积分的几何意义

定积分的几何意义
1
一，学习目标：
1，掌握定积分几何意义。 2，会利用几何意义求定积分。
二，学习重点，难点
利用几何意义求定积分
2
复习回顾 如何求曲边梯形面积 定积分的概念是怎样的。
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定积分表达式：
积分上限
被积式
b
n
af(x )d x I l i0i m 1f(i) x i.
积分下限
被积函数
成立：
1）．
2
sinxdx0
0
2）. sinxdx2 2sinxdx
0
0
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3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
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课堂小结
定积分的几何意义及简单应用
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根据定积分的几何 可意 得义 阴影部分的面积
A 0 1 [x (1 ) 2 1 ] d x 0 2 [x ( 1 ) 2 1 ] d10 x
例：
利用定积分的 说几 明何 等2意 式 sin义 xdx0 2
成立。 y
解：在右图中，被积函数 f (x) sin x
在[ ， ]上连续，且在 [ ，0]上
义，可得阴影部分的 积面 为A 0ax2dx
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4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
Baidu Nhomakorabea
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（2）在图②中，被积函 f (x数 ) x2在[1，2]
上连续，且 f (x) 0,根据定积分的几何意
的代数和表示 几何意义
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4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函 f (x数 ) x2在[0，a]
上连续，且 f (x) 0,根据定积分的几何意
4
课堂新授
A
1.
b a
f(x)dx
-A
f (x)0
f (x)0
A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积
y
y=f(x)>0
A
0a
bx
y
a
b
0
A
x
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2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
y=f(x)
A1
a0
c
A2
A3
d bx
则
b a
f
(x)dx
A1
A2
A3
3.结论：
b a
f
(x)dx的值都可用区边梯形 积面
1 2
22
2
A1
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
-1
2
A1 A2 ,所以
2
f(x)d
xA2A10
2
f(x)=sinx
A2
x
2
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巩固练习
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。
1）． 2 sin xdx 0
2）. 2 x 2 dx 1
2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。
义，可得阴影部分的 积面 为 A badx
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4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
解：（ ①4）在图④②中，被积 f (x函 )③(数 x1)2
④
1在[1， 2]
上连续，且 [1， 在 0]上f (x)0,在[0， 2]上f (x)0，
义，可得阴影部分的 积面 为A 21x2dx
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4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（3）在图③中，被积函 f (x数 ) 1在[a，b]
上连续，且 f (x) 0,根据定积分的几何意