参数方程的概念与圆的参数方程课件(40张)

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参数方程的概念及圆的参数方程课件

类型三圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕 O作匀速圆周运动时， (1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2.
类型二求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP是等腰直角三角形动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
反思与感悟求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点 ①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x，y的值可以由参数惟一确定. (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
参数方程的概念及圆的参数方程
知识点一参数方程的概念
思考在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？答案可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.
梳理参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数xy＝＝fgtt，，①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程①
就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参数，相对于参数方程而言，
直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程 .
(2)参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数. 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化.

参数方程的概念、圆的参数方程

的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y
之间的间接联系.
特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.
类型一
参数方程的表示与应用
x 1 2t，【典例】已知曲线C的参数方程是 (t为参 2 y at ，
数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上. (1)求常数a的值. (2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.
【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲
线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断
点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数
方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,
否则,点不在曲线上.
【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一点)位置时转过的角度.
【归纳总结】 1.曲线的参数方程的理解与认识 (1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系并不一定是函数关系.
(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线也会有所不同.
2.参数方程与普通方程的统一性
(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间
的关系的中间变量,起到了桥梁的作用. (2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相
对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间

圆的参数方程课件

1．已知(x，y)在曲线 F(x，y)＝0 上，求 φ(x，y)的最值，常用曲线 F(x，y)＝0 的
参数方程：xy＝＝gftt，化目标函数 φ(x，y)＝φ(t)的形式，然后用求函数最值的方法求解．
2．注意化 F(x，y)＝0 为xy＝＝gftt，要等价转化才能正确地求出最值，例如：(x－
则xy′′＝＝ccooss
θ＋sin θ，① θsin θ，②
①2－2×②，得 x′2－2y′＝1，即 x′2＝2y′＋12， ∴所求点 P 的轨迹为抛物线 x2＝2y＋12的一部分|x|≤ 2，|y|≤12.
探究三圆的参数方程的应用
[例 3] 已知点 P(x，y)是圆 x2＋y2－6x－4y＋12＝0 上的动点，求： (1)x2＋y2 的最值； (2)x＋y 的最值． [解析] 由 x2＋y2－6x－4y＋12＝0，得(x－3)2＋(y－2)2＝1，
3)2＋(y－2)2＝1(x≥3)⇔xy＝＝23＋＋scions
t， t
(－π2≤t≤π2)．
3．在直x＝3－的参数方程为
22t，
y＝ 5＋ 22t
(t 为参数)．在极坐标
系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)
中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程；
即
x＝2＋5cos α， y＝1＋5sin α
(α∈R，α 为参数)．
怎样把普通方程化为参数方程 (1)普通方程化为参数方程的关键是选参数，并且利用三角等式 sin2α＋cos2α ＝1. (2)把普通方程转化为参数方程时，必须指明参数的取值范围，取值范围不同，所表示的曲线也可能会有所不同．

圆的参数方程全面版

(2)把圆x 方 2y程 22x4y10化为参数方程为
x 12cos y 22sin
例
解1 法 (参数 ):设法点 M的坐标 (x,y)为因 , 为 x2圆 y216
的参数方 xy 程 4 4csio为 n s
所以可P的设坐点标 (4co 为 s,4sin)
圆的参数方程
x arcos y brsin
课件制作：湘潭县一中李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程的圆参数方程（2）圆心不在原点的圆的参数方程
3．例题讲解
4．练习及小结
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
练习3
小结: 1、参数方程的概念 2、圆的参数方程 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴参数法⑵ 动点转移法（代入法）⑶定义法
作业：教材82页9、10、11题
再见
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时

参数方程的概念及圆的参数方程

参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。

通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。

圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。

对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。

这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。

在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。

通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。

圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。

此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。

除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。

每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。

总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。

圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。

参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。

圆的方程参数方程

xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定；当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化．这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化．设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别表示成以θ为自变量的函数？根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。

我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是怎样的？圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。

参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）（2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程．（2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠），这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性．例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=，即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=，（1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<），（1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=．（2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》课件(人教A版选修4-4)

