数学课题:数学归纳法(公开课讲解)
公开课教案教学设计课件数学归纳法
2. 3数学归纳法课前预习学案一、预习目标:理解数学归纳法原理及其本质,掌握它的基本步骤与方法.能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容:提出问题:问题1:前面学习归纳推理时,我们有一个问题没有彻底解决.即对于数列,已知,( n=1,2,3…),通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜想出其通项公式,但却没有进一步的检验和证明.问题2:大家玩过多米诺骨牌游戏吗?这个游戏有怎样的规划?(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏,码放时保证任意两相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌倒下.只要推倒第一块骨牌,就必然导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下,就必然导致第三块骨牌倒下…最后,不论有多少块骨牌都能全部倒下.讨论问题:问题1、问题2有什么共同的特征?其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件:结论对第一个值成立;结论对前一个值成立,则对紧接着的下一个值也成立.上面两个条件分别起怎样的作用?它们之间有怎样的关系?我们能否去掉其中的一个?你能举反例说明吗?在上述两个条件中,第一个条件是归纳递推的前提和基础,没有它,后面的递推将无从谈起;第二个步骤是核心和关键,是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带.如在前面的问题1中,如果不是1,而是2,那么就不可能得出,因此第一步看似简单,但却是不可缺少的.而第二步显然更加不可缺少.这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出.解决问题:由上,证明一个与自然数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)证明当n取第一个值()时命题成立;(2)假设n=k(k≥,)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.由以上两个步骤,可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法,它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具.三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、 学习目标(1)了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题:4.1数学归纳法一、教材分析:本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容,数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标:1、知识与技能:(1)了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题;(2)能以递推思想为指导,规范数学归纳法证明中的2个步骤,1个结论。
2、过程与方法:(1)通过对数学归纳法的学习,使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法;(2)进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的建构过程,体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观:感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,体会数学来源于生活,养成言之有理、论证有据的习惯。
三、教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点:学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排:1课时2、学情分析:学生在学习本节之前已经学习过归纳推理,以及一些简单的数学证明方法,并且已经开始使用与正整数有关的结论(例1的公式),但学生只是停留在认知阶段;另外高二学生经过了一年半的高中学习之后,已初步具有了发现和探究问题的能力,这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择:多媒体六、教学方法:运用类比启发探究的数学方法进行教学;七、教学过程1、自主导学:复习回顾引入:<师>(1)请同学们回顾学习过的证明方法有哪些?<生> 请一名学生回答该问题。
数学归纳法(公开课)
问题情境二
很傻很天真
聪明 观察归纳猜想
一 二 三…
等差数列通项公式的推导过程
a1 (首项) a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d ...... an a1 (n 1)d 其中n N *
2 22 23
2k
1 2k 1
1
1
1
k
1
2 2
1 1
1 1 k1 2
即n=k+1时,命题成立 新疆 王新敞 奎屯
2
根据①②可知,对n∈N*,等式成立.
自我挑战
(1)当 n=1 时,左边=12,右边=1-12=12,等式成立.
(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,就是
1.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用:
用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明结论.
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是:
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确; (2)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,
证明当n=k+1时结论也正确.
这两个步骤缺一不可.证明的第一步是为了获得递推的基 础,但这一步还不能说明递推的普遍性;证明的第二步, 是为了获得递推的依据.在第二步中,归纳假设起着“已
两个步骤 一个结论 缺一不可
思维误区警示
求证: 1+ 1 + 1 + 2 22 23
+1 2n
1 (1)n 2
证明:①当n=1时,左边= 1
2
,右边=
1
1
1
2
1 2
,等式成立.
