2热传导方程的初值问题
二维热传导方程求解
二维热传导方程求解二维热传导方程是描述平面内物体温度分布随时间变化的数学模型，被广泛应用于工业制造、城市规划和环境模拟等领域。
本文将介绍二维热传导方程的求解方法及其应用。
一、二维热传导方程的基本形式二维热传导方程可以写成以下形式：∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u表示温度分布，t表示时间，x和y分别表示平面内的水平和竖直坐标，α为热传导系数。
二、二维热传导方程的求解方法为了求解二维热传导方程，需要确定初始条件和边界条件。
初始条件指在t=0时刻温度分布的初始状态，边界条件指平面内边界的温度（或热流）分布。
常见的求解方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
这里以有限差分法为例。
有限差分法是将待解区域划分成一个个小网格，用数值方法近似代替微分方程，然后逐步迭代求解。
假设在(x_i,y_j,t_n)处的温度为u_(i,j,n)，则可以用以下式子近似代替热传导方程：u_(i,j,n+1) = u_(i,j,n) + αΔt/Δx^2(u_(i+1,j,n)+u_(i-1,j,n)-2u_(i,j,n))+ αΔt/Δy^2(u_(i,j+1,n)+u_(i,j-1,n)-2u_(i,j,n))其中，Δt为时间步长，Δx和Δy为空间步长。
通过迭代计算，即可得到平面内任意位置随时间的温度变化规律。
三、应用实例二维热传导方程的应用范围非常广泛。
在工业制造中，可以用来分析材料的热处理过程，优化生产工艺；在城市规划中，可以用来预测城市内部的热岛效应，为城市绿化提供科学依据；在环境模拟中，可以用来模拟地下水温度变化、河流水温变化等。
例如，在炼钢过程中，需要控制钢材的温度分布，以保证钢材的物理性能。
通过建立二维热传导方程模型，可以计算出钢材表面的温度分布，进而调整生产参数，达到最佳的钢材质量。
在城市规划中，针对不同的城市形态和环境条件，可以建立相应的二维热传导方程模型，预测城市内不同区域的温度分布情况，并提出合理建议。
热传导方程的初值问题
§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。
将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。
定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m Λ则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f mΛ则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeA A f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g xy i iyx ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈=Λ那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n=⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式.定理（反演公式）若)()()(1nn R L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRx i nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换.定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f Λ=其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i i eAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dt u d 其中 ⎰+∞∞--=dx et x u t uxi λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=t t a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=tt a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （）由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则ta x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a ee t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]t a e t x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t g f ef t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=x ux u at u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,202x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0,),,(222ϕ的解。
热传导中的导热方程与计算
热传导中的导热方程与计算在热传导中，导热方程是用于描述物质内部热量传输的数学模型。
通过解析导热方程，我们可以计算出物体内部温度的分布情况，对于热工程、材料科学等领域的研究和应用具有重要意义。
本文将介绍热传导中的导热方程以及在计算方面的应用。
1. 导热方程的基本原理热传导过程是由高温区向低温区传导热量的过程，它符合能量守恒定律和热力学第二定律。
热传导中的导热方程可以用以下形式表示：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度，t是时间，α是热传导性，∇是梯度算子，∇²是拉普拉斯算子，∂T/∂t表示温度关于时间的偏导数。
该方程描述了温度分布随时间变化的规律。
2. 导热方程的解析解与数值解2.1 解析解对于简单的几何体和边界条件，可以通过解偏微分方程得到导热方程的解析解。
这些解析解可以在特定条件下直接应用，无需进行计算。
然而，对于复杂的物体形状和边界条件，解析解难以获得，需要借助数值计算方法。
2.2 数值解数值解是通过将导热方程转化为离散的计算问题，利用计算机进行数值模拟得到的近似解。
常见的数值解法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是将坐标轴上的物体分割为若干个网格点，在每个网格点上建立温度方程并进行离散化，通过迭代计算得到各网格点的温度值。
有限元法和边界元法则是将物体分割为若干个有限单元或边界元，通过建立与有限单元或边界元相关的方程组进行计算，得到温度分布。
3. 导热方程的应用导热方程在热工程、材料科学、地质学等领域有广泛的应用。
在热工程中，通过计算导热方程可以确定热传导材料的导热性能，评估热工设备的热传导性能，并优化设备结构以提高热传导效率。
在材料科学领域，导热方程可以帮助研究材料的热传导特性，预测材料的热响应和温度分布，指导材料的设计和应用。
在地质学中，导热方程可以用于模拟地下岩体的温度分布，了解地下热流场的分布规律，研究地热资源的开发利用。
4. 导热方程计算的考虑因素在进行导热方程计算时，需要考虑以下因素：4.1 材料参数对于不同材料，导热性能不同，因此需要准确获取材料的热导率、比热容和密度等参数信息。
热传导方程初边值问题的三次样条解
hi+1
xi
+
ω2 i +1
hi2+1
S
xi
.
