基于偏激分方程(PDE)图像去噪方法综述

基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述

摘要:偏微分方程(pde)方法,是图像处理中的一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。本文将近几年应用较多的几种图像去噪方法进行了系统的概括总结,指出了该领域的学者是如何一步步进行改进得到新方法的,并对该领域的发展做了新的展望。

关键词:图像去噪偏微分方程平滑滤波总变差

中图分类号:tp3 文献标识码:a 文章编

号:1674-098x(2011)07(b)-0110-02

1 引言

图像去噪是数字图像处理中的一个经典问题。随着数字图像处理技术的发展,大量数字图像经由信道传输或通过介质保存。图像在传输或存储过程中受到外界物理条件的限制,所产生的噪声会影响图像的视觉效果。而在众多的应用领域中,又需要清晰的、高质量的图像,因此,图像去噪是一类重要的图像处理问题,同时也是其它图像处理的重要预处理过程,对后继处理带来很大的影响。基于偏微分方程(pde)的方法进行图像处理因具有各向异性的特性,自适

应性强,能够在平滑噪声的同时更好的保持边缘与纹理等细节性息,故在过去的二十几年中获得了巨大的发展。这个领域的实质性的创始工作归功于和各自独立的研究。他们严格地介绍了尺度空间理论并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波和求

解以原图像为初值的热传导方程等价。然而由于高斯滤波是各向同

性扩散,在去除噪音的同时模糊了边界。改进滤波技术,在去噪的同时能完好的保存边缘等重要信息,一直是这一领域的目标。本文详细介绍了现存的基于pde的图像去噪的主要方法,并指出了它们之间的联系。

2 图像去噪模型

偏微分方程与图像去噪的结合产生了许多模型,大体上可以分为两大类:一种是基本的迭代格式,随着时间的变化更新,使得图像向所要得到的效果逐步逼近,这种算法的代表为的方程以及对其改进的后续工作。该方法在前向扩散的同时具有向后扩散的功能,所以具有平滑图像和边缘锐化的能力,并且扩散系数有很大的选择空间。但是该方法是病态问题,在应用中不稳定。另一种是基于变分法的思想,确定图像的能量函数,通过求能量函数的最小值,使得图像达到平滑状态,现在得到广泛应用的总变差tv(total variation)模型[4]就是这一类。找到合适的能量方程,保证演化的稳定性获得理想的结果是这类方法的关键所在。它比第一种方法稳定,且具有明确的理论解释,是现在普遍应用的方法。全变分不具备后向扩散的能力,处理的图像模糊,无边缘锐化。本文以pm模型和tv模型为基础,并详细介绍对其改进的后续工作。

2.1 迭代去噪模型

2.1.1 热扩散模型

基于偏微分方程的图像处理是从运动的观点来处理图像的,起源于热传导方程的初值问题:

我们可以用傅里叶变换方法来求解该方程,此方程的解可以表示为gaussian函数与的卷积,即,其中是gaussian函数,代表一个尺度参数。这说明热方程在t时刻的解相当于用高斯函数对初始图像作高斯低通滤波,因此热扩散保留初始图像的低频成分,滤除高频成分。该方程是一个各向同性扩散方程,具有磨光作用,虽然能去除噪声但不能保护边缘。究其原因是这种模型在平滑图像的时候没考虑到图像的特征位置,在整个图像边缘处沿切向和法向采用了相同的扩散速度。如果能使方程在平滑图像的同时考虑到特征的位置,在特征区域内部的扩散速度较快,而在边缘位置扩散速度较慢,那么就可以保持图像的边缘了。于是出现了下面的模型。

2.1.2 pm模型

1990年,perona和malik提出了能够保持边界的各向异性扩散方程代替高斯平滑滤波,模型为:

这里是原始图像,且是单调递减函数。称为扩散系数,与图像梯度成反比。当时,退化为热方程,通过适当定义扩散率函数,pm模型既可以去噪又能较好地保持边缘。

扩散率函数应满足是单调减函数且

其中。下面是perona和malik在[3]中给出的两个常用既能去除噪声又能增强边缘的扩散率函数

或

和可以取成与时间相关的函数。其中常数可预先设定,也可随着图像每次迭代的结果变化而变化,它和噪声的方差有关,用于控制

保持边缘和消除噪声的平衡。这种方程在迭代的过程中不断地根据最近一步所获得的图像梯度作为边缘检测子,因而能减少噪声对边缘检测的影响。

由于数学上pm模型解的存在唯一性不能保证,因此出现了许多该模型的正则化方法。下面给出两个具有代表性的正则化。

2.1.3 正则化的pm模型

针对pm模型的病态性,等给出了如下空域正则化模型:

即对进行了高斯正则化,用代替,克服了对噪声敏感的问题。正则化模型的解是存在唯一的,并且关于初值是稳定的。

nitzberg-shiota给出pm模型的一个时域正则化形式:

其中,是对的时间延迟正则化,参数是延迟时间。

2.1.4 前向—后向扩散模型

在这些研究的基础上,为进一步解决边缘处的模糊问题,2002

年,gilboa[6]等人研究了一种前向后向扩散方程,这种方程在边缘处的扩散系数取负值,目的是使模糊的边缘得到锐化。该模型为: 其中

gilboa等人还给出了参数的参考取法，，代表的均值，，，经验值。该模型在梯度小的地方扩散系数取值较大，多扩散平滑（常假设）；在范围内扩散系数取值为负，相当于去卷积的过程，可实现图像增强；在大的地方（如边缘）少扩散平滑，保护边缘；同时达到去噪和增强的目的。

2.1.5 weickert扩散张量模型

pm模型在边缘处的扩散系数取的很小,这实际上相当于没有对边缘处的噪声进行处理,因而边缘处的噪声几乎保持不变。为解决边缘处去噪问题,1998年weickert[7]等人在非线性扩散方程的基础上进一步研究了非线性各向异性扩散方程。首先,weickert定义了如下局部结构张量:

其中为高斯函数,标准差为,,*表示与的元素逐个卷积。

根据结构张量定义了扩散张量,得到如下形式的非线性各向异性张量扩散方程:

其中,d是依赖于结构张量的矩阵,称为扩散张量,表示平面二维向量的欧几里得内积。

2.1.6 brox与weickert模型

由于线性结构张量存在模糊效应,并且随着增大,边缘会逐渐消失,同时残留的边缘位置会发生改变,2006年,通过将结构张量的线性各向同性扩散替换为非线性各向同性扩散

或非线性各向异性扩散

得到了非线性结构张量,他们指出,这两种非线性结构张量都可以避免线性结构张量的模糊效应。利用这两种非线性结构张量替换weickert的各向异性扩散方程中的线性结构张量,得到如下耦合系统:

在上式中,扩散率函数决定了扩散张量的构造,扩散张量可以取为weickert针对边缘增强或相干增强而提出的扩散张量,而扩散函数可以取成pm给出的扩散率函数。数值试验表明,该系统能够更好