高考数学核按钮新课标版

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核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十二章算法初步与框图、推理与证明12.2基本算法语句课件文

第十二页，共24页。
解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将 a，b 之和的一半赋值给变量 c，
语句“d＝c*c”是将 c 的平方赋值给 d，最后输出 d 的值．故输出
结果为 d＝16. (2)语句“c＝a＋b”是将 a，b 之和赋值给 c，语句“b＝a＋c
－b”是将 a＋c－b 的值赋值给了 b.故输出结果为 a＝1，b＝2，c＝ 3.
UNTIL 型： i＝1 S＝0 DO
S＝S＋i^2 i＝i＋1 LOOP UNTIL PRINT S END
i>100
第二十三页，共24页。
当型循环与直到型循环的区别 (1)WHILE 型是先判断条件，后执行循环体，而 UNTIL 型则是先执行循环体，后判断条件； (2)WHILE 型是当条件满足时执行循环体，不满足时结束循环，而 UNTIL 型则是条件不满足时执行循环体，条件满足时结束循环； (3)UNTIL 型至少执行一次循环体，而 WHILE 型执行循环体的次数可能为 0.
说明：当计算机执行“IF—THEN”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行 END IF
之后的语句．
(2)“IF—THEN—ELSE”语句格式：
____________________．
说明：当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体 1，否则(ELSE) 执行语句体 2.
第二十四页，共24页。
i＝i＋5 WEND PRINT i END A．5 B．6 C．10 D．11
解：这是一个当型循环程序，当 i＝(1＋5)＋5＝11>10 时，退出循环，输出的 i＝11.故选 D.

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程课件

第二章函数的概念、基本初等(chūděng)函数(Ⅰ)及函数的应用
§2.6 函数(hánshù)与方程
第一页，共19页。
1．函数的零点
(1)定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使
的实数 x 叫做函数 y＝f(x)
的零点．
函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的________，也是函数 y＝f(x)的图象
2．判断函数在给定区间零点的步骤 (1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续； (2)计算 f(a)，f(b)的值并判断 f(a)·f(b)的符号； (3)若 f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．
第十八页，共19页。
3．确定函数 f(x)零点个数(方程 f(x)＝0 的实根个数)的方法： (1)判断二次函数 f(x)在 R 上的零点个数，一般由对应的二次
利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
第二页，共19页。
2．函数的零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有
，那么，函数 y＝f(x)在区间
内有零点，即
存在 c∈
，使得
，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见 2.4 节
当 0＜a＜12时满足题意．故填0，12.
第十五页，共19页。
【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理

第十五页，共33页。
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十二章算法初步、

已知数列1×1 2，2×1 3，3×1 4，…，n（n1＋1），通
过计算得
S1
＝
1 2
，
S2
＝
2 3
，
S3
＝
3 4
，
由
此
可
猜
测
Sn ＝
____________．
解法一：通过变化规律猜测 Sn＝n＋n 1. 解法二：Sn＝1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋n（n1＋1）
＝ 1－12 ＋ 12－13 ＋ 13－14 ＋ … ＋ 1n－n＋1 1 ＝ 1 －
【点拨】用数学归纳法证明与正整数 n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从 n＝k 到 n＝k＋1 时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证明待证等式．
求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
证明：①n＝1 时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设 n＝k 时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2 －(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以 n＝k＋1 时，等式也成立．由①②得，等式对任何 n∈N*都成立．
类型一证明等式
证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)．证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，那么，当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.2函数的单调性与

第十八页，共28页。
(2015·衡水模拟)若在区间[0，1]上存在实数 x 使 2x(3x＋a)<1 成立，则实数 a 的取值范围是________．
解：2x(3x＋a)＜1 可化为 a＜2－x－3x，则在区间[0，1] 上存在实数 x 使 2x(3x＋a)＜1 成立等价于 a＜(2－x－ 3x)max(x∈[0，1])．函数 y＝2－x－3x 在[0，1]上单调递减， ∴y＝2－x－3x 的最大值为 20－0＝1，∴a＜1，故 a 的取值范围是(－∞，1)．故填(－∞，1)．
第七页，共28页。
(2014·天津)函数 f(x)＝log1(x2－4)的单调
2
递增区间为________．
解：函数 y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数 y＝f(x)由 y＝log1t 与 t＝g(x)＝
2
x2－4 复合而成，又 y＝log1t 在(0，＋∞)上单调
2
递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数 y
第二十三页，共28页。
(2013·南昌模拟)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一
切 x＞0，y＞0 都有 fxy＝f(x)－f(y)，当 x＞1 时，有 f(x)＞0.
；
②存在 x0∈I，使得Fra bibliotek．那么我们称 N 是函数 y＝f(x)的最小值．
第三页，共28页。
自查自纠
1．(1)①任意两个增函数 (2)单调性单调区间
2．(1)①f(x)≤M ②f(x0)＝M (2)①f(x)≥N ②f(x0)＝N
②任意两个减函数
第四页，共28页。
(2014·北京)下列函数中，定义域是 R 且为增函数
第二十一页，共28页。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用课件文

第十九页，共24页。
点拨：建立关于 x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等” 以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．
第十六页，共24页。
已知函数 f(x)＝ex＋e－x，其中 e 是自然对数的底数．若关于 x 的不等式 mf(x)≤e－x＋m－1 在(0，＋∞)上恒成立，则实数 m 的取值范围为 ________．
解：由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1 在(0，＋∞)上恒成立．令 t＝ex(x＞0)，则 t＞1，且 m≤－t2－t－t＋1 1＝－t－1＋1t－1 1＋1对任意 t＞1 成立． ∵t－1＋t－1 1＋1≥2 （t－1）·t－1 1＋1＝3， ∴－t－1＋1t－1 1＋1≥－13，当且仅当 t＝2，即 x＝ln2 时等号成立．
(Ⅱ)解法一：由 2x＋8y－xy＝0，得 x＝y－8y2，∵x＞0，∴y＞2，
则 x＋y＝y＋y－8y2＝(y－2)＋y－162＋10≥18，
当且仅当 y－2＝y－162，即 y＝6，x＝12 时等号成立．解法二：由 2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，
则 x＋y＝8x＋2y·(x＋y)＝10＋2yx＋8xy≥10＋2
第十二页，共24页。
(2)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0，求： (Ⅰ)xy 的最小值； (Ⅱ)x＋y 的最小值．
解：(Ⅰ)由 2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又 x＞0，y＞0，
则 1＝8x＋2y≥2
8x·2y＝
8 ，得 xy≥64， xy
当且仅当 x＝4y，即 x＝16，y＝4 时等号成立．

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.1弧制及任意角的三角函数课件

|α|＝________，l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长．
(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad，180°＝________rad， 1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来 1rad＝____≈57.30°＝57°18′.
(3)若圆心角 α 用弧度制表示，则弧长公式 l＝__________；扇形面
22
3 2
135°
3π 4
2 2
150° 180° 270° 360°
5π 6
π
3π 2
2π
1 2
0 －1 0
cosα
1
3 2
2 2
1 2
0
－21
tanα 0 3 1
3
不
3存在
－3
－
2 2
－1
－
3 2
－1
0
1
－
3 3
不 0存 0
在
第十二页，共33页。
如果 sinα＞0，且 cosα＜0，那么 α 是( )
如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB＝120°，半径 R ＝6，求：
︵ (1)AB的长；
(2)弓形 ACB 的面积．
第二十二页，共33页。
解：(1)∵∠AOB＝120°＝23π，R＝6， ∴lA︵B＝23π×6＝4π. (2)S 弓形 ACB＝S 扇形 OAB－S△OAB ＝12lA︵BR－12R2sin∠AOB ＝12×4π×6－12×62× 23＝12π－9 3.
运用．
第二十四页，共33页。
扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形的
面积为 3 cm2，求圆心角的大小．
解：设扇形半径为 r，则弧长为 8－2r， ∴S＝12·(8－2r)·r＝3，解得 r＝1 或 3. ∴圆心角 θ＝弧半长径＝8－r 2r＝6 或23.

