江苏省海安高级中学2019届高三数学阶段测试(后附答案及详尽解析)
江苏省海安县2019届高三上学期期中数学试题含答案
江苏省海安县2019届高三期中学业质量监测试题数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝．2．已知复数z满足(1i)43iz+=-（i为虚数单位），则复数z的模为．3．已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．4．设实数x，y满足123xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则x＋y的最小值为．5．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．6．运行如图所示的流程图，则输出的结果S为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2214xy-=的右焦点与抛物线22(0)y px p=>的焦点重合，则p的值为．8．已知函数()Asin()f x xωϕ=+（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在R上的部分图象如图所示，则(36)f的值为．9．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O—A1BC1的体积为．10．设等比数列{}n a的公比为q（0＜q＜1），前n项和为n S．若存在m N*∈，使得2m ma a++=152ma+，且11022m mS a+=，则m的值为．第8题第9题第11题第6题11．已知AB 为圆的直径，点C ，D 为圆上两点（在AB 两侧），且AC ＝1，AD ＝2，AB ＝3，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为 ．12．已知函数21()log ()1kxf x k R x -=∈-为奇函数，则不等式()1f x <的解集为 ． 13．已知正数x ，y ，z 满足11(2)()4x y y z++=，且z ≤3x ，则P ＝22323x y xy +的取值范围是 ．14．设命题p ：“存在0x ∈[1，2]，使得200x ax b c ++≥，其中a ，b ，c ∈R ．”若无论a ，b 取何值时，命题p 都是真命题，则c 的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若平面向量(27x b c =-r，cosC)，(y a =u r ，cos A)，且x r ∥y ur ．（1）求cosA 的值； （2）若tanB ＝32，求角C 的大小． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ，PB ＝PD ＝2AC ，E 是PD 的中点，求证：（1）PB ∥平面ACE ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．17．（本小题满分14分）如图，已知AB 为椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，过坐标原点O 且倾斜角为135°的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且D 在x 轴上的射影D'恰为椭圆E 的长半轴OB 的中点．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若AB ＝8，不过第四象限的直线l 与椭圆E 和以CD 为直径的圆均相切，求直线l 的方程．18．（本小题满分16分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或骑单车方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而骑单车群体的人均通勤时间为331,070()1052,70100x x g x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪<<⎩（单位：分钟）．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）试确定x 的取值范围，使得自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()p x 的表达式，讨论()p x 的单调性，并说明其实际意义． 19．（本小题满分16分）已知函数()xf x xe =，()(ln )g x a x x =+，a R ∈． （1）求函数()f x 的极值点；（2）已知T(0x ，0y )为函数()f x ，()g x 的公共点，且函数()f x ，()g x 在点T 处的切线相同，求a 的值；（3）若函数()()y f x g x =-在(0，+∞)上的零点个数为2，求a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）如果数列1a ，2a ，…，m a （m ≥3，m N *∈）满足：①1a ＜2a ＜…＜m a ；②存在实数0x ，1x ，2x ，…，m x 和d ，使得0x ≤1a ＜1x ≤2a ＜2x ≤3a ＜…≤m a ＜m x ，且对任意0≤i ≤m ﹣1（i N ∈），均有i 1i x x d +-=，那么称数列1a ，2a ，…，m a 是“Q 数列”．（1）判断数列1，3，6，10是不是“Q 数列”，并说明理由；（2）已知k ，t 均为常数，且k ＞0，求证：对任意给定的不小于3的正整数m ，数列{k }n t +（n ＝1，2，…，m ）都是“Q 数列”；（3）若数列{}2n （n ＝1，2，…，m ）是“Q 数列”，求m 的所有可能值．参考答案15．16．17．18．19．20．。
海安中学2019届高三月考数学试卷(含答案)
2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线 l： y kx m (k ， m R) 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 kOA kOB 求证：△ AOB 的面积为定值；
3． 4
3 （1）若数列{an}是首项为 1，公差为 的等差数列，求 S66； 2 （2）若 Sn＝ ，求证：数列{an}是等差数列． a1＋ an＋1 n
3 x ，x≤a ， 13．设函数 f ( x ) 2 若存在实数 b ，使得函数 y f ( x ) bx 恰有 2 个零点，则实数 x ，x a.
2． 已知复数 z a 3i （ i 为虚数单位， a 0 ） ，若 z 2 是纯虚数，则 a 的值为 3． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 45 名学生的高校招生体检表中视力情况进行统 计，其结果的频率分布直方图如右图．若某 高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上，则该 班学生中能报 A 专业的人数为 ▲ ．
1.00 0.75 0.50 0.25 1.75
a 的取值范围是
▲
．
频率 组距
14．在△ABC 中，已知 sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则 tanA＋tanB＋tanC 的值 为 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ．．．．．．． 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分)
B
数学 II（附加题）
21． 【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，请选定其中 两题 作答 ，每小题 10 分，共计 20 分， ．．．．． ．． ．． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—1：几何证明选讲 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA，切点为 A，M 为 PA 的中点， 过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B、C 两点，且∠BMP=100°， ∠BPC=40°，求∠MPB 的大小．
江苏省海安高级中学2019届高三第二学期四月模拟考试数学试题(含精品解析)
，
故点 的轨迹为圆心在（0,0），半径 2 为的圆，
又点 在直线
上，
故圆
与直线
必须有公共点，
所以
，解得
.
上存在点 使得
，则实数
上，则点 的轨迹与直线必须有公共点，
【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的 轨迹，并能求出点的轨迹方程.
12.已知 是定义在区间
中随机取一个元素，记为 ，
则 的事件数为 9 个，即为
，
，
，
其中满足 的有
，
，
，共有 8 个，
故 的概率为 . 【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.
7.在平面直角坐标系 _______． 【答案】 【解析】 【分析】
中，若双曲线
由双曲线的离心率为 ，可以得到
，再根据
的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为 求出 的关系，从而得出渐近线的方程.
学思想求出当 ，则
，进而借助奇函数得到
，从而
求出
。
13.已知实数 ， ， ， 满足
，
是_______．
【答案】 【解析】 【分析】
，且
，则 的取值范围
由实数 ， ， ， 满足
，且
示 ，构建函数，求解取值范围.
【详解】解：实数 ， ， ， 满足
所以
，
若
则
，
，得出
，从而得出 的范围，用 表
，且
，
若
则
，
上的奇函数，当 时，
【答案】 【解析】 当 时，则
的解集为__________． ，即
．则关于 的不等式
江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题及答案解析
江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合 ， ，则 ______．2. 复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限．3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间 内的汽车有______辆4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．5. 在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．6. 如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．7. 已知m ，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面．若 ， ，则 ，若 ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ．上述命题中为真命题的是______ 填写所有真命题的序号 ．8. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何” 题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快 每天增加的数量相同 ，已知第一天织布5尺，一个月 天 共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺匹 丈，1丈 尺9. 若 ，则 ______．10. 如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且 ，， ，则______． 11. 已知关于x 的方程 在 上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______．12. 已知 ， ，且 ，则 的最小值等于______．13. 如图，已知 ，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点 不含端点A，B，，且，则的最大值为______．14.若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知内接于单位圆，且，求角C求面积的最大值．16.如图，在四面体ABCD中，，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．若平面ABD，求实数的值；求证：平面平面AED．17.如图，长方形材料ABCD中，已知，点P为材料ABCD内部一点，于E，于F，且，现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足，点M，N分别在边AB，AD上．设，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．18.已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．。
2019届江苏省南通市海安高级中学高三11月检测数学试题(解析版)
江苏省南通市海安高级中学2019届高三11月检测数学试题（解析版）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合U={1,3，5，9}，A={1,3，9}，B={3,9}，则∁U(A∪B)______．【答案】{5}【解析】解：A∪B={1,3，9}；∴∁U(A∪B)={5}．故答案为：{5}．进行并集、补集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集和补集的运算．2.已知复数z=a+3i(i为虚数单位，a>0)，若z2是纯虚数，则a的值为______．【答案】3【解析】解：∵z=a+3i，∴z2=a2−9+6ai，又z2是纯虚数，a2−9=0，解得a=3，a=−3(舍去)，∴{6a≠0故答案为：3．易得z2=a2−9+6ai，根据纯虚数的定义可得方程，解出即可，注意a>0．本题考查复数的基本概念，属基础题，准确理解纯虚数的定义是解题关键．3.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为______．【答案】18【解析】解：由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为(1.00+0.75+0.25)×0.2= 0.4，∴该班学生中能报A专业的人数为45×0.4=18．故答案为：18．根据频率=小矩形的高×组距求得视力在0.9以上的频率，再根据频数=频率×样本容量求得该班学生中能报A专业的人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中频率=小矩形的高×．组距=频数样本容量4.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为______．【答案】35【解析】解：从5个节点中随机选一个将绳子剪断，有5种剪法，所得的两段绳长均不小于2米的剪法有3种，∴所得的两段绳长均不小于2米的概率为P=3．5．故答案为：35从5个节点中随机选一个将绳子剪断，有5种剪法，所得的两段绳长均不小于2米的剪法有3种，由此能求出所得的两段绳长均不小于2米的概率．本题考查古典概型及其概率公式，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答．5.如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为______．【答案】5【解析】解：由算法语句知：算法的功能是求满足S=9−(1+2+3+⋯+i)<0的最小正整数i+1的值，∵S=9−(1+2+3)=3>0，S=9−(1+2+3+4)=−1<0，∴输出的i值为5．故答案为：5．算法的功能是求满足S=9−(1+2+3+⋯+i)<0的最大正整数i+1的值，计算S的值确定输出i的值．