.3 D.七年级数学下---全等三角形之动点问题练习答案：2、(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直，即△ BPC 为直角三角形.理由是:••• AB=AC=BC=6，V.当点Q 到达点C 时，BP=3cm •••点P 为AB 的中点.••• QPL BA (等边三角形三线合一的性质).(2)假设在点P 与点Q 的运动过程中，△ BPQ 能成为等边三角形，二BP=PQ=BQ •••6-t=2t ，解得t=2 .•••当t=2时，△ BPC 是个等边三角形.3、( 1)当 t=1 时，AP=BQ=,1 BP=AC=3 又/ A=Z B=90°,在厶 ACP^P ^ BPQ 中,AP=BQZA=ZBAC 二BF •••△ ACP^A BPQ( SAS . ACP M BPQ /-Z APC # BPQ M APC V ACP=90 .•••/ CPQ=90，即线段PC 与线段PQ 垂直.广―P=2综上所述，存在I *二1或I 巳使得△ ACP 与△ BPQ 全等4、解：•••△ PEC 与 QFC 全等，•斜边 CP=CQ 有三种情况：① P 在 AC 上, Q 在 BC 上, CP=6-t ，CQ=8-3t ，/ 6-t=8-3t ，•/ t=1 ;② P 、Q 都在 AC 上，此时 P 、Q 重合，• CP=6-t=3t-8，•/ t=3.5 ;③ Q 在 AC 上, P 在 BC 上, CQ=CP 3t-8=t-6，•/ t=1，AC+CP=1，答：点P 运动1或3.5或12时，△ PEC 与 QFC 全等。
新苏教版七年级数学下册《全等三角形》单元测试题及答案解析(精品试卷).docx
（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册《全等三角形》单元测试题一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，则△ADC的周长为…………………………………………( )A．4 ；B．5；C．15；D．不能确定；2．（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是………………………………………………………………………………………（）A．ASA；B．SSS； C．SAS； D．AAS；3.（2014秋•黔东南州期末）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是………………（）A．∠B=∠C，BD=DC；B．∠ADB=∠ADC，BD=DC；C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；D．BD=DC，AB=AC；4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，AB=AC，BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积是…………………………………………………………………………………………………( ) A．12 ；B．6；C．3 ；D．4；5.（2014春•兴化市期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带……（）A．第1块；B．第2块；C．第3块；D．第4块；6．（2014秋•铜陵期末）能使两个直角三角形全等的条件是………………………………………………（）A．斜边相等； B．一锐角对应相等；C．两锐角对应相等；D．两直角边对应相等；7.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于D，BC=BD，已知AC=3㎝，那么AE+DE等于…………（）A.2㎝；B.3㎝；C.4㎝；D.5㎝；8.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．则∠BFD的度数为……………………………………………………………………………………………………（）A．45°B．90°C．60°D．30°9.如图，AB∥CD，CE∥BF，A、E、F、D在一直线上，BC与AD交于点O，且OE=OF，则图中有全等三角形的对数为……………………………………………………………………………………………………（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有………………（）A．1个；B． 2个；C．3个；D．4个；二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11. 如图，若AB=DE，_________，BE=CF，则根据“SSS”可得△ABC≌△DEF．12.（2013秋•兴化市校级月考）如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD= ．13.如图，已知：∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF.（1）若以“ASA”为依据，还缺条件；（2）若以“AAS”为依据，还缺条件；（3）若以“SAS”为依据，还缺条件；14.（2012•无锡）如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB= °．15.如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为_______.16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A 的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= ㎝．17．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是．（将你认为正确的结论的序号都填上）18.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=10，PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P 不与点A，C重合，那么当点P运动到的位置时，才能使△ABC与△APQ 全等？三、解答题：（本题共9大题，满分共76分）19. (6分)如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，请在方格纸上按下列要求画图．(1)在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的△A′B′C′；(2)在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的△A″B″C″．20. （本题满分6分）如图，△ABC≌△DEF，∠A=25°，∠B=65°，BF=3 cm，求∠DFE的度数和EC的长．AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．22. （本题满分8分）已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．求证：（1）AF=CE；（2）AB∥CD．23. （本题满分8分）（2014•自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．24.（本题满分8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．25. （本题满分8分）如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC 的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．26. （本题满分9分）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC=AD；（2）如图2，若∠ABC=135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．27．（本题满分8分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．28. （本题满分9分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？《全等三角形》单元测试题参考答案一、选择题：1.C；2.B；3.A；4.C；5.B；6.D；7.B；8.C；9.B；10.D；二、填空题：11.AC=DF；12.7；13. ∠A=∠D；∠ACB=∠F；BC=EF；14.90；15.48°；16.7；17.①②③；18.AC中点；三、解答题：19.20. ∠DFE=90°,EC=3㎝；21.证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF．∵∠ACB=∠F，∴B DEFBC EFACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ） 22.证明：（1）∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，在△ABF 和△CDE 中，AB CD DE BF=⎧⎨=⎩，∴△ABF ≌△CDE （HL ）． ∴AF=CE ．（2）由（1）知∠ACD=∠CAB ，∴AB ∥CD ．23.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC ，∵BE ⊥BF ，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△AEB 和△CFB 中，AB ＝BC ∠ABE ＝∠CBF BE ＝BF ,∴△AEB ≌△CFB （SAS ），∴AE=CF ．（2）解：∵BE ⊥BF ，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF ，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°-55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．24.（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD,即∠BAD=∠CAE ，又∵AB=AC ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．（2）BD 、CE 特殊位置关系为BD ⊥CE ．证明如下：由（1）知△BAD ≌△CAE ，∴∠ADB=∠E ．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD 、CE 特殊位置关系为BD ⊥CE ．26.（1）证明：在△AOB 和△COD 中∵B CAOB DOC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△COD （AAS ） （2）∵△AOB ≌△COD （已证），∴AO=DO,∵E 是AD 的中点, ∴AE=DE ； 在△AOE 和△DOE 中∵AO ODAE DE OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△AOE ≌△DOE （SSS ）, ∴90AEO DEO ∠=∠=︒； 25. 证明：（1）∵BE 、CF 都是△ABC 的高，∴∠AFC=∠AFQ=∠AEB=90°． ∴∠BAC+∠ABE=90°，∠BAC+∠ACF=90°，∴∠ABE=∠ACF ． 在△ABP 和△QCA 中AB QC ABE ACFBP CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△QCA （ASA ），∴AP=QA ；（2）∵△ABP ≌△QCA ，∴∠BAP=∠CQA ．∵∠CQA+∠FAQ=90°， ∴∠BAP+∠FAQ=90°，即∠APQ=90°，∴AQ ⊥AQ ．26.解：（1）①证明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=∠ABC=45°，∴AD=BD ；∵∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=90° 又∵∠DAC+∠C=90°，∴∠CBE=∠DAC ；∵∠FDB=∠CDA=90°，∴△FDB ≌△CDA （ASA ）②∵△FDB ≌△CDA ，∴DF=DC ；∵GF ∥BC ，∴∠AGF=∠ABC=45°，∴∠AGF=∠BAD ，∴FA=FG ；∴FG+DC=FA+DF=AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD．理由：∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD=AD，FG=AF=AD+DF；∵∠FAE+∠DFB=∠FAE+∠DCA=90°，∴∠DFB=∠DCA；又∵∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF=DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD．