离散数学方世昌答案
离散数学课后习题答案第四章
第十章部分课后习题参考答案4．判断以下集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z 和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合普通的除法运算。
不封闭（3） 全体n n ⨯实矩阵集合（R ）和矩阵加法与乘法运算，其中n2。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n n ⨯实可逆矩阵集合关于矩阵加法与乘法运算，其中n 2。
不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭 因为 +∉-=--⨯=R 1111111 （6）n关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a n运算定义如下：封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S =关于普通的加法和乘法运算。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S =,S 关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。
见上题7．设 * 为+Z 上的二元运算+∈∀Z y x ,，X * Y = min ( x ，y ),即x 和y 之中较小的数.(1)求4 * 6，7 * 3。
4, 3(2)* 在+Z 上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元与+Z 中所有可逆元素的逆元。
单位元无，零元1, 所有元素无逆元8．Q Q S ⨯=Q 为有理数集，*为S 上的二元运算，<a,b>,<x,y >S 有< a ，b >*<x ，y> = <ax ，ay + b>（1）*运算在S 上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：<x,y>*<a,b >= <xa ，xb +y>≠< a ，b >*<x ，y>可结合：(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<ax ，ay + b>*<c,d>=<axc ，axd +(ay+b) > <a,b >*(<x,y>*<c,d>)=<a, b>*<xc,xd+y>=<axc ，a(xd +y)+b > (<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<a,b >*(<x,y>*<c,d>) 不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S 中所有可逆元素的逆元。
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
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第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学教程与范例
离散数学是现代数学的一个重要
绪 言
分支，是计算机科学与技术的基 础理论的核心课程之一。离散数 学与计算机科学中的数据结构、 操作系统、编译理论、算法分析、 逻辑设计、系统结构、机器定理 证明等课程息息相关。 基本内容包括数理逻辑、集合论、 代数系统、图论等几大部分。
离散数学
离散数学(Discrete Mathematics)："研究离散
七桥问题
哥尼斯堡城位于普雷格尔河畔，河中有两个岛，七 座桥使两个河心岛及两岸彼此相连。十八世纪的城中居 民热衷于这样一个问题：游人从四块陆地中的任何一地 出发，能否找到一条路线，通过每桥一次且仅一次，最 后返回原地？
欧拉对七桥问题的解 1736年，著名数学家欧拉研究了七桥问题，他将这 个问题用结点和弧边组成的图来表示，问题归结为从 图中任一结点出发，经过每边一次且仅一次的回路是 否存在？他找到了存在这样一条回路的充分必要条件， 并由此判断七桥问题无解而结束了哥尼斯堡城民的烦 恼。例2 Nhomakorabea2.4 解
（1）根据乘法原理，可能的选法种数为 6×5×4= 120； （2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个 步骤：确定主席有2种选择；主席选定后， 秘书有5个人选；主席和秘书都选定后，出 纳有4个人选。根据乘法原理，可能的选法 种数为2×5×4 = 40；
2013-7-28
例2.2.4 解(续)
解（二）
用一一对应技术 一场比赛对应一个被淘汰者，反之也真，那 么比赛场数与被淘汰者人数是相等的。由于 优胜者只有一人，全部被淘汰者是100人， 因此要进行100场比赛方可决出优胜者。
土耳其商人和帽子的故事
这是著名物理学家爱因斯坦出过的一道题。
一个土耳其商人，想找一个十分聪明的助手协助他经商， 有两个人前来应聘，这个商人为了试一试哪一个聪明些，就 把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开电灯后：“这张桌 子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在，我 把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人 摸一顶帽子戴在头上，在我开灯后，请你们尽快的说出自己 头上戴的帽子是什么颜色的。”说完之后，商人将电灯关掉， 然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶 帽子藏了起来，接着把电灯打开，这时，那两个有应试者看 到商人头上戴的是一顶红帽子，过了一会儿，其中一个人便 喊到：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人猜得对吗？是怎么推导出来的？
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系（可编辑）