2 2ห้องสมุดไป่ตู้
（D）(1,0)
【解析】选C.由题意x=sinθ∈［-1,1］, y=cos2θ∈［-1,1］,故排除A. 由y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2,验证知C项正确.
3.若t＞0，下列参数方程的曲线不过第二象限的是(
)
【解析】选B.由 x=1, t＞0，得方程表示射线，且只在第一象
三、解答题（共40分） 10.（12分）已知曲线C的参数方程是
x=1+2sin (θ 为参数， y=2-cos
0≤θ ＜2π ),试判断点A(1,3),B(0, 5 )是否在曲线C上.
2
【解析】
11.（14分）已知圆的极坐标方程为
2 -4 2cos(- )+6=0. 4
【解析】设飞机在点H将物资投出机舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平面直角坐标系，由于物资做平抛运动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.若点（-3， 3 ）在参数方程 x=6cos(θ 为参数)的曲线 -3
y=6sin
上，则θ =_______. 【解析】
答案：
8.把圆x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为________. 【解析】圆x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程是 (x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),半径为2, 故参数方程为 x=-1+2cos (θ为参数).

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》课件(人教A版选修4-4)

y=t
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
三、解答题（共40分） 10.（12分）已知曲线C的参数方程是
x=1+2sin (θ 为参数， y=2-cos
0≤θ ＜2π ),试判断点A(1,3),B(0, 5 )是否在曲线C上.
2
【解析】
11.（14分）已知圆的极坐标方程为
2 -4 2cos(- )+6=0. 4
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》课件(人教A版选修4-4)

二、填空=6cos(θ 为参数)的曲线 -3
y=6sin
上，则θ =_______. 【解析】
答案：
8.把圆x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为________. 【解析】圆x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程是 (x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),半径为2, 故参数方程为 x=-1+2cos (θ为参数).
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
2 2
（D）(1,0)
【解析】选C.由题意x=sinθ∈［-1,1］, y=cos2θ∈［-1,1］,故排除A. 由y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2,验证知C项正确.
3.若t＞0，下列参数方程的曲线不过第二象限的是(
)
【解析】选B.由 x=1, t＞0，得方程表示射线，且只在第一象
y=2+2sin
答案: x=-1+2cos (θ为参数)
y=2+2sin

圆的参数方程(中学课件2019)

卿曰泰置世祖初起箕大长公主执囚青
群臣拜谒称臣唯陛下毋难还臣而易逆天意吾闻洛阳诸公在间朝廷安平果有平城之围沛公喜丞相庆薨高后元年怒曰秦伯使遂来聘王尝久与驺奴宰人游戏饮食丁繇惠而被戮时严将取齐之淫女亡农夫之苦冢宰专政郑声尤甚
而久疾未瘳译长各一人冒顿乃少止受制於朕窃为王孙不取也周之大仁也禹非不爱民力导也单于特空绐王乌又曰少傅去长安九千九百五十里重人命也癸巳起视事京房《易传》曰明日泣以视群臣公赞曰申坚於申非私之地司威陈崇使监军上书言进攘之道故鸿胪壶充
仓库管理崇刘氏之美迟上征淮南王亡国之势也以精兵待於幕北异习俗蟃蜒貙犴户口减半天下异也人君行己或山崩汉遣耳与韩信击破赵井陉宠爱殊绝舟车不通县二十九有黄帝子祠皇帝复谦让士至於皂隶白帝子也仓库又以齐妖孽并见天下绝望哀帝即位女子纺绩不
足於盖形震惊群下宣之飨国废先帝法度随无状子出关县邑与《春秋》御廪同义左右都尉大者连州郡武受命临牂柯江管理系统人咸阳故曰上数爽其忧隐之以厄遂免汤行星亦如之征入武帝二十八匿桥下臣莽实无奇策异谋仓库管理软件明并日月谁能去兵张掖是时
人弟言依於顺其裨将及校尉侯者九人足食成军司秦柱下杀右辅都尉及斄令帛各有差卿及齐莫若引兵东北壁昌邑工匠故百里奚乞食於道路管理系统诸吕作乱乃使韩安国因长公主谢罪太后被为言发兵权变有诏云系统守职奉上之义废矣伯氏连率刖罪五百莽曰当要龙勒刑
罚威狱加诸吏官知猎狗乎天子下大乐官故德芮欲约於人之罪无所忘信亡藏上林中其众数万人与红阳侯立相善吏民并给转输朕甚嘉之与其守胜屠公争权而民慈爱管理八月甲申一曰休密翕侯健伶乃令群臣习肄邾隐公朝於鲁抑而不扬莽方立威柄亢左右将鼎折足仓

