高等数学第三章测试题

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高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000二、填空题 1、__________________ey 82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝．5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝．6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为，最小值为．7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

高数阶段练习第三章参考答案

第三章微分中值定理及导数的应用一、选择题1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x→+为（） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（）A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>'C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->'3. 设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在4．设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( )A. 一定没有实根B. 最多只有一个实根C. 最多有两个互异实根D. 最多有三个互异实根5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim ()x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件。

6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （）A. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 是其图形的拐点B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。

精选-高一上册数学第三章测试题及答案：函数的应用-文档资料

高一上册数学第三章测试题及答案：函数的应用函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。

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1.设U=R，A={x|x0}，B={x|x1}，则A?UB=( )A{x|01} B.{x|0C.{x|x0}D.{x|x1}【解析】 ?UB={x|x1}，A?UB={x|0【答案】 B2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=( )A.log2xB.12xC.log12xD.2x-2【解析】 f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2.f(x)=log2x，故选A.【答案】 A3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是( )A.f(x)=ln xB.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=ex【解析】∵y=1x的定义域为(0，+).故选A.【答案】 A4.已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)=12x;当x4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=( )A.18B.8C.116D.16【解析】 f(3)=f(4)=(12)4=116.【答案】 C5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上( )A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2，函数在[3,5]上只有一个零点4.【答案】 B6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是( )A.RB.[8，+)C.(-，-2]D.[-3，+)【解析】设u=x2+6x+13=(x+3)2+44y=log12u在[4，+)上是减函数，ylog124=-2，函数值域为(-，-2]，故选C.【答案】 C7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )A.y=x2+1B.y=|x|+1C.y=2x+1，x0x3+1，x0D.y=ex，x0e-x，x0【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数，而y=x3+1在(-，0)上为增函数.故选C.【答案】 C8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C(2,3) D.(3,4)【解析】由函数图象知，故选B.【答案】 B9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.a-3B.a3C.a5D.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12，要使函数在(-，4)上为减函数，只须使(-，4)?(-，-3a+12)即-3a+124，a-3，故选A.【答案】 A10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对C，当x=1时，y=100;当x=2时，y=200;当x=3时，y=400;当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选C. 【答案】 C11.设log32=a，则log38-2 log36可表示为( )A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.1+3a-a2【解析】 log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】 A12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+)上是减函数.若f(lg x)f(1)，则x的取值范围是( )A.110，1B.0，110(1，+)C.110，10D.(0,1)(10，+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+)上递减，则f(x)在(-，0)上递增，f(lg x)f(1)?01，或lg x0-lg x1?110，或0-1?110，或110x的取值范围是110，10.故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若?UA={1}，则实数a的值是________.【答案】 -1或214.已知集合A={x|log2x2}，B=(-，a)，若A?B，则实数a 的取值范围是(c，+)，其中c=________.【解析】 A={x|04，即a的取值范围为(4，+)，c=4.【答案】 415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+)，根据函数y=23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+).【答案】 [1，+)16.有下列四个命题：①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3}，B={x|ax-1=0，aR}，若AB=A，则a的取值集合为{-1，13};④集合A={非负实数}，B={实数}，对应法则f：求平方根，则f是A到B的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-，2)(2，+)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1}，当x1时，y0，即命题②正确;因为AB=A，所以B?A，若B=?，满足B?A，这时a=0;若B?，由B?A，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1【解析】 A={x|x-2，或x5}.要使AB=?，必有2m-1-2，3m+25，3m+22m-1，或3m+22m-1，解得m-12，m1，m-3，或m-3，即-121，或m-3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x[-5,5].(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】 (1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，当x=1时，f(x)的最小值为1，当x=-5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a，∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，-a-5或-a5.故a的取值范围是a-5或a5.19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程：log3(6x-9)=3.【解析】 (1)原式=25912+(lg5)0+343-13=53+1+43=4.(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27，6x=36=62，x=2.经检验，x=2是原方程的解.20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?【解析】设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x440.118(xN).去乙商场花费80075%x(xN*).当118(xN*)时y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，当x18(xN*)时，y=440x-600x=-160x，则当y0时，1当y=0时，x=10;当y0时，x10(xN).综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;【解析】 (1)由1+x0，1-x0，得-1函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称，对于任意的x(-1,1)，有-x(-1,1)，f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)f(x)为奇函数.22.(本小题满分14分)设a0，f(x)=exa+aex是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明：f(x)在(0，+)上是增函数.【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是R上的偶函数，f(x)-f(-x)=0.小编为大家提供的高一上册数学第三章测试题及答案，大家仔细阅读了吗？最后祝同学们学习进步。

高数(AT)第三章自测卷解答

令f '(x) 0，解得x1 1
而当x2 0时，f (x)的导数不存在。
以x1 1, x2 0为分点,将定义域分为三个区间.
(-,0) (0,1) (1, )
（3）列表
f '(x) x 1 3x
x （，0） 0 （0，1） 1 （1，）
3x

0

x 1
当 x
x 1, x 0
小值；当 x ___0_____ 时
___e____
，
时，
y ___1_____ 为极大值.
9、设,
x3x, x 0 f (x)
求f(x)的极值.
x 1, x 0
解 x0是函数的分段点（连续但不可导）.
当x<0时, f (x)1; 当x>0时, f (x)3x 3x (ln x 1).
f
n 1

x
=Hale Waihona Puke 1n n! 1+ xn+1
.
故
ln 1 x x x2
2

x3 3
L
1n1
xn n
1n n+11+ xn+1
x n 1.
9、确定曲线 y ln x2 1 的凹、凸区间及拐点.
二、选择题
1、设函数 f (x) 有连续的二阶导数，且 f (0) 0，
f (0) 1, f (0) 2
则
lim
x0
f (x) x x2 =( C
).
A、不存在; B、0； C、-1；
D、-2。
lim lim lim x0
f

智慧树-高等数学1-网课章节测试答案

求，（）．
A.
；
B.
.
C.
；
D.
；
正确
本题总得分2分
总分
第1部分
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第五章测试
得分:
10
评语:
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第一章测试
1
【单选题】 (2分)
下列命题正确的是（）。
A.
无界变量一定是无穷大量
B.
无穷小量是绝对值很小很小的数
C.
无穷小量的倒数是无穷大量
D.
无穷小量是以零为极限的变量
正确
本题总得分2分
2
【单选题】 (2分)
计算：（）.
A.
B.
0
C.
1
D.
2
正确
本题总得分2分
3
【单选题】 (2分)
A.
在点处连续
B.
极限不存在
C.
在点处可导
D.
在点处有定义
正确
本题总得分2分
5
【单选题】 (2分)
若，则 = ( ).
A.
B.
C.
D.
正确
本题总得分2分
6
【单选题】 (2分)
如果，那么 = ( ).
A.
B.
C.
D.
正确
本题总得分2分
总分
第1部分
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高数第三章习题