核按钮(新课标)高考数学一轮复习(课时精讲+课时检测+单元检测)第二章函数的概念、基本初等函数Ⅰ及

第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象． (4)体会指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况．5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．§2.1 函数及其表示1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有________f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个________，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中，x 叫做________，x 的取值范围A 叫做函数的________；与x 的值相对应的y 值叫做________，其集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的________．2．函数的表示方法 (1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且________完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5．映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于A 中的________元素x ，在集合B 中都有________元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．6．映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_______________．(2)区别：函数是从非空数集．．A 到非空数集．．B 的映射；对于映射而言，A 和B 不一定是数集．．． 7．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．自查自纠： 1．唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2．(1)数学表达式 (2)图象 (3)列出表格 3．(1)定义域对应关系值域 (2)定义域对应关系5．任意一个唯一确定的 6．(1)映射(2014·山东)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解：(log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C .(2014·江西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x ＜0，(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 解：f (－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，∴a ＝14.故选A .下列各图表示两个变量x ，y 的对应关系，则下列判断正确的是( )A ．都表示映射，都表示y 是x 的函数B ．仅③表示y 是x 的函数C ．仅④表示y 是x 的函数D ．都不能表示y 是x 的函数解：根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.(2014·南京模拟)函数y ＝11－x＋log 2(2x －1)的定义域为________．解：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，2x －1>0，解得12<x <1.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2014·新课标Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：由题设知f (x )≤2可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13≤2，解得x ≤8.故填(－∞，8]．类型一函数和映射的定义下列对应是集合P 上的函数的是________．①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．解：由于①中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，而③中集合P 不是数集，所以①和③都不是集合P 上的函数．由题意知，②正确．故填②.点拨：函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y 与之对应；③集合P ，Q 是否为非空数集．(2013·南昌模拟)给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1；②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ；④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为________．解：对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 两个集合分别用列举法表述为A＝{2，4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B中两个元素±1；④是从A 到B 的映射．故填②④.类型二判断两个函数是否相等已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数中与f (x )相等的函数是( )A ．g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，1－x ，x ≤0 D ．g (x )＝x －1解：∵g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1，2，x ＝－1，与f (x )的定义域和对应关系完全一致，故选B .点拨：两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．(2013·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0C ．f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x （x ＋1）解：对于A ，f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以不是同一函数；对于C ，当n ∈N *时，2n ±1为奇数，则f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.类型三求函数的定义域(1)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x－4)0的定义域．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1)，求y ＝ f (x 2－3)的定义域．解：(1)要使函数有意义须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0.解得x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.∴函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2}，用区间表示为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，4)∪(4，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3≥－1，x 2－3＜1，解得⎩⎨⎧x ≤－2或x ≥2，－2＜x ＜2.∴函数的定义域为(－2，－2]∪[2，2)．点拨：求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y ＝f (x )用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．若已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数y ＝f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(1)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (x )的定义域．(2)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (2x)的定义域．解：(1)∵函数f (2x －1)的定义域为[1，4]， ∴1≤x ≤4，1≤2x －1≤7，故函数f (x )的定义域是[1，7]．(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为[1，7]，令1≤2x≤7，得0≤x ≤log 27，故所求函数的定义域为[0，log 27]．类型四求函数的值域求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x2； (2)y ＝2x ＋1－x ； (3)y ＝2x ＋1－x 2； (4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求函数z ＝x 2＋y 2的值域；(6)f (x )＝||2x ＋1－||x －4. 解：(1)解法一：(反解)由y ＝1－x 21＋x 2，解得x 2＝1－y 1＋y， ∵x 2≥0，∴1－y 1＋y≥0，解得－1＜y ≤1，∴函数值域为(－1，1]．解法二：(分离常数法)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又∵1＋x 2≥1，∴0＜21＋x2≤2，∴－1＜－1＋2x 2＋1≤1， ∴函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法)令t ＝1－x (t ≥0)，∴x ＝1－t 2，∴y ＝2(1－t 2)＋t ＝－2t 2＋t ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋178. ∵t ≥0，∴y ≤178，故函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178. (3)(三角换元法)令x ＝cos t (0≤t ≤π)，∴y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝15，sin φ＝25.∵0≤t ≤π，∴φ≤t ＋φ≤π＋φ， ∴sin (π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为[－2，5]． (4)解法一：(不等式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1＝（x －1）2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1，又∵x ＞1时，x －1＞0，x ＜1时，x －1＜0，∴当x >1时，y ＝(x －1)＋4x －1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋4－（x －1）≤－4，且当x ＝－1，等号成立．∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．解法二：(判别式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1，∴x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0，又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∴方程x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0有不等于1的实根．∴Δ＝(y ＋2)2－4(y ＋5)＝y 2－16≥0，解得y ≤－4或y ≥4.当y ＝－4时，x ＝－1；y ＝4时，x ＝3. 故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (5)(单调性法)∵3x 2＋2y 2＝6x ，∴2y 2＝6x －3x 2≥0，解得0≤x ≤2.z ＝x 2＋y 2＝x 2＋3x －32x 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵对称轴为x ＝3＞2，即z 在x ∈[0，2]上单调递增．∴当x ＝0时，z 有最小值0，当x ＝2时，z 有最大值4，故所求函数的值域为[0，4]． (6)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.点拨：求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋x －1；(2)y ＝1＋4x ＋x 21＋x 2； (3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4.解：(1)函数的定义域为[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y ＝x 和y ＝x －1都是增函数， ∴y ＝x ＋x －1也是增函数，∴当x ＝1时取得最小值1，∴函数的值域是[1，＋∞)．(2)解法一：变形得：y ＋yx 2＝1＋4x ＋x 2，∴(1－y )x 2＋4x ＋1－y ＝0，y ＝1时，x ＝0； y ≠1时，∵x ∈R ，∴Δ＝16－4(1－y )2≥0⇒－1≤y ≤3且y ≠1. ∴函数值域为[－1，3]．解法二：y ＝1＋4x1＋x 2，而－1－x 2≤2x ≤1＋x 2，1＋x 2＞0.∴－1－x 21＋x 2≤2x 1＋x 2≤1＋x 21＋x 2，∴－1≤2x 1＋x2≤1. ∴1＋2×(－1)≤1＋2×2x1＋x2≤1＋2×1，即－1≤y ≤3，∴函数的值域为[－1，3]．(3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4.令f (x )＝t ＋1t ，而t ＋1t在[2，＋∞)上是增函数．∴t ＋1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. ∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. (说明：此题易错写成f (x )＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2.∴f (x )的值域为[2，＋∞)．请想一想，错在哪里？)类型五求函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )；(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2－3，求f (x )；(4)已知f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ＋2，求f (x )．解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3. 故所求的函数为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设2x ＋1＝t ，则x ＝12(t －1)，∴f (2x ＋1)＝f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）2＋8⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）＋3＝t 2＋2t ，所以f (x )＝x 2＋2x .(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－5，而x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )＝x 2－5(x ≥2或x ≤－2)．(4)令t ＝1x ，则x ＝1t，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －2f (t )＝3t＋2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ＋2，与原式联立得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f （x ）＝3x ＋2，解得f (x )＝－x －2x－2，故所求函数的解析式为f (x )＝－x －2x－2(x ≠0)．点拨：由y ＝f (g (x ))的解析式求函数y ＝f (x )的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g (x )的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，如(4)，将f (x )作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f (x )的解析式，含f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的类型常用此法．(2013·武汉模拟)(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．解：(1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题意得3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. ∴f (x )＝2x ＋7. (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①把x 换成1x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，所以f (x )＝2x －1x(x ≠0)．类型六分段函数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），x ≤2，3－x ，x >2，则f (log 32)的值为________．解：∵log 32<2，log 36<2，log 318>2，∴f (log 32)＝f (log 32＋1)＝f (log 36)＝f (log 36＋1)＝f (log 318)＝3－log 318＝118.故填118.点拨：求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．(2014·天津十二区联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0，若af (－a )＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，1)解：根据分段函数解析式知af (－a )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a log 12a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a log 2（－a ）＞0，解得0＜a ＜1或－1＜a ＜0.故选A .1．对应、映射和函数三者之间的关系对应、映射和函数三个概念的内涵是依次丰富的．对应中的唯一性形成映射，映射中的非空数集形成函数．也就是说，函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．2．判断两个函数是否相等判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．3．函数的表示法函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性．4．函数的定义域给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域)．需要注意的是：(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集；(2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数的情况进行分类讨论；(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集)．5．求函数解析式的主要方法待定系数法、换元法、方程(组)法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f (g (x ))的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法．6．函数的值域求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有：(1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合．(2)当函数y ＝f (x )用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合．(3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝23xB ．f ：x →y ＝x 2－x2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2D ．f ：x →y ＝x ＋5－1解：对于A ，当x ＝4时，y ＝83∉M ；对于B ，当x ＝1时，x 2－x2x －2无意义；对于C ，当x ＝0时，y ＝3∉M ； D 符合映射定义，故选D . 2．给出下面四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0的图象是抛物线．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①，函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②，定义域是空集，错误；命题③，y ＝2x (x ∈N )的图象是一些孤立的点，故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．只有①正确，故选A .3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解：∵f (x )的定义域为[0，2]，∴令⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解此不等式组得0≤x <1.故选B.4．(2014·南充模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则“f (x )≤0”是“x ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解：若f (x )≤0，则当x ≤0时，f (x )＝x 2－x ＝x (x －1)≤0，解得x ＝0；当x >0时，f (x )＝log 2x ≤0，解得0<x ≤1，∴0≤x ≤1，∴“f (x )≤0”是“x ≥0”的充分不必要条件．故选A.5．函数y ＝x ＋2－x 的最大值为 ( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解：函数的定义域为[0，2]，y 2＝(x ＋2－x )2＝2＋2x （2－x ）≤2＋x ＋(2－x )＝4，当且仅当x ＝1时取等号，∴y ≤2.故选D.6．(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2] 解：当a ＜0时，f (a )＝0＜f (0)，f (0)不是f (x )的最小值．当a ≥0时，f (0)＝a 2，而x ＋1x＋a ≥2＋a (x ＝1时取等号)．∴由题意得a 2≤2＋a .解不等式a 2－a －2≤0，得－1≤a ≤2， ∴0≤a ≤2.故选D .7．(2013·安徽)函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为____________．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0，1]．故填(0，1]．8．(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解：作出y ＝f (x )的图象如图，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，可得a ≤ 2.故填(－∞，2]． 9．函数f (x )满足f (x －3)＝xx 2＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的值域．解：(1)令x －3＝t ⇒x ＝t ＋3.∴f (t )＝t ＋3（t ＋3）2＋1＝t ＋3t 2＋6t ＋10. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x ＋3x 2＋6x ＋10.(2)令y ＝x ＋3x 2＋6x ＋10⇒yx 2＋6yx ＋10y ＝x ＋3，∴yx 2＋(6y －1)x ＋10y －3＝0. 当y ＝0时，x ＝－3；当y ≠0时，Δ＝(6y －1)2－4y (10y －3)≥0，∴－12≤y ≤12且y ≠0.综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 10．已知f (x )＝bx ＋12x ＋a(a ，b 为常数，ab ≠2)，且f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝k 为定值，求k 的值．解：∵f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝bx ＋12x ＋a ·bx ＋12x＋a＝（bx ＋1）（b ＋x ）（2x ＋a ）（2＋ax ）＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a. 又由条件知当x ≠0时，恒有：f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a＝k (常数)．则f (1)·f (1)＝f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝k . 即b 2＋2b ＋1a 2＋4a ＋4＝2b 2＋5b ＋22a 2＋10a ＋8，亦即2ab 2＋2a ＝a 2b ＋4b ， ∴(ab －2)(a －2b )＝0.∵ab ≠2，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，∴k ＝f 2(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋12（b ＋1）2＝14.11．已知函数f (x )＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(i )当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求；(ii )当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≤0⇒－511≤a ＜1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≥0⇒－1＜a ≤－511.当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (2 015)的值为________．解：∵x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，∴f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，因此，f(2 015)＝f(6×335＋5)＝f(5)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，∴f(2015)＝1，故填1.§2.2函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．②如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ________，区间D叫做y＝f(x)的________．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2014·北京)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|解：由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是( )A．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.(2014·天津)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为________．解：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x )由y＝log12t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故填(－∞，－2)．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f()x＋a在[)0，＋∞上是增函数，则a的取值范围是________．解：∵f(x)＝x2－4x＋3＝()x－22－1，∴f()x＋a＝()x＋a－22－1，且当x∈[)2－a，＋∞时，函数f(x＋a)单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.故填[2，＋∞)．类型一判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－x2＋2|x|＋3；②y＝1－x2－3x＋2；③y＝x3－3x.解：①依题意，可得当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．②由x 2－3x ＋2≥0，得x ≥2或x ≤1，设u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝1－u ，当x ∈(－∞，1]时，u 为减函数，当x ∈[2，＋∞)时，u 为增函数，而u ≥0时，y ＝1－u 为减函数．∴y ＝1－x 2－3x ＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)．③y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令y ′＞0，得x ＞1或x ＜－1，由y ′＜0，得－1＜x ＜1，∴y ＝x 3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1，1)．(2)证明f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上为单调增函数．证法一：(定义法)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22－1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f (x )＝x 2＋1x(x ＞1)，所以f ′(x )＝2x －1x 2＝2x 3－1x2.又x ＞1，所以2x 3－1＞0且x 2＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．点拨：求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f (g (x ))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．(1)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________．(填写序号即可)①f (x )＝sin x; ②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝log 12(x ＋3); ④f (x )＝|x ＋1|.解：结合函数性质及图象分析可知：①，④不满足题意．对于②，f ′(x )＝1－1x2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，1)上递减；对于③，令u ＝x ＋3，在(0，1)上递增，而y ＝log 12u 为减函数，由复合函数单调性知，f (x )＝log 12(x ＋3)在(0，1)上单调递减．综上可知，②③在(0，1)上为减函数．故填②③.(2)求证：函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．证法一：(定义法)任取x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 22＋34x 22＋1＜0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f ′(x )＝3x 2＋1>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．类型二函数单调性的应用若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：设u ＝x 2－ax ＋3a >0，且函数u 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上是单调增函数．又y ＝log 2u 是单调增函数，根据复合函数的单调性，要使函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧[2，＋∞）⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞，u ＝x 2－ax ＋3a >0（x ∈[2，＋∞））恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u min ＝u （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，4－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(－4，4]．点拨：利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义，如本题中，不能忽视u ＝x 2－ax ＋3a >0； (2)弄清常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的关系，如本题中，⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞ 是单调增区间，[2，＋∞)是它的子集；(3)注意恒成立不等式的等价转化问题．是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2，4]上是单调增函数？证明你的结论.解：设u ＝ax 2－x >0.假设符合条件的a 存在．当a >1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调增函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u min ＝u （2）＝4a －2＞0. 解得a >12，于是a >1. 当0<a <1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调减函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u min ＝u （4）＝16a －4＞0，解得a ∈∅.综上，当a ∈(1，＋∞)时，函数f ()x ＝log a (ax2－x )在区间[]2，4上是单调增函数．类型三抽象函数的单调性已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．解：(1)证法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．证法二：在R 上任取x 1，x 2且x 1>x 2，则x 1－x 2＞0. 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. 点拨：对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f (x )＝－23x . (2013·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＜2. 解：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1， ∴f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )＜f (36)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＞0，1x ＞0，x 2＋5x ＜36，解得0＜x ＜4.1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，那么(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．2．函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同，那么y ＝f (g (x ))是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相反，那么y ＝f (g (x ))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u ＝g (x )的值域必须是y ＝f (u )的单调区间的子集．(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．3．函数最值的重要结论(1)设f (x )在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则f (x )≥m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )min ≥m ；(2)设f (x )在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则f (x )≤m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )max ≤m .4．自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若f (x )是增(减)函数，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f ”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行．1．函数y ＝x －1的单调递增区间是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，0] 解：y ＝x －1的图象由y ＝x 的图象向右平移1个单位得到，故y ＝x －1的单调递增区间是[1，＋∞)．故选A .2．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x解：选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．故选D .3．(2013·西安调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为正值B ．恒等于零C ．恒为负值D ．无法确定正负解：∵f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，∴f (x )在R 上单调递减．又x 1＋x 2＞0，则x 1＞－x 2， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，从而有f (x 1)＋f (x 2)＜0.故选C.4．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）.则f (x )的值域是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解：令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．故选D.5．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解：由y ＝f (x )的图象及已知可得0<a <1，所以1<a ＋1<2，由于函数f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．故选A .6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0，又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0，从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0.∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .7．若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝____________．解法一：函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知－a2＝3，∴a ＝－6.解法二：由f (3)＝0⇒a ＝－6.故填－6.8. (2012·山东)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解：若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝4，f （2）＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝4，a 2＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，m ＝116.∴g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×116x ＝34x 在[0，＋∞)上是增函数，满足题意．若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝4，f （－1）＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，1a＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝12. ∴g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×12x ＝－x 在[0，＋∞)上是减函数，不合题意．综上知，a ＝14.故填14.9．已知a >b >0，m >0.(1)判断函数f (x )＝b ＋xa ＋x在区间(0，＋∞)内的单调性；(2)证明不等式b a <b ＋ma ＋m.解：(1)∵f (x )＝b ＋x a ＋x ＝a ＋x ＋（b －a ）a ＋x＝1－a －ba ＋x，又y ＝－a －ba ＋x在(－a ，＋∞)内为增函数，∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数．(2)证明：∵由(1)知f (x )在(－a ，＋∞)内为增函数，∴当x 1＝0，x 2＝m 时，x 1＜x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即b a <b ＋ma ＋m.10．用函数单调性的定义证明：f (x )＝a x ＋a －x在(0，＋∞)上是增函数(这里a ＞0且a ≠1)．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(ax 1＋a －x 1)－(ax 2＋a －x 2)＝(ax 1－ax 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 1－1ax 2＝1ax 1＋x 2(ax 1－ax 2)(ax 1＋x 2－1)，∵0＜x 1＜x 2，∴x 1＋x 2＞0，ax 1＋x 2＞0. (1)当a ＞1时，ax 1＋x 2＞1，ax 1＜ax 2， ∴ax 1＋x 2－1＞0，ax 1－ax 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.(2)当0＜a ＜1时，ax 1＋x 2＜1，ax 1＞ax 2，。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.3函数的奇偶性与

不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选 D.
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(2014·湖南)已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1) ＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解：用“－x”代替“x”，得 f(－x)－g(－x)＝(－x)3 ＋(－x)2＋1，化简得 f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令 x＝1，得 f(1)＋g(1)＝1.故选 C.
x 的对数式或指数式的函数通常用“f(－x)±f(x)＝0”来
判断．
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(1)(2015·安徽模拟)若函数 f(x)＝1k＋－k2·2xx在定义域上为奇函数，则实数 k＝________.
解：∵f(－x)＝1k＋－k2·2－－xx＝k·2x2＋x－k 1， ∴f(－x)＋f(x) ＝（k－2x）（（2x＋1＋k）k·2＋x）（（k·22xx＋－k1））（1＋k·2x）＝（（1k＋2－k1·2）x）（（222xx＋＋1k））. 由 f(－x)＋f(x)＝0 对定义域中的 x 均成立可得 k2＝1， ∴k＝±1.故填±1.
当 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．
解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对称的
特征知函数 f(x)为奇函数．
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(3)∵4x≠－0x2，≥0， ∴－2≤x≤2 且 x≠0，
(5)∵函数的定义域为 R，又∵f(－x)＋f(x) ＝loga[－x＋（－x）2＋1]＋loga(x＋ x2＋1) ＝loga( x2＋1－x)＋loga( x2＋1＋x) ＝loga[( x2＋1－x)( x2＋1＋x)] ＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.

