必修三几何概型习题课

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高中数学必修三3.3.1几何概型习题新人教A版必修3

它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )
A′，连接 AA′，它是一条弦，
1
31 1
A. B. C. D.
2
23 4答案： C3．已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点
1 AD
为 2，则 AB＝ (
)
P，使△ APB的最大边是
AB”发生的概率
1 13
7
A. B. C. D.
2 42
4
答案： D
几何概型
1．如图所示，在一个边长分别为
A 组基础巩固 a， b( a>b>0) 的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分
aa 别为 3， 2，且高为 b. 现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是
()
7
5
A. 10 B. 7
55 C. D.
12 8
答案： C
2. 如图， A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点
所以
P( A) ＝
r ， a] 的长度 [0 ， a] 的长度
＝
a－ a
r
.
10．在长度为 10 cm 的线段 AD上任取两点 B， C在 B， C处折此线段而得一折线，求此折线
能构成三角形的概率．
解：设 AB， AC的长度分别为 x， y，由于 B， C在线段 AD上，因而应有 0≤ x，y≤10，
1 所以 GS∥ CD， GS＝ 2CD.
又 AB∥ CD， AB＝ CD，
1 所以 GS∥ AB，且 GS＝ 2AB，
又 M为 AB中点，所以 GS＝ AM，所以四边形 AGSM为平行四边形．所以 AG∥ MS，又 MS? 平面 FMC， AG?平面 FMC，所以 AG∥平面 FMC，即 GP∥平面 FMC.

2017人教a版高中数学必修三3.3.1几何概型练习

几何概型3.3.1 几何概型双基达标限时20分钟1．如图，边长为2的正方形中有一封锁曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为号( )．D ．无法计算解析由几何概型的概率公式知S 阴S 正＝23，所以S 阴＝23·S 正＝83. 答案 B2．在第1题中若将100粒豆子随机撒入正方形中，恰有60粒豆子落在阴影区域内，这时阴影区域的面积约为 ( )．D ．无法计算解析因为S 阴S 正＝N 1N ，所以S 阴4＝60100，所以S 阴＝60100×4＝125. 答案 A3．下列概率模型中，几何概型的个数为 ( )． ①从区间[－10,10]内任掏出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任掏出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]内任掏出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无穷多个点，但取到“1”只是一个数字，不能组成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无穷多个数可取(知足无穷性)，且在这两个区间内每一个数被取到的机缘是相等的(知足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不知足无穷性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故知足无穷性和等可能性．答案 B4．两根相距6 m 的木杆系一根绳索，并在绳索上挂一盏灯，则灯与两头距离都大于2 m 的概率是________．解析由已知得：P ＝26＝13. 答案 13 5．如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底别离为13a 与12a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．解析两“几何气宇”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )·b ＝512ab ，所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512. 答案 5126．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币抛掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图，在边长为4 3 cm 的等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形A ′B ′C ′的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P (A )＝3423234432＝14. 综合提高限时25分钟7．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客抵达站台当即乘上车的概率是( )．解析实验的所有结果组成的区域长度为10 min ，而组成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110. 答案 A8．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是 ( )．解析如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB | ＞14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝34. 答案 C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是________．解析本题为体积型几何概型问题， P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16. 答案 1610．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是________．解析记事件A 为“射线OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT ＝60°，周角为360°，故P (A )＝60°360°＝16. 答案 1611．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从区间[0,2]任取一个数，求上述方程有实根的概率．解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是a ≥b .(1)全集Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，故P (A )＝912＝34. (2)实验的全数结果所组成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而组成A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图所示的阴影部份，所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23. 12．(创新拓展)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发觉30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包括间谍犯法的信息．后来发觉，这段谈话的一部份被某工作人员擦掉了，该工作人员宣称他完尽是无心中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉的概率有多大？解记A ＝{按错键使含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉}，A 发生就是在0到23min 时刻段内按错键．P (A )＝2330＝145.。

