基于偏激分方程(PDE)图像去噪方法综述
基于PDE的图像降噪方法
基于PDE的图像降噪方法
李小林;刘传才
【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(24)3
【摘要】回顾了3种传统的PDE图像降噪方法,即φ函数、基于散度的PDE和基于拉普拉斯算子的扩散PDE;指出了可将扩散方程与自由薛定锷方程结合,形成新的基于复扩散的图像降噪处理方法.
【总页数】5页(P249-253)
【作者】李小林;刘传才
【作者单位】福建农林大学,计算机与信息学院,福州350002;南京理工大学,计算机系,南京210094
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.4
【相关文献】
1.基于混合拉普拉斯模型和EM算法的图像降噪方法 [J], 张正杰
2.基于三维块匹配的红外图像降噪与缺陷量化方法 [J], 刘佳琪;张志杰;董宁琛;尹武良;赵晨阳
3.一种基于深度学习的非局部均值图像降噪方法 [J], 刘建宾;刘保中
4.基于生成对抗网络和噪声水平估计的低剂量CT图像降噪方法 [J], 张雄;杨琳琳;上官宏;韩泽芳;韩兴隆;王安红;崔学英
5.基于PDE方法的图像力触觉再现方法研究 [J], 田磊;宋爱国;王蔚
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基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述
Ｓｃｉ ｃｅ ｅｎ ａｎｄ Ｔｅｃｈ ｏｇｙ ｎ ｎｏｌ ｌ ｎｏｖ ｉ Ｈｅｒ ｄ ａｔ ｏｎ ａｌ
工 程 技 术
基 于偏 激 分方 程 （ 的图像 去噪 的 方法 综述 Ｐ Ｅ） Ｄ
刘 晓娜 冯培 娟 沈 小凤 （ 中央 民族 大学理 学院 北 京 １ ０ ８ ） ０ １ ０
１引言
模 图 像 去 噪 是 数 字 图 像 处 理 中 的一 个 经 典 问 题 。 着 数 字 图像 方 程 代 替 高斯 平 滑 滤 波 ， 型 为 ： － 随 处理技术的发展， 大量 数 字 图像 经 由信 道传 输 或 通 过 介 质 保 存 。 图
￣ｄ（ Ｖ ＝（ｕ“ ｉＩ ） ｖ ｃＶ
摘 要： 偏微分 方：（ Ｅ） ￣ － ＰＤ 方法 ， 图像处理 中的一种较新 的方法 ， 着很 强的数 学基础 ， 图像处理 中的应 用发展 非常快 。 是 有 在 本文将近 几年 应 用较 多的几种 图像去噪方 法进 行 了系统 的概括总结 ， 出了该领域 的学者是如何 一 步步进行 改进得 到新 方法的 ， 指 并对该镊域 的发展做 了新 的 展 望 。 关键词 ： 图像 去噪 偏微 分方程 平 滑滤波 总变差 中 图分类号 ： Ｐ Ｔ ３ 文献 标 识码 ： Ａ 文章编号 ： ４ ０ （ ０ １０ （） Ｉ ０ ０ １ － ９ ｘ ２ １ ） ７ｂ一０ １ － ２ ６ ７ ｓ
，
Ｉ 。
ｌ 、
方法 ， 指 出 了 它们 之 间 的 联 系 。 并
２ 图像去噪模型
偏微 分 方 程 与 图像 去 噪 的结 合 产 生 了许 多模 型 ， 体上 可 以 分 大 为两大类： 一种 是 基 本 的迭 代 格式 ， 着时 间 的变 化 更新 ， 得 图像 随 使 向所 要 得 到 的 效 果 逐 步 逼 近 ， 种算 法 的 代 表 为 Ｐ ｒ＂ 和 Ｍａｉ［ 这 ｅｏ 口 ｌ ｋ】 的方 程 以及 对 其 改进 的 后 续 工作 。 方 法 在前 向扩 散 的 同时 具 有 向 该 后扩 散 的 功 能 ， 以具 有 平 滑 图 像 和边 缘 锐 化 的 能 力 ， 所 并且 扩 散 系 数有 很 大 的选择 空 间 。 但是 该 方 法是 病 态 问题 ， 在应 用 中 不稳 定 。 另 种 是 基 于 变 分 法的 思 想 ， 定 图 像 的能 量 函数 ， 确 通过 求 能 量 函数 的最 小 值 ， 得 图像 达 到 平滑 状 态 ， 在 得到 广 泛应 用 的 总 变差 Ｔ 使 现 Ｖ （ ｔｌ Ｔｏａ Ｖａｉｔ ｎ 模型“ 是这 一 类。 到合 适 的能 量方 程 ， ｒａｉ ） ｏ １ 就 找 保证 演 即对 进行了高斯正则化， Ｖ ｕｔ ）代替ｆ ｌ 克服了 用ｌ （ ｒ ， Ｖ ， 化 的稳 定性 获 得 理想 的 结 果 是这 类 方 法的 关 键所 在 。 比第 一 种方 它 “对 噪 声 敏 感 的 问题 。 则化 模 型 的 解 是存 在 唯 一 的 ， 且 关 于 正 并 法稳 定 ， 具 有 明确 的 理论 解 释 ， 且 是现 在普 遍 应 用的 方 法 。 变 分 不 全 具备 后 向扩 散 的 能 力 ， 理 的 图 像 模糊 ， 处 无边 缘 锐 化 。 文 以 Ｐ 本 Ｍ模 初 值 是 稳 定 的 。 Ｎｉ ｂ ｒ — ｈ ｏ ａ 出Ｐ ｔ ｅｇ ｓ ｉｔ给 ｚ Ｍ模 型 的 一个 时域 正 则 化 形 式 ： 型 和ＴＶ模 型 为基 础 ， 详 细介 绍对 其 改 进 的后 续 工 作 。 并 ２ １迭代去 噪模 型 ．
一类带时滞pde模型在图像去噪中的理论研究
一类带时滞pde模型在图像去噪中的理论研究近些年来，随着大数据的发展，图像处理技术已经发展成了现代数字化技术的一个重要组成部分。
特别是图像去噪是图像处理技术中最重要的一个方面，它可以有效地抑制图像中的噪声，提高图像的品质，满足计算机视觉系统中计算图像信息的要求。
在这种情况下，一类带时滞PDE模型(t-PDE)可以依据图像去噪问题中时滞特性的性质，借助PDE（Partial Differential Equation，把一类带时滞PDE模型用于图像去噪可以很好地解决处理噪声图像的问题。
因此，研究一类带时滞PED模型对于图像去噪的理论研究具有重要的意义。
首先，我们来看看一类带时滞PDE模型的性质。
一类带时滞PED 模型是一种有限差分模型，具有简单的数学框架。
它使用了PDE来描述时滞系统，使用一维或二维空间结构来描述时间变化，因此可以更好地模拟现实中的真实图像信号变化。
此外，t-PDE模型的表达式可以清晰地描述噪声的极性和大小，从而使得图像去噪过程更加准确。
其次，我们来看看一类带时滞PDE模型是如何应用于图像去噪的。
