前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案大纲非数学类
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
大学生数学竞赛(非数)试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)te t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy xy D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=3011-------------5分.三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. 解：)23(232123ln 0ln 0xa x ax x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aax x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x +=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(大纲)非数学类,DOC
中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
123.4567891.2.3.4.5.6.7.)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '=''),(y y f y '=''.4.5. 6. 7. 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss )公式、斯托克斯(Stokes )公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz )判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数7. 8. [-l ，l]1解:令2．设(f 0解:令⎰=2d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
第三届全国大学生数学竞赛非数学类预赛试卷评分标准
2
……………………………2 分 ………………………4 分
sgn( xy 1)dxdy dxdy
D D3
dxdy 2 4 ln 2 .
………………………6 分
D2 D3
4. 求幂级数
2n 1 2 n 2 2n 1 的和函数，并求级数 的和. x 2 n 1 n 2 n 1 2 n 1
…………………2 分
|d | a2 b2 c2
设平面 Pu : u .Βιβλιοθήκη …………………………5 分
ax by cz a2 b2 c2
第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准 （非数学类，2011）
一、 （本题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）计算题
(1 x) x e 2 (1 ln(1 x)) 1. lim . x 0 x
解：因为
2
(1 x) e (1 ln(1 x)) e = x
n
2. 如果存在正整数 p，使得 lim( an p an ) ，则 lim
an . n n p
证明：1. 由 lim an a ， M 0 使得 | an | M ，且 0, N1 ，当 n > N1 时，
n
2 N ( M | a |) 因为 N 2 N1 ，当 n > N2 时， 1 . n 2
2 2 2
I f ( ax by cz ) dS . 求证： I 2 f ( a 2 b 2 c 2 u )du
1
1
解：由 的面积为 4 可见：当 a, b, c 都为零时，等式成立. 当它们不全为零时, 可知：原点到平面 ax by cz d 0 的距离是
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解 令，则，，（*） 令，则，，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解 令，则，,解得。
因此。
3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu u t-=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-⎰+--=0142d )21(2(*)t t t ⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t )(x f ⎰--=222d )(3)(x x f x x f =)(x f ⎰=2d )(x x f A23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰34=A 3103)(2-=x x f 2222-+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-2222-+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面 的切平面方程是。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。
全卷满分100分。
考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1) xx xx x x 222220sin cos sin lim -→解：x x x x x x 222220sin cos sin lim -→4222220cos sin lim x xx x x x x -+-=→2040)c o s 1)(cos 1(lim ))(sin (sin lim x x x x x x x x x x +-++-=→→221261?+?-=32=(2) [()]61311tan 21lim x e xx x x x +--++∞→解： [()]61311tan 21lim x e xx x xx +--++∞→ （令x t 1=）362201)t a n 21(l i m t t e t t t t t +--+=+→3620111)21(lim t t e t t t +-+-+=+→ 3201)21(l i m t e t tt -+=+→2206)22(lim te t t t t ++=+→+∞=(3) 设函数),(y x f 有二阶连续偏导数, 满足0222=+-yy y xy y x yy x f f f f f f f 且0≠y f ,),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数. 求22xy解：依题意有，y 是函数，x 、z 是自变量。