27.解：（1）90°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE ,∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°；（2）①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②当点D在射线BC上时，α+β=180°；理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵在△ABD和△ACE中AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．理由：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中，AD＝AE ∠DAB＝∠EAC AB＝AC ,∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB ，∠ACE=∠BCE+∠ACB ，∴∠BAC=∠BCE ，即α=β．28.解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3厘米，∵AB=10厘米， 点D 为AB 的中点，∴BD=5厘米．又∵PC=BC-BP ，BC=8厘米， ∴PC=8-3=5厘米，∴PC=BD ．又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPD ≌△CQP ．（SAS ） ②∵P v ≠Q v ，∴BP ≠CQ ，又∵△BPD ≌△CPQ ，∠B=∠C ，则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t ＝433BP =秒，∴Q v ＝515443CQ t==厘米/秒； （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯解得803x =．∴点P 共运动了803×3=80厘米．∵80=56+24=2×28+24，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．。
专题4.16 探索三角形全等的条件3(专项练习)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲
1专题4.16 探索三角形全等的条件3（专项练习）一、单选题1．（2021·安徽九年级专题练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点D ，BC BD =．如果3cm AC =，那么AE DE +=（ ）A ．2cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm2．（2021·湖南长沙市一中双语实验中学九年级期末）如图，已知在ABC 和DEF 中，AB DE =，BC EF =，下列条件中不能判定ABC DEF △≌△的是（ ）A ．AC DF =B ．B E ∠=∠C ．AB AC ⊥且ED DF⊥ D ．C F ∠=∠ 3．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，AD BC =，则能直接判断Rt Rt ABD CDB △△≌的理由是（ ）A ．HLB ．ASAC ．SASD ．SSS4．（2021·山东济南市·八年级期末）如图所示，∠C ＝∠D ＝90°，添加下列条件∠AC ＝AD ；∠∠ABC ＝∠ABD ；∠∠BAC ＝∠BAD ；∠BC ＝BD ，能判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等的条件的个数是（）2A ．1B ．2C ．3D ．45．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（ ）A ．一条直角边和一锐角分别相等B ．斜边和一锐角分别相等C ．斜边和一条直角边分别相等D ．两个锐角分别相等6．（2019·浙江台州市·八年级期末）用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA7．（2020·全国八年级课时练习）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，DE BC ⊥，6AC =，6EC =，60ACB ∠=︒，则ACD ∠等于（ ）A ．45︒B ．30C ．20︒D ．15︒8．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）下列结论中不正确的是（ ） A ．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B．一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等3D ．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等9．（2019·北京海淀区·101中学八年级期中）如图，在ACB ∆的两边上分别取点A ，B 使得CA CB =，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A ，B 处，一条直角边分别落在ACB ∠的两边上，另一条直角边交于点P ，连接CP ，则判定ACP BCP ∆≅∆的依据是（ ）A ．AASB ．ASAC ．SSSD ．HL10．（2020·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在∠ABC 中，∠BAC 的平分线AD 和边BC 的垂直平分线ED 相交于点D ，过点D 作DF 垂直于AC 交AC 的延长线于点F ，若AB ＝8，AC ＝5，则CF ＝（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3二、填空题 11．（2021·江苏南京市·八年级期末）结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒，ACDF =，_______4Rt ABC Rt DEF ∴∆≅∆．12．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，∠C ＝90°，AC ＝103BC ＝8，AX ∠AC ，点P 和点Q 从A 点出发，分别在线段AC 和射线AX 上运动，且AB ＝PQ ，当点P 运动到AP ＝___________，∠ABC 与∠APQ 全等．13．（2020·吐鲁番市高昌区第一中学八年级月考）在∠ABC 中，AD ∠BC 于D ，要用“HL ”证明Rt∠ADB ∠Rt∠ADC ，则需添加的条件是_____．14．（2020·临邑县第五中学八年级期中）已知：如图，AB ＝CD ，DE∠AC ，BF∠AC ，E ，F 是垂足，AE ＝CF ；则证明∠ABF∠∠CDE 的方法是________（用字母表示）15．（2020·中江县凯江中学校八年级月考）如图，在Rt∠ABC 中，∠C=90︒，AC=12cm ，BC=6cm ，一条线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，则当AP= __________时，才能使∠ABC 和∠APQ 全等．16．（2020·蒙阴县高都镇中心学校八年级月考）已知：如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则________∠ADC ．依据是________，并且BD ＝________，∠BAD=________．517．（2020·泰州市大泗学校）如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是_____．（填SAS 或AAS 或HL ）18．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级月考）如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AB AD =，ACB 28∠=︒，则DAC ∠=________．19．（2020·浙江台州市·八年级期中）如图,点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，PN ⊥OB 于点N ，点M 是线段ON 上一点，已知OM=3,ON=4,点D 为OA 上一点，若满足PD=PM,则OD 的长度为________20．（2019·黑龙江哈尔滨市·八年级期中）如图:四边形ABDC 中,CD=BD,E 为AB 上一点,连接DE,且∠CDE=∠B ．若∠CAD=∠BAD=30°,AC=5,AB=3,则EB=______________．6三、解答题21．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）如图：已知AD CB =，CE BD ⊥，AF BD ⊥，垂足分别为点E 、F ，若DE BF =，求证：//AD BC ．22．（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，AD 为ABC 的高，E 为AD 上一点，连接BE ，已知BE AC =，且ED CD =．（1）求证：ADC BDE ≌；（2）请你判断BE 与AC 的位置关系，并说明理由．23．（2020·云南昆明市·八年级期中）如图，已知：AB ∠BD ，ED ∠BD ，AB ＝CD ，AC＝CE．（1）AC与CE有什么位置关系？（2）请证明你的结论．24．（2020·南京师范大学附属中学江宁分校）如图，在∆ABC 中，AC = BC ，直线l 经过顶点C ，过A ， B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ， E ，F 为垂足．AE = CF ，求证：∠ACB = 90︒．25．（2019·全国八年级课时练习）如图，∠ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．78参考答案1．C【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE ∠Rt∆BCE ，得到ED=EC ，即可求解．【详解】在Rt BCE 和Rt BDE △中，BC BD =，BE BE =，∠()Rt Rt HL BCE BDE ≌△△， ∠ED EC =，∠3cm AE DE AE EC AC +=+==．故选：C ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ， SSS ，HL ，全等三角形的对应边相等.2．D【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．【详解】解：A 、若AC DF =，则根据“SSS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； B 、若B E ∠=∠，则根据“SAS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意；C 、若AB AC ⊥且ED DF ⊥，则根据“HL”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； D 、若C F ∠=∠，则不能判定ABC DEF △≌△，故符合题意；故选D ．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．3．A【分析】根据全等三角形的判定方法解答．【详解】解：在Rt∠ABD 和Rt∠CDB 中，9AD BC BD DB =⎧⎨=⎩∠Rt∠ABD∠Rt∠CDB （HL ），故选A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法．4．D【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解．【详解】∠∠C ＝∠D ＝90°，AB=AB ，∠∠AC ＝AD ，可用HL 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠∠ABC ＝∠ABD ，可用AAS 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠∠BAC ＝∠BAD ，可用AAS 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠BC ＝BD ，可用HL 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；故选：D ．【点拨】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．5．