武汉大学大一高数上五年期末考试试题

n= 1
4. 已知两曲线 y = f ( x) 与 y =
n→∞
n= 1 arctan x 0
e−t dt 在点 (0, 0) 处的切线相同, 则此切线方程为(
2
), 且极限
lim n f
(︀ 2 )︀ = ( ). n 5. 曲线 y = x2 , y = ( x − 2)2 与 x 轴围成的平面图形的面积 S = (
1 tan π x 四. (8 分) 当 x ∈ (− , 1] 时, 确定函数 f ( x) = 的间断点, 并判定其类型. 2 x x x x 五. (12 分) 设 f ( x) = lim x cos x cos cos · · · cos n ( x > 0), n→∞ 2 4 2 1 1. 求证 f ( x) = sin 2 x; 2 2. 求 f (20) ( x); 3. 计算不定积分 f ( x) d x.
1
武汉大学 2004 – 2005 学年第一学期
《 高等数学B 》 试题
一. 填空题 (本题满分 30 分, 每小题 5 分) (n − 1) x 1. 设 f ( x) = lim , 则其间断点为 x = ( ), 且是第( ) 类间断点. n→+∞ nx2 + 1 2. 已知 f ( x) = x( x − 1)( x − 2) · · · ( x − 2005), 则 f ′ (0) = ( ). ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ 3. 设 an xn 的收敛半径为 3, 则 nan ( x − 1)n+1 的收敛半径 R = ( ).
x
三. (10 分) 设 g( x) 是 [1, 2] 上的连续, f ( x) =
]︀ 1 [︀ (1 + sin x) x − 1 . x2 ⎧ g( x) − cos x ⎪ ⎪ ⎪ , x 0, ⎨ x 5. 已知 f ( x) = ⎪ , 其中 g( x) 有二阶连续导数, 且 g(0) = 1, ⎪ ⎪ ⎩ a, x=0 4. 求极限 lim
x →0
(1). 为使 f ( x) 在 x = 0 处连续, 确定 a 的值;
5. 设两个平面方程分别为: x − y + 4z + 3 = 0, x − 3y − z + 7 = 0, 则这两个平面 ( (A) 相交但不垂直; (B) 垂直; (C) 平行但不重合; (D) 重合.
二. 填空题 (每题 3 分, 共 15 分) π √︀ 1. 定积分 sin x − sin3 x d x = (
′ 2
). ).
6. 已知函数 f ( x) 具有任意阶导数, 且 f ( x) = f ( x), 则当 n 为大于 1 的正整数时, f ( x) 的 n 阶导数 f (n) ( x) = (
二、 计算题(本题满分 30 分, 每小题 6 分) √ d2 y √ . 1. 设函数 y = y( x) 由方程 x y = y x 确定( x > 0, y > 0), 求 dy 和 d x2 cos θ 2. 计算不定积分 dθ . sin θ − 2 cos θ ∞ ∑︁ √ an 的收敛性. 3. 设 an = n sin( n2 + 2 − n), 计算 lim an , 并讨论级数 2 n→+∞ n n=0
0, g( x) 为 f ( x) 的反函数, 则 ).
g(t) sin t dt 的微分是 ( t
).
⃒→ ⃒ ⃒− ⃒ = 3, 5. 已知 ⃒ a⃒
⃒ ⃒ ˆ→ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ π → −⃒ → −⃒ − → − → − ⃒ ⃒ ⃒ b = 4 , ( a , b ) = , 则 a + b⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒=( 3
y
7. (7 分)已知
0
et dt =
0
2
x2
cos t dt 确定, 求
dy . dx
8. (7 分) 设 y =
1−x , 求 y(n) . 1+x x3 , 求: ( x − 1)2
二. (15 分)已知函数 y =
1. 函数 f ( x) 的单调增加、 单调减少区间, 极大、极小值; 2. 函数图形的凸性区间、 拐点 、 渐近线.
n→∞
2. (7 分) 计算 lim 3. (7 分) 计算 4. (7 分) 计算
0
ln(1 + x) − x . x→0 cos x − 1 x arctan x d x.
4
√ 1+
x √ d x. x
5. (7 分) 计算
+∞ 0
xe− x d x.