将方程),(y x f z =两边同时对x 求导， x y ffyx+=0，则 yx f f x y-=??，于是 ()yx f f x x y -=??222)()(yyy yx x yxxx y f x yf f f x y f f f ??+-??+-=2)()(yyx yy yx x yx yxxx y f f f f f f f f f f f ----=3222yyyy xy y x yy x f f f f f f f f +--=0=(4) 求不定积分()dx e xx I x x 111+-+=?解：()dx e x x dx eI xx xx 12111++-+=?xx x x xdedx e 11+++=?()xx xe d 1+?=C xexx +=+1(5) 求曲面az y x =+22和222y x a z +-=)0(>a 所围立体的表面积解：联立az y x =+22，222y x a z +-=，解得两曲面的交线所在的平面为a z =，它将表面分为1S 与2S 两部分，它们在xoy 平面上的投影为222:a y x D ≤+，在1S 上 dxdy a y a x dS 2222441++=dxdy a y x a 2222)(4++=在2S 上 dxdy yx y y x x dS 2222221++++=dxdy 2= 则 d x d y ay x a S D )2)(4(2222+++=??22202024a r d r a r a d a πθπ+=?? )26155(2+-=a π 二、（本题13分）讨论dx xx x x220sin cos α+?∞+的敛散性，其中α是一个实常数. 解：记 xx x xx f 22sin cos )(α+=① 若0≤α，)1(2)(>?≥x xx f ；则dx x x x x 220sin cos α+?∞+发散② 若20≤<α，则11≤-α，而)1(2)(1≥?≥-x x x f α；所以dx xx x x220sin cos α+?∞+发散。
第3届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类)
专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.题 号 一 二 三 四 五 六 总分满 分 30 13 13 16 12 16 100 得 分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1) 222220sin cos lim .sin x x x x x x→−(2) 31/1lim tan e 2xx x x x →+∞⎡⎛⎞+−⎜⎟⎢⎝⎠⎣得 分 评阅人大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网(3) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数,满足2220x yy x y xy y xx f f f f f f f −+=，且，0y f ≠(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所确定的函数. 求22yx∂∂.(4) 求不定积分11(1e x x I x d x +=+−∫x ．大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：(5) 求曲面22x y a +=z和2z a =−(a > 0)所围立体的表面积.二、（本题13分）讨论22cos sin xdx x x xα+∞+∫的敛散性，其中α是一个实常数.得 分评阅人大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网三、（本题13分）设在)(x f ),(∞−∞上无穷次可微，并且满足: 得 分存在，使得,且0>M ()|()|,(,),(1,2,k f x M x k ≤∀∈−∞∞=")10,(1,2,)2n f n ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠". 求证：在),(∞−∞上，. 0)(≡x f 评阅人四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分） 得 分设D 为椭圆形22221(0)x y a b a b+≤>>，面密度为ρ的均质薄板；l 为通过椭圆焦点(,（其中0)c −22c a b 评阅人2=−）垂直于薄板的旋转轴. 1. 求薄板D 绕l 旋转的转动惯量J ；2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：.五、（本题12分）设连续可微函数由方程(,)z z x y =(),0F xz y x yz −−=（其中有连续的偏导数）唯一确定,L 为正向单位圆周. 试求：(,)F u v 22(2)(2)LI xz yz dy xz yz dx =+−+∫v .得 分评阅人大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分） 得 分2e (0)1x dy xy x dx y ⎧−=⎪⎨⎪=⎩评阅人(1) 求解微分方程.1220lim ()12n n f x dxn x π→∞=+∫(2) 如为上述方程的解，证明： . ()y f x =大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网。
第三届全国大学生数学竞赛非数学决赛参考解答
π
0
dϕ ∫ b 2t 2 sin 2 ϕ abtdt =
0
1
∫
π
0
(1 − cos 2ϕ )dϕ = ab3
π 8
….. 6 分 3b3 − 15a 2b . 5a 3 − 9ab 2
2. 设 J 固定，b(a) 是 J =
abπρ (5a 2 − 3b 2 ) 确定的隐函数.则 b′( a ) = 4
1．求薄板 D 绕 l 旋转的转动惯量 J； 2．对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值. 解： 1. J = ∫∫ ((c + x)2 + y 2 ) ρ dxdy = 2 ρ ∫ dϕ ∫ (c 2 + 2act cos ϕ + a 2t 2 cos 2 ϕ + b2t 2 sin 2 ϕ )abtdt
⎛ 18 J ⎞ 4 ⎛ 2π J ⎞ 2 πρ 3 abπρ a=⎜ a b≤J = (5a 2 − 3b 2 ) 可知，当 a → +∞ 时， ⎟ ，S =⎜ ⎟ ；由 2 4 ρπ ρ 5 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
1
1
b = O(a −3 ) ，所以 lim S = 0 .
a →+∞
…..14 分 由 此 可 知 ， 椭 圆 的 面 积 不 存 在 最 大 值 和 最 小 值 ； 且
f ( x) = ∑
n =0 ∞
⎛ 1 ⎞ f ⎜ n ⎟ = 0, ⎝2 ⎠
(n = 1,2, ") .
f ( n ) ( 0) n x . n!