本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键．6. 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数y =4sin(2x −π3)的图象，则f(π4)的值为______． 【答案】4【解析】解：由将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数y =4sin(2x −π3)的图象， 可得把函数y =4sin(2x −π3)的图象向左平移π6个单位后得函数f(x)的图象， 故f(x)=4sin(2x +π3−π3)=4sin2x ，则f(π4)=4sin π2=4， 故答案为：4．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得f(x)的值，可得f(π4)的值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7. 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”.已知某黄金圆锥的侧面积为S ，则这个圆锥的高为______． 【答案】√Sπ【解析】解：设出圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为L ， 由题意可知：ℎ2=Lr ，并且12×2πr ×L =s ∴ ℎ2=sπ ℎ=√Sπ故答案为：√Sπ设出圆锥的底面半径高、母线，由题意列出关系，求出圆锥的高即可． 本题考查旋转体的侧面积，等比中项的知识，是基础题．8. 在△ABC 中，若A =π6，B =π3，BC =1，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 【答案】3【解析】解： 如图，∵A =π6，B =π3，BC =1， ∴C =π2，BA =2，CA =√3 延长CA 到D ，使AD =CA ，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×√3cos 5π6=3．由题中数据易得直角三角形，确定各个边角，容易求出数量积．此题考查了平面向量的数量积，属容易题．9.关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−1,2)，则关于x的不等式2a+bx+c>bx 的解集为______．【答案】(−∞,0)【解析】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−1,2)，∴{a<0−1+2=−ba−1×2=ca，b=−a，c=−2a，不等式2a+bx +c>bx可化为：ax−2a>−ax，又a<0，∴1x −2<−x，∴x2−2x+1x<0，解得：x<0，故答案为(−∞,0)．根据不等式ax2+bx+c>0的解集为(−1,2)，推出a<0，b=−a，c=−2a，代入后面不等式可解得．本题考查了一元二次不等式的解法，属中档题．10.在平面直角坐标系xoy中，P是曲线C：y=e x上的一点，直线l：x+2y+c=0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为______．【答案】−4−ln2【解析】解：y=e x的导数y′=e x，与曲线C在P点处的切线垂直，则所求切线的斜率为2，设切点P为(x0,y0)，则e x0=2，所以x0=ln2，y0=e ln2=2．所以直线x+2y+c=0经过点P(ln2,2)，所以c=−4−ln2．故答案为：−4−ln2．求出导数，设出切点，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，可得切点坐标，由代入法，即可得到c．本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率为−1，考查运算能力，属于中档题．11.设x>0，y>0，向量a⃗=(1−x,4)，b⃗ =(x,−y)，若a⃗//b⃗ ，则x+y的最小值为______．【答案】9【解析】解：因为a ⃗ //b ⃗ ， 所以4x +(1−x)y =0， 又x >0，y >0， 所以1x +4y =1，故x +y =(1x +4y )(x +y)=5+yx +4x y≥9．当yx =4xy，1x +4y =1同时成立，即x =3，y =6时，等号成立． (x +y)min =9． 故答案为：9．先根据向量平行得到1x +4y =1，再利用基本不等式即可求出最值． 本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．12. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =na n −3n(n −1)(n ∈N ∗)，且a 2=11，则S 20的值为______． 【答案】1240【解析】解：由S 2=a 1+a 2=2a 2−3×2(2−1)，a 2=11，可得a 1=5． 解法1：当n ≥2时，由a n =S n −S n−1，得a n =na n −3n(n −1)−[(n −1)a n−1−3(n −1)(n −2)]，∴(n −1)a n −(n −1)a n−1=6(n −1)，即a n −a n−1=6(n ≥2,n ∈N ∗)， ∴数列{a n }是首项a 1=5，公差为6的等差数列， ∴S 20=20×5+20×192×6=1240．解法2：当n ≥2时，由S n =na n −3n(n −1)=n(S n −S n−1)−3n(n −1)， 可得(n −1)S n −nS n−1=3n(n −1)， ∴S n n−S n−1n−1=3，∴数列{Sn n}是首项S11=5，公差为3的等差数列， ∴S 2020=5+3×19=62，∴S 20=1240．由S 2=a 1+a 2=2a 2−3×2(2−1)，a 2=11，可得a 1=5．解法1：当n ≥2时，由a n =S n −S n−1，可得a n −a n−1=6(n ≥2,n ∈N ∗)，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．解法2：当n ≥2时，由S n =na n −3n(n −1)=n(S n −S n−1)−3n(n −1)，化为Snn−S n−1n−1=3，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.设函数f(x)={x2,x>ax3,x≤a.若存在实数b，使得函数y=f(x)−bx恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】(−∞,0)∪(0,1)【解析】解：显然x=0必为f(x)−bx的一个零点，当x≠0时，令f(x)−bx=0得b=f(x)x，令g(x)=f(x)x ={x,x>ax2,x≤a，则b=g(x)存在唯一一个非零解．当a<0时，作出g(x)的函数图象，如图所示：显然当a<b<a2且b≠0时，g(x)=b总存在唯一一个非零解，符合题意；当a>0时，作出g(x)的函数图象如图所示：若要使b=g(x)存在唯一一个非零解，则a>a2，解得0<a<1．同理，当a=0时，显然g(x)=b无非零解，综上，a的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．故答案为：(−∞,0)∪(0,1)．令g(x)=f(x)x，则只需让g(x)=b存在唯一一个非零解即可.讨论a的范围，作出g(x)的图象，根据图象判断即可得出结论．本题考查了函数零点与哈数图象的关系，属于中档题．14.在△ABC中，已知sinA=13sinBsinC，cosA=13cosBcosC，则tanA+tanB+tanC的值为______．【答案】196【解析】解：∵cosA，cosB，cosC均不为0，由sinA=13sinBsinC①，cosA=13cosBcosC②，①得：tanA=tanBtanC， ②∵cosA=13cosBcosC，且cosA=−cos(B+C)=sinAsinB−cosAcosB，∴sinAsinB=14cosAcosB，∴tanBtanC=14，∵tanB+tanC=tan(B+C)(1−tanBtanC)=−tanA(1−tanBtanC)=−tanA+ tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=196．故答案为：196．已知两式相除，利用同角三角函数间基本关系化简得到tanA=tanBtanC，化简cosA= 13cosBcosC，求出tanBtanC的值，利用两角和与差的正切函数公式变形即可求出所求式子的值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．二、解答题（本大题共12小题）15.如图，四棱锥P−ABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MA=MC．(1)求证：PB//平面AMC；(2)求证：平面PBD⊥平面AMC．【答案】证明：(1)连结OM，因为O为菱形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点，又M为棱PD的中点，所以OM//PB，…(2分)又OM⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，所以PB//平面AMC；(6分)(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，且O为AC的中点，又MA=MC，故AC⊥OM，…(8分)而OM∩BDO，OM，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，…(11分)又AC⊂平面AMC，所以平面PBD⊥平面AMC.…(14分)【解析】(1)利用三角形中位线的性质，证明OM//PB，从而可得线面平行；(2)先证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面AMC．本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin C2=√104．(1)求cos(C+π6)的值；(2)若△ABC的面积是3√154，且sin2A+sin2B=1316sin2C.求c的值．【答案】解：(1)∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin C2=√104．∴cosC=1−2sin2C2=1−2×(√104)2=1−54=−14，sinC=√1−(−14)2=√154，∴cos(C+π6)=cosCcosπ6−sinCsinπ6=−14×√32−√154×12=−√3+√158．(2)∵△ABC的面积是3√154，∴S△ABC=12absinC=12ab×√154=3√154，解得ab=6，∵sin2A+sin2B=1316sin2C，即a2+b2=1316c2，由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=1316c2−2×6×(−14)=1316c2+3，解得c=4．【解析】(1)推导出cosC=1−2sin2C2=−14，从而sinC=√154，由此利用余弦函数加法定理能求出cos(C+π6).(2)由△ABC的面积是3√154，求出ab=6，由正弦定理得a2+b2=1316c2，由此利用余弦定理能求出c．本题考查三角函值和三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式、余弦函数加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，椭圆焦距为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y =kx +m(k,m ∈R)与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ⋅k OB =34..求证：△AOB 的面积为定值； 【答案】(本小题满分14分) 解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，椭圆焦距为2． ∴由题意：{2c =2e =c a =12a 2=b 2+c 2，所以a =2，b =√3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.……(4分)(2)联立{x 24+y 23=1y =kx +m ，消去y ，化简得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，……(6分) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，故y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3m 2−12k 23+4k 2，……(8分)∵k OA ⋅k OB =y 1y 2x 1x 2=−34，∴2m 2=3+4k 2，……(10分)∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√24(1+k 2)3+4k 2，d =|m|√1+k 2，∴S =12|AB|⋅d =12×√24(1+k 2)3+4k 2⋅|m|√1+k2=12×√24m 23+4k 2=√3为定值.……(14分)【解析】(1)由椭圆离心率为12，椭圆焦距为2，列出方程组，求出a =2，b =√3，由此能求出椭圆C 的方程．(2)联立{x 24+y 23=1y =kx +m ，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由此利用韦达定理、直线的斜率、弦长公式，能证明△AOB 的面积为定值．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形的面积为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、直线的斜率、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．18. 如图，等腰直角三角形区域ABC 中，∠ACB =90∘，BC =AC =1百米.现准备划出一块三角形区域CDE ，其中D ，E 均在斜边AB 上，且∠DCE =45∘.记三角形CDE 的面积为S ． (1)①设∠BCE =θ，试用θ表示S ； ②设AD =x ，试用x 表示S ；(2)求S 的最大值．【答案】解：由题意，∠ACB =90∘，BC =AC =100米，∠ACB =∠ABC =45∘， (1)①设∠BCE =θ(0≤θ≤45∘)，∠CEB =π−π4−θ=3π4−θ，∠CDA =θ+π2．在三角形ACD 和三角形CBE 中，由正弦定理：得：CEsin45∘=1sin(34π−θ)CD sin45∘=1sin(θ+π2)∴CE =1sinθ+cosθ，CD =√22cosθ那么：三角形CDE 的面积为S =12CD ⋅CE ⋅sin45∘=12×1sinθ+cosθ×√22cosθ×√22=14sinθcosθ+4cos 2θ②设AD =x ，∠BCE =θ，那么∠ACD =π4−θ． 在三角形ACD 中，由正弦定理：得：1sin(θ+π2)=xsin(π4−θ)化简可得：x =√22−√22tanθ．得：tanθ=1−√2x. 由①的表达式化简可得：S =sin 2θ+cos 2θ4sinθcosθ+4cos 2θ=tan 2θ+14tanθ+4 将tanθ=1−√2x 带入上式，可得S =√2x)24(1−√2x)+4=2√2x+24(2−√2x)=2√2x+14−2√2x．(2)由①的表达式S =14sinθcosθ+4cos 2θ化简可得：S =12sin2θ+2(1+cos2θ)=2√2sin(2θ+π4)+2．∵0≤θ≤45∘， ∴π4≤2θ+π4≤3π4．可得：sin(2θ+π4)∈[√22,1].∴S max =2√2×√22+2=14． 【解析】(1)①等腰直角三角形区域ABC 中，∠ACB =90∘，BC =AC =100米，∠ACB =∠ABC =45∘，由正弦定理表示CD 和CE ，即可用θ表示S ；②设AD =x ，利用正弦定理把x 与∠BCE =θ建立关系，带入①可得x 表示S (2)利用(1)中①的表达式，根据辅助角公式化简后，利用三角函数的有界限可得S 的最大值．