向量的数量积2
向量的数量积与向量积
2
z
b +b +b
2 x y
z
(二)、两向量的向量积 二、 1、定义 、
c = a × b，它的模为 | c |=| a || b | sinθ
c 的方向既垂直于 又垂直于b，指向符合右手系 a .
2、向量积的坐标计算式
a × b = (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
a⊥b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0
1 a 例 已知 = i + j , b = i + k,求a ⋅ b,cos(a, b)及ab.
解
a ⋅ b = {1,1,0} ⋅ {1,0,1} = 1 + 0 + 0 = 1,
1 a⋅b = cos(a, b) = 2 + 12 + 02 12 + 02 + 12 a⋅b 1 1 = 2 1 2 . ab = a cos(a, b) = 2 ⋅ = 2 2
= (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
向量积还可用三阶行列式表示
i bx
按第一行展开就得到
j by
k az bz
a ×b = ax ay
a × b = (aybz − az by )i + (az bx − axbz ) j + (axby − aybx )k
仅就下图所示的情形给出证明， 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c;
高中数学课件 平面向量的数量积(2)
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
高中数学人教A版2019选择性必修第一册第一章.2空间向量的数量积运算-2PPT全文课件(39ppt
从而l⊥平面α.
l
lm gn
证明：在平面α内作任意直线g，分别在直线l，m，n，
g上取非零向量l，m，n，g.
g
n
因为直线m，n相交，所以m，n不共线.
m
α
因此，存在唯一有序实数对(x，y)，使得g＝xm +yn.
因为l⊥m， l⊥n，所以l⊥m， l⊥n，即l·m＝0，l·n＝0. 于是l·g＝l·xn＋ l·ym＝xl·n＋yl·m＝0，所以l⊥g.
高中数学人教A版2019选择性必修第一 册第一 章.2空 间向量 的数量 积运算 -2PPT 全文课 件(39pp t)【完 美课件 】
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追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
平面向量的数量积运算律 空间向量的数量积运算律
① (λa) ·b＝λ(a·b)， λ∈R； ② a·b＝b·a（交换律）; ③ a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
aA
a，b的夹角，记作〈a，b〉，
b
规定0 ≤〈a，b〉≤ π.
α O.
B
如果〈a，b〉＝
2
，那么
向量a，b互相垂直，记作a⊥b .
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向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.定义：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则a与b的数量积定义为：a·b=a1b1+a2b2+a3b32.单位向量：如果向量a是一个单位向量，则a与任何向量b的数量积等于b在a的方向上的投影长度。
3.平行向量：如果两个向量a和b平行，则它们的数量积为：a ·b = ，a，，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
4.正交向量：如果两个向量a和b互相垂直（夹角为90度），则它们的数量积为：a·b=05.向量的模：设向量a=(a1,a2,a3)，则a的模定义为：a，=√(a1^2+a2^2+a3^2向量的模也可以表示为向量的数量积与自身的开方，即：a，=√(a·a6.向量的投影长度：设向量a与向量b之间的夹角为θ，则向量b 在a的方向上的投影长度为：proj_a(b) = ，b，cosθ投影长度也可以表示为数量积与向量a的模的商，即：proj_a(b) = (a · b) / ，a7.向量的夹角：设向量a和b之间的夹角为θ，则夹角的余弦可以表示为向量的数量积与两个向量模的商，即：cosθ = (a · b) / (，a，，b，)从该公式可以推导出两个向量夹角的正弦和余弦。
8.柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个向量a和b，有：a·b，≤，a，当且仅当a和b共线时，等号成立。
9.向量的数量积的性质：-交换律：a·b=b·a-结合律：(c*a)·b=c*(a·b)，其中c是一个标量-分配律：(a+b)·c=a·c+b·c这些公式是向量的数量积运算中的一些重要性质和公式。
它们在向量运算、物理学、几何学等领域具有广泛的应用。
向量数量积和内积
向量数量积和内积向量是线性代数中的基本概念之一，它可以用来表示具有大小和方向的物理量。
在向量运算中，数量积和内积是两个重要的概念。
数量积，也称为点积或内积，是一种二元运算，用来计算两个向量之间的乘积。
数量积的结果是一个实数。
它的定义为两个向量的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
具体地说，对于两个向量a和b，它们的数量积可以表示为a·b或者a*b。
数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a·b=b·a，即数量积满足交换律。
2. 对于任意向量a，a·a=|a|^2，其中|a|表示向量a的模的大小。
3. 如果两个向量的数量积为0，即a·b=0，则它们是垂直的。
数量积在物理学中有广泛应用。
例如，当我们计算力的功或者计算物体的动能时，就会用到数量积。
在力的功中，力和物体的位移分别表示为向量，它们的数量积就可以计算出功。
在动能中，速度和质量分别表示为向量，它们的数量积就可以计算出动能。
内积是数量积的一种特殊形式，它是向量自身与自身的数量积。
内积通常用来计算向量的模的平方。
对于一个向量a，它的内积可以表示为a·a或者a*a。
内积也具有一些重要的性质：1. 对于任意向量a，a·a≥0，即内积的结果为非负数。
2. 当且仅当向量a为零向量时，a·a=0。
内积在几何学中有广泛应用。
例如，在计算向量的模时，可以使用内积。
具体地说，向量a的模的平方等于a·a。
此外，在计算向量的夹角时，也可以使用内积。
具体地说，两个向量a和b之间的夹角的余弦等于它们的数量积除以它们的模的乘积。
除了数量积和内积，还有一种向量的乘积称为向量积或叉积。
向量积是一种二元运算，用来计算两个向量之间的乘积。
与数量积不同，向量积的结果是一个向量。
向量积在物理学中有广泛应用，例如在计算力矩和磁场中的洛伦兹力等方面。
数量积和内积是向量运算中的重要概念。
数量积用来计算两个向量之间的乘积，结果是一个实数；内积是数量积的一种特殊形式，用来计算向量的模的平方。
向量的数量积【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件2
投影向量
1.如图,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和
终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
,则称上述变换为向
量a向向量b⑤ 投影 ,
叫做向量⑥ a 在向量⑦ b 上的投影向量.
