华南理工大学2013《概率论》试题A

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概率论课后答案华南理工大学

设事件 A {取出的两个球都是白球} ，则事件 A 包含的样本点总数为 k C52 ，故
P( A)
k C52 0.357 n C82
例 4 一批产品工 200 个，其中有 6 个废品，求：（1）这批产品的废品率；（2）任取 3 个恰有 1 个废品的概率；（3）任取 3 个全是废品的概率. 解
一个事件的概率为 0，这个事件未必是不可能事件；因此 C 项正确.反例如
下：随机地向 [0,1] 区间内投点，令 x 表示点的坐标，设
A { 0 x 1 / 2 B} , { 1 x /， 2则 A B 1{ }x 1 / 2， } 由几何概率可知，
1 2k 2 1 2k 2 2k 2 Cn Cn 1 (C2 ) n22 k 2 Cn 1 2k 2k C2 n C2 n
率总是在区间（0,1）上的一个确定的常数 p 附近波动，并且稳定于 p ，则称 p 为事件 A 的概率，记为 P( A) .即
P( A) p
14.古典概率定义古典概率定义在古典概型中，如果基本事件的总数所包含的样本点个数为 r （ r n ），则定义事件 A 的概率 P( A) 为 r / n .即
第一种情况：不放回抽样
1 1 样本空间的基本事件总数为 n C6 C5 30 . 事件 A 的基本事件数为 1 1 1 1 k A C4 C3 4 3 12 .事件 B 基本事件数为 k B C2 C1 2 1 2 .
（1）（2）由于 P( B)
例 6 从 n 双不同型号的鞋子中任取 2k (2k n) 只，试求下列事件的概率：（1）（2） B ={恰有一对鞋子} . A ={没有成对的鞋子}；解

2012-2013年华南理工大学期末考试《工科数学分析》下试卷(A)(1)

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2012—2013第二学期期末考试试卷（A ）1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；本试卷共 5个大题，满分100分，考试时间120分钟。

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下述函数中有可能成为二阶微分方程(,,'')0f x y y =的通解的是（）A ．120C x C y +=；B ．212e x yC C -=+；C ． 312eC xC y C =；D ．123ln y C x C x C =++．2．设(,)f x y 是可微函数，且(0,0)0,(0,0),(0,0)x y f f a f b ===，令()(,(,)t f t f t t ϕ=，则'(0)ϕ=（）A ．a ；B ．()a b a b ++；C ．1a +；D ．1ab-． 3．10d (,)d yy f x y x -⎰⎰交换积分顺序后，正确的结果是（）A ．0111101d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰； B ．1101d (,)d x f x y y ⎰⎰； C ．011d (,)d xx f x y y --⎰⎰； D ．111d (,)d xx f x y y -⎰⎰．4．设C 是右半圆周222,0,0x y a x a +=≥>，则曲线积分()d Cx y s +=⎰（）A ．0；B ．22a ； C ．2a ； D ．4a ． 5. 设2()(01)f x x x =≤<，而1()s i n π()nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin πd (1,2,)n b f x n x x n ==⋅⋅⋅⎰，则1()2S -=（）A ．12-；B ．14-；C ．14；D ．12．二、填空题（每小题3分，共15分）１. 微分方程2'''0yy y -=的通解为；２. 设(1)arcsinx u x y y =+-，则(1,2)ux ∂=∂ ；３. 设区域:0,0πD y x x ≤≤≤≤，则二重积分d Dx y = ；４. 已知曲线C 为22x y ax +=，则曲线积分s =⎰；５. 幂级数1(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为．三、计算题（每小题10分，共50分）１. 计算三重积分222()d I x y z V Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω：2222x y z z ++≤．2.设∑是锥面z =被平面0z =及1z =所截部分的外侧，计算第二类曲面积分2d d d d (2)d d I x y z y z x z z x y ∑=++-⎰⎰．3.求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的和函数，并据此求数项级数0212nn n ∞=+∑的值．4. 求,a b 的值，使得包含圆周22(1)1x y -+=在其内部的椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠有最小的面积．5. 求微分方程''2e x y y x -=的通解．四、证明题（本题10分）证明数项级数1sin(n ∞=∑条件收敛．五、应用题（本题10分）设某山峰可由曲面2252z x y =--表示。

