关于两道高中联赛题的背景研究
一道全国高中数学联赛题引发的探究
过六周 的系统学习 ，对 蒙古族 、藏
族 、维吾尔族有 了全面的认识 。最
下音乐教师又承担着学校艺术社团
的辅导工作 ，所以教师也可以将一 些有特色 的模块与学校音乐艺术社
书 ，所以只能是学校提前替学生订 音乐课程模块教材 ，那么订何种模 块 教材 为好 呢 ？我们 是这 样 操作 的，音乐鉴赏在高 中音乐课 中占 ２ 学 分 ，书 中 内容丰 富 ，知识 含量 大 ，而且配有 Ｃ Ｄ，是 高中学生必
还 可以进 一步 提 高学 生 的艺术 修
养。 四、 “ 模块 叠加型”教学方法 实施 问题的对策 当前 ，高 中新课程实施必修与
备 的课本 ，我们在征订课本时首先
必 订 “ 乐 鉴 赏 ”这 本 书 ．在 入 学 音
的第二个学期再根据 同学们的选择 情 况订购相应的书。
另 外 ．有 些 老师 虽 然 在 某 方面
关模块 ，如该音乐教师具有舞蹈或
声乐特长就可以进行音乐鉴赏与舞 蹈模块和歌唱模块 的叠加教学。又
把二胡 ，也没有成立管乐 队．不可 能每个学生有一个乐件 。这时就需 要老师因地制宜 ．开展有条件实施
的模 块 。
演奏 、创作 、 音乐与舞蹈 、 音乐与
戏剧表演六本书 ，由于订书的时间
如该教师具有京 剧专长 ．便可以把 音乐鉴赏与京剧模快 、戏剧表演模
块进行叠加教学 。另外 ，一般情况
是高 中一年级开学前 ，学生不可能
去 选择 他 想要 选修 的模 块 和教科
责任编辑
潘盂 良
一
道 全 国高中数 学联赛题 引发 的探 究
文／ 东番 禺中学 广 黄 殷
在 不久前结 束 的 ２ １ 年 全国 ０１
教育考试：高中数学竞赛题目分析与解答
教育考试：高中数学竞赛题目分析与解答1. 引言1.1 概述教育考试一直是学生们在学习过程中必不可少的一环。
其中，高中数学竞赛作为一种特殊的考试形式，对学生的数学水平和解题能力提出了更高的要求。
本文将着重分析和解答高中数学竞赛题目，探讨其类型、解题思路与方法，并剖析常见考点和难点。
1.2 文章结构本文共分为五个部分进行论述。
首先在引言部分进行概述，介绍文章撰写的背景和结构。
接下来在“数学竞赛题目分析与解答”部分，将详细讨论竞赛题目的类型、解题思路与方法以及常见考点和难点。
然后，在“高中数学竞赛题目案例分析”部分，通过选择题、解答题和计算题三个案例进行具体问题的解析。
紧接着，在“高效备考策略与技巧”部分，提供制定合理备考计划、掌握关键知识点和解题技巧以及模拟练习与错题总结等方面的建议。
最后，在“结论与展望”部分总结实践经验和教训，并对未来高中数学竞赛发展方向提出展望，同时提出对教育改革的建议和期望。
1.3 目的本文旨在帮助读者更好地理解和应对高中数学竞赛题目，并为备考过程中给予一些建议和技巧。
通过对题目类型、解题思路和常见难点的分析，读者能够更加深入地了解数学竞赛的要求，并在实践中提升自己的学习效果。
此外，文章还将总结实践经验和教训，并展望高中数学竞赛的未来发展方向，以期给教育改革提供一些有益的建议与期望。
2. 数学竞赛题目分析与解答：2.1 竞赛题目类型：在数学竞赛中，常见的题目类型包括选择题、解答题和计算题。
选择题是指给出几个选项，要求选出正确的答案；解答题是指需要用文字或公式详细写出解题过程，并给出最终结果；计算题则着重考察对基本数学运算的熟练掌握程度。
2.2 解题思路与方法：针对不同类型的数学竞赛题目，可以采用不同的解题思路和方法。
一般来说，解决数学问题首先需要理清问题的要求和条件，然后将问题转换成具体的数学表达式，并利用已有的数学知识和技巧进行推导与计算。
对于复杂或难以直接求解的问题，可以尝试利用类比、归纳、递推等方法处理。
高考试题中的竞赛背景与竞赛策略
19
高考试题中的竞赛背景与竞赛策略
324100 浙江省江山中学 范东晖
高考数学试题的命题遵循考 试大纲 和教学 大纲, 体现/ 基础知识 全面考, 主 干内容 重点考, 热点知识 反 复 考, 冷 点 知 识有 时 考0 的命 题 原 则. 注重对数学思想和 方法的考 查, 注重 对数学 学习能力的考查. 从解 答策略上 来说, 尽 管高考 一般淡化解题 中的 特殊 技巧, 往往 注重 在 解题 的通性通法上 精心 设计. 但是 认真 分析 近 几年 的高考试题, 尤其是压 轴题, 有/ 难题竞赛 化0 的 趋势, 不难发现, 有很多 问题很难 用/ 通性 通法0 顺利解决. 因此, 在平 时学 习 中, 对 于学 有 余力 的同学来说, 有 必要 适当 掌握 一些/ 竞 赛0 的方 法或技巧, 只有这样, 才 能真正在 高考中 做到处 变不惊, 游刃有余. 笔者 从高考数 学试题 命题背 景和解答策略方面进行了一些探讨. 除了 来自 改编 国内 竞赛 题外, 还有 些是 来 自国外竞赛题. 例如 2005 年广东 高考第 19 题: 设函数 f ( x ) 在1- ] , + ] 2上满足 f ( 2+ x ) = f ( 2- x ) 和 f ( 7+ x ) = f ( 7 - x ) , 且在闭 区间 [ 0, 7] 上, 只有 f ( 1) = f ( 3) = 0. ( Ñ ) 试判断函数 y = f ( x ) 的奇偶性; ( Ò) 试 求 方 程 f ( x ) = 0 在 闭 区 间 [ - 2005, 2005] 上 的 根 的 个 数, 并 证 明 你 的 结 论. 来源于 1984 年 第 二届 美国 数学 邀 请赛 第 12 题: 函数 f ( x) 定义在实 数集上, 且对一切 实 数 x 满足等式: f ( 2+ x ) = f ( 2- x) 和 f ( 7+ x ) = f ( 7- x ). 设 x = 0 是 f ( x ) = 0 的一个根, 记 f ( x ) = 0 在区间- 1000 [ x [ 1000 中的根的个数 为 N . 求 N 的最小值.