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第七章不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.§7.1 不等关系与不等式1.比较原理两实数a，b之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________.其中a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔______________；a＝b⇔__________.2.不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________；不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________.(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒__________；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac______bd；(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a______1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________.注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除.自查自纠：1.a＞b a＜b a＝b a－b＜0 a－b＝02.(1)b<a(2)a>c(3)> (4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(6)a－c>b－d(7)ac>bd(8)＞(9)＜(10)a n>b n(n∈N*且n>1)(11)na>nb(n∈N*且n>1)(2013·上海)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( )A.1a<1bB.ab<b2C.－ab<－a2D.－1a<－1b解：1a－1b＝b－aab>0，故1a>1b，∴－1a<－1b.故选D.设f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，x∈R，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)≥g(x)C.f(x)＝g(x)D.f(x)＜g(x)解：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a＞0，b＞0，则a a b b与a b b a的大小关系为( )A.a a b b≥a b b aB.a a b b＜a b b aC.a a b b≤a b b aD.与a，b的大小有关解：不妨设a≥b＞0，则ab≥1，a－b≥0，故a ab ba b b a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b≥1，即a a b b ≥a b b a.同理当b ＞a ＞0时，亦有a a b b≥a b b a.故选A .已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a________b.解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b.故填＞.若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1b 与1a ＋b的大小关系是__________.解：∵a ，b ∈R ＋，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ÷1a ＋b＝（a ＋b ）2ab ≥4abab＝4>1，∴1a ＋1b >1a ＋b .故填1a ＋1b >1a ＋b .类型一建立不等关系燃放礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x (m)应满足怎样的关系式？解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的时间，所以104<x0.2.点拨：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组.(钉帽厚度不计) 解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k2，有47＋47k ＋47k2≥1. 所以可从中提炼出一个不等式组： ⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k2≥1.类型二不等式的性质已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a＞d b；③bc >ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －adab＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc －adab＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③.(3)若bc ＞ad ，bc －adab＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题.点拨：运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论.(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c 解：由c ＜d ＜0⇒－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c.故选D.类型三不等式性质的应用(1)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________.解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.点拨：①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α2－β的范围.②此类题目用线性规划也可解.(2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a ＋3b 的取值范围.解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1.∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132，故2a ＋3b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132.点拨：由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解.(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________.解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围.解法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.①②f (－2)＝4a －2b.设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得m ＝3，n ＝1.由①×3＋②×1得5≤4a －2b ≤10，即5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1）得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，后面同解法一.类型四比较大小比较a ＋mb ＋m 与ab(其中实数b ＞a ＞0，实数m ＞0)的大小.解法一：(作差比较)： a ＋m b ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ），∵b ＞a ＞0，m ＞0， ∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b. 解法二(作商比较)：∵b ＞a ＞0，m ＞0， ∴bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0， ∴ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m ＞a b .点拨：本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质.作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论.若a <0，－1<b <0，则下列不等式成立的是________.①log 0.5(－a )<log 0.5(－ab 2)；②(－a )2<(－ab 2)2；③(－a )－1>(－ab 2)－1；④0.5－a >0.5－ab 2.解法一：对于①，∵a ＜0，－1＜b ＜0，可知－a ＞0，0＜b 2＜1，∴－a ＞－ab 2＞0，结合对数函数的性质容易得到log 0.5(－a )＜log 0.5(－ab 2)，①成立；对于②，由①知－a ＞－ab 2＞0，故(－a )2＞(－ab 2)2，②不成立；对于③，由－a ＞0知，－1a ＞－1ab2⇔1＞1b2⇔b 2＞1，与－1＜b ＜0矛盾，③不成立；对于④，由①知④不成立.解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，如对于①，有log 0.5(－a )－log 0.5(－ab 2)＝log 0.51b2＜0，从而①正确，其余类似可解.故填①.1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础.2.一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加，方向不改变；都是正数的同向不等式相乘，方向不改变；异向不等式相减，方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除，方向与被除不等式方向相同；两个正数的n 次(n ∈N ＋，n ＞1)方(开n 次方)，当这两个正数相等时，它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数，它们的幂(方根)不等，较大的正数幂(方根)较大.3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础.4.比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.5.对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制.1.设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若a ＞1，则1a ＜1成立；反之，若1a＜1，则a ＞1或a ＜0.即a ＞1⇒1a ＜1，而1a＜1a ＞1，故选A.2.已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a nb＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A.恒为正B.恒为负C.与n 的奇偶性有关D.与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n(a －b )＝－(a －b )(a n －b n)，不妨设a >b ，则a n >b n ，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n＋1<0恒成立.故选B.3.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1bB.a 2＞b 2C.a c 2＋1＞bc 2＋1D.a ||c ＞b ||c 解：用排除法.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D.显然1c 2＋1＞0，对不等式a ＞b 的两边同时乘以1c 2＋1，得a c 2＋1＞bc 2＋1成立.故选C. 4.(2014·湖南)已知命题p ：若x ＞y ，则－x＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2＜y 2，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题.故选C.5.(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19，解得a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.6.如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A.cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB.cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mC.cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋mD.cosb ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m ＜cos ba解：作商比较：b ＋m a ＋m ÷b a ＝ab ＋amab ＋bm＞1，所以1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞0，同理，0＜b －m a －m ＜b a ＜1，∴1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞b －m a －m ＞0.而y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －m .故选A.7.已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是____________.解：∵a ＝log 233，b ＝log 293＝log 233，∴a ＝b.∵a >1，c <1，∴a ＝b >c.故填a ＝b >c.8.给出下列命题：①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若a ＞b ，则1a ＜1b；③若a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则1ab2＜1a 2b；④若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2.其中正确的命题是________.(填对应序号即可)解：当c ＝0时①不成立；对于②，a 正b 负时不成立；对于③，当a ＜b 时，1ab2－1a 2b ＝a －ba 2b2＜0，∴1ab2＜1a 2b ；对于④，若a ＜b ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，a ＜0⇒a2＞ab ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，b ＜0 ⇒ab ＞b 2，从而得a 2＞ab ＞b 2，④成立.故填③④.9.设实数a ，b ，c 满足①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系.解：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，从而c ≥b ＞a.10.某企业去年年底给全部的800名员工共发放1000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人.(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元.则y ＝1000＋30x 800＋ax(a ∈N *，1≤x ≤10).假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1000＋30x 800＋10x ＞1.5，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元.(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1000＋30x800＋ax，则f (x 2)－f (x 1)＝1000＋30x 2800＋ax 2－1000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800－1000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）＞0，所以30×800－1000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.11.已知0＜a ＜12，A ＝1－a 2，B ＝1＋a 2，C ＝11－a ，D ＝11＋a，试比较A ，B ，C ，D 的大小. 解：∵0＜a ＜12，∴0＜a 2＜14，12＜1－a ＜1，1＜1＋a ＜32，显然A 与D 均比B 与C 小，因此接下来我们只要比较A 与D 的大小及B 与C 的大小即可.∵C ≠0，D ≠0，∴A D＝(1－a 2)(1＋a )＝1＋a －a 2－a 3＝1＋a (1－a －a 2)＞1，∴A ＞D.同样B C＝(1－a )(1＋a 2)＝1－a (1－a ＋a 2)＜1， ∴B ＜C ，∴D ＜A ＜B ＜C.设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c<b c；③log b ()a －c >log a ()b －c .其中所有正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③解：①∵a >b >1，∴0<1a <1b<1，又c <0，∴c a >cb，①正确；②由于a >b >1，可设f (x )＝a x ，g (x )＝b x，当x ＝c ＜0时，根据指数函数的性质，得a c <b c，②正确；③∵a ＞b ＞1，c ＜0，即a －c ＞b －c ＞1，∴log a (a －c )＞log a (b －c )，又由对数函数的性质知log b (a －c )＞log a (a －c )，∴log b (a －c )＞log a (b －c )，③正确.故选D.§7.2 一元二次不等式及其解法1.解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示.2.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为.若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是.3.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx ＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集.(4)一元二次不等式的解：函数与不等式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解①②R集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.自查自纠：1.(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＞ba⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＜baa＝0，b＜03.(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)①{}x|x＜x1或x＞x2②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故选A.设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( )A.{x|x∈R}B.{x|x≠1，x∈R}C.{x|x≥1}D.{x|x≤1}解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b，由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B.已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A.－2<x <0或0<x <12B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是 .解：根据分式不等式的转化结论：a b＞0⇔ab ＞0，知不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，也就是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜12，x ∈R .(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________.解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜38k，解得k ∈∅；若k ＜0，则只须38k＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2aa ＋b＝－13是解本题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅， ②当m ＝2时，原不等式的解集为R .(2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}.(2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}.(3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .点拨：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集.容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合.(2013·金华十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1}解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，x ＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1 或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1，解不等式组①得x ＜－1；解不等式组②得－1≤x ≤2－1.故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}.故选C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值.解：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2－bx ＋c ＝0的两个实数根，∴由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－5.点拨：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集.解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝2＋3，ca ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0).即6x 2＋5x ＋1＜0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13.类型四含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m或x ＞1.②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1； (Ⅱ)若1m＞1即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)若1m＝1即m ＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0，当a ＝0时，解集为(－∞，－1]. 当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a .类型五分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0⇔ x ＋22x ＋1≥0. 解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}.解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0. 得{x |x ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 .解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根.但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x ＜0} B.{x |0＜x ≤1} C.{x |0≤x ≤2} D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}.故选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A.0B.－2C.－52D.－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， ∴a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，∴⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a 2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0 ⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0 ⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1 图2 图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C.(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B.点拨：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围.解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围.(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2，2]时，f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围.解法一：令f (x )在[－2，2]上的最小值为g (a ). 当－a2＜－2，即a ＞4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥2，∴a ≤53，与a >4矛盾，∴a 不存在.当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥2，－22－2≤a ≤22－2，∴－4≤a ≤22－2.当－a2＞2，即a ＜－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥2，∴a ≥－5，∴－5≤a ＜－4. 综上所述－5≤a ≤22－2.解法二：在x ∈[－2，2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥2恒成立⇔a (x －1)≥－x 2－1恒成立，当x ＝1时，a ∈R ；当1＜x ≤2时，a ≥－x 2－1x －1；当－2≤x＜1时，a ≤－x 2－1x －1.接下来通过恒成立问题的等价转化，变成最值问题即可求解.(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1. ∴x ＜－1或x ＞3.类型七二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( )A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B.点拨：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a与区间端点的关系.本书2.4节有较详细的讨论，可参看.如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A.－2<m < 2B.－2<m <0 C.－2<m <1 D.0<m <1解：令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，结合二次函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＜0，f （1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＜0，m 2＋m －2＜0，解之，得实数m 的取值范围是0＜m ＜1.故选D.类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x－14－3x≥0⇒5x 2－14x －3≥0⇒(5x ＋1)(x －3)≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 2＋1x ＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112. 故x ＝6时，y max ＝457 500元.点拨：和一元二次不等式有关的实际应用题是教材中的重点，这也是将实际生活和数学相结合的切入点，是考查能力的好载体，应予以重视.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为时，日获利不少于1300元.解：由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.故填20件至45件.1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形.2.解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式).3.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.5.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想.6.对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1.不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D.2.关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m＜x ＜2，则m 的取值范围是( )A.m ＞0B.0＜m ＜2C.m ＞12D.m <0解：由不等式的解集形式知m ＜0.故选D. 3.(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >lg2}B.{x |－1<x <lg2}C.{x |x >－lg2}D.{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D.4.(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m )的取值范围是( ) A.[15，20] B.[12，25] C.[10，30] D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x40＝40－y40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C.5.若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A.a <－12B.a >－4C.a >－12D.a <－4解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜－4.故选D.6.若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则( )A.a <2B.a >－12C.－22<a <0D.－12<a <0解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得－12＜a ＜0.故选D. 7.若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，则实数k 的取值范围是____________.解：∵x ∈(1，2)，∴x －1>0.则x 2－kx ＋k －1＝(x －1)(x ＋1－k )>0，等价于x ＋1－k >0，即k <x ＋1恒成立，由于2<x ＋1<3，所以只要k ≤2即可.故填(－∞，2].8.(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.解：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1＜0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.故填⎝⎛⎭⎪⎫－22，0. 9.若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围.解法一：设f (x )＝x 2－ax －a.则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x －1200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(舍去).这表明甲车的车速超过30 km/h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h .对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去).这表明乙车超过40 km/h ，超过规定限速. 11.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3).(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围. 解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)， ∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0. 因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a.①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a，及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a＜1).解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0，若a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}；若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅；若a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}.§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为.由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数.自查自纠：1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是( )A.点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B.点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C.点(1，0)在区域y≥2x内D.点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立.故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x －2y＋6＝0的( )A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方解：画出直线及区域范围知C正确.故选C.(2014·湖北)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则z＝2x＋y的最大值是( )A.2B.4C.7D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A(3，1)时，z取最大值，且为7.故选C.点()－2，t在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是.解：()－2，t在2x－3y＋6＝0的上方，则2×()－2－3t＋6＜0，解得t＞23.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t＞23.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，y＞0，4x＋3y＜12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个，故填3.。

