【最新】版高中全程复习方略配套课件：11.3利用空间向量求空间角(苏教版·数学理)

设直线l的方向向量为 a ，平面α的法向量为 n ，直线l与平面 α所成的角为θ, a 与 n 的夹角为β,则
sinθ=|cosβ|=
an .
an
【即时应用】 (1)思考：为什么用向量法求直线和平面所成的角时，其运算 必须加绝对值？ 提示：当直线与平面相交时，所成角的范围是 (0, π直]，线的方
设面AA1B1B的一个法向量为n =(x0,y0,z0),
则
3x0 y不0 妨0取
6z0 0
n 1, 3,0 ,
设直线AM与平面AA1B1B所成的角为θ,
则 sin cos AM，n> AM n 6 ,
AM n 6
所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为6 .
6
【反思·感悟】1.计算线面角的关键在于求平面的法向量和直 线的方向向量. 2.在求出法向量同方向向量夹角的余弦值后务必注意审题： “看清待求结论是线面角的正弦值，还是余弦值”，以防出现 失误.
点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为
．
【解析】建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)， BC＝1 (－1,0,2)，
A＝E (－1,2,1)，
∴ cos<BC1,AE>=
BC1 BC1
AE AE
=
30 . 10
答案： 30
10
2.直线与平面所成角的求法
【即时应用】
(1)若一个二面角的两个法向量分别为 m=(0，0，3)，
n =(8,9,2),则这个锐二面角的余弦值为
.
(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD与平面B1BDD1所成的
二面角大小为
.
【解析】(1)设二面角为α，由题意可知
cos< m,n> n m 6 2 149 , n m 3 149 149பைடு நூலகம்
【例1】如图所示，在三棱柱 OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面 OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°, 且OB=OO1=2,OA= 3 ，求异面 直线A1B与AO1所成角的余弦值. 【解题指南】以O为原点建立空间直角坐标系求出 O1A，A1B 的坐标，根据向量夹角公式求夹角.
【规范解答】建立如图所示的坐标系， 则O(0,0,0),Ｏ1(0，1， 3)， Ａ( 3，0，0)，Ａ1( ,13, ), 3 B(0,2,0), ∴ A1B OB OA1＝( 3，1， 3)
(1)求证：A1B⊥AM; (2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值.
【解题指南】建立空间直角坐标系，计算出 A1B、A的M坐标， 然后求出平面AA1B1B的法向量n， 利用向量夹角公式求解即可.
【规范解答】(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以分别以
CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
ab
【即时应用】
(1)思考：异面直线a,b的方向向量 a,b 的夹角是异面直线所成 的角吗？
提示：不一定.由于向量之间的夹角的范围是[0，π]，而异面直 线所成角的范围是 (0两, π异], 面直线的方向向量的夹角或其补角
2
是两异面直线所成的角.
(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中
∴cosα= 2 149 .
149
(2)如图所示，以D为原点建系， 易知 AC为平面B1BDD1的法向量， DD为1 平面ABCD的法向量. ∵ DD1 AC 0, ∴两平面所成的二面角为90°．
答案：(1) 2 149(2)90°
149
利用空间向量求异面直线所成的角 【方法点睛】
应用向量法求空间两异面直线所成的角 主要依据为向量数量积的运算，这样处理的优点在于不必作出 该角，而只需计算两直线方向向量所成的角，最后借助异面直 线所成角的范围下结论便可.
利用空间向量求线面角 【方法点睛】
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量, 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面 的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
【例2】(2012·徐州模拟)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= 6，M是棱CC1的中点.
第三节 利用空间向量求空间角
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章首
内容 空间向量的应用
…………高考指数:★
要求
A
B
C
√
1.两条异面直线所成角的求法
设 a,b 分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ
a 与 b 的夹角β
范围 求法
(0，π ] 2 ab
求法cosθ= cos =
ab
(0，π)
cos a b
2
面α所成的角为30°.
答案：30°
3.求二面角的大小
(1)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异
面直线，则二面角的大小就是 向量AB与CD 的夹角或其补角(如 图①②). (2)设 n1,n2 分别是二面角α—l—β的两个面α,β的法向量， 则 向量 n1与 n2的夹角(或其补角)的大小 就是二面角的平面角 的大小(如图③④).
O1A ( 3, 1, 3)
∴
cos< A1B,O1A>
A1B A1B
O1A O1A
3 1 3 1 , 77 7
又异面直线A1B与AO1所成角的范围为(0, π］.
2
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为 1 .
7
【反思·感悟】1.本题以面面垂直的性质为依据，结合空间直 角坐标系的特点，以点O为原点建系，方便快捷. 2.在用向量法求异面直线所成的角时注意分清角的范围.
2
向向量与平面的法向量的夹角与 π的差的绝对值即为直线与平
2
面的夹角，所以求直线与平面的法向量所成角的三角函数值 后，必须转化为绝对值后再计算.
(2)已知向量 m,n 分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，
若 cos〈m,n〉 1，则l与α所成角的大小为
．
2
【解析】由于 cos〈m,n〉∴ 1，=12〈0m°,，n〉所以直线l与平
则B(0,1,0), A1( 3,0, 6),A
3,0,0 ,M(0，0， 6 )， 2
所以
A1B
3,1,
6
, AM (
3, 0,
6 ), 2
所以 A1B A=M3+0-3=0,
所以 A1B AM,
即A1B⊥AM.
(2)由(1)知 AB 3,1,0 ,A1A 0,0, 6 ,