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于中档题．19.已知数列{a n}的各项都为正数，S n=√a+√a +√a+√a⋯+√a+√a．(1)若数列{a n}是首项为1，公差为32的等差数列，求S67；(2)若S n=√a+√a，求证：数列{a n}是等差数列．【答案】(1)解：若数列{a n}是首项为1，公差为32的等差数列，则a n=1+32(n−1)=32n−12，则√a+√a =√a n+1−√a na n+1−a n=23(√a n+1−√a n)，则S67=23(−√a1+√a2−√a2+√a3+⋯+√a68−√a67)=23(√a68−√a1)=23(√4062−1)．(2)证明：当n=2时，S2=√a+√a =√a+√a√a+√a即√a2−√a3(√a+√a)(√a+√a)=√a1√a2(√a+√a)(√a+√a)∴a2−a3=a1−a2即a1，a2，a3成等差数列令n=k时，√a+√a√a+√a ⋯+√a+√a=√a+√a且又{a k}为等差数列且a k+1=a1+kd当n=k+1时，√a+√a√a+√a +√a+√a√a+√a=√a+√a即有√a+√a√a+√a =√a+√ak√a−√a(√a+√a)(√a+√a)=√a−√a(√a+√a)(√a+√a)即k(a k+2−a k+1)=a k+1−a1∵a k+1=a1+kd即a k+2−a k+1=d ∴n=k+1时，{a k+1}也是等差数列，综上得，{a n}是等差数列．【解析】(1)运用等差数列的通项公式，求出an，考虑√a+√a =23(√a n+1−√a n)，再化简S n，再求S67；(2)运用数学归纳法证明，当n=2时，化简得到a2−a3=a1−a2即a1，a2，a3成等差数列，令n=k时，且a k+1=a1+kd，证明当n=k+1时，即k(a k+2−a k+1)=a k+1−a1，由假设即得a k+2−a k+1=d，从而得证．本题主要考查等差数列的通项和裂项相消求和法，同时考查运用数学归纳法证明数列问题，注意解题步骤，注意运用假设，本题属于中档题．20.设定义在R上的函数f(x)=e x−ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x0∈[1,+∞)，使得f(x0)<e−a成立，求实数a的取值范围；(3)定义：如果实数s，t，r满足|s−r|≤|t−r|，那么称s比t更接近r.对于(2)中的a及x≥1，问：ex和e x−1+a哪个更接近lnx？并说明理由．【答案】解：(1)f′(x)=e x−a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上为增函数；当a>0时，由f′(x)>0，得e x−a>0，即x>lna，由f′(x)<0，得x<lna．∴函数的单调增区间为(lna,+∞)，减区间为(−∞,lna)；(2)存在x0∈[1,+∞)，使得f(x0)<e−a成立，即f(x)min<e−a成立．由(1)知，当a≤0时，f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)min=f(1)=e−a，不满足f(x)min<e−a成立．当a>0时，若lna≤1，则f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)min=f(1)=e−a，不满足f(x)min<e−a成立．若lna>1，即a>e，则f(x)在(1,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(lna)<f(1)=e−a．∴实数a的取值范围是(e,+∞)；(3)令p(x)=ex−lnx，q(x)=e x−1+a−lnx(x≥1)，p′(x)=−ex2−1x<0，p(x)在[1,+∞)上单调递减，故当1≤x≤e时，p(x)≥p(e)=0，当x>e时，p(x)<0；q′(x)=e x−1−1x ，q″(x)=e x−1+1x2>0，q′(x)在[1,+∞)上单调递增，故q′(x)≥q′(1)=0，则q(x)在[1,+∞)上单调递增，q(x)≥q(1)=a+1>0．①当1≤x≤e时，令m(x)=|p(x)|−|q(x)|=p(x)−q(x)=ex−e x−1−a．∴m′(x)=−ex2−e x−1<0，故m(x)在[1,e]上单调递减，∴m(x)≤m(1)=e−1−a<0，即|p(x)|<|q(x)|，∴ex比e x−1+a更接近lnx；②当x>e时，令n(x)=|p(x)|−|q(x)|=−p(x)−q(x)=−ex+2lnx−e x−1−a．∴n′(x)=ex2+2x−e x−1<3e−e e−1<0，故n(x)在[e,+∞)上单调递减，∴n(x)≤n(e)<0，即|p(x)|<|q(x)|，∴ex比e x−1+a更接近lnx．综上，当a>e及x≥1时，ex比e x−1+a更接近lnx．【解析】(1)求出函数的导函数，可得当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上为增函数；当a>0时，由f′(x)>0求得x的范围可得函数的单调区间；(2)由题意可得f(x)min <e −a 成立.由(1)知，当a ≤0时，f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)min =f(1)=e −a ，不满足f(x)min <e −a 成立.当a >0时，由f(x)min =f(lna)<f(1)=e −a 成立，可得实数a 的取值范围；(3)令p(x)=ex −lnx ，q(x)=e x−1+a −lnx(x ≥1)，分类求导可得p(x)，q(x)的符号，然后对x 分类，利用导数判断|p(x)|−|q(x)|的符号得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法、逻辑思维能力、灵活变形能力及推理运算能力，难度较大．21. 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100∘，∠BPC =40∘，求∠MPB 的大小．【答案】选修4−1：几何证明选讲，解：因为MA 是圆O 的切线，所以MA 2=MB ⋅MC(2分) 又M 是PA 的中点，所以MP 2=MB ⋅MC 因为∠BMP =∠PMC ，所以△BMP∽△PMC(6分) 于是∠MPB =∠MCP ，在△MCP 中，由∠MPB +∠MCP +∠BPC +∠BMP =180∘， 即100∘+2∠MPB +40∘=180∘； 得∠MPB =20∘(10分)【解析】根据MA 为圆O 的切线，由切割线定理得MA 2=MB ⋅MC.从而MP 2=MB ⋅MC.依据相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC 得出∠MPB =∠MCP.最后在△MCP 中，即得∠MPB ．本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题.找到题中的相似三角形来得到角的相等，是解决本题的关键．22. 已知矩阵M =[2011]，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量． 【答案】解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)=∣∣ −1 λ−1λ−2 0∣∣=λ2−3λ+2，(2分)令f(λ)=0，解得λ1=1，λ2=2，(4分)将λ1=1代入二元一次方程组{−x +(λ−1)y =0(λ−2)⋅x+0⋅y=0解得x =0，(6分) 所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为[10]；(8分) 同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为[11](10分)【解析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f(λ)=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．23. 在极坐标系中，已知圆C ：ρ=2√2cosθ和直线l ：θ=π4(ρ∈R)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【答案】解：圆C ：ρ=2√2cosθ可得ρ2=2√2ρcosθ，∴x 2+y 2=2√2x ，化为(x −√2)2+y 2=2，可得圆心C(√2,0)，半径r =√2． 直线l ：θ=π4(ρ∈R)即y =x ， ∴圆心C 到直线l 的距离d =√2√2=1．∴弦长|AB|=2√r 2−d 2=2．【解析】圆C ：ρ=2√2cosθ可得ρ2=2√2ρcosθ，化为(x −√2)2+y 2=2，可得圆心C(√2,0)，半径r =√2.直线l ：θ=π4(ρ∈R)即y =x ，求出圆心C 到直线l 的距离d =.利用弦长|AB|=2√r 2−d 2即可得出．本题考查了极坐标化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．24. 若正数a ，b 满足a +b =1，求12a+1+42b+1的最小值．【答案】解：令2a +1=m ，2b +1=n ，则m +n =3(m >0,n >0) 所以12a+1+42b+1=m+n 4m +m+n n=54+n 4m+m 4n≥54+2√n 4m⋅m n=94，当且仅当a =16，b =56，取得等号，所以的最小值为94． 【解析】变形后利用基本不等式可求得最小值． 本题考查了基本不等式及其应用.属基础题．25. 若(√x 2 √x4)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．【答案】解：易求得展开式前三项的系数为1,12C n 1,14C n 2.(2分) 据题意2×12C n1=1+14C n 2(3分)⇒n =8(4分) (1)设展开式中的有理项为T r+1，由T r+1=C 8r (√x)8−r (2√x4)r =(12)r C 8rx16−3r4∴r 为4的倍数，又0≤r ≤8，∴r =0，4，8.(6分)T r+1=C 8r(√x)8−r (12√x4)r =(12)r C 8r x 16−3r4 故有理项为：T 1=(12)0C 80x 16−3×04=x 4，T 5=(12)4C 84x 16−3×44=358x ， T 9=(12)8C 88x 16−3×84=1256x 2.(8分)(2)设展开式中T r+1项的系数最大，则：(12)r C 8r ≥(12)r+1C 8r+1且(12)r C 8r ≥(12)r−1C 8r−1(10分)⇒r =2或r =3故展开式中系数最大项为：T 3=(12)2C 82x16−3×24=7x 52T 4=(12)3C 83x 16−3×34=7x 74.(12分)【解析】由题意需先求出展开式中前三项的系数利用它们成等差数列求出n ， (1)由公式T r+1=C r 8(√x)8−r (2√x4)r=(12)r C r 8x 16−3r4，故可知r =0，4，8时，所得的项为有理项，代入求之即可；(2)展开式中系数最大的项满足这样的条件，比其前的项大，也比其后的项大，由此关系可得限制条件.解不等式求出r 既得．本题考查二项式系数的性质，解题的关键是熟练掌握理解二项式系数的性质及相关的公式，求二项式系数的最大项是考试的一个热点，掌握其转化的条件，及转化的思想，在一些求最值的问题中，此做法有推广的必要．26. 在数列{a n }中，已知a 1=20，a 2=30，a n+1=3a n −a n−1(n ∈N ∗,n ≥2)．(1)当n =2，3时，分别求a n 2−a n−1a n+1的值，判断a n 2−a n−1a n+1是否为定值，并给出证明；(2)求出所有的正整数n ，使得5a n+1a n +1为完全平方数． 【答案】解：(1)由已知得a 3=70，a 4=180．所以n =2时，a n 2−a n−1a n+1=−500；当n =3时，a n 2−a n−1a n+1=−500.…(2分) 猜想：a n 2−a n−1a n+1=−500(n ≥2). …(3分)下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，结论成立．②假设当n =k(k ≥2,k ∈N ∗)时，结论成立，即a k2−a k−1a k+1=−500， 将a k−1=3a k −a k+1，代入上式，可得a k 2−3a k a k+1+a k+12=−500．则当n =k +1时，a k+12−a k+1a k+2=a k+12−a k (3a k+1−a k )=a k+12−3a k a k+1+a k 2=−500．故当n =k +1结论成立，根据①，②可得，a n 2−a n−1a n+1=−500(n ≥2)成立.…(5分)(2)将a n−1=3a n −a n+1代入a n 2−a n−1a n+1=−500，得a n 2−3a n a n+1+a n+12=−500，则5a n−1a n+1=(a n +a n+1)2+500，5a n−1a n+1+1=(a n +a n+1)2+501， 设5a n−1a n+1+1=t 2(t ∈N ∗)，则t 2−(a n +a n+1)2+501， 即[t −(a n +a n+1)][t +(a n +a n+1)]=501，…(7分) 又a n +a n+1∈N ，且501=1×501=3×167， 故{a n +a n+1+t =501a n +a n+1−t=−1或{a n +a n+1+t =167a n +a n+1−t=−3所以{an +a n+1=250t=251或{an+a n+1=82t=85由a n+a n+1=250解得n=3；由a n+a n+1=82得n无整数解．所以当n=3时，满足条件.…(10分)【解析】(1)求出结果判断是否为定值，然后利用数学归纳法证明即可．(2)利用(1)化简求解a n+a n+1的值，通过5a n+1a n+1为完全平方数，求出所有的正整数n，即可．本题考查数列的综合运用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．。
江苏省海安高级中学2019届高三阶段测试数学试卷