【核按钮】(新课标)高考数学一轮复习(课时精讲+课时检测+单元检测)第一章合与常用逻辑用语(3

第一章集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算．①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念． (2)了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．§1.1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，______________________.(3)集合常用的表示方法：________和________．(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________；如果a不是集合A 中的元素，就说a________集合A ，记作________．B ) 12n ______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．(1)①A ∩B________A ； ②A ∩B_______B ；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________；(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝___________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠：1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N*(N＋) N Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－1 2n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2013·重庆)已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝( ) A．{1，3，4} B．{3，4}C．{3} D．{4}解：∵A∪B＝{1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．故选D.(2014·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0，1] B．(0，1)C．(0，1] D．[0，1)解：由题意得集合N＝{x|－1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N＝{x|0≤x＜1，x∈R}．故选D.设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝( )A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解：∵∁R S＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．故选C.(2014·江苏)已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________.解：利用交集的概念知A∩B＝{－1，3}．故填{－1，3}．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.解：∵3∈B，a2＋4≥4，∴a＋2＝3，a＝1.故填1.类型一集合的概念(2013·河南调考)已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．解：由于－3∈A，故a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－32.当a＝－1时，A＝{－3，－3，12}，不符合集合中元素的互异性，舍去；当a＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，12满足题意，故a＝－32.点拨：对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．含有3个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a，ba，1，又可表示为{a2，a＋b，0}，则a2015＋b2015＝________.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a≠0，ba＝0，∴b＝0，∴a2＝1，a＝±1.当a＝1时，a2＝a＋b＝a＝1，不符合集合中元素的互异性，舍去；当a＝－1时，集合可表示为{－1，0，1}，∴a2015＋b2015＝－1.故填－1.类型二集合间的关系已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．(1)若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数m的取值范围；(2)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数m的取值范围；(3)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.∴m 的取值范围为[3，4]．点拨：本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．(1)已知集合A ＝{x |x ＞1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：当B ＝∅时，若B ⊆A ，则m ＞m ＋3，不成立；当B ≠∅时，有m ＞1，故m 的取值范围为(1，＋∞)．(2)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D解：∵正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，∴C ⊆B ⊆A ，C ⊆D ⊆A .故选B.类型三集合的运算设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m ＝________.解：易知A ＝{－1，－2}，B ＝{x |(x ＋1)(x ＋m )＝0}，∵(∁U A )∩B ＝∅，∴B ⊆A .∴m ＝1或2.故填1或2.点拨：本题难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn 图进行直观分析不难找出，如A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，(∁U A )∩B ＝∅⇔B ⊆A 等，在解题中遇到这种情况要善于转化．已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B ＝{2，4，5，6，8}，则 (∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}解：A ∪B ＝{0，1，2，3，4，5，6，8}，由集合运算的性质知(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝ {7，9}．故选B.类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M 解：作出Venn 图．当M ∩P ≠∅时，由图知，M －P 为图中的阴影部分，则M －(M －P )显然是M ∩P .当M ∩P ＝∅时，M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M ，且x ∉M }＝∅＝M ∩P .故选B .点拨：这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M －P ”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn 图将问题简单化．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2}，N＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <3}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x ≤2}解：图中阴影部分表示集合∁U M 与集合N 的交集，∵∁U M ＝{x |x ≤2}，N ＝{x |1＜x ＜3}，∴(∁U M )∩N ＝{x |1＜x ≤2}．故选C.类型五和集合有关的创新试题设S 为复数集C 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集，下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.点拨：本题具有高等数学背景，这些新的定义是我们平时学习中很难碰到的．对此，我们可以利用特例和熟知的内容进行分析，看结果是否符合题意，从而得出正确的判断．总之，化陌生为熟悉，化非常规为常规是解决这类问题的基本方法．定义A ⊗B ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B ，设A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，则A ⊗B 中所有元素的和为( )A ．1B ．3C ．9D ．18解：当x ＝0，y ＝1或x ＝0，y ＝2时，xy ＋x y＝0；当x ＝2，y ＝1时，xy ＋x y＝4；当x ＝2，y ＝2时，xy ＋x y＝5，∴A ⊗B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B ＝{0，4，5}，0＋4＋5＝9，故选C .1．首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.1．已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，3，4}，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{2，3} D ．M ∪N ＝{1，4}解：由已知得M ∩N ＝{2，3}，C 正确，易知A ，B ，D 错误．故选C.2．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1} 解：∵N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}， ∴M ∩N ＝{0，1}．故选B.3．已知三个集合U ，A ，B 及元素间的关系如图所示，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{5，6}B ．{3，5，6}C ．{3}D ．{0，4，5，6，7，8} 解：易知U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，5，6}，∴∁U A ＝{0，4，5，6，7，8}．∴(∁U A )∩B ＝{5，6}．故选A.4．(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A .()0，1B .(]0，2C .()1，2D .(]1，2解：易知A ＝{}x |1<x <4，∴A ∩B ＝(]1，2.故选D.5．(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.故B 中元素个数为5，故选C.6．(2013·上海)设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x－1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解：当a ＞1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1＜a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a ＜1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1≤a ，∴A ∪B ＝R ，故a ＜1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．故选B.7．(2014·重庆)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.解：∵U ＝{1，2，3，…，9，10}，A ＝{1，2，3，5，8}，∴∁U A ＝{4，6，7，9，10}．∴(∁U A )∩B ＝{7，9}．故填{7，9}．8．已知集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x≤1}，则A ∪B ＝________________________.解：∵A ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，B ＝{x |2x≤1}＝(－∞，0]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故填(－∞，1]．9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3} ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1≥1，集合B ＝{x |x 2－2x －m ＜0}．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，求m 的值．解：∵6x ＋1≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，6≥x ＋1⇔－1＜x ≤5，∴A ＝{x |－1＜x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}，∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁U B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)由A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}可知x ＝4是方程x 2－2x －m ＝0的一个根，∴42－2×4－m ＝0，m ＝8；x ＝－1可能是方程x 2－2x －m ＝0的另一根，∴(－1)2－2×(－1)－m ＝0，m ＝3.当m ＝8时，B ＝{x |－2＜x ＜4}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，符合题意；当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜3}，不合题意．综上知，m ＝8.11．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的值．解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． (1)当a ＝0时，B ＝∅，不合要求；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要使A ⊆B ，只须⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要使A ⊆B ，只须⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，解集为∅.综上知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. (2)若A ∩B ＝∅，则当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，有a ≥4或3a ≤2，∴0<a ≤23或a ≥4；当a ≤0时，显然A ∩B ＝∅.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)．(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然当a ＝3时成立，此时B ＝{x |3<x <9}，而A ∩B ＝{x |3<x <4}，故所求a 的值为3.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：易知A ＝{0，－4}，若B ⊆A ，则可分以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上所述，a 的取值范围为{}a |a ≤－1或a ＝1.§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．(5)一般地，设“若p ，则q ”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件和必要条件(1)如果p ⇒q ，则称p 是q 的________，q 是p 的_________．(2)如果________，且________，那么称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的__________，记作________．(3)如果p ⇒q ，但q p ，那么称p 是q 的______________条件．(4)如果________，但________，那么称p 是q 的必要不充分条件．(5)如果________，且________，那么称p 是q 的既不充分也不必要条件．自查自纠：1．(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题 (3)互否命题 (4)互为逆否命题(5)若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p2．(1)(2)①相同 ②没有关系 3．(1)充分条件必要条件(2)p ⇒q q ⇒p 充要条件 p ⇔q (3)充分不必要(4)p q q ⇒p (5)p q q p下列语句为命题的是( ) A ．对角线相等的四边形 B ．a ＜5C ．x 2－x ＋1＝0D ．有一个内角是90°的三角形是直角三角形解：只有选项D 是可以判断真假的陈述句，故选D.(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a ＝3⇒A ⊆B ，反之，A ⊆B ⇒a ＝2或3.故选A.(2014·上海)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件解：当a ＝5，b ＝0时，满足a ＋b ＞4，但a ＞2且b ＞2不成立，即充分性不成立；若a ＞2且b ＞2，则必有a ＋b ＞4，即必要性成立．因此，“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的必要非充分条件．故选B .已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________________________．解：∵“＝”的否定为“≠”，“≥”的否定为“<”，∴命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．故填若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3.设y＝f(x)是定义在R上的函数，则“x≠1”是“f(x)≠f(1)”成立的________条件解：∵y＝f(x)是定义在R上的函数，∴当f(x)≠f(1)时，必然有x≠1；反之，当x≠1时，f(x)＝f(1)也可能成立．∴“x≠1”是“f(x)≠f(1)”成立的必要不充分条件．故填必要不充分．类型一四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B；(3)若x2－2x－3＞0，则x＜－1或x＞3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB ＞AC.否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x＜－1或x＞3，则x2－2x－3＞0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．点拨：写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”．写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零；(2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．解：(1)否定形式：若xy＝0，则x，y都不为零．否命题：若xy≠0，则x，y都不为零．(2)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不都能写成分数．类型二充要条件的判定“sinα＝12”是“cos2α＝12”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解法一：(定义法)若sinα＝12，则cos2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫122＝12，充分性成立；反之，若cos2α＝12，则有1－2sin2α＝12，得sin2α＝14，sinα＝±12，必要性不成立．因此，“sinα＝12”是“cos2α＝12”的充分不必要条件．解法二：(集合法)令A＝{α|p(α)}，B＝{α|q(α)}，则可得A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|sinα＝12，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|cos2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|1－2sin2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|sinα＝±12.显然，A B，所以p是q的充分不必要条件．故选A.点拨：判断p是q成立的什么条件，通常有三种方法：(1)定义法：根据充分条件与必要条件的定义，判断“若p，则q”与“若q，则p”是否成立，若只有一个成立，则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件，若两个命题同时成立，则p是q的充要条件；(2)集合法：利用集合的观点来判断充要条件的问题，就是把命题p ，q 与集合的特征性质结合起来，即p ，q 是集合A ，B 的特征性质，A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，再由集合A ，B 之间的关系就可以得到命题p ，q 之间的关系．(3)等价法：对于带有否定性的命题，直接判断比较困难，可利用原命题和逆否命题，逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．(1)(2013·福建)设点P (x ，y )，则“x＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵点P (2，－1)满足直线l 的方程，∴它在直线l 上．反之，不能推出点P 的坐标必为(2，－1)．故选A.(2)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≥4}，通过画草图可知A B ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件，故选A.注：此题也可采用定义法来判断．(3)(2013·山东)给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴綈q 是p 的必要而不充分条件，从而得出p 是綈q 的充分而不必要条件，故选A.类型三充要条件的证明与探求数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)是数列{a n }是等差数列的什么条件？解：当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝2An ＋B －A ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝A ＋B ，适合a n ＝2An ＋B －A .所以a n ＝2An ＋B －A ，显然{a n }是等差数列，故充分性成立．反之，若{a n }是等差数列，则有S n ＝na 1＋n （n －1）2d (d 为公差)，即S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 设A ＝d 2，B ＝a 1－d2，即得S n ＝An 2＋Bn ，因此，必要性成立．所以S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)是数列{a n }是等差数列的充要条件．点拨：在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p ”(或“q ”)分别作为条件，推出“q ”(或“p ”)．求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a－1)x ＋3的图象全在x 轴上方的充要条件．解：使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，Δ＝16（a －1）2－4（a 2＋4a －5）×3＜0，解得1＜a ＜19.又当a ＝1时，y ＝3也符合条件．所以使函数f (x )的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a ＜19.类型四充要条件的应用设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，p q .设A ＝{x |p (x )}＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0}＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |q (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧x |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0＝{}x |2＜x ≤3，则B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＞3，得1＜a ≤2. ∴实数a 的取值范围是(1，2]．点拨：此题和变式4难度都不大，但“拐弯抹角”，易于出错．应注意：①充分运用充要条件的定义；②条理清晰，细心作答；③借助数轴，准确运算．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0} ＝{x |3a <x <a }，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x >2}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件， ∴A B .∴a ≤－4或3a ≥2. 又a <0，∴a 的取值范围是(－∞，－4]．1．命题及判断命题的真假(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．2．四种命题的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反应用互为逆否命题的等价性来判断．3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”是否定原命题，只否定命题的结论．4．充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p⇒q及q⇒p的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若A B，则p是q的充分不必要条件；③若B⊆A，则p是q的必要条件；④若B A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件；⑥若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解：根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案．故选B.2．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0 B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0 C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0解：否命题既否定条件又否定结论．故选B.3．(2013·上海)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件解：条件p：货便宜，q：货不好．“便宜没好货”可以表示成“若p，则q”，所以它的逆否命题“若綈q，则綈p”，即“好货不便宜”成立，因此“不便宜”是“好货”的必要条件．故选B.4．(2014·北京)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：令a＝2，b＝－3，则“a>b”推不出“a2>b2”；反之，令a＝－1，b＝0，则“a2>b2”推不出“a>b”．综上知，故选D.5．(2014·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：若存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C，则A∩B ⊆C∩(∁U C)＝∅；反过来，若A∩B＝∅，由Venn图可知，一定存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C.故选C.6．(2013·上海春季高考)已知a，b，c∈R，“b2－4ac<0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴上方”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：当b2－4ac＜0时，若a＜0，则f(x)的图象在x轴的下方，充分性不成立；反之，当f(x)的图象在x轴的上方，则b2－4ac＜0或a＝b＝0，c ＞0，必要性不成立．故选D.7．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________．解：x＝4±16－4n2＝2±4－n，∵x是整数，即2±4－n为整数，∴4－n为整数，且n≤4.又∵n∈N＋，∴可取n＝1，2，3，4，验证可知n＝3，4符合题意；反之，当n＝3，4时，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．故填3或4.8．已知下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的是_________(填写对应序号即可)．解：对于①，“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；对于②，“面积相等的三角形全等”的否命题“面积不等的三角形不全等”为真命题；对于③，“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题的真值即为原命题的真值，当m≤1时，Δ＝4－4m≥0，∴方程x2－2x＋m＝0有实根，原命题为真，故③为真；对于④，“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题的真值即为原命题的真值，由于A∩B＝B⇔B⊆A，原命题为假，故④为假．故填①②③.9．写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则x－2＋(y＋1)2＝0；(真)否命题：若x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y ≠－1；(真)逆否命题：若x≠2或y≠－1，则x－2＋(y ＋1)2≠0.(真)．10．设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜3}，则“x∈(M∪P)”是“x∈(M∩P)”的什么条件？试证明你的结论．解：“x∈(M∪P)”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．证明如下：∵M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜3}，∴M∪P＝R，M∩P＝{x|2＜x＜3}．∴(M∩P )(M∪P)．∴“x∈(M∪P)”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．11．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a＞0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0(a＞0)⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q p，∴{}x|－2≤x≤10{x|1－a≤x≤1＋a}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－a＜－2，1＋a＞10，a＞0解得a＞9.又当a＝9时，也满足条件．因此，所求实数a的取值范围为[9，＋∞)．求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解：(1)当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－12，符合题目要求；(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则由韦达定理得x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a.①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，1a＜0，得a＜0；②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，－2a＜0，1a＞0，得0＜a≤1.综上，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，通常用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，通常用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．注：特称命题也称存在性命题．命题命题的否定 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，p (x 0)命题的否定是________命题．5．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断(真值表) 注：“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q 命题称为简单命题．p q p ∧q p ∨q 綈p 真真 ① ②③ 真假④ ⑤ ⑥ 假真 ⑦ ⑧⑨ 假假 ○10 ⑪ ⑫自查自纠： 1．逻辑联结词2．全称量词 ∀ 全称命题 3．存在量词 ∃ 特称命题4．∃x 0∈M ，綈p (x 0) ∀x ∈M ，綈p (x ) 特称全称5．①真 ②真 ③假 ④假 ⑤真 ⑥假 ⑦假⑧真 ⑨真 ○10假 ⑪假 ⑫真(2014·湖南)设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．∀x 0∈R ，x 20＋1≤0 解：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃x 0∈R ，x 20＋1≤0”．故选B.下列命题中的假命题．．．是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解：对于B 选项，x ＝1时，(x －1)2＝0 ，故选B.(2014·重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q ) 解：显然p 真，由x ＞2⇒x ＞1，而x ＞1x ＞2，因此“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，q 假，綈q 真，p ∧(綈q )是真命题．故选D .给出下列结论：①命题“若綈p ，则q ”的逆否命题是“若p ，则綈q ”；②命题“∃n ∈N *，n 2＋3n 能被10整除”的否定是“∀n ∈N *，n 2＋3n 不能被10整除”；③命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3＜0”．其中结论正确的是________．解：由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；全称命题的否定是特称命题，故③不正确．综上，只有②正确，故填②.已知p ：x 2－2x －3<0；q ：1x －2<0，若p 且q 为真，则x 的取值范围是________．解：若p 为真，则由x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)<0，得－1<x <3；若q 为真，则由1x －2<0，得x <2.∵p且q 为真， ∴－1<x <2.故填(－1，2)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p∧q”形式的命题．其中p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：3＞3，q：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p∨q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(5)是“p∧q”形式的命题．其中p：2是4的约数，q：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p∨q”命题，也不是“p∧q”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．点拨：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．解：(1)p或q：3是9或18的约数，是真命题；p且q：3是9的约数且是18的约数，真命题；非p：3不是9的约数，假命题．(2)p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题；p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题；非p：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p或q：π是有理数或无理数，真命题；p且q：π是有理数且是无理数，假命题；非p：π不是有理数，真命题．类型二含有逻辑联结词命题的综合问题已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m 的取值范围．解：设p，q都为真．则由p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增⇔－m2≤－1，解得m≥2，由q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一个为假，另一个为真．(1)当p真，q假时，根据命题与集合之间的对应关系，得p真时，m≥2，q假时，m≤1或m≥3.∴p真q假时，⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，m≤1或m≥3，得m≥3.(2)当p假，q真时，根据命题与集合之间的对应关系，得p假时，m＜2，q真时，1＜m＜3.∴p假q真时，⎩⎪⎨⎪⎧m＜2，1＜m＜3，得1＜m＜2.综合(1)(2)可得，m的取值范围为(1，2)∪[3，＋∞)．点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．(1)当m为何值时，p或q为真？(2)当m为何值时，p且q为真？解：若p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＜0，x1x2＝1＞0(x1，x2为方程x2＋mx＋1＝0的两个实根)，解得m＞2；若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3.(1)若p或q为真，则p，q至少有一个为真．∴若p或q为真时，m的取值范围是(1，＋∞)．(2)若p且q为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m＞2，1＜m＜3，得2＜m＜3.故当m∈(2，3)时，p且q为真．。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.5 基本初

