第2章-4-导体系统的电容+电场的能量
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上的总电荷量值； 2. Cks 为第s个导体上的电位为一个单位，而其余导体都接
地时，第k个导体上感应电荷的大小； 3. 所有的 Cks >0 4. Cks＝ Csk ，即部分电容具有对称性。
11
2.9 导体系统的电容
2.9.2 多导体间的电容——部分电容--略
2.9 导体系统的电容
电容器： C q U
1 2
0
(
a 2r2
0
9
2 0
4 r2dr
a
2a6 9 0 2 r 4
4 r2dr)
4 2a5 15 0
28
例：半径为a 的导体球，球外包一层厚度为b，介电
常数为 的介质，介质外是导体球壳，求导体球、
介质、外球壳构成的系统的电容。
解高：斯设定导理体：球带SD电 量dS为qq，为等D 位 4体q，r2 e电r 荷均匀分布在球面：
E
q
4 r2
q
40r 2
er er
Biblioteka Baiduar ab
r ab
U
ab
E dl
1. 各带电导体的电位不变——必须接有恒定电源
N
N
外电压源向系统提供的能量: dW d(qii ) idqi
i 1
i 1
系统所改变的静电能量:
dWe
1 2
N
idqi
i 1
比较
23
2.10 静电场的能量与静电力
可见，外电压源向系统提供的能量有一半用于静电系统能 量的增加; 另一半则用于电场力做功。
孤立带电系统中每个导体的电位与系统中每个导体的带电量均 成线性关系。
i q 11 1 12q2 q 1n1 n1
取 n1 0 qn1 (q1 q2 qn )
9
2.9 导体系统的电容
带电量与电位之间的关系为
n
qk sk s s 1
（2-44）
sk 为电容系数（当 s=k 时为自电容系数；当 s≠ k 时，
r q dr q
r
（2-46）
连续电荷：对于连续变化的电荷系统（带电 体），设系统从零开始被充电，最终电荷密度
为。电荷密度按照比例因子 α（从0到1）逐渐 形成。在某一时刻的电荷密度为 α 时，其电 位为 αφ。
=0 φ=0 , φ
15
2.10 静电场的能量与静电力
将元电荷 dq (d)dV 送入电位αφ 处
称为互电容系数）
k -1
n
qk Cks (k s ) Ckkk Cks (k s ) （2-45）
s 1
sk 1
Cks 为部分电容（当 s k 时称为自部分电容，是导体k
与地之间的部分电容；当 s k 时称为互部分电容）
10
2.9 导体系统的电容
部分电容有以下特点：
1.Ckk 值为全部导体的电位都为一个单位时，第k个导体
故电场力做功等于静电能量的增加:
Fdx dWe 常量
电场力为:
F We x
常量
（2-54）
24
2.10 静电场的能量与静电力
2. 各带电导体的电荷不变——不接电源 此时，所有带电体都不和外电源相连接，则dW＝0
第i个带电导体发生虚位移dx时
dW Fdx dWe
Fdx dWe q常量
故电场力为
E
q
2r
er
U
b
a
E
dr
b a
q
2r
er
dr
q
2
b
a
dr r
q
2
ln
b a
C
q U
2
ln b
a
例题 2-15 删
2.9 导体系统的电容
2.9.2 多导体间的电容——部分电容--略 多导体系统间，任何一个导体的电位都受到其余多个导体
电荷的影响，其相互耦合用部分电容表示。 设线性介质中有 n+1 个带电导体，总带电量为0，它们的电位 仅取决于它们中每个导体的带电量，而与它们之外的导体无关。 该系统叫孤立带电系统。
q (1
1
)
a
4 a a b
C q 4 a(a b)
U
b
C q U
7
解：设内柱单位长带点q，做圆柱形封闭面，应用介质 存在时的高斯定理
S D dS q
= S1 D(r)er eS1dS S2 D(r,)er eS2 dS S3 D(r,)er eS3 dS
r
q D2 r
2.9.1 双导体及孤立导体的电容
2. 孤立导体的电容
• 孤立导体带电则具有电位, 则导体的电位与电量成正比 。