2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向 量是⑧ |a|cos θ e .
由题意得 ⊥ ,| |=| |=1,
设非零向量a与b的夹角为θ,则cos θ>0⇔a·b>0.
用 , 表示 , ,然后利用平面向量的运算律及数量积的定义求解.
∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
两向量的数量积仍是一个向量.
理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
,得(
+
)· =0,
对数于量任 积意的向定即量义2中a,b要,总注有意·(两a·b向)2=量=0a的,2故起·b2点A. 重M合⊥时所BC对.应的角才是两个向量的夹
角,两向量夹角的范围是[0,π].
2. 由 - - =2 · ,得( + )2= ,
示),则② ∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
3.数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹 角,两向量夹角的范围是[0,π].
4.向量数量积的性质: 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,则 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2; (2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;
向量数量积的意义-概述说明以及解释
向量数量积的意义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量数量积是线性代数中一个重要的概念，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
向量数量积是两个向量的运算，其结果是一个标量。
通过向量数量积运算，我们可以计算两个向量之间的夹角，以及它们之间的乘积关系。
本文将深入探讨向量数量积的定义和计算方法，以及其在几何中的几何意义。
通过学习向量数量积的相关知识，我们可以更好地理解向量在空间中的几何关系，从而更好地应用于实际问题中。
同时，本文也将讨论向量数量积的重要性，并探讨其在不同领域的应用。
最后，我们还会展望未来，探讨向量数量积在未来的发展方向和潜力。
通过本文的阐述，希望读者能更加深入地了解向量数量积的意义和应用价值。
1.2文章结构文章结构部分主要包括引言、正文和结论三个部分。
- 引言部分会先概述向量数量积的基本概念和意义，引起读者对这一话题的兴趣。
- 正文部分将详细介绍向量的概念和表示方法，然后深入探讨向量数量积的定义和计算方法，最后阐述向量数量积的几何意义。
- 结论部分会总结向量数量积在数学和现实生活中的重要性，探讨其在不同应用领域中的实际应用情况，并展望未来该领域的发展方向。
通过这样的结构，读者可以系统地了解向量数量积的意义和重要性，同时也能够深入思考和探讨这一主题在未来的发展趋势和应用前景。
1.3 目的向量数量积是线性代数中一个重要的概念，它在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。
本文的目的是通过详细介绍向量数量积的定义、计算方法和几何意义，帮助读者更深入地理解这一概念，并认识到它在实际问题中的重要性和实用性。
同时，本文还将探讨向量数量积在不同领域的具体应用，并展望未来该概念可能的发展趋势，希望能够引发读者对向量数量积的思考和探索，促进相关领域的进一步研究和应用。
通过深入研究向量数量积的意义，可以帮助读者更好地应用这一概念解决问题，提高数学和物理学等领域的学习和研究水平。
2.正文2.1 向量的概念和表示方法向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的数学概念。
数量积 向量积 混合积
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．
向量数量积的五种求法
向量的数量积的五种求解策略方法一：定义法利用向量数量积的概念，即：a ·b=∣a ∣·∣b ∣cos θ。
根据向量的数量积的公式可知，在求解两个向量的数量积时，需要先确认两个向量的模以及它们的夹角，在判断向量的夹角时，要特别注意它们是否为“共起点“，如果不是”共起点“的需要先转化为”共起点“的向量再进行求解。
定义法也是求向量数量积的最常见的方法。
例题1：在▲ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上，且满足AP=2PM ，则PA ·(PB+PC)=解：∵ M 是BC 的中点，AM=1，且AP=2PM 可得：PB+PC=2PM 又AP=23∴ PA ·(PB+PC)=PA ·AP=-49例题2：在▲ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足ccosB+bcosC=4acosA ，S ▲ABC =√15，则AB ·AC= 解：由射影定理可得：a=ccosB+bcosC=4acosA ， ∴ cosA=14，可得：sinA=√154PMABC·又 S ▲ABC =12∣AB ∣··∣AC ∣·sinA可得：∣AB ∣··∣AC ∣=8∴ AB ·AC=∣AB ∣··∣AC ∣·cosA=2 方法二：数量积的几何意义a ·b 的几何意义为： a 的模∣a ∣和b 在a 方向上的投影∣b ∣cos θ的乘积。
当两个向量的夹角θ未知时，有时可以根据题目条件，利用其几何意义迅速解决向量的数量积问题。
例题1：如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，AP=3，试求AP ·AC 的数量积。
解： ∵ AC=2AO ∵ AP ⊥BD∴ 可知AO 在AP 方向上的投影为∣AP ∣ ∴ AC 在AP 方向上的投影为2∣AP ∣ ∴ AP ·AC=∣AP ∣·2∣AP ∣=18例题2：点P 是▲ABC 的外心，且∣AC ∣=4，∣AB ∣=2，求AP ·(AC-AB)的数量积。
第2讲 向量的数量积、向量积、混合积
ay,
az
)。
a
i
ax, ay , az 不同时为零
在 x 轴上：a ( ax , 0, 0 ) ；a yz 平面
a//
i
在 y 轴上：a ( 0, ay , 0 ) ；a xz 平面 在 z 轴上：a ( 0, 0, az )。a xy 平面
a//
j
a//
k
ax, ay , az 不为零
1. 向量的向量积的概念 向量积的物理模型
力矩的大小＝力的大小 力臂的长度 方向: 由力臂到力符合右手法则
设力
F
作用于杠杆上点
P 处,
F 与OP间的夹角为。
F
O P
Q
则力 F对点 O 产生的力矩为一个向量
M,
且
||
M
||
||
F ||
||
OQ
||
||
F ||
||
OP
||
sin
,
M
的方向是从OP
到
F 以不超过
|
a
b|
|
||
a||
||
b ||
cos
a,
b
|
||
a||
||
b ||
,
得
| axbx ayby azbz | ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2 。
(当
cos
a,
b
1
时等号成立,
此时
a// b。)
例 (a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
1 1 。
02 32 12
10
高中数学向量的数量积与向量积
高中数学向量的数量积与向量积高中数学中，向量是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念，本文将重点介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、向量的数量积数量积，也称为内积或点积，是两个向量的一种运算，通常用点号（·）表示。