全国高中数学联赛热点问题评析
一试小题
1. 函数：奇偶性，二次函数（不论一 试大题还是小题都是热点），简单 的函数方程（2019，2019）
2. 不等式：均值不等 立体几何：既要会传统的公理体系 （2019，2019选择6，2019选择2） 也要会空间向量（2019填空，2019 选择）注意：在一个容器里放若干 个球的问题已经考过两次了。
一试： 一试大题
2019 2019 2019 2019
1
2
简单的不等式
复数，解析几何
概率(记数)
解析几何
递推数列，简单数论 概率
递推数列
离散最值
3 解析几何，代数 函数，不等式（难） 解析几何 函数，数学归纳法
结论：
1. 有关不等式的东西几乎每年都出现。
2. 近三年都出现了离散类的问题（概率， 离散最值）这类问题一般有两问。一 问较简单，另一问较难。涉及反证法， 调整法，归纳法，构造函数，赋值。
3. 凡出现函数问题都不是单独出现而是 与不等式或数学归纳法结合。
4. 递推数列+简单数论成为近年热门。
5. 解析几何题的发展呈现两个方向，1 讨论型2利用平面几何结论。联赛的 解析几何题从没有一帆风顺的，都要 挖点或考虑包不包括边界（2019， 2019，2019）
可能会爆出的冷门： 1. 立体几何 2. 复数
4. 解析几何：作为小题联赛的解析几何 题都是一些十分简单的陈题。（所以 考试时大胆去做这种分一定要拿下）
5. 向量：2019，2019，2019三年，向 量题渐渐进入了联赛。不过做法主要 是用定义，至多用到向量的点积，用 一些平面几何的东西（这类题目也是 要拿分的）。2019年的向量题其实讲 的就是重心坐标。
6. 概率：从04年开始概率就在联赛的大题 和小题中出现。基本以古典概型出现 （本质还是计数）。
一道竞赛题的命题背景及本质解法
一道竞赛题的命题背景及本质解法谷焕春 周金峰 (山东省聊城大学数学科学学院 252059) 2002年全国高中数学联赛二试第二题如下:实数a,b,c和正数Κ使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三个实数x1,x2,x3,且满足(1)x2-x1=Κ;(2)x3>12(x1+x2).求2a3+27c-9abΚ3的最大值.本题的标准答案隐晦曲折,不易理解.即使改进的解法[1][2][3]也都计算繁琐,显得生硬.一个题目的本质解法至少应当是流畅和自然的.我们先考察本题的有关背景.题中涉及到三次方程f(x)=x3+ax2 +bx+c=0的根,它可以由Cardan公式给出.推导Cardan公式时,要先消去二次项.设x=y-a3,方程化为y3+3b-a23y+127(2a3+27c-9ab)=0.即是说,上面f(x)的表达式可以变形为f(x)=(x+a3)3+3b-a23(x+a3)+127(2a3+27c-9ab),①这里恰好出现了2a3+27c-9ab.由①式,令x=-a3可得2a3+27c-9ab=27f(-a3).②这个式子的直接验证也很容易.从①式还可以看出,将曲线y=f(x)先向右平移a3个单位,再向下平移f(-a3)个单位,可得到曲线y=x3+3b-a23x,它关于原点对称.可见点(-a3,f(-a3))是曲线y=f(x)的对称中心.若对称中心的纵坐标f(-a3)=0,则方程f(x)=0的三个实根x1<x2<x3中x2=-a3,x1和x3在数轴上关于点x2对称,从而x1,x2,x3成等差数列.对这一事实可给出如下证明:注意到f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3),③-a=x1+x2+x3,所以2a3-9ab+2c=27f(-a3)=27(-a3-x1)(-a3-x2)(-a3-x3) =(-a-3x1)(-a-3x2)(-a-3x3)=(x2+x3-2x1)(x3+x1-2x2)(x1+x2-2x3).④因此x1,x2,x3成等差数列的充要条件是2a3+27c-9ab=0.现在可以给出本题一个新的解法.根据条件(1),x2=x1+Κ.根据条件(2),可设x3=x1+tΚ(t>12).代入④得2a3-9ab+27c=Κ3(t+1)(2-t)(2t-1),所以2a3-9ab+27cΚ3=(t+1)(2-t)(2t -1)=Υ(t),t>12.当12<t<2时Υ(t)>0,t≥2时Υ(t)≤0.所以不妨设12<t<2,这时Υ(t)=12(3-1)(t+1) (3+1)(2-t) (2t-1)≤12(3-1)(t+1)+(3+1)(2-t)+(2t-1)33 =332.等号成立的充要条件是t=1+32(符合条件t>12),这时・4・ 中学数学月刊 2004年第5期f(x)=(x-x1)(x-x1-Κ)(x-x1-1+32Κ).⑤其中x1是任意实数,Κ为任意正数.因此所求的最大值为332.我们上面没有拘泥于试题中给出的f(x)的表达式,而是利用x1,x2,x3重新给出③式,然后结合②式轻快地推出了④式,得到2a3+27c-9ab与x1,x2,x3之间关系的一个美妙的恒等式.在此基础上,适当设出参数t,将涉及多个变量的复杂式子2a3+27c-9abΚ3化成了一个简单的一元函数Υ(t).至于求Υ(t)的最大值,这是一个容易的问题,有多种解法,我们上面仅列出一种.最后给出的⑤式具有一般性.整个解题过程背景清楚,思路自然,方法简捷流畅,而且问题解决地彻底.从数学美的角度来看,这应当是该试题的本质解法.参考文献1 单.评2002年全国高中数学联赛.数学通讯, 2003(1)2 小雯.一道竞赛题的简单解法.中学教研(数学),2003(1)3 邱修能.运用技巧,精心演算.中学数学研究, 2003(1)一道高考题的课本探源与发展薛爱国 潘建国 (江苏省如皋市丁堰中学 226521) 教材是高考命题的参照物,学生通过对教材的学习形成技能,发展能力,以便实现高考时能力的再显.但不少考生高考时,面对新背景、新问题时却一脸茫然.其实,不少高考题能在课本上找到影子或模型,本文试图探源2003年高考(江苏卷)第20题,并再做些发展.我们先来看课本上的两道习题:11△A B C的两个顶点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),边A C,B C所在直线的斜率之积等于-49,求顶点C的轨迹方程.(试验修订本 必修 第二册第96页)21△A B C一边的两个顶点是B(0, -6),(0,6),另两边所在直线的斜率之积是49,求顶点A的轨迹.(试验修订本 必修 第二册第108页)猜想 △A B C的两个顶点A,B的坐标分别是(-a,0),(a,0)(a≠0),边A C,B C所在直线的斜率之积等于m(m≠0且m≠-1),则当m<0时点C的轨迹为椭圆;当m >0时点C的轨迹为双曲线(去掉A,B两点).证明 设C(x,y),由题意,则yx-ayx+a=m,整理得:x2a2-y2m a2 =1,故猜想是成立的.特别地,当-1<m<0时,椭圆的中心在原点,焦点在x轴上;当m<-1时,椭圆的中心在原点,焦点在y轴上.当两个顶点A,B的坐标改为(0,a),(0, 0)(a≠0)时,结论类似,但此时轨迹中心偏离原点,此时得到的轨迹方程是:(y-a2)2(a2)2-x21m(a2)2=1.我们再来看2003年的高考试题(江苏卷)第20题:已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1, 0),经过原点O以c+Κi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2Κc为方向向量的直线相・14・2004年第5期 中学数学月刊 。
关于两道高中联赛题的背景研究
=
pn p- q
-
ε p- q
=
n+
nq - ε p- q
.
由 Lambek - Moser 定理知 ,只须证明 :
f ( n) =
pq
q·n
与
g ( n)
=
nq - ε 是 p- q
互逆序列 (Lambek - Moser 定理中的 f ( n) 与
f 3 ( n) 互称互逆序列) .
显然 , f ( n) 、g ( n) 都是不减函数. 则
联系电话 :0311 - 3055064.
对于互补数列 ,有如下的 : Lambek - Moser 定理 设 f ( n) 是一个 N+ →N+ 的不减函数. 定义 f 3 ( n) = | { k | f ( k) < n}| ,其中| Z| 表示集合 Z 中元素的 个数. 记 F ( N+ ) 和 G( N+ ) 分别为函数 F ( n) = f ( n) + n 和 G( n) = f 3 ( n) + n 的值域. 则 F ( N+ ) 与 G( N+ ) 是互补的. 此定理的证明见文[1 ] . 利用此定理可以证明例 2. 例 2 求证 :在正整数数列中 ,删去所有
f 3 ( n) =
m
p
q
q·m
<n
= max m
p
q
q·m
<n .
2004 年第 4 期
考察不等式
m ( p - q) q
< n]
pq
q·m < n.