海安高级中学2019届高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则U A B =ð .{}14， 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = .3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .564．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .1155．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为线方程为. y =6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．1 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．28．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 3π9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .2310．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .211．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．1a <-12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．1615-13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为.14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ．135二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求f (x )的定义域与最小正周期；（2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？ 【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则302102x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ，因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t + 210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .【解析】（1）由题意得2c=，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ． 【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)kk k a a -++=-，于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有 133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n nn =--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．【解析】（1），，所以点坐标为； 又，，则切线方程为， 所以函数在点处的切线方程为．（2）由， 得；① 时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；② 时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 时，或，当时，无整数解； 当时，不等式有且仅有三个整数解，又，， 因为在递增，在递减；所以， 即，即；所以实数的取值范围为． （3），因为，所以， 即，令，， 则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增． 所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或． 因为为正实数，所以．ln ()xf x x=(1)0=f P (1,0)21ln '()xf x x -='(1)1=f 01-=-y x ()f x (1,(1))P f 10--=x y 21ln '()(0)-=>xf x x 2()()0f x tf x +>()[()]0+>f x f x t 0t >()0f x >()f x t <-0t =()0f x ≠0x >1x ≠0t <()0f x <()f x t >-()0f x <()f x t >-ln3(3)3f =ln 2(2)(4)2f f ==ln5(5)5f =()f x (0,)e (,)e +∞(5)(4)f t f ≤-<ln5ln 252t ≤-<ln 2ln525t -<≤-t ln 2ln525t -<≤-2()24ln =-+h x x x x 221212()()0+-=h x h x x x 22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-12t x x =2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>(0,1)t ∈()0t ϕ'<2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(0,1)(1,)t ∈+∞()0t ϕ'>2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(1,)+∞2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->1t =12,x x 221212()()0+-=h x h x x x 21212()2()3x x x x +-+≥21212()2()30x x x x +-+-≥123x x +≥121x x +-≤12,x x 123x x +≥（附加题）21．（B ）已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值λ1=-1及对应的特征向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，求矩阵M 的逆矩阵.【解析】由题知， - = -- =-1· - = - ⇒ - - ， - ，所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1= --.21．（C ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(12)，，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F (1，0)，直线x=-1与动直线y=n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值.【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线， 焦点为F (1，0)，准线为x=-1. 所以轨迹E 的方程为y 2=4x.(2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立， ，得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0， 即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23．设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N *，记M 1<M 2<…<M n 的概率为P n . （1）求P 2的值；（2）求证：P n >()211n C n ++！.【解析】(1) 由题意知P 2== ，即P 2的值为. (2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的 - n= -个数中最大数在第n -1行的概率为 - -= ;… 故P n = ··…·= - · ·…· =.由于2n =(1+1)n = + + +…+ ≥ + + > + = ，所以>，即P n >.。
江苏省南通市海安高级中学2019届高三数学11月检测试题含答案
0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 频率组距视力0.250.50 0.75 1.00 1.75（第3题）S ←9 i ←1While S ≥0 S ←S -i i ←i +1 End While Print i（第5题）江苏省南通市海安高级中学 2019届高三数学11月检测试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1．已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ． 2． 已知复数z 3i a =+（i 为虚数单位，a 0>），若2z 是纯虚数，则a 的值为 ． 3． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统 计，其结果的频率分布直方图如右图．若某 高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 ． 4． 一根绳子长为6米，绳上有5个节点将该绳6等分，现从这5个节点中随机选择一个将绳子剪 断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率 为 ．5． 右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ．6．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ．7．若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为 “黄金圆锥”．已知一黄金圆锥的侧面积为π，则这个圆锥 的高为 ． 8． 在△ABC 中，若π6A =，π3B =，1=BC ，则BA CA ⋅的值为 ． 9． 关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为()12-，，则关于x 的不等式bx c xba >++2的解集为 ．10． 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P点处的切线垂直，则实数c 的值为 ．11．设x ＞0，y ＞0，向量a ＝(1－x ，4)，b ＝(x ，－ y )，若a ∥b ，则x ＋y 的最小值为 ． 12．设S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为 ．APDCOM （第15题）13．设函数32().x x a f x x x a ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，，，若存在实数b ，使得函数()y f x bx =-恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．14．在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，四棱锥P -ABCD 中，O 为菱形ABCD 对角线的交点，M 为棱PD 的中点，MA = MC ． （1）求证：PB //平面AMC ； （2）求证：平面PBD ⊥平面AMC ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10sin 2C =．（1）求()πcos 6C +的值；（2）若△ABC 315，且sin 2A +sin 2B =1316sin 2C ，求c 的值．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：错误！未找到引用源。
江苏省南通市海安市2019届高三上学期期末学业质量监测数学试题(解析版)
南通海安2019届高三上学期期末学业质量监测数学一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． ) 1．已知集合A ＝｛x |x ＝2k －1，k ∈Z ｝，B ＝｛x |x ＝2k ，k ∈Z ｝，则A ∩B ＝ ． 答案：∅考点：集合的运算。
解析：集合A 的元素是奇数，集合B 的元素是偶数，所以，A ∩B ＝∅ 2．命题“∀x ＞1，x 2＞1”的否定为 ． 答案：21,1x x ∃>≤ 考点：命题的否定。
解析：将全称量词“任意”改为特称量词“存在”，并且否定结论即可。
3．已知实数a ，b 满足a ＋bi ＝i 2019(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ． 答案：－1考点：复数的运算。
解析：201821009()a bi ii i i i +=⨯=⨯=-，所以，0,1a b ==-，1a b +=-4．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，－4，－1，0，2，则该组数据的标准差为 ． 答案：4考点：数据标准差的计算方法。
解析：平均数为：1(84102)15x =--++=， 标准差为：S ＝1(4925411)165++++=＝4 5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 29＝1的一条准线与两条渐近线所围成的面积为 ．答案：2413考点：双曲线的性质。
解析：双曲线的渐近线为：32y x =±，准线为：413x =±，右准线与渐近线交点为A （413，613），B （413，－613） 围成三角形面积为：S ＝1124242131313⨯⨯= 6．根据如图所示的伪代码，若输出的y 的值为12，则输入的x 的值为 ．答案：－62考点：算法初步。
解析：当x ≤0时，2112x -=，62x =-，当x ＞0时，122x=，x ＝－1，不符，所以，62x =-7．已知O 为矩形ABCD 的对角线的交点，现从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为 ． 答案：45考点：古典概型。
江苏省南通市海安县2019届高三上学期期中质量监测数学试题(解析版)
江西省海安县2019届高三期中学业质量监测试题数学2018．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝_______．【答案】{2，8}【解析】【分析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】在全集U中找出集合A中没有的元素就是答案，所以，∁U A＝{2，8}故答案为：{2，8}【点睛】这个题目考查了集合的补集的运算，较为简单.2.已知复数z满足(1i)43iz+=-（i为虚数单位），则复数z的模为_______．【解析】【分析】根据复数的除法运算得到1722z i=-，再由模长公式得到结果.【详解】Z＝43(43)(1)17 1222i i ii i---==-+，所以，复数z【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B 型号的新能源汽车的台数为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例计算得到结果. 【详解】抽取的比例为：16112021015030=++，所以，抽取B 型号台数为：121030´＝7 故答案为：7.【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设实数x ，y 满足1023x y x y ì³ïï³íï+?ïî，则x ＋y 的最小值为_______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数经过B 点时取得最值.【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示，当目标函数z ＝x+y 经过点B （1,1）时， x+y 有最小值为：1+1＝2，故答案为：2.【点睛】利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x ay b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
江苏省海安高级中学2019届高三上学期12月月考数学试题含答案