(∗) ….. 2 ⎝2 ⎠
⎛ 1 ⎞ (n = 1,2, ") ，得 f (0) = lim f ⎜ n ⎟ = 0 ， n →∞ ⎝2 ⎠
最新前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(大纲)非数学类资料
中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler )方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
大学数学竞赛试题及答案非数学类
大学数学竞赛试题及答案非数学类大学数学竞赛试题及答案（非数学类专业）一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(2) \)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 52. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 以下哪个是等差数列1, 4, 7, ...的第10项？A. 27B. 28C. 29D. 304. 已知\( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. 05. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：1. B2. B3. A4. A5. A二、填空题（每题3分，共15分）6. 圆的周长公式是 \( C = \) ________ 。
7. 已知\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a > b \)，若\( a \)和\( b \)的最大公约数是3，最小公倍数是90，则\( a \)和\( b \)的值分别是________ 和 ________ 。
8. 已知\( \log_{10}100 = 2 \)，求\( \log_{10}1000 \)的值是________ 。
9. 将\( 0.\overline{3} \)（即0.333...）转换为分数形式是________ 。
10. 一个等比数列的首项是2，公比是3，求第5项的值是________ 。
答案：6. \( 2\pi r \)7. 15, 68. 39. \( \frac{1}{3} \)10. 162三、解答题（每题10分，共20分）11. 证明：对于任意实数\( a \)和\( b \)，不等式\( a^2 + b^2\geq 2ab \)总是成立。
第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类,2012)
第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类,2012)考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分题号一二三四五六总分满分301313161216100得分注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.姓名身份证号所在院校年级专业.............................密..................................封..................................线..................................得分评阅人一、(本大题共5小题，每小题各5分，共25分)计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1)lim x →0sin 2x −x 2cos 2x x 2sin 2x .(2)lim x →+∞[(x 3+x 2−tan 1x )e 1/x −√1+x 6].(3)设函数f (x,y )有二阶连续偏导数，满足f 2x f yy −2f x f y f xy +f 2y f xx =0，且f y =0，y =y (x,z )是由方程z =f (x,y )所确定的函数.求∂2y ∂x 2.(5)求不定积分I=∫(1+x−1x)e x+1x dx.(6)求曲面x2+y2=az和z=2a−√x2+y2(a>0)所围立体的表面积.得分评阅人二、(本题13分)讨论∫+∞xcos2x+xαsin2xdx的敛散性，其中α是一个实常数.姓名身份证号所在院校年级专业...........................密..................................封..................................线..................................得分评阅人三、(本题13分)设f (x )在(−∞,+∞)上无穷次可微，并且满足：存在M >0，使得 f (k )(x ) ≤M,∀x ∈(−∞,∞),(k =1,2,···)，且f (12n )=0,(n =1,2,···).求证：在(−∞,∞)上，f (x )≡0.得分评阅人四、(本题16分，第1小题6分，第二小题10分)设D为椭圆形x2a2+y2b2≤1(a>b>0)，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点(−c,0)（其中c2=a2−b2）垂直于薄板的旋转轴.1.对薄板D绕l旋转的转动惯量J;2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.姓名身份证号所在院校年级专业...........................密..................................封..................................线..................................得分评阅人五、(本题16分)设连续可微函数z =z (x,y )由方程F (xz −y,x −yz )=0（其中F (u,v )有连续的偏导数）唯一确定，L 为正向单位圆周.试求：I = L(xz 2+2yz )dy −(2xz +yz 2)dx.得分评阅人六、(本题共16分，第1小题6分，第二小题10分)(1)求解微分方程{dydx−xy=xe x2 y(0)=1.(2)如y=f(x)为上述方程的解，证明：lim n→∞∫1nn2x2+1f(x)dx=π2.。
第3届全国大学生数学竞赛决赛试卷部分答案(非数学类)
第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。
全卷满分100分。
考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1)222220sin cos lim sin x x x x x x→−22222222224004200sin cos sin cos lim lim sin (sin )(sin )(1cos )(1cos )112lim lim 22623x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→−−+−=−+−+=+=−+= 解：(2)1311lim tan 2x x x x e x →+∞⎡⎛⎞+−⎜⎟⎢⎝⎠⎣1231323302232263226320033(1tan )1112:lim 1tan lim 2(1tan )1(1tan )122=lim =lim 2(1tan )2x t t x x t t t t t t t t t e x e xx x t t t t t e t t t e t t t t t t e =→+∞→→→+−−⎡⎛⎞+−⎯⎯⎯→⎢⎜⎟⎝⎠⎣+−−−+−−−=+∞⎡⎤+−⎢⎣令解(3)设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数,满足2220x yy x y xy y yy f f f f f f f −+=且0y f ≠,(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所确定的函数.