人教版数学高一A版必修三练习几何概型

[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选A.A ∩B ＝{x |2<x <3}，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1，所以事件“x ∈A ∩B ”的概率为16，故选A.2. 如图所示，边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域．向正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D ．无法计算解析：选B.设阴影区域的面积为S ，依题意，得23＝S2×2，所以S ＝83.故选B.3．(2018·济南高一检测)在区间[0，1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，1]内的概率是( )A.π4B.π10C.π20D.π40解析：选A.设在[0，1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0，1]内，则有 0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0，1]内的点在14单位圆内(如图中阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4，故选A. 4．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D.试验的全部结果是平面区域D ，由于点到坐标原点的距离大于2，则点应该在圆x 2＋y 2＝22的外部．画草图(图略)易知区域D 是边长为2的正方形，到坐标原点的距离大于2的点在以坐标原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为2×2－14×π×222×2＝4－π4.6．(2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59.答案：597．水池的容积是20 m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．解析：如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积是12×20×20，所以所求的概率P＝12×20×2024×24＝2572.答案：25728．已知方程x2＋3x＋p4＋1＝0，若p在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为________．解析：因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝⎛⎭⎫p4＋1≥0，得p≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为510＝12.答案：129．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解：如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P＝3252＝925.10．小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点至七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图所示，方形区域内任一点的横坐标x 表示小强到达小明家的时间，纵坐标y 表示小明离开家的时间，(x ，y )可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(x ，y )|6≤x ≤7，6.5≤y ≤7.5}，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝1×1＝1.事件A 表示“小强能见到小明”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|6≤x ≤7，6.5≤y ≤7.5，y ≥x }，如图中阴影部分所示，面积为S A ＝1－12×12×12＝78.所以P (A )＝S A S Ω＝78，即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]11．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：选B.x ，y ∈[0，1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x－y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.12．已知0<a <1，分别在区间(0，a )和(0，4－a )内任取一个数，而取出的两数之和小于1的概率为316，则a 的值为________．解析：设所取的两个数分别为x ，y ，由题知所有基本事件构成的集合为Ω＝{(x ，y )|0<x <a ，0<y <4－a ，0<a <1}，其对应区域为矩形，面积为S (Ω)＝a (4－a )，而事件A ＝{(x ，y )∈Ω|x ＋y <1}，其对应区域面积为S (A )＝12(1＋1－a )a ，由几何概型的概率计算公式知316＝12（1＋1－a ）a a （4－a ），即a (5a －4)＝0，解得a ＝45.答案：4513．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.14．(选做题)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。

人教版高中数学-必修三训练 3.3.1几何概型

3.3.1 几何概型课时达标训练一、基础过关1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.13B.12C.310D.510答案 C解析 a ∈(15,25]，∴P (17<a <20)＝20－1725－15＝310.2．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.925B.1625C.310D.15答案 D解析以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P (A )＝210＝15.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.56答案 C解析由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4答案 A解析由题意得无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．答案127解析记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故P (A )＝103303＝127.6．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3.7．在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．解如图所示，把圆弧AB三等分，则∠AOF＝∠BOE＝30°，记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P(A)＝30°90°＝13.二、能力提升8．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)等于() A.π4 B.π2C．πD．2π答案 A解析如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆面x2＋y2<1内的点一一对应，∴P(A)＝π4.9．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()答案 A解析A中P1＝38，B中P2＝26＝13，C中设正方形边长为2，则P3＝4－π×124＝4－π4，D中设圆直径为2，则P4＝12×2×1π＝1π.在P1，P2，P3，P4中，P1最大．10．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．答案334π解析设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示的平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以，两人能会面的概率是716. 三、探究与拓展12．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。

几何概型习题课

7.（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y ≥1 ”的概率。
2
(2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a＞0 时，函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
a＋b－8≤0 {(a，b)|a＞0 }， b＞0
构成所求事件的区域为三角形区域． a＋b－8＝0 16 8 由 a 得交点坐标为 ( ， )， 3 3 b＝ 2 1 8 × 8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P＝＝ . 1 3 ×8×8 2
1 A. 3
2 B. 3
1 C. 9
2 D. 9
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
4、设在区间[0，2]中随机地取两个数，求下列事件的概率.
15 (1)两个数中较大的大于1/2；16 (2)两数之和大于3/4. 119 128
练习:分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则 m n
正解射线 CD 在∠ACB 内是均匀分布的，故∠ACB＝90° 可看成试验的所有结果构成的区域，在线段 AB 上取一点 E，使 AE＝AC，则∠ACE＝67.5° 可看成所求事件构成的区域，所以满足条件的概率为 67.5° 3 ＝ . 90° 4
知能层层练 1． (2011· 福州质检)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( )

人教A版高中数学必修3第三章概率3.3 几何概型习题(1)