一般而言，t-PDE模型在图像去噪中使用的最常见的应用包括所谓的空间噪声抑制算法，这种算法以滤波器的形式将时间域中的噪声抑制到图像信号上。
此外，t-PDE模型可以应用于像素值预测，集成式图像去噪和多层次图像去噪中。
在上述应用中，t-PDE模型的主要功能是提取图像的噪声特征，并使用时间窗口和空间窗口来抑制噪声，以获得更优的图像去噪效果。
此外，深度学习技术可以结合一类带时滞PDE模型的优点，应用于图像去噪中。
现在有很多研究者利用深度学习技术来实现图像去噪，例如利用卷积神经网络（CNN）来提取噪声特征，从而达到抑制噪声的目的，而使用t-PDE模型可以在这个过程中使用PDE去模拟图像中时滞特性，以达到更准确的抑制目的。
最后，我们来看看一类带时滞PDE模型在图像处理中的发展趋势。
一类带时滞PED模型的优点，使它成为图像去噪的有效工具，能够有效地抑制图像中的噪声，提高图像的品质。
基于偏微分方程的图像去噪算法对比和改进
基于偏微分方程的图像去噪算法对比和改进作者：刘会林罗聪秦琴张紫茵来源：《数码设计》2017年第03期摘要：对比主流图像去噪算法模型并利用信噪比衡量图像中所含噪声比例，先用高斯噪声模型对图像进行加噪得到含噪声的噪声图像，再采用三种去噪算法对该噪声图进行去噪最后对比实验结果做出改进。
实验结果表明，运用全变分去噪方法能够更好地权衡图像边缘信息及细节纹理特征之间的关系，且参数更具有稳定性。
改进的全变分去噪算法继承了原有偏微分方程算法的优点，提高了传统全变分算法的运行效率，在边缘区域实现了扩散的同时保护了边缘并且可以较为明显地提高信噪比以及直观的视觉质量。
关键词：图像去噪；偏微分方程；噪声模型；全变分中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2017）03-0015-05Abstract： Comparing with the mainstream image denoising algorithms and using SNR （signal-to-noise ratio） to measure the noise ratio of the image. Firstly， adding noise to the image by using Gaussian noise model to get a noisy image. And then， using three kinds of mainstream denoising algorithms to denoise the noisy image and making improvements by comparing the experimental results. The experimental results show that the total variational denoising method can balance the relationship between image edge information and detail texture features in a better way，and the parameters are more stable. The improved total variational denoising algorithm inherits the advantages of the original partial differential equation algorithm， improves the efficiency of the traditional total variational algorithm， achieves anisotropic diffusion in the edge region and protects the edges of the image， and can obviously improve signal-noise ratio and visual effects.Key words： image denoising； partial differential equation； noise model； total variation引言图像噪声是在信息传输过程中由于各种原因对图像造成的污染且很大程度上影响了图像细节的真实性，所以必须对这些噪声进行有效去除[1]。
偏微分方程---图像去噪
基于偏微分方程(PDE)的图像去噪/ZJ r 目录 Z 7辭微分方程图像处理发展过程 戈石微分方程图像处理数学基础唇•三、偏微分方程图像处理的优缺点及应用■■结构• ■、偏微分方程去噪问题的研究• 4.1各向同性扩散（热扩散模型）4・2 P ・M 非线性扩散•五、偏微分方程其他方面的简略介绍在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像处理研究领域占据着重要地位。
徧微分方程图像处理发展过程•使刑偏微分方程处理图像的思想可以追溯Gabor 和Jain。
但是这种方法真正建立起来是Koenderind 丁和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺」度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把】一组图像同时在多个尺度上表述。
•他们的贡献在很大程度上构成了偏微分方程图像处理理论的基础。
在他们的研究工作中，图像的多尺度表示是通过高斯平滑来获得的，这等价于利用经典的热传导方程来演化图像得到一个各向同性扩散流』匸在0）年代末，Hummel提出热传导方程并不厂是唯一可以产生尺度空间的抛物方程，并提出构成尺度空间的准则:只要满足最大原则的演化方程就可以定义一个尺度空间。
• Perona和Malik提出各向异性扩散方程在这个领域最具有影响力。
他们提出用一个保持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian 扩散。
他们的工作引发了很多理论和实际问题的研究。
• Osher和他的研究小组提出了几何制约的偏k微分方程，其中最著名的是曲率流。