§2.5 基本初等函数(Ⅰ)(一)指数函数 1．根式(1)n 次方根：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个数，负数的n 次方根是一个数，这时a 的n 次方根用符号表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有个，这两个数互为．这时，正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成．③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是，记作．(2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做，a 叫做． (3)根式的性质：n 为奇数时，na n＝；n 为偶数时，na n ＝ .2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (2)负整数指数幂：a －n＝ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a mn ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(4)负分数指数幂：a -m n ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(5)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂． (6)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝________（a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝________（a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝________（a ＞0，b >0，r ∈Q ）.定义一般地，函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数图 a ＞1 0＜a ＜1象定义域 __________ 值域__________ 性质过定点_____________在R 上是______在R 上是______(二)对数函数 1．对数(1)对数：如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的，记作x ＝ .其中a 叫做对数的，N 叫做．(2)两类重要的对数①常用对数：以为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记作； ②自然对数：以为底的对数称为自然对数，并把log e N 记作．注：(i)无理数e ＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数；(iii)log a 1＝，log a a ＝ . (3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x＝N x ＝log a N . (4)对数运算的性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (MN )＝； ②log a M N＝； ③log a M n＝；一般地，na M m log ＝； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：Na alog ＝；②换底公式：log a b ＝_________ (a ＞0且a ≠1；c ＞0且c ≠1；b ＞0)．特别地，log a b ＝_________.2．对数函数的图象及性质定义一般地，函数y ＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1定义域____________值域____________性质过定点____________在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是3.对数函数与指数函数的关系对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．(三)幂函数1．幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数y＝xα(α∈R)图象α＞0α＜0性质(1)图象过点图象过点(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是______在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是______ ※(3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸；当0＜α＜1时，图象上凸※在第一象限内，图象都下凸※(4)形如y＝xmn或y＝x－mn(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m ，n 都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m 为奇数，n 为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m 为偶数，n 为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.自查自纠(一)1．(1)n 次方根 ①正负 na②两相反数 na －n a ±na④0n0＝0(2)根指数被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1an (3)n a m(4)1na m(5)0 没有意义 (6)a r ＋sa rs a rb r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数减函数(二)1．(1)对数 log a N 底数真数 (2)①10 lg N ②e ln N (iii)0 1 (3)⇔(4)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M nmlog a M (5)①N ②log c b log c a 1log b a2．(0，＋∞) R (1，0) 增函数减函数 3．y ＝x(三)1．y ＝x α2．(1)(0，0)和(1，1) (1，1) (2)增函数减函数log 29×log 34＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4解：log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.故选D .(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：由3a ＞3b＞3知，a ＞b ＞1，则log a 3＜log b 3；反过来，设0＜a ＜1，b ＞1，依然有log a 3＜log b 3，但此时3a ＜3b.故选B .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解：当x ≤1时，21－x≤2⇔1－x ≤1⇔x ≥0，∴0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2⇔log 2x ≥－1⇔x ≥12，∴x >1.综上可知x 的取值范围是[0，＋∞)．故选D .函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为____________．解：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－2log 6x ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 6x ≤12⇒⎩⎨⎧x ＞0，x ≤6 ⇒0＜x ≤ 6. 故填(0，6]．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.故填0；22－3.类型一指数幂的运算(2013·济宁测试)化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a 3322×a ×3a 25a ×3a. 解：(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫64100015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1 ＝0.(2)原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a ×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23 ＝a 2.【点拨】指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数．计算：(1)823×100－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34；(2)0.75－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3212×⎝ ⎛⎭⎪⎫63414＋10(3－2)－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1300－12＋1614.解：(1)原式＝(23)23×(102)－12×(2－2)－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＝22×10－1×26×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝28×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝8625.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫312212×⎝ ⎛⎭⎪⎫27414＋10×13－2＋30012＋(24)14＝43×314212×334212－10(3＋2)＋103＋2 ＝43×32－103－20＋103＋2＝－16. 类型二指数型复合函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x ＋1|； (2)y ＝2x2x ＋1；(3)y ＝4322+--x x .解：(1)定义域为R .因为－|x ＋1|≤0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x ＋1|≥⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，所以值域为[1，＋∞)． (2)定义域为R .又因为y ＝2x 2x ＋1＝1－12x ＋1，而0＜12x ＋1＜1，所以－1＜－12x ＋1＜0，则0＜y ＜1，所以值域为(0，1)．(3)令－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1，所以函数y ＝4322+--x x 的定义域为[－4，1]．设u ＝－x 2－3x ＋4(－4≤x ≤1)，易得u 在x ＝－32时取得最大值52，在x ＝－4或1时取得最小值0，即0≤u ≤52.所以函数y ＝2u 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，252，即函数y ＝4322+--x x 的值域为[1，42]．【点拨】指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的定义域为R ，所以y ＝af (x )的定义域与f (x )的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的原则．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝812x －1； (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17. 解：(1)因为2x －1≠0，所以x ≠12，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠12.令t ＝12x －1，则t ∈R 且t ≠0，所以由y ＝8t(t ∈R ，t ≠0)得y ＞0且y ≠1.所以，原函数的值域是{y |y ＞0且y ≠1}． (2)定义域为R ，因为y ＝4x＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，且2x＞0.所以y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为{y |y ＞1}．(3)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数u ＝x 2－6x ＋17的定义域是(－∞，＋∞)，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17的定义域为(－∞，＋∞)．又函数u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12u＞0，故原函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256. 类型三指数函数的图象及其应用已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能．．．成立的关系有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解：作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，然后作直线y ＝m ，y ＝n (0＜m ＜1＜n )．我们很容易得到a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0，即可能成立的为①②⑤，不可能成立的为③④.故选B .【点拨】与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的“陡峭”程度，也就是函数f (x )增(减)的快慢．(2013·合肥模拟)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解：由图象知f (x )是减函数，∴0＜a ＜1，又由图象在y 轴的截距小于1可知a －b＜1，即－b ＞0，∴b ＜0.故选D .类型四指数函数的综合问题(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．解：(1)a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ＜1，4（x －1）（x －2），x ≥1. 当x ＜1时，f (x )∈(－1，1)，f (x )无最小值；当x ≥1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞为增函数，当x ＝32时，f (x )取得最小值为－1.(2)①若函数g (x )＝2x－a 在x <1时与x 轴有一个交点，则a >0，并且当x ＝1时，g (1)＝2－a >0，则0<a <2；此时函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴只有一个交点，所以2a ≥1且a <1，则12≤a <1.综合得12≤a ＜1.②若函数g (x )＝2x－a 与x 轴有无交点，则函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴有两个交点．当a ≤0时，g (x )与x 轴无交点，h (x )＝4(x －a )(x －2a )在[1，＋∞)与x 轴也无交点，不合题意；当g (1)＝2－a ≤0时，a ≥2，h (x )与x 轴有两个交点，其横坐标为x ＝a 和x ＝2a ，由于a ≥2，两交点横坐标均满足x ≥1，符合题意．综合①②可得a 的取值范围为12≤a <1或a ≥2.故填－1；⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R 上单调，过定点等．本题是指数函数与二次函数的综合问题，由于涉及分段函数的零点个数，故以分段函数在各段上的零点个数为标准，借助函数图象，分类讨论求解．已知函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x＝1± 2.∵2x ＞0，∴2x＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，∵2t ＞0，两边同乘以2t ，即得m (22t －1)≥－(24t－1)． ∵22t－1＞0，∴m ≥－(22t＋1)．∵t ∈[1，2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．类型五对数的化简与求值(1)计算log 535＋2log 122－log 5150－log 514的值．(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 1258＋log 254＋log 52)的值．(3)(2015·江苏模拟)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z4lg x＋lg zlg y的最小值为________．解：(1)原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝133log 25×3log 52＝13. (3)因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以lg x >0，lg y >0，lg z >0，又由z 为x 和y 的等比中项，可得z 2＝xy .lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝lg z ×4lg x ＋lg y 4lg x ×lg y ＝12lg xy ×4lg x ＋lg y 4lg x ×lg y＝()lg x ＋lg y ()4lg x ＋lg y 8lg x ×lg y ＝4()lg x 2＋5lg x ×lg y ＋()lg y 28lg x ×lg y ≥9lg x ×lg y 8lg x ×lg y ＝98.故填98.【点拨】对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同．(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；(2)计算(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)的值；(3)(2015·河南模拟)设函数f 1(x )＝x ，f 2(x )＝log 2015x ，a i ＝i2015(i ＝1，2，…，2015)，记I k ＝|f k (a 2)－f k (a 1)|＋|f k (a 3)－f k (a 2)|＋…＋|f k (a 2015)－f k (a 2014)|，k ＝1，2，则( )A ．I 1＜I 2B ．I 1＝I 2C ．I 1＞I 2D ．I 1与I 2的大小关系无法确定解：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3×5lg36lg2＝54. (3)∵f 1(a i ＋1)－f 1(a i )＝i ＋12015－i 2015＝12015，∴I 1＝|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋|f 1(a 3)－f 1(a 2)|＋…＋|f 1(a 2015)－f 1(a 2014)| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12015×2014＝20142015. ∵f 2(a i ＋1)－f 2(a i )＝log 2015i ＋12015－log 2015i 2015＝log 2015i ＋1i ＞0，∴I 2＝|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋|f 2(a 3)－f 2(a 2)|＋…＋|f 2(a 2015)－f 2(a 2014)| ＝log 2015⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×…×20152014＝log 20152015＝1.∴I 1＜I 2.故选A .类型六对数函数图象的应用(2015·河北模拟)已知函数f (x )＝|log 2x |，0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若函数f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 2＝( )A.14B. 2C.32D.12解：作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图．由题意可得0＜m ＜1＜n ，∴0＜m 2＜m ，结合图象可知函数f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)，则有－log 2m 2＝2，m 2＝2－2＝14.故选A .【点拨】先画出对数函数y ＝log 2x 的图象，再利用图象变换得到函数f (x )＝|log 2x |的图象，通过分析函数图象对应的函数性质，比较函数值大小．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)解：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的大致图象(易判断0＜a ＜1)．由图可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上log a x ＞log 22x (0＜a ＜1)即可，易得22＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B .类型七对数函数性质的应用(2013·全国课标Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解：a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，所以a －1＝1log 23，b －1＝1log 25，c －1＝1log 27，∵y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数．∴0<log 23<log 25<log 27，∴1log 23>1log 25>1log 27，∴a －1>b －1>c －1>0，故a >b >c >1.故选D . 【点拨】比较大小问题是高考的常考题型，应熟练掌握比较大小的基本方法：①作差(商)法；②函数单调性法；③介值法(特别是以0和1为媒介值)．利用对数函数单调性比较大小的基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b解：∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5<⎝ ⎛⎭⎪⎫340＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4>⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， log 34(log 34)<log 34(log 33)＝0，即0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0， ∴c <a <b .故选C .类型八对数型复合函数的有关问题已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值．解：(1)由f (x )的定义域为R ，知x 2－2ax ＋3＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－12＜0，解得－3＜a ＜ 3. ∴a 的取值范围为(－3，3)．(2)函数f (x )的值域为R 等价于u ＝x 2－2ax ＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要u min＝3－a 2≤0⇒a ≤－3或a ≥ 3.所以实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (3)由f (x )在[－1，＋∞)内有意义，知u (x )＝x 2－2ax ＋3＞0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，因为y ＝u (x )图象的对称轴为x ＝a ，所以当a ＜－1时，u (x )min ＝u (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，2a ＋4＞0，解得－2＜a ＜－1；当a ≥－1时，u (x )min ＝u (a )＝3－a 2＞0，即－3＜a ＜3，所以－1≤a ＜ 3. 综上可知，a 的取值范围为(－2，3)．(4)因为y ＝f (x )≤－1，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3的值域为[2，＋∞)，又u (x )＝(x －a )2＋3－a 2≥3－a 2，则有u (x )min ＝3－a 2＝2，解得a ＝±1.【点拨】(1)首先要在函数定义域内研究函数的单调性；(2)此题中定义域为R 的问题实质上与值域为R 的问题正好相反，都是利用对数函数的定义域和值域进行分析．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，∴a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3)．令u (x )＝－x 2＋2x ＋3.则u (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，又y ＝log 4u 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值是0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，显然a ≠0，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a ×3－224a＝3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.类型九对数函数的综合问题已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a ＞0，a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性；(3)当a ＝12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f (x )＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋b 恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立，即log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mxx －1，∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，即m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a ＞0，a ≠1)，令u ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，则u 在(1，＋∞)上为减函数．∴当a ＞1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f (x )＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋b 恒成立⇔f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞b 在[3，4]上恒成立．令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由(2)知，g (x )在[3，4]上是单调递增函数，所以b ＜g (x )min ＝g (3)＝－98，即b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98. 【点拨】解第(1)问时要特别注意“脱去”对数符号后恒成立的等式只是f (x )为奇函数的必要条件，而不是充要条件，所以要检验；第(2)问也可用单调函数的定义来判断，但很复杂；第(3)问利用函数与方程思想对恒成立问题进行了等价转化．已知f (x )＝lg2x ax ＋b ，f (1)＝0，当x >0时，恒有f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝lg x . (1)求f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝lg(m ＋x )的解集是∅，求实数m 的取值范围．解：(1)∵当x >0时，f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝lg x 恒成立，∴lg2x ax ＋b －lg 2bx ＋a＝lg x ，即(a －b )x 2－(a －b )x ＝0. ∵x ≠0，∴上式若恒成立，则只能有a ＝b ，又f (1)＝0，即a ＋b ＝2，从而a ＝b ＝1，∴f (x )＝lg 2x 1＋x.(2)由lg 2xx ＋1＝lg(m ＋x )知⎩⎪⎨⎪⎧2xx ＋1＝m ＋x ，2xx ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（m －1）x ＋m ＝0，x <－1或x >0，由于方程的解集为∅，故有如下两种情况： ①方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0无解，即Δ<0，解得3－22<m <3＋22；②方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0有解，两根均在区间[－1，0]内，令g (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，g （－1）≥0，g （0）≥0，－1≤1－m2≤0，即⎩⎨⎧m ≤3－22或m ≥3＋22，1≤m ≤3，无解．综合①②知，实数m 的取值范围是{m |3－22<m <3＋22}．类型十幂函数的图象与性质如图，曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取2，3，12，－1四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为．解法一(数形结合法)：如图，作直线x ＝t (t >1)，由于函数y ＝x n的图象与直线x ＝t 的交点为(t ，t n)，可见指数n 的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答案．解法二(特殊值法)：当x ＝2时，y 1＝23＝8，y 2＝22＝4，y 3＝20.5＝2，y 4＝2－1＝12，∵8>4＞2＞12，∴y 1＞y 2＞y 3＞y 4，故填3，2，12，－1.【点拨】(1)利用幂函数的性质比较大小，往往伴随着指数函数单调性的应用，此题应用了y ＝a x(a ＞1)的单调递增的性质．当然在利用指数函数的单调性比较大小时，也会伴随着幂函数单调性质的应用．(2)当两个幂的底数和指数都不相同时，可以寻找一个中间量，以它作为桥梁，分别构造指数函数和幂函数，通过比较它们和这个中间量的大小解决问题．(2014·天门、仙桃、潜江期末)在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的部分图象，则函数y ＝2x的图象通过的阴影区域是( )解：函数y ＝2x的图象位于函数y ＝x 与y ＝x 2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，知C 正确．故选C .1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．4．作指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)和对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应分别抓住三个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，(1，0)，(a ，1)．5．比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论．(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．6．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x ＝2或x ＝12的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x 轴(不包括幂函数y ＝x 0)．7．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．8．判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式．如f (x )＝2x 2不是指数函数，而f (x )＝23x是指数函数，因为f (x )＝23x＝8x，此时a ＝8，同样f (x )＝2x ＋1也不是指数函数，因为f (x )＝2x ＋1＝2·2x ，不是f (x )＝a x(a＞0，且a ≠1)的形式．1．(2013·江西九校联考)若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0B.33C ．1 D. 3解：由题意知3a＝9，解得a ＝2，则tana π6＝tan π3＝ 3.故选D . 2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解：两图象均不可能过点(0，1)，A 错；B 选项中f (x )＝x a中a 满足a ＞1，而g (x )＝log a x 中a 满足0＜a ＜1，矛盾，B 错；类似B 选项的判断方法知C 错；D 正确．故选D .3．(2015·广东模拟)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( )A.1a >1bB ．log 2(a －b )>0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．2a －b<1解：因为log 2a >log 2b ，所以a >b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故选C .4．(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解：图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称的函数是y ＝e －x，再向左平移一个单位，即得到函数y ＝f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.故选D .5．(2015·山东模拟)已知函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(其中a ＞0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)＜0，则f (x )，g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )解：因为f (4)·g (－4)＝a 2×log a 4＜0，所以0＜a ＜1，则根据函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数可否定C ，D ，根据f (x )为减函数可否定A.故选B .6．(2013·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0. 若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]解：数形结合：作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图．当|f (x )|≥ax 恒成立时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，因为y ′＝2x －2，所以y ′|x ＝0＝－2，k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2，0]．故选D .7．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6， x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解：当x ≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2.故填(1，2]．8．(2015·湖南模拟)给机器人输入一个指令(m ，2m＋48)(m >0)，则机器人在坐标平面上先面向x 轴正方向行走距离m ，接着原地逆时针旋转90°再面向y 轴正方向行走距离2m＋48，这样就完成一次操作．机器人的安全活动区域是：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，y ∈R .开始时机器人在函数f (x )＝2x图象上的点P 处且面向x 轴正方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q 处，且点Q 恰好也在函数f (x )图象上，则向量PQ →的坐标是________．解：设P (x 0，2x 0)，则Q 为(x 0＋m ，2x 0＋m )在安全区域， ∴x 0＋m ≤6，∴x 0≤6－m ，∴2x 0≤26－m，2x 0＋m ＝2x 0＋2m＋48，∴2x 0(2m－1)＝2m＋48，则26－m (2m －1)≥2m ＋48.整理可得：2m＋642m ≤16.又因为2m ＋642m ≥264＝16，当且仅当2m ＝642m 成立时取等号，此时22m＝64，m ＝3，PQ →＝(x 0＋m ，2x 0＋2m＋48)－(x 0，2x 0)＝(3，56)．故填(3，56)．9．解答下列各题：(1)若2.4a ＞2.5a，求a 的取值范围； (2)若a －2＞3－2，求a 的取值范围．解：(1)2.4a 和2.5a 可视为幂函数y ＝x a的两个函数值，由于2.5＞2.4＞0，且f (2.5)＜f (2.4)．所以y ＝x a在(0，＋∞)上为减函数，因此a 的取值范围为{a |a ＜0}．另解：也可由⎝ ⎛⎭⎪⎫2.42.5a＞1及0＜2.42.5＜1得a ＜0.(2)由a －2＞3－2，得1a 2＞132，所以0＜a 2＜32，由于幂函数y ＝x 2是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又|a |2＜32，∴0＜|a |＜3，解得－3＜a ＜3且a ≠0.因此a 的取值范围是{a |－3＜a ＜0或0＜a ＜3}．另解：由⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＞1得3a ＞1或3a＜－1，可获解．10．已知f (x )＝lg 1＋2x ＋4x·a3，其中a ∈R ，若x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a的取值范围．解：原题等价于当x ∈(－∞，1]时，1＋2x ＋4x·a 3＞0恒成立，即a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ≤1时恒成立．设⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，∵x ≤1，∴t ≥12，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，在t ≥－12时递减，而⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，∴当t ＝12，即x ＝1时，函数－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上取得最大值－34，故a >－34.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ＞－34.11．设a ＞1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a ，2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，求a 的值．解：∵log a x ＋log a y ＝log a (xy )＝c (a ＞1)，∴y ＝a cx.∵a ＞1，∴y ＝a cx 在x ∈[a ，2a ]上单调递减，∴y max ＝a c a ＝a c －1，y min ＝a c 2a ＝12a c －1，⎩⎪⎨⎪⎧a c －1≤a 2⇒c ≤3，12a c －1≥a ⇒a c －2≥2⇒c ≥log a 2＋2. ∵log a 2＋2≤c ≤3且c 值只有1个， ∴log a 2＋2＝c ＝3，即log a 2＝1，故a ＝2.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件： ①m ＞n ＞3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1，1]，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 设⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a ＜13时，h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a ＞3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ＜13，3－a 2， 13≤a ≤3，12－6a ， a ＞3.(2)假设存在满足条件的实数m ，n .因为m ＞n ＞3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m ＞n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m ＞n ＞3”矛盾，故不存在满足条件的实数m ，n .。