【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.3.1几何概型练习新人教A 版必修3基础巩固一、选择题1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( )[答案] A [解析] P (A )＝38，P (B )＝26＝13，P (C )＝1－π41＝1－π4，P (D )＝1π.则P (A )最大，故选A.2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A.14 B.π4C.13D.π3[答案] B[解析] 设事件A ＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A 的几何区域为内切圆的面积S ＝πR 2(2R 为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P (A )＝πR22R2＝π4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4. 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是( ) A.13B.16C.12D.14[答案] B[解析] 体积型几何概型问题．P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16. 4.如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712[答案] C [解析] S 矩形＝ab .S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12a b ＝512ab . 故所投的点落在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512. 5．(2015·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )A.π4B.π10C.π20D.π40[答案] A[解析] 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1. 如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4.6．在面积S 为△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23[答案] C[解析] 如图，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，S △PBC＝12|PB |·h .又因为S △PBC >14S △ABC ，所以|PB |>14|AB |，故△PBC 的面积大于S4的概率是34.二、填空题7．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”发生的概率为________．[分析] 解不等式，求出a 的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可． [答案] 13[解析] 由题意，得0＜a ＜13，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a －1＜0”发生的概率为13.8．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”．那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．[答案]127[解析] 棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为127.三、解答题9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.10．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m 、宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．[分析] 海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概型概率公式求解．[解析] 如下图，该区域是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m\”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)，所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.[点评] 解决此类题的关键：(1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型； (2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)．能力提升一、选择题1．(2015·东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( )A.π16B.π8C.π4 D.π2[答案] B[解析] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心，1为半径的14圆内，所以所求的概率为π8. 2．(2015·虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为( )A.π2B ．1－π12C ．1－π6D ．1－π3[答案] B[解析] 作出满足题意的区域如右图，则由几何概型的知识得，所求概率P＝12×3×4－12π×1212×3×4＝1－π12.3．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( )A ．16 mB ．20 mC ．8 mD ．10 m[答案] B[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽为500×125＝20(m)． 4．(2014·湖北，理7)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14 C.34 D.78[答案] D[解析] 如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S △AOM ＝12×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S 阴＝SΩ1－S △ABC ＝2－12×1×12＝74.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P ＝S 阴SΩ1＝742＝78.故选D.二、填空题5．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．[答案] 1 2[解析] 如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A)＝DE＋FG＋MNBC＋CA＋AB＝3＋2＋112＝12.6．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为________．[答案]53125[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝43πR3＝500π3，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝500π3－96π500π3＝53125.三、解答题7．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？[解析] (1)设事件A＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝12.(2)设事件B ＝“弦长超过3”，弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P (B )＝14.(3)设事件C ＝“弦长超过3”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在BC ︵上时，才有|AD |>|AB |＝3，由几何概率公式知P (C )＝13.8．(2015·江西南昌摸底)两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．[探究] 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即23小时，设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23，因此转化成与面积有关的几何概型问题，利用几何概型概率公式求解．[解析] 设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－13212＝89.。