习题3-11. 验证：函数()lnsin f x x =在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.证：()lnsin f x x =在区间π5π[,]66上连续，在π5π(,)66上可导，且π5π()()ln 266f f ==-，即在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin xf x x x'===得ππ5π(,),266x =∈故取π2ξ=，可使()0f ξ'=.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的ξ？⑴ 2, 01,() [0,1] 0, 1,x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩；⑵ ()1, [0,2] f x x =-；⑶ sin , 0π,() [0,π] . 1, 0,x x f x x <≤⎧=⎨=⎩解：⑴ ()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<，即在（0，1）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.⑵ 1, 12,()1, 0 1.x x f x x x -≤<⎧=⎨-<<⎩(1)f '不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件. 而1, 12,()1, 0 1.x f x x <<⎧'=⎨-<<⎩即在（0，2）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π2ξ=，使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的π2ξ=. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.3. 函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.4. 验证：拉格朗日定理对函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上的正确性.验证：因为()f x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+ 解得ξ=，即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立. 5. 如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：()()f b f a >.证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ∃∈<<，使得()()()0f x f a f x aξ''-''=>-,于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >6. 设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.7. 已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.证明：令()()e ,xF x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e 0f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈8. 证明恒等式：222arctan arcsinπ (1).1xx x x+=≥+ 证明：令22()2arctan arcsin 1xf x x x =++,22222222(1)22()1(1)22011x x xf x x x x x+-⋅'=++=-=++ 故()f x C ≡，又因(1)πf =,所以()πf x =,即222arctan arcsin π.1xx x +=+ 9. 利用麦克劳林公式，按x 乘幂展开函数23()(31)f x x x =-+.解：因为()f x 是x 的6次多项式，所以(4)(5)(6)23456(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++计算出：(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-， (4)(5)(6)(0)720,(0)1080,(0)720.ff f ==-=故23456()193045309.f x x x x x x x =-+-+-+ 10. 利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x→∞-+ 解：⑴34sin 0()3!x x x x =-+343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1limlim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →， 2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-= 11. 求下列函数在0x x =处的三阶泰勒展开式：⑴04);y x == ⑵ 0(1)ln (1).y x x x =-=解：⑴ 1357(4)222211315 , , ,.24816y x y x y x y x ----''''''==-==-所以113(4) , (4) ,(4)432256y y y ''''''==-=(4)7215[4(4)]16[4(4)]y x x θθ+-=-+-423721115(4)(4)(4)(4) (01).464512128[4(4)]x x x x x θθ----+--<<+-⑵2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+234434524(1)ln (1)ln[1(1)](1)(1)(1) (1){(1)}234[1(1)](1)(1)(1) (1).234[1(1)]y x x x x x x x x x x x x x x x θθ∴=-=-+----=---+-+----=--+-+-12. 求函数()e xf x x =的n 阶麦克劳林公式.解：21e 1e 2!(1)!!n n x x x x x x n n θ-=+++++-312()e e (01)2!(1)!!n n xxx x x f x x x x n n θθ+∴==+++++<<- 习题3-21.选择题：（1）()arctan 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则lim ()x f x →+∞是哪种类型未定式的极限？（） A.∞-∞ B.0∞⋅ C.∞+∞ D.∞⋅∞ （2）220001cos (1cos )sin 1limlim lim 1(1)22x x x x x x x x x →→→'--==='++，则此计算（）.A.正确B.错误，因为21cos lim 1x x x →∞-+不是00型未定式C.错误，因为20(1cos )lim(1)x x x →'-'+不存在D.错误，因为201cos lim 1x x x →-+是∞∞型未定式（3）0()lim(()x f x A g x →'=∞'或为）是使用洛必达法则计算未定式0()lim ()x f x g x →的（）. A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件（4）下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）. A.201sin limsin x x x x→ B.lim arctan 2x x x π→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭C.sin lim sin x x x x x →∞-+D.2sin lim x x x x →∞ （5）434334lim 22x b x bx x bx b x b →-=-+-（）.（其中b 为非零常数）A. 0B.∞C. 1D. 14-（6）2lim(sec tan )x x x π→-=（）. A.-∞ B.+∞ C.1 D.0 （7）0ln sin 5lim ln sin 2x xx+→=（）.A.52B.25 C.1 D.∞2. 利用洛必达法则求下列极限：⑴ πsin 3limtan 5x x x →; ⑵ 3π2ln sin lim (2)x xx π→-;⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin limx a x ax a→--; ⑸ lim mmn n x a x a x a →--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x →+∞+; ⑺ 0ln lim cot x xx +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→;⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )xx x+→;解：⑴ 原式=2π3cos33lim5sec 55x x x →=-. ⑵ 原式=2ππ221cot 1csc 1limlim 4π-2428x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.⑷ 原式=cos limcos 1x a xa →=.⑸ 原式=11limm m nn x a mx m a nx n---→=. ⑹ 原式=22221()11lim lim 111x x x x x x x x x →+∞→+∞⋅-++==+-+.⑺ 原式=22001sin lim lim 0csc x x x x x x++→→=-=-. ⑻ 原式=001ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x++→→==-⋅. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1=lim 2x x x x→--204e e 3=lim22x x x →-=. ⑽ 原式=0lim(1ln )xx x +→- 令(1ln )xy x =-00020011()ln(1ln )1ln lim ln lim lim111lim lim 011ln x x x x x x x x y x xx x x+++++→→→→→⋅---==-===-- ∴原式=0lim e 1x y +→==. 3. 设21lim51x x mx nx →++=-,求常数m , n 的值. 解：要使21lim51x x mx nx →++=-成立，则21lim()0x x mx n →++=,即10m n ++= 又2112limlim 2511x x x mx n x mm x →→+++==+=- 得3,4m n ==- 4. 设()f x 二阶可导，求2()2()()limh f x h f x f x h h→+-+-. 解：2000()2()()()()limlim21()()()()lim []21 [li 2h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x h h →→→''+-+-+--=''''+---=+-=00()()()()m lim ]1[()()]2().h h f x h f x f x h f x h hf x f x f x →→''''+---+-''''=+''=习题3-31． 1. 确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---； (2) 82 (0)y x x x=+>； (3)ln(y x =； (4) 3(1)(1)y x x =-+； (5) e (0,0)n xy x n x -=>≥； (6) sin 2y x x =+； (7) 54(2)(21)y x x =-+.解：(1)所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少.(2)函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x'=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3)函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.(4)函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加.(5)函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n xn x x n y nxx x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6)函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++.2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈--1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-.综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈.(7)函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+--函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加，在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞. 2. 证明下列不等式: (1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> (2) 当01x <<时， 2e sin 1.2xx x -+<+ 证明: (1)令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=,当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos xf x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x -+<+3. (1)证明：不等式()()ln 101xx x x x<+<>+；(2)设0,1a b n >>>，证明：()()11n n n n nb a b a b na a b ---<-<-；(3)设0a b >>，证明：ln a b a a ba b b--<<； (4)设0x >，证明：112x +>4. 试证:方程sin x x =只有一个实根.证明:设()sin f x x x =-，则()cos 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.5. 