对公式(2)两端进行求导并令 x = xi ，则有：
S′(
xi
+
0)
=− S′′(
xi+1 ) − S ′′( xi ) cosωi+1
ξ 1 2 sin ωi+1
+
S ′′( xi+1 ) − S ′′( xi
ξ hi+1
)
+
一般来说，对函数 u ( x) 在插值节点 xk (0 ≤ k ≤ n) 处进行插值形成的含参三次样条插值函数的好坏程
( ) 度，即 S ( x,ξ ) S ( x,ξ ) ∈ C2 [a,b] 逼近函数 u ( x) 的好坏程度，取决于参数 ξ (ξ > 0) 的适当选取以及当参数
ξ → 0 时三次样条函数在区间 [a,b] 上的改变程度。 该样条函数 S ( x,ξ ) = S ( x) 在区间 [ xi , xi+1 ] 上满足以下的微分方程[9]：
∂ui (t ) =
∂t
∂2ui (t )
∂x2
−
fi
(t)
=
Mi (t ) − fi (t ),i = 1, 2,
, n −1.
其中= ： fi (t ) f ( x= i ,t );ui (t ) u ( xi ,= t ); Mi (t ) u= xx ( xi ,t ),i 0,1, 考虑 ∂ui (t ) 前面的系数，有：
以 Legendre-Gauss-Lobatto 节点为配置点来构造含参数三次样条函数，然后用含参数的三次样条函数来逼 近求解热传导方程初边值问题。
热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题介绍热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一类偏微分方程。
在实际生活和工程中，了解和解决热传导问题对于保护环境和优化工艺非常重要。
本文将详细介绍热传导方程的初边值问题及其解决方法。
初边值问题的定义初边值问题是指在给定一定空间区域和时间区域内，求解偏微分方程在这些区域内满足一定初值和边界条件的解。
对于热传导方程，我们通常关注的是物体内部的温度分布随时间的变化，因此需要给出初始时刻物体内各点的温度，并指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式。
热传导方程热传导方程描述了物体内部温度分布随时间变化的规律，其一维形式为：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)代表了某一点(x,t)处的温度，α代表热扩散系数，t代表时间，x代表空间位置。
初边值条件为了求解热传导方程的初边值问题，我们需要给出一些初始条件和边界条件。
常见的初边值条件包括： - 初始条件：u(x,0)=f(x)，给出初始时刻物体内各点的温度分布，f(x)代表初始时刻的温度函数。
- 边界条件：u(a,t)=g(t)和u(b,t)=ℎ(t)，指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式，a和b分别为空间区域的起始和结束位置，g(t)和ℎ(t)为边界处的温度函数。
初边值条件的选择对于求解问题的精确性和适用范围具有重要影响。
解法针对热传导方程的初边值问题，我们可以通过数值方法或解析方法来求解。
下面介绍两种常见的解法。
球坐标系下的分离变量法对于某些具有球对称性的问题，可以采用球坐标系下的分离变量法来求解。
通过假设解具有分离变量形式u(r,θ,ϕ,t)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)，将热传导方程分解成径向、角度和时间三个单变量函数的形式，然后带入原方程得到各个变量的微分方程。
最后通过求解单变量微分方程和利用边界条件，确定解的具体形式。
差分方法差分方法是一种常用的数值方法，通过将连续的空间和时间区域离散化，将热传导方程转化为有限差分方程组，并通过迭代求解来逼近真实的解。
热学方程热传导方程的解析解
热学方程热传导方程的解析解在热学中，热传导方程是一个重要的方程，用于描述热量在物体中的传导过程。
热传导方程的解析解是指能够用解析表达式准确描述热传导过程的解。
热传导方程一般形式为：$$\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = a \cdot \nabla^2 T$$其中，$\frac{{\partial T}}{{\partial t}}$表示温度$T$随时间$t$的变化率，$a$是热扩散系数，$\nabla^2 T$表示温度$T$的拉普拉斯算子。
为了求解热传导方程的解析解，我们需要考虑不同情况下的边界条件和初始条件。
1. 一维热传导方程的解析解首先，考虑一维情况下的热传导方程。
假设热传导发生在长度为$L$的直杆上，且直杆的两端保持温度固定，即边界条件为$T(0, t) = T_1$和$T(L, t) = T_2$，其中$T_1$和$T_2$为已知常数。
对于这种情况，可以使用分离变量法来求解热传导方程。
假设解为$T(x, t) = X(x) \cdot T(t)$，将其代入热传导方程得到两个常微分方程：$$\frac{{1}}{{aX}} \frac{{d^2X}}{{dx^2}} = \frac{{1}}{{T}}\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda^2$$其中，$\lambda$为常数。
将得到的两个方程进行求解，可以得到解析解为：$$T(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \cdot e^{-a \lambda_n^2 t} \cdot\sin(\lambda_n x)$$其中，$C_n$为系数，和边界条件相关。
对于给定的边界条件$T(0, t) = T_1$和$T(L, t) = T_2$，可以确定系数$C_n$的值。
2. 二维热传导方程的解析解接下来，考虑二维情况下的热传导方程。
假设热传导发生在一个矩形区域内，且边界上的温度已知。
求解偏微分方程的几种特殊方法
求解偏微分方程的几种特殊方法程哲 PB06001070（中国科学技术大学数学系， 合肥， 230026）摘要：经过一个学期偏微分方程课程的学习，我们掌握了几种求解初等拟（半）线性方程，特别是三种典型方程的方法，如特征曲线法、反射法、降维法、分离变量法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhamel 原理等。
此外，我们通过学习还掌握了求解波动方程的D＇Alembert 公式，求解高维波动方程的Kirchhoff 公式和Poisson 公式，求解位势方程的Green 公式等等。
这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程，故而是基本而重要的。
本文还将总结作者了解的几种求解偏微分方程的特殊方法，它们是：级数法，Laplace 变换法，Fourier 变换法。
关键词：偏微分方程 级数法Laplace 变换 Fourier 变换1. 级数法求解偏微分方程1.1 波动方程Cauchy 问题的级数解法1.1.1 问题引入我们以三维波动方程的初值问题(P)为例：2()0,(1)()(,,,0)(,,),(,,,0)(,,)tt xx yy zz t u a u u u P u x y z x y z u x y z x y z ⎧−++=⎪⎨=Φ=Ψ⎪⎩ 由叠加原理易知问题(P)可分解为两个问题的叠加：2()0,()(,,,0)0,(,,,0)(,,)tt xx yy zz t u a u u u I u x y z u x y z x y z ⎧−++=⎪⎨==Ψ⎪⎩ 2()0,()(,,,0)(,,),(,,,0)0tt xx yy zz t u a u u u II u x y z x y z u x y z ⎧−++=⎪⎨=Φ=⎪⎩首先，受一维波动方程的D＇Alembert 公式启发，我们可以假设问题()I 有如下形式的解：221(,,,)(,,)(2)4at w x y z t t dS a t ξηζπ=⋅Ψ∑∫∫其中球面22222:()()()atx y z a t ξηξ−+−+−=∑。
热传导方程初值问题解的性质的证明
文章编号：1004-3918（2011）11-1261-06
河南科学 HENAN SCIENCE
Vol.29 No.11 Nov. 2011
热传导方程初值问题解的性质的证明