D【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A 、根据AAS 或ASA 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； B 、根据AAS 或ASA 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； C 、根据HL 可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；D 、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法10 都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．6．A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∠PM OA ⊥，PN OB ⊥，∠90PMO PNO ∠=∠=．∠OM ON =，OP OP =，∠()HL ≌PMO PNO △△， ∠POA POB ∠=∠，故选：A ．【点拨】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.7．B【分析】利用HL 可证明∠ACD∠∠ECD ，可得∠ACD=∠ECD ，即可得答案．【详解】DE BC ⊥，90DAC DEC ∴∠=∠=︒．在Rt ACD △和Rt ECD △中，6DC DC AC EC =⎧⎨==⎩， ()Rt ACD Rt ECD HL ∴≌，ACD ECD ∴∠=∠．1160ACB ∠=︒，30ACD ∴∠=︒．故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 等，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，当运用SAS 时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．8．C【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．逐条排除．【详解】解：A 、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合AAS ，能判定全等；B 、一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形符合ASA 或AAS ，能判定全等；C 、两锐角对应相等的两个直角三角形，不符合全等判定，不能判定全等；D 、有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形，符合HL ，能判定全等． 故选：C ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；判断两个三角形全等，至少应有一条对应边相等参与其中，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．9．D【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∠∠CAP=∠CBP=90°，∠在Rt∠ACP 与Rt∠BCP 中，AC BC CP CP ⎧⎨⎩＝＝ ， ∠Rt∠ACP∠Rt∠BCP （HL ）．12故选：D ．【点拨】此题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．10．A【分析】连接CD ，DB ，过点D 作DM ∠AB 于点M ，证明∠AFD ∠∠AMD ，得到AF ＝AM ，FD ＝DM ，证明Rt CDF Rt BDM ≌，得到BM ＝CF ，结合图形计算，得到答案．【详解】连接CD ，DB ，过点D 作DM ∠AB 于点M ，∠AD 平分∠F AB ，∠∠F AD ＝∠MAD ，在∠AFD 和∠AMD 中，FAD MADAFD AMD AD AD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AFD ∠∠AMD （AAS ）∠AF ＝AM ，FD ＝DM ，∠DE 垂直平分BC∠CD ＝BD ，在Rt∠CDF 和Rt∠BDM 中，DC DBDF DM =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠CDF ∠Rt∠BDM （HL ）∠BM ＝CF ，∠AB ＝AM +BM ＝AF +MB ＝AC +CF +MB ＝AC +2CF ，∠8＝5+2CF ，解得，CF ＝1.5，故选：A ．13【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质和角平分线的性质等知识，根据已知角平分线以及垂直平分线作出相关辅助线从而利用全等求出是解决问题的关键． 11．AB DE【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空．【详解】AC 和DF 为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等．∠填AB=DE ．故答案为：AB=DE ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键．12．8或103【分析】分两种情况：∠当AP=BC=8时；∠当AP=CA=103由HL 证明Rt∠ABC∠Rt∠PQA （HL ）；即可得出结果．【详解】∠AX∠AC ，∠∠PAQ=90°，∠∠C=∠PAQ=90°，分两种情况：14∠当AP=BC=8时，在Rt∠ABC 和Rt∠QPA 中，AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠QPA （HL ）；∠当AP=CA=10时，在∠ABC 和∠PQA 中，AB PQ AP AC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠PQA （HL ）；综上所述：当点P 运动到AP=8或103∠ABC 与∠APQ 全等；故答案为：8或103【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．13．AB =AC【分析】利用HL 定理可直接得到答案．【详解】解：添加条件：AB=AC ，∠AD∠BC ，∠∠ADB=∠ADC=90°，在Rt∠ABD和Rt∠ACD 中15AD AD AB AC ⎧⎨⎩＝＝， ∠Rt∠ABD∠Rt∠ACD （HL ），故答案为：AB=AC ．【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．14．HL【分析】根据已知条件知∠ABF 和∠CDE 都是直角三角形，所以根据直角三角形全等的判定定理HL 可以证得它们全等．【详解】解：如图，∠DE ∠AC ，BF ∠AC ，AE ＝CF ，∠∠DEC ＝∠BF A ＝90°，AE +EF ＝CF +EF ，即AF ＝CE ．∠在Rt∠ABF 和Rt∠CDE 中，AF CE AB CD=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABF ∠Rt∠CDE （HL ）．故答案为：HL ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定．注意，此题属于开放题，也可以根据全等三角形的判定定理SAS 、SSS 证得它们全等．15．6cm 或12cm【分析】由题意易得∠C=∠QAP=90°，AB=QP ，要使∠ABC 与∠APQ 全等，则需AP=CB 或AP=CA ，进而问题可求解．【详解】解：∠AX∠AC ，∠C=90°，∠∠C=∠QAP=90°，16∠AB=QP ，∠要使∠ABC 与∠APQ 全等，则需AP=CB 或AP=CA ，∠AP=6cm 或12cm ；故答案为6cm 或12cm ．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题的关键．16．ADB △ HL CD CAD ∠【分析】由,AD BC ⊥可得90ADB ADC ∠=∠=︒，结合,AB AC AD AD ==，利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．【详解】解：,AD BC ⊥90ADB ADC ∴∠=∠=︒，AB AC AD AD ==，，()Rt ADB Rt ADC HL ∴≌，,.BD CD BAD CAD ∴=∠=∠故答案为：ADB △，HL ，CD ，.CAD ∠ 【点拨】本题考查的是直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．17．HL【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt OMP 和Rt ONP 全等，进而得出答案．【详解】解：由题意知OM ＝ON ，∠OMP ＝∠ONP ＝90°，OP ＝OP ，∠在Rt OMP 和Rt ONP 中，OP OP OM ON=⎧⎨=⎩，17 ∠Rt OMP ∠Rt ONP （HL ），∠∠AOP ＝∠BOP ，∠OP 是∠AOB 的平分线．故答案为：HL ．【点拨】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．18．62︒【分析】根据HL 证明Rt∠ABC 与Rt∠ADC 全等，进而利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余解答即可．【详解】解：在Rt∠ABC 与Rt∠ADC 中AB AD AC AC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠ADC （HL ），∠∠ACD=∠ACB=28°，∠∠DAC=90°-28°=62°，故答案为：62°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余．证明∠ABC∠∠ADC 是解题的关键．19．3或5【分析】过点P 作PE∠OA 于点E ，分点D 在线段OE 上，点D 在射线EA 上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN=PE ，即可求OE=ON=4，由题意可证∠PMN∠∠PDE ，可求OD 的长．【详解】如图：过点P 作PE∠OA 于点E18∠OC 平分∠AOB ，PE∠OA ，PN∠OB∠PE=PN∠PE=PN ，OP=OP∠∠OPE∠∠OPN （HL ）∠OE=ON=4∠OM=3，ON=4∠MN=1若点D 在线段OE 上，∠PM=PD ，PE=PN∠∠PMN∠∠PDE （HL ）∠DE=MN=1∠OD=OE -DE=3若点D 在射线EA 上，∠PM=PD ，PE=PN∠∠PMN∠∠PDE （HL ）∠DE=MN=1∠OD=OE+DE=5故答案为3或5．【点拨】 此题考查全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 20．13【分析】如图，作DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N ．首先证明Rt∠DMC∠Rt∠DNB ，推出CM=BN ，∠ADM∠∠ADN ，推出AM=AB ，再证明DE∠AC ，推出∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，推出19AE=DE ，推出∠DEN=60°，在Rt∠ADN 中，可得43，在Rt∠EDN 中，可得DE=DN÷cos30°=83，由此即可解决问题．【详解】如图，作DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N.∠∠CAD=∠BAD=30°，DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N ，∠DN=DM ，在Rt∠DMC 和Rt∠DNB 中，DC DBDM DN ==⎧⎨⎩ ，∠Rt∠DMC∠Rt∠DNB ，∠CM=BN ，同理可证∠ADM∠∠ADN ，∠AM=AB ，∠AC+AB=AM+CM+AN−BN=2AM=8，∠AM=AN=4，∠∠DCM=∠DBN ，∠∠1=∠2，∠∠CDE=∠2，∠∠1=∠CDE ，∠DE∠AC ，∠∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，∠AE=DE ，∠∠DEN=60°，20 在Rt∠ADN 中43 在Rt∠EDN 中,DE=DN÷cos30°=83， ∠AE=83， ∠EB=AB−AE=3−83=13. 故答案为13. 【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线.21．见解析【分析】利用已知条件证明∠ADF∠∠CBE ，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D ，进而得出结论．【详解】证明：∠DE=BF ，∠DE+EF=BF+EF ；∠DF=BE ；在Rt∠ADF 和Rt∠BCE 中DF BE AD CB =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ADF∠Rt∠CBE （HL ），∠∠B=∠D ，∠//AD BC ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等量加等量和相等得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．