,•曲率流是“纯粹的”各向异性扩散模型，'它使图像灰度值的扩散只发生在图像梯度的正交方向上，在保持图像轮廓精确位置和清晰的同时沿轮廓进行平滑去噪。
■^psher和Rudin关于激波的研究以及关于TV 旷模型的研究工作更突出了偏微分方程在图\ 像处理中的重要性，这些方法成功之处在于将图像视为由跳跃边缘连接而成的分片光滑函数（曲面），从而与某种偏微分方程的分片光滑解联系起来。
基于偏微分方程的医学图像去噪
代入极值条件方程可以得到一个二阶微分方程
∇ u −∇ • + λ (u − ∇ u
这样求最优的 ｕ 的问题就转化为求解此微分方 程的问题。求解此微分方程有多种方法如剃度下法 ， 法等这里我们用剃度下降法。我们将
∇u β =
∇u ∂u = ∇ ⋅ ∂t ∇ u
利用离散快速迭代算法如下 ：
Á
这样就可以把此迭代过程看作一个非线性滤波
过程， 对于边缘的像素点， u 较大， 就可以保持原始 图像上的像素值。迭代次数的确定可以根据所要求的 精度， 由前后两次迭代的最小误差确定， 误差越小去 噪能力越强 ， 此时的运算速度也会相应增加。
对这种方法进行了实验 ， 实验对一含有噪声的膀
胱结石图像进行了去噪处理实验结果如图 （ ａ ） （ｂ）所示
∫ u 到的结果 仍然有很多 噪声 ， 而由范 数 ∇u d Ω 的结 ∫
最优准则求出的结果并不理想。由范数
Ω Ω
∫ u
Ω
Á
dΩ 或
２ ＴＶ 滤 波 器 去 噪 原 理 及 实 现
衡量 的尺度。函数的 ＴＶ 定义为积分 “最优”
ＴＶ（Ｔｏｔａｌ Ｖａｒｉａｔａｉｏｎ）准则是用图像函数的 ＴＶ 作为
这样定义的优点是对于超平面上的不连续函数 ＴＶ 仍 变成在上述两个约束条件下求使 ＴＶ 能量最小的 ｕ 用 ＴＶ 模型可以定义图像的能量函数为
软件天地
文章编号 ：１００８－ ０５７０（２００６）０９－ １－ ０２７６－ ０２
中文核心期刊 《 微计算机信息》（ 测控自动化 ）２００６ 年第 ２２ 卷第 ９－１ 期
基于偏微分方程的医学图像去噪
Ｍｅ ｄ ｉｃａ ｌ Ｉｍ ａ ｇ ｅ Ｄｅ ｎ ｏ ｉｓ ｉｎ ｇ Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ＰＤＥ
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述摘要:偏微分方程(PDE)方法,是图像处理中的一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。
本文将近几年应用较多的几种图像去噪方法进行了系统的概括总结,指出了该领域的学者是如何一步步进行改进得到新方法的,并对该领域的发展做了新的展望。
关键词:图像去噪偏微分方程平滑滤波总变差1 引言图像去噪是数字图像处理中的一个经典问题。
随着数字图像处理技术的发展,大量数字图像经由信道传输或通过介质保存。
图像在传输或存储过程中受到外界物理条件的限制,所产生的噪声会影响图像的视觉效果。
而在众多的应用领域中,又需要清晰的、高质量的图像,因此,图像去噪是一类重要的图像处理问题,同时也是其它图像处理的重要预处理过程,对后继处理带来很大的影响。
基于偏微分方程(PDE)的方法进行图像处理因具有各向异性的特性,自适应性强,能够在平滑噪声的同时更好的保持边缘与纹理等细节性息,故在过去的二十几年中获得了巨大的发展。
这个领域的实质性的创始工作归功于和各自独立的研究。
他们严格地介绍了尺度空间理论并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波和求解以原图像为初值的热传导方程等价。
然而由于高斯滤波是各向同性扩散,在去除噪音的同时模糊了边界。
改进滤波技术,在去噪的同时能完好的保存边缘等重要信息,一直是这一领域的目标。
本文详细介绍了现存的基于PDE的图像去噪的主要方法,并指出了它们之间的联系。
2 图像去噪模型偏微分方程与图像去噪的结合产生了许多模型,大体上可以分为两大类:一种是基本的迭代格式,随着时间的变化更新,使得图像向所要得到的效果逐步逼近,这种算法的代表为的方程以及对其改进的后续工作。
该方法在前向扩散的同时具有向后扩散的功能,所以具有平滑图像和边缘锐化的能力,并且扩散系数有很大的选择空间。
但是该方法是病态问题,在应用中不稳定。
另一种是基于变分法的思想,确定图像的能量函数,通过求能量函数的最小值,使得图像达到平滑状态,现在得到广泛应用的总变差TV(Total Variation)模型[4]就是这一类。
偏微分方程---图像去噪
• 国防科技大学的谢美华等从偏微分方程去 噪模型出发 ，论述了噪声抑制的原理。
• 考虑到传统的各向异性扩散模型无法正确 的对边缘定向，提出了一种基于边缘定向 增强的各向异性扩散去噪方法，首先利用 基于非线性光滑算子的边缘定向算子对边 缘定向然后利用边界信息确定扩散张量， 从而达到既保护边界又具有良好的去噪效 果。
• 在局部坐标意义下我们可以更加直观的从
几何意义上分析其处理效果。
• 设 ξ 代表图像在某像素处的梯度方向，η
代表与梯度垂直的方向，那么上述扩散方
程可以在由 ξ 和 η 张成的局部坐标系下
表示为:
• 对于PM扩散模型，在图像的平坦区域，
C1(u) C2 (u) 进行各项同性扩散；
• 在图像的边界或纹理等梯度比较大的像素
• 只有在空间定义域和灰度值上都离散化了 的图象才能被计算机处理，这种离散化图 象称为数字图象，空间离散化称为空间采 样，灰度离散化称为灰度量化。
目录
• 离散图象的模型用u: xΩ [0,255]表示，
这里x=(x,y)是离散的，[0, 255]表量化的 256个灰度级。
• 尽管图象在计算机中以上述离散形式存储 ，但由于在空间采样与灰度量化上这种离 散化都足够精细，从而可以用连续(或分段 连续)的数学函数近似。
在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像 处理研究领域占据着重要地位。
• 使用偏微分方程处理图像的思想可以追溯 到Gabor和Jain。