求下列函数的极值:(1) 223y x x =-+； (2) 3223y x x =-；(3) 3226187y x x x =--+； (4) ln(1)y x x =-+；(5) 422y x x =-+； (6) y x =+解: (1) 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==,126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-. (3) 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=，得驻点121,3x x =-=.1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-. (4) 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 32444(1)y x x x x '=-+=-，令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==.210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值. (6) 1y '=-,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.6. 设,,,a b c d 为常数，试证明：如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<，那么这函数没有极值.证明：232y ax bx c '=++，令0y '=，得方程2320ax bx c ++=，由于 22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=-=-<，那么0y '=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.7. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有 π3π0()(cos cos3)3x f a x x ='==+，得a =2. 又π3π0()(2sin 3sin 3)3x f x x =''=<=--，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f = 习题3-41. 求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞；(2) () [5,1]f x x x =∈-； 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：(1)y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x +'==，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.(2)10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ , 故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545.(3)函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 2.求数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大的项.解：令1000y x =+,y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为1000a =.3. 设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba为端点的闭区间上, 而 22(0)0,bb y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故当a >0时，函数的最大值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.4. 已知a >0，试证：11()11f x x x a =+++-的最大值为21aa++. 证明： 11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x a x a x x a⎧+<⎪--+⎪⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a '=+>--+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a '=-++-+;此时令()0f x '=，得驻点2a x =，且422a f a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，当x >a 时，()()2211()011f x x x a '=--<++-,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1af f a a+==+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故 {}max 242(),,0121a af x a a a++==+++. 5. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h , 则圆柱体底圆半径为224h r -，22232πππ44h V h r h h r ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭令0V '=, 得23.3h r =即圆柱体的高为23r 时，其体积为最大. 6. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x -==-6题图截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点84πax =+，即为最小值点. 即当84πax =+时，建造材料最省. 7. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？解：所需电线为2222222()1 1.5(3)(03)2.25(3)(3)1()1 2.25(3)L x x x x x x x x L x x x =+++-<<+---+'=++-7题图在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短. 8. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a x V x ax a=-⋅=-+'=-+令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =. 即小正方形边长为6a时方盒容积最大. 习题3-51. 判定下列曲线的凹凸性：2(1)4y x x =－； (2)sin(h )y x =；1(3) (0)y x x x=+> ； (4) arctan y x x =.解：(1) 42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.(2)cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的. (3)23121,0y y x x'''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) 2arctan 1xy x x'=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的. 2. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++； (2)e x y x -=； 4(3) (1)e x y x =++； ()2(4) ln 1y x =+； arctan (5) e x y = 4(6) (12ln 7)y x x =－.解：(1)23103y x x '=-+610y x ''=-，令0y ''=可得53x =.当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧；当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2)(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的；当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.(3)324(1)e , e 12(1)0x x y x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点.(4)222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2). (5)arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++ 令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的；当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6)函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的，故有唯一拐点(1，－7)3. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1) (0,0,,1)22nn n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭；2e e (2)e ()2x y x y x y ++>≠ ；(3) ln ln ()ln(0,0,)2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠ . 证明：(1)令 ()nf x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭, 即 1()22nn n x y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. (2)令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 2e e e2x yx y ++<.(3)令 ()ln (0)f x x x x =>1()ln 1,()0(0)f x x f x x x'''=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+，即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.4. 求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+ 2(2) 2cot ,2sin x a y a θθ==.解：(1)22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-==令22d 0d yx=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx<，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2)32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a aθθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=-，不妨设a >0tan θ>>ππ33θ-<<时，22d 0d y x >，当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,2a ⎫⎪⎭及3,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. 5. 试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，232(1)(22(1)x x x y x +--+''=+令0y ''=，得1,22x x x =-=+=-当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈-时0y ''>；当(22x ∈+时0y ''<；当(2)x ∈+∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2-+. 因为111212-+=0 因此三个拐点在一条直线上.6. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得 39,22a b =-=. 习题3-61. 选择题：（1）曲线241(2)x y x -=-（）. A.只有水平渐近线 B.只有铅直渐近线C.没有渐近线D.有水平渐近线也有铅直渐近线（2）函数32ln3x y x+=-的水平渐近线方程为（）. A.2y = B.1y = C.3y =- D.0y =（3）曲线2(1)x y e +=-（）.A.只有水平渐近线B.只有铅直渐近线C.没有水平渐近线和铅直渐近线D.有水平渐近线也有铅直渐近线（4）曲线221(1)x y x -=-有（）. A.水平渐近线1y = B.水平渐近线12y = C.铅直渐近线1x = D.铅直渐近线12x =2. 求下列曲线的渐近线：（1）1xe y x =+；（2）2(1)(3)x y x x =+-；（3）ln(2)y x =+. 3. 作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x=+； ()(2)2arctan f x x x =－；2(3) ()1x f x x =+； 2(1)(4)e x y --=.解：(1)函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±，令0y ''=，得x =0，3±, 列表讨论如下：x 0(0，1) 1 (1，3) 3(3，+∞)y′ + 0 －－－ y″ 0 －－－0 + y极大拐点函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为3,3,⎛⎫-- ⎪⎝(0，0)， 33,⎛⎫ ⎪⎝，作图如上所示.(2) 函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)y x xy x '=-+''=+ 令y ′=0，可得x =±1，令y ″=0，可得x =0. X0 (0，1) 1 (1，∞) y′ － 0 + y″ 0 + + Y极小又()2limlim(1arctan )1x x f x x x x→∞→∞=-= 且 lim[()]lim (2arctan )πx x f x x x →+∞→+∞-=-=-故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y =-，极大值π(1)12y -=-.(0，0)为拐点.作图如上所示. (3)函数的定义域为,1x R x ∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x x y x x x y x +-+'==≠-++''=+令0y '=得x =0，x =－2当(,2]x ∈-∞-时，0,()y f x '>单调增加；当[2,1)x ∈--时，0,()y f x '<单调减少；当(1,0]x ∈-时，0,()y f x '<单调减少；当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0又211lim ()lim1x x x f x x→-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.