邢家省 1， 张军民 2
（1. 北京航空航天大学 数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191； 2. 河南省工业情报标准信息中心，郑州 450011）
d ξ=
1
-∞
姨π
乙+∞ （f x+2a姨 t
y，t）e-y2dy，
-∞
有 坠w 坠t
，坠2w 坠x2
在（-∞，+∞）×［0，T］×［0，T］上连续 .
定理 8 设（f x，t）∈C2，（0（-∞，+∞）×［0，T］），且满足条件（13），
乙t
u（x，t）= w（x，t-t；t）dt， 0
（13） （14）
其中常数 a>0，则有 lim u（x，t）=φ（x0）；进一步若假设函数 （f x，t），φ（x）关于 x 都是解析的，则 u（x，t）可以写 x→x0 t→0+
成
Σ Σ 乙 u（x，t）= ∞ （a2t）n φ（2n）（x）+ ∞ t［a（2 t-t）］n f（x 2n）（x，t）dt，
n=0 n！
3 非齐次热传导方程初值问题的形式解是古典解的一些充分条件
对非齐次热传导方程初值问题
∞
∞∞ut
-a2uxx
=
（f x，t）
（-∞<x<+∞，0<t≤T），
∞
∞∞∞u（x，0）=φ（x） （-∞<x<+∞），
热传导方程初值问题的解在概率统计中的应用
( 2a 槡πt )
1
n
e－
| x － ξ| 2 4 a2 t
其实可看作 n
∫
+∞
－∞
φ（ x ） e
－
（ x －a） 2 b2
dx，
∫
0
φ（ x ） e
－
（ x －a） 2 b2
X2 ， …， X n ） 的联合密度函数， 维随机变量 （ X1 ， 所以 结合定理 2 有以下命题： 命题 2
2 …， n ） 相互独 若 Xi ～ N（ μi ， σ ） （ i = 1，
imX
4
=e－
cosmμ + ie －
sinmμ；
2
另一方面由期望的线性性有： ） = E （ cosmX ） + iE （ sinmX ） 。 1 2πσ 槡
+∞
（ x － μ） 2 2σ2 σ2m2 2
3 σ4 4 － 3 = 0。 σ 利用常规的分部积分法积分前要进行变量代 换， 而 且 还 要 用 到 重 要 的 尤 拉普阿桑积分
∫
+∞
－∞
e
－x2
dx t = 槡 2x
1 2槡 2
∫
+∞
－∞
e
－2
t2
（ sinnX cosmX ） 等 的 积 分。 这 些 无 非 就 是 形 如 dt = =
1 π 槡 · 2 2π 槡 π 槡 。 2
∫
+∞
－∞
t2 π e － 2 dt = 槡 E（ 1 ） 2
∫ ∫
+∞
－∞ +∞
e nx sinmxe －
－ φ（ x ） e
（ x － μ） 2 2 σ2
2热传导方程的初值问题
§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具.可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数,且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。
将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。
定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具.3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m 则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质 3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeAA f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g x y i iyx⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21)()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈= 那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n =⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式. 定理（反演公式）若)()()(1nnR L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRxi nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换. 定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier 变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论：8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f =其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i ieAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dtu d 其中 ⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=tt a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=t t a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （） 由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则t a x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a e e t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]ta et x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t gf e f t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xuxu a t u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,22x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u atu ),()0,(0,),,(222ϕ的解。
热传导方程初边值问题的注记
第 三类边界 条件 的初 边值 问题 ． 后 不 管是 对 具第 ”其
三类 边界条 件还 是对 具 第 二 类 边 界 条件 的初 边值 问
由极 值原理 知 ，
ｍ ａ ｕ（ ，） 一 ｍａ ￡（ ． ｘ ｘ‘ｚ，）
１ 引 言
ｆ “ 微 分 方 程 ”热 传 导 方 程 部 分 的 教 学 过 程 偏 中， 热传导 方程 的极值 原 理 是 非 常 重 要 的 内容 ． 用 运
它 可 以去研 究初 边值 问题 的解 的唯 一性 和稳定 性． 有
在 下 文 中 ， 妨 假设 不
Ｑ Ｔ＝ ｛ ，）ｌ （ ０＜ ｚ＜ Ｚ０＜ ｔ Ｔ） ， ≤ ，
ＲＴ＝ Ｑ１ ＦＴ— Ｒ１一 Ｑｒ 、 ， ＇ ．
与 文［］所 不 同 的是 ， 面 直 接 运 用 极 值 原 理 来 对 ３ 下
（ｉ 甜的 上 界 ． ）
文 ［］ 讲述 这部 分 内容前 ， 定 理 ４ １ 证 明 解 ｕ ｘ，） 行估 计 ． ３在 称“ ．所 （ ￡进
ｘ（ ． “（ｚ ，ｏ ０ ｔ）＝ ｍ ａ ｕ ，）
—
ｑＴ
由于抛物 边界 ｒ Ｔ由两 侧边 和 一底 边 构成 ， 于是再 分 三种 情形 讨论 ： １ 若 （ ， ）在侧 边 ｚ＝ ０ ０≤ ￡ Ｔ上 ， 。 。 ￡ 。 ， ≤ 则
（ ￡ ，）一 ｕ Ｏ ｔ）一 ￣ （ ）一 （， ｏ －ｔ ｇ Ｏ ｌ
ｒ Ｔ 。
３ 若 （ ｏ ）在侧 边 Ｘ— ｚ０≤ ｔ Ｔ上 ， 。 ｚ， ， ≤ 则
ｍａ ／（ ，） 一 ｕ（ ，ｏ ｘ ￡ ／ １ ｔ）．