• 但是这种方法真正建立起来是K源自enderind 和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺 度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把 一组图像同时在多个尺度上表述。
处，C1(u) = C2 (u) 此时图像沿着与几乎与
基于PDE的图像降噪方法的研究综述
基于PDE的图像降噪方法的研究综述摘要：回顾了三种传统的PDE图像降噪方法，即j函数、基于散度的PDE 和基于拉普拉斯算子的扩散PDE这三种图像降噪方法，并指出可将扩散方程与自由薛定锷方程结合形成新的基于复扩散的图像降噪处理方法。
关键词：函数；拉普拉斯算子；PDE；复扩散1引言实际的图像常受一些误差的影响而发生退化，这种退化就称之为“噪声”，可将噪声视为“妨碍人们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素”[1~3]。
噪声一般由其概率特征来描述。
根据处理的目的一般有两种不同的降噪方法：一是平滑，其目的在于抑制噪声或其他小的波动，但平滑也会使含有图像重要信息的明显边缘变模糊。
二是梯度算子，梯度算子的作用是在图像中显现这些位置。
但如果在图像中使用梯度算子，也会同时抬高噪声水平。
很明显，平滑和梯度算子的目标相互抵触，因此需要寻找解决上述问题的方法。
自上个世纪80年代末，偏微分方程（PDE）开始用于解决传统的计算机视觉问题，像图像降噪问题等。
PDE可以描述高度非线性和迭代性的连续对象的演变如曲线、曲面或者向量场等。
用PDE表示的曲面、曲线或者向量场来模型化并进行演变已成为一种自然的图像处理方式。
2 图像降噪处理及变分PDE方法2.1 图像降噪处理可将图像降噪处理视为一个输入—输出系统，即是噪声图像或者模糊的图像。
I是降噪和增强后的图像。
是图像降噪处理器，可以表示为减少模糊和降噪。
u0 = Ku+n，u0是原始图像，K是模糊核，n是加性噪声。
u是降噪和增强后的图像。
由此可见，图像降噪处理解决两个问题：一是如何模型化和表示原始图像I0；二是模型化图像降噪处理器。
原始图像模型化的方法将影响图像降噪处理的方法。
对原始图像模型化和表示的方法有很多种，应用PDE方法进行图像处理时，往往基于Mumford和Shah的对象边缘模型和Rudin、Osher和Fatemi的BV模型。
其中BV模型[4]常用于数字图像处理。
该模型假设理想的图像是有界的总体变分，因此，图像的降噪处理器可以用变分优化的方法加以实现。
基于PDE的图像去噪
山东大学硕士学位论文基于PDE的图像去噪姓名：崔峰峰申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：黄淑祥20080508基于PDE的图像去噪作者：崔峰峰学位授予单位：山东大学1.学位论文张莉基于对偶树复小波的图像处理研究2006基于对偶树复小波的图像处理研究张莉摘要20世纪80年代后期发展起来的小波变换因其在处理非平稳信号方面的独特优势而成为信号去噪领域中的一个重要研究方向。
近年来，随着小波理论的不断完善，小波变换在图像去噪领域也得到了广泛的应用，并提出了许多小波图像去噪方法。
离散小波变换虽然广泛用于图像去噪中，但离散小波变换存在两个缺点：1、缺乏平移不变性，这意味着信号的微小平移将导致各尺度上的小波系数的能量分布的较大变化。
2、缺乏方向敏感性，可分离的二维小波变换只有三个方向的高频信息即水平、垂直和对角。
利用对偶树复小波变换进行图像去噪，可以克服上述离散小波变换的不足。
本论文主要围绕对偶树复小波变换及其在图像处理中的应用来进行研究。
主要进行了以下几个方面的工作：(1)对常用的小波变换图像去噪方法进行了研究，并在此基础上提出利用对偶树复小波变换进行图像去噪。
(2)介绍了对偶树复小波变换的原理和特性。
对偶树复小波变换具有近似的平移不变性、良好的方向选择性，与此同时，它还具有完全重构特性。
对偶树复小波变换在每一层产生六个具有方向选择性的子带，分别指向±15°，±45°，±75°。
将对偶树复小波变换应用于图像去噪，可以更好地表示图像的边缘和纹理特征，从而得到较小波更好的去噪效果。
(3)提出对偶树复小波变换和贝叶斯估计确定阈值相结合的图像去噪方法。
与常用的离散小波变换相比，该方法具有逼近的移不变性和更多的方向选择性，有利于特征的跟踪、定位和保留。
结合贝叶斯估计技术和自适应分布参数确定方法，给出了有效的图像去噪算法。
结果表明，该方法去除噪声彻底，边界、纹理等特征保留较好。
PDE-一种基于偏微分方程的日志压缩超声图像去噪方法(IJIGSP-V3-N3-3)
Abstract—Speckle noise is widely existence in coherent imaging systems, such as synthetic aperture radar, sonar, ultrasound and laser imaging, and is commonly described as signal correlated. In this paper, we focus on speckle reduction problem in real ultrasound image. Unlike traditional anisotropic diffusion methods usually taking image gradient as a diffusion index, in this paper, we present a new texture based anisotropic diffusion method for speckle reduction in real ultrasound image. The results comparing our new method with other well known methods on both synthetic images and real ultrasound images are reported to show the superiority of our method in keeping important features of real ultrasound images.