求22y x∂∂2222223(,)0=()()()20xx y yy xx yx x yx yy x yy x y xx x yx x yx x yyy y xx x yx x yy y y y x z z f x y x f y y f f x x f y y f f f f f f f y x x x x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f =∂∂+⇒=−∂∂∂∂+−+∂∂∂∂=−=−∂∂−−+−+=−=−=解：依题意有，是函数，、是自变量将方程两边同时对求导(4)求不定积分11(1)x x I x e dx x+=+−∫111221111211111111(1)=(1)[1(1)]1(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x I x e dx x e dx e dx x x x xe dx e dx e dx xde xe dx xe e dx xe C+++++++++++=+−+−=+−=+−=+=+−=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫解：(5)求曲面22x y az +=和20)z a a =>所围立体的表面积二、（本题13分）讨论220cos sin x dx x x xα+∞+∫的敛散性，其中α是一个实常数.三、（本题13分）设()f x 在(,)−∞+∞上无穷次可微，并且满足:存在0M >，使得()()(,),(1,2)k f x M x k ≤∀∈−∞+∞=L ，,且1()0,(1,2)2nf n ==L 求证：在(,)−∞+∞上，()0f x ≡()2(0)(0)()(0)(0)2!!()(1)!n n nx f f f x f f x x x n x M x M e n ′′′=+++++≤+++=−L L L L 四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）设D 为椭圆形22221(0)x y a b a b+≤>>，面密度为ρ的均质薄板；l 为通过椭圆焦点(,0)c −(其中222c a b =−)垂直于薄板的旋转轴.1.求薄板D 绕l 旋转的转动惯量J ；2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.五、（本题12分）设连续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz −−=（其中(,)0F u v =有连续的偏导数）唯一确定,L 为正向单位圆周.试求：22(2)(2)LI xz yz dy xz yz dx =+−+∫ 解：由格林公式22222(2)(2)((22)(2222()2()L D D DQ P I xz yz dy xz yz dx d x yz z z z z z z xzy x z yz d z xz y x yz d x x y y x y σσσ∂∂=+−+=−∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++=++++∂∂∂∂∂∂∫∫∫∫∫∫∫ 又：连续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz −−=两边同时对x 求偏导数：121221((10zF F z z z F z xF y x x x yF xF +∂∂∂++−=⇒=∂∂∂−两边同时对y 求偏导数：121212(1)(0F zF z z z F xF z y y y x xF yF +∂∂∂−+−−=⇒=∂∂∂−代入上式：2121221122221212121221122222212121*********()2()2()222DDD D DzF F F zF I z xz y x yz d yF xF xF yF xz F xzF yzF yF xF xzF yzF yz F z d yF xF xF yF xz F yF xF yz F xF yF z yF xF z d z d yF xF yF xF d σσσσσπ++=++++−−++++++=++−−+−−−+−=+=+−−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）(1)求解微分方程2(0)1xy xy xe y ⎧′−=⎪⎨=⎪⎩(2)如()y f x =为上述方程的解，证明1220lim ()12n n f x dx n x π→∞=+∫21220lim 1x n ne dx n x →∞+∫222222211110220001012100arctan arctan 2arctan 1arctan arctan 2[0,1]arctan arctan arctan arctan arctan (1)arctan x x x x x x x ne dx e d nx e nx xe nxdx n x e n n xe dx e n n e dx e n n e e n e n ξξξξξ==−+=−∈=−=−=−−∫∫∫∫∫ 其中21220lim =lim[arctan (1)arctan ][0,1]1=(1)222x n n ne dx e n e n n x e e ξξπππ→∞→∞=−−∈+−−=∫其中。
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中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7. 初等函数的幂级数展开式.8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l ，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=102d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=2d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故y y y f x '=''+)(1，即))(1(1y f x y '-='，因此 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim和函数)(x f 连续知，0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ，因此，当0≠x 时，⎰=xu u f x x g 0d )(1)(，故当0≠x 时，xx f u u f x x g x )(d )(1)(02+-='⎰， 这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的，即知 因此 （2）因 故 由 知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程 的三个解，则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ，得 即 因此45-=a ,23=b ,1=c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+='， 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由)1()1(nC e u n e n +==知，0=C ， 于是下面求级数的和：令 则 即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。