由实数的连续性可知 ,必存在一个充分
小的ε,使得
ε q+
两道高考题的共同背景与拓展研究
（ 易 ＋ 号 ） （ Ｓ Ｃ １ ２ １ ７ ２ ＋ 号 ） 一 ＋ 号
Ｉ ｌ （ 嘉 ＋ 号 ） 。 ｌ ’
同 理 骤。 ｓ Ｂ 一 需 一 ２ ｐ ２ ．
。
篓
－
…
…
～
中
磬 嗲 孝
ｊ 解题 思想方 ｉ ５
ｒ
２ ０ １ ３年 第 ８期 （上 旬 ）
４
Ｊ ＿
。 ４
合方程 ｙ 一÷ｚ ｏ ｚ —Ｙ ｏ ， 从而弦 Ａ Ｂ的方程为Ｙ
一 ｏ ｚ— ｏ ， 即 ｏ ｘ＝ｐ（ ｙ ｏ ｑ － ｙ ） ．
一
４ ２
＋
。
４
＋ 一 ｐ２
４
Ｉ Ｆ Ａ Ｉ．Ｉ Ｆ Ｂ ｆ ， ’
即Ｉ ＰＦｌ 一 ｌ Ｆ ＡＩ ・ｌ Ｆ Ｂｌ 得证 ． 由性 质 ２ ， 不难 得到题 目 ２的第 （ ｍ） 问， 由于 Ｉ Ｐ ＦＩ 。
ｑ － ｙ） ） ；
事实上， 由 性质 １ 不难得到点Ｍ（ 华
，
Ｘ Ｔ ｌ ３ ２ ２ ） ， 而 Ｎ （ 专 垒 ， 堑 去 生 ） ． 注 意 到 Ｍ 在 ｃ 。 上 ，
则 一 一 堕 ｛ 互， 从 而 线 段 Ａ Ｂ 的 中 点 Ｎ 的 轨 迹
方程为ｚ ２ 一 ４ （ ｚ ≠Ｏ ）
＝ ＝＝
上 述结 论 １ 解 决 了题 目 １的第 （ 工） 问， 结 论 ２解 决 了题 目 ２的第 （ Ｉ Ｉ ） 问． 下 面介 绍与 题 目 １ —３有 关 的三个 性 质． 性质 １ 从 抛 物 线 外 一 点 Ｐ 作 抛 物 线 的 切 线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ， 切 点 为 Ａ、 Ｂ． Ｆ 为抛 物 线 的焦 点 ． 若 Ａ（ ｚ ，
2009全国高中联赛命题分析
2009全国高中数学联赛命题分析2009年全国高中数学联赛初步尘埃落定。
我们对2009年全国高中联赛的命题、解题、阅卷等工作，应当有所反思。
首先从学术层面上对试题进行分析。
第一试偏重基础。
考察的知识点和难度接近高考。
1.函数的迭代问题，通过简单的试算寻找规律，属于信心题。
2.直线与圆的位置关系，解析几何中的经典问题。
使用数形结合思想，容易发现与圆相切的极限位置。
但如果盲目计算会误入歧途。
3.平面区域的面积问题，高考的经典题型。
也是数形结合思想的应用。
注意三角形面积需要乘1/2。
此题失误率较高。
4.函数单调性的简单考察。
5.解析几何中的经典问题，用三角法和重要不等式。
考试时可以使用特殊值法解决。
6.二次方程根的分布问题。
注意讨论全面，很多选手丢掉了0x <或4x =之一。
7.杨辉三角的变形，等差数列，数学归纳法。
8.数学期望，属于新题型，很简单，但错误率很高，很多选手没有正确分析8:10到来一辆车的情况。
解答题：9.直线与圆锥曲线的位置关系问题，使用判别式容易解决，难度较低，但须注意讨论全面。
10.简单的二阶递推数列特征方程应用。
注意分类讨论。
11.带有根式的函数最值，使用柯西不等式或求导均可解决。
第二试题目难度较为合理。
平面几何第一问较为简单，有多种途径可以证出。
第二问有一定难度。
这是一道中规中矩的题，没有出什么新花样，也没有应用重要定理，只需基本的边角关系、相似即可。
代数问题偏简单，初看是一道不等式，实质是函数问题，问题的难点在于证明调和级数与e 的大小关系（其他证法与之等效）。
这需要一些极限的思想，属于高考范围内，熟悉的选手应该不难用构造函数、求导的方法证明。
一些选手试图使用经典不等式的放缩方法，是很难解决的。
有的选手导数方法不过硬，求导出现了错误。
数论问题的结论很漂亮，采用了构造性证明的方法，而且有多种构造途径，是一道好题。
这些构造通过试验简单情况容易想出，难度不大。
部分选手对互素的理解不到位，提出了错误的构造并加以“证明”，其中对所含质因数幂次的分析中有漏洞。
2005年全国高中数学联赛加试第2题的溯源与解法
∑
表示循环和，由条件得， b( az + cx ) + c(bx + ay ) − a( cy + bz ) = b 2 + c 2 − a 2 ，即
2 bcx = b 2 + c 2 − a 2 ，所以 x =
西不等式，有
b2 + c2 − a2 c2 + a 2 − b2 a2 + b2 − c2 ，同理 y = , z= ，应用柯 2bc 2 ca 2 ab
、
A B C A B C + tan 2 + tan 2 ≥ 2 − 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2
(2)
R(4 R + r )2 ≥ 2s 2 (2 R − r )
其中， R, r , s 分别为 ∆ABC 的外接圆半径、内切圆半径及半周长。 （参见[4]或[11，56]） 。
（7）
很显然（7）就是（1） 。只是当时陶先生在证明（7）与 G-B 不等式（2）等价时并没用我们前面介 绍的三角变换，而是通过作代换 u = cot A, v = cot B, w = cot C , 将（2）和（7）均化为代数不等式而证 得的．那时陶先生正提出了“三角形不等式的一个证题系统” [9 ] ：即对涉及三角形内角的不等式，作代换
给出了(2) 的一个简单的证明：设 λ1 = tan
A B C A B , λ2 = tan , λ3 = tan ，并注意到 ∑ tan tan = 1 及 2 2 2 2 2
，有 ∑ sin A = 4cos 2 cos 2 cos 2 ，应用（6）
A
B
C
∑ tan
2
A B C B C A ≥ 2∑ tan tan cos A = 2∑ tan tan (1 − 2sin 2 ) 2 2 2 2 2 2
高中数学竞赛题中的高等数学背景
高中数学竞赛题中的高等数学背景作者：潘劲来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2006年第08期高中数学竞赛所涉及的内容不会超出初等数学与中学数学所能接受的内容．但它往往有着高等数学的背景，下面列举两例来说明．例1已知实数列a0, a1, a2, ……,满足a i-1-a i+1=2ai (i=1,2,…）,求证：对于任意的n∈ N，P（x)=∑ n i=0 aicinxi(1-x)n-1是x的一次多项式．这是1986年全国高中数学联赛试题，我们只须用等差数列、二项式定理及组合恒等式icin=nci-1n-1等初等数学知识即可证明．由题设条件a i-1-a i+1=2ai可变形为ai-a i-1=a i+1-ai (i=1,2,3,…)，这说明a0, a1, a2……是以（a1-a0)为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得ai=a0+i(a1-a0) (i=1,2,3,…)所以 P(x)=a0c0n(1-x)n+［a0+(a1-a0)］c1n x(1-x)n-1+［a0+2(a1-a0)］c2n x2(1-x)n-2+…+［a0+n(a1-a0)］cn n xn=a0［c0n(1-x)n+c1n x(1-x)n-1+c2n x2(1-x)n-2+…+cn n xn］+(a1-a0)［c1n x(1-x)n-1+2c2n x2(1-x)n-2+…+ncnnxn］由二项式定理，有c0n(1-x)n+c1n x(1-x)n-1+c2n x2(1-x)n-2+…+cnxn=［(1-x)+x］n=1以及 c1n x(1-x)n-1+2c2n x2(1-x)n-2+…+ncn n xn=nx［(1-x)n-1+c1n-1x(x-1)n-2+…+xn-1］=nx［(1-x)+x］n-1=nx从而 P(x)=a0+(a1-a0)nx(a1≠a0)其实该题有着深刻的高等数学背景．事实上设f为定义在［0,1］上的实值函数，我们称函数Bn(f,x)=∑ n j=0 ci n f( j n )xj(1-x)n-j, x∈［0,1］为f的n阶伯恩斯坦（Bernstein)多项式．它有一个重要性质：若k1,k2为常数，且f=k1f1+k2f2，则Bn(f,x)=k1Bn(f1,x)+k2Bn(f2,x)即伯恩斯坦多项式对于函数f是线性的，特别地，一次函数的任何伯恩斯坦多项式都是一次多项式．