A Log-compressed ultrasound image model is proposed in [14]:
基于PDE的图像去噪方法
２ ０ １ ５ 。 ５ １ （ １ ６ ） ： １ ４ ２ － １ ４ ５ ．
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｓ ｈ ｏ ｒ ｔ ｃ ｏ ｍｉ ｎ ｇ ｏ ｆ Ｐ。 Ｍ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕｓ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｌ ｆ － ｓ ｎ ａ ｋ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｄ ｕ ｒ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ
等 细 节信 息 。 关键 词 ： 图像 去 噪 ； 自蛇 模 型 ； 偏 微 分 方程 （ Ｐ Ｄ Ｅ ） ； 非线 性 扩 散
文献标志码 ： Ａ 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ７ ７ ８ ￣ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ２ ． ８ ３ ３ １ ． １ ４ ０ ６ — ０ ０ ６ ９
ｅ ｄ ｇ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒ ｖ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｏ ｂｔ ａ ｉ ｎｅ ｄ ｔ ｏ ａ ｇ ｏ ｏ ｄ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ． Ｆｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ，ｅ ｘ ｐ ｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｔ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐｏ ｓ ｅ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｎ ｏ ｔ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｉ ｍａ ｇ ｅ ｄ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｉ ｎ ｇ ； ｓ ｅ ｌ ｆ － ｓ ｎ ａ ｋ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ； Ｐ ａ ｔｉ ｒ ａ ｌ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ （ Ｐ ＤＥ） ； ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ
偏微分方程(PDEs)在图像去噪中的运用
3.1 二阶半线性两自变量PDE的分类
在二维图像处理中， 自变量为像素坐标(x,y)， 涉及的PDE为两个自变量的二阶半线性方 程，其一般形式是[12]：
a11 u xx +2 a12 u xy + a 22 u yy +F (x, y, u x , u y )=0
2
(2)
0
记 Δ （x,y）= a12 - a11 a 22 ,可得二阶半线性两个方程在点 x ∈ Ω 的分类： 1) 双曲型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）>0。双曲型方程的第一标准型为
∂u ( x, y, t ) = Δu ( x, y, t ) ∂t
（初值为u 0 =u(x,y,0)）
(14)
式（14）中 Δu ( x, y , t ) 是图像的拉普拉斯算子。上式实际上是热传导方程。其解为：
u ( x, y, t ) = Gt * u ( x, y,0)
这里的 ∗ 表示卷积， G t ( x, y ) = Ct
0
∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u =A +B +Cu,第二标准型为 2 - 2 =A1 +B1 + C1 u. ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂s ∂t ∂s ∂t
如波动问题. 2) 椭圆型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）<0。椭圆型方程的标准型为
0
2
因为在边界 ∂D 上函数v=0，方程（6）中第二个积分为零。而函数v=v(x,y)在域D内不为零， 要使方程（6）为零的必要条件是
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − ( )− ( ) =0 ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q
(7)
即函数u(x,y)使泛函（3）取极值的必要条件是满足偏微分方程（7） 。这就是具有两个独立
一种改进的基于小波偏微分方程的图像去噪方法
（ 哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院， 黑龙江 哈尔滨 150001 ） 摘 要： 提出一种基于小波分解和四阶偏微分方程相结合的方法用于图像去噪， 利用小波良好的时频局域化特
性和偏微分方程能够很好地保留图像的边缘和细节的特点对图像噪声进行消除 . 传统的二阶线性扩散方程计 易产生阶梯效应， 这里采用一种用拉氏锐化算子替代拉普拉斯算子的四阶偏微分方程模型 . 实验结 算效率低， 果表明， 本方法是一种高效的去除噪声并能很好地保持图像边缘的算法 . 关键词： 图像去噪； 小波变换； 偏微分方程 中图分类号： TN911. 73 文献标识码： A 文章编号： 1009 － 671X（ 2010 ） 01 － 0023 － 04
［ 3］
3
改进的基于小波 PED 的去噪模型
基于小波与 PDE 的去噪模型是结合小波变换
理论和偏微分方程的思想而构造出的一种新型的去 噪模型， 它具备了 2 种经典算法各自在图像处理领 6］ 域的优势. 文献［ 提出的去噪模型对于去除相干 6］ 斑噪声有很好的效果， 文中提出一种在文献［ 的
. 提出的 TV 模型如
［ 1］