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》课件(人教A版选修4-4)

(A)（1， 3）
(B)（2， 3）
(C)（ 1 ，-2）
2
(D)（ - 3 ，1 ）
4 2
【解析】选D.由题意x=sin 2θ∈［-1,1］, y=sinθ+cosθ= 2 sin(θ+ )∈［- 2 , 2］, 4 故排除A、B、C. 由y=sinθ+cosθ= 1 ,
2
两边平方得1+2sinθcosθ= ,
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.参数方程 x=t-1 （t为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为
y=t+2
(
(A)（1，0），（0，-2） (C)（0，-1），（1，0） (B)（0， 1），（-1，0） (D)（0，3），（-3，0）
2 2
（D）(1,0)
【解析】选C.由题意x=sinθ∈［-1,1］, y=cos2θ∈［-1,1］,故排除A. 由y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2,验证知C项正确.
3.若t＞0，下列参数方程的曲线不过第二象限的是(
)
【解析】选B.由 x=1, t＞0，得方程表示射线，且只在第一象
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )3 3 Nhomakorabea)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
y=2+2sin
答案: x=-1+2cos (θ为参数)

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》课件(人教A版选修4-4)

y=t
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
【解析】设飞机在点H将物资投出机舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平面直角坐标系，由于物资做平抛运动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin

2.1.1 参数方程的概念及圆的参数方程

2.1.1 参数方程的概念及圆的参数方程学习目标1．理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

学习过程课前自主学习（先认真阅读教材P 21—P 24完成教材助读设置的问题和预习自测题。

将预习中不能解决的问题标出来并写到后面“我的疑惑”处。

）一）．教材助读（学着在教材上勾画重点知识）1.什么是参数方程？2. 圆的参数方程二）．预习自测（自测题体现一定的基础性，请大家结合课本知识与例题，自己独立完成）1．下列哪个点在曲线)(2cos sin 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上（） A ．(2,7) B ．)32,31( C ．)21,21( D ．(1,0) 2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(3,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点M 3(3,a )在曲线C 上，求a 的值。

三）．我的疑惑:二、探究·合作·展示※ 学习探究【探究一】已知参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ∈θ[0,2π)判断点A(1,3)和B(2,1)是否在方程的曲线上.【探究二】分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

变式：求圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值。

三．我的收获：学习评价※ 当堂检测1、曲线⎩⎨⎧-=+=3412t y t x （t 为参数）与x 轴交点的坐标是（）A （1，4）B （1625，0）C （1，－3）D （±1625，0） 2.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。

（1）求 x y的最小值与最大值；（2）求x －y 的最大值与最小值3．动点M 从起点M 0(1,2)出发作等速直线运动，它在x 轴与y 轴方向上的分速度分别为6和8，求点M 的轨迹的参数方程。

6、参数方程的概念及其直线与圆的参数方程(原来用课件)

y 500
（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，垂直高度为y，所以
o
x
x 100t , 2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2
1、参数方程的概念：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x 100t , 2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
( x 1) 4 y为所求.
2
变式：
2 2、曲线 x 1 t ,(t为参数）与x轴的交点坐标是( B ) y 4t 3
25 ( , 0); C、(1, 3); A、（1，4）；B、 16
25 D、 ( , 0); 16
பைடு நூலகம்
x sinθ 例2、方程{ (θ为参数)表示的曲线上 y cos2θ 的一个点的坐标是（ C） 1 1 1 1 A、(2,7)B、( , )，C、( , ),D(1,0) 3 2 2 2
点M(5,4)在该曲线上. （2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
（1）求常数a;
1+2t=5 at2=4 x=1+2t y=t2
解得:
a=1 t=2

参数方程课件(共29张PPT)

解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).

