高等数学第三章测试题

高等数学第三章习题

一、 填充下列各题：

1.=--→x

x

x x πtan 3

3

lim

2

23

51

__________________.

2.=+∞

→a

x x

x ln lim

_______________________(a>0).

3.()=-+→)

1ln(1

2

3cos 2lim x

x x ___________________.

4.=--→x

x x x x sin tan lim

__________________________.

5.函数233x x y -=在_________________单减.

6.函数322312)(x x x x f -+=的极小值是_________________.

7.若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，则)(x f 在[a,b]上单调减小的充分（非必要）条件是__________________________________.

8. 若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且_______________________________，则

)(x f 在[a,b]上的曲线是凹的.

9.设)(x f 在极值点0x x =二阶可导，则在直角坐标系中)(x f y =所表示的曲线在

))(,(00x f x 处的曲率等于____________________________________.

10.设)(x f 在点0x x =处具有不为零的三阶导数且________________________，则点

))(,(00x f x 必定是曲线)(x f y =的拐点.

二、 选择题：

1.设3

2

)2()1(--=x x y ，则（ ）

(A) x=1是该函数的极小值点 (B)x=2是该函数的极大值点 (C)5

7=

x 是该函数的极小值点 (D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标

2.设g(x)在),(+∞-∞严格单调减，又)(x f 在0x x =处有极大值，则必有（ ）： (A)g[f(x)]在0x x =处有极大值 (B) g[f(x)]在0x x =处有极小值

(C) g[f(x)]在0x x =处有最小值 (D) g[f(x)]在0x x =既无极值也无最小值

3.设)(x f 在0x x =处附近四阶连续可导且)()()(0///

0//

0/x f

x f x f ===0,)

(0)

4(x f

为正，则有结论（ ）

(A))(x f y =在0x x =有极大值 (B) )(x f y =在0x x =有极小值 (C) )(x f y =在0x x =有拐点 (D) )(x f y =在0x x =无极值也无拐点 4.设函数bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极小值-2，则必（ ） (A)a=-4,b=1 (B)a=4,b=-7 (C)a=0,b=-3 (D)a=b=1 5.使不等式3

arctan 3

x

x x +

>成立的最大范围是（ ）

(A)+∞<

(C) 01<≤-x (D) +∞<<∞-x

三、试解下列各题：

1. 设32)1()1()(+-=x x x f ，求)(/x f .

2. 求证：a b a b -≤-arctan arctan

3. 求极限)0,0()ln(lim

2>>+++∞

→a b nx

m be a x

x .

4. 证明当20<+--x x x x .

5. 比较π

e 与e π的大小.

6. 若f(x),g(x)在[a,b]可导且0)(/

≠x g ,试证存在),(b a ∈ξ使

)

()()

()()()(//

ξξξξg f b g g f a f =--.

四、设f(x)可导，求证f(x)的两个零点之间一定有)()(/

x f x f +的零点.

五、设对任意x 、y )0(≠xy 有f(xy)=f(x)+f(y)且在x=1点处a f =)1(/

存在，试证当0≠x 时，

x

a

x f =)(/

.