2013年华南理工大学综合考试考研真题

【温馨提示】现在很多小机构虚假宣传，育明教育咨询部建议考生一定要实地考察，并一定要查看其营业执照，或者登录工商局网站查看企业信息。

目前，众多小机构经常会非常不负责任的给考生推荐北大、清华、北外等名校，希望广大考生在选择院校和专业的时候，一定要慎重、最好是咨询有丰富经验的考研咨询师.专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。

以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。

一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。

但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。

跨专业考研或者对考研所考科目较为陌生的同学，则应该快速建立起对这一学科的认知构架，第一轮下来能够把握该学科的宏观层面与整体构成，这对接下来具体而丰富地掌握各个部分、各个层面的知识具有全局和方向性的意义。

做到这一点的好处是节约时间，尽快进入一个陌生领域并找到状态。

很多初入陌生学科的同学会经常把注意力放在细枝末节上，往往是浪费了很多时间还未找到该学科的核心，同时缺乏对该学科的整体认识。

其实考研不一定要天天都埋头苦干或者从早到晚一直看书，关键的是复习效率。

要在持之以恒的基础上有张有弛。

具体复习时间则因人而异。

一般来说，考生应该做到平均一周有一天的放松时间。

四门课中，专业课（数学也属于专业课）占了300分，是考生考入名校的关键，这300分最能拉开层次。

例如，专业课考试中，分值最低的一道名词解释一般也有4分或者更多，而其他专业课大题更是动辄十几分，甚至几十分，所以在时间分配上自然也应该适当地向专业课倾斜。

根据我们的经验，专业课的复习应该以四轮复习为最佳，所以考生在备考的时候有必要结合下面的内容合理地安排自己的时间：第一轮复习：每年的2月—8月底这段时间是整个专业复习的黄金时间，因为在复习过程遇到不懂的难题可以尽早地寻求帮助得到解决。

华南理工大学《概率论与数理统计》试卷A卷参考试卷

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；可使用计算器，解答就答在试卷上；．考试形式：闭卷；本试卷共八大题，满分100分。

考试时间120分钟。

5. 本试卷的七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。

标准正态分布的分布函数值：99.0)33.2(=Φ（10分）甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n 次。

求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。

（14分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。

三、（试求：(1) a ；(2) P （X+Y<1）；(3) E(XY)四、（15分）设的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他020,10)(),(y x y x A y x f求：(1) A ；(2) E(X), cov(X,Y)，X 和Y 的相关系数；(3)(X,Y)落入区域},10{2x y x D ≥≤≤=的概率。

五、（12分）某学院有1000名学生，每人有80％的概率去大礼堂听讲座，问礼堂至少要有多少座位才能以99％的概率保证去听讲座的同学有座位？六、（10分）设随机变量ξ与η独立，并有相同的分布),(2σa N 。

试证：()[]πσηξ+=a E ,max七1、（2学分做）（12分）设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧≤≤=-.,0)(.0,101)(其他其他y e y f x x f yY X已知X,Y 的函数⎩⎨⎧>≤==.0,1),(Y X Y X Y X g Z试求EZ ，DZ 。

八1、（2学分做）（12分）设随机变量),(ηξ在单位园(){}1|,22≤+=y x y x D 上服从均匀分布，求：⑴ ),(ηξ的联合概率密度),(y x ϕ； ⑵ 边际密度函数)(x ξϕ，)(y ηϕ； ⑶ ξ与η是否相关，是否独立？。

华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案

二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。

一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。

三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。

假设过关人中有96%是非危险人物。

问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。

六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。

决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。

（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。

九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。

概率论与数理统计习题解答华南理工大学出版社

习题解答
第一章
1-7 已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任意抽
取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找到为止，求需要测试7次的概率。
解
p
C31P62 P74 P170