. 小波分析具有快速
变换和在时域、 频域同时具有良好的局部化特性的 特点， 可以把图像的结构和纹理表现在不同分辨率 层次上. 而偏微分方程 （ PDE ） 去噪方法利用图像是 以图像的边缘为边 分片光滑的二元函数这一信息， 采用分片连续的函数逼近图像中的真实信号 ， 其 界，
0624. 收稿日期： 2009）， Email： xizhihong@ hrbeu. edu. cn. 作者简介： 席志红（ 1965女， 教授， 主要研究方向： 信号与信息处理，
边缘特征的各向异性扩散方法， 用保边界的具有方 向性的热扩散方程来代替高斯平滑滤波器 . 他们的 研究开辟了图像处理中偏微分方程理论和应用的很 多新领域. 1992 年， Rudin、 osher、 Fatemi 等人将 全 变 差 引 入图像处理领域， 以解决图像去噪问题. 全变差 （ total variation， TV） 极小化方法是一个在重建图像中能 很好地保持边缘的成功方法 下：
基于PDE图像去噪方法
边缘模糊 ,而较小的边缘阈值会使扩散速度很慢 ,所以把 k基
于时间 t函数的方程改为 :
k ( t) = km ·exp [ a / ( 1 + t) ]
(6)
[ / ] 由 lim exp a ( 1 + t) t→∞
= 1可知 , km 为叠代稳定时的边缘阈
值 ,可以通过基于 Canny[4 ]边缘估计的边缘阈值选取的方法
3 试验结果
从图 3中可以看出 ,这二种滤波方法的去噪图像中还有 少量的脉冲噪声 ,图 3 ( e)是使用阈值不变 P2M 算法迭代 100 次的结果 ,其相应的参数为 k = 30,λ = 0. 5。图像中一些梯度 值较大的噪声点仍然保留 ,图像边缘仍比较模糊 。图 3 ( f)是 使用式 (6)的边缘阈值 P2M 算法迭代 100 次的结果 ,相应的 参数为 km = 3, a = 17,λ = 0. 5。平滑后基本消除了图像中梯 度值较大的噪声点 。在图 3 ( b～f)的边缘保护指数 EPE[10 ]分 别为 2. 00 db、4. 27 db、4. 62 db、4. 53 db和 4. 83 db,从中可以 定量的看出本文改进的 P2M 对图像边缘的保护较佳 。在图 3 ( a)中加 入 25%的 高 斯 噪 声 的 基 础 上 分 别 加 入 1%、5%、 10%、15%和 20%的脉冲噪声的图像分别标为的 1、2、3、4 和 5。从表 1中可得本文改进的 P2M 去噪后的图像比 P2M 去噪 后的图像的峰值信噪比有所提高 。
trop ic diffusion [J ]. IEEE Transactions Patten Analysis and Machine
Intelligence, 1990, 12 (7) : 629 - 639. [3 ] BLACK M J, SAP IRO G, MAR IMONT D H, et al. Robust aniso2
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
{
d n f（ x） dn x dn 1 （ v － n） dn x Γ
v = n∈N
∫
t a
f n （ y） dy 0 ≤n － 1 ＜ v ＜ n （ x － y） n － v + 1
（ 3）
针对三种经典分数阶微积分定义 ， 国内外众多学者从不同 得到了不同形式的分 应用角度研究分析各种各样的实际问题 ， Liouville 定 数阶微积分定义表达式 。 分数阶微积分 Riemann义和 分 数 阶 微 积 分 Caputo 定 义 都 是 对 分 数 阶 微 积 分 GrümwaldLetnikov 定义 的 改 进。 分 数 阶 微 积 分 的 GrümwaldLetnikov 定义在数值实现时可以转换为卷积运算形式 ， 因此非 Li常适合在 信 号 处 理 中 的 应 用 ； 分 数 阶 微 积 分 的 Riemannouville 定义主要应用于计算一些较为简单函数的解析解 ； 分数 阶微积分的 Caputo 定义适用于分数阶微分方程初边值问题的 分析， 因此非常适合在工程领域中应用 。三种关于分数阶微积 在一定条件下可以相互转换 。 分定义之间存在着紧密的联系 ， 例如， 如果分数阶微积分阶次 v 满足 n － 1 ＜ v ＜ n， 当函数 f （ x ） ， 的 m + 1 阶 导 数 连 续 并 且 满 足 m =? n － 1 」 分数阶微积分 GrümwaldLetnikov 的定 义 与 分 数 阶 微 积 分 RiemannLiouville 的定义是完全等价的。 在满足相同条件下， 分数阶微积分的 Caputo 定义和分数阶微积分的 GrümwaldLetnikov 定义等价。 当分数阶微积分阶次 v 为正整数和负实数时， 分数阶微积分的 Caputo 定义和分数阶微积分的 RiemannLiouville 定义满足以 下关系：
基于变分PDE的地震资料空间自适应保边缘去噪方法
基于变分PDE的地震资料空间自适应保边缘去噪方法王德华;高静怀;张丽丽【摘要】地震资料去噪是地震资料处理的一个基本环节,其信噪比的好坏会直接影响地震资料的可靠性及地质解释的精度.本文主要针对已有方法在去噪的同时不能很好地保持边缘信息这一问题,通过构造空间自适应边缘检测函数,建立了基于分数阶偏微分方程的自适应变分去噪模型;然后,推导了求解新模型的分数阶Euler-Lagrange方程,并给出其离散格式;最后,将本文提出的方法用于合成地震数据及实际地震数据去噪,通过与传统去噪方法相比较,验证了新方法的有效性与实用性.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2019(036)001【总页数】10页(P33-42)【关键词】地震资料去噪;边缘保持;变分正则化;偏微分方程【作者】王德华;高静怀;张丽丽【作者单位】西安工业大学理学院,西安710021;西安交通大学电信学院,西安710049;西安工业大学理学院,西安710021【正文语种】中文【中图分类】O29;P6311 引言随着我国油气勘探程度的不断提高，勘探目标逐渐向深层和地表复杂地区转移，面临的油气藏多为地层岩性油气藏，这对地震资料处理解释工作提出更高的要求，而地震资料的信噪比问题解决的好坏，将会直接影响地震资料的可靠性以及地质解释的精度．因此，在地震勘探的各个环节中，压制噪声干扰、提高资料的信噪比是一项贯彻始终的关键任务.常规地震资料处理中使用的去噪技术有小波变换去噪[1]、f-x 域预测滤波[2]、KL 变换[3]、SVD 分解[4]等，小波变换具有很强的去数据相关特性，通过将信号能量投影在小波域少数大系数上，而噪声能量分布于整个小波域内，进行阈值去噪；f-x 预测滤波会对相干信号进行增强，但由于高频段信噪比较低，求取的预测算子受噪声影响较大，从而使得滤波处理后的高频段有效信号发生畸变，降低信号的保真度；KL 变换与SVD 分解主要利用相邻道信号在相同时刻的相关性，所以对水平同相轴有较好的去噪效果，而处理倾斜或者弯曲同相轴时效果不佳．