设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积的计算公式为：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
从计算公式可以看出，数量积的结果是一个标量（即一个实数），而不是一个向量。
数量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a·b = b·a，即交换律成立。
2. 对于任意向量a，有a·a = |a|^2，即自身与自身的数量积等于向量的模的平方。
3. 若两个向量的数量积为0，即a·b = 0，则称这两个向量垂直或正交。
4. 若两个非零向量的数量积为正数，则它们的夹角为锐角；若数量积为负数，则夹角为钝角。
数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以利用数量积来判断两个向量是否垂直；在物理学中，可以利用数量积计算功、力等物理量。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的一种运算，通常用叉号（×）表示。
设有两个向量a和b，它们的向量积表示为a×b。
向量积的计算公式为：a×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角，n为一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a×b = -b×a，即对换律成立。
2. 对于任意向量a，有a×a = 0，即自身与自身的向量积等于零向量。
3. 向量积不满足交换律，即a×b ≠ b×a。
平面向量数量积：2性质及应用
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，1．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).[知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：[知识点拨]向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐1．若向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a·b ＝( D ) A ．0 B ．2 C ．－4D ．－52．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x 等于( B ) A ．3 B ．1 C ．－1D ．－33．已知a ＝(－1,3)，则|a |＝( C ) A ． 2 B ．2 C ．10D ．104．已知a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则a 与b 的夹角为 3π4． 命题方向 ⇨数量积的坐标表示典例1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )．[解析] 解法一：因为a ·b ＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a 2＝22＋(－1)2＝5，b 2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a －b )·(a －2b )＝3a 2－7a ·b ＋2b 2＝3×5－7×8＋2×13＝－15． 解法二：∵a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)， ∴3a －b ＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a －2b ＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a －b )·(a －2b )＝3×(－4)＋(－1)×3 ＝－15．『规律总结』 进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．〔跟踪练习1〕向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1． 命题方向 ⇨利用坐标解决向量的夹角问题典例2 (1)已知三点A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，求∠BAC 的余弦值； (2)a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，求a 与b 的夹角．[思路分析] 本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用向量的坐标运算求出两向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)的数量积a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2和|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． [解析] (1)∵AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)， AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15．又|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝(－1)2＋62＝37， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474．(2)a·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a |＝3，|b|＝52． 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b|＝－153×52＝－22．又0≤θ≤π，∴θ＝3π4．『规律总结』 用坐标求两个向量夹角的四个步骤： (1)求a ·b 的值； (2)求|a ||b |的值；(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； (4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．〔跟踪练习2〕设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． [解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)． (a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5． |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20．由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos45°，得5t ＋5＝522·(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0．∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去， ∴t ＝1．利用平行、垂直求参数借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量运算的重要应用之一，具体做法就是借助a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0或a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．