【核按钮】(新课标)高考数学一轮复习(课时精讲+课时检测+单元检测)第四章三角函数基本初等函数

第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．§4.1 弧度制及任意角的三角函数1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为； ③α是第三象限角可表示为；④α是第四象限角可表示为． (3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________；③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作 ________________________；④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________________；⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_______________________；⑥终边在y 轴上的角的集合可记作； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作． (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad ≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝__________；扇形面积公式S 扇＝＝．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝xy (y ≠0)，sec α＝rx(x ≠0)，csc α＝ry(y ≠0)． (2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域 sin α ① cos α ② tan α ③ sin α cos α tan α 4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝y ＝________，AT ＝＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的_______、_______、_______，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α的弧度数 sinα cosα tanα※sin15°＝6－2，sin75°＝6＋2，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．自查自纠：1．(1)射线逆时针顺时针零角 (2)原点非负半轴 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或 {α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z } (3)坐标轴 ②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }2．(1)半径长lr(2)2πππ180⎝⎛⎭⎪⎫180π°(3)||αr12||αr212lr3．(1)yrxryx(2)①R②R③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠kπ＋π2，k∈Z4．cosαsinαyxtanα正弦线余弦线正切线5.角α°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsinα12223213222120 －1 0cosα13222120 －12－22－32－1 0 1tanα331 3不存在－3－1－33不存在如果sinα＞0，且cosα＜0，那么α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解：∵sinα＝yr＞0, cosα＝xr＜0，∴x＜0，y＞0.∴α是第二象限角．故选B.与－463°终边相同的角的集合是( )A.{}α|α＝k·360°＋463°，k∈ZB.{}α|α＝k·360°＋103°，k∈ZC.{}α|α＝k·360°＋257°，k∈ZD.{}α|α＝k·360°－257°，k∈Z解：显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°.故选C.给出下列命题：①小于π2的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边相同的角相等；④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2kπ(k∈Z)．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解：①锐角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故不正确；②钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，而第二象限角为⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z，故不正确；③若α＝β＋2kπ，k∈Z，α与β的终边相同，但当k≠0时，α≠β，故不正确；④正确．故选B.若点P()x，y是30°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解：yx＝tan30°＝33.故填33.半径为R的圆的一段弧长等于23R，则这段弧所对的圆心角的弧度数是____________．解：圆心角的弧度数α＝23RR＝2 3.故填2 3.类型一角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)．(1)∵180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上．(2)∵45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜α2＜90°＋n·360°，当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜α2＜270°＋n·360°，∴α2的终边在第一或第三象限．(3)∵30°＋k·120°＜α3＜60°＋k·120°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α3＜60°＋n ·360°，当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°，当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°，∴α3的终边在第一或第二或第四象限．点拨：关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为先写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置．已知角2α的终边在x 轴的上方(不与x 轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k ＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k ∈Z ，α为第一或第三象限角．故α的终边在第一或第三象限．类型二扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：(1)AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°＝2π3，R ＝6，∴lAB ︵＝2π3×6＝4π.(2)S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12lAB ︵R －12R 2sin ∠AOB＝12×4π×6－12×62×32＝12π－9 3.点拨：①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用．扇形AOB 的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小．解：设扇形半径为r ，则弧长为8－2r ，∴S ＝12·(8－2r )·r ＝3，解得r ＝1或3.∴圆心角θ＝弧长半径＝8－2r r ＝6或23.类型三三角函数的定义已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)， ∴r ＝5a ，x ＝a ，y ＝2a .∴sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55， tan α＝y x ＝2aa＝2.点拨：若题目中涉及角α终边上一点P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解．已知角α的终边经过点P (3m －9，m＋2)．(1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值； (2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围．解：(1)∵m ＝2，∴P (－3，4)，∴x ＝－3，y ＝4，r ＝5.∴sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－43.∴5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0. (2)∵cos α≤0且sin α＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －9≤0，m ＋2＞0. ∴－2＜m ≤3.类型四三角函数线的应用用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sin α|＋|cos α|≥1.证明：作平面直角坐标系xOy 和单位圆． (1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于A 点，如图1，显然sin α＝0，cos α＝OA ＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.图1(2)当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP ，设它交单位圆于A 点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，如图2，则sin α＝BA ，cos α＝OB.图2在△OAB 中，|BA |＋|OB |＞|OA |＝1，所以|sin α|＋|cos α|＞1.综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.点拨：三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．求证：当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<α<tan α.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则在Rt △POM 中，sin α＝MP ，在Rt △AOT 中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有AP ︵＝α·OP ＝α，易知S△POA <S 扇形POA <S △AOT ，即12OA ·MP <12AP ︵·OA <12OA ·AT ，即sin α<α<tan α.1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不正确的．3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)ksin α.7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1．若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角解：∵sin θcos θ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0，cos θ>0.∴角θ是第二或第四象限角．故选D. 2．(2014·全国)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45解：cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.故选D . 3．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( )A ．－25B .25C ．0D .25或－25解：∵x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，∴r ＝－5a ，∴sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.故选A. 4．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{－1，1}B ．{1，3}C ．{1，－3}D ．{－1，3}解：(1)当x 的终边落在第一象限时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，∴y ＝1＋1＋1＝3；(2)当x 的终边落在第二象限时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，∴y ＝1－1－1＝－1；(3)当x 的终边落在第三象限时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，∴y ＝－1－1＋1＝－1；(4)当x 的终边落在第四象限时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，∴y ＝－1＋1－1＝－1.又依题意知角x 的终边不可能落在坐标轴上， ∴上述函数的值域为{－1，3}．故选D.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C .2sin1D ．sin2解：∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝||αR ＝2sin1.故选C.6．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1解：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad ＞π4rad ，∵OM ＜22＜MP ＜AT ，∴cos1＜sin1＜tan1.故选D. 7．点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为__________．解：由三角函数的定义知点Q (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 23π＝－12，y ＝sin 23π＝32.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.8．若一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大．解：设该扇形的半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝60，∴l ＝60－2r .∴S ＝12lr ＝12(60－2r )r ＝－r 2＋30r＝－(r －15)2＋225.∴当r ＝15时，S 最大，最大值为225cm 2.此时，θ＝l r ＝3015＝2rad .故填15；2.9．若α是第三象限角，则2α，α2分别是第几象限角？解：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z . ∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .∴2α是第一、二象限角，或角的终边在y 轴非负半轴上．又k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，∴当k ＝2m (m ∈Z )时，2m π＋π2<α2<2m π＋34π(m ∈Z )，则α2是第二象限角；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，2m π＋32π<α2<2m π＋74π(m ∈Z )，则α2是第四象限角．故α2是第二、四象限角．10．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．解：设扇形半径为r ，则弧长为10－2r ，∴S ＝12·(10－2r )·r ＝4，解得r ＝1或4.当r ＝1时，α＝8＞2π，舍去；当r ＝4时，α＝10－2×44＝12.因此，α＝12.11．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．解：∵P (x ，－2)(x ≠0)，∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2.又cos α＝x x 2＋2＝36x ，∴x ＝±10，r ＝2 3.当x ＝10时，点P (10，－2)，由三角函数定义知sin α＝－66，tan α＝－210＝－55.∴sin α＋tan α＝－66－55＝－56＋6530. 当x ＝－10时，同理可求得sin α＋tan α＝65－5630. 求sin15°，cos15°，tan15°的值．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D 使AD ＝AB ，则△ABD 是等腰三角形且∠D ＝15°.设|BC |＝1，则|AD |＝|AB |＝2，|AC |＝3，因此|CD |＝|AD |＋|AC |＝2＋ 3.利用勾股定理|BD |2＝|CD |2＋|BC |2，代入得|BD |2＝(2＋3)2＋12＝8＋43＝2(3＋1)2，开平方得|BD |＝2(3＋1)．故sin15°＝|BC ||BD |＝12（3＋1）＝6－24，cos15°＝|CD ||BD |＝2＋32（3＋1）＝6＋24，tan15°＝|BC ||CD |＝12＋3＝2－ 3.§4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①____________________； ② ．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝ ⎛⎭⎪⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin (360°＋120°)＝sin120°，sin (270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数――→化锐（把角化为锐角）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系(sin α＋cos α)2＝________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠：1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)(2)不变锐角象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x解：⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.故选D. 已知sin θ＜0，tan θ＞0，则1－sin 2θ的化简结果为( )A ．cos θB ．－cos θC ．±cos θD ．以上都不对解：∵sin θ＜0，tan θ＞0，∴cos θ＜0，1－sin 2θ＝cos 2θ＝－cos θ.故选B.(2014·全国)设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解：∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°，∴c ＞b ＞a .故选C .已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan(π－α)＝________.解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， ∴cos α＝－25 5.∴tan α＝sin αcos α＝－12.∴tan(π－α)＝－tan α＝12.故填12.若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝________.解：由sin θ＝－45＜0且tan θ＞0，知角θ为第三象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.故填－35.类型一利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)已知sin α＝13，且α为第二象限角，求tan α；(2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α.解：(1)∵sin α＝13，且α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. ∴tan α＝sin αcos α＝－24.(2)∵sin α＝13，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，∴tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)∵sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m2.点拨：解题时要注意角的取值范围，分类讨论，正确判断函数值的符号．设sin α2＝45，且α是第二象限角，求tan α2的值．解：∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限角．(1)当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，∴tan α2＝sinα2cosα2＝43；(2)当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.类型二诱导公式的运用(1)化简错误!；(2)已知α是第三象限角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ()α＋πtan （－α－π）sin （－α－π）.①若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； ②若α＝－1860°，求f (α)的值．解：(1)原式＝错误!＝－tan α.(2)f (α)＝sin α·cos α·tan α（－tan α）·sin α＝－cos α.①∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. ∵α是第三象限的角，∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.f (α)＝－cos α＝256.②f (α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－12.点拨：①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．化简：(1)sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1；(2)cos （π＋α）·sin 2（3π＋α）tan 2α·cos 3（－π－α）. 解：(1)原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)原式＝（－cos α）·sin 2αtan α·（－cos α）＝sin 2αtan 2α·cos 2α＝tan 2αtan 2α＝1. 类型三关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.点拨：(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．已知tan α＝3，求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．解法一：sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋1＝32－3×332＋1＋1＝1.解法二：∵tan α＝3＞0， ∴α是第一、三象限角．由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝3cos α，有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010(α为第一象限角)，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－31010，cos α＝－1010(α为第三象限角)．∴sin αcos α＝310.∴sin 2α－3sin αcos α＋1＝910－3×310＋1＝1.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子．※(2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan αcot α＝tan45°＝sec 2α－tan 2α等．(3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)理解sin α±cos α，sin αcos α的内在联系，利用(sin α±cosα)2＝1±2sin αcos α，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22B .22C ．－32D .32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A. 2．(2013·全国)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C .513 D .1213解：∵α是第二象限角，sin α＝513，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.故选A .3．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°解：∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin ()180°－12°＝sin12°，∴sin11°<sin168°<cos10°.故选C.4．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin 15°)的值等于( )A .12B ．－12C .32D ．－32解：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.故选D. 5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝( )A.35B.53C.45D.54解：由5x 2－7x －6＝0得x ＝－35或x ＝2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α（－cos α）·tan 2αsin α·（－sin α）·（－sin α）＝1－sin α＝53.故选B.6．已知sin α－cos α＝2，α∈()0，π，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C .22 D ．1解：将sin α－cos α＝2两端平方，整理得2sin αcos α＝－1，∴2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－1，即(tan α＋1)2＝0，解得tan α＝－1.故选A.7．已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α的值是________．解：∵π4＜α＜π2，∴sin α＞cos α.∵1－2sin αcos α＝(cos α－sin α)2＝34，∴cos α－sin α＝－32.故填－32.8．f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2015)＝6，则f (2016)＝________.解：f (2015)＝a sin(2015π＋α)＋b cos(2015π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝－2，∴f (2016)＝a sin(2016π＋α)＋b cos(2016π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝2.故填2.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13. ∴原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332. 11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58. (2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. 