本题正好由此而来．例2函数F(x)=|cos2x+2sin x cos x-sin2x+Ax+B|在［0， 3π 2 ］的最大值M与参数A，B有关，问A，B取何值时M有最小值？这是1993年全国高中数学联赛试题，本题的高等数学背景就是函数逼近中的最佳逼近问题．我们先由初等数学知识给出本题的解法：F（x)=|cos2x+2sin x cos x-sin2x+Ax+B|=|cos2x+sin2x+Ax+B|=| 2 sin(2x+ π 4 )+Ax+B|当A=B=0时，F（x)成为F(x)=| 2 sin(2x+ π 4 )|在区间［0, 3π 2 ］由正弦函数图象易知，x1= π 8 , x2= 5π 8 , x3= 9π 8 ，使F（x)取最大值2 ，它就是所要求的最小M值，为说明这一点，只需证明:对任何不同时为0的A，B，有max0≤x≤ 3π 2F(x)＞max0≤x≤ 3π 2f(x)= 2 ．运用反证法，若max0≤x≤ 3π2F(x)≤ 2 ．则 F（π 8 ）=| 2 + π 8 A+B|≤ 2 ，故π 8 A+B≤0 (1)同理，由F（5π 8 ）≤ 2 及F（9π 8 ）≤ 2得5π 8 A+B≥0 （2），9π 8 A+B≤0 （3）由（1），（2）可得A≥0，由（2），（3）可得A≤0．故A=0，从而 B=0，这与题设A，B不同时为零矛盾．故求解得证．很明显，F（x)与A，B有关．现在要求先关于x求最大值，然后再关于A，B求最小值，也就是要求确定A，B使下面极值达到：d=min A.B max0≤x≤ 3π 2|P(x)+Ax+B|其中 P（x)=cos2x+2sin x cos x-sin2x令 g(x)=-Ax-B，我们把ρ=max0≤x≤ 3π 2|p(x)-g(x)|称作p(x)和g(x)在区间［0, 3π 2 ］上的偏差，那么上述问题就变为，要我们确定一个一次函数p(x)，使它与g(x)在［0, 3π 2 ］上的偏差最小．由此，我们进一步提出下面的一般性问题：设p(x)是区间［a,b］上的连续函数，试确定一次函数p(x)=kx+m，使偏差ρ=maxx∈［a,b］［p(x)-g(x)］达到最小．这就是函数逼近论中的最佳逼近问题注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究举办“希望杯”全国数学邀请赛有助于鼓励和引导中小学生学好数学课程中最主要的内容，适当地拓宽知识面；启发他们注意数学与其它课程的联系和数学在实际中的应用；激励他们去钻研和探究；培养他们科学的思维能力、创新能力和实践能力；高二参赛学生作为一个特殊的参赛群体，既可以暂时避开来自高考的压力，又作为“希望杯”全国数学邀请赛参赛队伍中年级最高的一个群体，此赛事对这批学生来讲意义更为重大。
他们对初高中知识掌握较全面，命题人可供选择的知识点更宽泛，同时又因为他们即将面临高考，此赛事在锻炼高二参赛学生的思维，拓宽他们的解题思路方面有很大贡献。
因此有很多学者致力于研究“希望杯”全国数学邀请赛的高二试题部分。
高二“希望杯”全国数学邀请赛第一届是在1990年举行的，至今已成功举办了21届。
21年的发展历程，让“希望杯”倍受关注。
众多学者对高二“希望杯”的研究主要可以分为以下几个方面：（一）寻求高二“希望杯”试题的一题多解（二）探讨高二“希望杯”中同类题型，或给出统一解法（三）找出高二“希望杯”试题与高考试题间联系关于“希望杯”试题的一题多解的研究方明（湖南省长沙雅礼中学）发表于《数理天地》高中版2006年第6期第23页，第42页《换元法解第十七届“希望杯”试题》中，作者选取了“希望杯”高二第17届（2006年）第1试试题18向我们展示一题多解的魅力。
尽管解题思想不同，用换元或是用基本不等式，却是殊途同归。
王钦茹赵平礼（山东苍山县卞庄二中）发表于《中学数学教学》1999年第4期第34页上《一道“希望杯”赛题的几何证法》中，作者针对第七届全国数学“希望杯”高二年级第2试试题22（1），在不利用未编入教材的微积分知识的前提下，提出一种初等解法，其中主要用到三角形及扇形的面积公式。
知识点粗浅，方便理解。
王成维吴杰夫（天津市现代联合咨询中心高考研究室）发表于《数理天地》高中版2006年第6期20-21页《第17届“希望杯”高二2试解答题的别解》中，作者仅选取该届试题的2试试题，另辟蹊径地给出了自己较为简便的算法，该算法切入口明显，向下行走顺畅自然，易于理解。
两道高考题共同背景、探源与拓展探讨
两道高考题的共同背景与拓展研究广东省佛山市顺德区桂洲中学 孙芬 528305高考自2004年大规模分省自主命题以来，高考试题丰富多彩，不同的省份甚少有相同的试题. 2013年的高考广东卷和辽宁卷这一相距甚远的两省命题人却选择了同一个往年考题进行改造和拓展，演绎了南北不同的精彩.1 原题展示题1（2013年辽宁文20）如图，抛物线()2212:4,:20.C x y C x py p ==->点()00,M x y 在抛物线2C 上. 过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）.当01x =，切线MA 的斜率为12-. （1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程 （,A B 重合于O 时，中点为O ）.题2（2013年广东文20）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()(0,)0F c c >到直线:20l x y --=.设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1） 求抛物线C 的方程；（2） 当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3） 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值. 2 背景探源高考30年，特别是进入分省自主命题以来，产生了大量的较为成功的高考试题，对这些试题进行通过简单变形、易位变形、类比变形等多种改造变形命题方法，挖掘原有高考数学试题的深刻内涵，使陈题“旧貌换新颜”，一直是高考数学命题的常用方法.上述两题基本上可以视作改编自题3.题3（2005年江西理22题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线P A 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程；（2）证明∠PF A =∠PFB .题1撷取了题3题干和第一问，将动点P 运动的 直线改成了抛物线；题2则是撷取了第二问，研究切 点弦和焦半径的有关性质，并进行了延伸拓展.上述考题都是研究与抛物线切线有关的性质，亦或者说研究是由抛物线的弦及过弦的端点的切线所围成的三角形有关的性质问题. 这个三角形通常被称为阿基米德三角形.阿基米德最早在《抛物线的球积法》著作中利用逼近的思想证明了有关性质：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二. 3 拓展探讨对于抛物线切线性质的高考探讨，在过渡版大纲中出现导数工具后得到了命题人的广泛关注，并进一步类比拓展到了有心二次曲线的研究中去.事实上了，抛物线切线和切点弦有着丰富的性质，本文对上述考题涉及到的有关问题进行探讨，并进一步做些拓展.在研究之前先来了解一下与抛物线切线或者切点弦有关的结论： 抛物线222(2)y px x py ==或及任一点P 00(,)x y ，则 结论1：若00(,)P x y 为抛物线上一点，则过这一点的切线方程为0000()(())y y p x x x x p y y =+=+或；结论2：若点P 00(,)x y 为抛物线外一点，则方程0000()(())y y p x x x x p y y =+=+或为其切点弦AB 方程.注：下文如不加说明，抛物线均以22x py =为例. 