1 8
1-10 房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一个月
份的概率是多少?
解
p

P142 12 4
1-13 将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率:（1）
P( AC BC ) P( AC) P(BC ) P( ABC) P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P(C)[P( A) P(B) P( A)P(B)] P(C)P( A B) A B与C相互独立。
7、解：(1)
A={点数之和为偶数} B={点数之和等于8}
rA 18 B {(2,6) , (6,2) , (3,5) ，(5,3) ，(4,4)} P(B A) P( AB) P(B) 5 / 36 5
P( A) P( A) 18 / 36 18
8、解：设Ai={第i人破译出密码} i=1,2,3
100
100
0.9524
P(C) P(A1)P(A2)P(A3) 0.95243 0.8639
22、解： Ai={产品来自第i箱}
B={产品是合格品} C={产品经检验为合格品}
3
(1) P(B) P(B Ai )P( Ai ) i 1 20 1 12 1 17 1 20 5 3 12 4 3 17 5 3 0.775
P(C) P(C B)P(B) P(C B )P(B )

华南理工大学2012概率论试题

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷（2学分用）注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器，解答就答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共十大题，满分100分。

考试时间120分钟。

题号一二三四五六七八九十总分得分评卷人一、（本题满分10分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.二、（本题满分12分）甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

三、（本题满分13分）设随机变量X 的密度函数为()xf x A e -= ()x -∞<<+∞,求 (1）系数A, (2) {01}P x ≤≤ (3) 分布函数)(x F 。

四、（本题满分13分）某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的分布密度为120000(365)120000365()0365x e x f x x --⎧≥⎪=⎨<⎪⎩现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试利用中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%._____________ ________姓名学号学院专业座位号( 密封线内不答题 )………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线………………………………)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365.0=Φ=Φ=Φ≈-e五、（本题满分14分）箱中共有6个，其中红球、白球、黑球的个数分别为1、2、3，现从箱中随机地取出两个球，记X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数， (Ⅰ)求二维随机变量（X,Y)的概率分布. (Ⅱ)求Cov(X,Y).六、（本题满分15分）设二维随机变量（ξ，η）的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<<--=其它,040,20,6),(y x y x k y x f求：（1）常数k ；（2）()1,3P ξη<<； (3) ()1.5P ξ<； (4) ()4P ξη+≤．七、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Yy f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+ （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭；（2）求Z 的概率密度．八、（本题满分10分）证明题：设随即变量X 的参数为2的指数分布，证明21X Y e -=-在区间（0，1）上服从均匀分布。

华理概率论习题13测试卷

n
）.
1 X i | } 1 ( >0) ; n i 1
（D） α=0.01
n
（B）
1 n

n
i 1
Xi

~ N ( 0 ,1) ;
（C）
1 n X i 为 E 的无偏估计; n i 1
1 n ( X i X ) 2 为 D 的无偏估计 n 1 i 1
华东理工大学
概率论与数理统计作业簿（第十三册）
学学院号 ____________专 ____________姓业名 ____________班级 ____________ ____________任课教师____________
测试卷 1
一.假设进入某超市行窃的小偷被监控发现的概率是 0.8, 被保安发现的概率是 0.2, 被监控和保安同时发现的概率是 0.12. 求小偷在该超市行窃而没有被发现的概率?
（
D 1
）
i! e
i 0
k
i

B
k
k!
e

C
i! e
i k

iห้องสมุดไป่ตู้

k
k!
e
8. 关于线性回归,下述选项错误的是 ( ) A 线性回归的前提是误差项满足:正态性,独立性和方差齐性 B 总离差平方和 = 回归平方和+残差平方和 C 当回归分析中 F 检验的 p 值小于给定的显著性水平时,说明变元的线性关系显著 D 当回归分析中 F 检验的 p 值小于给定的显著性水平时,说明变元的线性相关关系不显著
的密度函数为________________________; P{ X Y } _______ . 3. 设( X1 , X 2 ,..., X n )为取自正态总体N (,22 )的样本，要使得总体期望置信水平 90%的置信区间的长度不超过 0.5, 则样本容量n至少为 _____ 。 4. 独立重复进行n次试验,设事件A每次发生的概率均为p, 在n次试验中事件A发