（1）证明见解析；（2）BE AC ⊥，理由见解析． 【分析】（1）由AD 为ABC 的高，证明90ADC BDE ∠=∠=︒，再利用斜边直角边公理证明ADC BDE ≌即可；21（2）由ADC BDE ≌证明：,DAC EBD ∠=∠再利用：90DBE BED ∠+∠=︒，证明：90AEF DAC ∠+∠=︒，从而可得结论．【详解】 证明：（1） AD 为ABC 的高，,AD BC ∴⊥90ADC BDE ∴∠=∠=︒，在Rt ADC 与Rt BDE 中，AC BECD ED =⎧⎨=⎩()ADC BDE HL ∴≌（2）BE AC ⊥， 理由如下：如图，延长BE 交AC 于,F,ADC BDE ≌,DAC EBD ∴∠=∠90BDE ∠=︒，90DBE BED ∴∠+∠=︒，,BED AEF ∠=∠90AEF DAC ∴∠+∠=︒，90AFE ∴∠=︒，.BE AC∴⊥【点拨】22 本题考查的是三角形的高的含义，直角三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的两锐角互余，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）AC ∠CE ；（2）见解析【分析】（（1）根据题意写出结论即可．（2）由条件可证明Rt∠ABC ∠Rt∠CDE ，得到∠ECD ＝∠A ，进一步可得∠ECA ＝90°，可证得结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥．（2）证明：AB BD ⊥，ED BD ⊥， 90ABC CDE， 在Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中， AB CD AC CE ， Rt ABCRt CDE(HL)， A ECD ∴∠=∠， 90AACB ， 90ECD ACB， 90ACE ∴∠=︒，AC CE ∴⊥．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定方法HL 定理是解题的关键．24．见解析【分析】先利用HL 定理证明∠ACE 和∠CBF 全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC ＝∠BCF ，因为∠EAC ＋ACE ＝90°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝90°，根据平角定义可得∠ACB ＝90°．【详解】证明：如图，在Rt ∆ACE 和Rt ∆CBF 中，∠AC = BC ，AE = CF ，23∠Rt ∆ACE ∠ Rt ∆CBF （HL ） ，∠∠EAC = ∠BCF ，∠∠EAC + ∠ACE = 90︒ ，∠∠ACE + ∠BCF = 90︒ ，∠∠ACB = 180︒ - 90︒ = 90︒ ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．25．80°，50°.【解析】【分析】根据三角形外角与内角的性质及角平分线的性质求出∠ CAB ，再利用直角三角形全等的判定定理，得出∠CAP=∠PAF ，继而求出即可【详解】解：如图所示：延长BA ，作PN∠BD ，PF∠BA,PM∠AC ，设∠PCD = x°∠CP 平分∠ ACD∠∠ACP =∠PCD = x°，PM=PN∠BP 平分∠ ABC∠∠ABP=∠PBC ，PF=PN∠PM=PF∠∠BPC=40°∠∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=（x−40）°∠∠CAB=∠ACD−∠ABC=2x°−2（x−40）°=80°∠PM=PF ，AP=AP ，PF∠BA,PM∠AC∠Rt∠PAF ∠ Rt ∠PAM∠∠CAP=∠PAF=12（180°−∠CAB ）=12 （180°−80°）=50°故本题答案应为：∠CAB=80°，∠CAP=50°24【点拨】三角形内角与外角的性质及角平分线的性质、直角三角形全等的判定都是本题的考点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.。
数学：11.2全等三角形学案(苏科版七年级下)
11.2全等三角形学习目标1．知道全等三角形的意义，能正确找出全等三角形的对应顶点、对应角和对应边；2．会用符号“≌”表示两个三角形全等；3．经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法；4．让学生在探究性学习中体验学习的快乐，在合作交流中提高分析问题、解决问题能力，在小组竞争中培养团队精神．学习难点本节重点是三角形的性质，难点是确认全等三角形的对应元素教学过程教材创设了一张明信片上盖有两个植树节纪念邮截的情景，使学生感受到数学和生活的联系．这一情景自然、贴切，有助于思维的展开，有助于兴趣的激发．结合教学实际，我们还可以设计身边的其它情景．情景1：为了组织春季体育节，现需制作形状和大小完全一样的三角形卡纸片若干张．七⑵班“翔宇”学习小组的8名同学每人制作了一张，其中只有一位同学制成的卡纸片不符合要求，如何把这张不符合要求的卡纸片区分开来?（该情景的好处是以学生感兴趣的问题为切入点，激发学生的学习兴趣，活跃课堂的气氛，培养学生的动手能力，让学生在做中轻松地学习数学知识，感受数学在生活中的应用）情景2：①同底版等大的相片；②资料复印视频；③学生素质报告书上的印章……说明:从我们身边的事、我们熟悉的情景出发，引出全等三角形的概念，自然、和谐，有利于学生学习兴趣的激发．情景3：剪全等三角形。
剪两个能够完全重合的三角形并不困难，教师在活动中不要急于提示，更不要示范，以代替学生的活动．但在活动中教师要处理好以下几个方面的问题：⑴要求学生课前准备好材料和工具；⑵关注学生的不同剪法，但剪出的两个三角形必须重合；⑶介绍全等三角形的一般记法，并学会如何在两个全等三角形上标注相等的角、边，理解对应的含义．⑷全等三角形的意义：两个能重合的三角形是全等三角形．（这一过程完全由学生归纳，不一定一字不差．）注:有条件的学校可以由几何画板演示，介绍对应顶点、对应角、对应边的概念．（让学生在理解对应元素的同时，形成全等变换的感受．）问题1 由全等三角形的意义，你能发现哪些结论？⑴学生容易想到的结论：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；⑵学生可能想到的结论：（学生若未想到，可作简要说明）③全等三角形的面积相等；④全等三角形的周长相等；⑶学生难归纳的结论：（抓住本质特征）⑤两个全等三角形，它们只是位置不同而已，其它特征（形状、大小）完全相同．因此，我们用“△ABC≌△A′B′C′”表示△ABC和△A′B′C′全等．（为了突出顶点的对应，在表示全等时，我们总是把对应顶点的字母写在对应的位置上．）这里，要求学生会模仿下列简单的说理过程:因为△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的对应边相等，可以知道AB=A ′B ′，∠C ＝∠C ′.问题2：先剪两个全等三角形纸片，再仔细体会全等三角形的意义： ⑴怎样表示这两个三角形全等？⑵表示两个三角形全等时应该注意哪些问题？ ⑶指出两个全等三角形的对应元素．⑷若改变其中一张纸片的位置，比较上述问题，解答有无变化？ 让学生探索可能出现的全等变换．情景4： 图11.2-1， “做一做”把你做的两个三角形摆放成如下图的位置。
苏科版七下全等三角形同步测试
数学：11.2全等三角形同步练习（苏科版七年级下）【基础演练】 一、填空题1．如图,若△ABC ≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64°,则BC=___ __cm,∠B=_ __.2．如图，若△ACB≌△AED ，且∠B=35°，∠C=48°，则∠EAD=___ __．3．如图，△ABC 绕点A 旋转后与△ADE 完全重合，则△ABC ≌△_______，那么两个三角形的对应边为__ ___，__ ___，___ __，对应角为____ __，____ ___，___ ____．4. 如图，把△ABC 沿直线BC 翻折180°到△DBC ，那么△ABC ≌△______；若△ABC 的面积为2，那么△BDC 的面积为______ ____. 二、选择题5．下列说法：①全等三角形的形状相同，大小相等．•②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长，面积分别相等；⑤所有的等边三角形都是全等三角形．其中正确的说法有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．1个 6. 如图，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）A. 30°B. 50°C. 60°D. 100°7. 已知△ABC ≌△A ´B ´C ´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ´C ´等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 88. △ABC 与△DFE 是全等三角形，A 与D 对应，B 与F 对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（ ）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组 三、解答题9. 如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，∠B ＝∠C ，试指出这两个三角形的对应边和对应角.ABCDEO10. 如图所示，△ABC ≌△AEC ，B 和E 是对应顶点，∠B ＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC 各内角的度数.第9题图 B A E FC第1题图 第2题图 第3题图 第4题图ABCE11. 如图,△ABC ≌△DEF,试说明:AD=BE.12. 如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么BC 与DE 平行吗？为什么？ ABCDEF13.阅读下列材料:如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD 的位置； 如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置； 如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置.像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换. 问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角. 【能力提升】14.已知△ABC ≌△A ′B ′C ′,△ABC 的三边为3、m 、n,△A ′B ′C ′的三边为5、P 、Q,若△ABC 的各边都是整数,则m+n+p+q 的最大值为__________.15. 如图△ABC ≌△EBD,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明, 若不相等说出为什么?16.如图,已知△ABC ≌△ADE,BC 的边长线交AD 于F,交AE 于G,∠ACB=105°,∠CAD=10°,∠ADE=25°,求∠DFB 和∠AGB 的度数.B G EF C D 第16题图B AE 21F DO 第15题图第12题图BA EFC D第11题图第10题图参考答案1．3, 64°；2.97°；3．△ADE，AB和AD，AC和AE，BC和DE，∠B和∠D，∠C和∠E，∠BAC和∠DAE；4. DBC，2.5．B；6.D；7. C；8. D.三、解答题9.解：对应边有：AB和AC，AD和AE，BD和CE；对应角有：∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC，∠B=∠C.10.解：∵△ABC≌△AEC，∴∠B=∠E，∠BAC=∠EAC，∠ACB=∠ACE.∵∠B＝30°，∠ACB＝85°，∴∠E＝30°，∠ACE＝85°，∴∠EAC=65°.11. 解：∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE.∴AB-BD=DE-BD.∴AD=BE.12. 如图所示，已知△ABC≌△FED，且BC＝ED，那么AB与EF平行吗？为什么？解：∵△ABC≌△FED，∴∠BCD=∠EDC.∴BC∥DE.13. 把△DEF沿EF翻折180°，再将翻转后的三角形沿CB（向左）方向平移，使E与B 点重合，则△ABC与△DEF重合或旋转变换，AB=DF，AC=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠F，∠ACB=∠DEF.14.22.15.解：∠1=∠2.∵△ABC≌△EBD,∴∠A=∠E.在△AOF和△EOB中，∵∠A=∠E，∠AOF=∠EOB，∴∠1=∠2.16.解：∵△ABC≌△ADE,∴∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE，∠CAB=∠EAD.∵∠ADE=25°, ∴∠ABC=25°. ∴∠CAB=50°∴∠DFB=∠DAB+∠ABC=50°+20°+25°=95°.∠AGB=105°-70°=35°.。