证明：设22x py =，且()11,A x y 、()22,B x y ，则xy p'=，于是 切线PA 的方程为：111;y x x y p =- 切线PB 的方程为：221y x x y p=-.注意到00(,)P x y 适合上述切线方程，则01011;y x x y p =- 02021y x x y p=-， 由曲线与方程的关系，点()11,A x y 、()22,B x y 适合方程001y x x y p=-，从而弦AB 的方程为001y x x y p=-.也即00()x x p y y =+. 上述结论1解决了题1的第1问，结论2解决了题2的第2问.3-1 与题1-3有关的三个性质.性质1 从抛物线外一点P 作抛物线的切线,PA PB 切点为,.A B 为抛物线的焦点，若()11,A x y 、()22,B x y ，则1212(,)22x x x x P p+. 证明：由上述结论1，有切线:PA 211()2x x x p y p=+①；切线:PB 222()2x x x p y p=+②则联立方程①②可得1212,22x x x x x y p +== ，即1212(,)22x x x xP p+. 注意到点122P x x x +=，而弦AB 中点的横坐标也为122x x +，于是有如下推论： 推论1-1 若弦AB 中点为Q ，则直线PQ 平行于对称轴. 推论1-2若弦AB 中点为Q ，则线段PQ 被抛物线平分. 由上述性质1，我们可以得到题1第二问的解.事实上，由性质1不难得到点1212(,)24x x x x M +，而221212(,)28x x x x N ++.注意到M 在2C 上，则2212126x x x x +=-，从而线段AB 中点N 的轨迹方程24(0)3x y x =≠. 性质2从抛物线外一点P 作抛物线的切线,PA PB ，切点为,.A B F 为抛物线的焦点，则2PF AF BF =⋅.证明：由抛物线的定义，()22222212121222222444x x x x x x p p p FA FB p p p ⎛⎫⎛⎫+⋅=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由上述性质1，有()()22212122222121212122222212122022*********x x x xp PF p x x x x x x x x p p x x x x p p FA FB⎛⎫+⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭++=+-++=++=⋅, 即2PFFA FB =⋅得证.由性质2，不难得到题2的第三问，由于2PF FA FB =⋅，求AF BF ⋅最小值，也即求PF 的最小值.注意到点P 在直线l 上，PF 的最小值就是点F 到直线l 的距离，也即从而AF BF ⋅最小值为292=⎝⎭. 性质3从抛物线外一点P 作抛物线的切线,PA PB ，切点为,.A B F 为抛物线的焦点，则PFA PFB ∠=∠.证明：由性质1可，112200,,,,,222p p p FA x y FB x y FP x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，则()2211211211212221122222222222cos 2222x x x x x x x x x p p p p x x pp p p p FA FP p PFA x x p p FA FP FPFP FP p p +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 同理可得1222cos x x pFB FP p PFB FB FP FP+⋅∠== .所以PFA PFB ∠=∠.题3的第二问恰好就是证明性质3.以上三个性质恰恰就是上述三个考题相关的性质.事实上，对于抛物线的切点弦，还有几个有趣的常常考查的性质.性质4 F 为抛物线内对称轴上一定点，过定点F 的直线与抛物线交于点,.A B 过,A B 两点的切线交于点P ，则PF AB k k 为定值.证明：由于定点(0,)F a ，在弦00()x x p y y =+上，即0y a =- ，也即122x x pa =-，于是 221212122212122222222222PF ABx x x x a x x pa pa paa p p p k k x x x x p p p -----⋅=⋅===-+-（定值）. 推论4-1：若点F 为焦点，则PF AB ⊥. 推论4-2：若点F 为焦点，则PA PB ⊥. 利用本题的结论可以解决题4：性质5 F 为抛物线内对称轴上一定点，过定点F 的直线与抛物线交于点,.A B 过,A B 两点的切线交于点P ，则动点P 的轨迹是垂直于该抛物线对称轴的直线,且垂足F '与F 关于抛物线的顶点对称.证明：略. 参考文献[1]彭海燕.对一道2005年高考题的研究[J].中学教研（数学），2005（11）：28-30. [2]王芝平.代数运算表其外，几何性质蕴其中[J].中小学数学（高中版），2008（1-2）：54-55.。
高考数学试题中的竞赛数学背景探索
数学学习与研究2016.10【摘要】本文首先对数学竞赛和高考数学分别进行了简单的介绍,然后对这两者之间的契合点进行分析,最后探讨在竞赛数学背景下高考数学试题的命题方法,希望能为广大教师和学子提供帮助.【关键词】高考数学;竞赛数学;命题方法一、高考数学命题的概述高考的命题主要是用来提高高等学校进行人才选拔,对教育具有促进作用,高考是一种选拔性的考试,将基础教育和高等教育衔接了起来,最终目的是将那些具有较高综合素质、扎实基础并且有较强能力的学生选择出来,送进高校接受下一步的深造.高考数学命题的依据是高中数学课程标准中提出的关于教学目标和教学要求方面的规定,以及考试大纲中对于题型以及题目难度的规定,命题可以分为两个步骤,一是单题命制二是试卷组拼,在命题过程中需要考虑到考查的内容和能力定位、选择什么样的材料和题型,并且需要把控住难度和整体布局.二、高考数学和竞赛数学的区别与联系(一)客观区别高考数学是一种选拔性考试,面向全体高中毕业生选择出优秀的一部分,来供高等院校录取,而竞赛数学面对的群体则是少部分学有余力的学生,只是对学生的数学特长发展水平进行衡量,在教育教学中的作用主要是实验和尝试.二者具有不同的目的、性质并且对中学数学发挥的作用也不同,具体表现就是它们的难易程度有差异,形式方面有差异.(二)必然联系虽然高考和竞赛拥有不同深度和广度的考试内容,但是都不能超出教学大纲所规定的范围,而且同样作为中学数学,具有一样的数学内容、思想以及方法.同时因为高考和竞赛的目的都是选拔,所以对优秀试题也会产生类似的追求,要保证其新颖程度、深度和广度,并且考查学生的创新意识,注重思维的发散性.三、竞赛数学背景下的高考数学试题命题方法数学竞赛是对学生数学知识运用的能力以及智力水平的考查,看学生能否顺利将数学问题解决,虽然高考和竞赛不相同,但是二者都有人才选拔的功能.数学竞赛中的题目都是比较典型且具有考察性的,我们将其陈述方式略加改变并且进行变形,就可以得到相应的数学试题,如今的高考数学试题中应用竞赛数学的思想和方法,已经成为了其一个特征.具体来说高考数学试题中对竞赛数学题目的应用有以下几种.(一)直接将数学竞赛试题移用因为数学竞赛中使用的试题具有很强的综合性,并且比较新颖,所以很多学生都没有对其进行关注,高考试题中就会直接将其引用进来.一般来说那些直接引用的试题只是简单修改了一下语言的表述和结论设计,不会改动试题的类型以及解题的方法.例如第27届美国中学生数学竞赛中有这样一道题目:如果x 是实数,那么(1+x )(1-|x |)是正数的充分必要条件是什么?A.|x |<1B.x <1C.|x |>1D.x <-1E.x <-1或-1<x <1以这道题为原型的题目出现在2002年的全国卷中,题目是这样的:不等式(1+x )(1-|x |)>0的解集是().A.{x |0≤x <1}B.{x |x <0且x ≠-1}C.{x |-1<x <1}D.