华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案3

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上；．考试形式：闭卷；99.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(=Φ=Φ=Φ=Φ（本大题10分）一个盒子中装有4个白球、6个红球，现投掷一枚均匀的骰子，骰子投掷出几点就从盒中无放回地取几个（1）所取的全是白球的概率；（2）如果已知取出的都是白球，那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少？ A={取的全是白球}，B j ={骰子投掷出j 点}1）6/1)(=j B P ，⎪⎩⎪⎨⎧>≤=4,04,)|(104j j C C B A P jjj∑=jj j B A P B P A P )|()()(=2/212）)()|()()|(333A P B A P B P A B P ==7/60（本大题10分）设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pab且()0.8E XY =（1）求a 、b ；（2）求出X 的边缘分布列；（3）写出X 的分布函数。

解：（1）0.4+0.2+a+b=18.022.012022.0114.001=+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=b b a EXY联立方程解得: 3.0,1.0==b a(3) X 的分布函数:⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=2,121,6.01,0)(x x x x F三．（本大题10分）。

设X 服从（0，1）上均匀分布，（1）求X Y ln 1λ-=的密度函数；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛4.035.025.0210~Z ，求一个)(X h ，使得)(X h Z =。

解:X 的密度函数:⎩⎨⎧>≤≤<=10,010,1)(x and x x x flnX<0（1）当0>λ，0≤y 时，()0=y F Y ，()()0==y F dydy f Y Y 当0>λ，0>y 时(){}y Y e X P y X P y F λλ->=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=ln 1()y eee dx dx xf y y λλλ-+∞-===⎰⎰--11密度函数： ()()y Y Y e y F dydy f λλ-==当0<λ（不做也给分），0≤y 时(){}y Y e X P y X P y F λλ-<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=ln 1()y e e e dx dx x f yyλλλ-∞-===⎰⎰--0()()y Y Y e y F dydy f λλ--==当0<λ（不做也给分），0>y 时，()0=y F Y ，()()0==y F dydy f Y Y（2）⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=xx x x h 6.0,26.025.0,125.0,0)(四．（本大题10分）。

华南理工大学概率论和数理统计课后答案

1-9 设 A ={拨号不超过 3 次就能接通电话}，则
P ( A) =
1 9 1 9 8 1 + × + × × = 0.3 10 10 9 10 9 8
设 B ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过 3 次就能接通电话}，则
P( B) =
1 4 1 4 3 1 + × + × × = 0.6 5 5 4 5 4 3
三个数字不含 1 或 5，即每次只能在 2、 3、 4 中进行抽取，共有 33 = 27 种取法，故 P ( A) =
27 = 0.216 ； 125
1 C32C4 = 12
三个数字 5 出现两次，即有
P (C ) =
12 = 0.096 125
种取法，故
.
1-12 设 A ={指定的 3 本书恰好放在一起 }，10 本书的排列方法共有 10！种，而指定的 3 本书的排列方法有 3！种，剩下的 7 本书与指定的 3 本书这一整体的排列有 8！种，故
所以
P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
=
1 1 1 Cb Cb Ca +c 1 1 1 Ca + b Ca + b + c Ca + b + 2 c
=
b b+c a a + b a + b + c a + b + 2c
2-11
设 A ={这批货获得通过}， B ={样本中恰有一台次品}， A ={这批空调设备退
1-15 （1） P ( A) =
；（2） P( B) =
1 1 C22 1 C2 C 8 1-16 （1） P( A) = 2 = ；（2） P( A) = 2 4 = . C6 15 C6 15

华南理工大学2012-2013学年第二学期《概率论与数理统计》期末试题(A卷)

1 e ，其中 >0 是参数。样 2
| x|
ˆ ； (1) 求的矩估计 M ˆ ； (2) 求的最大似然估计 L ˆ 是的无偏估计，且 ˆ 是的相合估计（一致估计）。 (3) 证明 L L
解：（1） EX
1 xe dx 0 ， 2 | x|
三、(10 分)玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。已知任取一箱，箱中 0、1、2 只残次品的概率相应为 0.8、0.1 和 0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件 A 表示 “顾客买下该箱” ，Bi 表示 “箱中恰好有 i 件次品” ，i 0 , 1 , 2 。则
EX k 10， DX k
20 2 =。再设供应站需供应 L 度电才能满足条件，则 12 L 1000 10 20 2 1000 12 ) 0.99
P{ X L} (
即
L 10000 100000 / 3
2.33 ，则 L=10425 度。
七、（10 分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得 8 包化肥的重量（斤）如下： 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5
n
|x |
n
|x |
ln L n ln(2 )
1

x
i 1 n i 1
n
i
d ln L n 12 d n 1 令， ˆ ˆ 2
x
i
，
x
i 1

《概率论与数理统计》试卷(2学分 A)1

4. 设X ，Y 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则=<}{Y X P .)(A 0； )(B 1/4； )(C 1/2； )(D 1.5. 设X则可能正确的是。