若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵A ＋B ＞π2，且A ，B 为锐角，∴π2＞A ＞π2－B ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， cos A ＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin B ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．故选B.§4.3 三角函数的图象与性质(2π，0)(2)(0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0 (2π，1)2．f (x ＋T )＝f (x ) 最小正周期3．①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ④[－1，1]⑤[－1，1] ⑥x ＝k π＋π2(k ∈Z ) ⑦(k π，0)(k ∈Z )⑧x ＝k π(k ∈Z ) ⑨⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⑩⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) ⑪2π ⑫2π ⑬π ⑭⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) ⑮⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) ⑯[2k π－π，2k π](k ∈Z ) ⑰[2k π，2k π＋π](k ∈Z )⑱⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) ⑲奇函数 ⑳偶函数 ○21奇函数函数f (x )＝sin2x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解：∵f (－x )＝－sin2x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数，最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的一个单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，7π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4解：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间为[2k π－π4，2k π＋3π4](k ∈Z )．故选B.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解：令x －π3＝π2＋k π，得x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，观察各选项知，故选A .函数y ＝cos x －12的定义域为________．解：∵cos x －12≥0，∴cos x ≥12，2k π－π3≤x≤2k π＋π3，k ∈Z .故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________________.解：∵函数f ()x ＝sin x ＋φ3()φ∈[]0，2π是偶函数，∴φ3＝π2＋k π，φ＝3π2＋3k π，k ∈Z .又∵φ∈[]0，2π，∴φ＝3π2.故填3π2.类型一三角函数的定义域、值域(1)求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域．解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0. 解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x和y ＝cos x 的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π内sin x ＞cos x ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }．解法二：利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x＞cos x ，只须π4＜x ＜5π4(在[0，2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }．解法三：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π＜x －π4＜π＋2k π，解得2k π＋π4＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .点拨：①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)求y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解：原式＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.∴当cos x ＝－12，即x ＝23π时，y 有最大值154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y 有最小值－14.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154. (3)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值．解：∵－π2≤x ≤0，∴－34π≤2x ＋π4≤π4，∴当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝2，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－1，最大值为 2.点拨：求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )，可直接求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．、(1)求函数y ＝lgsin x2sin x －3的定义域；(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3)求y ＝cos x －2cos x －1的最小值．解：(1)∵y ＝lgsin x2sin x －3，∴⎩⎨⎧sin x ＞0，2sin x －3≠0.∴原函数的定义域为{x |2k π＜x ＜2k π＋π，且x ≠2k π＋π3，x ≠2k π＋23π，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数f (x )有最小值－12；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )有最大值1.(3)解法一：∵y ＝cos x －2cos x －1＝cos x －1－1cos x －1＝1＋11－cos x，∴当cos x ＝－1时，y min ＝1＋12＝32.解法二：由y ＝cos x －2cos x －1，得cos x ＝y －2y －1，又∵－1≤cos x ＜1，∴－1≤y －2y －1＜1.∴y ≥32.∴函数的最小值为32.类型二三角函数的周期性(2014·全国课标Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解：可分别求出各个函数的最小正周期．①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π；②由图象知，函数的最小正周期T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选C .点拨：①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y ＝|cos x |的图象即是将y ＝cos x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴的上方去．求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )；(2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ；(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3. 解：(1)y ＝[a 2＋1sin(x ＋φ)]2＝(a 2＋1)sin 2(x ＋φ)＝(a 2＋1)·1－cos （2x ＋2φ）2(φ为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)y ＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，该函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小正周期是y ＝2sin(4x －π3)的最小正周期的一半，即T ＝12×2π4＝π4. 类型三三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x.解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝(－sin2x )(－cos x ) ＝cos x sin2x .∵f (－x )＝cos(－x )sin2(－x )＝－cos x sin2x ＝－f (x )，x ∈R ，∴f (x )是奇函数．(2)∵1＋sin x ＋cos x ＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 2≠0，∴x ≠π＋2k π且x ≠－π2＋2k π，k ∈Z .∴f (x )的定义域不关于原点对称．故f (x )是非奇非偶函数．点拨：判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代x ，再化简判断，还可利用f (－x )±f (x )＝0是否成立来判断其奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2sin x －1；(2)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此区间不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．(2)由题意知函数f (x )的定义域为R .f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）]＝lg ()－sin x ＋1＋sin 2x＝lg 11＋sin 2x ＋sin x ＝－lg(1＋sin 2x ＋sin x ) ＝－f (x )．∴函数f (x )是奇函数．类型四三角函数的单调性(1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间；(2)求y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．解：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )． (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， T ＝π||ω＝π14＝4π. 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，解得4k π－43π<x <4k π＋83π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫4k π－43π，4k π＋83π(k ∈Z )．点拨：若函数y ＝sin(ωx ＋φ)中ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－sin(－ωx －φ)的形式(目的是将x 的系数变为正)，将“－ωx －φ”视为一个整体，那么y ＝－sin(－ωx －φ)的增区间为y ＝sin(－ωx －φ)的减区间，其减区间为y ＝sin(－ωx －φ)的增区间．对于函数y ＝cos(ωx ＋φ)，y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＜0)等的单调性的讨论同上．(2014·四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，求f (x )的单调递增区间．解：由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π4，2k π3＋π12 (k ∈Z )．类型五三角函数图象的对称性(1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．解：∵y ＝f (x ＋φ)＝2sin(x ＋π3＋φ)的图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又|φ|≤π2，∴φ＝π6.故填π6.(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－1 解：对称中心的横坐标满足2x ＋π4＝k π，解得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝1时，x ＝3π8，y ＝1.故选B.点拨：①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；②对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，如果求f (x )图象的对称轴，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝±1，也就是令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )求x ；如果求f (x )图象的对称中心，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝0，也就是令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求x ；③对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为②的情形，这一部分将在“4.6三角恒等变换”中涉及．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解：由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选A.1．三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)．(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域．2．判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性．3．求三角函数的周期 (1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定.§1.1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：________，________， ________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋) Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－1 2n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤＝ (3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U (4)①A ⊆B ②A ＝B(5)card(A )＋card(B )－card(A ∩B ) card(U )－card(A )－card(B )＋card(A ∩B )(2015·安徽)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{1，2，5，6}B ．{1}C ．{2}D ．{1，2，3，4}解：∵∁U B ＝{1，5，6}，∴A ∩(∁U B )＝{1}．故选B .(2015·陕西)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1)D ．(－∞，1]解：∵M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，∴M ∪N ＝[0，1]．故选A .(2015·全国Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2}解：由已知得B ＝{x |－2＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{－1，0}．故选A .已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．解：根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，有3个元素．故填3.设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．解：A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，则其对称轴x ＝a ＞0，由对称性知，若A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，∴f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，得34≤a ＜43.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43.类型一集合的概念(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4解：由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故选A .(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3，2m 2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，2m 2＋m ＝3，综上知，m ＝－32.故填－32.【点拨】(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(1)(2015·苏州一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解：令x ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，代入验证，得x ＝1，2，3，4，6，12时，12x∈Z ，即集合中有6个元素．故选B .(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 017＋b 2 017＝________.解：由已知得b a＝0及a ≠0，∴b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝－1，∴a2 017＋b2 017＝－1.故填－1.类型二集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围； (3)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}， (1)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.∴m 的取值范围为[3，4]．【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， ∴A 的非空真子集个数为28－2＝254. (3)∵x ∈R ，且A ∩B ＝∅，∴当B ＝∅时，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，满足条件；当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，解得m ＞4.综上，m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．类型三集合的运算(1)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( )A ．∅ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 D ．(－∞，1] 解：由题意知，A ＝(0，1]，B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13， ∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D .(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________.解：∵U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1，2，3}．又∵B ＝{1，2}，∴{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．故填{3}．(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.故填－1，1.【点拨】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2)在解决有关A ∩B ＝∅的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑A (或B )＝∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(1)已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝{x|12<2x<4}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |－2<x <0}解：∵A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，∴∁R A ＝{x |x <0}．又B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x <4＝{x |－1<x <2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．故选B .(2)(2015·唐山模拟)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1，3} C ．{0，2，3}D ．{1，2，3}解：∵M ∩N ＝{1}，∴log 3a ＝1，即a ＝3，∴b ＝1.∴M ＝{2，1}，N ＝{3，1}，M ∪N ＝{1，2，3}．故选D .(3)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}解：|x －a |<1⇔－1<x －a <1⇔a －1<x <a ＋1，由A ∩B ＝∅知，a ＋1≤1或a －1≥5，解得a ≤0或a ≥6.故选C .类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A．P B．M∩P C．M∪P D．M解：作出Venn图．当M∩P≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M－P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解：B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．类型五和集合有关的创新试题在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈[2]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解：∵2 017＝403×5＋2，∴2 017∈[2]，结论①正确；－3＝－1×5＋2，∴－3∈[2]，－3∉[3]，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a，b被5除有相同的余数，故a，b属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C.【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题：①集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＜58或a ≥3.1．(2015·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：A ∩B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }∩{6，8，10，12，14}＝{8，14}．故选D .2．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1} 解：∵N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}，∴M ∩N ＝{0，1}．故选B .3．(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A.()0，1B.(]0，2C.()1，2D.(]1，2解：易知A ＝{}x |1<x <4，∴A ∩B ＝(]1，2.故选D .4．(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.故B 中元素个数为5，故选C . 5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C .6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①(－4)＋(－2)＝－6∉A ，不正确；②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B .7．(2014·重庆)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.解：∵U ＝{1，2，3，…，9，10}，A ＝{1，2，3，5，8}，∴∁U A ＝{4，6，7，9，10}．∴(∁U A )∩B ＝{7，9}．故填{7，9}．8．已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．解：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}这样的集合，共有6个．故填6.9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜12或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }，要使B ⊆∁R A ，只须－a ≤12，解得－14≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥－14. 11．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：易知A ＝{0，－4}，若B ⊆A ，则可分以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上所述，a 的取值范围为{}a |a ≤－1或a ＝1.(2015·杭州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2a x －（a 2＋1）＜0.(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 时实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |x 2－9x ＋14<0}＝(2，7)， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －4x －5＜0＝(4，5)，∴A ∩B ＝(4，5)．(2)当a ≠1时，B ＝(2a ，a 2＋1)；当a ＝1时，B ＝∅. 又A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，①当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝(3a ＋1，2)，要使B ⊆A 成立，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a＋1，a 2＋1≤2，解得a ＝－1；②当a ＝13时，A ＝∅，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，109，B ⊆A 不成立；③当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝(2，3a ＋1)，要使B ⊆A 成立，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥2，a 2＋1≤3a ＋1，或a ＝1，a ≠1，解得1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}．。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词习