人教A版高中数学必修三练习：第三章概率3.3几何概型含答案

分层训练·进阶冲关A组基础练( 建议用时 20 分钟)1.以下概率模型中 , 几何概型的个数为( B )①从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到1的概率;②从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率;③从区间 [-10,10]内任拿出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD内投一点 P, 求点 P 离中心不超出1 cm 的概率 .A.1B.2C.3D.42.两根电线杆相距 100 m, 若电线遭到雷击 , 且雷击点距电线杆 10 m 以内时 , 电线杆上的输电设施将受损 , 则遭到雷击时设施受损的概率为( B )3.在长为 10 厘米的线段 AB上任取一点 G,以 AG为半径作圆 , 则圆的面积介于 36π平方厘米到 64π平方厘米的概率是( D )A. B. C. D.4.用计算器或计算机产生 20 个[0,1] 之间的随机数 x, 可是基本领件都在区间 [-1,3]上,则需要经过的线性变换是( D )A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=4x+1D.y=4x-15.已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点 P, 使△APB的最大边是 AB”发生的概率为, 则=( D )A. B. C. D.6.有四个游戏盘 , 以以下图所示 , 假如撒一粒黄豆落在暗影部分 , 则可中奖, 小明希望中奖时机大 , 他应入选择的游戏盘为( A )7.如图 , 图 2 中实线围成的部分是长方体 ( 图 1) 的平面睁开图 , 此中四边形 ABCD是边长为 1 的正方形 . 若向虚线围成的矩形内随意扔掷一质点, 它落在长方体的平面睁开图内的概率是, 则此长方体的体积是3 .8.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞翔 , 若蜜蜂在飞翔过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全 ; 若一直保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10, 则飞翔是安全的 , 假定蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一地点可能性同样, 那么蜜蜂飞翔是安全的概率是.9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取点 , 则该点落在三棱锥 A1-ABC内的概率是 .10.以下图 , 在直角坐标系内 , 射线 OT落在 60°角的终边上 , 任作一条射线 OA,则射线 OA落在∠ xOT内的概率是 .11.(1) 从区间 (0,5) 内随意选用一个实数x, 求事件“ 9x>27”发生的概率.(2) 从区间 (0,8) 内任取一个整数x, 求事件“ lo x>-2 ”发生的概率 .【分析】 (1) 由 9 x >27, 解得 x>log9 27,即x> .由几何概型可知 ,所求概率为 P1 ==.(2) 由 lo x>-2, 因此 0<x<4.则在区间 (0,8) 内知足不等式的整数为1,2,3 共 3 个.故由古典概型可知 ,所求概率为 P= .12.在正方体 ABCD-A1B1 C1 D1中, 棱长为 1, 在正方体内随机取一点 M,求使M-ABCD的体积小于的概率.【分析】设点 M 到面 ABCD 的距离为 h,则=·h=,即 h= .因此只需点 M 到面ABCD 的距离小于时,即知足条件.所有知足点 M 到面 ABCD 的距离小于的点构成以面ABCD为底,高为的长方体,其体积为.又由于正方体体积为1, 因此使四棱锥 M-ABCD的体积小于的概率为P= = .B组提高练( 建议用时 20 分钟)13.在区间 [-1,1] 上任取两数 x 和 y, 构成有序实数对 (x,y), 记事件 A为“ x2+y2<1”, 则 P(A) 等于 ( A )A. B. C.π D.2π14.球 O与棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的各个面均相切 , 如图 , 用平行于底面的平面截去长方体 A2B2C2D2-A 1B1C1D1, 获得截面 A2 B2C2D2, 且A2A= a, 现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆 , 则黄豆落在截面中的圆内的概率为( B )A. B. C. D.15.方程 x2+x+n=0(n∈(0,1)) 有实根的概率为 .16.有一个圆面 , 圆面内有一个内接正三角形 , 若随机向圆面上投一镖都中圆面 , 则镖落在三角形内的概率为.17.设有一个等边三角形网格 , 此中各个最小等边三角形的边长都是4cm, 现用直径等于 2 cm 的硬币扔掷到此网格上 , 求硬币落下后与格线没有公共点的概率 .【分析】记 A={ 硬币落下后与格线没有公共点},如图 ,在边长为 4cm 的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形 A ′B′C′的边长为4-2=2,当硬币的中心落在△ A ′B′C′内时,硬币与格线没有公共点 .由几何概率公式得 :P(A)== .18. 已知函数 f(x)=-x2+ax-b.(1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数 , 求上述函数有零点的概率 .(2)若 a,b 都是从区间 [0,4] 任取的一个数 , 求 f(1)>0 建立的概率 .【分析】 (1)a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本领件总数为 N=5 ×5=25( 个).函数有零点的条件为=a 2 -4b ≥0,即 a2≥4b.由于事件“ a 2≥4b ”包括 (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.因此事件“ a2≥4b”的概率为P=.(2) 由于 a,b 都是从区间 [0,4] 上任取的一个数 ,f(1)=-1+a-b>0,因此a-b>1, 此为几何概型 ,因此事件“f(1)>0 ”的概率为 P==.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟 )19.如图 , 在一个边长为 a,b(a>b>0) 的矩形内画一个梯形 , 梯形上、下底分别为 a 与a, 高为 b, 向该矩形内随机投一点, 则所投的点落在梯形内部的概率为.20. 设对于 x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数 ,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数 , 求上述方程有实根的概率 ;(2)若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数 ,b 是从区间 [0,2] 任取的一个数 ,求上述方程有实根的概率.【分析】设事件 A 为“方程 x 2 +2ax+b 2 =0有实根”,当a≥0,b≥0时,此方程有实根的条件是 a ≥b.(1) 全集Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共12个,此中第一个数表示 a 的取值 ,第二个数表示b的取值 ,事件A={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共9个,故 P(A)== .(2)试验的所有结果所构成的地区为 {(a,b)|0 ≤a ≤3,0 ≤b ≤2}, 而构成 A 的地区为 {(a,b)|0 ≤a≤3,0 ≤b ≤2,a ≥b}, 即以下图的暗影部分 ,因此 P(A)== .封闭 Word 文档返回原板块。