（A ）a - b = 1；（B ）EX = 1；（C ）a + b < 1/4；（D ）EX < 1/4.二、填空题（18分，每题3分）1．设X,Y 为随机变量且P{X ≥0,Y ≥0}=73, P{X ≥0}=P{Y ≥0}=74,则P{max(X,Y)≥0}=______________。

.2. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(Z)= .3. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则()P X Y ==.4. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X ，已知(2)1D X Y -=，则ρ=.5. 如果 ,A B A = 且 A B = A ，则事件 A 与 B 满足的关系是 _________.6. 设连续型随机变量 ξ 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-0211021)(x e x e x F xx，则{}=<-325ξP _______。

三（10分）有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？四（10分）. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数⎩⎨⎧<<<=他其,010,6),(y x x y x f ，求（1）,X Y 的边缘密度函数；（2）(1)P X Y +≤；（3）),cov(Y X五（10分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数22,0,0(,)0,x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其他, 求 max{,}Z X Y =的密度函数.六（10分）某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的分布密度为120000(365)120000365()0365x e x f x x --⎧≥⎪=⎨<⎪⎩现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试利用中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%.)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365.0=Φ=Φ=Φ≈-e）七（12分）随机变量(X ，Y)服从在区域{0<x <2，0<y <1}上均匀分布。

2012-2013公共基础《概率论》期末考试试卷参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013学年第 1 学期考试科目：概率论考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、设A 与B 互斥(互不相容)，则下列结论肯定正确的是( D )。

(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 必相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=2、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布如下，则有( C )成立。

010.20.8X P 010.20.8Y P(A) ()0P X Y == (B) ()0.4P X Y ==(C) ()0.68P X Y == (D) ()1P X Y ==3、设随机变量ξ的概率密度为()x ϕ，η=12ξ，则η的分布密度为( A )。

(A)1122y ϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 112y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (C) 12y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (D)2(12)y ϕ- 4、设随机变量ξ服从2λ=的泊松分布,则随机变量2ηξ=的方差为( A )。

(A) 8； (B) 4； (C) 2； (D) 16.5、设2~(0,1),~(,)N N a ξησ,则η与ξ之间的关系是( B )。

(A) a ξησ-=; (B) a ησξ=+; (C)2a ξησ-= ; (D)2a ησξ=+.二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1、设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件()A B C =__{1,2,5,6,7,8,9,10} ________。

2、抛一枚硬币三次，ξ和η分别表示出现正面的次数和出现反面的次数，则{}P ξη>=__12_______。

3、3、设随机变量X 的分布函数0,0.2,()0.9,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 111122x x x x <--≤<≤<≥，则{03}P X ≤≤=_0.8_。