{x |x <1且x ≠-1}这两道题修改的只是试题的备选答案,并且只是换了一种表述,并没有修改试题的主干部分,近年来高考试题中有一个命题特点就是从国外的数学竞赛中进行取材.(二)变形改造数学竞赛试题数学竞赛试题往往都具有一个特点,就是解题方法比较独特并且形式方面比较新颖,很多高考试题都会对其进行借鉴.(三)推广数学竞赛的试题因为数学竞赛试题可以将高中数学知识一些方面的应用领域反映出来,所以高考试题中很多题目会以竞赛试题作为主干,在解题思路方面也和竞赛试题完全相似,有的时候相比起原本的竞赛试题来说,这种高考试题难度更高.例如2007年高考数学辽宁卷中理科版中有一道题目是这样的:若θ∈34π,54π(),那么复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)在复平面内对应的点位于一、二、三、四哪个象限?这道题目是一道综合题,其中包括了复数和三角函数两方面的知识,而其原型来自于1989年全国高中数学联赛中的一道题目:若A ,B 是锐角三角形△ABC 的两个内角,那么复数z =(cos B -sin A )+(sin B -cos A )在复平面内所对应的点,位于一、二、三、四哪个象限?(四)演绎深化数学竞赛试题高考数学试题不仅和数学竞赛的试题拥有很相似的试题形式,涉及的数学知识领域以及数学思想方法也很多都是相似的,一般来说这种类型的高考数学试题是选择了数学竞赛试题中的一些条件引申,或者是研究得出的性质和结论作为题目来使用的.例如2006年辽宁省的高考数学试题中有一道是:若一条直线和一个正四棱柱各个面所成的角都为α,那么cos α为多少?这道填空题还是比较具有难度的,而它的原型则来自于1990年广西高中所使用的一道数学竞赛题,题目为:已知一个平面和正方体的12条棱产生的夹角均为θ,那么cos θ是多少?这两道题目虽然略有不同,不过答案都是一样的.【参考文献】[1]赵兴杰,蒋路琴.从近三年高考理科数学试题谈高中统计与概率的教学[J ].遵义师范学院学报,2013,03:106-109.[2]晨旭.体现数学文化突出实践能力──2015年高考数学试题评析[J ].中国考试,2015,11:11-15.高考数学试题中的竞赛数学背景探索◎赵华卿(曲阜师范大学附属中学,山东曲阜273165)139. All Rights Reserved.。
探索高中科学竞赛的背景和机会
探索高中科学竞赛的背景和机会
在探索高中科学竞赛的背景和机会时，我们发现这是一个充满挑战和机遇的领域。
科学竞赛为年轻的探索者们提供了一个展示他们才华的舞台，这些年轻人对科学的热情与日俱增，渴望通过参与竞赛来展示他们的才能和创造力。
首先，了解科学竞赛的背景至关重要。
这些竞赛不仅仅是为了比赛而比赛，它们背后蕴含着深厚的教育意义。
竞赛激励学生深入探索科学领域，促使他们超越课堂上的基础知识，探索更深层次的理解和应用。
通过参与这些竞赛，学生们学会了如何提出假设、进行实验、分析数据，并最终得出结论，这些都是未来科学家和工程师所必需的技能。
其次，科学竞赛为学生们提供了丰富多彩的机会。
参与竞赛不仅能增强他们的学术能力，还能培养他们的团队合作、沟通能力和解决问题的能力。
在竞赛中，学生们常常需要与同龄人或导师密切合作，共同解决现实生活中的科学难题，这种合作精神和实践经验对他们日后的职业生涯至关重要。
另外，科学竞赛还能为学生们的未来铺平道路。
优秀的表现和奖项不仅能够增强他们的简历，还可能为他们赢得入学奖学金和未来的职业机会。
许多竞赛还与科研机构和大学建立了紧密的
联系，为优秀的参赛者提供了实习和深造的机会，这对于那些希望在科学领域发展的学生来说是一个宝贵的资源。
总之，探索高中科学竞赛不仅仅是追求荣誉和奖项，更是一个发展个人技能和探索科学领域的过程。
通过这些竞赛，年轻的科学家们能够在实践中学习、成长，并为未来的职业生涯打下坚实的基础。
因此，鼓励学生们参与科学竞赛，不仅有助于他们个人的发展，也能为科学和技术的未来培养出更多的人才。
解读竞赛题目的背景知识
解读竞赛题目的背景知识背景知识的解读是参与竞赛的关键步骤之一。
通过了解背景知识，我们可以更好地理解竞赛题目的内涵、目的和所需技能，从而能够有针对性地进行备战和答题。
本文将介绍解读竞赛题目的背景知识的重要性，并提供一些实用的方法和技巧，以帮助读者更好地应对各类竞赛。
一、了解竞赛背景知识的重要性竞赛题目往往蕴含着丰富的背景知识，只有了解这些知识，才能全面地理解题目的要求和考点。
了解背景知识能够帮助我们更准确地把握答题思路，提高解题的效率和准确性。
同时，背景知识还可以为我们提供更多的信息和素材，有助于丰富答案的内容和亮点。
因此，解读竞赛题目的背景知识是参与竞赛的必不可少的准备工作。
二、解读竞赛题目背景知识的方法和技巧1. 研读竞赛规则和题目解析：在参加任何竞赛之前，首先要详细阅读竞赛的规则和题目解析，这些文件中通常包含了对竞赛背景知识的介绍和解读。
通过仔细阅读这些文件，可以了解竞赛的背景、目的、评分标准和考察的重点，为后续的备战工作提供方向。
2. 查阅相关资料和参考书籍：针对特定的竞赛题目，我们可以通过查阅相关资料和参考书籍来深入了解相关背景知识。
例如，如果是数学竞赛题目，我们可以查看数学教材、参考书籍和相关的数学论文；如果是科学竞赛题目，我们可以阅读科学期刊、科普书籍和相关的研究报告。
通过系统地阅读和学习，我们可以逐渐掌握竞赛所需的背景知识。
3. 参加讲座和培训：有时候，竞赛组织方会举办相关的讲座和培训活动，邀请专家和老师为参赛者解读竞赛题目的背景知识。
我们可以积极参加这些活动，从专家和老师口中获取更具权威性的解读和讲解。
此外，我们还可以利用互联网平台，观看相关的线上讲座和视频教程。
4. 制作知识框架图或思维导图：当我们掌握了一定的背景知识后，可以通过制作知识框架图或思维导图来整理和梳理这些知识。
将相关的概念、定义、定理等内容进行分类、归纳和链接，可以帮助我们更加清晰地了解背景知识的结构和关联。
这样，在遇到竞赛题目时，我们可以更快地将题目与相应的知识点联系起来，提高解题的速度和准确性。
生物学联赛试题背景探讨——以2019年第14题为例
生物学联赛试题背景探讨以"%!0年第!4题为例杨#普#徐嘉伟"#!南京师范大学教师教育学院#南京#"!%%"&#摘#要#本文例析了全国中学生生物学联赛生物化学部分中的一题$详细介绍了命题的知识点以及解题思路$并对试题所涉及到的相关研究结果及命题背景进行了探析&关键词#生物学联赛#生物化学#试题解析##中学生生物学联赛试题具有较强的综合性$考查学生对基础知识的掌握以及综合运用能力&目前$生物竞赛的相关研究扩展到了许多方面$主要有对竞赛试题进行就题论题的分析%探究生物竞赛与教育发展的关系%分析竞赛对生物学教学的影响'!(等$但尚缺少对题目背景的深入探讨&本文就"%!0年全国中学生生物学联赛试题中.氨基酸活化/一题作了详细解析以及深度拓展&!"题目在用于蛋白质合成的氨基酸的.活化/中!###!参考答案,B#<g 需要两种不同的酶$一种形成氨酰基腺苷酸$另一种将氨基酸连接到R;F <上Y g 甲硫氨酸首先被甲酰化$然后附着于特定的R ;F <L g 氨基酸通过磷酸二酯键连接到;F <的23末端B g 每种氨基酸至少有一种特异性激活酶和一种特异性R ;F <Q g 亮氨酸可以通过对亮氨酸特异的氨酰基R ;F <合成酶与R ;F <=*.连接#"解析.氨基酸的活化/是指在氨酰R ;F <合成酶的催化作用下$氨基酸特异地与R;F <结合生成氨酰R ;F <的过程&本题主要考查学生对于氨基酸活化和常见氨2222222222222222222222222222222222222222222222法$蒸馏法的优点有哪些0联系这两种提取方法$请学生们设计一个方案$将橘皮压榨液中的精油分离出来&请预想提取过程中可能会遇到哪些困难0如何克服这些困难0问题2的讨论主要是引导学生结合蒸馏法将压榨液中的精油分离出来&学生已经学习了用蒸馏法提取玫瑰精油$蒸馏法的出油量较快也较多$利用此方法可以有效地从橘皮渣中分离出精油&但是$蒸馏法容易导致原料焦糊$教师可引导学生从避免焦糊现象寻找突破口&柑皮和柚皮去除中果皮$去除纤维后可以减少焦糊现象的发生&提前粉碎果皮$让物料变成小颗粒$水沸腾后上浮$也可以减少焦糊现象发生$并且蒸馏过程中要注意控制火候&最后$学生总结橘皮精油的提取方案,挑选油腺点大而多的柑%甜柚皮&去除中果皮纤维&饱和石灰水浸泡过夜&清洗果皮&榨汁机压榨&加水&水蒸气蒸馏&分离水和精油&用吸油纸检测精油&&/4#以上实验的结果分析#各实验小组的学生随机选取柑皮或柚皮$自主确定材料的用量%水的用量和蒸馏的时间$第!