第二章导数与微分

f ' x0 ,
y , x x0
dy ,
dx xx0
df (x) dx xx0
9
，
．
即
f
' x0
lim
x0
y x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0 .
如果上述极限不存在，则称 y f x 在点 x0 处不可导．
有了导数的概念，前面讨论的两个实例可以表示为：
(1)变速直线运动的瞬时速度
特别：ln x' 1
x
例8 求函数 y cos x 的导数．
解得：cos x sin x.
16
基本导数公式
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a
(1)求增量 y f x x f x;
(2)算比值
y
f
x x
f
x
;
x
x
(3)取极限
f ' x lim y lim f x x f x
x x0
x0
x
解
f ( x) lim
f ( x h)
f
(
x)
lim
sin(
x
h)
sin
x
h0
h
h0
h
h
lim
h0
cos(
x
h) 2
sin h
0
xx0 0
x x0
x0
x
结论：函数 f (x)在点 x0处可导 左导数 f(x0 )和
右导数 f(x0 )都存在且相等.
11
例3 求 f x x2 在点 x 3 和 x x0 处的导数．
解 给自变量 在 x 3处以增量 x ，对应的函数的增量是
y f 3 x f 3 3 x2 32 6x x2 .
《高等数学》
数学教研室 邓敏英
1
第二章 导数与微分
本章主要内容
§2.1 导数的概念 §2.2 函数的求导法则 §2.3 隐函数及参数方程的导数 §2.4 高阶导数 §2.5 函数的微分及其应用
3
学习目标
理解导数的概念,了解导数在几何上、经济 上的实际意义，会用导数的定义求一些简单 函数的导数。会求曲线上一点处的切线方程 和法线方程。
t0
t0 t t0
t
8
二、导数的定义
定义1设 y f x 在点 x0的某个邻域内有定义, 当 x
在点 x0处有增量 x x0 x 仍在该邻域内)时，
当
x 0
时，lim x0
y x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
存在，
则称 y f x 在点 x0 处可导，并称这个极限值为
y f x 在点 x0 处的导数，记作
英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
5
一、引例
例1 求曲线切线的斜率． 割线的斜率是
tan y
x
f x0 x f x0
x
切线的斜率
tan
lim tan
x0
lim
x0
y x
lim x0
f
x0
x
x
f
x0 .
1) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗?
x
,
dx dx
即
f ' x
lim
y
lim
f
x x
f
x
.
x x0
x0
x
三、基本导数公式
例4 求函数 f (x) C(C为常数)的导数．
解：f ' x lim f (x h) f (x) lim C C 0
h0
h
h0 h
即 (C)' 0 这就是说，常数的导数等于零．
用定义求导数，可分为以下三个步骤：
2
cos
x.
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2
即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
15
．
例6 求函数 y ax (a >0，a ≠0)的导数．
解得：ax ' ax ln a. 特别：ex ' ex
例7 求函数 y loga x
解得：loga x 1
x ln a
( a >0，a ≠0)的导数
两个增量之比 y 6x x2 6 x.
x
x
对上式两端取极限，得 f ' 3 lim y lim 6 x 6
x x0
x0
类似地，可求得
f'
x0
lim y x0 x
lim x0 x2 x02
x0
x
lim
x0
2x0
x
2
x0
.
上述结果中，由于 x0 可以是(-∞，+∞)内的任意值
(10) (e x)ex
(11)
(loga
x)
1 xln a
(12) (lnx) 1 x
(13) (arcsin x) 1 1 x2
(14) (arccosx) 1 1 x2
(15) (arctanx) 1 1 x2
(16)
(arccot x) 1 1 x2
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四、导数的几何意义
f (x0 )表示曲线 y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率,
因此f x x2 在(-∞，+∞)内的任意点都存在导数
x 定义2 如果 y f x 在区间 I 内的每一点 都有导数，
则称函数 y f x 在区间 I 内可导．这时，对于区间 I
内每一点 x,都有一个导数值 f ' x 与它对应．因此f ' x是 x
的函数，称为
y
f
x
的导函数，记作
f
' x, y', dy 或 df
熟练掌握基本初等函数的求导公式； 熟练 掌握导数的四则运算法则；熟练掌握复合函 数的求导法则；了解高阶导数、隐函数概念 并能计算。
理解函数微分的定义，会用微分的运算法则 和一阶微分形式不变性求函数的微分，了解
4 微分在近似计算中的应用。
§2．1 导数的概念
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人:
2) 既然不能描述运动员的运动状态,那我们
应该用什么来描述呢?
瞬时速度
3) 如何求运动员的瞬时速度?
一、引例
例2、求变速直线运动的瞬时速度
物体在时段内的平均速度
速度＝ 路程 时间
.
v s s(t0 t) s(t0 )
t
t
物体在t0时刻的瞬时速度
v lim v lim s lim s(t0 t) s(t0 )
v t0 s' t0
ds dt
. t t0
(2)曲线在某 处的切线斜率
点
k切 tan f ' x0 .
10
单侧导数
（1）左导数
f (x ) lim f ( x) f (x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 );
0
xx0 0
xx
x0
x
0
（2）右导数
f (x ) lim f (x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 );