2019届高三年级阶段测试（三）数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则B C A U . 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = . 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .5．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为 .6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ． 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .11．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为 .14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ． 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ．20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；（3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．.{}14，2．3． 564． 115 5． y = 6． 1 7． 28．3π9． 23 10． 2 11． 1a <- 12． 1615- 13． 14． 135 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD .16． 【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 17．【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ， 因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t +210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 18．【解析】（1）由题意得2c =c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB =||AB（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)k k k a a -++=-， 于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立.所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n=--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n nn n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．【解析】（1）ln ()xf x x=，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)； 又21ln '()xf x x-=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ， 所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ． （2）21ln '()(0)-=>xf x x x由2()()0f x tf x +>， 得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍； ② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解； 当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<，即ln5ln 252t ≤-<，即l n 2l n 525t -<≤-；所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-． （3）2()24ln =-+h x x x x ，因为221212()()0+-=h x h x x x ，所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=， 即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->， 则2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x ，所以21212()2()3x x x x +-+≥，即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤． 因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．（附加题）21．（B ）【解析】由题知，==-1·=⇒所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1=.21．（C ）【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①第 11 页 共 11 页 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线，焦点为F (1，0)，准线为x=-1.所以轨迹E 的方程为y 2=4x. (2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立 得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0，即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23． 【解析】(1) 由题意知P 2==，即P 2的值为.(2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数， 则余下的 - n=个数中最大数在第n -1行的概率为=;…故P n =··…·==.由于2n =(1+1)n =+++…+≥++>+=， 所以>，即P n >.。
2019届江苏省海安高级中学高三上学期第二次月考数学试题(解析版)
2019届江苏省海安高级中学高三上学期第二次月考数学试题一、填空题1．已知集合，，则______．【答案】【解析】利用交集定义直接求解．【详解】集合，，．故答案为：．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限．【答案】四【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出的坐标得答案．【详解】，，则复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有______辆【答案】80【解析】试题分析：时速在区间内的汽车有【考点】频率分布直方图4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，（B，C）、（B，（A，乙）、摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为.故答案为.点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．【答案】【解析】根据表中数据计算平均数和方差即可．【详解】根据表中数据，计算平均数为，方差为．故答案为：．【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题．6．如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.详解：程序执行如下故不成立时，.故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．若，，则，若，，，则；若，，，则；若，，，则．上述命题中为真命题的是______填写所有真命题的序号．【答案】【解析】由线面垂直的判定定理可知正确；与n可能平行可能相交；与n可能平行或异面；由线面平行的性质定理可知正确．【详解】选项正确，由线面垂直的判定定理可知：若，，则；选项错误，若，，，则m与n可能平行可能相交；选项错误，若，，，则m与n可能平行或异面；选项正确，由线面平行的性质定理可知：若，，，则．故答案为：【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，熟记基本定理，准确推理是关键，属基础题．8．公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月天共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺匹丈，1丈尺【答案】【解析】分析：设该女子织布每天增加尺，由等差数列前项和公式求出即可.详解：设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺又由等差数列前项和公式得，解得尺故答案为点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.9．若，则______．【答案】【解析】，可得，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出．【详解】，，，化为：，，，解得．，故答案为：【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且，，，则______．【答案】【解析】建立坐标系，设，，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．【详解】以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设，，，则，，，，，整理可得：．又，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．11．已知关于x的方程在上有三个相异实根，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】分析：将方程问题转换为函数与的图象在上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：方程在上有3个相异实根，函数与的图象在上有三个不同交点，在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在上，函数与有两个不同的交点，在上，函数与有一个交点，联立，整理得，，即，解得实数的取值范围为故答案为点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力.12．已知，，且，则的最小值等于______．【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：，，，，，，当且仅当时取等号..的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用. 13．如图，已知，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点不含端点A，B，，且，则的最大值为______．【答案】4【解析】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A，B，C的坐标，可得以AB为直径的半圆方程，以AC为直径的半圆方程，设出M，N的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．【详解】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，可得，，，以AB为直径的半圆方程为，以AC为直径的半圆方程为，设，，，，，可得，即有，即为，即有，又，，可得，即，则，可得，即，时，的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．14．若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可得先对b恒成立，即为，再由参数分离和函数的导数，求得单调性和最值，即可得到所求a的范围．【详解】关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，先看成b的一次函数，可得即为，可得恒成立，设，，，可得时，，递增；时，，递减，又，，可得在的最小值为，可得．即有a的范围是．故答案为：．【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、解答题15．已知内接于单位圆，且，求角C求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】变形已知条件可得，代入可得，可得C值；由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab的取值范围，进而可得面积的最值．【详解】，，的外接圆为单位圆，其半径由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入数据可得，当且仅当a=b时，“=”成立，的面积，面积的最大值为：【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题．16．（本小题满分14分）如图，在四面体中，，点是的中点，点在线段上，且．（1）若∥平面，求实数的值；（2）求证：平面平面．【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）已知线面平行，可利用其性质定理，将其转化为线线平行，得比例等量关系：因为∥平面，易得平面，平面平面，所以，又点是的中点，点在线段上，所以点为的中点，由得（2）证面面垂直，关键证线面垂直，由题意分析证平面，这是因为，点E是BC的中点，所以，，又，平面，所以平面试题解析：解：（1）因为∥平面，易得平面，平面平面，所以，又点是的中点，点在线段上，所以点为的中点，由得；7分（2）因为，点E是BC的中点，所以，，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面AED．14分【考点】线面平行性质定理，面面垂直判定定理17．（题文）如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，于，于，且，. 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当时，四边形材料的面积最小，最小值为.【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出和，进而得出四边形材料的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点在上的位置.详解：解：（1）在直角中，因为，，所以，所以，在直角中，因为，，所以，所以，所以，.（2）因为，令，由，得，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时，，，答：当时，四边形材料的面积最小，最小值为.点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18．已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E 有两个交点A，B，线段AB的中点为M．若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）（2）见证明；（3）见解析【解析】，椭圆E：，两个焦点，，设，求出的表达式，然后求解范围即可．设A，B的坐标分别为，，利用点差法转化求解即可．直线l过点，直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是且设，设直线，代入椭圆方程，通过四边形OAPB为平行四边形，转化求解即可．【详解】，椭圆E：，两个焦点，设，，，，，的范围是设A，B的坐标分别为，，则两式相减，得，，即，故；设，设直线，即，由的结论可知，代入椭圆方程得，，由与，联立得若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，即，整理得解得，．经检验满足题意所以当时，四边形OAPB为平行四边形【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19．已知函数，，其中a为常数，且曲线在其与y 轴的交点处的切线记为，曲线在其与x轴的交点处的切线记为，且．求，之间的距离；若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；对于函数和的公共定义域中的任意实数，称的值为两函数在处的偏差求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【答案】（1）（2）（3）见证明【解析】求出函数的导数，结合题意求出a的值，求出，的解析式，求出平行线间的距离即可；令，问题转化为，求出m的范围即可；法一：令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，证明即可；法二：令，，令，；令，，根据函数的单调性证明即可．【详解】，，的图象与坐标轴的交点为，的图象与坐标轴的交点为，由题意得，即，又，，，函数和的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：，，两平行切线间的距离为由，得，故在有解，令，则，当时，；当时，，，，，，故，即在区间上单调递减，故，，即实数m的取值范围为解法一：函数和的偏差为：，，，设为的解，则则当，；当，，在单调递减，在单调递增，，，，，故F，即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于解法二：由于函数和的偏差：，，令，；令，，，，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，，，即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，不等式有解问题，考查新定义，正确求导，理解新定义是解题的关键，是难题20．设数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；设数列满足：对于任意的，都有成立．求数列的通项公式；设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，.(2)①，.②见解析.【解析】分析：（1）当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列的通项公式.；（2）①将代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列的通项公式；②由的通项公式分析，得…，假设存在三项，，成等差数列，且，则，即，根据数列的单调性，化简得，将或代入已知条件，即可得到结论.详解：解：（1）由，①得，②由①-②得，即，对①取得，，所以，所以为常数，所以为等比数列，首项为1，公比为，即，.（2）①由，可得对于任意有，③则，④则，⑤由③-⑤得，对③取得，也适合上式，因此，.②由（1）（2）可知，则，所以当时，，即，当时，，即在且上单调递减，故…，假设存在三项，，成等差数列，其中，，，由于…，可不妨设，则（），即，因为，，且，则且，由数列的单调性可知，，即，因为，所以，即，化简得，又且，所以或，当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意，当时，由题意或，即，又，代入（）式得，因为数列在且上单调递减，且，，所以，综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，求出；（2）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．。