又因()lim1xf xx→∞=，且2lim(())lim11x xxf x x xx→∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y=x－1.综上所述，曲线图形为：(4)函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)ee2(241)xxy xy x x----'=--''=⋅-+令0y'=，得x=1.令0y''=，得21x=±当(,1]x∈-∞时，0,y'>函数单调增加；当[1,)x∈+∞时，0,y'<函数单调减少；当22(,1[1,)22x∈-∞-++∞时，0y''>，曲线是凹的；当22[1]x∈时，0y''<，曲线是凸的,故函数有极大值f(1)=1，两个拐点：112222(1),(1,e)22A B---+，又lim()0xf x→∞=，故曲线有水平渐近线y=0.图形如下：习题3-71. 球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？解： 324d π,π,.3d rV r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r tA A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅2. 一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率.解：d d de e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅= 3. 一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t ty y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=4. 椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x y x y t t⋅+⋅= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 一个水槽长12m ，横截面是等边三角形，其边长为2m ，水以3m 3·min -1的速度注入水槽内，当水深0.5m 时，水面高度上升多快？解：当水深为h 时，横截面为212s h ==体积为22212V sh '====d d 2d d V h h t t=⋅ 当h =0.5m 时，31d 3m min d Vt-=⋅.故有d 320.5d ht=⋅，得d d 4h t = (m 3·min －1). 6. 某人走过一桥的速度为4km ·h -1，同时一船在此人底下以8 km ·h -1的速度划过，此桥比船高200m ，求3min 后，人与船相离的速度. 解：设t 小时后，人与船相距s 公里，则d d s s t ===且()1120d 8.16d t st -==≈⋅km h7. 计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/22.(1)y k y ''=='+ 8. 计算曲线y chx =上点(0，1)处的曲率. 解：sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时，0,1y y '''== ，故 23/21.(1)y k y ''=='+ 9. 求曲线()ln sec y x =在点(),x y 处的曲率及曲率半径. 解：2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ''==='++ 1sec R x k==. 10. 求曲线33cos ,sin x a t y a t ==在0t t =处的曲率.解： 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t tt t x x a t t t===--， 22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x t a t t a t t t--=-=⋅==-，故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+-且当t =t 0时， 023sin 2k a t =.11. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：(1)y ax b =+；(2)bx y ae =；(3)a y x = ，其中,,0a b R a ∈≠.解：(1) y a '=即为边际函数.弹性为：1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+.(2)边际函数为: bxy abe '=，弹性为：1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e e bxy bxab b a γ==.(3)边际函数为: 1a y ax -'=.弹性为：11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=, 增长率为： 1.a y a ax ax xγ-== 习题三1.填空题（1）曲线(1)xy x e -=+的拐点坐标为 21,e ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）曲线()1ln 0y x e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的斜渐近线方程为 1y x e=+ . （3）函数()ln(1)f x x x =+的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式是 ()3232x x x ο++ . （4）曲线ln y x =在点(1,0)处的曲率为 24. 2.选择题（1）已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中,k c 为常数，且0c ≠，则（D ） A.12,2k c ==- B.12,2k c ==C.13,3k c ==-D.13,3k c ==（2）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线()()y f x a x b =≤≤的所有拐点为（ B ）.选择题（2）图A.112233(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xB.112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xC.1122(,()),(,())x f x x f xD.3344(,()),(,())x f x x f x（3）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( C ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)（4）曲线221x xy x +=-的渐近线条数为( C )A.0B.1C.2D.3（1）D （2）B （3）C （4）C3. 对函数()sin f x x =及()cos g x x x =+在[0,]2π上，证柯西定理的正确性.验证：()f x ，()g x 在[0,]2π上连续，在(0,)2π内可导，且()1sin 0g x x '=-≠，满足柯西定理的条件.由 π()(0)()2π()()(0)2f f f g g g ξξ-'='-,得 2cos πcot()π21sin 42ξξξ==---, 故ππ2π2arctan (0,)222ξ-=-∈满足柯西定理的结论.4. 设()f x 在[,]a b 上有(1)n -阶连续导数，在(,)a b 内有n 阶导数，且(1)()()()()0.n f b f a f a f a -'=====试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()0n f ξ=.证明：首先，对()f x 在[,]a b 上应用罗尔定理，有1(,)a a b ∈，即1a a b <<，使得1()0f a '=；其次，对()f x '在[,]a b 上应用罗尔定理，有21(,)a a b ∈，即12a a a b <<<，使得2()0; ,f a ''=一般地，设在(,)a b 内已找到1n -个点121,,,,n a a a -其中121,n a a a a b -<<<<<使得(1)1()0n n f a --=，则对(1)()0n f x -=在1[,]n a b -上应用罗尔定理有1(,)(,),n a b a b ξ-∈⊂使得()()0n fξ=.5. 求函数1()f x x=在01x =-处的n 阶泰勒公式. 解：121211(1)(1)1(1)n nnn n x x x x x x θ+++=--++-+-++ 12211()1[(1)](1) {1(1)(1)(1)} (01).[1(1)]n nn f x x x x x x x x θθ++∴==-+-++=-++++++++<<-+6. 求函数e e 2x xy -+=的2n 阶麦克劳林展开式.解：2221222122212211e e [e e ][11]222!(2)!(21)!2!(2)!(21)!1e e [222]22!(2)!(21)!12!(2)n n x n n x x x n x x n n x x x x x x y x x n n n n x x x n n x x n θθθθ++---+=+=++++++-+++-++-=+⋅++++=+++21e e (01).!2(21)!x x n x n θθθ-+-+<<+7. 设()f x 在0x 的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：当x 在0x 处的增量h 很小时，用增量比近似一阶导数0()f x '的近似公式000()()()f x h f x f x h+-'≈,其绝对误差的量级为()O h ，即不超过h 的常数倍. 证明：0()f x h +在0x 处泰勒展开式为 20000()()()() (01)2f x h f x h f x f x h h θθ''+'+=++<<,则0000()()()()2f x h f x f x h f x h h θ''+-+'-=,又知 0()f x h M θ''+≤,故 0()22f x h Mh h θ''+≤,即000()()()f x h f x f x h+-'≈的绝对误差为()O h .8. 利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++=5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+ 9. 计算0.2e的近似值，使误差不超过310-.解：234e e 1 (01)2624x xx x x x θθ=++++<< 230.2(0.2)(0.2)e10.2 1.2213 1.22126≈+++=≈0.2444e 31(0.2)(0.2)(0.2)0.20.00020.00124248R θ⨯=⨯<⨯=⨯≈<10. 利用洛必达法则，求下列极限：(1) 2lim (arctan )πxx x →+∞⋅; (2) 10lim(1sin )x x x →+;(3) 0lim[ln ln(1)]x x x +→⋅+;(4) lim )x x →+∞; (5) sin 0e e lim sin x xx x x →--; (6) 210sin lim()x x x x→; (7) 1101lim[(1)]ex x x x →+；(8) ()110ln 1lim x e x x x -→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(9) ()212lim[]ln 12x xx x x →+-+ ；(10) 011lim[1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭. 解：⑴令2(arctan )πxy x =⋅，则2222211lnln arctan πarctan 1lim ln lim lim1112lim arctan 1πx x x x x x x y x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞+⋅+==-=-⋅=-+∴原式=2πe-.⑵令1(1sin )xy x =+，则000cos ln(1sin )1sin limln lim lim 11x x x xx x y x →→→++=== ∴原式=e =e '.⑶原式00ln lim(ln )lim 1x x x x x x ++→→=⋅=0021=lim=lim()01x x x x x++→→-=-⑷原式limx x→+∞=2234232311111=lim (1)(23)=33x x x x x x x x ----→+∞+++⋅++⋅⑸原式sin sin 0e (e 1)limsin x x x x x x -→-=-sin 00e (sin )=lim =e =1sin x x x x x x →⋅-- ⑹令12sin ()x x y x=，则 200023002220011cos ln sin ln sin lim ln lim lim 2cos sin cos sin lim lim 2sin 2cos sin cos 1lim lim .666x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x xx x x x x x x x x x →→→→→→→--==--==---===-∴原式=16e -.⑺令111[(1)]e x x y x =+，则11ln [ln(1)1]x y x x=+-2000011ln(1)1lim ln lim lim 2111lim .212x x x x x xx y x x x →→→→-+-+===-=-+∴原式=12e -.⑻解：原式=21111)1()1ln(lim)1ln(1)1ln(0201]))1ln((1[lim e e exxx x x e x xx xxx e x x x x x x x ===-++-+--+-+-+→→-⑼⑽()0020000111111lim lim lim lim 1221x x x x x x x x x e x e x e x e x x x e →→→→-----⎛⎫-=== ⎪--⎝⎭ 11. 求下列函数的极值:(1) y =(2) 223441x x y x x ++=++； (3) e cos xy x =； (4) 1xy x =； (5) 2e exxy -=+； (6) 232(1)y x =--；(7) 1332(1)y x =-+； (8) tan y x x =+. 解: (1)y '=,令0y '=，得驻点125x =. 当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =. (2)2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++200,0x x y y =-=''''><,。

