流体力学之气体的一元流动

• 一、收缩喷管
8-4收缩喷管与拉瓦尔喷管的计算
• 一、收缩喷管 喷管出流速度
1 2 p0 p v 1 p0 1 0
喷管的质量流量
2 1 p p 2 qm A p0 0 p0 p0 1
反之dv<0,则dp>0，dρ>0 2.Ma<1时，密度的相对变化量小于速度的相对 变化量，即
d
dv v
8-2 一元气流的流动特性
Ma>1时，密度的相对变化量大于速度的相对变 化量，即
d
dv v
在密度相对变化的特性上，超声速与亚声 速有着显著的差别。
8-2 一元气流的流动特性
1 v 1 max
8-3等熵和绝热气流的基本方程式与 基本概念
4.滞止参数与临界参数关系式为：
T* 2 T0 1 p* 2 1 ( ) p0 1 1 * 2 1 ( ) 0 1 1 c* 2 2 ( ) c0 1
8-4收缩喷管与拉瓦尔喷管的计算
8-4收缩喷管与拉瓦尔喷管的计算
分析： ①p=p0无压差，管中无流动。 ②p/p0>p﹡/p0时，这时沿喷管各截 面的气流速度都是亚声速。
③p/p0=p﹡/p0时，喷管内为亚声速流，喷管出口
处流速达到声速，出口压强等于临界压强。
p p 2 1 1 p0 p0
• 方程的物理意义是： • 在理想气体一元定常绝热流 动中，单位质量气体所具有 的机械能和内能之和（即总 能量）始终保持不变。
8-3等熵和绝热气流的基本方程式与 基本概念
二、滞止参数和临界参数
1.流动参数与滞止参数的关系式 2.极限速度与滞止参数的关系 3.临界声速与滞止参数的关系 4.滞止参数与临界参数关系式 5.流动参数与马赫数的关系
二、气流速度与流道断面积的关系
dA dv d ( ) A v
dA dv dv 2 dv 2 Ma Ma 1 A v v v


1. Ma<1 （亚声速时）
dA与dv正负号相反，即流速随断面面积的增 大而减慢，随断面面积的减小而加快，变化 规律与不可压缩流体流动规律相同。
8-4收缩喷管与拉瓦尔喷管的计算
• 二、拉瓦尔喷管
8-4收缩喷管与拉瓦尔喷管的计算
• 二、拉瓦尔喷管 条件：
p 2 1 p 1 p0 p0

质量流量
2 qm c A A 1
1 2 -1
pA ( p dp) A cA[(c dv) c] dp 得 dv c
声速公式
c dp d
略去二阶微量
公式的适用范围?
声速公式 关于声速的讨论 声音的传播是等温还是等熵过程？
声速公式
dp c d
若声音的传播过程为等温过程
p RT C
设温度为20℃，代入声速公式，得到
v<c，Ma<1，为亚声速流，扰动仍能向各个方向
传播到整个空间，但在扰动点源运动方向上传播 的慢，扰动点源运动反方向上传播的快。
v=c，Ma＝1，为 声速流动，所有扰动的波面
叠合形成一个平面。
• v>c，Ma>1，为超声速流，扰动波面叠合成一 个圆锥面，称为马赫锥（Mach Cone），马赫 锥的母线就是微弱扰动波的边界线，圆锥顶角 一半，称为马赫角，用θ 表示，显然
• 对于空气
T* 0.833T0 p* 0.528 p0 * 0.634 0 c* 0.913c0
8-3等熵和绝热气流的基本方程式与 基本概念
5.流动参数与马赫数的关系：
1 c0 1 2 2 (1 M ) c 2
T0 1 2 (1 M ) T 2
8-3等熵和绝热气流的基本方程式与 基本概念
• 1.流动参数与滞止参数的关系式
p p0 1 1 0 RT0 RT 1 1 2 2 c0 v2 c 2 1 1 C p T C p T0 h h0 p p 0 e e0 0

8-4收缩喷管与拉瓦尔喷管的计算
喷管出口速度
2 p0 v c 1 0
质量流量
qm qmmax 2 A 1
1 2 -1
p0 0
④p/p0<p﹡/p0时，喷管出口速度为声速，出口断面
M=1。喷管内的质量流量达到最大值。 • 再降低背压 已无助于管内质量流量的提高。把这 种背压小于临界压时，管内质量不再提高，称为 “阻塞”。
c RT 287 293 290 m / s
结果与实验不符。
声音的传播过程为等熵过程
等熵过程关系式为 则
p