华南理工大学《线性代数与概率统计》随堂练习及答案

第一章行列式·1.1 行列式概念1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第一章行列式·1.2 行列式的性质与计算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第一章行列式·1.3 克拉姆法则1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第二章矩阵·2.2 矩阵的基本运算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第二章矩阵·2.3 逆矩阵1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第二章矩阵·2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D11.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B12.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A13.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第三章线性方程组·3.1 线性方程组的解1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第三章线性方程组·3.2 线性方程组解的结构1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第四章随机事件及其概率·4.1 随机事件1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第四章随机事件及其概率·4.2 随机事件的运算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)甲乙两人同时向目标射击，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率是0.85，两人同时射中目标的概率为0.68，则目标被射中的概率为（）A．0.8 ;B．0.85;C．0.97;D．0.96.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第四章随机事件及其概率·4.4 条件概率与事件的独立性1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：AA4.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则两粒都发芽的概率为（）A．0.8 ; B．0.72 ; C．0.9 ; D．0.27 .答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则至少有一粒发芽的概率为（）A．0.9 ; B．0.72 ; C．0.98 ; D．0.7答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则恰有一粒发芽的概率为（）A．0.1 ; B．0.3 ; C．0.27 ; D．0.26答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第四章随机事件及其概率·4.5 全概率公式与贝叶斯公式1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第五章随机变量及其分布·5.2 离散型随机变量1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)从一副扑克牌（52张）中任意取出5张，求抽到2张红桃的概率？A 0.1743;B 0.2743;C 0.3743;D 0.4743答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第五章随机变量及其分布·5.3 连续型随机变量1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第五章随机变量及其分布·5.4 正态分布1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C。

华南理工大学20122013学年第一学期《概率论与数理统计》期末试题A卷

1912)|(4204182==C C B A P 。

由全概率公式得20412()()(|)0.810.10.10.94519i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑由贝叶斯公式000()(|)0.81(|)0.85()0.94P B P A B B A P A ⨯===三(12分)今有两口箱子,第一箱装有2个红球1个白球,第二箱装有3个红球2个白球。

现在从两箱中任取一箱,然后再从该箱中任取两球,每次取一个,不放回。

（1）求第一次取到红球的概率;（2）在第一次取到红球的条件下,求第二次取到红球的概率;解:记{}(){})2,1（箱取到第;2,1次取到红球第A ====j j B i i j i 533018)(,32)(,21)()(211121=====B A p B A p B p B p 4分 3019)()()()()(2211111=+=B p B A p B p B A p A p 6分(2)6019)()()()()(2221112121=+=B p B A A p B p B A A p A A p 10分21)()()(12112==A p A A p A A p 12分四(12分)设考生的外语成绩(百分制)X 服从正态分布,平均成绩(即参数μ之值)为72分,96分以上的人占考生总数的2、3%,今任取100个考生的成绩,以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数,求(1)Y 的分布列、(2)EY 与DY 、解:)1( Y ～B(100,p ),其中p =--X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=≤<σ72848460(）11227260--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ由0、023=)24(172961)96(σσΦ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>X p 4分得112224,997.024===⎪⎭⎫⎝⎛Φσσσ，故即 5分所以6826.011(2=Φ=-p ） 6分故Y 的分布列为k k kC k Y p -==100100)3174.0()6826.0()( 8分 (2),26.686826.0100=⨯=EY 6657.213174.026.68=⨯=DY 12分五(12分)设 X,Y 就是两个随机变量,其联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他,00,0,)(21),()(y x e y x y x f y x求:(1)求X,Y 边缘密度函数;(2)判断X,Y 就是否相互独立,并求随机变量Z=X+Y 的概率密度函数。