高数A第三章测验题

第三章中值定理与导数应用测验题试卷名称：高等数学第三章（理工类) 课程所在院系：理学院考试班级学号姓名成绩一、（每题5分，共25分）计算下列各题：1．求0x →.2．设()f x 在0x =的某邻域内具有连续的导数，且(0)1f =，(0)2f '=，求极限1(1())01lim(sin )x f x x x x -→.3．确定,a b 的值，使220(1)lim 0x x e ax bx x →-++=.4．确定,a b 的值，使点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点.5．求数列32(1)(1)n n ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的最小项的项数及该项的数值.二、（每题6分，共36分）证明下列各题：1．证明：当1x <时，有11x e x≤-.2．证明：当0x >时，有1arctan 2x x π+>.3．若函数()f x 有三阶连续导数，(0)(0)0,f f '''==且满足0()lim 2,||x f x x →'''= 试证明： (0,(0))f 为()f x 的拐点，且0x =不是极值点.4．若函数()f x 在(,)-∞+∞内具有连续二阶导数，且(0)0,()0f f x ''=≠. 试证明：对(,),x ∀∈-∞+∞且0x ≠，使()f x 满足：()()f x f x ξ'=⋅（ξ介于0与x 之间）的ξ是唯一的.5．证明函数2()(1)x f x e ax bx =-++至多只有三个零点.6．若函数()f x 在[0,1]内连续，在(0,1)可导，且1(0)(1)0,()1,2f f f === 证明：(0,1),ξ∃∈使()1f ξ'=.三、（9分）设20()lim 2,x f x x →=- (0)0,f =问()f x 在0x =处是否可导？是否取得极值？四、（10分）过正弦曲线sin y x =上点(,1)2M π处，作一抛物线2y ax bx c =++，使抛物线与正弦曲线在点M 处有相同的曲率和凹向，并写出点M 两曲线的公共曲率圆方程.五、（10分）给定曲线21y x =，求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.六、（10分）求函数22arcsin1x y x =+的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，渐近线，并作函数的图形.。

高数一第三章测试题

第三章测试题一、单项选择题）存在，1.如果f ′（x点可微是f（x）在该点可导的2.设函数f（x）在xA.充分必要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件3.设函数y=2f（x2），则y′=4.下列函数中，在点x=1处连续且可导的函数为5.过点（1，-2）且切线斜率为2x+1的曲线方程y=y（x）应满足的关系是A.y′=2x+1B.y′′=2x+1C.y′=2x+1，y（1）=2D.y′=2x+1，y（1）=-26.设y=f（-x），7.函数，在点x=2处A.无定义B.间断C.不可导D.f′（2）=08.A.0B.-2C.不存在D.29.设A.1B.∞C.0D.210.11.设，则f（x）不可导的点为A.x=0B.x=0、x=1C.x=-1D.x=112.设y=x（x-1）（x-2）…（x-20），则f′（0）=A.20！B.0C.∞D.-20！13.设f（x）为可微函数，则在点x处，当△x→0时，△y-dy是关于△x的（）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小14.设y=（1-x）-2，则y（n）=A.n!（1-x）n+1B.（n+1）!（1-x）-（n+2）C.-n!（1-x）n+1D.-（n+1）（1-x）n+215.设f（x）在（-∞，+∞）内为可微的奇函数。

若f′（x0）=b≠0，则f′（-x）=A.0B.C.-bD.b16.如果f（x）在x点可微，则A.∞B.0C.1D.-117.当|△x|很小且f′（x0）≠0,函数在x=x处改变量△y与微分dy的关系是（）。

A.△y< dyB.△y>dyC.△y=dyD.△y≈dy18.设y=lnx，则y（n）=A.（-1）n n!x-nB.（-1）n（n-1）!x-2nC.（-1）n-1（n-1）!x-nD.（-1）n-1n!x-n+119.设在x可导，则A.m=x，n=0B.n=0，n=x2C.m=2 x0，n=-x2D.m=2 x0，n=x220.某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=f（P），且当P=P时，需求弹性为0.8，若此时再涨价2%，需求将减少（）A.1.6B.1.6%C.0.8D.0.8%21.y=|sinx|在点x=π处的导数是（）A.0B.1C.-1D.不存在22.设A.0B.an!C.aD.an二、计算题（一）。