典例3 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [思路分析] 找出相互垂直的向量，利用向量垂直的坐标表示公式列方程求k 即可． [解析] 当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23．当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， ∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113．当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0， ∴－1＋k (k －3)＝0.∴k ＝3±132．综上所述：k ＝－23或113或3±132．『规律总结』 解决本题的关键是要判断△ABC 中哪个内角为直角，故应进行分类讨论，不能只认为某个角就是直角，结果只考虑一种情况而导致漏解．〔跟踪练习3〕已知三个点A 、B 、C 的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m ，－3－m )，若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．[解析] 由已知，得AB →＝(3,1)， AC →＝(2－m,1－m )．∵△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角， ∴AB →⊥AC →．∴AB →·AC →＝3(2－m )＋(1－m )＝0， 解得m ＝74．忽视向量共线致误典例4 已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 [错解] ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ>0，即a ·b ＝1－2λ>0，得λ<12，故选D ．[错因分析] 以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当a 与b 同向时，即a 与b 的夹角θ＝0°时cos θ＝1>0，此时λ＝－2，显然是不合理的．[思路分析] 对非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0且cos θ≠1⇔a ·b >0且a ≠m b (m >0)；θ为钝角⇔cos θ<0且cos θ≠－1⇔a ·b <0且a ≠m b (m <0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a ·b ＝0．[正解] ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ>0且cos θ≠1，即a ·b >0且a 与b 方向不同，即a ·b ＝1－2λ>0，且a ≠m b (m >0)，解得λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12，故选A ． [点评] 对于非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0，且cos θ≠1⇔a ·b >0，且a ≠m b (m <0)；θ为钝角⇔cos θ<0，且cos θ≠－1⇔a ·b <0，且a ≠m b (m <0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a ·b ＝0．〔跟踪练习4〕设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围． [解析] 由cos θ<0得x <85，因为a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，所以a 与b 反向，θ＝π，故x <85且x ≠－52．1．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论正确的是( C )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b [解析] 由题意|a |＝12＋02＝1，|b |＝(12)2＋(12)2＝22． a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，∴a －b 与b 垂直．2．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( C ) A ．{2,3} B ．{－1,6} C ．{2}D ．{6}[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x －5)＋3x ＝0，解之得x ＝2，则由x 的值构成的集合是{2}． 3．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( A ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形[解析] AC →＝(－3,3)，AB →＝(1,1)，AC →·AB →＝0． ∴A ＝π2．4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ( B ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件． m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3． 5．已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )b ．[解析] (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )b ＝0·b ＝0．A 级 基础巩固一、选择题1．已知点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则AB →·AC →等于( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] ∵AB →＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，AC →＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0．2．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为( C ) A ．13B ．135C ．655D ．65[解析] ∵a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×7＝13，|a |＝13，|b |＝65，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝55.∴a 在b 上的射影为|a |cos θ＝13×55＝655．3．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)且(k a ＋b )⊥(a －2b )则k ＝( C ) A ．43B ．－43C ．34D ．－34[解析] 由题意知(k a ＋b )·(a －2b )＝0， 而k a ＋b ＝(2－k,3k －1)， a －2b ＝(－5,5)，故－5(2－k )＋5(3k －1)＝0，解得k ＝34．4．