ｒ Ｔ
我们 先考 虑 文 ［ ］中 的 具 第 三 类 边 界 条 件 的初 ３ 边 值 问题
热传导方程的初边值问题
热传导方程的初边值问题热传导方程是研究物体在热传导过程中温度随时间和空间的变化规律的数学模型。
初边值问题是给定某个初始条件和边界条件，求解热传导方程的问题。
本文将讨论热传导方程的初边值问题，并介绍一些求解方法。
1. 热传导方程的基本概念热传导方程描述了物体内部的温度随时间和空间的变化规律。
它的数学表达式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0$$其中，$u$表示物体内每个点的温度，$a$代表物体的热传导系数，$\nabla^2u$表示温度的梯度。
这个方程可以描述一维、二维和三维的情况。
2. 初边值问题的基本概念在研究热传导方程时，通常需要解决初边值问题。
这个问题是在一定的时间范围内，在某些区域内确定某些温度和温度梯度的初始值和边界条件，然后根据热传导方程求解温度随时间和空间的变化规律。
初边值问题的形式可以表示为：$$\left \{\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0&\quad\Omega\times(0,T)\\&u(x,t)=u^0(x,t)&\quad\text{on }\ \partial\Omega\times(0,T)\\&u(x,0)=u_0(x)&\quad \text{in }\ \Omega\end {aligned}\right .$$其中，$\Omega$表示问题所在的区域，$T$表示时间范围，$u^0(x,t)$表示边界条件，$u_0(x)$表示初始条件。
3. 求解初边值问题的方法对于初边值问题，常见的求解方法有以下几种：（1）分离变量法分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法。
可以根据问题的对称性，将其解分解成一个时间函数和一个空间函数的乘积。
通过对每一部分采用不同的数学处理方法，最终得到问题的解。
热传导方程
3这时可记2λμ=,此时关于X 的方程的解为:cos sin .X A x B x μμμμμ=+从而我们得到满足泛定方程的一系列解:()22cos sin .a tu T X A x B x eμμμμμμμμ−==+为了得到满足初始条件的解,需要把这一系列解叠加起来;由于此时μ的取值没有限制,可以取所有实数值从而需要求积分:()22cos sin a tu u d A x B x ed μμμμμμμμ∞∞−−∞−∞==+∫∫10例8.1 一个具有常初温0u 的细杆，已知它的一端保持温度为零，求杆上以后的温度分布。
解：该问题可以归结为求解如下定解问题：()()()()()200,0,0,0 0,,0 0.t xx u a u x t u t t u x u x =<<∞>=≥=<<∞12二维和三维情形传导和扩散通常是在三维情况中进行的，这时泛定方程应该包含三个空间变量：()223.t xx yy zz u a u u u a u =++=Δ 就像在特殊情况下可以得到一维传导和扩散问题一样，在某些情况下，我们也可以得到二维问题：()222.t xx yy u a u u a u =+=Δ 类似地，三维无界介质中的热传导问题可以归结为如下定解问题（Cauchy 问题）：()()23,,,,0,,t u a u u x y z x y z ϕ⎧=Δ⎪⎨=⎪⎩第九章Lapalce方程的Fourier 解1316讨论可知，该本征值问题在2,0,1,2,n n λ=="时有非平凡解：()cos sin n n n a n b n θθθΘ=+。
同时关于r 的方程变为：22'''-0r R rR n R +=。
该方程的通解为：-000ln ,.n nn n n R c d r R c r d r =+=+为得到满足边界条件的解，叠加这些特解得到：()()()0,,n n u l u l f θθθ∞===∑。
热传导方程的推导与求解
热传导方程的推导与求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程，常用于研究热传导过程和热能传递的问题。
在物理学和工程学中，热传导是一种重要的热传递方式，热传导方程的推导与求解对于理解热传导现象和解决实际问题具有重要意义。
热传导方程基于热传导定律，即热量在热传导过程中沿温度梯度方向从高温区传向低温区。
假设我们考虑一个一维热传导问题，研究物体中某一点的温度随时间的变化。
我们使用x轴表示物体的空间坐标，t表示时间。
首先，我们需要建立热传导方程的基本框架。
根据热传导定律，我们可以得到热传导方程的一般形式：∂T/∂t = α ∂²T/∂x²其中，T表示温度，t表示时间，α表示热扩散系数。
该方程说明了温度随时间和空间的变化率与热扩散系数α和温度梯度的平方成正比。
热扩散系数α反映了物体对热传导的难易程度，是与物体材料性质相关的参数。
根据热传导方程的一般形式，我们可以继续推导具体问题的热传导方程。
以一根长为L的均匀杆以及杆的初始温度分布T(x,0)为例，我们可以推导出热传导方程的初始和边界条件。
首先，我们考虑初始条件，即t=0时刻的温度分布。
假设杆的初始温度分布为T(x,0) = f(x)，其中f(x)是一个已知函数。
那么在t=0时刻，温度分布满足T(x,0) = f(x)。
其次，我们需要确定边界条件。
根据实际问题的不同特点，边界条件可以是温度的固定值或者温度梯度的固定值。
以杆的两端温度固定为T(0,t) = T0和T(L,t) = TL为例，我们可以得到边界条件。
有了初始条件和边界条件，我们可以开始求解热传导方程。
一种常用的方法是使用分离变量法。
假设温度分布可以表示为T(x,t) = X(x)T(t)，其中X(x)是与x有关的函数，T(t)是与t有关的函数。
将该形式的温度分布代入热传导方程，我们可以得到两个方程：X(x)T'(t) = αX''(x)T(t)将这两个方程变量分离，并将常数项记为-k²，我们可以得到两个独立的常微分方程：T'(t)/T(t) = αk²，X''(x)/X(x) = -k²分别求解这两个常微分方程，我们可以得到X(x)和T(t)的解。
第二章热传导方程习题解答
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2015-11-27
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热传导方程及其定解问题的导出
解: 与第1题类似, 取导线轴为 x 轴, 在时刻 t1 到 t2 介于 [x1 , x2 ] 的导线段 的热量增加为: 从导线的其它部分流入的热量, 从侧面流入的热量以及电流通 过 [x1 , x2 ] 这段产生的热量之和, 即 ( ) ∫ t2 ∫ x 2 ∫ t2 ∫ x 2 ∫ x2 ∫ t2 ∂ ∂u i2 r k ωdxdt − k1 P(u − u0 )dxdt + 0.24 dxdt. ∂x ω t1 x1 ∂x t1 x1 x1 t1 因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为 ∂u k ∂2 u k1 P 0.24i2 r = − (u − u0 ) + . 2 ∂t cρ ∂x cρω cρω
Example 1.4
设一均匀的导线处在周围为常数温度 u0 的介质中, 试证: 在常电流作用下导 线的温度满足微分方程 ∂u k ∂2 u k1 P 0.24i2 r = − (u − u0 ) + , 2 ∂t cρ ∂x cρω cρω 其中 i 及 r 分别表示导体的电流及电阻, P 表示横截面的周长, ω 表示横截 面的面积, 而 k1 表示导线对于介质的热交换系数.
Ω Ω t2 t1
∂N dtdxdydz. ∂t
根据质量守恒, 并注意到 Ω, t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) ( ) ( ) ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N = D + D + D . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2015-11-27