次实验先处理好材料并用石灰水浸泡&第"次实验按照.压榨和蒸馏/的方案$进行橘皮精油的提取$做好实验数据的记录&结果,用!2%8已处理的材料$蒸馏约!*$大约收集到!3E 精油$油水分层明显&实验结果说明改进的方案使实验结果更为明显$改进后的方案省去了教材中过滤%离心和低温沉淀等步骤$说明用不同方法也可得到预期的实验结果$有利于学生创造性思维能力的培养&&/2#合作交流和再探究#通过实验后$选出小组学生代表交流自己的实验方案和结果%查阅资料分享植物芳香油的应用&同时$教师评价学生的学习过程和成果时$还鼓励学生的学习积极性$并提出再探究的问题,在选好原料%处理好材料基础上$应该如何优化提取工艺从而达到更理想的提取效果呢0学生经过讨论%列举再探究的思路&如设置原料与水的配比%提取时间作为实验自变量&围绕去除橘皮精油中的色素%杂质等问题进行再探究$优化精油的提取工艺&%"教学的评价与反思本实验的教学通常是在夏季$而柑橘的丰收期主要在冬季&所以该实验的教学建议是应该安排在第二学期初授课$这样就可以找到较多合适的实验材料&主要参考文献'!(朱正威$赵占良/普通高中课程标准实验教科书)生物)选修!)生物技术实践'K (/北京,人民教育出版社$"%%5,5452/'"(张#芳$部迎秋/水蒸气蒸馏法提取橘皮精油的工艺研究'6(/石家庄学院学报$"%!!$!&!&#,25/!##基酸的英文缩写等知识的掌握情况&蛋白质的合成过程中$氨基酸与R;F <结合$在核糖体中参与多肽链的起始和延伸&氨基酸的羧基在氨酰R;F <合成酶的催化下$与R ;F <&3端腺苷酸核糖基上&3'P 缩水形成酯键'"($这一过程用化学方程式表示如下!图!#,<<I R ;F <I <?=&<<R ;F <I <K =I ==+实际上包括了两步反应,$氨基酸在氨酰R ;F <合成酶!Q #的催化下生成酶氨酰腺苷酸复合物!图"#"%氨基酸残基与R ;F <&3末端腺苷酸的"3或&3'P 结合!图&#&由上述分析可知$氨基酸的活化过程仅需一种酶$且氨基酸通过形成酯键连接到R;F <的&3端$故选项<和L 错误&氨酰R;F <合成酶具有高度专一性$其对R ;F <和氨基酸的特异性识别保证了多肽链的精准合成&生物体内通常具有"%种氨酰R;F <合成酶$对应"%种图!#氨基酸活化的化学方程式图"#第一步反应图&#第二步反应常见氨基酸&密码子具有简并性%摆动性%通用性等多种特性&其中$简并性决定了一种氨基酸可以对应多种密码子&例如,甲硫氨酸只有!种密码子$精氨酸有4种密码子$亮氨酸则多达$种&从遗传密码表可以观察到$编码同一氨基酸的密码子的第一%二个碱基都是相同的$而在第三个碱基处发生了改变$为了解释这一现象$L(+)b提出了.摆动假说/$补充了典型的.C-U R>7k L(+)b碱基互补配对原则/'&(&密码子的摆动性导致了R;F<上携带的反密码子可以被多个密码子识别结合$意味着一个氨基酸可以对应一至多个R;F<$故B选项正确&甲硫氨酸!K.R#的活化过程与大多数氨基酸不同$它在原核和真核生物中的行为具有差异&在原核生物中$K.R需要被甲酰化为甲酰甲硫氨酸!V K.R#才能作为起始氨基酸开始蛋白质的生物合成&它由以下两步反应合成,$K.R与相对应的R;F<结合,K.R I R;F<V K.R I<?=&K.R R;F<V K.R I<K=I==+ %K.R在甲酰转移酶的作用下甲酰化,V?P D<I K.R R;F<V K.R&?P D<I V K.R R;F<V K.R。
中美中学数学竞赛比较研究的开题报告
中美中学数学竞赛比较研究的开题报告一、研究背景及意义中美两国在数学教育方面存在着一定的差异，其中最明显的一个方面就是两国中学生的数学竞赛水平。
数学竞赛是对中学生数学理解和实践能力的重要衡量标准之一，在两国中学教育中都占有着重要地位。
但是，在数学竞赛中，美国学生的表现通常要比中国学生更出色，这就引起了两国教育界的普遍关注。
因此，对中美中学数学竞赛的比较研究具有重要的理论和实践意义。
首先，在理论层面上，开展中美中学数学竞赛的比较研究不仅有助于深入探究中美教育模式的差异，分析两国的教育模式和教育成果之间的关系，有利于发现两种教育模式的互补性和可借鉴性，从而为今后改进和提高我国中学数学教育质量提供有力的参考。
其次，在实践层面上，对中美中学数学竞赛的比较研究可以为中美两国的数学教师提供有益的指导和借鉴意见，以便更好地协助学生提升数学素养，从而提高竞赛水平。
二、研究内容与方法本研究拟从以下几个方面入手对中美中学数学竞赛进行比较研究：（1）数学素养方面的比较：主要观察中美两国中学生的数学基础有何不同，从而探究竞赛成绩与数学素养之间的关系。
（2）教育教学方面的比较：包括两国数学教材、教学方法、课程结构等的比较，以便更好地发现和借鉴两国现行的数学教育模式。
（3）竞赛形式、要求的对比：主要从竞赛试题的难度、形式、出题者、时间与空间限制等方面来进行竞赛方式的比较。
在研究方法上，本研究将采用文献研究和实证研究相结合的方法。
首先会搜集中美两国的相关实证研究文献，以便了解中美中学生的数学竞赛情况；同时还会对两国现行的数学教材、教学方法、课程结构等进行梳理和比较；在此基础上，本研究将对中美两国2015年至2020年的中学数学竞赛进行案例研究，并通过对比、统计和分析来探究两国中学生数学竞赛的差异。
三、预期研究成果本研究预期可以深入探究中美中学数学竞赛的差异，并发现两国教育模式存在的互补性和可借鉴性。
同时，本研究还有望为中美两国的数学教育教学和数学竞赛提供有益的借鉴意见和参考建议，以便更好地协助学生提升数学素养，从而提高竞赛水平。
高中数学联赛第13题的背景及解法讨论
高中数学联赛第13题的背景及解法讨论广东深圳市育才中学 王 扬探讨一些竞赛试题的背景和演变是一件十分有意义的工作，它即可挖掘知识之间的纵横联系，又可以培养学生发现问题、解决问题的能力，同时可激发学生学习数学的兴趣，还可以揭示命题人的思维方法，为学生发现问题的本质提供思路和供借鉴的模式，让他们也能享受到做科学研究的乐趣，使他们以后在科学研究的道路上走的更好些，更远些。
下面我们对的一道全国高中数学联赛13题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。
一．题目。
全国高中数学联赛13题为：数列{}n a 满足：,),36457(21,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意n ∈N ，an 为整数。
（2）对任意n ∈N ，an+1an1为一个完全平方数。
二．先看本题的解法。
（1） 一般有三种解法。
解法一：递推并利用根与系数关系。
对原递推式移项，再两边平方整理便得 ① 0972121=++-++n n n n a a a a再递推得 0972112=++---n n n n a a a a改换一种叙述方式得 ② 0972121=++---n n n n a a a a可以看出， ,11-+n n a a 为下面关于x 的一元二次方程： 09722=++-n n a xa x 的两个根，所以 7a n 11=+-+n n a a ， 即 1-n n 1a - 7a =+n a ③据10=a 及原递推式知 51=a ，再结合数学归纳法知对于任意n a N n ，∈都是整数。
解法二：递推并分解因式。
对原递推式移项，再两边平方整理便得 0972121=++-++n n n n a a a a再递推得 0972112=++---n n n n a a a a ，这两式作差并分解因式，得0)7)((1111=-+--+-+n n n n n a a a a a ④ 但据原递推式1127-+>>≥n n n n a a a a ，∴ 由（4）知 0711=-+-+n n n a a a ， 以下同解法一 。