已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )．若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( C ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．4 [解析] 由2a －b 与b 垂直，得(2a －b )·b ＝0， 即2a ·b －b 2＝0．故2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝0，解得n 2＝3． 所以，|a |＝1＋n 2＝1＋3＝2．5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( C ) A ． 5 B ．10 C ．5D ．25[解析] ∵a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50＝a 2＋2a ·b ＋b 2，可得|b |＝5． 6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( D ) A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[解析] 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )．又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，∴m ＝－79，n ＝－73，故选D ．二、填空题7．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝__2__． [解析] 因为a ＋b ＝(－1，3)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋(3)2＝2．8．若a ＝(3，－1)，b ＝(x ，－2)，且〈a ，b 〉＝π4，则x ＝__1__．[解析] cos π4＝3x ＋210×x 2＋4，解得x ＝1或x ＝－4(舍)．三、解答题9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与a －3b 垂直，求k 的值． [解析] k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又k a ＋b 与a －3b 垂直，故(k a ＋b )·(a －3b )＝0． 即(k －3)·10＋(2k ＋2)·(－4)＝0得k ＝19． 10．已知a ＝(3，1)，b ＝(2,23)． (1)求a ·b ；(2)求a 与b 的夹角θ．[解析] (1)a ·b ＝23＋23＝43． (2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22＝433＋1·4＋12＝32，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°．B 级 素养提升一、选择题1．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( B ) A ．⎝⎛⎭⎫32，12B ．⎝⎛⎭⎫12，32C ．⎝⎛⎭⎫14，334D ．(1,0)[解析] 方法1：令b ＝(x ，y )(y ≠0)，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1， ①3x ＋y ＝3， ② 将②代入①得x 2＋(3－3x )2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0， ∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝32．方法2：排除法，D 中y ＝0不合题意；C 不是单位向量，舍去；代入A ，不合题意，故选B ．2．(2016·全国Ⅲ，文)已知向量BA →＝(12，32)，BC →＝(32，12)，则∠ABC ＝( A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[解析] 由题意得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，所以∠ABC ＝30°，故选A ．3．设x 、y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( B ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．10[解析] 由a ⊥c ，得2x －4＝0 则x ＝2，由b ∥c 得－4＝2y 则y ＝－2， |a ＋b |＝(2＋1)2＋(1－2)2＝10．4．已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则向量a 、b 的夹角为( A ) A ．3π2－θB ．θ－π2C ．π2＋θD ．θ[解析] 由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上(∵π2<θ<π)，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ， ∴a 与b 的夹角为3π2－θ．二、填空题5．已知两个单位向量a 、b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝__2__． [解析] ∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴a ·b ＝12，|b |2＝1，∵b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝12t ＋(1－t )＝1－12t ＝0，∴t ＝2．6．△ABO 三顶点坐标为A (1,0)、B (0,2)、O (0,0)、P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为__3__．[解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0， ∴x ≤1，∴－x ≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2． ∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3． 三、解答题7．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c ． (1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小． [解析] (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12． ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3． ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)， 设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22．∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4．8．已知a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，当k 为整数时，向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b 的夹角能否为60°？证明你的结论．