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热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题热传导方程初边值问题引言•热传导方程是描述物质内部温度分布随时间变化的重要方程之一。
•初边值问题是研究热传导方程在给定初始条件和边界条件下的解的问题。
•本文将介绍热传导方程的基本概念以及求解初边值问题的方法。
热传导方程的基本概念•热传导方程描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。
•方程的形式为：∂u∂t =k⋅∂2u∂x2，其中u是温度分布函数，t是时间变量，x是空间变量，k是热传导系数。
•热传导方程的解依赖于初始条件和边界条件。
初边值问题的定义•初边值问题是指在给定初始条件和边界条件下求解热传导方程的解的问题。
•初始条件是指在t=0时刻的温度分布情况。
•边界条件是指在空间边界上温度的分布情况。
求解初边值问题的方法•求解初边值问题的方法多种多样，下面介绍两种常用的方法。
分离变量法•分离变量法是一种常用的求解热传导方程初边值问题的方法。
•首先将温度分布函数u(x,t)表示为两个变量x和t的乘积：u(x,t)=X(x)T(t)。
•然后将乘积形式的温度方程带入原方程，得到两个单独的方程：1 kX ∂2X∂x2=1T∂T∂t=−λ2。
•分别解这两个方程，得到X(x)和T(t)的表达式。
•最后将X(x)和T(t)相乘，即可得到最终的温度分布函数u(x,t)。
使用数值方法•当无法使用分离变量法求解热传导方程初边值问题时，可以使用数值方法进行求解。
•常见的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
•有限差分法将连续的空间和时间离散化为网格点，通过近似求解差分方程得到温度分布。
•有限元法将连续的空间离散化为有限个单元，建立代表温度分布的函数空间，通过求解变分问题得到温度分布。
结论•热传导方程初边值问题在工程和科学研究中具有重要的应用价值。
•本文介绍了热传导方程的基本概念和求解初边值问题的方法。
•分离变量法和数值方法是常用的求解初边值问题的方法。
•进一步深入研究和应用这些方法，可以帮助我们更好地理解和解决热传导问题。
偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψϕ（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(0002x u x u u a u t t t xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==00),(002t t t xx tt u u t x f u a u其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：ξξψϕϕd a at x at x t x u at x atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t⎰=);,(),(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧===-==),(002τττx f W W W a W t t t xx tt ，利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f at x W t a x t a x ⎰-+--=)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ⎰⎰-+--=0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：τξτξξξψϕϕττd d f ad a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++++-=0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21}③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(),,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==00),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：⎰⎰⎰⎰+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπϕπ224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t⎰=0);,,,(),,,(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M t a S t a r dS r f a t z y x W )()(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,,(41),,,(2ζηξπ综上所述，原初值问题的解为：dV ra rt f a dS t a dS t a t t z y x u atr S S M at M at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=),,,(414141),,,(222ζηξπψπϕπ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψϕ（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==00),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=⎰⎰⎰⎰∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξϕπ222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t⎰=);,,(),,(其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),,(00)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：⎰⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)(2222)()(),,(21),,(ηξηξηξπτ综上所述，原初值问题的解为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-=∑∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=at t a r Mr M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξϕπτ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为2022020)()(t a y y x x ≤-+-；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
热传导方程的数值求解
热传导方程的数值求解热传导方程是描述热传导现象的一种常见偏微分方程。
它在物理学、工程学以及其他领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论热传导方程的数值求解方法。
通过数值求解，我们可以得到方程的近似解，从而更好地理解和分析热传导过程。
热传导方程的一般形式可以写作：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$其中，$u$是温度分布随时间和空间变化的函数，$\alpha$是热扩散系数。
上式表示了温度分布随时间变化的速率与温度分布的曲率之间的关系。
要求解这个方程，并得到温度分布随时间变化的近似解，我们可以使用一些常见的数值方法。
其中，有限差分法是最常见的一种方法。
有限差分法是将求解区域离散化，将连续的空间和时间分割成有限的小区域。
通过在这些小区域上近似描述方程，我们可以用差分方程代替原方程，进而得到方程的数值解。
