第二章-2 实物粒子的波动性

经典粒子
同 有确定轨道
经典波
波动性
―可叠加性”“干涉”“衍射 ”“偏振” 具有频率和波矢
同
有一个的物理量在 周期性变化
没有实在的物理量在周期性变化
量子客体即不是经典的粒子，它没有确定的“轨道”概念，也不是经典的 波，没有实在的物理量在周期性变化。
微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出 波动性，而两种性质虽寓于同一体中，却不能同时表现出来。
N Ψ
给出粒子数的分布。
波函数须满足的数学条件
自然条件：单值、有限和连续。 归一化条件

2 r ,t dV 1
( 全空间)
例：将波函数 归一化：
f x exp 2 x 2 2
解：设归一化因子为C，则归一化的波函数为 (x)= C exp(-2x2/2)
电子的波长:
微尘
m=9.1×10-31 kg
=1.225Å m=10-13 kg，v=0.01m/s
o h h 6.610 7 A p m
子弹
m=0.01kg，v =300m/s
h h 6.6310 34 2.2110 34 p m 0.01300 m
2)概率密度：
( x ) ( x , t ) 0
( x ) ( x, t ) 4 x e
3 2 2 2 x
2
x0
x0
3)何处几率最大
d 2 ( x, t ) 0 dx d 2 2 x x e 0 dx 得 1 x
几率最大
例: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函数描述为：
物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的“概率振 幅”。 (r , t ) 概率振幅
其模的平方：
r , t
2

代表t时刻，在 密度。
处单位体积内找到粒子的几率，称为概率 r
r ,t
* r , t r , t
他在论文中指出: 一个能量为E,动量为P的实物粒子同时具有波动性, 且:
h p
E h
p
h

爱因斯坦 ─ 德布罗意关系式
E h
或德布罗意波。
与粒子相联系的波称为物质波 ─ 德布罗意波长。
他还用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道量子化条件
经典理论
原子的核式结构 电子在原子中的运动要辐射 电磁波，能量会逐渐减少， 导致电子会落到原子核上。
德布罗意波不代表一个实在的物理量的波动， 那么它是什么波？他的本质是什么？
少女？
老妇？
两种图象不会同时
出现在你的视觉中
。
2.2物质波的统计解释和海森伯不确定原理 • 2.2.1波函数的统计解释
德布罗意波不代表实在的物理量的波动。 那么它是什么波？他的本质是什么？
本讲主要内容：
一、波恩的统计诠释
二、自由粒子的波函数
2.2实物粒子的波动性
光(波)具有粒子性 实物粒子具有波动性吗?
本讲主要内容：
一、德布罗意假设
二、物质波的实验验证 三、波粒二象性
光(波)具有粒子性， 实物粒子具有波动性吗?
一、德布罗意假设
L.V. de Broglie （法，1892-1986） 从自然界的对称性出发,德布罗意认为: 既然光(波)具有粒子性，那么实物 粒子也应具有波动性。 1924.11.29，德布罗意把题为“量子理 论的研究”的博士论文提交巴黎大学。
电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验证明了电子在 穿过金属片后也象X 射线一样产生衍射现象。
电子束
晶体
电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。 戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学 诺贝尔奖金。 德布罗意获1929年诺贝尔物理奖。
例：设电子的总能量E可写成动能Ek和静能m0c2之和。试 推出计算物质波波长的公式，以及当电子速度比光速小得 多时的近似式。
玻恩（M.Born）假定
玻恩的统计解释:在某一时刻、空间某一地点,粒子出现的 概率正比于该时刻、该地点波函数的平方. 德布罗意波并不像经典波那 样代表实在的物理量的波动， 而是刻画粒子在空间的概率 分布的概率波。
右图是计算机根据波函数计 算并绘制的原子内部图象, 其中原子核被放大了.
经典的“轨道”已无意义!
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注 答辩会上，佩林问: ―这种波怎样用实验来证实呢？” 德布洛意： “用电子在晶体上的衍射实验可以做到。” 算算电子的波长: 设电子动能由V 伏电压加速产生 V=100伏
h p h 2 mE
h p
h 2meV

12.25 V
(Å)
=1.225Å － X射线波段

A
O

上下相邻原子层反射线的光程差
=AC+BC=2dsin 干涉加强的条件为
C B
d
2dsin=k， k=1,2,3,….
此式称为布拉格公式.
3.戴维逊-革末实验 1927年，戴维逊-革末实验。用电子束垂直投射 到镍单晶（0.215nm)，电子束被散射。
电子枪 探测器