全等三角形_探究题_(各种题型非常全)
探究题讲练类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320°2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．683.如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与坐标轴交于点A和点B。
（1）求OA+OB的值；（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值；类型2.线段间的数量关系基础练习1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．3.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．例1.已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．：例2.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．例3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．练习.已知：△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF．例4．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE ______CF；EF __________|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．例5．如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．（1）求图①中，∠APD的度数______________；（2）图②中，∠APD的度数为______________，图③中，∠APD的度数为________________；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．练习：1．（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为______________；∠APB的大小为______________；．（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是____________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；例7．如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。
专题26 全等三角形的应用(基础)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)
专题26 全等三角形的应用（基础）1．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A 、B 间的距离：现在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝AC ；连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ；连接DE 并测量出它的长度． （1）求证：DE ＝AB ；（2）如果DE 的长度是8m ，则AB 的长度是多少？【分析】（1）利用SAS 直接得出△CDE ≌△CAB ，进而得出答案； （2）利用（1）中所求得出AB 的长即可． 【解答】（1）证明：在△CDE 和△CAB 中， {CD =CA∠DCE =∠BCA CE =CB， ∴△CDE ≌△CAB （SAS ）， ∴DE ＝AB ；（2）解：∵DE ＝AB ，DE ＝8m ， ∴AB ＝8m ．答：AB 的长度是8m ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，得出△CDE ≌△CAB 是解题关键．2．公路上，A ，B 两站相距25千米，C 、D 为两所学校，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，如图，已知DA ＝15千米，现在要在公路AB 上建一报亭H ，使得C 、D 两所学校到H 的距离相等，且∠DHC ＝90°，问：H 应建在距离A 站多远处？学校C 到公路的距离是多少千米？【分析】根据同角的余角相等求出∠D ＝∠CHB ，再利用“角角边”证明△ADH 和△BHC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD ＝BH ，AH ＝BC ，再根据AH ＝AB ﹣BH 计算即可得解． 【解答】解：∵∠DHC ＝90°， ∴∠AHD +∠CHB ＝90°， ∵DA ⊥AB ，∴∠D +∠AHD ＝90°， ∴∠D ＝∠CHB ，在△ADH 和△BHC 中，{∠D =∠CHB∠A =∠B =90°DH =CH ，∴△ADH ≌△BHC （AAS ）， ∴AD ＝BH ＝15千米，AH ＝BC ， ∵A ，B 两站相距25千米， ∴AB ＝25千米，∴AH ＝AB ﹣BH ＝25﹣15＝10千米， ∴学校C 到公路的距离是10千米．答：H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【点评】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法求出两三角形全等是解题的关键．3．如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ．连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？【分析】利用“边角边”证明△ABC 和△DEC 全等，再根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：量出DE 的长就等于AB 的长，理由如下： 在△ABC 和△DEC 中，{BC =CE∠ACB =∠DCE CA =CD ，∴△ABC ≌△DEC （SAS ）， ∴AB ＝DE ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．4．如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D ，E 两地，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，D ，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？【分析】首先根据题意可知AC ＝CB ，DC ＝EC ，再根据HL 定理证明Rt △ACD ≌Rt △BCE ，可得到AD ＝BE ．【解答】解：D ，E 与路段AB 的距离相等，理由：∵点C 是路段AB 的中点， ∴AC ＝CB ，∵两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走， ∴DC ＝EC ，∵DA ⊥AB ，EB ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝90°， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中 ∵{AC =CB CD =CE， ∴Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ）， ∴AD ＝BE ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明Rt △ACD ≌Rt △BCE ． 5．如图所示，有两个长度相同的滑梯BC 和EF ，CA ⊥BF ，ED ⊥BF ，垂足分别为A ，D ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等．问：两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？【分析】由图可得，△ABC 与△DEF 均是直角三角形，由已知可根据HL 判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．【解答】解：∠ABC +∠DFE ＝90°，理由如下：由题意可得：△ABC 与△DEF 均是直角三角形，且BC ＝EF ，AC ＝DF ． 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中， {BC =EF AC =DF， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）， ∴∠ABC ＝∠DEF ， ∵∠DEF +∠DFE ＝90°， ∴∠ABC +∠DFE ＝90°．【点评】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．6．某广场是一个四边形区域ABCD ，现测得：AB ＝60m ，BC ＝80m ，且∠ABC ＝30°，∠DAC ＝60°，试求水池两旁B ，D 两点之间的距离．【分析】以AB 为边在△ABC 外侧作等边△ABE ，连接CE ，求出△EAC ≌△DAB 可得：BD ＝CE ，证明△EBC 是直角三角形，利用勾股定理求出CE 的长度，即可解答． 【解答】解：以AB 为边在△ABC 外侧作等边△ABE ，连接CE ． ∵∠EAB ＝∠DAC ＝60°， ∴∠EAB +∠BAC ＝∠DAC +∠BAC ， ∴∠EAC ＝∠DAB ， 在△EAC 和△DAB 中， {AE =AB∠EAC =∠DAB AC =AD， ∴△EAC ≌△DAB （SAS ）， ∴BD ＝CE ，∴∠EBC ＝60°+30°＝90°， ∴△EBC 是直角三角形， ∵EB ＝60m BC ＝80m ，∴CE =√BE 2+BC 2=√602+802=100（m ）． ∴水池两旁B 、D 两点之间的距离为100m ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键，难点在于（灵活运用）作出辅助线构造成等边三角形和直角三角形．7．如图，两只蚂蚁分别位于一个正方形相邻的两个顶点A ，B 上，它们分别沿AE ，BF 的路线向BC 和CD 爬行，如果AE 和BF 相互垂直，那么它们爬行的距离相等吗？【分析】根据题意得出△ABE ≌△BCF （SAS ），可得AE ＝BF ，进而得出答案． 【解答】解：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∵∠CBF +∠ABO ＝90°， ∴∠EAB +∠ABO ＝90°， ∴∠CBF ＝∠EAB ， 在△BFC 和△AEB 中 {∠BFC =∠AEB∠C =∠ABE AB =BC∴△BFC ≌△AEB （AAS ）， ∴AE ＝BF ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出∠CBF ＝∠EAB 是解题关键．8．如图，平面上的四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中AB ＝AD ，CB ＝CD ，某同学观察了这只“风筝”的骨架后，认为四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 垂直，垂足为E ，并且BE ＝ED ，你同意这位同学的判断吗？请说明理由．【分析】根据中垂线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上来判定． 【解答】解：正确；理由如下： ∵AB ＝AD ，∴点A 在BD 的垂直平分线上． ∵CB ＝CD ，∴点C 在BD 的垂直平分线上．∴AC 为BD 的垂直平分线，BE ＝DE ，AC ⊥BD ．【点评】本题利用了中垂线的判定定理求解，关键是根据到线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上分析．9．有一张纸片的形状如图所示，其中已知∠1＝∠2，纸片中的△ABC 和△ADC 是全等的，小红说：“只要给我一个量角器，我就能验证：这两个三角形是全等．”小明不相信，你知道小红是怎样做的吗？如果知道，请写出小红的验证过程．【分析】直接利用全等三角形的判定方法（AAS ），进而得出答案．【解答】解：只要量出∠B 与∠D 的度数，若两角度数相等，则△ABC 和△ADC 全等． 理由：在△ABC 和△ADC 中，∵{∠B =∠D∠1=∠2AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．