几何概型典型例题ppt课件

则△PBC 的面积不小于 S 的概率是（） 3
A． 2 B． 1 C． 3 D． 1
3
3
4
4
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
面积型概率（建系法）
1. 甲乙两人相约晚上7点到8点之间见面，约定谁先到达约定地点就等对方20分钟，等待超过20分钟则离开。求甲乙两人约会成功的概率。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
长度型概率
1.在长为 1 的线段 AB 上取一点 C，则 AC 之间的
距离小于 1 的概率为 2
A． 1 4
C． 3 4
B． 1 2
D． 7 8
[0，2] 任取的一个整数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个实数， b 是从区间
[0，2] 任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
面积型概率（建系法）
3.设有关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 ．（Ⅰ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个整数， b 是从区间
面积型概率上半圆(圆
中阴影部分)中的概率是( )
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

新人教B版高中数学(必修3)3.3.1《几何概型》

在几何概型中，事件A的概率的求解步骤？
记事件指出概率类型构造几何图形
求概率
计算几何度量
例1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率. 解: 记A=“小杯水中含有这个细菌” P(A)=0.1/1=0.1
例2：一金鱼在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，求金鱼离岸边不超过2米的概率？
E C O D
关键:
对于复杂的实际问题,解题的关键
是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型问题,利用几何概型的概率公式来求解.
课堂小结
(1)几何概型的特点 (2)几何概型的定义 (3)几何概型的概率计算公式
1、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标小于1 的概率是：（） A：1/3 B：1/2 C：2/3 D：2/9 2、在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠XOT内的概率是（） A：1/3 B：1/4 C：1/5 D：1/6 3、如果在一个1万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是（） A：1/40 B：1/25 C：1/250 D：1/500
等可能发生的的概率类型;
2.几何概型主要用于解决与长度.角度.面积.
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是
体积有关的题目;
3.求解公式为
μA 子区域 A的几何度量 P(A) = = μΩ 区域的几何度量
练习：求下列事件的概率
长度
1.取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率为（ 1 ） 3 2.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中 3 任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率（ 10） 3.如图在圆心角为90O 的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于20O 5 的概率为（）面积 4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于 S 的概率为（ 3 ）

高中数学必修三课时训练：3.3-几何概型(含答案)

数学·必修3(苏教版)第3章概率3．3 几何概型基础巩固 1．在(0，1)内任取一个数m ，能使方程x 2＋2mx ＋12＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.12B.14C.22D.2－22答案：D2．已知实数x ，y ，可以在0＜x ＜2，0＜y ＜2的条件下随机取数，那么取出的数对(x ，y)满足(x －1)2＋(y －1)2＜1的概率是( ) A.π4 B.4πC.π2D.π3答案：A3．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不少于1 m的概率是________．解析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，4]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0，4]上的均匀随机数，其中[1，3]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，3]内，也就是剪得两段长都不小于1 m．这样[1，3]的几何度量与[0，4]的几何度量之比就是事件A发生的概率．答案：1 24．在圆心角为90°的扇形OAB中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．解析：角的范围在0°到90°之间，作射线OC使得∠AOC的范围在30°到60°之间才能满足条件．答案：1 35．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．答案：1 3能力升级6．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________．解析：直线在y轴上截距范围长度为5，满足条件的截距长度为2，故所求概率为2 5.答案：2 57．在△ABC中，已知a∶b∶c＝5∶12∶13，在边AB上任取一点M，则△AMC是钝角三角形的概率为________．解析：设a＝5k，b＝12k，c＝13k(k＞0)，∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，过C作CM⊥AB于M.由AC2＝AM·AB得：AM＝144 13k.∴△AMC 是钝角三角形的概率为：14413k 13k ＝144169. 答案：1441698．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开．若他们在限期内到达目的地是等可能的，求甲、乙两人会面的概率．解析：以x ，y 表示甲、乙两人到达会面地点的时间，两人能够会面的条件为|x －y |≤3，在平面上建立如下图所示的直角坐标系，则(x ，y )的所有可能结果是边长为10的正方形(用Ω表示)的面积，而可能会面的时间由图中阴影部分(用A 表示)面积表示，显然这是一个几何概型．所以P (A )＝102－72102＝51100＝0.51. 即两人能够会面的概率为0.51.9．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解析：如图，记“硬币落下后与格线无公共点”为事件M，则易得小等边三角形A′B′C′的边长为2 3.由三角形的面积之比等于边长比的平方，得P(M)＝S△A′B′C′S△ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫B′C′BC2＝⎝⎛⎭⎪⎫23432＝14.10．甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24.且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4表示的区域(如上图)．设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536. (2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足y －x ≥4；当乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y ≥2.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或x －y ≥2.设满足上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域(如下图)．P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。