②假设n =k时,有
1 + 1 + 1 ++ 1
数学归纳法教学设计_公开课
“新苗杯”初赛教学设计课题:数学归纳法(第一课时)学科组:数学组授课教师:**《数学归纳法(第一课时)》教学设计一、教材内容分析人教版《普通高中课程标准试验教科书·数学》(A 版选修2-2)第二章“推理与证明”的主要内容是数学的基本思维过程,也是人们生活和学习中经常使用的思维方式.该章内容分为三小节:合情推理和演绎推理、直接证明和间接证明、数学归纳法.通过合情推理归纳出的有一类特殊问题——与正整数n有关的命题——用之前学习的方法难以解决,从而我们产生学习“数学归纳法”的必要性.学习了数学归纳法后,学生可以解决部分“证明n取无限多个正整数命题成立”的问题.本节内容编写思路是:问题情境引发数学归纳法的学习欲望——多米诺骨牌蕴含的原理分析——用多米诺骨牌原理解决数学问题——从具体问题中概括出数学归纳法.在这个过程中,学生首先需要从生活实例中抽象出数学原理,然后需要利用该原理对数学问题进行严格证明.因此,本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力的好素材.二、学情分析高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力.但对于数学归纳法,学生理解和接受它是一件很困难的事情,因为学生缺少体验和认知基础.所以需为学生创设与数学归纳法有类似想法的实际体验.三、教学目标1. 通过具体情境,体会学习数学归纳法的必要性;2. 借助生活实例和体验操作,感知数学归纳法的原理,体会数学与生活的紧密结合性;3. 通过从解决具体数学问题的思维中概括出数学归纳法,训练学生的抽象思维能力,在证明过程中,培养学生严密的推理能力.四、教学重、难点教学重点:①通过游戏模型和生活实例,了解数学归纳法的基本思想;②掌握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用.教学难点:①如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题,了解数学归纳法的基本步骤;②如何理解数学归纳法中第二步的本质——建立递推关系.五、教学策略基于上述分析,我采取以下的教学策略.1:“设置问题串”教学策略.在列举模型反思游戏过程时,设置具有启发性的问题,逐步推进对思想方法的理解,为本节课教学重点作铺垫;在类比抽象的过程中,设置类比问题,帮助学生类比多米诺骨牌原理解决数学问题,突破教学难点①;在形成数学归纳法概念后,设置反思问题,了解数学归纳法第二步骤的作用,明确第一步骤的起点问题,加深对数学归纳法的理解,突破教学难点②;课堂小结时,利用问题串,帮助学生回顾知识要点.2:“螺旋上升”教学策略.先通过具体情境的探究,引发学生求知欲;再通过多米诺骨牌初步体会和认识数学归纳法的雏形;然后类比这种思想,解决数学问题;进而从中提炼出数学归纳法;通过对数学归纳法的步骤反思,对步骤的本质进行认识和剖析;通过例题教学,帮助学生掌握数学归纳法步骤和易错点,以此逐步完成对数学归纳法的深刻理解.314n +=()23332+3123n n ++=++++,:如何验证你得到的结论正确与否呢?总结:这个问题无法利用已学知识解决,因此,我们需要一种新的证明方法,这就是我们今天要学习的数学归纳法.(板2n +)()21n +.该引入方式计算前几项后,学生不容易归纳得到结论,直接给出命题证明显得较为突兀;课标版教能够解决该引例问题,较难说明学习数学归纳法是必要的.该例题的设计旨在利用先行组织者,引发学生认知冲突,明确学习数学归纳法的必要性,激发学生求知欲.314n +=问题:你能否将解决“任给用到“等式对任意的正整数预案:稍停,观察有无学生能够解决该问题,若无,则给出和2;若有,让学生陈述,教师点评总结.提示:上述猜想换一个说法“任意正整数314k +=时,左边(331k =+++()31k +(244k k =++)22=右边314n +=正整数n 成立.问题:请概括上述证明过程的步骤.总结:(学生总结,教师板书数学归纳法步骤) 上述证明问题的步骤方法即是数学归纳法. 利用上述两个证明步骤,可以建立命题链: 任给n 张扑克牌全部倒下 任意正整数n 等式成立 第1块多米诺骨牌倒下 (1)1n =时命题成立; 第k 块多米诺骨牌倒下→第k +1块多米诺骨牌倒下 (2)假设n k =时命题成立验证1n k =+时命题成立.结合上述两步,可知所有多米诺骨牌都能倒下结合上述两步,断定命题对任意的正整数成立.112n -+<)*,1n >,第一步需要验证什么?)用数学归纳法证明:凸n 边形的对角线条数为,第一步需要验证什么?总结:利用数学归纳法证明时,第一步从等于几开始起,要根据具体问题而定.问题:从这两个问题中,你觉得刚才得到的数学归纳法可以*)时,命题成立;*k ∈)时命题成立,证明当n=1成立n=2成立n=3成立n=4成立n=5成立…结合上述两步,断定命题对任意的正整数0n n ≥成立. 总结:数学归纳法可用于证明与正整数n (n 取无限多个值)有关的数学命题,但是并不是所有与正整数n 有关的数学命题都可以用数学归纳法证明.