⎧ ⎪ ⎪ π ⎨ x = sin t 求此曲线在点t = 处的切线方程. 6. (7 分) 设 ⎪ ⎪ ⎩ y = cos 2t 4
⎧ x ⎪ ⎪ ⎪ t f (t) dt ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 0 , 六. (12 分) 设函数 F ( x) = ⎪ ⎪ ⎪ x2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ a,
x
0, 其中 f ( x) 具有二阶连续导数, 且 f (0) = 0.
x = 0,
1. a 为何值时, F ( x) 在 x = 0 处连续; 2. 讨论 F ( x) 在 (−∞, +∞) 上的可微性; F ′ ( x) 在 (−∞, +∞) 上的连续性. ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 2 x − y − 2 = 0, 七. (10 分) 已知平面 Π : y + 2z − 2 = 0 和直线 l : ⎪ ⎪ ⎩ 3y − 2z + 2 = 0. 1. 直线 l 和平面 Π 是否平行? 2. 若直线 l 和平面 Π 平行, 求直线 l 与平面 Π 的距离; 若直线 l 和平面 Π 不平行, 求直线 l 与平面 Π 的交点; 3. 求过直线 l 且与平面 Π 垂直的平面方程.
1 0
f ( x) d x =
]︀ 1 1 [︀ f (0) + f (1) − 2 2
1 0
x(1 − x) f ( x) d x.
′′
2
武汉大学 2005 – 2006 学年第一学期
《 高等数学B 》 试题
一. 单项选择题 (每题 3 分, 共 15 分) x 2n − 1 的间断点是 ( 1. 函数 f ( x) = lim 2n n→∞ x + 1
x→+∞ x→−∞ x →0
4
武汉大学 2006 – 2007 学年第一学期
《 高等数学B 》 试题
⎧ 2 ⎪ ⎪ dy ⎨ x = t − 2t, 一. (8 分) 设 y = y ( x) 由参数方程 ⎪ 所确定, 求 . ⎪ ⎩ y = 1 + ey sin t dx
二. (12 分) 设 f ( x) = x3 − 3 x2 − 9 x + 5. 求: 1. 函数 f ( x) 的单调增加、 单调减少区间, 极大值、 极小值; 2. 曲线 y = f ( x) 的凸性区间、 拐点. 三. (12 分) 设 f ( x) = (cos x − 4) sin x + 3 x, d f ( x) 1. 求 ; d( x2 ) 2. 当 x → 0 时, f ( x) 是关于 x 的几阶无穷小?
0
).
2. In =
1 d x, 则 lim In = ( ). n→∞ x n ⃒ ⃒ ⃒ sin x ⃒ ⃒ ⃒ ′ ⃒ ⃒ , 则右导数 f+ 3. 已知 f ( x) = ⃒ (π) = ( x ⃒ x sin 4. 设函数 f ( x) 单调且可微且 f ( x)
n+π
).
f ( x) 0
(2). 求 f ′ ( x).
三、 解答题证明题(本题满分 40 分, 每小题 8 分) e x + e− x , 1. 已知 f ( x) = 2 √ (︃ )︃ ln 3 f ′ ( x) f ( x) (1). 计算 √ + ′ d x; (2). 展开 f ( x) 成 x 的幂级数. f ( x) f ( x) ln 2
a 时, | f ′ ( x ) | g′ ( x), 则当 x a 时, | f ( x) − f (a)| g( x)−g(a).
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武汉大学 2007 – 2008 学年第一学期
《 高等数学B 》 试题
一. (56 分) 计算下列各题: (︃ √︁ )︃ √︁ √ √ 1. (7 分) 计算 lim n+3 n− n− n .
三. 计算Байду номын сангаас (每题 8 分, 共 40 分) (︁ √ √ )︁ 1. 求极限 lim n2 n−1 e − n e (这里 e 是自然对数的底).
n→∞
2. 求不定积分 3. 计算定积分
0
x2 arctan x d x. 1 + x2
ln 2
√
e x − 1 d x.
⎧ 2 ⎪ ⎪ ⎨ x=1+t , 4. 设函数 y = y( x) 由参数方程 ⎪ 所确定, ⎪ ⎩ y = cos t 1). 求 d2 y dy 和 2; dx dx 2). 求 lim+
x→1
dy d2 y 和 lim+ 2 . x →1 d x dx
3 5. 直线 x = 0, x = 2, y = 0 与抛物线 y = − x2 + 1 围成一平面图形 D, 1). 求平面图形 D 的面积 S ; 2). 求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体得体积 V.
四. 解答题和证明题 (每题 10 分, 共 30 分)
dx ; x ln x
′′
(C)
e
dx ; x(ln x)2
(D)
e
dx . √ x ln x )
4. 设 f ( x) 有二阶连续导数, 且 f ′ (1) = 0, lim (A) 不连续点; (B) 极小值点;