武汉大学2019-2020第二学期高等数学A2期末试卷(A卷)

武汉大学2019-2020学年

第二学期期末《高等数学A2》考试试卷（A 卷）

一、试解下列各题(每小题5分，共50分)1.讨论二重极限00

11lim()sin x y x y x y →→+的存在性。2.设级数11()n n n a

a ∞-=-∑收敛，1(0)n n n

b b ∞=≥∑收敛，证明：1n n n a b ∞

=∑绝对收敛。

3.设(,,)u f x y z =有连续偏导数，函数(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，函数()y y x =由0sin x y

x t e dt t -=⎰确定，求du dx

.4.设2[,()]z f x y xy ϕ=-,其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数,)(u ϕ二阶可导,求y

x z ∂∂∂2.5.已知全微分()()y y xy x x y xy x y x f d 2d 2),(d 2222--+-+=，求),(y x f 的表达式。

6.设曲面方程为0),(=--by z ax z F （b a ,为正常数）,(,)F u v 具有一阶连续的偏导数，且02

2≠+v u F F ，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量。7.求22(,)f x y x y y =++在区域222

22:4,12x D x y y +≤+≥上的平均值。8.求2(,,)F x y z yzi z k =+ 穿出曲面∑的通量，∑为柱面：221,0y z z +=≥被平面

0,1x x ==截下部分。9.计算积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑

++⎰⎰ ，其中∑为球面：2222x

y z R ++=的外侧。10.设∑

为半球面z =(23)x y z dS ∑++⎰⎰.

二、(10分)已知空间曲线Γ：22223620

x y z x y z ⎧+-=⎨--=⎩，且空间曲线Γ在xoy 坐标面的投影曲线为L ,若取L 为顺时针方向，求曲线积分22

223L ydx xdy x y -+⎰．三、(8分)考察两直线111:

213

x y z l +-==-和2:42,3,24l x t y t z t =+=-+=-，是否相交？如相交，求出其交点，如不相交，求出两直线之间的距离d .

四、(本题24分，其中（1）8分，（2）8分，（3）4分，（4）4分，)已知某座小山的表面形状曲面方程为2275z x y xy =--+，取它的底面所在的平面为xoy

坐标面。(1)设点00(,)M x y 为这座小山底部所占的区域D 内的一点，问高函数(,)h x y ，在该点沿平面

上什么方向的方向导数最大？记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试求00(,)g x y 的表达式。

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需在山脚寻找上山坡度最大的点作为攀岩的起点,试确定攀岩起点的位置。

(3)试用多元函数积分式表示山体的体积V （只需给出二重积分式，不用计算积分）。

(4)设山的表面分布着某种物质，其质量面密度为(,,)x y z ρ=，试用重积

分表示分布在山体表面的物质质量（只需给出重积分式，不用计算积分）。

五、（8分）求数项级数201(1)(1)2n

n n n n ∞=--+∑的和。