半径为a的导体球的电位：
q 4 a
• 定义孤立导体的电容为： C q
单位: 法拉（F）。
（2-43）
导体球的电容： C 4 a
孤立导体的电容仅与导体的几何形状和周围介质有关，与 导体所带电量无关。
（2-52）
例题 2-16
得：
例题 2-16
其总能量为：
2 U , q2 S S, 其总能量为：
S
D
E
U d
2.10 静电场的能量与静电力
2.10.3 静电力 1.由电场强度E的定义求静电力，即
f qE
d f Edq
f Edq
求解非常麻烦
2.由虚功原理求静电力 虚位移法：保持时间不变的位移叫虚位移。(实际不能发生)
2.10.2 静电场的能量密度
1
We 2
dV
V
We
1 2
DdV
V
参考矢量恒等式： D (D) D
（2-49）
We
1 2
V [ (D)
D ]dV
1 2
V
(D)dV
1 2
V
(D )dV
第一项应用散度定理，对第二项应用 E
We
1 2
D dS 1 D EdV
S
2V
因为
（2-42）
q A
U A B
-q B
但是：当出现第三者C时，上式不成立。
要想消除其它导体的影响，可采用静电屏蔽的方法。
这种用一个封闭的导体壳B把导体A
包围起来组成的导体系，叫做电容器，
比值
CAB
qA UA UB
叫做它的电容。
三种理想电容器
RB
1. 球形电容器 C q 4RARB
RA
UAB RB R A
L
（2-48）
q,
a
导体球储能
16
2.10 静电场的能量与静电力
N个点电荷构成的系统，系统的总能量:（不推导）
We
1 2
N i 1
i qi
式中 i 是所有电荷在qi处的电位。
（2-49）
例如3个点电荷：
We
1 2
(q1U1
q2U 2
q3U3 )
U2 q2
U3 q3
U1 q1
17
2.10 静电场的能量与静电力
F We x
q 常量
（2-55）
25
例题 2-17
略（自己看）
Thank You !
27
例题（补充例2-16后） 试求真空中体电荷密度为 ，
半径为a 的介质球产生的静电能量。
解：应用高斯定理，得
r
E
3 0 a
3
30 r 2
ra r a
1
We 2
1
D EdV
V
2
V 0E2dV
22
2.10 静电场的能量与静电力
带电系统的能量守恒 由N个导体组成的系统，假设第i个带电导体在电场力F的作
用下发生了虚位移dx，则电场力做功为dA＝Fdx，系统的静
电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，系统的功能关系:
dW Fdx dWe
（2-53）
系统总能量的变化=电场力的功与静电能的改变之和。
1 r
,
D
1 r2
,
故
dS
We
r
1 2
2,
V
r
D
E dV
（2-50） 18
静电能量
We
1 2
D EdV
V
V wedV
（J 焦耳）
能量密度
(J / m3)
we
1 2
D
E
（2-50） （2-51）
结论 ：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。
在各向同性的线性媒质中 D= E
e
1
2
E2
1 2
D2
1
复习： 静电场的边界条件
1. 不同介质分界面的边界条件 （界面无自由电荷）
s 0
s 0
E1t E2t D1n D2n
D1n D2n s E1t E2t
1 2
1
1
n
2
2
n
2. 导体表面的边界条件(介质1/导体2)
s 0
E2t D2n 0
E1t 0, D1n s
1 2 C
1 s , 2 0 n n
2
2.9 导体系统的电容
电容：带电系统在一定电压下储存电场能量的能力。 孤立导体的电容 两个导体间的电容 多导体间的电容——部分电容
电容器：平行板电容器；同轴电容器；球型电容器；两导 线间的电容。
3
2.9 导体系统的电容
2.9.1 双导体及孤立导体的电容
第二章 静电场与恒定电场