这些方法大多利用了信号的空间相干特性，以牺牲横向分辨率达到提高信噪比的目的，容易使倾斜和弯曲同相轴受到衰减，并且会模糊和压制一些细微的信号结构，如小断裂、细河道等，甚至还能引起较大断距的断层两侧同相轴的错误连接，给精细的地震结构解释带来困难．因而，能够较好地保护地震数据的细微结构与断层、裂缝等边缘结构的叠后噪声衰减技术受到地球物理工作者的重视[5-7]．偏微分方程(PDEs)是一类重要的数学模型，具有各向异性扩散性能，并且整个扩散过程在局部信息的作用下进行，不同方程的处理特性由具体的扩散项和扩散方向决定，方程直接使用图像中的几何特征(比如梯度、曲率、水平集等)控制扩散项及扩散方向，因此偏微分方程处理图像可在平滑同质区域的同时保持区域边界等几何特征[8]，这是传统的统计方法与小波技术所缺少的．在计算机视觉和图像处理领域的许多问题，例如图像的去噪、增强、分割、跟踪等等都可以根据变分原理转化为某个泛函的最优化问题．习惯上，称这种从变分模型推导出的偏微分方程为变分偏微分方程．基于变分PDE的图像处理模型主要有两大类：一类是Mumford-shah 模型[9]及其改进模型[10,11]，另一类是基于全变差(TotalVariation，TV)的模型[12]及其改进模型[13,14]．1992 年，Rudin 等(ROF)提出用BV 空间对图像进行建模，建立的基于TV的非线性变分模型式中BV(Ω)表示有界变差函数空间，L2(Ω)表示平方可积函数空间，第一项为正则化项，第二项为保真项，u0 表示含噪图像，u表示去噪后图像，λ >0 为正则化参数．该模型的优点是去噪同时可以保护边缘，缺点是去噪后的图像产生阶梯效应，去噪同时滤掉了纹理等细节信息[15]．为了克服ROF 去噪模型的“阶梯效应”这一缺陷，一些学者通过引入高阶PDEs 来处理信号能量的缓变区域，从而增强信号平滑区域的连续性，其中的代表性工作之一就是Lysaker 等在2003 年提出了一种基于四阶PDE的去噪模型(简称LLT 模型)[16]式中，参数λ >0 用来调节模型中光滑项与拟合项之间的权重，模型中其它参数的意义与模型(1)中的对应参数的意义相同．LLT 模型大大缓解了ROF 模型带来的“阶梯效应”，但是该模型与ROF 模型的一个共同缺陷是：在使用二者进行去噪时，包含在残差项u0 −u中的纹理信息和噪声不加区分地一起被滤除，因此，在去噪的同时不能有效地保持图像中的纹理、细节等有用信息．2008 年，Zhang 等人在文献[17]中，根据分数阶导数算子的滤波特性，通过改变ROF 模型中的正则化项，将其中的整数阶导数改为分数阶导数，给出下列分数阶变分去噪模型式中表示图像u(x,y)关于变量x的α阶导数；表示图像u(x,y)关于变量y的α阶导数；其他变量的含义和上述ROF 模型中相应变量的含义相同．注意到，当α=1 时，上述模型(3)简化为ROF 模型．本文主要针对上述分数阶变分去噪模型的缺点，通过构造自适应边缘检测函数，提出了一种能够更好地保持数据的边缘信息、抑制“阶梯效应”的自适应分数阶变分PDE 去噪模型，推导了模型求解的Euler-Lagrange 方程，并将模型应用于合成地震数据、实际地震数据去噪，验证了方法的有效性．本文第2 部分为模型的建立与分析，第3 部分给出模型求解的数值算法，第4 部分为数值实验，最后，给出本文的结论与展望．2 模型的建立与分析为了在去噪的同时，既能较好的保持地震数据的纹理等细节特征也能保护其中的边缘信息，下面我们首先构造自适应边缘检测函数，进而建立新的空间自适应分数阶变分去噪模型．2.1 自适应边缘检测函数的构造1990 年，Perona 和Malik 在文献[18]中首先提出了基于非线性扩散的边缘检测方法．文中考虑了如下PDE在该扩散方程中，g表示扩散函数，是一个非负递减函数，而且满足0．这里，保持边缘的思路是在边缘附近减小滤波程度，从而构造了如下边缘检测函数然而，这种边缘检测函数不适用于噪声存在的情况．1992 年，Lions 等人在文献[19]中针对上述边缘检测函数的缺陷，在方程(4)中引入高斯滤波算子，考虑如下PDE从而，边缘检测函数可以构造为该边缘检测函数能够识别含噪数据中的边缘，但其中的高斯滤波算子会导致边缘的错位[20]．本文针对含噪数据，首先采用TV 扩散流[21]对其进行滤波，该非线性扩散过程可以在压制噪声的同时保持边缘信息．在此基础上，构造边缘检测函数如下。
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基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述摘要:偏微分方程(pde)方法,是图像处理中的一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。
本文将近几年应用较多的几种图像去噪方法进行了系统的概括总结,指出了该领域的学者是如何一步步进行改进得到新方法的,并对该领域的发展做了新的展望。
关键词:图像去噪偏微分方程平滑滤波总变差中图分类号:tp3 文献标识码:a 文章编号:1674-098x(2011)07(b)-0110-021 引言图像去噪是数字图像处理中的一个经典问题。
随着数字图像处理技术的发展,大量数字图像经由信道传输或通过介质保存。
图像在传输或存储过程中受到外界物理条件的限制,所产生的噪声会影响图像的视觉效果。
而在众多的应用领域中,又需要清晰的、高质量的图像,因此,图像去噪是一类重要的图像处理问题,同时也是其它图像处理的重要预处理过程,对后继处理带来很大的影响。
基于偏微分方程(pde)的方法进行图像处理因具有各向异性的特性,自适应性强,能够在平滑噪声的同时更好的保持边缘与纹理等细节性息,故在过去的二十几年中获得了巨大的发展。
这个领域的实质性的创始工作归功于和各自独立的研究。
他们严格地介绍了尺度空间理论并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波和求解以原图像为初值的热传导方程等价。
然而由于高斯滤波是各向同性扩散,在去除噪音的同时模糊了边界。
改进滤波技术,在去噪的同时能完好的保存边缘等重要信息,一直是这一领域的目标。
本文详细介绍了现存的基于pde的图像去噪的主要方法,并指出了它们之间的联系。
2 图像去噪模型偏微分方程与图像去噪的结合产生了许多模型,大体上可以分为两大类:一种是基本的迭代格式,随着时间的变化更新,使得图像向所要得到的效果逐步逼近,这种算法的代表为的方程以及对其改进的后续工作。