高中数学新课标必修3习题课件：第3章概率 29《几何概型(二) 》

3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
9．一个投针实验的模板如图所示，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆上，且 CA＝CB.现向模板内任投一针，则该针恰好落在△ABC 内(图中的阴影区域) 的概率是__________．
1 2 解析：设半圆 O 的半径为 r，则半圆 O 的面积 S 半圆＝ πr ， 2 在△ABC 中，AB＝2r，CA＝CB＝ 2r， 1 ∴S△ ABC＝ · 2r· 2r＝r2. 2 据题意可知该概率模型是几何概型， S△ ABC r2 2 所以所求的概率为 P＝＝＝ . S半圆 1 2 π πr 2 2 答案： π
B．1－ D. 3π 24
解析：设正三角形 ABC 的边长为 4，其面积为 4 3.分别以 A， B， C 为圆心， 1 为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三 1 π 2 π 个顶点的距离均超过 1 的区域，其面积为 4 3－3× × ×1 ＝4 3－，故所求 2 3 2 π 4 3－ 2 3π 概率 P＝＝1－ . 24 4 3 答案：B
解析：事件“点 P 到点 A 的距离小于或等于 a”构成的区域是以 A 为球心， 1 4 3 × πa 1 8 3 π a 为半径的球的，故 P＝＝ . 8 a3 6 答案：D
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
5．如图，在半径为 R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接正三角形内(阴影部分)的概率是( A. C. 3 4 3 4π ) 3 3 B. 4 D. 3 3 4π
解析：长方形面积为 2，以 O 为圆心，1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半 π π π 圆 )面积为，因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 ÷ 2＝，取到的点到 O 2 2 4 π 的距离大于 1 的概率为 1－ . 4 答案：B

[必修三]·[几何概型] · [培优] · [习题训练]·[教师版]