高等数学2-5章习题

f ( x) f ( x)2 ,则当n为大于 2 的正整数时，
f ( x)的 n 阶导数 f (n) ( x) 是（）
（A）n![ f ( x)]n1；
（B） n[ f ( x)]n1 ；
（C） [ f ( x)]2n；
（D）n![ f ( x)]2n .
7、若函数 x x(t ), y y(t ) 对t 可导且x(t ) 0 ,又
(
x
)

g(
x
)
x
cos
x
,
x

0
其中g(
x)
有二阶连
a, x 0
续导数，且g(0) 1，
1、确定 a 的值，使 f ( x)在x 0 点连续；
2、求 f ( x)
五、设 y x ln x,求 f (n) (1).
六、计算3 9.02 的近似值 .
七、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时，同时一船在此人底下以 8 公里/小时之速率划过，此桥比船高 200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
3、若函数 f ( x) 在点x0 不连续，则f ( x) 在x0 ( ) （A）必不可导；（B）必定可导；
（C）不一定可导；（D）必无定义.
4、如果 f ( x) =（），那么 f ( x) 0 .
(A) arcsin 2 x arccos x ；
(B) sec2 x tan2 x ； (C) sin 2 x cos 2 (1 x)；
（D）有有限个间断点
4、下列结论正确的是（
）
（A）初等函数必存在原函数；
（B）每个不定积分都可以表示为初等函数；

高等数学：高数第三章自测题答案

第三章单元自测题答案一、填空题：1．满足，2=ξ； 2．满足,3415=ξ； 3． 3； 4． 1-=a ，4-=b ．二、选择题:1. B ；2.A ；3.C ；4.A ；5.B .三、计算下列各题: 1.解 ∞→x lim 1lim 1lim 11lim )1(0011==-=-=-→→∞→u u u u x x x e ue xe e x . 2.解 2000)1ln(lim )1ln()1ln(lim )1)1ln(1(lim xx x x x x x x x x x x +-=++-=-+→→→21)1(2lim 2111lim 00=+=+-=→→x x x x x x x . 3.解设21)(cos x x y =，取对数有2cos ln ln xx y = 因为212tan lim cos ln lim 020-=-=→→x x x x x x ，所以21cos ln 01022lim )(cos lim -→→==e e x x xx x x . 四、应用题:1.解函数的定义域为),(+∞-∞，因为 x x x e x x e x xe y ----=-=')24(2422,令0='y ，解得2,021==x x .当,0,0<'<y x 当,0,20>'<<y x 当,0,2<'>y x因此,]2,0[为单调增加区间，]0,(-∞)和),2[+∞为单调减少区间.2.解函数的定义域为),(+∞-∞，因为2222)1(22,12x x y x x y +-=''+=', 令0=''y ，解得1,121=-=x x .当,0,1<''-<y x 时当11<<-x 时,0>''y ,当0,1<''>y x 时，故曲线的凹区间为]1,1[-，凸区间为]1,(--∞和),1[+∞.拐点为)2ln ,1(-，)2ln ,1(.3.解 )5,0(2,2,01232∈=±==-='x x x y 解得, 70)5(,5)0(,11)2(==-=f f f ,故,70max =f 11min -=f .4.解 ,26,232b ax y bx ax y +=''+='由已知得0)2(=''y ，即6,0212b a b a -==+. 又)5,2(为曲线23bx ax y +=上的点,因此有815,42653=+⋅-=b b b .于是16581561-=⋅-=a . 5.解由已知得x y 2=，且72=xyh ，于是有236xh =，长方体带盖箱子的表面积)362362(2)(2)(222x x x x x yh xh xy x S S ⋅+⋅+=++== )0(,21642>+=x x x 因为22168)(x x x S -='，令0)(='x S ，解得唯一驻点3=x ，由问题实际意义知，当长3=x m 时，箱子的用料最省，此时宽m y 6=，高m h 4=.五、证明题:1.证明令x x f ln )(=，显然)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理条件，于是有 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ,)(b a <<ξ,即 ξa b a b a b -==-ln ln ln ，)(b a <<ξ，因为b a <<<ξ0，所以aa b a b b a b -<-<-ξ，因此aa b a b b a b -<<-ln . 2.证明令221)1ln()(x x x x f +-+=，则)(x f 在],0[x 上连续，且xx x x x f +=+-+='1111)(2，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0[+∞上单调增加，又0)0(=f ，从而，当0>x 时有)0()(f x f >，即当0>x 时，221)1ln(x x x ->+. 3.证明令1)(5-+=x x x f ，则)(x f 在区间]2,0[上连续,且0122)2(,01)0(5>-+=<-=f f ，由零点定理知方程015=-+x x 在区间)2,0(内有一正根.又在),(+∞-∞内，,015)(4>+='x x f 故)(x f 在),(+∞-∞上单调增加, 因此正根唯一，即方程015=-+x x 只有一个正根.。

高数第三章测试题

x 4、设常数k 0，函数f ( x ) ln x k在(0, )内零点个数（ e ( A) 3 ( B) 2 (C ) 1 ( D) 0 1 5.设ab 0, f ( x ) ，则在a x b内使f (b) f (a ) f ' ( )( b a )
三、填空题 x sin x 1. lim __________ 。 x x sin x 2.函数xe x的n阶麦克劳林公式为 _____________ 。
3.曲线 y e 1的水平渐近线为_______，垂直渐近线为_________ 。
1 x
4.曲线y x 3 6 x 2 7在区间__________ 是凸的。
则f ( x )的图形在 x x 0的邻域内（ A是凹的；） B是凸的； C由凹到凸； D 由凸到凹．
一、选择题
）
3.若f ( x )在[a , b]上连续，在(a , b )内可导，且x (a , b )时，f ' ( x ) 0, 又f (a ) 0, 则（） A. f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b ) 0； B . f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b ) 0； C . f ( x )在[a , b]上单调减少，且 f (b ) 0； D. f ( x )在[a , b]上单调增加，但 f (b )的正负号无法确定。
2、证明方程 x 5 x 1 0 有且仅有一个正实根 .
3、设e a b e ，证明ln b2
(b a )
1 2 4、证明：当x 0时，e 1 x x 2
x
2、 lim (tan x ) cos x
x

