平行板电容器中介质的受力分析

平行板电容器中介质的受力分析引言: 对于平行板电容器的受力问题，前人大多研究理想情况下平行板电容器的受力，即通过改变电容的大小研究其受力情况。

本文的设想是把电介质放入平行板电容器中电介质在电场的作用下一定会发生变化，必然产生电偶极子，电偶极子在电场中必定会受力，一旦电偶极子受力就会发生位移变化，那么必然存在做功问题，那么就可以从能量角度去分析它的受力，进而得出的两个结果一定是相等的，本文通过例题去检验其确性。

1 介质受力公式的推导（从宏观上理论推导）介质在进入平行板电容器的过程中（假设电量Q 不变），纵向电场使介质极化所做之功转化为介质的极化能，这仍是电容器储能的一部分，根据能量守恒定律，插入介质后电容的静电能应不变，但是由电容器的能量公式W=Q*Q/2C ，当C 增大时，能量却是减少的，矛盾的出现说明我们一定忽略了某些相互作用的存在，为了避开繁琐的力分析，下面，我们将从能量的角度出发，通过数学方法导出平行板电容器中介质的受力的计算公式。

一个平行板电容器，其中部分地充入介质常数为E(p(m),r)(介质常数一般不仅是空间r 的函数，而且还是介质的质量密度p(m)的函数)并且无自由电荷的介质，假设介质沿X 方向作一个无限小位移X ，则电容器的储能变化为22111222W V V vVD EDdV dV EDdVE dV δδδδεε===-⎰⎰⎰⎰ 式(1-1)而 E 0D ρ=-∇Φ∇==则 ()2212VvV VDdv E dV D D E dV δφδδεδδδε=-∇-=-∇Φ+Φ∇-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ =2212SvVVDd s dV E dV E dV δδρδεδε-Φ+Φ--⎰⎰⎰⎰ 式(1-2) 其中在无穷大界面的值为零，而介质中已设自由电荷密度为零。

对于介质给定的一个无限小位移0X ，相对于空间的一个固定体积来说，必有：0()m m X vSvdV d s X dV δρρρ=-=-∇•⎰⎰⎰ 式(1-3)则 ()()00,x x m mm m m m ρρεδρρεδερδρ•∇∂∂-=∂∂=•∇=而()dV E X X E V dV X E V M MM M M M V w ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇•-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂•∇=•∇∂∂=ρερρρερρεδ200222121 dV E X dV E X s d X E M M V M v m V M M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇•-•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰ρερρερρρε202002212121 式(1-4)A 电量Q 恒定当介质位移0X 时，电场对介质作的功等于电容器储能的减少，即2222211()()22m M M M M M M M M M v V F E dV E E E E dVεεεεερρρρρρρρρρ⎡⎤∂∂∂∂∂=∇=∇+∇-∇-∇⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦⎰⎰B 电压U 恒定电源所作之功一部分转化为电容器的储能，另一部分对介质做功转化为机械能，即有W XF Udq δ-=•-⎰00X F dq U v•-⎰=dV E E X MM V)(21220ρερ∂∂∇•⎰⎰=dC U 2dV E X X F ε∇-•=•-⎰20021举例说明：例1 如图所示图1.1一个平行板电容器，带电量为Q ，宽为b ，长为L ，两级板间的距离为 d ，其中部分地冲入电介质常数为ε 的均匀电介质，求介质所受的力。

解：在介质内部，0=∇ε 则 F 内=0，所以介质所受到的力只出现在介质到真空的过度层中，显然作用在极板上下界面的作用大小相等，方向相反，相互抵消。

在侧面上，假定介电常数迅速而连续地从ε降到0ε，略去边缘效应后有：E E E ==21 由上面推导公式可知x Sx x x V e db E e dydz E e dydz dx e X E dV E F )(212121210222200εεεεεεεεε-=∂-=∂∂-=∇-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰式(1-5)因为C 总=C 介+C 真=()[]dx b dbx dbxr 11)1(00-+=-+εεεε 式(1-6)则 E=()[]X b Qcd Q R 110-+εε即()[]()()[]xr r x r r e x b d Q e bd x b Q F 2020*******)1(1112-+-=--+=εεεεεεε （0<x<1） 当介质全充入电容器时，由于 0=∇ε，则 0=F 介质不再受横向作用力，这于上面公式推导公式一致的。

例2 如图所示图1.2一个平行板电容器，在宽为 b 长为L ， 两板之间距离为 a ，电源电压恒为0U其中部分地充入介电常数为均匀电介质，求电介质受到的力 解 ： 上面公式可得dV E X X F dC U ε∇-•=•-⎰⎰200221()()()0000011111r r b x U C ab x x C aεεεε+-⎡⎤⎣⎦=+-++⎡⎤⎣⎦=02000020002200022)1(2)1()1(2100x ab U X F x ab U X F ax b U dydzdx e X E X X F dC U r r r x C C -=•-+•=-∂∂-•=⎰⎰⎰⎰εεεεεεεεε因为介质只能沿 x 方向运动，所以介质受到的合外力只能沿x 方向，即 00>•X F所以，F 只能沿 X 正方向。