预设反例:11nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调增问题不能用数学归纳法证明.例题呈现巩固知识例. 利用数学归纳法证明()()222211231216n n n n ++++=++对任意正整数n 成立.(学生板书→学生修改→教师点评修改) 证明:(1)当1n =时,左边=右边,命题成立. (2)假设当n k =时,命题成立,即()()222211231216k k k k ++++=++.当1n k =+时,左边()()()2112116k k k k =++++()()2127616k k k =+++()()()122316k k k =+++ ()()()1122116k k k =++++=⎡⎤⎣⎦右边 因此,若n k =时命题成立,可推出1n k =+时命题成立.综合(1)(2)步,可知命题对任意正整数n 成立.学生通过运用数学归纳法,模仿格式规范证明,检验数学归纳法步骤掌握情况,在证明过程中,培养严谨的数学推理能力.课堂练习明确易错点 (备用)利用数学归纳法判断()()()()1221321n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-是否对任意正整数n 成立? 预设错误:1n k =+时,添加项错误 展示利用数学归纳法证明的易错点,说明在证明递推关系时注意添加项问题.课堂小结回顾要点通过本节课的学习:问题1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗? 问题2. 数学归纳法每一步的作用是什么? 问题3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问题? (学生总结)利用问题串,帮助学生回顾本节课知识要点.七、板书设计媒体展示区域数学归纳法学生展示区域(1)证明n =n 0命题成立: (2)假设n =k 命题成立, 验证n =k +1命题成立. 综合(1)(2)可得,命题对于任意正整数n ≥n 0成立.证明起点: 证明递推关系: 课堂引入猜想。
31【公开课教案】:《数学归纳法》
课题:数学归纳法人民教育第一版社整日制一般高级中学教科书数学选修2-2 第二章第三节【教材解析】1、教课内容:数学归纳法是人教社整日制一般高级中学教科书数学选修 2-2 第二章第 3 节的内容,依据课标要求,本书该节共 2 课时,这是第一课时,其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用:在已经学习了不完整归纳法的基础上,介绍了数学归纳法,它是一种用于对于正整数命题的直接证法。
教材经过解析生活实例中包含的思想过程揭露数学思想方法,即借助“多米诺骨牌”的设计思想,揭露数学归纳法依照的两个条件及它们之间的关系。
【教课目的】1、知识与技术:(1)认识归纳法,理解数学归纳法的原理与本质,掌握数学归纳法证题的两个步骤。
(2)会证明简单的与正整数相关的命题。
2、过程与方法:努力创建讲堂欢乐的情境,使学生处于踊跃思虑,勇敢怀疑的氛围,提升学生学习兴趣和讲堂效率,让学生经历知识的建立过程,体会类比的数学思想。
3、感情、态度与价值观:经过本节课的教课,使学生意会数学思想和辩证唯心主义看法,激发学生学习热忱,提升学生数学学习的兴趣,培育学生勇敢猜想,当心求证的辩证思想素质,以及发现问题、提出问题的建议和数学沟通能力。
【教课要点】借助详细实例认识数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些简单的与正整数n(n 取无穷多个值)相关的数学命题。
【教课难点】(1)学生不易理解数学归纳法的思想本质,详细表此刻不认识第二个步骤的作用,不易依据归纳假定作出证明。
(2)运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现详细问题的递推关系。
【教课方法】运用类比启迪研究的数学方法进行教课;【教课手段】借助多媒体体现多米诺骨牌等生活素材协助讲堂教课;【教课程序】第一阶段:创建问题情境,启动学生思想情境 1、法国数学家费马察看到:22115,22117,22 31257,22 4165537归纳猜想:任何形如 2 2 n1(n∈N*)的数都是质数,这就是著名的费马猜想。
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
数学归纳法(公开课教学PPT课件)
2
2
(2)假设当n k时等式成立,即
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
当n k 1时,
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
a1 kd 右边 即当n k 1时,结论也成立。 结合(1)(2)可知,结论对一切正整数n都成立。
针对训练
练1.用数学归纳法证明等式
1 2
1 22
1 23
1 2n
1
1 2n
当n=k+1时, 左边
递推关系 归纳假设
右边
请你当个小老师
下面是一些同学用数学归纳法证明等式成立的解题过程, 请判断,它是否符合数学归纳法的证明要求?