A

G M
当加速电压U=54伏，沿50度出 射方向可检测到很强的电子电 流.
三、波粒二象性
光究竟是“波”还是“粒子”？
电子究竟是“粒子“还是“波”？ 历史上有两个观点： 错误！
1）把波当成是电子的内部结构。把电子看成一个波包 。 ——媒质中波包会发散，而电子是完整的。 2）是大量的粒子相互作用使得产生疏密波。 ——与实验矛盾。
量子客体 粒子性： 具有能量，动量
―整体性” 随机性,抛弃轨道概念
2 ( x, t )
( x, t )
-b/2
o
b/2
x
二、自由粒子的波函数
自由粒子
E h const. ， const. h p 对沿+x传播的单色平面波，有：
F外 0
E const . ，p const .
y( x , t ) Ae
→电子具有粒子性。
随着电子增多，逐渐形成衍射图样 →来源于“一个电子”所具有的波动性， 而不是电子间相互作用的结果。
①单个电子入射每次集中于一点，出现在屏上； ——电子是一个完整的颗粒，不可分割。 ②电子在屏上的落点是随机分布的，多次积累以后出现衍 射花纹； ——在测量前具有不确定性，但是有 一定的统计性。 ③外界条件一定，重复实验，结果衍射花纹不变； ——电子在空间的统计分布是一定的。 ④电子一个一个发射，重复实验，结果衍射花纹不变； ——单个电子也具有“波动性”。 而不是电子间相互作用的结果。 ⑤双缝齐开与先后开一缝，所得衍射条纹不一样； ——经典粒子：P=P1+P2 量子客体：P≠P1+P2
1.67 sin(2 ) k 2.15
a 0.215nm
k 1,2,
2 arcsin0.777 51o
理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引， 在晶体中的波长比在真空中稍小（动量稍大）。经 修正后，理论值与实验结果完全符合。
汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927）
戴维逊(Davisson)革末(Germer)实验(1927)
1.X射线 回忆： X射线的衍射
K
1895年,伦琴(德) X射线管 X射线是约0.1nm数量级的电 磁波 1912年,劳厄(德)实验.
P X射线
A
C
E O
劳 厄 斑
P'
晶体
2.布拉格公式
1913年,布拉格(英)父子实验. 晶面间距d， 掠射角，
客观事实
原子很稳定
r↓,T↓,ν↑，辐射电磁波，应 为连续光谱。
氢原子光谱 是分立的
对于氢原子圆轨道稳定条件,德布罗意用电子的轨道驻波来 解释. 2 r n h m r PL n 2 rm nh
λ
正是玻尔的电子轨道角动量量子化条件！
朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦， 爱因斯坦说： “揭开了自然界巨大帷幕的一角” “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢”
x
x0
x0
其中A为任意常数
求：1)归一化的波函数；2)概率密度 3)何处几率最大 解： 由归一化条件,

即：
0

| ( x, t ) | dx | ( x, t ) |2 dx 1
2 0

A
2


0
x 2 e -2x dx 1
A 2
x
归一化的波函数
( x, t ) 2 xe
约恩逊(Jonsson)实验（1961）
约恩逊(Jonsson)直接做了电子双缝实验，在铜膜上 刻出相距d=1m，宽b=0.3m的双缝。 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
单缝
双缝
三缝
四缝
质子、中子、原子、分子…也有波动性。
电子双缝衍射实验： 7个电子 3000 70000 100个电子 20000 20000 底片上出现一个个的点子


( x )
2
dx 1
计算积分得
Ｃ２＝／１／２
Ｃ＝（／１／２）１／２ｅｉ 取 ＝0，则归一化的波函数为 (x)=（／１／２）１／２ exp(-2x2/2)
例: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
( x, t ) Axe

=50
/ 2
d a sin
(180 ) / 2
2d cos k , k 1, 2, 3,
a

2d
a sin(2 ) k , k 1,2,3,
当加速电压U=54伏，加速电子的能量eV=mv2/2， h h 电子的德布罗意波长： 0.167nm p 2meU 再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数 求得满足相干条件的角度：
2 b
概率密度为：
( x ) ( x , t ) 0
2
x b / 2, x b / 2
2 2 x ( x ) ( x , t ) cos ( ) b b
2
b/2 x b/2
如图所示，在区间 （b/2,b/2)以外找 不到粒子。在x=0 处找到粒子的概率 最大。
概率密度
t 时刻在处 r 附近dV内发现粒子的概率为：
2
dV
这是玻恩1926年给出的 的统计解释。
注意：有物理意义的是
r ,t
2Hale Waihona Puke Baidu
而不是Ψ。
Ψ ( r , t ) 不同于经典波的波函数，
它无直接的 物理意义，有意义的是 对单个粒子，
Ψ
2
。
Ψ
2
给出粒子的概率密度分布；
2
对N 个粒子，
解：
E mc2 EK m0c 2
2 4 E2 ＝P 2c 2 m0 c 1 1 2 2 4 1/ 2 P ( E m0 c ) c c
E k 2m 0 c 2 E k
2
h p
ch
E k 2m 0 c 2 E k
2
当电子速度比光速小得多时：

h 2m0 E k
( x, t ) 0
x b / 2, x b / 2
( x , t ) A cos(
x
b
)e

iE t
b/2 x b/2
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数 求：归一化的波函数；概率密度. 解： 由归一化条件,
A
2

b / 2

| ( x, t ) | dx
2
b/ 2
b / 2
| ( x, t ) | dx | ( x, t ) | dx 1
2 2 b/ 2

即： A
2

b/ 2
b / 2
cos (
2
x
b
)dx 1
b A 1 2
2
A
由此可求出归一化的波函数
t 2 x iE ( x, t ) cos( )e b b
―宏观物体只表现出粒子性”
<<d :
h →0 :
波动光学
→
几何光学
量子物理
→
经典物理
二、物质波的实验验证
戴维逊(Davisson)革末(Germer)实验(1927)
电子在镍单晶上的衍射实验
汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927）
电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理
约恩逊(Jonsson)实验（1961）
三、态叠加原理
一、波恩的统计诠释
物质波是什么波？
电子双缝衍射实验说明单个粒子就有波性。
波动观点:光波的衍射亮处波的强度大(暗处强度小) 振 幅的平方大.
光子观点:
光的强度大
单位时间内到达的光子数多.
光子到达亮处的概率远大于光子到达暗处的概率. 粒子在某处出现的概率与此处波的强度成正比! 用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一.