高考数学试题文理科
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一九八一年(理科)
一.(本题满分6分)
设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:1.A∪B, 2.A∩B.
解:1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ。
二.(本题满分6分)
在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果:(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果。
解:1.选举种数P42=12(种)所有可能的选举结果:
AB、AC、AD、BC、BD、CD、
BA、CA、DA、CB、DB、DC。
2.选举种数C43=4(种)所有可能的选举结果:
ABC、ABD、ACD、BCD。
三.(本题满分8分)
下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还
四.(本题满分8分)
写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明。
证二:解析法:以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).
由两点距离公式得:
a 2=|BC |2=(c-bcosA)2+(-bsi nA )2
=b 2+c 2-2bccos A.
五.(本题满分10分)
解不等式(x 为未知数):
.0>-----c
x b
a
c b x a c b a x
解:右式=x 2(x-a-b-c)>0
原不等式解是x≠0,x >a +b+c 。 六.(本题满分10分) 用数学归纳法证明等式
n
n
n x
x x x x x 2
sin 2sin 2
cos 2cos 2cos 2cos 32=
⋅⋅⋅ 对一切自然数n都成立。
证:略。 七.(本题满分15分)
设1980年底我国人口以10亿计算。 (1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?
(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平
Y C B
10,10×1.02,10×(1.02)2,……的第21项,即
x=10×(1.02)20,
两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,
∴x =14.859(亿)
2.设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得
10×(1+y%)20≤12, (1+y %)20≤1.2.
根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得
20lg(1+y%)≤l g1.2.
即 lg (1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答:略。
八.(本题满分17分)
在1200的二面角P-a-Q 的两个面P 和Q 内,分别有点A 和点B 。已知点A 和点B到棱a 的距离分别为2和4,且线段AB=10, 1.求直线A B和棱a 所成的角;
2.求直线AB 和平面Q 所成的角。 解:1.在平面P 内作直线A D⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE ⊥a 于点E, 从点D作a的垂线与从点B 作a 的平行线相交于点C。 ∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角。
∠ADC 为两面角P-a -Q 的平面角,
∴∠ADC=1200。又A D=2,BCDE 为矩形,∴CD=B E=4。 连接AC ,由余弦定理得.72=AC
又因AD⊥a,CD ⊥a ,所以a 垂直于△AC D所在的平面。再由BC ∥a 得知B C垂直于△ACD 所在的平面,∴BC⊥AC 。 在直角△ABC 中,,5
7
sin ==
∠AB AC ABC 5
7arcsin
=∠∴ABC 2.在△ACD 所在的平面内,作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F。
F D C
因为△A CD所在的平面⊥平面Q,∴AF ⊥平面Q 。 在△ADF 中,∠ADF=600,AD=2,∴AF=360sin 2=︒
连结BF,于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角,而△AB F为直角三角形,所以.10
3
arcsin .103sin =∠==
∠ABF AB AF ABF 九.(本题满分17分)
给定双曲线.12
2
2
=-y x
1.过点A(2,1)的直线L 与所给的双曲线交于两点P 1及P 2,求线段P1P 2的中点P 的轨迹方程。
2.过点B (1,1)能否作直线m ,使m 与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B 是线段Q 1Q2的中点?这样的直线m 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由。 解:设直线L 的方程为
y =k(x-2)+1, (1) 将(1)式代入双曲线方程,得:
(2) 0344)24()2(2222=-+--+-k k x k k x k
又设P1(x 1,y 1),P 2(x2,y 2),),,(y x P 则x 1,x2必须是(2)的两个实根,所以有
).02(2242
2221≠---=+k k k k x x
按题意,.2
2),(212
221--=∴+=k k
k x x x x 因为),(y x 在直线(1)上,所以
.2
)
12(21)222(1)2(222--=+---=+-=k k k k k k x k y
再由y x ,的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为
,17
)21(47)1(822
=--
-y x 这就是所求的轨迹方程。 2.设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得 (3) 032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k
设21222111,),,(),,(x x y x Q y x Q 则必须是(3)的两个实根,即