几何概型一、选择题（共12小题；共60分）1. 在区间上随机取两个实数，，则关于的一元二次方程有实数根的概率为A. B. C. D.2. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径厘米，中间有边长为厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是A. B. C. D.3. 道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进．某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯秒．红灯秒，黄灯秒．小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口的概率为A. B. C. D.4. 某公司的班车分别在，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是A. B. C. D.5. 在区间上随机选取两个数和，则的概率为A. B. C. D.6. 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是A. B. C. D.7. 如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为，且点与点在函数的图象上．若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于1A. B. C. D.8. 一只蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体个表面的距离均大于，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A. B. C. D.9. 如图正方形的曲线是以为直径的半圆，从区间上取个随机数，，，，，，，，已知个点（），（），，（）落在阴影部分的个数为，则的估计值为A. B. C. D.10. 某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，，，则向该标靶内投点，该点落在区域二内的概率为A. B. C. D.11. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了个在区间上的均匀随机数和个区间上的均匀随机数∗ ≤ ≤ ，其数据如下表的前两行．2由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是A. B. C. D.12. 在如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 如图，在一个长为，宽为的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为，，且高为．现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是．14. 一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至和下午至，那么该艘轮船在一昼夜内可以进港的概率是．15. 已知一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为．16. 在边长为的正方形内部任取一点，则满足的概率为．17. 有一根长为的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两段的长度都大于的概率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 如图，两盏路灯之间的距离是米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯、，问与，与之间的距离都不小于米的概率是多少?19. 如图所示，在墙上挂着一块边长为的正方形木板，上面画着小、中、大三个同心圆，半径分别为，、，某人站在之外向此板投镭，设投镶击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：3（1）投中大圆内的概率是多少?（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?（3）投中大圆之外的概率是多少?20. 某班甲、乙两名同学参加米达标训练，在相同条件下两人次训练的成绩（单位：秒）如下：甲乙（1）请画出茎叶图．如果从甲、乙两名同学中选一名加学校的米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于秒的概率．21. 设有一个等边三角形网格，其中各个等边三角形的边长都是，现把直径等于的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．22. 利用随机模拟的方法近似计算边长为的正方形内切圆面积，并估计的近似值．4答案第一部分1. B 【解析】要使方程有实根，只需满足，即，又，是从区间上随机取两个数，则满足条件的，如图所示，．2. C3. D4. B 【解析】设小明到达时间为，当在至时，小明等车时间不超过分钟，故．5. A6. B 【解析】解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过分钟，故所求概率为．解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过分钟，7：50~8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过分钟，故等车时间不超过分钟的概率为．7. B 【解析】易知点的坐标为，点的坐标为，所以矩形的面积为，阴影部分的面积为，故所求概率为．8. C 【解析】由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心，且棱长为的小正方体内．这个小正方体的体积为，大正方体的体积为，故安全飞行的概率为．9. B10. B11. A 【解析】由表可知，向矩形区域≤≤≤≤内随机抛掷个点，其中有个点在曲边三角形内，其频率为．因为矩形区域的面积为，所以曲边三角形面积的近似值为．12. A 【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为，总面积为，而阴影区域的边长为，面积为；故飞镖落在阴影区域的概率为．56第二部分 13.【解析】梯形，矩形，所以梯形矩形．14.【解析】早晨可以进港的时间为，下午可以进港的时间为，所以该艘轮船一昼夜内可以进港的概率为． 15.【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域长度为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．16.【解析】如图，如果点位于以为直径的半圆内部，则，否则点位于半圆上及空白部分，则 ≤ ，所以的概率．17.【解析】如图，将细绳八等分，，分别是第一个和最后一个等分点，则在线段的任意位置剪断得到的两段细绳长度都大于，故由几何概型的计算公式可知两段的长度都大于的概率．第三部分18. 记：“ 与，与之间的距离都不小于米”，把三等分，由于中间长度为米7所以．19. （1）记投中大圆内，投中小圆与中圆形成的圆环内，投中大圆之外，正方形，大圆，中圆，小圆，所以大圆正方形；（2）中圆小圆正方形；（3）正方形大圆正方形．20. （1）甲、乙两人次训练的成绩的茎叶图如图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．（2）设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，则，得，如图，阴影部分面积即为，则．21. 记硬币落下后与网格线没有公共点，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为，则小等边三角形的边长为，由几何概型概率的计算公式得．22. （1）利用计算机产生两组上的均匀随机数，，．（2）经过平移和伸缩变换，∗，∗，得到两组上的均匀随机数．（3）统计试验总次数和点落在圆内的次数 [满足的点的个数]．（4）计算频率，即为点落在圆内的概率的近似值．（5）设圆的面积为，则由几何概型概率的计算公式得．所以，即，又因为，所以．8。