2.1 库仑定律和电场强度 2.2 电场强度的通量和散度 2.3 电场强度的环量及旋度 2.4 静电场的电位函数 2.5 电偶极子 2.6 静电场中的导体和介质 2.7 泊松方程与拉普拉斯方程 2.8 静电场的边界条件 2.9 导体系统的电容 2.10 静电场的能量与静电力 2.11 恒定电场
2. 柱形电容器
C q 2πεL U AB ln (RB /R A)
3. 平行板电容器
C q S
U AB d
2.10 静电场的能量与静电力
φq
2.10.1 静电场的能量
r
点电荷：将点电荷q从无限远处移到电 位为φ的位置r处（设移动路径沿电场相
x
反方向），外力所做的功：
W
r
r
F dr qE dr
q A
-q B
1. 双导体间的电容
U A B
任意两个导体构成静电独立系统，两导体携带等量异号
电荷（q和-q），此时，两个导体间的电位差（电压）为
U，则： 定义这两个导体间的电容为：
C q U
（2-42）
两个导体间的电容仅与导体的几何形状、相对位置
和周围介质有关，与导体所带电量无关。
4
2.9 导体系统的电容
5
2.9 导体系统的电容
2.9.1 双导体及孤立导体的电容 3. 双导体电容的计算方法
一、假设导体组带电量（±q）然后计算电场分布, 再计算电势差U，最后根据C的定义（=q/U）求C。 二、假设两导体的电位差U，然后计算电场分布, 再计算电荷量q，最后根据C的定义（=q/U）求C。
6
2.9 导体系统的电容
外电源做的功为: dq (d)dV
dV
α, αφ
a
对于整个带电空间，外电源需要做的功，即系统增加的电场
能量为
dWe
(d )dV
V
充电完成后，带电系统的总能量为：
We
1
d
0
dV 1
V
2
dV
V
（2-47）
如果电荷只在表面，则 如果电荷是线分布，则
We
1 2
S SdS
We
1 2
edl
地时，第k个导体上感应电荷的大小； 3. 所有的 Cks >0 4. Cks＝ Csk ，即部分电容具有对称性。
11
2.9 导体系统的电容
2.9.2 多导体间的电容——部分电容--略
2.9 导体系统的电容
电容器： C q U
1 2
0
(
a 2r2
0
9
2 0
4 r2dr
a
2a6 9 0 2 r 4
4 r2dr)
4 2a5 15 0
28
例：半径为a 的导体球，球外包一层厚度为b，介电
常数为 的介质，介质外是导体球壳，求导体球、
介质、外球壳构成的系统的电容。
解高：斯设定导理体：球带SD电 量dS为qq，为等D 位 4体q，r2 e电r 荷均匀分布在球面：
E
q
4 r2
q
40r 2
er er
Biblioteka Baiduar ab
r ab
U
ab
E dl
1. 各带电导体的电位不变——必须接有恒定电源
N
N
外电压源向系统提供的能量: dW d(qii ) idqi
i 1
i 1
系统所改变的静电能量:
dWe
1 2
N
idqi
i 1
比较
23
2.10 静电场的能量与静电力
可见，外电压源向系统提供的能量有一半用于静电系统能 量的增加; 另一半则用于电场力做功。
孤立带电系统中每个导体的电位与系统中每个导体的带电量均 成线性关系。
i q 11 1 12q2 q 1n1 n1
取 n1 0 qn1 (q1 q2 qn )
9
2.9 导体系统的电容
带电量与电位之间的关系为
n
qk sk s s 1
（2-44）
sk 为电容系数（当 s=k 时为自电容系数；当 s≠ k 时，
r q dr q
r
（2-46）
连续电荷：对于连续变化的电荷系统（带电 体），设系统从零开始被充电，最终电荷密度
为。电荷密度按照比例因子 α（从0到1）逐渐 形成。在某一时刻的电荷密度为 α 时，其电 位为 αφ。
=0 φ=0 , φ
15
2.10 静电场的能量与静电力
将元电荷 dq (d)dV 送入电位αφ 处
称为互电容系数）
k -1
n
qk Cks (k s ) Ckkk Cks (k s ) （2-45）
s 1
sk 1
Cks 为部分电容（当 s k 时称为自部分电容，是导体k
与地之间的部分电容；当 s k 时称为互部分电容）
10