江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题(解析版)
江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】角：集合，，．故答案为：．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限．【答案】四【解析】解：，，则复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故答案为：四．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有______辆【答案】80【解析】解：由频率分布直方图得：时速在区间内的汽车的频率为．时速在区间内的汽车有辆．故答案为：80．由频率分布直方图先求出时速在区间内的汽车的频率，由此能求出时速在区间内的汽车数量．本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．4.袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】【解析】解：袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，基本事件总数，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数，摸出1个黑球和1个白球的概率．故答案为：．从中一次摸出2个球，基本事件总数，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数，由此能求出摸出1个黑球和1个白球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．【答案】【解析】解：根据表中数据，计算平均数为，方差为．故答案为：．根据表中数据计算平均数和方差即可．本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．6.如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】解：第一次循环得到，；第二次循环得到，；第三次循环得到，；第四次循环得到，；此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出．故答案为：25．据程序框图的运行过程，写出前4次循环得到的结果，即可得出结束循环时输出的结果．本题考查了程序框图的运行应用问题，通过执行框图转化为数学求积问题，是基础题．7.已知m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面．若 ， ，则 ，若 ， ， ，则；若 ， ， ，则；若 ， ， ，则．上述命题中为真命题的是______填写所有真命题的序号．【答案】【解析】解：选项 正确，由线面垂直的判定定理可知：若 ， ，则 ；选项 错误，若 ， ， ，则m与n可能平行可能相交；选项 错误，若 ， ， ，则m与n可能平行或异面；选项 正确，由线面平行的性质定理可知：若 ， ，，则．故答案为：由线面垂直的判定定理可知正确； 与n可能平行可能相交； 与n可能平行或异面； 由线面平行的性质定理可知正确．本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，属基础题．8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月天共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺匹丈，1丈尺【答案】【解析】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，，解得尺故答案为：．设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式能求出d，即可．本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9.若，则______．【答案】【解析】解：，，，化为：，，，解得．，故答案为：．，可得，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出．本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且，，，则______．【答案】【解析】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设，，，则，，，，，整理可得：．又，，．故答案为：．建立坐标系，设，，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．11.已知关于x的方程在上有三个相异实根，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：关于x的方程，显然方程不成立，可得，设，则，画出的图象，可得当时，和的图象有3个交点，即关于x的方程在上有三个相异实根，故答案为：．由题意可得，设，画出在且上的图象，通过图象观察，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查化简变形能力，属于中档题．12.已知，，且，则的最小值等于______．【答案】11【解析】解：已知，，且，则，，故答案为：11直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.如图，已知，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点不含端点A，B，，且，则的最大值为______．【答案】4【解析】解：以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，可得，，，以AB为直径的半圆方程为，以AC为直径的半圆方程为，设，， ， ，，可得，即有，即为 ，即有，又 ， ，可得 ，即 ，则，可得，即，时，的最大值为4．故答案为：4．以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A，B，C 的坐标，可得以AB为直径的半圆方程，以AC为直径的半圆方程，设出M，N的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得 ，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．14.若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，可得的最小值，即为，可得的最小值，设，，导数为，可得时，，递增；时，，递减，又，，可得在的最小值为，可得．即有a的范围是．故答案为：．由题意可得的最小值，即为，再由参数分离和函数的导数，求得单调性和最值，即可得到所求a的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知内接于单位圆，且，求角C求面积的最大值．【答案】解：，，得外接圆为单位圆，其半径由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入数据可得，，得面积，面积的最大值为：【解析】变形已知条件可得，代入可得，可得C值；由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab得取值范围，进而可得面积的最值．本题考查两角和与差得正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．16.如图，在四面体ABCD中，，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．若平面ABD，求实数的值；求证：平面平面AED．【答案】解：因为平面ABD，易得平面ABC，平面平面，所以，又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点，由得；因为，点E是BC的中点，所以，，又，AE、平面AED，所以平面AED，而平面BCD，所以平面平面AED．【解析】因为平面ABD，所以平面ABC，，由此能够求出实数的值．因为，点E是BC的中点，所以，，由此能够证明平面平面AED．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．17.如图，长方形材料ABCD中，已知，点P为材料ABCD内部一点，于E，于F，且，现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足 ，点M，N分别在边AB，AD上．设 ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．【答案】解：在直角中，因为， ，所以，所以分在直角中，因为PE，，所以，所以分所以，，分注：定义域错误扣1分因为分令，由，得，分所以分分当且仅当时，即时等号成立分此时，，．答：当时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为分【解析】Ⅰ分别计算出，，则，即可求出，Ⅱ化简S，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．18.已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．【答案】解：，椭圆E：，两个焦点，设，，，，，的范围是分设A，B的坐标分别为，，则两式相减，得，，即，故；分直线l过点，直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是且．设，设直线：，即：，由的结论可知：，代入椭圆方程得，，分由与，联立得分若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，即，整理得解得，．所以当时，四边形OAPB为平行四边形分【解析】，椭圆E：，两个焦点，，设，求出的表达式，然后求解范围即可．设A，B的坐标分别为，，利用平方差法转化求解即可．直线l过点，直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是且设，设直线：，即：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB为平行四边形，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．19.已知函数，，其中a为常数，且曲线在其与y轴的交点处的切线记为，曲线在其与x轴的交点处的切线记为，且．求，之间的距离；若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；对于函数和的公共定义域中的任意实数，称的值为两函数在处的偏差求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【答案】解：，，的图象与坐标轴的交点为，的图象与坐标轴的交点为，由题意得，即，又，分，，函数和的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：，，两平行切线间的距离为分由，得，故在有解，令ℎ，则ℎ，当时，；当时，ℎ，，，，，故ℎ，即ℎ在区间上单调递减，故ℎℎ，，即实数m的取值范围为分解法一：函数和的偏差为：，，，设为的解，则当，；当，，在单调递减，在单调递增，，，，，故F，即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于分解法二：由于函数和的偏差：，，令，；令，，，，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，，，即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于分【解析】求出函数的导数，结合题意求出a的值，求出，的解析式，求出平行线间的距离即可；令ℎ，问题转化为ℎ，求出m的范围即可；法一：令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，证明即可；法二：令，，令，；令，，根据函数的单调性证明即可．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，正确求导，理解新定义是解题的关键．20.设数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；设数列满足：对于任意的，都有成立．求数列的通项公式；设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【答案】解：由，得，，由得，即．对 取得，，所以，所以为等比数列，首项为1，公比为，即，．由，可得对于任意．有，则，，则，，由得，对 取得，也适合上式，因此，．由可知，则，所以当时，，即，当时，，即在且上单调递减，故，假设存在三项，，成等差数列，其中s，p，，由于，可不妨设，则，即，因为s，p，，且，则且，由数列的单调性可知，，即，因为，所以，即，化简得，又且，所以或，当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意．当时，由题意或，即，又，代入式得．因为数列在且上单调递减，且，，所以．综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列．【解析】将n换为，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；将等式中的n换为，乘以，相减可得所求通项公式；求得，讨论单调性，假设存在三项，，成等差数列，其中s，p，，运用等差数列中项性质和不等式的性质，推理运算，即可得到所求结论．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2019年4月江苏海安高级中学高考模拟数学试题解析卷
基底法等等.