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词习题理1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为_____________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)p q p∧q p∨q 綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨10⑪⑫假假○注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假10假⑪假⑫真⑧真⑨真○(2015·全国Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解：∵特称命题的否定是全称命题，∴綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n.故选C . (2015·浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解：全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0”．故选D .(2014·重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解：显然p 真，由x ＞2⇒x ＞1，而x ＞1x ＞2，因此“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，q 假，綈q 真，p ∧(綈q )是真命题．故选D .(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解：根据题意，m ≥(tan x )max ，而y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，有(tan x )max ＝tan π4＝1，∴m ≥1，m 的最小值为1.故填1.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解：若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由p 真得a ≥e ；由q 真知Δ＝16－4a ≥0，得a ≤4.因此，e ≤a ≤4.故填[e ，4]．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假． (1)矩形的对角线相等且垂直； (2)3≥3；(3)10是2或5的倍数； (4)10是2和5的倍数； (5)2是4和6的约数； (6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p ∧q ”形式的命题．其中p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p ∨q ”形式的命题．其中p ：3＞3，q ：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p ∨q ”形式的命题．其中p ：10是2的倍数，q ：10是5的倍数．该命题是真命题． (4)是“p ∧q ”形式的命题．其中p ：10是2的倍数，q ：10是5的倍数．该命题是真命题． (5)是“p ∧q ”形式的命题．其中p ：2是4的约数，q ：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p ∨q ”命题，也不是“p ∧q ”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．【点拨】正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分．解：(1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p ∧q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题；綈p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p ：矩形的对角线不相等，假命题．类型二含有逻辑联结词命题的综合问题(2015·金华联考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解：p 为真命题，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，－m ＜0，解得m >2.q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，得m ≥3；当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，得1<m ≤2.综上，实数m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．故填(1，2]∪[3，＋∞)．【点拨】由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假判断出p 和q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m 的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c 的取值范围是________．解：∵函数y ＝c x在R 上单调递减， ∴0<c <1，即p ：0<c <1.∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12，即q ：0<c ≤12.∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 与q 一真一假．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|c >12，且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|0<c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|12<c <1. 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|12<c<1.类型三全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)p 1：∀x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数；(2)p 2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)p 3：∃x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ＞0；(4)p 4：∀x ∈R ，x 2－x ＋14＞0.解：(1)綈p 1：∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2不是无理数，是真命题． (2)綈p 2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题． (3)綈p 3：∀x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ≤0，是假命题．(4)綈p 4：∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0，是真命题．【点拨】命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是部分和全体，分为特称命题和全称命题．否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B ．∀x ∈R ，sin x ＜12xC ．∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0D ．∀x ∈R ，sin x ≥12x解：原命题为特称命题，其否定为全称命题，即綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥12x .故选D .1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语等于(＝)大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定1．“a和b都不是偶数”的否定形式是( )A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数解：“a和b都不是偶数”的否定形式是“a和b至少有一个是偶数”．故选A.2．(2014·天津)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)·e x＞1，则綈p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)0e x≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)0e x≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B.3．下列命题中的假命题．．．是( )A．∀x∈R，2x－1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解：对于B 选项，x ＝1时，(x －1)2＝0 ，故选B .4．(2015·嘉兴模拟)已知命题p ：存在x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．q 是真命题C ．“p 或q ”为假命题D ．“p 且q ”为真命题解：易知命题p 为假命题，对于命题q ，当m ＝0时，mx 2－mx －1＜0成立；当m ≠0时，要使mx 2－mx －1＜0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0，∴－4＜m ≤0，命题q 为假命题．故选C . 5．已知命题p ：若a >1，则a x>log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下列选项中真命题是( )A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∨(綈q )C ．p ∨(綈q )D ．p ∧q解：当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x<log a x ，p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，q 是真命题． ∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．故选B . 6．下列命题中为真命题的是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5 B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x＞1＋x解：A ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜1.5，故A 错；B ：x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π时，sin x ＞cos x ，x ＝π4时，sin x ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故B 错； C ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0，∴x 2＋x ＞－1，故C 错．故选D .7．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.故填{a|a≤－2或a ＝1}．8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：由命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题得其否定“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是真命题，所以(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3.故填(－1，3)．9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假． (1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0，又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.∵x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋1≥1＞0，故为真命题．10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0， ∵a >0，∴a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是{x |1<x <3}．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2，得2<x ≤3，即q 为真时，实数x 的取值范围是{x |2<x ≤3}．若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3，得2<x <3，∴实数x 的取值范围是(2，3)． (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}，则B A ，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＞3，得1＜a ≤2.∴实数a 的取值范围是(1，2]．11．(2015·温州市高三检测)设命题p ：函数f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ；命题q ：对任意m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解：∵函数f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ， ∴x 2－4x ＋a 2＞0，Δ＝(－4)2－4a 2＜0，解得a ＜－2或a ＞2.∵对任意m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立，∴a 2－5a －3≥(m 2＋8)max ＝3，解得a ≤－1或a ≥6.∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－2或a ＞2，－1＜a ＜6，得2＜a ＜6；若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，a ≤－1或a ≥6，得－2≤a ≤－1.综上知，实数a 的取值范围是[－2，－1]∪(2，6)．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1，得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1，得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若p 则q ”的逆命题是( ) A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q解：根据原命题与逆命题的关系可得：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，故选A . 2．已知全集U ，集合A ⊆B ⊆U ，则有( ) A ．A ∩B ＝B B ．A ∪B ＝AC ．(∁U A )∩(∁U B )＝∁U BD ．(∁U A )∪(∁U B )＝∁U B解：由A ⊆B ⊆U 知A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝∁U B ，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )＝∁U A .故选C .3．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的新命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解：∵空集是任何集合的子集，{1}⊆{1，2}，∴p 真q 假．∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”“綈p ”为假．故选B .4．(2015·南昌联考)已知函数y ＝x 2－x －2的定义域为A ，集合B ＝{x ||x －3|＜a ，a ＞0}，若A ∩B 中的最小元素为2，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．(0，4)C ．(1，4]D ．(1，4)解：A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，B ＝{x ||x －3|＜a ，a ＞0}＝{x |3－a ＜x ＜3＋a ，a ＞0}，∵A ∩B 中的最小元素为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－1，3－a ＜2，解得1＜a ≤4.故选C .5．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：a －b >1，即a >b ＋1.∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立．反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．∴“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．故选A .6．设集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{4，5，6，7，8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( ) A ．57B ．56C ．49D ．8解：集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.故选B .7．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，得圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即|a |2＝1，a ＝± 2.因此，p 是q 的充分不必要条件．故选A .8．在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p 是“甲试驾成功”，q 是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∨qD ．p ∨q解：∵綈p 是“甲没有试驾成功”，綈q 是“乙没有试驾成功”，∴(綈p )∨(綈q )表示“至少有一位学员没有试驾成功”．故选A .9．(2014·江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0” D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β解：对于选项A ，∵a 的符号不确定，∴由b 2－4ac ≤0推不出ax 2＋bx ＋c ≥0，A 错；对于选项B ，当b 2＝0时，由a ＞c 推不出ab 2＞cb 2，B 错；对于选项C ，命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错，易知D 正确．故选D .10．(2015·嘉兴模拟)对任意的实数x ，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则“|x －y |<1”是“[x ]＝[y ]”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当x ＝0.9，y ＝1时，满足|x －y |<1，但[x ]＝0，[y ]＝1，[x ]≠[y ]，∴|x －y |<1推不出[x ]＝[y ]．反之，若[x ]＝[y ]＝n ，则n ≤x <n ＋1，n ≤y <n ＋1，有－1<x －y <1，|x －y |<1，∴[x ]＝[y ]⇒|x －y |<1，综上知，“|x －y |<1”是“[x ]＝[y ]”的必要不充分条件．故选B .11．(2015·荆州模拟)给出下列四个命题：①∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3；②∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；③∀x ∈R ，e x≥x ＋1；④∀(x ，y )∈{(x ，y )|4x ＋3y －10＝0}，有x 2＋y 2≥4，其中所有真命题是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 解：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，①错；作出函数y ＝2x，y ＝3x的图象，观察可知，当x 0∈(－∞，0)时，2x 0＞3x 0，②错；设f (x )＝e x－(x ＋1)，f ′(x )＝e x－1，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝0，∴e x ≥x ＋1，③正确；∵x 2＋y 2表示原点(0，0)到直线4x ＋3y －10＝0上的任一点的距离的平方，∴(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|4×0＋3×0－10|42＋322＝4.∴x 2＋y 2≥4，④正确．综上知，故选D .12．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50解：对于集合E ，当满足0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4时，s 的值最大，此时分类讨论：当s ＝4时，p ，q ，r 均可取0，1，2，3四个数中的任意一个，此时共有43个不同的值；当s ＝3时，p ，q ，r 均可取0，1，2三个数中的任意一个，此时共有33个不同的值；当s ＝2时，p ，q ，r 均可取0，1两个数中的任意一个，此时共有23个不同的值；当s ＝1时，p ，q ，r 只可取0，此时共有1个不同的值；于是，card(E )＝1＋23＋33＋43＝100.对于集合F ，由于0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4相互独立，于是仅看0≤t ＜u ≤4，当u ＝4时，t 可取0，1，2，3四个数；当u ＝3时，t 可取0，1，2三个数；当u ＝2时，t 可取0，1两个数；当u ＝1时，t 只取0一个数；这样(t ，u ，v ，w )中(t ，u )的不同情形有1＋2＋3＋4＝10种；同理(t ，u ，v ，w )中(v ，w )的不同情形也有10种，故集合F 中的不同元素个数也是100.故card(E )＋card(F )＝200.故选A .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是____________．解：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定．故填∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜0.14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为____________．解：设所求人数为x ，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x )＝x －5，∴15＋x －5＝30－8，得x ＝12(另外，画Venn 图易求解)．故填12.15．设U ＝{0，1，2，3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1，2}，则实数m ＝____________．解：∵U ＝{0，1，2，3}，∁U A ＝{1，2}，∴A ＝{0，3}，即方程x 2＋mx ＝0的两根为0和3，得m ＝－3.故填－3.16．已知p ：(x －m ＋1)(x －m －1)＜0；q ：12＜x ＜23，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是_______________．解：∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜23{x |m －1＜x ＜m ＋1}，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＜12，m ＋1＞23，解得－13＜m ＜32.当m ＝－13时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜x ＜23⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－43＜x ＜23，符合题意；当m ＝32时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜x ＜23⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜x ＜52，符合题意．综上，－13≤m ≤32.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，32.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀m ∈R ，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.解：(1)綈p ：∃m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根．若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则Δ＝1＋4m ＜0，解得m ＜－14，∴当m ＝－1时，綈p 为真．(2)綈q ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＞0.∵x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴綈q 为真．18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，解得m ＞5或m ＜－3.∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．19．(12分)已知x ，y ∈R ，求证：||x ＋y ＝||x ＋||y 成立的充要条件是xy ≥0.证明：先证充分性．若xy ≥0，则x ，y 至少有一个为0或同号．∴||x ＋y ＝||x ＋||y 一定成立．再证必要性．若||x ＋y ＝||x ＋||y ，则(x ＋y )2＝(||x ＋||y )2，x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋2||xy ＋y 2，xy ＝||xy ，∴xy ≥0.综上可知，命题成立．20．(12分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，有1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34. ∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 21．(12分)已知p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上是单调减函数；q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则0<2a －6<1，得3<a <72. 若q 真，设g (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a 2＋1）≥0，x 1＋x 2＝3a ＞6，x 1x 2＝2a 2＋1＞9，g （3）＝32－9a ＋2a 2＋1＞0，得a ＞52. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＜a ＜72，a ≤52，得a ∈∅；若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3或a ≥72，a ＞52，得52＜a ≤3或a ≥72. 综上知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 22．(12分)已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问同时满足B A ，A ∪C ＝A 的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b ；若不存在，请说明理由．解：易知A ＝{1，2}， B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，∵B A ，∴a －1＝1，得a ＝2.又∵A ∪C ＝A ，∴C ⊆A ，则C 中元素有以下三种情况：①若C ＝∅，则方程x 2－bx ＋2＝0无实根，∴Δ＝b 2－8<0，得－22<b <22；②若C ＝{1}或{2}，则方程x 2－bx ＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b 2－8＝0，得b ＝±22，此时C ＝{2}或{－2}，不符合题意，舍去；③若C＝{1，2}，则b＝3.综上所述，a＝2，b＝3或－22<b<2 2.第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象． (4)体会指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象． (3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况． 5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.3二项式定理课件理

＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－a5
－…－a2n－1)(a0＋a2＋a4＋…＋a2n＋a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)
＝f(－1)·f(1)＝
22－12n·
22＋12n＝－122n＝14
n
Hale Waihona Puke .故填14n.第十八页，共30页。
类型三系数最大项问题
已知(3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x－1)n 的展开式的二项式系数和大 992.
第十六页，共30页。
(1)(2015·合肥质检)若 x－3xn展开式的各项
系数的绝对值之和为 1 024，则展开式中 x 的一次项的系数为 ____________．
解：Tr＋1＝Crn( x)n－r－3xr＝(－3)r·Crnxn－23r，
由题意知展开式的各项系数绝对值之和为 Cn0＋|(－3)1C1n|＋(－3)2C2n＋…＋|(－3)nCnn|＝1 024，故(1＋3)n＝1 024，解得 n＝5，令5－23r＝1，解得 r＝1，所以展开式中 x 的一次项的系数为(－3)1C15＝－15. 故填－15.
D．29
解：∵(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， ∴C3n＝C7n，得 n＝10，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
∴二项式(1＋x)10 中奇数项的二项式系数和为 29.故选 D.
第七页，共30页。
第十四页，共30页。
类型二展开式的系数和问题
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6；

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第四章三角函数(基

C.32π，0
B.－34π，0 D.π2，0
解：令 x－π4＝kπ，k∈Z，得 x＝π4＋kπ，k∈Z，
于是－34π，0是 y＝sinx－π4的图象的一个对称中
心．故选 B.
(2015·安徽模拟)函数 y＝lg(3－4sin2x)的定义域为 ____________．
解：∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜34，
在0，π2上是减函数的是( )
A．y＝sinx＋4π
B．y＝cosx＋π4
C．y＝sin2x
D．y＝cos2x
解：对于函数 y＝cos2x，T＝π，当 x∈0，π2时，
2x∈[0，π]，y＝cos2x 是减函数．故选 D.
(2015·株洲模拟)y＝sinx－π4的图象的一个
对称中心是( ) A．(－π，0)
第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))
§4.3 三角函数的图象与性质
1．“五点法”作图 (1)在确定正弦函数 y＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是__________________，______________， ______________，______________，________________． (2)在确定余弦函数 y＝cosx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是__________________，______________， ______________，______________，________________．
自查自纠
1．(1)(0，0) π2，1 (π，0) 32π，－1 (2π，0) (2)(0，1) π2，0 (π，－1) 32π，0 (2π，1)
2．f(x＋T)＝f(x) 最小正周期 3．①R ②R ③x|x≠kπ＋2π，k∈Z ④[－1，1] ⑤[－1，1]

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.4二次函数课件文

已知二次函数 y＝f(x)满足 f(0)＝f(2)，若 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两个实根，则 x1＋x2＝________.
解：∵f(0)＝f(2)，∴函数 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称， ∴x1＋x2＝2×1＝2.故填 2.
第十一页，共39页。
已知函数 f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b，满足 f(3)＝3，且 f(x)≥x 恒成立，则 a＋b＝________.
设函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间[t，t＋1]上有最小值 g(t)，
求 g(t)的解析式．
解：f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2. ①当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，g(t)＝－2. ②当 t>1 时，f(x)在区间[t，t＋1]上是增函数，则最小值 g(t) ＝f(t)＝t2－2t－1； ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在区间[t，t＋1]上是减函数，则最小值 g(t)＝f(t＋1)＝t2－2.
∴－56<m<－12.
故 m 的取值范围为m－56＜m＜－12.
第二十九页，共39页。
(2)由抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1)内，作出函数 f(x)的大致图象，得
坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
(1)对称轴：x＝
：
(2)顶点坐标：
．
(3)开口方向：a＞0 时，开口
，a＜0 时Βιβλιοθήκη 开口；(4)值域：a＞0 时，y∈
，a＜0 时，y∈
；
(5)单调性：a＞0 时，f(x)在
上是减函数，在
上是增函
数； a ＜ 0 时， f(x) 在－∞，－2ba 上是
，在－2ba，＋∞ 上是