该方法在前向扩散的同时具有向后扩散的功能,所以具有平滑图像和边缘锐化的能力,并且扩散系数有很大的选择空间。
但是该方法是病态问题,在应用中不稳定。
另一种是基于变分法的思想,确定图像的能量函数,通过求能量函数的最小值,使得图像达到平滑状态,现在得到广泛应用的总变差tv(total variation)模型[4]就是这一类。
找到合适的能量方程,保证演化的稳定性获得理想的结果是这类方法的关键所在。
它比第一种方法稳定,且具有明确的理论解释,是现在普遍应用的方法。
全变分不具备后向扩散的能力,处理的图像模糊,无边缘锐化。
本文以pm模型和tv模型为基础,并详细介绍对其改进的后续工作。
2.1 迭代去噪模型2.1.1 热扩散模型基于偏微分方程的图像处理是从运动的观点来处理图像的,起源于热传导方程的初值问题:我们可以用傅里叶变换方法来求解该方程,此方程的解可以表示为gaussian函数与的卷积,即,其中是gaussian函数,代表一个尺度参数。
这说明热方程在t时刻的解相当于用高斯函数对初始图像作高斯低通滤波,因此热扩散保留初始图像的低频成分,滤除高频成分。
该方程是一个各向同性扩散方程,具有磨光作用,虽然能去除噪声但不能保护边缘。
究其原因是这种模型在平滑图像的时候没考虑到图像的特征位置,在整个图像边缘处沿切向和法向采用了相同的扩散速度。
如果能使方程在平滑图像的同时考虑到特征的位置,在特征区域内部的扩散速度较快,而在边缘位置扩散速度较慢,那么就可以保持图像的边缘了。
于是出现了下面的模型。
2.1.2 pm模型1990年,perona和malik提出了能够保持边界的各向异性扩散方程代替高斯平滑滤波,模型为:这里是原始图像,且是单调递减函数。
称为扩散系数,与图像梯度成反比。
当时,退化为热方程,通过适当定义扩散率函数,pm模型既可以去噪又能较好地保持边缘。
扩散率函数应满足是单调减函数且其中。
下面是perona和malik在[3]中给出的两个常用既能去除噪声又能增强边缘的扩散率函数或和可以取成与时间相关的函数。
其中常数可预先设定,也可随着图像每次迭代的结果变化而变化,它和噪声的方差有关,用于控制保持边缘和消除噪声的平衡。
这种方程在迭代的过程中不断地根据最近一步所获得的图像梯度作为边缘检测子,因而能减少噪声对边缘检测的影响。
由于数学上pm模型解的存在唯一性不能保证,因此出现了许多该模型的正则化方法。
下面给出两个具有代表性的正则化。
2.1.3 正则化的pm模型针对pm模型的病态性,等给出了如下空域正则化模型:即对进行了高斯正则化,用代替,克服了对噪声敏感的问题。
正则化模型的解是存在唯一的,并且关于初值是稳定的。
nitzberg-shiota给出pm模型的一个时域正则化形式:其中,是对的时间延迟正则化,参数是延迟时间。
2.1.4 前向—后向扩散模型在这些研究的基础上,为进一步解决边缘处的模糊问题,2002年,gilboa[6]等人研究了一种前向后向扩散方程,这种方程在边缘处的扩散系数取负值,目的是使模糊的边缘得到锐化。
该模型为: 其中gilboa等人还给出了参数的参考取法，，代表的均值，，，经验值。
该模型在梯度小的地方扩散系数取值较大，多扩散平滑（常假设）；在范围内扩散系数取值为负，相当于去卷积的过程，可实现图像增强；在大的地方（如边缘）少扩散平滑，保护边缘；同时达到去噪和增强的目的。
2.1.5 weickert扩散张量模型pm模型在边缘处的扩散系数取的很小,这实际上相当于没有对边缘处的噪声进行处理,因而边缘处的噪声几乎保持不变。
为解决边缘处去噪问题,1998年weickert[7]等人在非线性扩散方程的基础上进一步研究了非线性各向异性扩散方程。
首先,weickert定义了如下局部结构张量:其中为高斯函数,标准差为,,*表示与的元素逐个卷积。
根据结构张量定义了扩散张量,得到如下形式的非线性各向异性张量扩散方程:其中,d是依赖于结构张量的矩阵,称为扩散张量,表示平面二维向量的欧几里得内积。
2.1.6 brox与weickert模型由于线性结构张量存在模糊效应,并且随着增大,边缘会逐渐消失,同时残留的边缘位置会发生改变,2006年,通过将结构张量的线性各向同性扩散替换为非线性各向同性扩散或非线性各向异性扩散得到了非线性结构张量,他们指出,这两种非线性结构张量都可以避免线性结构张量的模糊效应。
利用这两种非线性结构张量替换weickert的各向异性扩散方程中的线性结构张量,得到如下耦合系统:在上式中,扩散率函数决定了扩散张量的构造,扩散张量可以取为weickert针对边缘增强或相干增强而提出的扩散张量,而扩散函数可以取成pm给出的扩散率函数。
数值试验表明,该系统能够更好地保留图像的边缘,也能更好地增强纹理图像。
另外,可以证明,该系统存在唯一的光滑解。
2.2 基于变分法的图像去噪模型2.2.1 tv模型1992年l.rudin,s.osher和e.fatemi提出了总变差模型,该模型为在的约束下使图像的能量函数方程:最小。
该模型是现在广泛采用的方法,取。
为正则化项,其作用是使得迭代后的图像不会较大偏离原图像。
与该泛函所对应的欧拉方程为:求解该方程的一种思路是引入时间变量t,将直接看作u在某时刻t与0时刻的差,即有:从而得到扩散方程:这是与perona和malik所提出的各向异性扩散方程相联系的。
该模型的解空间是有界变差函数空间(bv空间),而该空间中的函数允许存在边缘等灰度不连续的信息,这为在图像去噪过程中保持图像边缘提供了理论依据。
2.2.2 基于扩散张量的自适应正则化变分模型2010年,刘孝艳,冯象初提出了基于扩散张量的自适应正则化变分模型[9],该模型为:选择合适的参数,就可以达到去除噪声和增强边缘的目的。
虽然总变差模型能够有利于保持图像的边缘成分,但是总变差半范图像模型在图像非光滑情况下并不好定义,所以学者tonychan[12]根据弱导数的概念提出了适合非光滑函数的总变差半范的对偶定义。
对偶总变差模型的优点在于它能够很好地对非光滑函数进行建模,而且对偶模型的变分偏微分方程在求解过程中不存在不能处理处的情况。
当然对总变差模型还存在很多其它的改进方法,有兴趣的读者可参考文献[10]。
3 结语用偏微分方程进行图像处理是一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。
偏微分方程理论作为图像处理中的一种新型工具,其发展经历了由线性到非线性,以及由各向同性扩散到各向异性扩散的过程。
本文介绍的方法中除了brox and weickert模型,其他模型在去噪的过程中都没有考虑纹理分析。
即使是边缘保持较好的算法,也不能在去除噪声的同时保持图像的纹理细节。
如何在图像去噪的同时保持纹理细节,是今后的研究重点。
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