3.数学归纳法证明命题的关键? 在第二步归纳递推中要用到归纳假设。
课堂小结
4.数学归纳法体现的核心思想? 递推思想. 用“有限”的推理,解决“无穷”的归纳。
作业布置
1.思考:已知数列an 满足an1
2
1 an
, a1
0, 试猜想并证明
an的通项公式。
2.课本P19,习题1-4.
数学归纳法(说课)
刘斌伟 2018.12.11
教材分析
教学方法
教学过程
教学反思
教学目标 教学重难点
设计思路 多媒体工具应
1 体会递推思想,理解数学归纳法的原理
逻辑核素推心养理
2 掌握数学归纳法证明数学命题的 两个步骤、一个结论
3 会运用数学归纳法证明一些与正整数有关 的简单恒等式
围 绕
反馈 练习
数学归纳法公开课课件
数学归纳法公开课课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节,详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤,并通过典型例题引导学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义,掌握其基本步骤和应用方法。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点:数学归纳法的证明过程,特别是归纳假设的运用。
教学重点:数学归纳法的定义、基本步骤和证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具:多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具:学生用书、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实际问题,如“如何计算1+2+3++100的结果”,引导学生思考,激发学生兴趣。
2. 知识讲解(1)讲解数学归纳法的定义和基本步骤。
(2)通过例题讲解,展示数学归纳法的证明过程。
3. 例题讲解选取一道典型例题,如“证明:对于任意正整数n,都有1+2+3++n=n(n+1)/2”。
(1)验证基础情况。
(2)归纳假设。
(3)归纳步骤。
4. 随堂练习让学生独立完成一道类似例题的题目,巩固所学知识。
5. 课堂小结六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 板书内容:(1)数学归纳法的定义(2)数学归纳法的基本步骤(3)例题及证明过程七、作业设计1. 作业题目:(1)运用数学归纳法证明:对于任意正整数n,都有1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。
(2)运用数学归纳法证明:对于任意正整数n,都有1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)。
2. 答案:(1)1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2(2)1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课通过讲解、例题和练习,让学生掌握了数学归纳法的基本知识和应用。
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确, 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误, 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1,逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中,首先验证基础步骤(n=1),然后提出归纳假设,即假设对 于某个自然数k,结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论,从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据,为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心,即在$n=k$时命题 成立的基础上,推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上,通 过逻辑推理和演绎,推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立,从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中,首先提出结论的反面,然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立,那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题,通过反证发现矛盾,从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
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感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用,我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式, 从而证明了二项式定理的正确性。