[解析] 假设m 、n 的夹角能为60°， 则cos60°＝m ·n |m ||n |，∴m ·n ＝12|m ||n |.①又∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， ∴|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝0．∴m ·n ＝k a 2＋a ·b ＋k 2a ·b ＋k b 2＝2k ，②|m ||n |＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2·a 2＋2k a ·b ＋k 2b 2＝k 2＋1.③ 由①②③，得2k ＝12(k 2＋1)．∴k 2－4k ＋1＝0．∵该方程无整数解．∴m、n的夹角不能为60°．C级能力拔高设(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，求证：am＝bn．[解析]由题中所给式子联想到向量的夹角公式和模长公式，故可构造向量c＝(a，b)，d＝(m，n)，然后用向量知识求解．方法一设c＝(a，b)，d＝(m，n)，则|c|2＝a2＋b2，|d|2＝m2＋n2，c·d＝am＋bn．∵(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，∴|c|2|d|2＝(c·d)2，即c·d＝±|c||d|，∴c∥d，∴an－bm＝0，即an＝bm．又mn≠0，∴am＝bn．方法二设c＝(a，b)，d＝(m，n)，c与d的夹角为θ，则cos2θ＝(am＋bna2＋b2·m2＋n2)2．由条件知(am＋bn)2(a2＋b2)(m2＋n2)＝1，∴cos2θ＝1，即θ＝0°或θ＝180°，即c∥d，于是有an－bm＝0．又mn≠0，∴am＝bn．11。
向量的数量积和向量积的概念和计算
向量的数量积和向量积的概念和计算向量是代表有大小和方向的量，常用于物理学、力学和几何学等领域。
在向量运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们在解决问题和分析向量关系时起着重要的作用。
一、数量积的概念和计算数量积也被称为点积或内积，是两个向量的运算结果，其结果是一个标量（即一个实数）。
对于两个向量A和B，它们的数量积可以通过如下公式计算：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，cosθ表示向量A和B的夹角的余弦值。
根据数量积的计算公式可以得出以下结论：1. 如果向量A与向量B夹角为90度（即两个向量垂直），则它们的数量积为0，即A·B = 0。
2. 如果向量A与向量B夹角小于90度（即两个向量之间有夹角），则它们的数量积为正数，即A·B > 0。
3. 如果向量A与向量B夹角大于90度（即两个向量之间有夹角），则它们的数量积为负数，即A·B < 0。
二、向量积的概念和计算向量积也被称为叉积或外积，是两个向量的运算结果，其结果是一个向量。
对于两个向量A和B，它们的向量积可以通过如下公式计算：A ×B = |A| * |B| * sinθ * n其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，sinθ表示向量A和B 的夹角的正弦值，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量，并且满足右手定则。
根据向量积的计算公式可以得出以下结论：1. 如果两个向量平行（即两个向量共线），则它们的向量积为零，即A × B = 0。
2. 如果向量A和向量B夹角为零或180度（即两个向量共线但方向相反），则它们的向量积为零，即A × B = 0。
三、数量积和向量积的应用数量积和向量积在物理和数学中有广泛的应用。
1. 数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，通过夹角的余弦值来判断两个向量之间的关系。
2. 数量积还可以用来计算向量在某个方向上的分量，从而对向量进行分析和计算。
向量的数量积(2)高中数学(人教A版2019必修第二册课件)
3、数量积的物理意义： W | F || s | cos F s
F θ
s
数量积的几何意义：a b等于 a 的长度| a | 与 b
在 a 的方向上的投影| b | cos 的乘积。
即 a b | a || b | cos
B
b
a
O | b | cos B1
A
4.投影向量的求法 (1)向量 a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θ e (其中e 为与b同向的单位向量) 丨a丨cos b a b b
6．2.4 向量的数量积（2）
学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算
一、温故知新:
1、数量积的定义： a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
是向量 a 和 b 的夹角，范围是：0 ≤ ≤ 180
①向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且向量 a，b 不共线；
②向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且向量 a，b 不共线．
作业：练习T1-3+P23T12，P24T 作业：教材P2218-20，T24
(1)OA e
(2)OB e
B
(3)OC e (4)OD e
D C
A
技巧:只需比较投影的大小
Oe
你学会了求数量积的两个技巧吗?（1）定义法（2）投影法
二、情境诱导，探求新知
利用向量线性运算可以解决平行、三点共线等问题， 能解决垂直、角度、长度、距离等问题吗？
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题 数量积运算中常用到哪些公式？
2
高中数学第6章平面向量及其应用 向量的数量积(2)新人教A版必修第二册
课时作业6 向量的数量积(2)知识点一 夹角问题1.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则a 与b 的夹角为( )A ．30° B．45° C．135° D．150° 答案 A解析 ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，∴a ·b ＝32.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.2．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C解析 设θ为a 与b 的夹角，∵(2a ＋b )·b ＝0， ∴2a ·b ＋b 2＝0，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0. 又∵|a |＝|b |≠0，∴cos θ＝－12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.3．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 答案π3解析 设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2，得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，所以θ＝π3.知识点二 模及长度问题4.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3 答案 C解析 a ·b ＝|a ||b |cos135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6.5．