11.在平面直角坐标
xOy
中，已知点
A1,0,B4,0，若直线
x
−
y
+
m
=
0
上存在点
P
使得PA
=
1 2
PB，则实数
m
的取值范围是_______．
【答案】− 2 2,2 2 【解析】
【分析】
根据PA
=
1 2
PB得出点
P
的轨迹方程，又点
P
在直线
x
−
y
+
m
=
0
上，则点
P
的轨迹与直线必须有公共点，进
2.sin − 300∘ =_______． 【答案】 3
2
【解析】 试题分析：sin( − 300°) = sin( − 360° + 60°) = sin60° = 23. 考点：正弦函数的诱导公式.
3.已知复数 z =− i1 + 2i，其中 i 是虚数单位，则z =_______． 【答案】 5 【解析】 【分析】 求出复数 z 的标准形式，根据复数模的计算公式求解. 【详解】解：z =− i(1 + 2i) = 2 − i 所以|z| = 22 + 1 = 5 【点睛】本题考查了复数模的运算，解题的关键是通过复数运算法则求出复数的标准形式.
O1为底面正三角形的中心， O 为外接球的球心，设外接球的半径为 R， 则有 OO1 ⊥ O1C,OC = R，OD = R, 因为正四面体的边长为 2，
所以O1C
=
2 3
×
3 2
×
2 = 36,
3
故O1D =
DC2 − O1C2 =
江苏省海安高级中学2019届高三数学上学期第二次月考试题(含解析)
江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题一、填空题（本大题共14小题）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】利用交集定义直接求解．【详解】集合，，．故答案为：．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限．【答案】四【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出的坐标得答案．【详解】，，则复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有______辆【答案】80【解析】试题分析：时速在区间内的汽车有考点：频率分布直方图4.袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为.故答案为.点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5.在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．【答案】【解析】【分析】根据表中数据计算平均数和方差即可．【详解】根据表中数据，计算平均数为，方差为．故答案为：．【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题．6.如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 详解：程序执行如下故不成立时，.故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．若，，则，若，，，则；若，，，则；若，，，则．上述命题中为真命题的是______填写所有真命题的序号．【答案】【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可知正确；与n可能平行可能相交；与n可能平行或异面；由线面平行的性质定理可知正确．【详解】选项正确，由线面垂直的判定定理可知：若，，则；选项错误，若，，，则m与n可能平行可能相交；选项错误，若，，，则m与n可能平行或异面；选项正确，由线面平行的性质定理可知：若，，，则．故答案为：【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，熟记基本定理，准确推理是关键，属基础题．8.公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月天共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺匹丈，1丈尺【答案】【解析】分析：设该女子织布每天增加尺，由等差数列前项和公式求出即可.详解：设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺又由等差数列前项和公式得，解得尺故答案为点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.9.若，则______．【答案】【解析】【分析】，可得，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出．【详解】，，，化为：，，，解得．，故答案为：【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且，，，则______．【答案】【解析】【分析】建立坐标系，设，，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．【详解】以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设，，，则，，，，，整理可得：．又，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．11.已知关于x的方程在上有三个相异实根，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】分析：将方程问题转换为函数与的图象在上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：方程在上有3个相异实根，函数与的图象在上有三个不同交点，在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在上，函数与有两个不同的交点，在上，函数与有一个交点，联立，整理得，，即，解得实数的取值范围为故答案为点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力.12.已知，，且，则的最小值等于______．【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：，，，，，，当且仅当时取等号..的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.13.如图，已知，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点不含端点A，B，，且，则的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A，B，C的坐标，可得以AB为直径的半圆方程，以AC为直径的半圆方程，设出M，N的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．【详解】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，可得，，，以AB为直径的半圆方程为，以AC为直径的半圆方程为，设，，，，，可得，即有，即为，即有，又，，可得，即，则，可得，即，时，的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．14.若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得先对b恒成立，即为，再由参数分离和函数的导数，求得单调性和最值，即可得到所求a的范围．【详解】关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，先看成b的一次函数，可得即为，可得恒成立，设，，，可得时，，递增；时，，递减，又，，可得在的最小值为，可得．即有a的范围是．故答案为：．【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题）15.已知内接于单位圆，且，求角C求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】变形已知条件可得，代入可得，可得C值；由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab的取值范围，进而可得面积的最值．【详解】，，的外接圆为单位圆，其半径由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入数据可得，当且仅当a=b时，“=”成立，的面积，面积的最大值为：【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题．16.（本小题满分14分）如图，在四面体中，，点是的中点，点在线段上，且．（1）若∥平面，求实数的值；（2）求证：平面平面．【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）已知线面平行，可利用其性质定理，将其转化为线线平行，得比例等量关系：因为∥平面，易得平面，平面平面，所以，又点是的中点，点在线段上，所以点为的中点，由得（2）证面面垂直，关键证线面垂直，由题意分析证平面，这是因为，点E是BC的中点，所以，，又，平面，所以平面试题解析：解：（1）因为∥平面，易得平面，平面平面，所以，又点是的中点，点在线段上，所以点为的中点，由得； 7分（2）因为，点E是BC的中点，所以，，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面AED． 14分考点：线面平行性质定理，面面垂直判定定理17.如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，于，于，且，. 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当时，四边形材料的面积最小，最小值为. 【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出和，进而得出四边形材料的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点在上的位置.详解：解：（1）在直角中，因为，，所以，所以，在直角中，因为，，所以，所以，所以，.（2）因为，令，由，得，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时，，，答：当时，四边形材料的面积最小，最小值为.点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18.已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）（2）见证明；（3）见解析【解析】【分析】，椭圆E：，两个焦点，，设，求出的表达式，然后求解范围即可．设A，B的坐标分别为，，利用点差法转化求解即可．直线l过点，直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是且设，设直线，代入椭圆方程，通过四边形OAPB为平行四边形，转化求解即可．【详解】，椭圆E：，两个焦点，设，，，，，的范围是设A，B的坐标分别为，，则两式相减，得，，即，故；设，设直线，即，由的结论可知，代入椭圆方程得，，由与，联立得若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，即，整理得解得，．经检验满足题意所以当时，四边形OAPB为平行四边形【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19.已知函数，，其中a为常数，且曲线在其与y轴的交点处的切线记为，曲线在其与x轴的交点处的切线记为，且．求，之间的距离；若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；对于函数和的公共定义域中的任意实数，称的值为两函数在处的偏差求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【答案】（1）（2）（3）见证明【解析】【分析】求出函数的导数，结合题意求出a的值，求出，的解析式，求出平行线间的距离即可；令，问题转化为，求出m的范围即可；法一：令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，证明即可；法二：令，，令，；令，，根据函数的单调性证明即可．【详解】，，的图象与坐标轴的交点为，的图象与坐标轴的交点为，由题意得，即，又，，，函数和的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：，，两平行切线间的距离为由，得，故在有解，令，则，当时，；当时，，，，，，故，即在区间上单调递减，故，，即实数m的取值范围为解法一：函数和的偏差为：，，，设为的解，则则当，；当，，在单调递减，在单调递增，，，，，故F，即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于解法二：由于函数和的偏差：，，令，；令，，，，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，，，即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，不等式有解问题，考查新定义，正确求导，理解新定义是解题的关键，是难题20.设数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；设数列满足：对于任意的，都有成立．求数列的通项公式；设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，.(2)①，.②见解析.【解析】分析：（1）当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列的通项公式.；（2）①将代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列的通项公式；②由的通项公式分析，得…，假设存在三项，，成等差数列，且，则，即，根据数列的单调性，化简得，将或代入已知条件，即可得到结论.详解：解：（1）由，①得，②由①-②得，即，对①取得，，所以，所以为常数，所以为等比数列，首项为1，公比为，即，.（2）①由，可得对于任意有，③则，④则，⑤由③-⑤得，对③取得，也适合上式，因此，.②由（1）（2）可知，则，所以当时，，即，当时，，即在且上单调递减，故…，假设存在三项，，成等差数列，其中，，，由于…，可不妨设，则（*），即，因为，，且，则且，由数列的单调性可知，，即，因为，所以，即，化简得，又且，所以或，当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意，当时，由题意或，即，又，代入（*）式得，因为数列在且上单调递减，且，，所以，综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，求出；（2）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．。
江苏海安高级中学2019高三12月检测试题-数学