数学数学归纳法公开课教案高中
数学数学归纳法公开课教案高中数学归纳法公开课教案教学目标:1. 理解数学归纳法的基本概念和原理;2. 能够灵活运用数学归纳法证明数学命题;3. 锻炼学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学内容:1. 导入(5分钟)通过一个简单的例子,引出数学归纳法的概念和应用场景。
例子:小明有一个塔,第一层有一个积木,第二层有两个积木,第三层有三个积木,依此类推。
现在要求计算塔的总积木数量,但是不知道有多少层。
怎么办?引导学生思考,并找到问题的规律和解决方法。
2. 数学归纳法介绍(15分钟)讲解数学归纳法的定义和基本原理。
数学归纳法是一种用于证明命题的数学方法,它包括两个步骤: - 基础步骤:证明当n等于某个固定的值时,命题成立;- 归纳步骤:假设当n=k时命题成立,然后证明当n=k+1时命题也成立。
通过这个步骤的迭代,我们可以证明对于所有正整数n,命题都成立。
3. 数学归纳法的应用(20分钟)介绍数学归纳法在数学问题中的应用,包括数列、不等式、图形等。
例子1:证明等差数列的通项公式例子2:证明2的n次方大于n的阶乘通过这些例子,学生可以更加深入地理解数学归纳法的思想和应用。
4. 练习(25分钟)学生分组进行练习,选择合适的题目进行推理和证明。
练习题1:证明 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2练习题2:证明 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2提供指导和辅助,鼓励学生主动思考和交流。
5. 总结(10分钟)对数学归纳法的基本概念和应用进行总结。
强调数学归纳法在数学解题过程中的重要性和灵活运用。
提醒学生运用数学归纳法的注意事项,如确定基础步骤、归纳假设的合理性等。
鼓励学生在以后的学习中继续加强对数学归纳法的应用和理解。
6. 课后作业(5分钟)布置数学归纳法相关的练习题作为课后作业,巩固学生的学习成果。
数学数学归纳法公开课教案初中
数学数学归纳法公开课教案初中数学归纳法公开课教案初中教学目标:1. 了解数学归纳法的概念及其基本原理。
2. 掌握使用数学归纳法解决数学问题的方法。
3. 能够运用数学归纳法证明数学命题。
教学准备:1. 教师准备好课件及相关教学素材。
2. 确保教师对数学归纳法的原理和应用有较深入的理解。
教学过程:一、导入 (5分钟)1. 教师利用一个简单的数学问题来引入数学归纳法的概念,如:证明 1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
2. 引导学生思考如何解决这个问题,提出使用数学归纳法的思路。
二、概念讲解 (10分钟)1. 教师简要介绍数学归纳法的基本概念和原理。
2. 强调归纳法的两个基本步骤:基础步骤和归纳步骤。
3. 通过具体的例子解释这两个步骤的含义和作用。
三、示例分析 (15分钟)1. 教师给出一个具体的数学问题,如:证明对于任意正整数 n,2n^2 + 3n + 1 是偶数。
2. 分步解析,使用数学归纳法证明这个命题。
- 基础步骤:当 n = 1 时,可以验证命题成立。
- 归纳步骤:假设命题对于某个正整数 k 成立,即 2k^2 + 3k + 1 是偶数,那么证明对于 k+1 也成立。
a) 证明 2(k+1)^2 + 3(k+1) + 1 是偶数。
b) 将表达式展开并化简,证明左边可以被 2 整除。
c) 利用归纳假设,得出右边也是偶数,完成证明。
四、练习提高 (20分钟)1. 学生分组,每组完成一组相关的数学归纳法练习题。
2. 学生互相讨论解题思路和步骤,并在黑板上汇总每组的解题过程和答案。
3. 教师对每个题目的解答进行点评和讲解,解答出现错误的地方进行纠正。
五、归纳法的应用 (10分钟)1. 教师介绍归纳法在数学中的广泛应用,如等差数列的求和公式,斐波那契数列等。
2. 引导学生思考如何利用归纳法解决其他数学问题,如递推关系式等。
六、拓展延伸 (10分钟)1. 教师为学生提供一些拓展的数学问题,鼓励学生运用归纳法解决。
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课题:数学归纳法钱桥中学高二理科备课组:方兵,吴国元,吴亚萍,陆克义,鲍晓祥,阮月芳,桂春生2010-4-7【三维目标】:一、知识与技能1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2.抽象思维和概括能力进一步得到提高.二、过程与方法通过数学归纳法的学习,体会用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径,用数学归纳法进行证明时,“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可,而关键的第二步,其本质是证明一个递推关系。
三、情感,态度与价值观体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法,提高归纳、猜想、证明能力。
【教学重点与难点】:重点:是了解数学归纳法的原理及其应用。
难点:是对数学归纳法的原理的了解,关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。