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a ·b ＝－3，则|a ＋2b |＝( ) A ．1 B.7 C ．4＋ 3 D ．27答案 B解析 根据题意，得|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝7.故选B.6．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，则以a ＝5p ＋2q ，b ＝p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为( )A ．15 B.15 C ．14 D ．16 答案 A解析 以a ，b 为邻边的平行四边形的对角线有两条，分别为a ＋b ，a －b ，从而 |a ＋b |＝|6p －q |＝(6p －q )2＝36p 2＋q 2－12p ·q ＝36×(22)2＋32－12×22×3×co s π4＝15.|a －b |＝|4p ＋5q |＝16p 2＋25q 2＋40p ·q ＝16×(22)2＋25×32＋40×22×3×co s π4＝593.故选A.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：(1)|a ＋b |； (2)|3a －4b |.解 由已知得a ·b ＝4×2×cos120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12， 所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a －4b |＝419.8．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在满足条件的θ. ∵|a ＋b |＝3|a －b |， ∴(a ＋b )2＝3(a －b )2.∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)． ∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0. ∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝(4|b |cos θ)2－4|b |2≥0，解得cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，|a ＋b |＝3|a －b |成立.知识点三 垂直问题9.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．3 D ．－3 答案 B解析 由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k |a |2＋(3k －8)a ·b －12|b |2＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.10．已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b . (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？解 (1)由向量c 与d 垂直，得c ·d ＝0，而c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0，∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．(2)由c 与d 共线得，存在实数λ，使得c ＝λd ， ∴3a ＋5b ＝λ(m a －3b )，即3a ＋5b ＝λm a －3λb ，又∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λm ＝3，－3λ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95，即当m ＝－95时，c 与d 共线．一、选择题1．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b 且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C解析 由c ⊥a ，得a ·c ＝0，又c ＝a ＋b ，所以a ·c ＝a ·(a ＋b )＝0，即a 2＋a ·b ＝0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－a 2|a ||b |＝－12，因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°，即向量a 与b 的夹角为120°.故选C.2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－43B.43 C ．－49D.49答案 C解析 由题意可知，|AP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23AM →＝23，|PM →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13AM →＝13.根据向量的加法，知PB →＋PC →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝2|PA →|·|PM →|cos180°＝2×23×13×(－1)＝－49.3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为( )A ．1 B.12 C.34 D.32答案 D解析 ∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向， ∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a ·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|c |－122＋34，故|a －c |min＝32. 4．点O 是△ABC 所在平面内一点，且满足OA ·OB →＝OB →·OC →＝OA →·OC →，则点O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 答案 B解析 因为OA →·OB →＝OB →·OC →，所以OB →·(OA →－OC →)＝0， 即OB →·CA →＝0，则OB →⊥CA →. 同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →. 所以O 是△ABC 的垂心．5．已知同一平面内的向量a ，b ，c ，两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 的长度为( )A ．6 B. 3 C ．6或 3 D ．6或 6 答案 C解析 ①当向量a ，b ，c 共线且同向时，它们两两所成的角均为0°，所以|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝6；②当向量a ，b ，c 不共线时，易知a ，b ，c 都为非零向量． 设a ，b ，c 两两所成的角均为θ，则3θ＝360°， 即θ＝120°，所以a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－1. 同理b ·c ＝－3，c ·a ＝－32.又|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝3， 故|a ＋b ＋c |＝ 3.