高中数学必修第三章经典习题含答案

第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin 2π12－cos 2π12的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32[答案] C[解析] 原式＝－(cos 2π12－sin 2π12)＝－cos π6＝－32.2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π[答案] B[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝( ) A ．－429B ．－79C.429D.79[答案] C[解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝429. 4．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．3 D.13[答案] D[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋23[答案] A[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54. 6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2 [答案] B[解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( ) A ．－1 B ．－15 C.57 D.17[答案] D[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan ?β－α?－tan α1＋tan ?β－α?tan α＝3－21＋6＝17.8．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A. 2 B ．2 C ．4 D.22[答案] B[解析] PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则|PQ →|＝?cos β－cos α?2＋?sin β－sin α?2＝2－2cos ?α－β?，故|PQ →|的最大值为2.9．函数y ＝cos2x ＋sin2xcos2x －sin2x 的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D.π4[答案] C[解析] y ＝1＋tan2x 1－tan2x ＝tan(2x ＋π4)，∴T ＝π2.10．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] D[解析] f (x )＝sin 2x －12＝－12(1－2sin 2x )＝－12cos2x ，∴f (x )的周期为π的偶函数．11．y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π3] B ．[π12，712π] C ．[512π，1312π] D ．[π3，5π6][答案] B[解析] y ＝sin(2x －π3)－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3－sin2x ＝－(sin2x cos π3＋cos2x sin π3)＝－sin(2x ＋π3)，其增区间是函数y ＝sin(2x ＋π3)的减区间，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，当k ＝0时，x ∈[π12，7π12]．12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5(tan αtan β)2等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C [解析]由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12sin αcos β－cos αsin β＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5， ∴log5(tan αtan β)2＝log552＝4.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. [答案] 2[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为______． [答案]17250[解析] ∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3，∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35；∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425， cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin 2(α＋π6)＝725∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π4＝17250.15．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________. [答案] 59[解析] cos2α＝2cos 2α－1＝13得cos 2α＝23，由cos2α＝1－2sin 2α＝13得sin 2α＝13(或据sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝13)，代入计算可得．16．设向量a ＝(32，sin θ)，b ＝(cos θ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a∥b ，则θ＝________.[答案] π4[解析] 若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈(0，π2)，∴θ＝π4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．[解析] 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725.又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425，所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝?2sin αcos α＋2sin 2α?cos αcos α－sin α＝2sin αcos α?cos α＋sin α?cos α－sin α＝725×?－425?325＝－2875.18．(本题满分12分)设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6)的最值．[解析] y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6) ＝cos2(x －π6)＋2sin(x －π6)＝1－2sin 2(x －π6)＋2sin(x －π6)＝－2[sin(x －π6)－12]2＋32.∵x ∈[0，π3]，∴x －π6∈[－π6，π6]． ∴sin(x －π6)∈[－12，12]， ∴y max ＝32，y min ＝－12.19．(本题满分12分)已知tan 2θ＝2tan 2α＋1，求证：cos2θ＋sin 2α＝0.[证明] cos2θ＋sin 2α＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋sin 2α＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋sin 2α＝－2tan 2α1＋2tan 2α＋1＋sin 2α＝－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2α＝－sin 2αcos 2α＋sin 2α＋sin 2α＝－sin 2α＋sin 2α＝0.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x2，－sin x2)，c ＝(3－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值．[解析] (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }．(2)|a －c |2＝(cos 3x 2－3)2＋(sin 3x2＋1)2 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin(3x 2－π3)，则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )；求函数g (x )在[－π，0]上的解析式。

高等数学第三章试题库

第三章试题库一、选择题。

1.若)(u f 可导,且)(x e f y =,则有=dy （）A.()x f e dx' B.()x xf e de ' C.()x x f e de '⎡⎤⎣⎦D.()x x f e e dx '⎡⎤⎣⎦2.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最快的是()A.5n B.5ln n C.ln D.5n3.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最慢的是()A.5ln n B.5ln n C.ln D.5n4.设()(1)(2)(), f x x x x n =--- 则()=0f x '在开区间(2,)n 有（）个零点A.1n - B.1n - C.2n - D.n5.设()(1)(2)(), x x x f x e e e n n Z +=---∈ 则(0)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -6.设()(1)(2)(), f x x x x n n Z +=---∈ 则(1)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -7.设()(1)(2)(10), f x x x x =--- 则(1)=f '（)A.9!- B.0C.9!D.10!8．设2()ln(1)f x x =+,则该函数在(0,)+∞内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧9．设()ln(1)f x x x =+-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧10．设()x f x e x =-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ()A．存在B．不存在C．惟一D．不能断定存在12．曲线53(1)5y x =-+()A．有极值点1x =,但无拐点B．有拐点(1,5),但无极值点C．有极值点1x =,有拐点(1,5)D．既无极值点,又无拐点13.下列函数中，在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）.A．2ln(1)y x =-B．21y x =-C．||x y e =D．sin y arc x =14.若函数)(x f y =在点0x 处取得极大值，则必有().A.0()0f x '= B.0()0f x '<C.0()0f x '=且0()0f x ''< D.0()0f x '=或0()f x '不存在15.若在区间),(b a 内有()0,f x '>()0,f x ''<则曲线弧)(x f y =为().A.递增的凸弧B.递增的凹弧C.递减的凸弧D.递减的凹弧16.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（）.A.221x x ++ B.cos(1)x + C.22(1)x x - D.ln(1)x +17．若)(x f 在a x =处取得极值，则（）。

高等数学第三章综合测试题

第三章综合测试题A 卷一、填空题(每小题4分,共20分）1、函数ln(1)y x =+在[0,1]上满足拉格朗日定理的ξ= 。

2、函数321()393f x x x x =-+在闭区间[0,4]上的最大值点为x = . 3、函数4y x x=+的单调减少区间是 .4、若函数()f x 在x a =二阶可导，则0()()()lim h f a h f a f a h h→+-'-= .5、曲线32x y x =+的铅直渐近线为 .二、选择题（每小题4分，共20分)1、下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 [ ]（A) xy e = （B ） ln y x = （C) 21y x =- （D ） 211y x=- 2、曲线3(1)y x =-的拐点是［ ] （A ）(1,8)- （B)(1,0) (C ） (0,1)- (D ） (2,1)3、已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----,则()0f x '=的实根个数为 [ ］ (A ）一个（B ) 两个 (C) 三个 (D ）四个4、设函数()f x 在(,)a b 内可导,则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增的［ ]（A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件（C) 充要条件（D ）无关条件5、如果00()0,()0f x f x '''=>，则 [ ](A ）0()f x 是函数()f x 的极大值（B ） 0()f x 是函数()f x 的极小值（C) 0()f x 不是函数()f x 的极值（D) 不能判定0()f x 是否为函数()f x 的极值三、解答题1、（7分)计算011lim()1xx x e →--.2、（7分)计算0lim x x +→。

3、(7分）计算10sin lim()x x x x →。

高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题(附答案)

高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（附答案）一、单选题（每小题4分，共计20分）1、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （）（Ａ）单调增凹的；（Ｂ）单调减凹的；（Ｃ）单调增凸的；（Ｄ）单调减凸的。

2、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （）（Ａ）不可导；（Ｂ）可导，且0)0('≠f ；（C ）取得极大值；（Ｄ）取得极小值。

3、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1||)("lim=→x x f x ，则（）（Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值；（Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值；（Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点；（Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。

4、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <；（Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <；（Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <；（Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >。