【课时安排】:2课时第一课时【教学思路】:(一)、创设情景,揭示课题问题1:P 71中的例1.在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=n n a a +1(n ∈N+),先计算a 2,a 3,a 4的值,再推测通项an 的公式.生:a 2=21,a 3=31,a 4=41.由此得到:a n =n 1(n ∈N +). 问题2:通过计算下面式子,你能猜出()()121531--++-+-n n Λ的结果吗?证明你的结论?________97531________7531_______531_______31=-+-+-=+-+-=-+-=+-生:上面四个式子的结果分别是:2,-3,4,-5,因此猜想: ()()()n n nn 1121531-=--++-+-Λ (*) 怎样证明它呢? 问题3:我们先从多米诺骨牌游戏说起,这是一种码放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌也倒下。
只要推倒第一块骨牌,由于第一块骨牌倒下,就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下,就可以导至第三块骨牌倒下……最后,不论有多少块,都能全部倒下。
(二)、研探新知原理分析:问题3:可以看出,使所有骨牌都倒下的条件有两个:(1) 第一块骨牌倒下;(2) 任意相邻的两块骨牌,前一块倒下.一定导致后一块倒下。
可以看出,条件(2)事实上给出了一个递推关系:当第k 块倒下时,相邻的第k+1块也倒下。
这样只要第1块骨牌倒下,其他所有的骨牌就能够相继倒下。
事实上,无论有多少块骨牌,只要保证(1)(2)成立,那么所有的骨牌一定可以全部倒下。
问题2:分析:这个问题的特点是:要证不等式(*)在n 为任何正整数时都成立,虽然我们可以验证n = 1,2,3,4,5,…甚至n = 1000,10000,…时这个等式成立。
但是正整数是无限多个,我们无法对它们一一验证,所以验证的方法无法完成证明。
要证明这个问题,必须寻找一种有限个步骤,就能够处理完无限多个对象的方法。
类比多米骨牌游戏,我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长一队1,2,3,4,…k,k+1,…可以验证(1)当n = 1时,等式(*)的左右两边都等于-1。
即这时等式(*)成立可以想象(2)若从“n = k 时等式(*)成立”能推出n = k + 1时等式(*)也成立,则可以建立一种多米诺骨牌那样的由前到后的自到递推关系综合(1)(2),就自然地想到一种证明这个等式的方法:首先证明(1)n = 1时等式(*)成立然后证明(2)中的递推关系完成以上两步后,就可由n = 1时等式(*)成立为起点,递推出n = 2时等式(*)成立,再由n = 2时等式(*)成立,递推出n = 3时等式(*)成立 …… 如此继续自动递推下去,就可以说:对于任意正整数n ,等式(*)成立下面按照上述思路具体的证明等式(*)证明:(1)当n = 1 时,式(*)左右两边都等于 -1,即这时等式(*)成立。
(2)假设当n = k (k ≥1) 时等式(*)式成立,即()()()k n kk 1121531-=--++-+-Λ在这个假设下,再考虑n = k + 1 时式(*)的左右两边。
左边=()()()()[]11211215311-+-+--++-+-+k n k k Λ()[]1)1(2)1(11-+-+-=+k k k k[]右边=+-=-++--=++)1()1(1)1(2)1(11k k k k k 。
所以当n = k + 1 时等式(*)成立。
由(1),(2)可知()()()n n n n 1121531-=--++-+-Λ )(+∈N n总结上述过程,我们用了两个步骤:第一步,证明n = 1 时命题成立,从而奠定了命题成立的一个起点;第二步,先作归纳假设,然后证明由前后的递推关系由这两步保证:对于从起点由前向后的所有正整数+∈N n ,命题都成立。
一般地,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值0n )(*0N n ∈时命题成立;(2)(归纳递推)假设n = k )(*0N n ∈时命题成立,证明当n = k +1时命题也成立。
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法(mathematical induction ). 思考:结合上面的证明,你认为数学归纳法的基本思想是什么?在数学归纳法的两个步骤中,第一步是奠基,第二步是假设与递推。
这两步都是非常重要,缺一不可。
第一步确定了n = n 0 时命题成立,n = n 0 成为后面递推的出发点,没有它递推就成无源之水;第二步确认一种递推关系,借助它,命题成立的范围就能从正整数n 0 开始,向后一个数一个数无限传递到n 0 以后的每一个正整数,从而完成证明,因此,递推是实现从有限到无限的飞跃的关键,没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。
以上就是数学归纳法的基本原理。
下面的框图表示了数归纳法的基本过程问题:数学归纳法适用于证明什么的命题呢?对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易有以前所学习过的方法证明,用数学归纳法可能收到较好的效果。