华南理工大学微积分统考试卷上2013Aa

2n ne ++2n ne ++2n ne ++解(lim lim 2sin22x x →+∞→+∞=2lim 0x →+∞==（无穷小与有界量之积为无穷小）另解1由拉格朗日中值定理)sin sin 1,x x ξ=+-在x +1与x 之间，从而(lim lim0x ξ→+∞==另解 2由拉格朗日中值定理sin sin cos ,ξξ=与之间，从而(lim lim cos lim0x ξξξ→+∞→+∞===8、求极限0sin limsin xx tx dt t x x→--⎰解原式=()320000sin 1sin sin 1cos 1limlim 2lim 2lim 1cos 3632x x x x xx x x x x x x x x →→→→-----====- 另解原式=2320000sin cos sin 1sin cos sin 1lim lim lim lim 1cos sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----====- 三、解答下列各题（每小题5分，共20分）9、设()2ln x y f x e -=-，求dy解 ()()()2212ln ln 2ln 1ln xxxxxdy f x ex e dx e f x e dx x x ----⎛⎫⎛⎫''=-⋅⋅--=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10、求y xe=解取对数()21ln ln ln sin 12y x x x =++-，两边对x 求导视()y y x = 得()()2211111cos 122sin 1y x x y x x '⋅=++⋅⋅-⋅-，从而 ()()22211cot 11cot 1y x x xe x x x e x ⎛⎫⎡⎤'=++-=++- ⎪⎣⎦⎝⎭11、设()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩确定，求22,dy d ydx dx 解()s i n s i n 1c o s 1c o st d y td x t t --==-- 进而()()()22322cos 1cos sin sin 1sin 11cos 1cos 1cos 1cos 1cos t t t d y d t d t dx dx t t dt t t t ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-- 12、利用泰勒公式求极限2240cos limx x x ex -→-解由泰勒公式()()24242cos 1,12!4!2!xx x x x o x e x o x =-++=+++ 从而()()22222444211122228x x x x x eo x o x -⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎝⎭进而()()224242444400cos 1limlim 1122428x x x x ex x x x o x o x x x-→→⎧⎫⎡⎤-⎪⎪=-++--++⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭()()44444400111131lim lim 024********x x o x x x o x xx →→⎡⎤⎧⎫-⎢⎥=-+=-+=+=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦四、计算下列各题（每小题5分，共10分）13、计算不定积分arctan⎰解2,t x t ==，则222211arctan arctan 1t tdt t t dt t+-==-+⎰⎰⎰ ()()2221arctan 1arctan arctan 11t t dt t t t t c x c t ⎛⎫=--=--+=+ ⎪+⎝⎭⎰ 另解2,t x t ==，则2222arctan (1)(1)arctan (1)1dttd t t t t t =+=+-++⎰⎰⎰ ()()()221arctan 1arctan 1t t dt t t t c x c =+-=+-+=+⎰14、计算定积分1解令tan ,arctan x t t x ==，则2sec dx tdt =，当1x =时4t π=，当x =3t π=从而/3/3/3/3222/41//4/4sec cos 1tan sin sin tdt tdt t tt ππππππππ-====⎰⎰⎰11sinsin342ππ--=-==五、解答下列各题（每小题5分，共10分） 15、利用递推公式计算广义积分0n xn I x edx +∞-=⎰解 ()()()10l i m bn xnxn x x nn b I x e d x x d e x een x d x+∞+∞+∞-----→+∞==-=---⎰⎰⎰ 110lim 0n n xn b b b n x e dx nI e +∞---→+∞⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭⎰，由此递推公式，可得11!n n I nI n I -===，而010011lim 0lim lim 1x xx b b ab b a b I xe dx e dx e e e e e +∞+∞+∞---→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫==--+=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 因此!n I n = 16、设()f x =，求()421f x dx -⎰解令1,1x t x t -==+，则dx dt =，当2x =时211t =-=，当4x =时413t =-=，从而()()4332111f x dx f t dt -==⎰⎰，显然1,3t t ==是瑕点，原式()232312122t =+=+-⎰()()2213lim arcsin 2lim arcsin 20arcsin1arcsin1022ba ab x x πππ→+→-=-+-=-+-=+=六、解答下列各题（每小题5分，共15分） 17、求三叶枚瑰线()sin 3r a θ=上对应点4πθ=处的切线方程（直角坐标形式）解由转化公式得cos sin(3)cos ,sin sin(3)sin 4x r a y r a θθθπθθθθ==⎧=⎨==⎩对应点直角坐标为,22a a ⎛⎫⎪⎝⎭，又()()()()3cos 3sin sin 3cos 3cos 3cos sin 3sin a dy dx a θθθθθθθθ+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦，进而4113221211322dy dx πθ=⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故切线方程为1222a a y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即124a y x =+18、求a 的值，使抛物线2y x =与直线x a =及1,0x a y =+=所围成的平面图形的面积最小解作图（略），由图可知121232111113321212a a a aS x dx x a a a ++⎛⎫===++=++≥ ⎪⎝⎭⎰从而当12a =-时所围成的平面图形的面积最小，最小值为11212s ⎛⎫-= ⎪⎝⎭19、一物体以速度()232/v t t m s =+作直线运动，计算它在t =0秒到t =3秒一段时间内的平均速度解 ()()33232211323312303v t t dt t t=+=+=+=-⎰七、证明题（每小题5分，共10分）20、设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足()()()11011kx f k xe f x dxk -=>⎰。