SAS和统计计算

,
1 1 2x 1 1 2 0.242 2 2 ˆ Var (2 ) e dx (e 1) (e 1) (e 1) . 0 n 2 n n
14
由重要抽样法的思想，选一个与
2 x e x 1 x ...... 2
，
x1 ,
, xn 是U (a, b) 的随机数，
n n f ( x ) 1 b a i ˆ2 f ( xi ) 。 n i 1 g ( xi ) n i 1
的估计为
9
步骤：
（1） 、独立产生 n 个U (0,1)随机数 u1 , u 2 ,
, un ，
,n
（2） 计算： xi a (b a )ui 和 f ( xi )。 i 1, 2,
ˆ I ， 的相关度 2
越高， ˆ 的方差越小。
23
考虑用重要抽样法估计
I1 ，I 2 ，即改写

为：
h1 ( x ) g1 ( x ) dx h2 ( x ) g 2 ( x ) dx ，
fi ( x) hi ( x) , i 1, 2. g ( x ) g ( x ) 1 2 其中 ， 为概率密度， gi ( x)
第九章 SAS 和 统计计算
1
例：1777 年，法国学者 Buffon 提出用试验方法求圆周率
的值，其原理如下：
假设平面上有无数条距离为 1 的等距平行线，现向该平面随
l ( l 1) 的针，则计算该针与任一平行线相 交的概率。设针的中心点与最近的平行线间的距离 x 均匀分
机投掷一长度为
1 [0, ] 布在区间 2 上，针与平行线的夹角
li ˆ I （3） 、计算 i ni
f (x
j 1
ni
ij
ˆ I ) ˆi . ，则 3
i 1
m
ˆ ( E I ˆ I) E 3 i i


ˆ ) Var{ Var (
3
li i 1 ni
m

j 1
ni
l 2 f ( xij )} i . i 1 ni
ˆ 比 ˆ 有效 。 2 1
11
重要抽样法
由样本平均值法知：对任一密度函数 g ( x)

b
a
f (X ) f ( x) g ( x)dx E , g ( x) g(X )
n f ( xi ) 1 ˆ . n i 1 g ( xi )
ˆ 是无偏的， g( ) 使 其方差与g ( ) 有关， 问题变为: 如何选择 ˆ 的方差变小。
2 1 0
0.5
2e2 x dx 4(e e )2 (e2 e) 4(e e )2 0.09493
2 2 0.5
2 2 0.5 0.5 2 2 ˆ) n1 个，Var ( 设共抽 n 个, [0，0.5]上有 3 1 2 ， n1 n n1
12
1 f (X ) 2 2 ˆ Var ( ) E ( ) 因为 n g( X ) ，
ˆ) 0. f ( x ) 0, 取 g ( x ) f ( x ) / , 则 Var ( 若
但 未知, 故不能取g ( x) f ( x) / , ， 但 g ( x)可取与f ( x)形状接近的函数,， 这样就能降低估 计的方差，这就是重要抽样法的基本思想。
15
2 也是 的无偏估计,即 E ( 2 ) , 且
1 1 f 2 ( x) 2 Var (2 ) dx (e 1) 0 n g ( x)
0.242 ˆ Var ( 2 ) . n
1 3 e2 x 0.0269 2 dx (e 1) . 0 2 1 x （数值计算） n
n0 p M (b a ) n

n ˆ M (b a) 0 n
步骤：
i （1） 、独立地产生 2 n 个U (0,1) 随机数 ui vi ，
， =1，2，…，n；
（2） 、计算 xi a ui (b a) ，yi Mvi 和f ( xi ) ；
（3） 、统计 f ( xi ) yi 的个数 no
Di
成正比。
如此，对 贡献大的

抽样数多，可提高抽样效率。
17
考虑百度文库分
f ( x ) dx ，将 [0,1]
0
1
分成 m 个小区间，各
区间端点记为：
1 0
ai ， 0 a0 a1 ,......, am 1 ，则
m ai i 1 ai 1
f ( x)dx
先由 g1 ( x ) ， g 2 ( x ) 各产生 和
n
个随机数 x1 ,......, xn
m
2 i
，
其中
i2
ai
ai1
Ii 2 f 2 ( x) dx ( ) li li
19
如

1
0
e x dx. ，将[0，1]划分为[0，0.5]和[0.5,1],则
I1 e 1, I2 e e
2e2 x dx 4( e 1)2 (e 1) 4( e 1)2 0.03492
n b a ˆ f ( xi ) 2 n i 1
ˆ ) E( 2
n b b a 1 1 2 2 2 ˆ Var (2 ) Var f ( X ) ( b a ) f ( x ) dx i a n n ba i 1 b 1 (b a ) f 2 ( x)dx 2 a n
n0 ˆ 1 M (b a) ， 。 n
7
精度：
no
b ( n, p ) ， p