对于热传导方程，我们可以将时间和空间分割成一系列网格点。
在每个网格点上，我们可以用温度的数值逼近代替温度的连续函数值。
这样，我们可以得到在每个时间步长和空间步长上的温度逼近。
通过迭代计算，我们可以得到整个时间和空间范围内的温度近似解。
在具体的计算过程中，我们可以采用显式差分法或隐式差分法。
显式差分法是一种较为简单的方法，它根据当前时间步的温度逼近来计算下一个时间步的温度逼近。
然而，显式差分法需要满足一定的稳定性条件。
在一些情况下，显式差分法可能会导致数值解不稳定和发散。
为了克服这些限制，我们可以使用隐式差分法。
隐式差分法通过在时间步迭代过程中使用未知的时间步温度逼近，可以得到更加稳定的数值解。
然而，隐式差分法的计算复杂度较高，需要求解一个线性方程组。
除了有限差分法之外，还有其他的数值方法可以用于求解热传导方程。
例如，有限元法、辛方法等。
每种方法都有其优缺点和适用范围。
根据具体的问题和计算需求，选择适合的数值方法是至关重要的。
在实际求解过程中，还需要注意数值参数的选择。
热传导方程的初边值问题
例4 周期初始温度分布 求解热传导方程txx u u =,(,0)x t -∞<<+∞>给定初始温度分布(,0)1cos 2,()u x x x =+-∞<<+∞。
解4(,)1cos2t u x t e x -=+.初始高斯温度分布例 5求解定解问题22220,(,0)(,0),()kx u u a x t tx u x e x -⎧∂∂-=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩，其中常数0k >.解22()4(,)()x s a tu x t s eds ϕ--+∞-∞=⎰222()4x s ks a teeds --+∞--∞=⎰2222(41)24ka t s xs x a teds +-+-+∞-∞=⎰22222224(41)()41414x ka t ka t s xka t ka t a teds +-+++-+∞-∞=⎰222222(41)()41441k ka t x x s ka t a t ka t e eds+---+∞++-∞=⎰2241kx ka t e-+=2241kx ka t -+=.§3初边值问题设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布),(t x u 满足以下初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧≤<==≤≤=<<<<=-Tt t g t l u t g t u l x x x u T t l x t x f u a u xx t 0),(),(),(),0(,0),()0,(0,0),,(212ϕ 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解.将边值齐次化令())()()(),(121t g t g lxt g t x U -+= 再作变换U u V -=引入新的未知函数,易知它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤-=<<<<-=-T t t l V t V l x x U x x V T t l x U t x f V a V t xx t 0,0),(,0),0(,0),0,()()0,(0,0,),(2ϕ 我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-)3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 解 设),()(),(t T x X t x u =代入方程),()()()(2t T x X a x X t T ''=',)()()()(2x X x X t T a t T ''='这等式只有在两边均等于常数时才成立. 令此常数为λ-,则有,02=+'T a T λ （3.4）,0=+''X X λ （3.5）先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),)(x X 应当满足边界条件0)(,0)0(==l X X （3.6）情形A ：当0<λ时,方程（3.5）的通解可以写成12(),X x C C e =+要使它满足边界条件（3.6）,就必须,021=+C C,021=+---lle C eC λλ由于,011≠-=------llllee eeλλλλ只能,021==C C 故在0<λ的情况得不到非平凡解. 情形B ：当0=λ时,方程（3.5）的通解可以写成,)(21x C C x X +=要满足边界条件（3.6）,,0,0211=+=lC C C 即021==C C .)(x X 也只能恒等于零.情形C ：当0>λ时,方程（3.5）的通解具有如下形式：,sin cos )(21x C x C x X λλ+=由边界条件,0)0(=X 知,01=C 再由,sin )(2l C l X λ=可知,为了使,02≠C 就必须,0sin =l λ于是),2,1(, ==k k l πλ),2,1(,222 ===k lk k πλλ （3.7）这样就找到了一族非零解),2,1(,sin)( ==k x lk C x X k k π（3.8） 称x lk C x X k k πsin)(=为常微分方程边值问题 ⎩⎨⎧==<<=''-0)()0(0,)()(l X X lx x X x X λ 的固有函数（特征函数）.而222l k πλ=称为相应的固有值（或特征值）.将固有值k λ代入方程（3.4）中,,02222=+'T lk a T π 可得tl k a k k eB t T 2222)(π-= （3.9）于是得到一列可分离变量的特解),2,1(,sin),(2222==-k x lk eA t x u tl k a k k ππ （3.10） 由于方程（3.1）及边界条件（3.3）都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解,sin ),(),(112∑∑∞=-∞===k k tak k k x e A t x u t x u k λλ （3.11）其中222lk k πλ=.由（3.2）,为使在0=t 时,),(t x u 取到初值)(x ϕ,应成立,sinsin )0,()(11∑∑∞=∞====k k k k k x lk A xA x u x πλϕ （3.12）得出⎰=l k d lk l A 0sin )(2ξξπξϕ. （3.13） 得到问题（3.1）－（3.3）的解,sin ),(12∑∞=-=k k ta k x eA t x u k λλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d lk l A 0sin )(2ξξπξϕ.定理 若,0)()0(],,0[1==∈l l C ϕϕϕ则,sin ),(12∑∞=-=k k tak x e A t x u k λλ （3.14）是 ⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-)3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 的古典解（经典解）.证明 由],,0[l C ∈ϕ得ϕ在],0[l 上可积.02|||()sin |l k k A d l lπϕξξξ=⎰ M d l l=≤⎰ξξϕ0|)(|2 对任意,0>δ当δ≥t 时,成立22()21(),k k n m n m a t a k k m nA e x M e t xλλδλ++--∂≤∂∂（任意整数,0m n ≥） 又对任意,0>p 而级数21k a p kk eλδλ∞-=∑收敛,所以21(sin )k m n a tk m n k A e t xλ+∞-=∂∂∂∑在δ≥≤≤t l x ,0上一致收敛.于是21(,)()k m n m n a tk m n m n k u x t A e t x t xλ++∞-=∂∂=∂∂∂∂∑，即级数∑∞=-=1sin ),(2k k t a k x e A t x u k λλ,当δ≥≤≤t l x ,0时,关于x 及t 具有任意阶的连续偏导数,并且求偏导与求和可以交换.