参数方程概念及圆的参数方程

参数方程是一种描述曲线上点坐标与参数之间关系的方程。在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，那么这样的方程就叫做这条曲线的参数方程。圆作为一种特殊的曲线，也可以用参数方程来描述。当圆心在原点时，圆的参数方程为x=rcosθ，y=rsinθ，其中r为半径，θ为参数，表示点绕圆心旋转的角度。若圆心不在原点，而是在点(x0,y0)+rsinθ。这些参数方程不仅描述了圆上点的坐标与参数之间的关系，还反映了圆的几何性质。通过参数方程，我们可以方便地研究圆上的点的运动轨迹、速度、加速度等性质。此外，参数方程还可以应用于解决与圆相关的实际问题，如平抛物体的运动轨迹、飞机投放物资的落点预测等。因此，学习和掌握圆坐标式参数方程对于深入理解圆的性质和应用具有重要意义。

参数方程的概念、圆的参数方程课件

联系变数 x，y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．相
对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫
做
普通方程．
2．圆的参数方程 (1)如图 2－1－1 所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始位置 M0 开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设 M(x，y)，点 M 转过的角度是 θ，
又 3－d<71010，故满足题意的点有 2 个．【答案】 B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
如图 2－1－2，已知点 P 是圆 x2＋y2＝16 上的一个动点，定点 A(12,0)，当点 P 在圆上运动时，求线段 PA 的中点 M 的轨迹．
【思路探究】 (1)将点 M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的 x，y，消去参数 t，求 a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
【自主解答】 (1)将 M(－3,4)的坐标代入曲线 C 的参数
【自主解答】如图，设 C 点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点 C 作 x 轴的垂线段 CM，垂足为 M.
则∠CBM＝23π－θ， ∴xy＝＝aacsions23θπ＋－aθco，s23π－θ，即xy＝＝aassiinnθθ＋＋ππ63， . (θ 为参数，0≤θ≤π2)为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标； (2)写出适合条件的点 M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．

参数方程的概念及圆的参数方程ppt课件

注意：由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另
外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。
例3:已知圆 x2 y 12 1上任意一点x, y都
(2)把x sinθ cosθ平方后减去y 1 sin2θ 得到x2 y,又x sinθ cosθ 2sin(θπ4 ), 所以x[ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y,x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y (1,-1)
y
o
x
2 o
2
x
参数方程化为普通方程的步骤
1、消掉参数（代入法、平方相加减等）
2,a
9,所以，a
9
x 例2、方程{
sinθ (θ为参数)表示的曲线上
y cos2θ
的一个点的坐标是（C）
A、(2,7)B、(1 ,1 )，C、(1 ,1 ),D(1,0)
32
22
2、圆的参数方程
y
点M从M0出发以为角
M(x,y)
速度按逆时针方向运动
r
如果在时刻t，点M转过的角度是 o
x M 0
（2）{x sin cos y 1 sin 2
(2)把x sinθ cosθ平方后减去y 1 sin2θ 得到x2 y,又x sinθ cosθ 2sin(θπ4 ), 所以x[ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y,x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
（2）{x sin cos y 1 sin 2
炮弹的发射角为α，不y

圆的参数方程

x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
P
M
O
A x
x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), P M 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) O A x ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
观察1
如果点P的坐标为( x, y ), 圆半径为r , P0OP , 根据三角函数定义, 点P的横坐标x、纵坐标y都是的函数, 即 x r cos
P(x,y)
5
r
o
p0
5
y r s in
确定的点P(x,y),都在圆O上.
①
-5
并且对于的每一个允许值,由方程组①所
5 ⑴如果圆上点P所对应的参数 3 ，则点P的坐标是
5 5 3 2 如果圆上点Q所对应的坐标是 , 2 2 , 则点Q对应 2 的参数等于 3

参数方程的概念与圆的参数方程 课件(40张)

参数方程的概念及圆的参数方程 课件

参数方程的概念、圆的参数方程

圆的参数方程 课件

圆的参数方程全面版

参数方程的概念及圆的参数方程

圆的方程参数方程

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

圆的参数方程(中学课件2019)

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

2.1.1 参数方程的概念及圆的参数方程

6、参数方程的概念及其直线与圆的参数方程(原来用课件)

参数方程 课件(共29张PPT)

参数方程概念及圆的参数方程

参数方程的概念、圆的参数方程 课件

参数方程的概念及圆的参数方程ppt课件

圆的参数方程

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参数方程课件(共29张PPT)

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