M (b a)
，
ˆ , E 1
2 2 M ( b a ) ˆ) Var ( Var ( n ) [ M (b a) ]. 1 o 2 n n
ˆ 以标准差衡量， 1 的精度为 n
ˆ I I1 I 2 ，用 1
的方差为：
ˆ 作为 ,I 2
ˆI ˆ I ˆ 估计 I1 , I 2 的估计， 1 2
ˆ ，则
ˆ) Var(I ˆ ) Var(I ˆ ) 2Cov(I ˆ ,I ˆ Var( 1 2 1 2)
ˆ I 若Var ( Iˆ1 ) ，Var ( Iˆ2 ) 确定，则当 1

1 2
。
8
设 g ( x) 是 (a, b) 上的密度函数，则
f ( x)dx
a b b a
样本平均值法
由矩法， 若有 n 个来自 g ( x) 的观测值， 则可给出
的一个矩估计，即样本平均值法。
1 a , b g ( x ) 如： 有限，取 ba
f (X ) f ( x) g ( x)dx E g ( x) g ( X )
13
例 ： 考 虑

1
0
e x dx,的精确值为(e 1), 是可求的. ， 现 用
Monte Carlo 法估计
首先考虑样本平均值法，即产生 n 个 U (0,1) 随机数
x1 ,
, xn , ，则
n 1 xi ˆ e 2 n i 1
ˆ ) , E ( ，且 2
e
x
相似的密度函数,
2 g ( x ) (1 x ), 利用线性近似取 3
则
g ( x)是(0,1)上密度函数.，设 x1 ,......, xn
是 g ( x) 的随机数,，则
n

的估计为
n xi
f ( xi ) 3 1 e 2 . n i 1 g ( xi ) 2n i 1 1 xi
在计算机上随机产生n个数对( x, )， x 1 判定 是否成立。 sin 2 记成立（即相交）的次数n0， 2n ˆ . 则 n0
4
随机模拟的计算思路：
（1） 、针对实际问题建立一个简单便于实现的概率统计模型，使 所求的解恰好是所建模型的概率分布或某数字特征。如事件 的概率或模型的期望； （2） 、对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟 试验，抽取足够的随机数，并对有关的事件进行统计； （3） 、对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及精度（方 差）的估计； （4） 、必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用， 提高模拟计算的效率。
考虑简单的定积分
f ( x)dx
a
b
(如计算概率、各阶矩等，可归为定积分)
5
随机投点法
设 a，b 有限，0
f ( x ) M ，令 {( x, y ) : a x b, 0 y M }
设(X，Y)在
上均匀分布，
为阴影部分的面积
M f(x)
a
b
6
向 随机投点，若点落在{(x,y): y<f (x)}，称为“中的” 。
1
对 n1 求导，n 给定
20
n1 1 0.03492 当 n 1 2 0.03492 0.09493
0.18687 0.37753 时，方差最小 0.18687 .30811
2 0.5 ˆ) Var ( 3 n 2 12 0.06125 2 n n1 / n 1 n1 / n
ˆ 方差小，即优于 2 。
16
分层抽样法
另一种利用贡献率大小来降低估计方差的方法是分层抽样法。 它首先把样本空间 D 分成一些小区间D1 ,......, Dm ，且诸 Di 不相交， 小决定，即 定义 pi
Di D ，然后在各小区间内的抽样数由其贡献大

Di
f ( x ) dx ，则 Di 抽样数应与 pi
n
， 则
p
的估计
ˆ ~ N ( p, p
p 2
近似
p(1 p) ) n
p(1 p) 0.2313 n n
3

0.6366 ，
ˆ 若 要 以 95% 的 概 率 保 证p
精确到三位有效数字，即
ˆ p 0.001 n 1.96 2 0.2313 / 0.0012 8.87 10 5 p
2
2 注：一般 i 未知，取简单分配 ni
nli
l
i 1
m
nli ，此时也有 ba
i
m b a 2 ˆ Var (ˆ3 ) l i i Var ( 2 ) n i 1
22
关联抽样法
考虑积 分之 差

f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
2 若将区间细分为 10 等分,计算诸 i ，最优抽样次数分配
ni i m n
j 1
0.00246 j ，方差为 n
21
2 li 已知时，当 n 固定， ni 一般在 i 和
nli i
l
i 1 i
m
时，
i
1 m l 方差最小，值为 i i n i 1

（不管相交与否） ，
均匀分布在区间 [0, ] 上，于是针与线相交的充要条件是：
2
x l . sin 2

x
l sin 2 l 2l 2 p P( X sin ) dxd . 0 0 2 2 假设l =1， 则 p = 。 由中心极限定理，若试验次数为
10
在 0 f ( x) M 下，可证，对相同的n ,
ˆ) ˆ ) Var ( Var ( 1 。 2
事实上
Var (ˆ1 ) Var (ˆ2 )
2 b f ( x) b M (b a ) M (b a ) dx f ( x)dx 0 a a n M n
f ( x)dx I i .
i 1
m
记 li ai ai 1 , i 1,......, m ，抽样步骤：
（1） 、产生 U（0，1）上随机数
{ uij ： j 1,......, ni , i 1,......, m
}
18
(2 )、计算 xij ai 1 li uij ， j 1,......, ni , i 1,......, m