由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数),(t x u 在δ≥t 时,确实满足方程及边界条件.再由0>δ的任意性,得),(t x u 在0t >时满足方程及边界条件, 且)).,0(],0([),(+∞⨯∈∞l C t x u再证)0(),(),(lim 0000l x x t x u t x x ≤≤=+→→ϕ由条件),()0(],,0[1l l C ϕϕϕ=∈02|||()sin |l k k A x xdx l l πϕ=⎰02|()cos |||l k l k l x xdx a k l l k πϕππ'==⎰()222111sin ,2k a tk k k A ex Ca C a k k λ-⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭由Bessel 不等式,知()()22012()l k k a x dx lϕ∞='≤∑⎰, 从而得到∑∞=-1sin 2k k k ta x A ek λλ在0,0t x l ≥≤≤上一致收敛,1k k A ∞=∑在0x l ≤≤上一致收敛于()x ϕ,从而得),(t x u 在0,0t x l ≥≤≤上连续. 于是)0(),(sin sin lim ),(lim 0010100200l x x x A x A et x u k k k k k k ta t x x t x x k ≤≤===∑∑∞=∞=-→→→→++ϕλλλ.3.1初边值问题解的渐近性态定理 假设初始函数)(x ϕ满足,0)()0(],,0[1==∈l l C ϕϕϕ则当t趋于无穷大时,问题（3.1）－（3.3）的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当+∞→t 时,对一切],0[l x ∈,,0|),(|12→≤-t a Ce t x u λ其中C 是一个与解无的正常数. 证明 古典解是唯一的,∑∞=-=1sin ),(2k k t a k x e A t x u k λλ是唯一的古典解,其中222l k k πλ= ,2,1,sin )(20==⎰k d lk l A l k ξξπξϕ)(x ϕ在],0[l 上有界,设M x ≤)(ϕ,则有0022||()sin 2l lk k A d Md M l l lπϕξξξξ≤≤=⎰⎰ 当1≥t 时∑∞=-≤12),(k ta k k eA t x u λ∑∞=-≤122k t a k e M λ∑∞=---=1)(12122k ta ta k eMeλλλ∑∞=---≤1)(12122k ata k e Meλλλ∑∞=--≤1222122k kl a ta eMeπλta Ce12λ-≤.3.2非齐次方程求解方法—齐次化原理考虑非齐次方程⎪⎩⎪⎨⎧====-,0),(),0(,0)0,(),(2t l u t u x u t x f u a u xx t . 齐次化原理：若);,(τt x w 是下述问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥===<<>∂∂=∂∂=τττττττt t l w t w x f t x w l x t x wa t w t ,0);,();,0(),(|);,(0,,222 （*） 的解（其中0≥τ为参数）,则⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ是非齐次问题⎪⎩⎪⎨⎧≥===><<=-0,0),(),0(,0)0,(0,0,),(2t t l u t u x u t l x t x f u a u xx t 的解.证明 显然0),(),0(,0)0,(===t l u t u x u ,ττd t w t x f d t w t t x w tut t ⎰⎰∂∂+=∂∂+=∂∂00),();,(,0222222⎰∂∂=∂∂t d x w a x u a τ则u 满足),(222t x f x u a t u =∂∂-∂∂.),(t x u 是非齐次问题的解. 现在来求问题（*）的解.作变换τ-='t t 则问题（*）化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥'=+'=+'=<<>'=∂∂-'∂∂='0,0);,();,0(),(|0,0,00222t t l w t w x f w l x t x wa t w t τττττ （**） 我们已知问题（**）的解为,sin )();,(12∑∞='-='k k t a k x e B t x w k λττλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d lk f l B 0sin ),(2)(ξξπτξτ.于是,sin )();,(1)(2∑∞=--=k k t a k x e B t x w k λτττλ故⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ,sin )(1)(2∑⎰∞=--=k k tt a k x d e B k λτττλ是非齐次问题的解.初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧====-,0),(),0(),()0,(),,(2t l u t u x x u t x f u a u xx t ϕ的解为,sin )(sin ),(1)(122∑⎰∑∞=--∞=-+=k k t t a k k k ta k x d e B x eA t x u k k λττλτλλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d l k l A 0sin )(2ξξπξϕ,⎰=l k d lk f l B 0sin ),(2)(ξξπτξτ.3.3非齐次初边值问题的特征函数展开法⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤=≤<<<=-T t t l u t u l x x x u Tt l x t x f u a u xx t 00),(),0(,0),()0,(0,0),,(2ϕ （3.15） 方法步骤 把),(t x u ,方程的非齐次项),(t x f 和初值都按照特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin展开：,sin)(),(1∑∞==k k x l k t T t x u π ,sin)(),(1∑∞==k k x lk t f t x f π ,sin)(1∑∞==k k x l k x πϕϕ 由特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin在区间],0[l 上的正交性,可得 ⎰=l k xdx l k t x f l t f 0sin ),(2)(π, ⎰=l k xdx l k x l 0sin )(2πϕϕ.而函数)(t T k 暂时还是未知的.为确定)(t T k ,把上述展开式问题（3.15）代入方程和初始条件,由特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin的完备性,从而得到)(t T k 适合下列微分方程和初始条件. ,sin )(sin )()()(1122∑∑∞=∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'k k k k k x l k t f x l k t T l k a t T πππ ,sin sin )0(11∑∑∞=∞==k kk k x l k x l k T πϕπ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧===+',2,1,)0()()()()(22k T t f t T l k a t T k k k k kϕπ)()(2222)()(t f e t T ek t lk a k t l k a ππ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 从0到t 积分⎰=-tlk a k k k t lk a d ef T t T e)()(2222)()0()(τττππ ⎰---+=tt lk a k t lk a k k d ef et T 0)()()(2222)()(ττϕτππ故非齐次初边值问题解),(t x u 的表达式为,sin )(sin ),(1)(122∑⎰∑∞=--∞=-+=k k tt a k k k a k x d e f x et x u k kλττλϕτλλ这与前面的结果一致. 