高考试题中的竞赛背景
高考试题中的竞赛背景2012年4月钟祥旧口高中柳成兵“数学是思维的体操”,而数学竞赛更是考查一个人智力水平和综合能力的重要手段。
高考功能虽然不同于竞赛,但同样具备选拔功能,通过高考选拔智能健全的可造之才。
从解答策略上来说,尽管高考一般淡化解题中的特殊技巧,往往注重在解题的通性通法上精心设计.但是认真分析近几年的高考试题,尤其是压轴题,有“难题竞赛化”的影子,不难发现,有很多问题很难用“通性通法”顺利解决.因此,对于学有余力的同学来说,有必要适当掌握一些“竞赛”的方法或技巧,这样,才能真正在高考中做到处变不惊,游刃有余.竞赛背景,竞赛思想渗透于高考试题之中,这是近年高考试题的一个比较明显的特征.究其原因:一是近几年来,各类竞赛题相继降低了门槛,越来越贴近高考,而随着素质教育的深入,高考数学也加强了能力考查的力度;二是数学竞赛专家参与了高考命题工作。
下面就是本人从各竞赛选拔赛或真题中选的一些试题，同学们可以试试，希望从中体会并真的能使自己的思想更开阔，能力更高强，1、正三棱柱ABC——A′B′C′的侧棱及底面边长都是1，则四面体A′ABC、B′ABC、C′ABC的公共部分的体积是_________.2、若三位数abc满足1≤a≤b≤c≤9，则称abc为“上坡数”，那么，上坡数的个数是_______.3、已知函数f (x)=x|1－x|(x ∈R),则不等式f (x)＞41的解集是____________.4、已知S n 为数列｛a n ｝的前n 项和， a=( S n ，1)，b=（－1，2 a n +21+n ），a ⊥b.若b n =12011+-n n a n ，且存在n 0，对于任意的k （k ∈N +）,不等式b k＜b 0n 成立，则n 0的值为________.5、已知抛物线x 2=2py(p ＞0)与直线y=b(b ＜0)，点P(t,b)在直线上移动，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，线段AB 的中点为M. （1）求点M 的轨迹；（2）求|AB|的最小值.6、用部分自然数构造如图的数表：用a ij (i ≥j)表示第i 行第j 个数（i 、j ∈N +），使a 1i = a ii =i. 每行中的其余各数分别等于“肩膀” 上的两个数之和，设第n （n ∈N +）行中各数 之和为b n .试冲问：数列｛b n ｝中是否存在 不同的三项b p 、b q 、b r （p ，q 、r ∈N +）恰好成等差数列？若存在，求出p 、q 、r 的关系；若不存在，请说明理由.7、设f (x)是定义在定义域D 上的函数，若对任何实数a ∈(0，1)以及D 中的任意两数x 1,x 2，恒有f (a x 1+(1－a)x 2)≤a f (x 1)+(1－a) f (x 2)，则称f (x)为定义在D 上的C函数.(1)已知f (x)是R 上的C 函数，m 是给定的正整数.设a n = f (n)(n=0，1,…m)，且a 0=0,a m =2m ，记S f =a 1＋a 2＋…+a m .对于满足条件的任意函数f (x)，试求S f 的最大值.(2)若f (x)是定义域为R 的函数，且最小正周期为T ，证明：f (x)不是R 上的C 函数.8、设P 是∆ABC 所在平面上一点，满足AB PC PB PA 2=++.若S ABC ∆=1，则S PAB ∆=________.9、设)(1x f =112+-x x ，对n≥2，定义)(x f n =)((11x f f n -）.若)(29x f =xx-+21，则)(2009x f =___________.10、两人作一种游戏：连续旋转一枚硬币若干次，当正（或反）面向上的次数累计达到5次时游戏结束，游戏结束时，如果正面向上的次数累计达到5次，则A 胜；否则B 胜.那么，旋转不足9次就决出胜负的概率为________.11、设a 1=1，a 2=2，对n≥2有 a 1+n =12+n n a n －11+-n n 1-n a ，若对一切正整数n≥m ，有a n ＞2＋20092008，则正整数m 的最小值为__________.12、设R a i ∈,且|i a |≤1（i=1，2，…, n ）证明：a 1＋a 2＋…＋a n －a 1a 2…a n ≤n －1.13、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为_______. ①三角形 ②正方形 ③ 梯形 ④五边形 ⑤六边形14、已知f (x)=sin2x ＋3sinx ＋3cosx(0≤x ＜2π).求： （1）f (x)的值域；（2）f (x)的单调区间.15、已知a ＞0，b ＞0，log 9a=log 12b=log 16(a ＋b).求ab 的值16、过点（2，3）作动直线l 交椭圆42x ＋y 2=1于两不同点P 、Q ，过P 、Q 作椭圆的切线，两条切线的交点为M. （1）求点M 的轨迹方程；（2）设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.17、已知数列｛a n ｝的通项为a n =1＋2＋…＋n(n ∈N +），把此数列中所有3的倍数依次取出，构成一个新的数列b 1，b 2，…b m …求数列｛b ｝的前2m 项的和S m 2.18、如图所示的阴影部分是由方格纸上的三个小方格组成， 称这样的图案为“L 形”.那么，在由4×5个小方格组成 的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案（ ）个. A 、16B 、32C 、48D 、6419、直线l：y=px（p是不等于0的整数）与直线y=x＋10的交点恰好是整点，那么，满足条件的直线l有（）条A、6B、7C、8D、无数20、如图，点A是5×5方格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长5且一个顶点是点A的都是1，那么，面积等于2格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）有（）个.A、10B、12C、14D、1621、从如图（甲）所示的等边三角形开始，把它的各边分成相等的三段，在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成如图（乙）所示的六角星图形；再在六角星各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个如图（丙）所示的有18个尖角的图形；然后在其各边上再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图（丁）.如此继续下去，图形的轮廓就能成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线.如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的图形变化过程叫做“生1a，长”，例如，第一次生长后得图（乙），每个小等边三角形的边长为3所形成的图形的周长为4a.请填写表1（用含a的代数式表示）表122、已知三个非零实数a 、b 、c ，集合A={},,ba c .记x 为集合A 的所有元素之和，y 为集合A 所有元素之积，若x=2y ，则x+y 的值是_________.23、椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）与x 轴负半轴交于点C ，A 为椭圆第一象限上的点，直线OA 交椭圆于另一点B ，椭圆左焦点为P ，联结AP 交BC 于点D ，如果=23DB 则椭圆的离心率等于_________. 24、已知双曲线S ：8422=-y x ，S 的右支上有一条动弦AB ，AB 的中点为C.（1）若C 到双曲线的一条经过第一、三象限的渐近线1l 的距离为1，另一条渐近线2l 与AB 交于点D ，O 为原点，求OD 的长度； （2）若AB=4，且AB 与1l 、2l 交于点P 、D ，求S POD ∆的取值范围.。