5、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（Ｄ）（Ａ）取得极大值；（Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ；（Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。

二、填空题（每小题4分，共计20分）1、=→x x x ln lim 0_______。

高中数学：第三章测试题

高中数学必修四第三章测试题 2018.1一、选择题（每题5分）a 1、函数21()cos 2f x x =-的周期为（）Ａ．4π Ｂ．2πＣ．2π Ｄ．π 2、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+等于（）Ａ．16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13183. sin1212ππ的值为 ( ).0..2A B C D -4. 已知α为第三象限角，24sin 25α=-，则tan 2α= （） 4A.34B.3-3C.43D.4-5. 若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则tan tan αβ为（） A.5 B .1- C.6 1D.66. 已知锐角αβ、满足sin αβ==αβ+等于（） 3A.4π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24k k ππ+∈Z7.表达式sin(45)sin(45)A A +--o o化简后为( )BA.AB.A C. 1sin 2A D.1sin 2A - 8. 已知θ是第三象限的角,若445sin cos 9θθ+=,则sin 2θ等于( )AB. -23 D. 23-9. 若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=( ) AB. C.53 D.53-10. 函数4sin 21y x π⎛⎫=++ ⎪3⎝⎭的最小正周期为（）B A.π2Ｂ.πＣ. 2πＤ.4π11.tan15tan 30tan15tan 30++o o o o 等于 ( )DA.12D.112. 当0x π-≤≤时,函数()sin f x x x =最小值为( )BA.1-B. 2-C.D.0 二、填空题（每题5分） 1. 已知1sin cos 2θθ-=，则33sin cos θθ-=＿＿＿＿.2. tan 20tan 4020tan 40++oo o o的值是 .3. 设ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，sin cos 4A A =，则此三角形是＿＿＿＿＿＿三角形.15. 求函数2()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.＿＿＿＿三、解答题1. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2BA B B -=-.2. 已知函数2()5sin cos f x x x x =-（其中x ∈R ），求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间; (3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．3. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin β=，求2αβ+.4.(本小题12分)已知函数1)4()cos x f x xπ-=. (1)求()f x 的定义域； (2)设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值.5. 已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的的最大值和最小值(3)若3()4f α=，求sin2α的值6. (本小题12分)已知310,tan cot 43παπαα<<+=- (1)求tan α的值；(2)求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.。

高中数学必修第三章试题

3. 设，则的值为（）。
A. 128B.256C. 512D. 8
4. 化简的结果是（）。
A.–aB. C. |a|D.a
5. 函数的反函数是（）。
A. B.
C. D.
6. 若在（0，+∞）内为减函数，且为增函数，则a的取值范围是（）。
A. B. C. D.
7. 设，则a、b的大小关系是（）。
7. 由指数函数的性质，得0＜a＜1，0＜b＜1，又由幂函数的性质知，当n＞0时，它在第一象限内递增，故a＜b＜1。
8. 在中，∴ ；在中，值域为（-1，+∞）；而的值域为[0，1）。
9. 由题意知，，因为在[0，π]上递减，且， ∴ ，即b＞a＞c。
10. 取。
11. 由题意知，的结果为a、b中较小者，于是的图象就是的图象的较小的部分（如图），故值域为（0，1]。
高中数学必修第三章试题
数学必修1第三章测试题
班别姓名学号考分
一、选择题:本Βιβλιοθήκη 题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域是（）。
A. B. C. D.
2. 函数的图象过定点（）。
A.（1，2）B.（2，1）C.（-2，1）D.（-1，1）
销售量与时间t的函数关系是：g(t) = － t+ (0≤t≤100 ,t∈N), 求这种商品的日销售额S(t)的最大值。
参考答案
一、DDBCB DBBBA CB
提示：1. 故选D。
2. 代入验证。
3. 设，则，代入已知等式，得。
4.
5. 由，得即，两边取对数，得，即。

{高中试卷}高一数学第三章章末检测(b)[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：第3章三角恒等变换(B)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______． 2．sin15°cos75°＋cos15°sin120XX°＝________.3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)＝__________. 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是________．5．化简：sin (60°＋θ)＋cos120°sin θcos θ的结果为______． 6．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a ＝________. 8．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是______． 9．若3sin θ＝cos θ，则cos2θ＋sin2θ的值等于______．10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为________．11．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边一定落在直线________上． 12．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________. 13．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．14．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的所有θ的集合为______．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)． (1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值； (2)求cos(2α－3π4)的值．16．(14分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．17．(14分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．18．(16分)已知△ABC 的内角B 满足2cos2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b满足：a ·b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角．(1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．19．(16分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2. (1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求sin (α＋π4)cos (4π＋2α)的值．20．(16分)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．第3章三角恒等变换(B)1.π2解析∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)]＝12－12sin4x∴T ＝2π4＝π2.2．1解析原式＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°＝1.3.17解析∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.4．[－π6，0]解析f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)．令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，令k ＝0得－π6≤x ≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．5.32解析原式＝sin60°cos θ＋cos60°sin θ－12sin θcos θ＝sin60°cos θcos θ＝sin60°＝32. 6．1解析∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.7. 3 解析f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x ) ＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x ) ＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ) ∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2. 解得a ＝ 3.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 解析y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1， ∴y ∈[－22＋12，22＋12]． 9.75解析∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13. cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2×13－191＋19＝75. 10．－4解析3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0， ∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，∴tan(α＋β)tan α＝－4.11．24x －7y ＝0解析cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43， ∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝－831－169＝247. ∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上． 12.429解析cos β＝－13，sin β＝223， sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)×(－13)＋223×13＝429. 13．1解析令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°，∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos30°－sin αsin30°＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)．∴y max ＝1.14.⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|θ＝2k π＋2π3，k ∈Z 解析∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )． ∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3) ＝2sin(2x ＋k π)．当k 为偶数时，f (x )＝2sin2x ，不合题意；当k 为奇数时，f (x )＝－2sin2x ，函数在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数． ∴f (x )＝－2sin2x ，∴θ＝2π3＋2k π，k ∈Z . 15．解(1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255. sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13. (2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin2α＝－45， cos2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos2α＋22sin2α＝－210. 16．解(1)原式＝sin2x ＋3cos2x ＝2(12sin2x ＋32cos2x ) ＝2(sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3) ＝2sin(2x ＋π3)． ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2. 当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2. (3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． ∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 17．解(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32. ∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. 18．解(1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12. 又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－35， ∴sin θ＝45.∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sinθ＝4－3310. 19．解(1)由题意，得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π. 又ω>0，所以ω＝13. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326. 解得cos α＝513. 因为α是第一象限角，故sin α＝1213. 所以sin (α＋π4)cos (4π＋2α)＝sin (α＋π4)cos2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝22(cos α－sin α)＝－13214. 20．解(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)．又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1. 所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。