思考:如果要用数学归纳法证明某命脉题对于全体正整数都能立,应取n 0为何值?为什么?(三)、例题剖析例1:(教材第94页例1)例2:(教材第94页例2)(四)、巩固深化,反馈矫正 (教材第95页练习 1、2)第二课时【教学思路】:(一)、复习回顾一般地,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1) (归纳奠基)证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;(2) (归纳递推)假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立,证明当1n k =+时 命题也成立 。
--------------数学归纳法(二)、例题剖析:例1.用数学归纳法证明:)(17)13(+∈-⋅+N n n n 能被9整除.证明:(1)当n=1时,(3+1)×7-1=27 能被9整除,命题成立(2)假设当n=k 时命题成立,即)(17)13(+∈-⋅+N n k k 能被9整除那么,当n=k+1时,17]1)1(3[1-⋅+++k k1111(31)73717(31)7371(31)716(31)737[(31)71](1827)7k k k k k k k k k k k k k k k ++++=+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅-=+⋅-+⋅+⋅+⋅=+⋅-++⋅由归纳假设)(17)13(+∈-⋅+N n k k 能被9整除及k k 7)2718(⋅+是9的倍数所以k k k k 7)2718(]17)13[(⋅++-⋅+能被9整除即n=k+1时,命题成立由(1)(2)知命题对任意的+∈N n 均成立例2.若n 为大于1的自然数,用数学归纳法证明:2413212111>+++++n n n Λ 证明:(1)当n =2时,24131********>=+++ (2)假设当n =k 时成立,即2413212111>+++++k k k Λ 1,1111111232212211131111311242122124212213113.242(21)(1)24n k k k k k k k k k k k k k k k =+++++++-++++++>++-=+-+++++=+>++L 则当时不等式也成立 由(1)、 (2)知原不等式对一切大于2的自然数都成立。
例3 .已知n a =23123(1)nn n n +++⋅⋅⋅++ (*n N ∈) 求证:1n a < 证明:(1)当n =1时,a 1=21<1,不等式成立.(2)假设n =k (k ≥1)时,不等式成立,即a k =k k k k )1(32132++⋅⋅⋅+++<1 亦即1+22+33+…+k k <(k +1)k当n =k +1时a k +1=111132)2()1()1(]1)1[()1(321++++++++<+++++⋅⋅⋅+++k k k k k k k k k k k k =1)2()2()1(++++k k k k k =(21++k k )k <1. ∴n =k +1时,不等式也成立. 由(1)、(2)知,对一切n ∈N *,不等式都成立.例4 .用数学归纳法证明等式对所有n ∈N*均成立.111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L 证明:i)当n=1时,左式=21211=-,右式=21111=+, ∴ 左式=右式,等式成立.ii)假设当n=k(k ∈N)时等式成立, 即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+-ΛΛ, 则当n=k+1时,)1(21)1(13)1(12)1(11)1(1221121413121)22111(1213121221121)212111(221121)211214131211(221121211214131211++++++++++++++=++++++++++=+-++++++++=+-+++++++=+-++--++-+-=+-++--++-+-k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ΛΛΛΛΛΛ 即n=k+1时,等式也成立,由i) ii)可知,等式对n ∈N 均成立.小结:在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时,注意分析n=k 与n=k+1的两个等式的差别.n=k+1时,等式左边增加两项,右边增加一项,而且右式的首项由11+k 变为21+k .因此在证明中,右式中的11+k 应与-221+k 合并,才能得到所证式.因而,在论证之前,把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的.由例1可以看出,数学归纳法的证明过程中,要把握好两个关键之处:一是f(n)与n 的关系;二是f(k)与f(k+1)的关系.(三)、巩固深化,反馈矫正 (教材第95页练习 1、2)(四)、归纳整理,整体认识1.用数学归纳法证明,要完成两面个步骤,这两个步骤是缺一不可的,但从证题的难易来分析,证明第二步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从n=k 到n=k+1的转化,这个转化要求在变化过程中结构不变。