2.9 导体系统的电容
部分电容有以下特点：
1.Ckk 值为全部导体的电位都为一个单位时，第k个导体
故电场力做功等于静电能量的增加:
Fdx dWe 常量
电场力为:
F We x
常量
（2-54）
24
2.10 静电场的能量与静电力
2. 各带电导体的电荷不变——不接电源 此时，所有带电体都不和外电源相连接，则dW＝0
第i个带电导体发生虚位移dx时
dW Fdx dWe
Fdx dWe q常量
故电场力为
E
q
2r
er
U
b
a
E
dr
b a
q
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q
2
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a
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q
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b a
C
q U
2
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a
例题 2-15 删
2.9 导体系统的电容
2.9.2 多导体间的电容——部分电容--略 多导体系统间，任何一个导体的电位都受到其余多个导体
电荷的影响，其相互耦合用部分电容表示。 设线性介质中有 n+1 个带电导体，总带电量为0，它们的电位 仅取决于它们中每个导体的带电量，而与它们之外的导体无关。 该系统叫孤立带电系统。
q (1
1
)
a
4 a a b
C q 4 a(a b)
U
b
C q U
7
解：设内柱单位长带点q，做圆柱形封闭面，应用介质 存在时的高斯定理
S D dS q
= S1 D(r)er eS1dS S2 D(r,)er eS2 dS S3 D(r,)er eS3 dS
r
q D2 r
2.9.1 双导体及孤立导体的电容
2. 孤立导体的电容
• 孤立导体带电则具有电位, 则导体的电位与电量成正比 。
半径为a的导体球的电位：
q 4 a
• 定义孤立导体的电容为： C q
单位: 法拉（F）。
（2-43）
导体球的电容： C 4 a
孤立导体的电容仅与导体的几何形状和周围介质有关，与 导体所带电量无关。
（2-52）
例题 2-16
得：
例题 2-16
其总能量为：
2 U , q2 S S, 其总能量为：
S
D
E
U d
2.10 静电场的能量与静电力
2.10.3 静电力 1.由电场强度E的定义求静电力，即
f qE
d f Edq
f Edq
求解非常麻烦
2.由虚功原理求静电力 虚位移法：保持时间不变的位移叫虚位移。(实际不能发生)
2.10.2 静电场的能量密度
1
We 2
dV
V
We
1 2
DdV
V
参考矢量恒等式： D (D) D
（2-49）
We
1 2
V [ (D)
D ]dV
1 2
V
(D)dV
1 2
V
(D )dV
第一项应用散度定理，对第二项应用 E
We
1 2
D dS 1 D EdV
S
2V
因为
（2-42）
q A
U A B
-q B
但是：当出现第三者C时，上式不成立。
要想消除其它导体的影响，可采用静电屏蔽的方法。
这种用一个封闭的导体壳B把导体A
包围起来组成的导体系，叫做电容器，
比值
CAB
qA UA UB
叫做它的电容。
三种理想电容器
RB
1. 球形电容器 C q 4RARB
RA
UAB RB R A
L
（2-48）
q,
a
导体球储能
16
2.10 静电场的能量与静电力
N个点电荷构成的系统，系统的总能量:（不推导）
We
1 2
N i 1
i qi
式中 i 是所有电荷在qi处的电位。
（2-49）
例如3个点电荷：
We
1 2
(q1U1
q2U 2
q3U3 )
U2 q2
U3 q3
U1 q1
17
2.10 静电场的能量与静电力
F We x
q 常量
（2-55）
25
例题 2-17
略（自己看）
Thank You !