10．小红在课外活动时，不小心把老师用的三角形教具弄坏了一个角，如图①所示，她想用一块同样材料的薄板把它补上，想出以下办法：（1）先量出∠AED ，∠BDE 的度数，量出DE 的长；（2）在同样的材料上取D 1E 1＝DE ，用量角器∠ME 1D 1＝180°﹣∠AED ″，∠ND 1E 1＝180°﹣∠BDE ，如图②所示，两射线E 1M ，D 1N 交于点C 1，剪下△C 1D 1E 1，将其与原三角形黏合就能把三角形教具修好，你认为这两种方法可行吗？道理是什么？【分析】利用全等三角形的判定定理ASA 证得△C 1D 1E 1≌△CDE 即可． 【解答】解：这个方法可行，理由如下：∵∠ME 1D 1＝180°﹣∠AED ，∠ND 1E 1＝180°﹣∠BDE ， ∴∠ME 1D 1＝∠CED ，∠ND 1E 1＝∠CDE ， ∴在△C 1D 1E 1与△CDE 中，{∠ME 1D 1=∠CEDD 1E 1=DE ∠ND 1E 1=∠CDE ，∴△C 1D 1E 1≌△CDE （ASA ）， ∴该方法可行．【点评】本题考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．11．如图，把一个长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，测得AM ＝8m ，BM ＝6m ，梯子沿墙下滑到CD 位置，测得∠ABM ＝∠DCM ，求梯子下滑的高度．【分析】由全等三角形的判定定理AAS 得到△ABM ≌△DCM ，则其对应边相等：BM ＝CM ，AM ＝DM ，故AC ＝DM ﹣BM ＝2m ．【解答】解：∵在△ABM 与△DCM 中，{∠AMB =∠DMC∠ABM =∠DCM AB =DC ，∴△ABM ≌△DCM （AAS ）， ∴BM ＝CM ＝6m ，AM ＝DM ＝8m ， ∴AC ＝AM ﹣CM ＝2m ． 即梯子下滑的高度是2m ．【点评】本题考查了全等三角形的应用．解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．12．如图所示，四边形ABCD 是一条河堤坝的横截面，AE ＝BF ，且AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AD ＝BC ，∠C 与∠D 是否相等？为什么？【分析】首先利用HL 定理证明Rt △ADE ≌Rt △BCF ，再根据全等三角形的性质可得∠C ＝∠D ． 【解答】解：∠C ＝∠D ， ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ， ∴∠AED ＝∠BFC ＝90°， 在Rt △ADE 和Rt △BCF 中， {AD =BC AE =BF， ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF （HL ）， ∴∠C ＝∠D ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．13．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝2.5m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝1.5m ．点A 到地面的距离AE ＝1.5m ，当他从A 处摆动后的坐板记为A ′． （1）若A ′B ⊥AB 时，求A '到BD 的距离；（2）若A ′距地面最近时，求A '到地面的距离（结果精确到0.01，√13=3.606）．【分析】（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图2，作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3； 在△ACB 和△BF A '中， {∠ACB =∠A ′FB∠2=∠3AB =A′B，∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.5；∴BC ＝BD ﹣CD ＝2.5﹣1.5＝1（m ）， ∴A 'F ＝1（m ），即A '到BD 的距离是1m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝1.5m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD ﹣BF ＝2.5﹣1.5＝1（m ），即A '到地面的距离是2.5−√1．52−12≈2.5﹣1.8＝0.7m ．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ADC ≌△CEB ； （2）求两堵木墙之间的距离．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明△ADC ≌△CEB 即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：AD ＝2×3＝6cm ，BE ＝7×2＝14cm ， ∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．15．某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为35cm ，由以上信息能求出CB 的长度吗？如果能，请求出CB 的长度；如果不能，请说明理由．【分析】根据中点定义求出OA ＝OB ，OC ＝OD ，然后利用“边角边”证明△AOD 和△BOC 全等，根据全等三角形对应边相等即可证明． 【解答】解：∵O 是AB 、CD 的中点， ∴OA ＝OB ，OC ＝OD ， 在△AOD 和△BOC 中， {OA =OB∠AOD =∠BOC OC =OD， ∴△AOD ≌△BOC （SAS ）， ∴CB ＝AD ， ∵AD ＝35cm ， ∴CB ＝35cm ，答：CB 的长度为35cm ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．16．如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打出，墙壁厚是35cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．【分析】利用“角边角”证明Rt △OAB 和Rt △OCD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝DC ，从而得解．【解答】解：∵OC ＝35cm ，墙壁厚OA ＝35cm ， ∴OC ＝OA ， ∵墙体是垂直的，∴∠OAB ＝90°且CD ⊥OC ， ∴∠OAB ＝∠OCD ＝90°，在Rt △OAB 和Rt △OCD 中，{∠OAB =∠OCD =90°OC =OA∠AOB =∠COD ，∴Rt △OAB ≌Rt △OCD （ASA ）， ∴DC ＝AB ， ∵DC ＝20cm ， ∴AB ＝20cm ，∴钻头正好从B 点处打出．【点评】本题考查了全等三角形的应用，读懂题目信息确定出全等三角形是解题的关键． 17．课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图AD ⊥DE ，BE ⊥DE ． （1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）若三角板的一条直角边AC ＝25cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等）．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明△ADC ≌△CEB 即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）解：∵一块墙砖的厚度为a ，∴AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：△ADC ≌△CEB ，∴DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∴AC =√AD 2+CD 2=5a ＝25，∴a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．18．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X 型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA ＝OD ，OB ＝OC ，只需测得AB ＝a ，EF ＝b ，就可以知道圆形容器的壁厚了．（1）请你利用所学习的数学知识说明AB ＝CD ；（2）求出圆形容器的壁厚．（用含有a ，b 的代数式表示）【分析】（1）连接AB ，只要证明△AOB ≌△DOC ，可得AB ＝CD ，即可解决问题；（2）利用（1）中所求即可得出圆形容器的壁厚．【解答】解：（1）连接AB ．在△AOB 和△DOC 中，{OA =OD ∠AOB =∠DOC BO =OC，∴△AOB ≌△DOC （SAS ），∴AB ＝CD ；（2）∵EF ＝b ，AB ＝CD ＝a ，∴圆形容器的壁厚是12（b ﹣a ）．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．属于中考常考题型．19．某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A 、B 间的距离，于是工作人员在岸边A 、B 的垂线AF 上取两点E、D，使ED＝AE．再过D点作出AF的垂线OD，并在OD上找一点C，使B、E、C在同一直线上，这时测得CD长就是AB的距离．请说明理由．【分析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD∴∠A＝∠CDE＝90°又∵ED＝AE，∠AEB＝∠CED∴△ABE≌△CED（AAS）所以AB＝CD．【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．20．如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？【分析】已知Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，利用“HL”可判断两三角形全等，根据确定找对应角相等，根据直角三角形两锐角的互余关系，确定ABC与∠DFE的大小关系．【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，{BC=EF AC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠ABC＝∠DEF又∵∠DEF+∠DFE＝90°∴∠ABC+∠DFE＝90°即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．【点评】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定．。
精选新版2019年七年级下册数学单元测试题《三角形的初步认识》完整考题(含答案)