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（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在区间［1,+∞
a b 8 0 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 a 0 b 0 构成所求事件的区域为三角形部分.
a b 8 0, 由 a b , 2
概率与统计
几何概型习题课
知识梳理
1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成正比，则这样的概率模型叫做几何概型.也就是说：事件A为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量 (长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.满足以上条件的试验称为几何概型. 2.在几何概型中，事件A P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）=μA/μΩ,其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.
变式探究
4.有一杯2升水中含有一个细菌，有一个小杯从这杯水中取出 0.3升水，则小杯中含有这种细菌的概率是___________ 解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为 150°- 45°- 75°= 30°，30/150=1/5
答案：1/5
1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型.
解析: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打
开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的
P（A）=（60-50）/60=1/6
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
点评:在本例中，等待的时间X是随机的，可以是0到60之间的任
何一刻，并且是等可能的，我们称X服从［0,60］上的均匀分布， X为［0,60］上的均匀随机数.
0 x 24 0 y 24 y x 4或x-y 2
1 1 20 20 22 22 442 221 2 P( B) 2 24 24 576 288
变式探究
3.一海豚在水池中自由游弋，水池长为30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
来求随机事件的概率.
甲乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有4班公共汽车，它的开车时刻分别为 1∶15,1∶30,1∶45,2∶00，如果他们约定：(1)见车就乘；(2) 最多等一辆车.求甲、乙同乘一辆车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的. 解析：设x,y分别表示甲乙两人到达的时刻，则样本空间Ω为 1≤x≤2,1≤y≤2,满足这些条件的图形为图(甲)中大正方形，其面积SΩ=(2-1)2=1.
解析:对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图
形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如右图，区域 Ω是长30m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海
豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在
下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600 （m2），阴影A 30×20-26×16=184（m2 即P(A)=184/600=23/75≈0.31.
与体积有关的几何概型的求法在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10 毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率. 解析:取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)=取出的种子体积/所有种子的体积=10/1000=0.01. 答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.
变式探究
1.两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m的概率.
解析:记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则P(A)= 2/6=1/3
与角度有关的几何概型的求法
如右图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，
任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率.
基础自测
1.为了测算如右图阴影部分的面积，做一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有 200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（ A.12 B.9 C.8 D.6
解析:S阴/S正=200/800， ∴S阴=200/800×36=9. B
2.在长为18 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2 与81 cm2之间的概率为（ A.5/6 B.1/2 C.1/3 D. 1/6 解析：M只能在中间6 cm~9 cm之间选取，而这是一个几何概型.
(红，红)，(红，黄)，(红，蓝)，(蓝，红)，(蓝，黄)，(蓝，蓝)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，蓝)，
其中，满足条件的有6种结果，
所以，所求概率为：P=6/9=2/3.
2.在区域,
x y 2 0 x y 2 0 y 0
内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（ A.π/2 B.π/8
得交点坐标为(16/3, 8/3)
1 8 8 ∴所求事件的概率为 3 1 P 2 1 88 3 2
题型训练如右图所示，圆形靶子被分成面积相等的三部分，
并分别染上红色、黄色、蓝色.两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率为_________
内的随机点，求函数y=f
（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率.
解析（1）∵函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=2a/b，要
使f(x)=ax2-4bx+1在区间［1，+∞）上为增函数，
当且仅当a>0且2b/a≤1,即2b≤a. 若a=1,则b=-1, 若a=2,则b=-1,1, 若a=3,则b=-1,1, ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5. ∴所求事件的概率为5/15=1/3.
变式探究
2.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，OD，求使得∠AOD和∠BOC都不小于30°的概率. 解析：如右图，设事件A是“作射线OC，OD使 ∠AOD和∠BOC都不小于30°”
A =90°-30°-30°=30°， =90°，由几何
A 30 1 P( A) 90 3
C.π/6 解析：区域为△ABC
D.π/4
S半圆 2 P = = . SABC 1 2 2 2 4 2
答案是：D

解析:以O为起点的射线OA是随机的，因而射线 OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，所以符合几何概型的条件.记事件B为“射线OA落在∠xOT内”，因为 ∠xOT=60° P（B）=60/360=1/6.
点评：关键是弄清过O的射线OA可以在平面内任意作，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的
0 x 24 0 y 24
1 2 20 20 25 2 设“两船无需等码头空出”为事件A，则P(A)= 24 24 36
y x 4或y x 4
（2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需要等码头空出，则满足x-y>2或y-x>4 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域
解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为 150°-45°-75°=30°，30/150=1/5. 答案：1/5
与长度有关的几何概型的求法某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假定电台是整点报时）。
分析：假设他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率.因为电台每隔1小时报时一次，他在 0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，因此，可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1. （1）设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4}分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率； 2）设点（a,b）是区域
x y 8 0 x 0 y 0
(1)设“甲、乙见车就乘，同乘一辆车”为事件A，则事件A 发生的情形必须满足甲乙两人在同一时间段(1∶00~1∶15或 1∶15~1∶30或1∶30~1∶45或1∶45~2∶00)等车，则满足事件A的图形如图(甲)阴影部分，其面积4×(1/4)2=1/4代入公式得P(A)=0.25. (2)设“甲、乙最多等一辆车，同乘一辆车”的事件为B，这又分三种情况：①见车就乘的情况(已在(1)中求出)；②甲先到达等一辆车，与乙同乘一辆车(如图(乙))；③乙先到达等一辆车，与甲同乘一辆车(ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积
大于S/4的概率是（ A. 1/4 B.1/2 C.3/4 D.2/3
解析:由△ABC和△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段 BA靠近B的四分之一点E与A ∴P的概率为AE/AB=3/4 C .
4.在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交AB于P，则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为_______
2.使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：
每个事件发生的概率只与构成该事件的几何图形的几何度量（长度、面积或体积）成比例；几何概型主要用于解决与长度、