江苏海安高级中学2019高三12月检测试题-数学【一】填空题：〔本大题共14小题，每题5分，共70分、请将答案填在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．〕 1、 复数2i1iz =-〔i 为虚数单位〕的实部是 ▲ 、【答案】—1 2、 集合{}3,2a A =，{},B a b =，假设{}2AB =，那么AB = ▲ 、【答案】{1,2,3} 3、 等比数列{}n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1，2a +5，那么数列{}n a 的通项公式n a = ▲ 、【答案】13n -4、 假设()ππ,42θ∈，且1sin 216θ=，那么cos sin θθ-的值是 ▲ 、【答案】5、 设,,a b c 是单位向量，且=+a b c ，那么向量a,b 的夹角等于 ▲ 、【答案】3π 6、 假设函数ln 26y x x =+-的零点为0x ，那么满足0k x ≤的最大整数k = ▲ 、【答案】27、 定义在R 上的可导函数()y f x =满足()()5f x f x +=-，()()250x f x '->、错误！未找到引用源。
12x x <，那么“()()12f x f x >”是“125x x +<”错误！未找到引用源。
的 ▲ 条件. 【答案】充分必要8、 函数()32f x x ax bx c =+++的图象过点A 〔2，1〕，且在点A 处的切线方程2x —y + a = 0，那么a + b + c = ▲ 、【答案】09、 在平面直角坐标系中，两条平行直线的横截距相差20，纵截距相差15，那么这两条平行直线间的距离为 ▲ 、【答案】1210、半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且满足AB ⊥AC ，AC ⊥AD ，AD ⊥AB ，那么ABC S ∆+ACD ADB S S ∆∆+的最大值为〔S 为三角形的面积〕 ▲ 、【答案】32 11、(A ，O 是原点，点P 的坐标为〔x ，y 〕满足条件0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，那么||OA OP z OP ⋅=的取值范围是 ▲ 、【答案】[]3,3-12、假设对任意[],1,2x y ∈，x y =2，总有不等式2—x ≥4a y -成立，那么实数a 的取值范围是▲ 、【答案】a ≤0①“k =1”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；②函数()πsin 26y x =-的图像沿x 轴向右平移π6个单位所得的图像的函数表达式是cos2y x =；③函数()2lg 21y ax ax =-+的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是〔0，1〕；④设O 是△ABC 内部一点，且2OA OB OC ++=0，那么△AOB 和△AOC 的面积之比为1：2； 其中真命题的序号是▲、〔写出所有真命题的序号〕【答案】④14、定义在R 上的函数满足()()()1(0)0,11,()52x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，那么1()2012f =▲、【答案】132 【二】解答题：〔本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕 15、〔本大题总分值14分〕如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45，B 点北偏西60的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60且与B 点相距C 点救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 【答案】由题意知AB =(53+海里，906030DBA ∠=-=，904545DAB ∠=-=，∴()1804530105ADB ∠=-+=、在ABD ∆中，由正弦定理得：sin sin DB AB DAB ADB =∠∠，∴(53sin 45sin sin sin105AB DAB DB ADB⋅⋅∠===∠又()30906060DBC DBA ABC ∠=∠+∠=+-=，BC = 在DBC ∆中，由余弦定理得：22212cos 300120029002CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠=+-⨯=∴30CD =〔海里〕∴需要的时间30130t ==〔小时〕故救援船到达D 点需要1小时、16、〔本大题总分值14分〕如图，,,M N K 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,,AB CD C D 的中点、 〔1〕求证：AN //平面1A MK ； 〔2〕求证：平面11A B C ⊥平面1A MK 、 【答案】〔1〕证明：连结NK . 在正方体1111ABCD A B C D -中， 四边形1111,AA D D DD C C 都为正方形，1111//,,AA DD AA DD ∴= 1111//,.C D CD C D CD =,N K 分别为11,CD C D 的中点，11//,.DN D K DN D K ∴=1DD KN ∴为平行四边形. 11/,.KN DD KN DD ∴= 11//,.AA KN AA KN ∴=1AA KN ∴为平行四边形.1//.AN A K ∴ 1A K ⊂平面1,A MK AN ⊄平面1A MK ，//AN ∴平面1.A MK〔2〕连结1.BC在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,.AB C D AB C D =,M K 分别11,AB C D 中点，11//,.BM C K BM C K ∴=∴四边形1BC KM 为平行四边形.1//.MK BC ∴在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面111,BB C C BC ⊂平面11,BB C C111.A B BC ∴⊥D 1A 1B 1C 1KNCBA M DD 1A 1B 1KND111//,.MK BC A B MK ∴⊥11BB C C 为正方形，11.BC B C ∴1.MK B C ⊥ 11A B ⊂平面111,A B C B C ⊂平面111111,,A B C A B B C B =MK ∴⊥平面11.A B CMK ⊂平面1,A MK ∴平面1A MK ⊥平面11.A B C17、〔本大题总分值14分〕如图：在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点、 〔1〕假设A 、B 两点的纵坐标分别为45、1213，求()cos βα-的值；〔2〕点(C -，求函数()f OA OC α=⋅的值域、 【答案】〔1〕依照三角函数的定义，得4sin 5α=，12sin 13β=、 又α是锐角，因此3cos 5α=、由12sin 13β=；因为β是钝角，因此5cos 13β=-、因此5312433c o s ()c o s c o ss i n s i n ()13513565βαβαβα-=+=-⨯+⨯=、 〔2〕由题意可知，(c o s s i n)O A αα=，，(O C 、 因此()3s i nc o s 2s i n ()6f O A O C παααα=⋅=-=-， 因为02πα<<，因此663πππα-<-<，1s i n ()26a π-<-从而1()f α-<，因此函数()f O A O C α=⋅的值域为(1-、 18、〔本大题总分值16分〕O 为平面直角坐标系的原点，过点()2,0M -的直线l 与圆221x y +=交于P 、Q 两点、〔1〕假设12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程；〔2〕假设OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率、 【答案】〔1〕依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+、因为Q P ,两点在圆221x y +=上，因此1OP OQ ==，因为12OP OQ ⋅=-，因此1cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=-. 因此120POQ ︒∠=因此O 到直线l的距离等于12、12=，得15k =±.因此直线l 的方程为20x +=或20x ++=、 〔2〕因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，因此2MQ MP =，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因此22(2,)MQ x y =+，11(2,)MP x y =+、 因此⎩⎨⎧=+=+,12122),2(22y y x x 即⎩⎨⎧=+=.12122),1(2y y x x 〔*〕因为P ，Q 两点在圆上，因此⎩⎨⎧=+=+.1,122222121y x y x 把〔*〕代入得⎩⎨⎧=++=+.14)1(4,121212121y x y x 因此11788x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩， 故直线l 的斜率9MP k k ==±，即9k =±、 19、〔本大题总分值16分〕函数()()322152f x x k k x x =--++-，()221g x k x kx =++，其中k ∈R 、 〔1〕设函数()()()p x f x g x =+，假设()p x 在区间〔0,3〕是单调函数，求k 的取值范围；〔2〕设函数()()(),0,0g x x q x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，是否存在实数k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数()221x x x ≠，使得()()21q x q x ''=成立？假设存在，求k 的值；假设不存在，请说明理由、【答案】〔1〕因32()()()(1)(5)1P x f x g x x k x k =+=+-++- ()232(1)(5)p x x k x k '=+-++，∵()p x 在区间(0,3)上单调．．恒成立或00≤'≥'∴)()(x P x P)523()12()523()12(22+--≤++--≥+x x x k x x x k 或即恒成立01230>+∴∈x x ),( ∴125231252322++--≤++--≥x x x k x x x k 或恒成立 设()()2325391*********x x F x x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦ 令21,t x =+有()1,7t ∈，记9(),h t t t=+由函数()h t 的图像可知，()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，∴()[)6,10h t ∈，因此],()(25--∈x F ∴5,2-≤-≥k k 或 〔2〕当0x <时有()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++；当0x >时有()()22q x g x k x k''==+，因为当0k =时不合题意，因此0k ≠，……8分下面讨论0k ≠的情形，记}|)({},|)({00<'=>'=x x f B x x g A 求得A (,)k =+∞，B=()5,+∞〔ⅰ〕当10x >时，()q x '在()0,+∞上单调递增，因此要使()()21q x q x ''=成立，只能20x <且A B ⊆，因此有5k ≥〔ⅱ〕当10x <时，()q x '在()0,+∞上单调递减，因此要使()()21q x q x ''=成立，只能20x >且A B ⊆，因此5k ≤综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕5k =当5k =时A=B ，那么()110,x q x B A'∀<∈=，即20,x ∃>使得()()21q x q x ''=成立，因为()q x '在()0,+∞上单调递增，因此2x 的值是唯一的；…13分同理，10x ∀<，即存在唯一的非零实数221()x x x ≠，要使()()21q x q x ''=成立，因此5k =满足题意.20、〔本大题总分值16分〕设集合W 由满足以下两个条件的数列{}n a 构成：①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使n a M ≤〔n 为正整数〕、 〔1〕在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中123451,2,3,4,5a a a a a =====； 123451,4,5,4,1b b b b b =====；试判断数列{}n a ，{}n b 是否为集合W 的元素；〔2〕设{}n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，314c =，374S =，证明：数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；〔3〕设数列{}n d W ∈，且对满足条件的M 的最小值0M ，都有()*0n d M n ≠∈N 、求证：数列{}n d 单调递增、 【答案】〔1〕关于数列{}n a ，取13222a a a +==，显然不满足集合W 的条件，① 故{}n a 不是集合W 中的元素， 关于数列{}nb ，当{1,2,3,4,5}n ∈时，不仅有13232b b b +=<，24342b bb +=<，33432b b b +=<，而且有5n b ≤，显然满足集合W 的条件①②， 故{}n b 是集合W 中的元素、〔2〕∵{}n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，3317,,44c S ==设其公比为0q >， ∴333274c c c q q ++=，整理得2610q q --=、 ∴12q =，∴1111,2n n c c -==，1122n n S -=-关于*n ∀∈N ，有222111222222n n n n n n S S S ++++=--<-=，且2n S <，故{}n S W ∈，且[)2,M ∈+∞〔3〕证明：〔反证〕假设数列{}n d 非单调递增，那么一定存在正整数k ， 使1k k d d +≥，易证于任意的n k ≥，都有1k k d d +≥，证明如下： 假设()n m m k =≥时，1k k d d +≥当1n m =+时，由212m m m d d d +++<，212m m m d d d ++<-、而12111(2)0m m m m m m m d d d d d d d +++++->--=-≥ 因此12,m m d d ++>因此关于任意的n k ≥，都有1m m d d +≥、 显然12,,,k d d d 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ；因此0*()n n d d n ∈N ≥，从而00n d M =与这题矛盾、 因此假设不成立，故命题得证、。