27
例题（补充例2-16后） 试求真空中体电荷密度为 ，
半径为a 的介质球产生的静电能量。
解：应用高斯定理，得
r
E
3 0 a
3
30 r 2
ra r a
1
We 2
1
D EdV
V
2
V 0E2dV
22
2.10 静电场的能量与静电力
带电系统的能量守恒 由N个导体组成的系统，假设第i个带电导体在电场力F的作
用下发生了虚位移dx，则电场力做功为dA＝Fdx，系统的静
电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，系统的功能关系:
dW Fdx dWe
（2-53）
系统总能量的变化=电场力的功与静电能的改变之和。
1 r
,
D
1 r2
,
故
dS
We
r
1 2
2,
V
r
D
E dV
（2-50） 18
静电能量
We
1 2
D EdV
V
V wedV
（J 焦耳）
能量密度
(J / m3)
we
1 2
D
E
（2-50） （2-51）
结论 ：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。
在各向同性的线性媒质中 D= E
e
1
2
E2
1 2
D2
1
复习： 静电场的边界条件
1. 不同介质分界面的边界条件 （界面无自由电荷）
s 0
s 0
E1t E2t D1n D2n
D1n D2n s E1t E2t
1 2
1
1
n
2
2
n
2. 导体表面的边界条件(介质1/导体2)
s 0
E2t D2n 0
E1t 0, D1n s
1 2 C
1 s , 2 0 n n
2
2.9 导体系统的电容
电容：带电系统在一定电压下储存电场能量的能力。 孤立导体的电容 两个导体间的电容 多导体间的电容——部分电容
电容器：平行板电容器；同轴电容器；球型电容器；两导 线间的电容。
3
2.9 导体系统的电容
2.9.1 双导体及孤立导体的电容
第二章 静电场与恒定电场
2.1 库仑定律和电场强度 2.2 电场强度的通量和散度 2.3 电场强度的环量及旋度 2.4 静电场的电位函数 2.5 电偶极子 2.6 静电场中的导体和介质 2.7 泊松方程与拉普拉斯方程 2.8 静电场的边界条件 2.9 导体系统的电容 2.10 静电场的能量与静电力 2.11 恒定电场
2. 柱形电容器
C q 2πεL U AB ln (RB /R A)
3. 平行板电容器
C q S
U AB d
2.10 静电场的能量与静电力
φq
2.10.1 静电场的能量
r
点电荷：将点电荷q从无限远处移到电 位为φ的位置r处（设移动路径沿电场相
x
反方向），外力所做的功：
W
r
r
F dr qE dr
q A
-q B
1. 双导体间的电容
U A B
任意两个导体构成静电独立系统，两导体携带等量异号
电荷（q和-q），此时，两个导体间的电位差（电压）为
U，则： 定义这两个导体间的电容为：
C q U
（2-42）
两个导体间的电容仅与导体的几何形状、相对位置
和周围介质有关，与导体所带电量无关。
4
2.9 导体系统的电容
5
2.9 导体系统的电容
2.9.1 双导体及孤立导体的电容 3. 双导体电容的计算方法
一、假设导体组带电量（±q）然后计算电场分布, 再计算电势差U，最后根据C的定义（=q/U）求C。 二、假设两导体的电位差U，然后计算电场分布, 再计算电荷量q，最后根据C的定义（=q/U）求C。
6
2.9 导体系统的电容
外电源做的功为: dq (d)dV
dV
α, αφ
a
对于整个带电空间，外电源需要做的功，即系统增加的电场
能量为
dWe
(d )dV
V
充电完成后，带电系统的总能量为：
We
1
d
0
dV 1
V
2
dV
V
（2-47）
如果电荷只在表面，则 如果电荷是线分布，则
We
1 2
S SdS
We
1 2
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