则有，x r e ab U F 2)1(020-=εε 2 用库仑定律求插入介质板后介质的受力公式（从微观角度出发）在电场中的电介质要受到电场作用而极化成偶极子（电偶极矩L q p =）。

当偶极子处于电容器中间的均匀场中，如图所示： E q F -=-E qF =+ L q P =E P M ⨯=(A)在均匀电场中的一个偶极子图2.1 偶极子的正端受力一向右的拉力E q ，负端受力 一向左的拉力- Eq 作用在这个位置上的偶极子的净力和力矩都是零。

如图所示（B ）作用在偶极子上的力矩是E P M ⨯=图2.2偶极子和电场方向成角度θ，显然受到一个力矩的作用。

取偶极子的中心为原点，故-+⨯-⨯==F r F r M lr )(,2故有是一个和图面垂直的矢量，它的大小是EP M pE lqE Eq Eq M ⨯===+=即θθθθsin sin sin 21sin 21式(2-1)偶极子在图（A ）中的方位时，能量最低，把它转到任何其他位置都必须对它做功，现在计算一下，将偶极子从和电场平行的位置转到某角度所需要的功，如图所示：(C) 将偶极子的方位从和电场平行的方向转到图中所表示的方向所作的功是()0cos 1θρ-E图2.3偶极子在图（a ）中的方位时，能量最低，把它转到任何其他位置都必须对它做功，现在计算一下，将偶极子从和电场平行的位置转到某个角度0θ 所需要的功，如图（c ）所示。

转过无穷小角度 d θ 所需要的功是θmd 。

因此，所做的总功是()00cos 1sin 0θθθθθθ-==⎰⎰pE d pE md将偶极子反转把他倒个头这相当于πθ=0，所需的功等于 2PE 。

偶极子在任何均匀电场中所受的净力，不论其取向如何，显然为零，不均匀的电场中，作用在偶极子的两端的力一般不是正好是大小相等，方向相反的，而是有一净力作用在偶极子上。

当偶极子处于平行板电容器边缘区的不均匀电场中，如图（3 ）所示(l r E图2.4组成电极子的两点电荷所在位置的电场强度分别是()r E 和()l r E +则 作用于这个偶极子的力是 ()()r E a l r E a f -+= 式(2-2)由于两点电荷间的距离远小于电介质的线度，故可用泰勒极数开为()()()()()()()()r E l r E r E z lz r E y ly r E x l r E l r E x∇•+=∂∂+∂∂+∂∂+≈+ 因此，作用于这个电偶极子上的力是 ()()()()r E p r E l q f ∇•=∇•= 对于体积为 D V 的电介质，所受的总作用力为⎰∇•=DV E P d F )(式中，表示在 d V 体积内的电偶极矩 dv p p d =,p 是电介质的极化强度矢量E p )(0εε-= ε和 0ε 分别表示电介质的介电常数和真空介电常数在线性均匀介质中 ε 是一定的。

将这些关系带入 E P dF DV ⎰∇•=)(可得()()E dV E dvF ⎰∇•-=0εε 利用矢量恒等式()()dVE F E ，E E E B A A B A B B A B A B A D V 202212)()()()()(∇-=∇•=∇==⨯∇⨯+∇•+⨯∇⨯+∇•=•∇⎰εε于是上式可以写成为则有使式(2-3)这是电介质受力的一般表达式。

在对称情况下，对所有偶极子所受力的力求合力，只有X 方向的合力不为零，因此，上一式可改写为()故在电场强度均匀部分，XE ，dV X E iF D V 0ˆ21220=∂∂∂∂-=⎰εε 式(2-4)0=F若这片电解质左手端远离边缘电场，而右手端均在均匀电场中。

则对X 的积分可写成()()iU d b F ，E j a U E ，dydzE E V iF D ˆ210,ˆˆ212000220εεεε-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰于是可以得到而左手端是右手端的电场是然而左右左右其中 a 为两极间距离，b 为极板宽度。

当电量Q 一定时， 由（r εεε0=）CQ U UQC ==带入 ()i U d b F ˆ21200εε-= 可以得到下面的式子： ()()[]22211121x Q b d F r -+-=εεε 因此从宏观上和微观上通过数学推倒都是一样的，能量的计算自动把一复杂问题以下子简化，使对问题分析大大减少运算量，这样一来给我们计算复杂问题带来了方便。

从而进一步说明了理论的推导的正确性。

结论：通过对平行板电容器中电介质受力的研究，进一步说明平行板电容器的受力确实是通过电介质的受力来影响的。

以后可以把一个比较复杂的平行板电容器中电介质受力问题通过从能量的角度去分析，这样大大简化了运算过程。

但是因为本文是从数学的角度去推导的，用大量的积分公式，求导公式，有的公式存在假设条件，带有很强理论性，没有通过实验去验证。

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