2012届高三数学一轮复习 5.5 数列的综合应用课时训练解析 新人教A版

第五章 第五节 数列的综合应用

(时间60分钟，满分80分)

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)

1．(2011·济南模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )

A ．1

B ．－1

C ．1或－1

D. 2

解析：依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4

＝4a 1－2a 1q 2

，整理得q 4

＋q 2

－2＝0，解得q 2

＝1(q 2

＝－2舍去)，所以q ＝1或－1.

答案：C

2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *

)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )

A ．(－1

2，－2)

B ．(－1，－1)

C ．(－1

2

，－1)

D ．(2，1

2

)

解析：设数列{a n

}的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧

2a 1

＋2×12

d ＝104a 1

＋4×3

2

d ＝36，解得d ＝4，于是直线PQ 的

斜率k ＝

a n ＋2－a n n ＋2－n ＝d ＝4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(－1

2

，－2)．

答案：A

3．(2011·福州模拟)等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )

A ．156

B ．52

C ．26

D ．13

解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13a 1＋a 13

2＝13a 4＋a 102

＝26.

答案：C

4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2

－b n x ＋2n

的两个零点，则

b 10等于( )

A ．24

B ．32

C ．48

D ．64

解析：依题意有a n a n ＋1＝2n

，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1

，两式相除得

a n ＋2

a n

＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24

＝32，a 11＝1×25

＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.

答案：D

5．已知数列{a n }的通项为a n ＝n

n 2

＋58

，则数列{a n }的最大项为( )

A ．第7项

B ．第8项

C ．第7项或第8项

D ．不存在

解析：由于a n ＝

n

n 2

＋58

＝1

n ＋

58n

，而函数f (x )＝x ＋58

x 在(0，58)上递减，在(58，＋∞)上递增，且f (7)＝7＋587，f (8)＝8＋58

8，所以f (8)a 7，从而数列{a n }的最大项

为第8项．

答案：B

6．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为

n ＋49

10

元(n ∈N *

)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使

用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )

A ．600天

B ．800天

C ．1000天

D ．1200天

解析：由第n 天的维修保养费为

n ＋49

10

元(n ∈N *

)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平

均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．

设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104

＋

5＋

n ＋49

10

n

2

n ＝3.2×10

4

n

＋n

20

＋9920，当且仅当3.2×104

n ＝n 20

时取得最小值，此时n ＝800. 答案：B

二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)

7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．

解析：由题知a 2

5＝a 1·a 17，即a 2

5＝(a 5－4d )·(a 5＋12d )，

∴8a 5d －48d 2

＝0，∵d ≠0，∴a 5＝6d ，∴公比q ＝a 5a 1＝a 5a 5－4d ＝6d

6d －4d

＝3.

答案： 3

8．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若

S 2n S n

(n ∈N *

)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列c n 是“和等比数列”，则d ＝________.

解析：由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝

n c 1＋c n

2

，前2n 项和为S 2n ＝

2n c 1＋c 2n 2，所以S 2n

S n ＝

2n

c 1＋c 2n

2n c 1＋c n 2

＝2＋2nd

4＋nd －d

＝2＋

21＋

4－d nd

，所以当d ＝4时，S 2n

S n 为非零常数．

答案：4

9．正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13

}，{13,23

}，{23,33

}，{33,43

}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝________.

解析：由题意知，前n 组共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，所以第n －1组的最后一个数为(n －1)2

，第n 组的第一个数为(n －1)2

＋1，第n 组共有2n －1个数，所以根据等差数列的前n 项和公式可得

A n ＝

[n －1

2

＋1]＋[n －1

2

＋2n －1]2

(2n －1)＝[(n －1)2＋n ](2n －1)，而B n ＝n 3

－(n

－1)3

，所以A n ＋B n ＝2n 3

.

答案：2n 3

三、解答题

10．某市投资甲、乙两个工厂，2008年两工厂的年产量均为100万吨．在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n 年比上一年增加2n －1

万吨，记2008

年为第一年，甲、乙两工厂第n 年的年产量分别记为a n ，b n .

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂被另一工厂兼并．

解：(1)由题意可知数列{a n }是等差数列，

a 1＝100，公差d ＝10，所以a n ＝10n ＋90，

因为b n －b n －1＝2

n －1

，b n －1－b n －2＝2

n －2

，…，b 2－b 1＝2，

所以b n ＝100＋2＋22

＋…＋2

n －1

＝2n

＋98(n ≥2)，b 1也满足上式，所以b n ＝2n

＋98.