能量衰减估计⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-00),(),0(,0),()0,(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 用u 乘以方程两端,在],0[l 上积分,0)(02⎰=⋅-⋅lxxtdx u ua u u220011,22lll t d u udx u dx u dx t dt∂⋅==∂⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=+-=-lx lx x lx l xx dx u a dx u u a u u a udx u a 022020202,,20222⎰⎰-=l x l dx u a dx u dt d ⎰=xx d t u t x u 0),(),(ξξ⎰≤x x d t u t x u 0),(),(ξξ⎰≤lx d t u 0),(ξξ2/1022/1021),(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰l l x d d t u ξξξ2/10221),(⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰l x dx t x u l ,⎰≤lx d u l t x u 022),(ξ,⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤l x ll x l dx u l dx dx u l dx u 02200202, ⎰⎰-≤-l l x dx u l dx u 022021 于是,2022202⎰⎰-≤ll dx u la dx u dt d002222≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰l tl a dx u e dt d ,0)0,(0202222≤-⎰⎰lltl a dx x u dx u e ,⎰⎰⎰--=≤lt l a ltl a ldx x edx x uedx t x u2202202)()0,(),(2222ϕ.定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。
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§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （2.1）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题(2.1)也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.2.1 Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。
将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。
定义2.1 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞-- (2.2)有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理2.1 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ (2.3)公式(2.3)称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此(2.3)亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理2.1的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理2.2 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m 则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeAA f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g x y i iyx⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21)()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义2.2 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈= 那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n =⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式. 定理2.2（反演公式）若)()()(1nnR L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=n Rxi nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换. 定理2.2表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f =其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （2.5） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i ieAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.2.2 Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （2.6）在方程（2.6）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dtu d 其中 ⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=tt a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=t t a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （2.7） 由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则t a x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a e e t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]ta et x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （2.8）同理我们有()()g f t gf e f t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（2.9）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理2.3 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xuxu a t u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,22x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u atu ),()0,(0,),,(222ϕ的解。