C
dp p c RT d
这就是等熵过程的声速计算公式。
对 于 常 温 、 常 压 下 的 空 气 ， γ ＝ 1.4 ， R ＝
287J/kg· K，空气中的声速公式为
c 1 sin v Ma
马赫锥外面的气体不 受扰动的影响。
如图所示，压气机叶轮入口与出口、扩压器
与蜗壳出口分别以1、2、3、4点表示。已知
v1= 48 m/s, p1=98kPa, l=1.1 kg/m3；v2= 220 m/s, t2=62℃； v3= 130 m/s, t3 = 77℃； v4= 50 m/s, p4=149 kPa, 4=1.5 kg/m3。试
由于气流速度v
的存在，同一气 体中，声速总是 小于滞止声速， 即c<c0。
8-3等熵和绝热气流的基本方程式与 基本概念
• 2.极限速度与滞止参数的关系
2 p0 1 0 2 RT0 1 2 2 c0 1 2C pT0 2h0 2(
使气流转变成超声速流动，因此就出现了
一个最小截面积。
8-2 一元气流的流动特性
3.拉瓦尔喷管
能够使气流从亚声速连续加速到超声速的管道称为 拉瓦尔喷管。
由收缩管，喉部及扩张段组成，喉部就是最小截面处。
8-2 一元气流的流动特性
拉瓦尔喷管的应用
8-3等熵和绝热气流的基本方程式与 基本概念
• 一、基本方程式
第八章
气体一元流动
8－1声速和马赫数
• 声速（Sonic Velocity）
什么是声速？
狭义的理解，音速是声音的传播速度，但人耳所能 每秒多少次？
听到的声音频率范围
约为每秒20～20000次，是有限的。广义的理解，
声速是指在可压缩介质中，微弱扰动的传播速度。
注意区分扰动的传播速度和介质本身的运动速度
Ma>1
dV 0, dp 0
dA<0
亚音速加速管
超音速扩压管
加速，减压 亚音速扩压管 超音速加速管 减速，扩压
dV 0, dp 0
减速，扩压
dV 0, dp 0
dA>0
加速，扩压
8-2 一元气流的流动特性
逐渐收缩管道只能在出口处达到声速，想 要超过声速，必须在音速断面之后立即改 变管道形状，变成逐渐扩大管道，才能够
是两回事
8－1声速和马赫数
• 一、声速方程式
根据连续性方程、动量方程，考虑到扰动是微弱 的，采用相对坐标系，可推导得声速方程式。
•
声速的方程式
由连续方程
m cdtdA ( d )( 由连续方程由连续方程c dv)dtA
略去二阶微量
得
cd dv d
动量方程
• 二、马赫数（Mach Number）
1. 什么是马赫数？ 马赫数是气流中某点速度同该点当地音速的比
值，即
v Ma c
2. 可压缩流动的分类 研究以不同速度运动的扰动点源所发出的微弱
扰动传播图形，可以看出
• 扰动点源速度v=0，Ma＝0，扰动点源静止 不动，微弱扰动传播的波面是同心球面。
比较这四处的声速和马赫数。
压气机流道
Ma大小不是由v单纯的决定的，而是由v与c的比值来决定的。
8-2 一元气流的流动特性
一、气流速度与密度的关系
分析：
d
vdv
dp d d c 2 d
vdv v 2 dv 2 dv 2 2 Ma c c v v
1.不论Ma<1或Ma>1，只要dv>0,则dp<0，dρ<0。
p0 0
p 0

2
2 p qm A p0 0 0 1
1

8-2 一元气流的流动特性
一、气流速度与流道端面积的关系
2. Ma>1（超声速）时：
dA与dv正负号相同，即流速随断面面积的增 大而加快，随断面面积的减小而变慢，变化规 律与不可压缩流体流动规律完全相反。
8-2 一元气流的流动特性
气流速度与流道断面积的关系
压力速度变化 截面变化
Ma<1
dV 0, dp 0
c RT 1.4 287 T 20.05 T
当t＝15℃，T＝288K，c＝340m/s，这就是常温
下声音在空气中的传播速度。
dp p c RT d
结论：
(1）流体中的声速是状态参数的函数。 (2)声速在一定程度上反映了流体压缩性的大小。
(3)声速与介质的性质有关。 (4)同一种介质中，声速随介质温度的升高而增大。