2019年七年级下册数学单元测试题第一单元三角形的初步认识一、选择题1．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm 则△ADC的周长为（）A．14 cm B．13 cm C．11 cm D．9 cm答案：B2．下列6组长度的线段中，可以首尾相接组成三角形的是（）①3，4，5；②1，1，3；③1，2，3；④5，5，5；⑤2，2，5；⑥3，7，4A．①②③④⑤⑥B．①④⑤C．①③④D．①②③④答案：D3．下列条件中，不能作出唯一．．三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两边和其中一边的对角C．已知两角和夹边D．已知两角和其中一角的对边答案：B4．如图所示，已知∠1=∠2，AD=CB，AC，BD相交于点0，MN经过点O，则图中全等三角形的对数为（）A．4对B．5对C．6对D．7对答案：C5．如图所示，若根据“SAS”来说明△ABC≌△DBC，已知BC是公共边，需要补充的条件是（）A．AB=DB，∠l=∠2 B．AB=DB，∠3=∠4C．AB=DB，∠A=∠D D．∠l=∠2，∠3=∠4答案：B6．如图所示，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）A 10° B．20° C．30° D．40°答案：B7．如图所示是跷跷板的示意图，支柱0C与地面垂直，点0是横板AB的中点，AB可以绕着点0上下转动，当A端落地时，∠0AC=20°．跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（）A．800 B．60°C．40°D．20°答案：C8．三角形的三边长都是整数，并且唯一的最长边是5，则这样的三角形共有（）A 1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：D二、填空题9．如图，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF = .解析：20010．若一个三角形的两条高在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是___________三角形．解析：钝角11．已知：△ABC 中，∠A=100°，∠B －∠C ＝60°，则∠C=__________．解析：10°12．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若△ABC 的周长为20，BC=11，且△ABD 的周长比△ACD 的周长大3，则AB= ，AC= ． 6,313．，AC=CD ，∠ACD=60°， 则∠ACB= ．解析：30°14．已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，AB+AC=18 cm ，BC=7 cm ，则△A ′B ′C ′的周长是 ．解析：25 cm15．如图所示，将两块相同的直角三角板的直角顶点重合放在一起，若∠AOD=110°，则∠BOC= ．请你用符号表示图中的全等三角形： ．解析：70°，△AOB ≌△COD16．如图所示，△ABC 中，∠B=∠C ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，∠AFD=155°，则∠EDF= ．解析：65°17．直角三角形的两个锐角的平分线AD ，BE 交于点0，则∠AOB= ．解析：135°三、解答题18． 如图，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，请在下图中，沿虚线画出四 D B种不同的分法，把4×4的正方形分割成两个全等图形.解析：19．如图，AB⊥BD于B，DE⊥BD于D，已知AB＝CD，BC＝ED,求∠ACE的度数．解析：△ABC≌△CDE（SAS），则∠ACB=∠E，由于∠ACB+∠ACE =∠E+∠D, 则∠ACE=∠D=90°．20．如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，AE=BD，BC=EF，则∠C=∠F，请说明理由（填空）．解：∵ AE=BD（已知）∴ =∴ =在△ABC和△DEF中===∴△ABC≌△DEF ( )∴∠C=∠F ( )解析：AE-BE，BD-BE，AB，DE，AC，DF，AB，DE，BC，EF，SSS，全等三角形的角相等．21．画一个三角形，使两个内角分别为45°和60°，它们的夹边为2．5cm．解析：略22．如图所示，已知AB=CD，BE=CF，E、F在直线AD上，并且AF=DE，说明△ABE≌△DCF的理由．解析：略23．如图所示，已知△ABE≌△ACE，D是BC的中点，你能说明△BDE≌△CDE吗?解析：略24．把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，如右图所示，请在下图中，沿着虚线再画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形解析：略25．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°，求∠DAE的大小．解析：18°26．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，且∠ACB=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度数．解析：18°27．如下表，“谢氏三角”是波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915年～l916年期间提出的，它的作法是：第一步：取一个等边三角形(记为P 1)，连结各边的中点，得到完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个；第二步：将剩下的三个小正三角形(记为P 2)，按上述办法各自取中点，各自分成4个小三角形，去掉各自中间的一个小正三角形；依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形．试求P 4的“黑”三角形的个数，“黑”三角形的总边数，边长，周长和面积，并将结果填入下表中．解析：27,81，118a ，1818a ，12764S 28．如图所示，已知△ABC 的边AB 和BC 边上的中线AD ，请把△ABC 补画完整．解析：连结BD，并延长BD到C，使DC=BD，连结AC29．在△ABC中，∠A+∠C=120°，∠B+∠C=110°，求三角形各内角的度数．解析：∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°30．如图，从建筑物顶端A处拉一条宣传标语条幅到地面C处，为了测量条幅AC的长，在地面另一处选一点D，使D、C、B（B为建筑物的底部）三点在同一直线上，并测得∠D=40°，∠ACB=80°，求∠DAC的度数．解析：40°AB CD。
苏科版七年级数学下册全等三角形单元测试卷40
苏科版七年级数学下册全等三角形单元测试卷40一、选择题（共10小题；共50分）1. 小华的爸爸买了一张竹床，打开后有两个三角形：和（如图），设计两个三角形的主要原因是A. B. 三角形具有稳定性C. 两个三角形是全等的直角三角形D. 对称美2. 如图，若，且，，则的长为．A. B. C. D.3. 已知下图中的两个三角形全等，则度数是A. B. C. D.4. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是A. 三角形的稳定性B. 长方形的对称性C. 长方形的四个角都是直角D. 两点之间线段最短5. 方格纸中，每个小格顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫格点三角形．如图在的方格纸中，有两个格点三角形、．下列说法中，成立的是A. B.C. D. 这两个三角形中没有相等的角6. 下列说法正确的是A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形B. 全等三角形的周长和面积分别相等C. 全等三角形是指面积相等的两个三角形D. 所有的等边三角形都是全等三角形7. 下列图形不具有稳定性的是A. B.C. D.8. 如图，已知图中有个正方形、和，若把图中全等的三角形看成一类，则图中三角形的种类数量为A. B. C. D.9. 如图，，，则的度数为A. B. C. D.10. 下列图形不具有稳定性的是A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 如图，，和是对应角，和是对应边，那么还有对应角是，，对应边是，．12. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是．13. 盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有的原理．14. 如图，已知，，，则．15. 如图，四边形，，都是正方形，边长分别为，，；，，，，五点在同一直线上，则（用含有，的代数式表示）．16. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题（共8小题；共104分）17. 如图，已知四边形中，对角线，相交于点，．求证．18. 如图所示，建筑工人在安装门（窗）时，先要把木头门（窗）固定好，这样搬运和安装起来才不会变形．请你设计一种方法固定此木头门（窗），并说明你这样做的数学原理是什么．19. 已知：如图，点是的中点，点在上，且．作于，，交的延长线于．（1）求证：．（2）求证：．20. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即，），这样做的数学道理是什么?21. 和的位置如图所示，，，．求证：（1）；（2）．22. 已知：如图，在中，，于点，点在上，，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：．23. 如图所示，已知，求证：24. 我们知道，三角形没有对角线，四边形有条对角线，五边形共有条对角线．（1）六边形共有多少条对角线?七边形呢?（2）你能通过上面的规律，说出边形共有多少条对角线吗?答案第一部分1. B2. B3. D 【解析】图中的两个三角形全等，与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，．4. A 【解析】常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性．5. B6. B 【解析】A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．7. A8. C 【解析】提示：，，，，，，．9. B 【解析】，，即，，又，．10. A第二部分11. ，，，12. 三角形的稳定性【解析】一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．13. 稳定性14.15.16. ①②③⑤【解析】易证；再证得；．即可得出①②③⑤．第三部分17. ，，，，即．18. 可在门（窗）角上斜钉一根木条，或用木杆顶在门（窗）角上，这样做是根据三角形的稳定性．19. （1），，，在和中，，，，，．（2），．在和中，，，，，．20. 三角形具有稳定性．21. （1）在和中，，．（2），，即，由（），知，，在和中，，．22. 答案：于点，，．．于点，．．在和中．．23. ，．，即．24. （1）六边形共有条对角线，七边形共有条对角线．（2）六边形共有条对角线，七边形共有条对角线，条．。
苏科版七年级数学下册全等三角形单元测试卷20
苏科版七年级数学下册全等三角形单元测试卷20一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列图形中，具有稳定性的是A. 长方形B. 梯形C. 钝角三角形D. 正六边形2. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是A. 两角和一边B. 两边及夹角C. 三个角D. 三条边3. 如图，点，在线段上，与全等，点与点、点与点是对应顶点，与交于点，则与相等的角是A. B. C. D.4. 下列图形不具有稳定性的是A. B.C. D.5. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，还需要添加一个条件是A. B. C. D.6. 如图，，若，，则的度数为A. B. C. D. 不能确定7. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是A. 三角形具有稳定性B. 两点确定一条直线C. 两点之间线段最短D. 三角形内角和8. 下列判断中错误的是A. 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等B. 有一边相等的两个等边三角形全等C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等9. 如图所示，若，则相等的线段有A. 组B. 组C. 组D. 组10. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是A. 三角形的稳定性B. 长方形的对称性C. 长方形的四个角都是直角D. 两点之间线段最短二、填空题（共6小题；共30分）11. 如图，，和是对应角，和是对应边，那么还有对应角是，，对应边是，．12. 起重机的吊臂都是用铁条焊成三角形，这是利用了．13. 工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样上两条斜拉的木条（即图中，两根木条），这样做的依据是．14. 如图，，，则的度数为．15. 如图，四边形为正方形，以为边向正方形外作正三角形，与相交于点，则．16. 如图，在中，，，点是的中点，连接，过点作⊥，分别交，于点，，与过点且垂直于的直线相交于点，连接，给出以下五个结论：①；②；③点是的中点；④；⑤，其中正确结论的序号是．三、解答题（共8小题；共104分）17. 如图，，和是对应角，与是对应边，写出其他对应边和对应角．18. 木工师傅在做完门框后，为防止门框变形，常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条，你能解释门框变形的原因和木工钉木条的数学道理吗?19. 已知：如图，在中，，，点是的中点，以为斜边在外作等腰直角三角形，连接，．试猜想线段和的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．20. 如图，下列哪些图形具有稳定性?对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．21. 和的位置如图所示，，，．求证：（1）；（2）．22. 已知：，，，问：吗?说明理由．23. 用三种方法将一个等边三角形分成三个全等的图形．24. 奥地利数学家皮克发现了一个计算正方形网格纸中多边形面积的公式：，方格纸中每个小正方形的边长为，其中表示多边形内部的格点数，表示多边形边界上的格点数，表示多边形的面积．注：①由条线段依次首尾连接而成的封闭图形叫做边形，这些线段的端点叫做顶点．②网格中小正方形的顶点叫格点．如：在图①中，点，，，都正好在格点上，那么四边形的面积．（1）求图②中四边形的面积．（2）若多边形的顶点都在格点上，且面积为，请在图③④⑤中画出这样三个形状不同的多边形（多边形的边数）．并写出相应的，的值．图③中，，；图④中，，；图⑤中，，．答案第一部分1. C2. C3. A4. A5. B6. B 【解析】，，，，，．7. A 【解析】加上后，原图形中具有了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：A．8. C9. D10. A【解析】常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性．第二部分11. ，，，12. 稳定性【解析】起重机的臂膀中都有三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．故答案为：稳定性．13. 三角形具有稳定性【解析】这样做的依据是三角形具有稳定性．14.15.【解析】，，故16. ①②④【解析】①由，得；②由，；③由可得；④由，得，所以；⑤，，故．第三部分17. ，和是对应角，与是对应边，对应边：与，与；对应角：，．18. 因为四边形不具有稳定性，而木门是长方形，所以容易变形．木工钉上木条后构成三角形，三角形具有稳定性，所以就不易变形．19. ，．证明：，点是的中点，．，．，，，，，，．20. （1）（4）（6）具有稳定性，如图即为所求．21. （1）在和中，，．（2），，即，由（），知，，在和中，，．22. ．理由如下：，，．在与中，．23. 如解图所示（答案不唯一）．24. （1）由题意，得，，．（2）由题意得，图象可以如图所示．则图③中，，；图④中，，；图⑤中，，．。