综上所述，向量a ＋b ＋c 的长度为6或 3. 二、填空题6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3.7．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →＝________.答案 4解析 CM →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB →2＝4.8．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.又因为|OA →|＝3，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＋OA →·AB →＝|OA →|2＝32＝9. 三、解答题9．已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解 ∵a ＋3b 与7a －5b 垂直， ∴(a ＋3b )·(7a －5b )＝0， 即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0.① ∵a －4b 与7a －2b 垂直， ∴(a －4b )·(7a －2b )＝0， 即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.② ①－②，整理得2a ·b ＝b 2.③ 将③代入①，得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝|b |22|b |2＝12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影向量的模． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a·b ＝－6， ∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10， ∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影向量的模为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.。
向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.数量积定义公式：A·A=A₁A₁+A₂A₂+…+AAAA2.量积的坐标表示：设A=(A₁,A₂,…,AA)和A=(A₁,A₂,…,AA)是两个n维向量，则A·A=A₁A₁+A₂A₂+…+AAAA3.量积的几何表示：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖是A和A的长度，A是A和A之间的夹角。
4.正交性：当A·A=0时，A和A互相垂直，即A与A正交。
5.长度平方：A·A=‖A‖²即一个向量与自身的量积等于其长度的平方。
6.长度平方的展开：A·A=A₁²+A₂²+…+AA²7.向量之和的数量积：(A+A)·A=A·A+A·A8.向量乘以标量的数量积：(AA)·A=A(A·A)其中，A是标量。
9.向量乘法与交换律：A·A=A·A10.关于数乘的结合律：(AA)·A=A(A·A)=A·(AA)11.加法可分配律：A·(A+A)=A·A+A·A12.数乘可分配律：(A+A)A·A=AA·A+AA·A13. Einsteain求和约定：当上下两个指标相同时，指标重复出现的求和，例如：A·A=AᵢAᵢ，其中i=1,2,…,n，对于所有的i求和。
14.柯西-施瓦兹不等式：‖A·A‖≤‖A‖‖A‖，其中等号成立当且仅当A和B线性相关。
这些公式展示了向量的数量积运算的一些基本性质和计算公式。
通过利用这些公式，我们可以将向量的数量积运用于解决各种问题，例如计算向量的夹角、向量的投影等。
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一、引入：
一个物体在力F 的作用下产生 的位移s，那么力F 所做的功 应当怎样计算？
F
θ
S
力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角
向量的数量积
1．两个非零向量夹角的概念
OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ 已知非零向量a与ｂ，作 OA ＝a，
（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 说明： （1）当θ＝0时，a与ｂ同向； （2）当θ＝π时，a与ｂ反向； （3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时， ab = |a||b|。
特例：aa = |a|2或 | a | a a
2, AB c, BC a, CA b, 求a b b c c a.
五、作业：习题5.6 1~6. 《优化设计》P81 强化训练 1~8.
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共 线的向量，而一般a与c不共线。
3．“投影”的概念： 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
b O a
b
O
a
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点
的.范围0≤≤180
平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量 |a||b|cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有 ab =|a||b|cos，（０≤θ≤π）.
规定0与任何向量的数量积为0。 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中， 若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由ab = bc 能否推出a = c ？
a b 4 cos = | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
例1 判断正误，并简要说明理由. ①a· 0＝0； ②0· a＝0； ③0－ BA ＝ AB ； ④｜a· ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜； ⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a· ｂ≠0； ⑥a· ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0； ⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a· ｂ）с＝a•(ｂ· с）； ⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.
例2 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6， 当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a· ｂ.
例3 判断下列命题的真假： 在△ABC中，若 AB BC 0 ，则△ABC是锐角三角形； 在△ABC中，若 AB BC 0 ,则△ABC是钝角三角形； △ABC为直角三角形的充要条件是 AB BC 0 例4 试证明：若四边形ABCD满足 AB CD 0, 且AB BC 0, 则四边形ABCD为矩形. 例5 设正三角形ABC的边长为