DEA(数据包络分析法)讲义
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5个DMU 1个产出 2个投入 1年资料
5个DMU 1个产出 1个投入
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五、 DEA主要应用领域
• 1.经济体效率评价: 企业效率,银行效率, 铁路运营 地区FDI引进效率,投资基金业绩 中国各地区健康生产效率 • 2.运行过程评价: • 3.规模效率: 并购效率, 电力改革绩效,钢铁行业 中国轿车企业规模经济效率, 科研机构规模效益, 寿险公司规模效率 • 4.技术进步: 江淮汽车,中国全要素生产率估算与分析 农业创新系统,各省劳动生产率 • 5.其他方面: 衰退产业识别,物流园区投资规划,方案评价
n个 决策单元 (DMU)
权系数
m种输入
… y1j … y1n … y2j … y2n . . … . . yrj … . . . … . … ysj … ysn
u1 u2
权系数
ur us
s种输出
各字母定义如下: • • • • • • • xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0 yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0 vi -------- 对第i种类型输入的一种度量,权系数 ur -------- 对第r种类型输出的一种度量,权系数 i ----------1,2,…,m r ----------1,2,…,s j ----------1,2,…,n
以天津为例,为得到同样的总产值和财政收入,输入可减少到:
三、 DEA应用案例
2. 对经济效益的评价
--侯风华,张在旭,徐青.DEA方法在石油企业经济效益评价中的应用. 系统工程理论方法应用[J]2000.3:252-257
设研究对象为11个油田,将这11个油田简记为DMUj (j=1,2,…,11) 输入指标的选取:投资总额 ;职工总数; 销售成本;固定资产原值 输出指标的选取:原油产量(含天然气);利税总额; 新增探明储量(含天然气)
CCR模型的计算:
1952年,Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量ε,成功的 解决了计算和技术上的困难,建立了具有非阿基米德无穷小量ε的 CCR模型: m r _ + min θ − ε ( ∑ s + ∑ s ) = v d (ε )
j =1 s .t . n x jλ j + s − = θ x 0 ∑ j =1 n ∑ y jλ j − s + = y 0 j =1 λ j ≥ 0 s+ ≥ 0, s− ≥ 0 j =1
(P)
wT x0 = 1 w ≥ 0, µ ≥ 0
•
利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性,从 模型可以看出,该决策单元j0的有效性是相对其他所有决 策单元而言的。
•
对于CCR模型可以用规划P表达,而线性规划一个重要 的有效理论是对偶理论,通过建立对偶模型更容易从理论 和经济意义上作深入分析
最优解为 θ 0 , λ0 , s
0+
0− ,s
注:对于 ∀a f 0及∀N f 0,都有 N * ε p a,则 ε即为 非阿基米德无穷小量
CCR模型中变量的经济含义: • λj使各个有效点连接起来,形成有效前沿面;非零的s+、s-使 有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包络面。 • 在实际运用中,对松弛变量的研究是有意义的,因为它是一 种纯的过剩量(s-)或不足量(s+),θ则表示DMU离有效前沿 面或包络面的一种径向优化量或“距离”
j j = 1 j
s .t . ∑
(D)
x
j
+ s
−
+
= θ x
0
∑
λ
n
λ
j
y
j = 1
j
− s
= θ y
0
≥ 0 , j = 1,2 ,K s
+
n
−
θ 无约束,
≥ 0 , s
≤ 0
将上述规划(D)直接定义为规划(P)的对偶规划
几个定理和定义:
• 定理 1 线性规划(P)和对偶规划(D)均存在可行解, 所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj *与θ*, 则有hj *= θ*
∧ −0 ∧ +0
• 设
定理3
+0
设 x i j 0 = θ 0 xij 0 − S i , y rj 0 = yrj 0 + S r
− 其中 S r , S i 0 , θ 0 是决策单元j0对应的线性规划(D)的 ∧ ∧ 最优解,则( x i j 0 , y rj 0 )为DMUj 对应的(x0,y0)在DEA的相对有效 面上的投影,它是DEA有效的
• 规划P的对偶规划为规划D/:
min
θ
n j=1 j
s .t . ∑ λ
(D/)
x
j
≤ θx
0
∑
λ
n
λ
j
j=1
j
y
j
≥ y
0
≥ 0 , j = 1,2 ,K n
θ 无约束
• 为了讨论和计算应用方便,进一步引入松弛变量s+和 剩余变量s-,将上面的不等式约束变为等式约束,可 变成:
min
n
θ λ
• 上述规划模型是一个分式规划,使用Charnes-Cooper变 化,令:
1 t = T , w = tv, µ = tu v x0
可变成如下的线性规划模型P:
1 由t = t ⇒ wt x0 = 1 v x0
max h j 0 = µ T yo s.t.wT x j − µ T y j ≥ 0, j = 1,2,K n
CCR模型的解
CCR模型的解
根据上述的DEA有效性的判别定理,可知: • (1)达到DEA有效的DMU分别为: DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11 • (2)非DEA有效的DMU分别为: DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10 • (3)非DEA有效的DMU按定理3进行投影计算结果如后
DEA有效性的定义:
还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况: (1)如果存在λj*(j=1,2,…,n)使得∑λj*=1,则 DMU为规模收益不变 (2)如果不存在λj*(j=1,2,…,n)使得∑λj*=1,若 ∑λj*<1,则DMU为规模收益递增 (3)如果不存在λj*(j=1,2,…,n)使得∑λj*=1,若 ∑λj*>1,则DMU为规模收益递减
投影分析结果:
四、 DEA软件介绍
1.DEAP-Version 2.1(Win4deap 1.1.2)
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm
2.FRONTIER-Version 4.1C
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm 3.Efficiency Measurement System - Version 1.3.0 http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/ 4.LINDO软件
一、 DEA方法简介
数据包络分析方法( DEA,Data Envelopment Analysis )由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出, 该方法的原理主要是通过保持决策单元(DMU, Decision Making Units) 的输入或者输入不变,借助于数 学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面,将各个决 策单元投影到DEA的生产前沿面上,并通过比较决策单元 偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。
• 对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数:
u y hj = T i = v xj
T
∑u y
r =1 mn r
s
rj
∑v x
i =1
, j = 1,2,K , n
i ij
我们总可以适当的取权系数v和u,使得 hj≤1, j=1,…,n
•
对第j0个决策单元进行效率评价,一般说来,hj0越大表 明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。 这样我们如果对DUMj0进行评价,看DUMj0在这n个 DMU中相对来说是不是最优的,我们可以考察当尽可能 的变化权重时, hj0的最大值究竟是多少。
0 0
DEA有效性的定义:
我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效: • (1)θ*=1,且s*+=0,s*-=0。则决策单元j0为DEA有 效,决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效 • (2)θ*=1,但至少某个输入或者输出大于0,则决策单 元j0为弱DEA有效,决策单元的经济活动不是同时为技术 效率最佳和规模最佳 • (3) θ*<1,决策单元j0不是DEA有效,经济活动既不是 技术效率最佳,也不是规模最佳
DEA方法以相对效率概念为基础,以凸分析和线形规 划为工具的一种评价方法,应用数学规划模型计算比较决 策单元之间的相对效率,对评价对象做出评价,它能充分 考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案,因而能够更 理想地反映评价对象自身的信息和特点;同时对于评价复 杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。
DEA方法的特点: 适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题,在处理多 输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势 DEA方法并不直接对数据进行综合,因此决策单元的最优 效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关,应 用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理(当 然也可以)
DEA方法的特点: 无须任何权重假设,而以决策单元输入输出的实际数据求 得最优权重,排除了很多主观因素,具有很强的客观性 DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出,且输 入输出之间确实存在某种联系,但不必确定这种关系的显 示表达式
二、 DEA基本原理和模型
定义:
v1 v2 vi vm 1 2 3 … j 1 x11 x12 x13 … x1j 2 x21 x22 x23 … x2j . . . . . . . . . . . Xij . . . . . . m xm1 xm2 xm3 … xmj y11 y21 . . . ys1 y12 y22 . . . ys2 y13 y23 . . . ys3 … n … x1n … x2n … . … . … . … xmn 1 2 . . . s
• 如以第j0个决策单元的效率指数为目标,以所有决策单元 的效率指数为约束,就构造了如下的CCR(C2R)模型:
max h j o =
s
∑u y
r =1 m r
s
rj o
∑v x
i =1
i ij o
s.t. r =1 m
Байду номын сангаас
∑u y
r
rj
∑v x
i =1
≤ 1, j = 1,2, K n
i ij
u ≥ 0, v ≥ 0
0
三、 DEA应用案例
1.对生产水平的相对有效性分析 --梁敏. 边馥萍.生产水平的相对有效性分析. 数量经济技术经济研究[J]2003.9:91-94
利用含有非阿基米德无穷小ε的CCR模型,对北京地 区建立如下模型:
同样建立其他三个直辖市的模型,求得的解如下:
由定理3可知,对于非DEA有效的DMU,可将其投影 到DEA有效面,即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU
应用DEA方法对经济体 方法对经济体 应用 效率的评价
西安交大经济管理学院
目
录:
DEA方法简介 一、 DEA方法简介 DEA基本原理和模型 二、 DEA基本原理和模型 DEA应用案例 三、 DEA应用案例 DEA软件介绍 四、 DEA软件介绍 五、 DEA主要应用领域 DEA主要应用领域 DEA最新研究进展 六、 DEA最新研究进展 七、DEA主要参考文献 DEA主要参考文献
0 0
定义1 若线性规划(P)的最优值hj *=1,则称决策单元 DMUj 为弱DEA有效
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定义2 若线性规划(P)的解中存在w*>0,μ* >0, 并且最优值hj *=1,则称决策单元DMUj 为DEA有效的
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• 定理2 DMUj 为弱DEA有效的充要条件是线性规划 (D)的最优值θ*=1; DMUj 为DEA有效的充要条件是 线性规划(D)的最优值θ*=1,并且对于每个最优解λ*, 都有s*+=0,s*-=0
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六、 DEA最新研究进展