苏科版七年级数学下全等三角形基础练习题
全等三角形复习题知识点归纳：一、角平分线：性质定理：角平分线上的点到这个角的相等。
逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的上。
1、OC 是∠BOA 的平分线，PE ⊥OB ，PD ⊥OA ，若PE=5cm ，则PD=2、如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，且∠A=40o ，则∠BOC=二、垂直平分线。
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的的距离相等。
逆定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的。
1、如图，已知AE ＝CE ，BD ⊥AC ．若AD=5cm ，BC=3cm ，则CD+AB= 2、如图，DO 是边AC 的垂直平分线，交AB 于点D ，若AB=7cm ，BC=5cm ，则△BDC 的周长是四、三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）1、如图，AC=DF ，AC//DF ，AE=DB ，求证：①△ABC ≌△DEF 。
②BC=EF（第1题）3、如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，DE ＝DF ，求证：△BED ≌△CFD ．(第3题)第1题第2题OCB A（第1题）第2题DO C B A1、如图，已知AB=AD ，要使△ABC ≌△ADC ，可增加条件，理由是定理。
2、下列说法中正确的是（）A 、两个直角三角形全等B 、两个等腰三角形全等C 、两个等边三角形全等D 、两条直角边对应相等的直角三角形全等3、如图，△ABC 中，∠C=90o ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且CD=6cm ，则DE 的长为（）A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、10cm第1题DC B A第2题E DC B A4、三角形内到三条边的距离相等的点是（）A 、三角形的三条角平分线的交点B 、三角形的三条高的交点C 、三角形的三条中线的交点D 、三角形的三边的垂直平分线的交点5、三角形内到三个顶点的距离相等的点是（）A 、三角形的三条角平分线的交点B 、三角形的三条高的交点C 、三角形的三条中线的交点D 、三角形的三边的垂直平分线的交点6、在△ABC 中，∠A=70o ，∠B=40o ，则△ABC 是（）A 、钝角三角形B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、等腰直角三角形7、如图，AE=BE ，∠C=∠D ，求证：△ABC ≌△BAD 。
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全等三角形的训练题
1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。
求证：△ABD ≌△ACD 。
5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。
求证：AC ⊥CE 。
2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。
求证：△ABC ≌△EDF 。
3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。
求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE
6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。
求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。
7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC 。
求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。
（图1）D C B A F （图2）D C B
A F
E （图3）D C B A E
（图4）
D C
B A E （图5）D
B A
G F
E
（图6）D C B A
N M
（图7）
C B
A
8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。
求证：△ABE ≌△DCF 。
9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，
BD=CE 。
求证：AB=AC 。
11、如图（11）在△ABC 和△DBC
中，∠1=∠2，
∠3=∠4，P 是BC 上任一点。
求证：PA=PD 。
12、如图（12）AB ∥CD ，OA=OD ，点F 、D 、O 、
A 、E 在同一直线上，AE=DF 。
求证：EB ∥CF 。
13、如图（13）△ABC ≌△EDC 。
求证：BE=AD 。
14、如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。
（1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求
AC 的长。
F E
（图8）D C B A M
F
E （图9）
C B A E （图10）
D C B A
P
4321
（图11）
D
B
A
F E E （图13）D C
B
A F
E
（图14）D
C
B
A
15、如图15△ABC 中，AB=2AC ，∠BAC=90°，
延长BA 到D ，使AD=1
2
AB ，延长AC 到E ，
使CE=AC 。
求证：△ABC ≌△AED 。
16、如图（16）AD ∥BC ，AD=BC ，AE=CF 。
求证：（1）DE=DF ，（2）AB ∥CD 。
17、如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，CD=DE ，E 是AD 上一点，连结BE 并延长交AC 于点F 。
求证：（1）BE=AC ，（2）BF ⊥AC 。
18、如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，
D 是AB 上一点，A
E ⊥GD 于E ，B
F ⊥CD 交CD 的延长线于F 。
求证：AE=EF+BF 。
19、如图：AB=DC ，BE=DF ，AF=DE 。
求证：△ABE ≌△DCF 。
20、如图；AB=AC ，BF=CF 。
求证：∠B=∠C 。
21、如图：AB ∥CD ，∠B=∠D ，求证：AD ∥BC 。
（图15）
E
D
C B A F （图16）
E
D
C B A F （图17）
E
D
C
B
A
F
（图18）E D
C
B
A F （图19）
E D
C B
A F E D C
B A
22、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：AF=DE 。
23、如图：AB=DC ，∠A=∠D 。
求证：∠B=∠C 。
24、如图：AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，
DE=BF 。
求证：（1）AF=CE ，（2）AB ∥CD 。
25、如图：CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD=OE 。
求证：AB=AC 。
26、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 都是
高，它们相交于点H ，且AH=2BD 。
求证：AE=BE 。
27、如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、
AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。
求证：（1）AD=AG ，（2）AD ⊥AG 。
（图21）
D C
B
A
F （图22）
E
D C
B
A （图23）D C
B A
F （图24）
E
D
C B
A O （图25）
E
D C B A
H
（图26）E
D
C B
A
G
H
F
（图27）
E D
C
B
A
28、如图：AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC
于D 。
求证：BD=DC 。
29、如图：△ABC 和△DBC 的顶点A 和D 在BC
的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AC 和DB 相交于O 。
求证：OA=OD 。
30、如图：AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线
上的一点。
求证：BF=CF 。
31、如图：AB=AC ，AD=AE ，AB 、DC 相交于点M ，
AC 、BE 相交于点N ，∠DAC=∠EAC 。
求证：AM=AN 。
32、如图：AD=CB ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 是
垂足，AE=CF 。
求证：AB=CD 。
33、如图：在△ABC 中，AD 是它的角平分线，
且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直AB ，AC ，垂
E D
C B
A O D
C B A
D
C
B
A
N
M E
D C
B A
F E
D
C
B A
足为E ，F 。
求证：EB=FC 。
34、如图：CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、
E ，BE ，CD 相交于点O 。
求证：（1）当∠1=∠2时，OB=OC 。
（2）当OB=OC 时，∠1=∠2。
35、如图：在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABD=
1
2
∠ABC ，BC ⊥DF ，垂足为F ，AF 交BD 于E 。
求证：AE=EF 。
36、如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB
的平分线的交点。
求证：点O 在∠A 的平分线上。
37、如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角
的平分线交于点D 。
求证：点D 在∠A 的平分线上。
38、如图：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，过
AD 的中点E 作EF ⊥AD 交BC 的延长线于F ，连结AF 。
求证：∠B=∠CAF 。
39、如图：AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AC 于E ，
DF ⊥AB 于F ，且BF=CE ，点P 是AD 上一
F E D
C B
A
O
E D
C B A F E
D
C B A O C
B A C
B A
F
E D
C B A。