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系（可编辑）方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系31 基本概念32 关系的合成33 关系上的闭包运算34 次序关系35 等价关系和划分 31 基本概念311 关系关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念之上的让我们先看两个例子例31-1 设 A abcd 是某乒乓球队的男队员集合 B efg 是女队员集合如果A和B元素之间有混双配对关系的是a 和gd和e我们可表达为 R 〈ag〉〈de〉这里R 表示具有混双配对关系的序偶集合所有可能具有混双配对关系的序偶集合是A×B 〈xy〉x∈A∧y∈B 〈ae〉〈af〉〈ag〉〈be〉〈bf〉〈bg〉〈ce〉〈cf〉〈cg〉〈de〉〈df〉〈dg〉例31-2 设学生集合A1 abcd 选修课集合A2 日语法语成绩等级集合A3 甲乙丙如果四人的选修内容及成绩如下 a 日乙 b 法甲c 日丙 d 法乙我们可表达为S 〈a 日乙〉〈b法甲〉〈c日丙〉〈d法乙〉这里S表示学生和选修课及成绩间的关系而可能出现的全部情况为A1×A2×A3 〈xyz〉x∈A1∧y∈A2∧z∈A3 〈a日甲〉〈a 日乙〉〈a日丙〉〈a法甲〉〈a 法乙〉〈a法丙〉〈b日甲〉〈b日乙〉〈b日丙〉〈b 法甲〉〈b法乙〉〈b法丙〉〈c日甲〉〈c日乙〉〈c日丙〉〈c法甲〉〈c法乙〉〈d法丙〉定〈c法丙〉〈d日甲〉〈d日乙〉〈d日丙〉〈d法甲〉〈d法乙〉义31―1 1 A×B的子集叫做A到B的一个二元关系2 A1×A2××An n≥1 的子集叫做A1×A2××An上的一个n元关系3 从定义可看出关系是一个集合所有定义集合的方法都可用来定义关系例31-1和例31-2是列举法的例子一个谓词Px1x2xn 可以定义一个n元关系R R 〈x1x2xn〉P x1x2xn 例如实数R上的二元关系＞可定义如下＞〈xy〉x∈R∧y∈R∧x＞y 反之一个n元关系也可定义一个谓词当n 1时R 〈x〉P x 称为一元关系它是一重组集合表示论述域上具有性质P的元素集合其意义与R xP x 相同仅记法不同而已例如设P x 表示x是质数论述域是N则质数集合可表示为〈x〉｜P x 或x｜P x 关系也可归纳地定义自然数上的小于关系可定义如下1 基础〈01〉∈＜2 归纳如果〈xy〉∈＜那么i 〈xy1〉∈＜ ii 〈x1y1〉∈＜ 3 极小性对一切xy∈Nx＜y当且仅当〈xy〉是由有限次应用条款 1 和 2 构成定义31―2 设R是的子集如果R 则称R为空关系如果则称R为全域关系现在定义关系相等的概念在关系相等的概念中不仅需要n重组集合相等还需其叉积扩集也相同定义31―3设R1 是上的n元关系R2是上的m元关系那么R1 R2当且仅当n m且对一切i1≤i≤nAi Bi并且R1和R2是相等的有序n重组集合 312 二元关系最重要的关系是二元关系本章主要讨论二元关系今后术语关系都指二元关系若非二元关系将用三元或n元一类术语指出二元关系有自己专用的记法和若干新术语设 A x1x2x7 B y1y2y6 R〈x3y1〉〈x3y2〉〈x4y4〉〈x6y2〉A到B的二元关系R可如图31―1那样形象地表示〈x3y1〉∈R也可写成x3Ry1称为中缀记法读做x3和y1有关系R中缀记法常用来表示诸如＜＞等关系例如〈35〉∈＜通常写作3＜5 A叫做关系R的前域B叫做关系R的陪域 D R x｜y 〈xy〉∈R 叫做关系R 的定义域R R y｜x 〈xy〉∈R 叫做关系R的值域关系是序偶的集合对它可进行集合运算运算结果定义一个新关系设R和S是给定集合上的两个二元关系则R∪SR∩SR-S 等可分别定义如下x R∪S y xRy∨xSy x R∩S y xRy∧xSy x R-S y xRy∧xy x y xRy 例31-3平面上的几何图形是平面R2的子集也是一种关系设参看图31―2 R1 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≤9 R2 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧1≤x≤3 ∧0≤y≤3 R3 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≥4 则R1∪R2 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2 ≤9∨ 1≤x≤3∧0≤y≤3 R1∩R3〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2 ≤9∧x2y2≥4 R1-R3 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2≤9∧ L x2y2≥4 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2≥4 313 关系矩阵和关系图表达有限集合到有限集合的二元关系时矩阵是一有力工具定义31―4 给定集合A a1a2am 和B b1b2bn 及一个A 到B的二元关系R 使例31-4 设A a1a2 B b1b2b3 R 〈a1b1〉〈a2b1〉〈a1b3〉〈a2b2〉则其关系矩阵为例31-5 设A 1234 A上的二元关系R 〈xy〉｜x＞y 试求出关系矩阵解R 〈41〉〈42〉〈43〉〈31〉〈32〉〈21〉例31-6 设 A 12345 R 〈12〉〈22〉〈32〉〈34〉〈43〉其图示如图31―3所示图中结点5叫做孤立点利用关系R的图示也可写出关系R 314 关系的特性在研究各种二元关系中关系的某些特性扮演着重要角色我们将定义这些特性并给出它的图示和矩阵的特点定义31―5 设R是A上的二元关系 1如果对A中每一xxRx那么R是自反的即 A上的关系R是自反的x x∈A→xRx A 123 R1 〈11〉〈22〉〈33〉〈12〉是自反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―4所示 2 如果对A中每一xxRx那么R是反自反的即 A上的关系R是反自反的 x x∈A→xRx 例如 A 123 R2 〈21〉〈13〉〈32〉是反自反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―5所示有些关系既不是自反的又不是反自反的如图31―6 例如R3 〈11〉〈12〉〈32〉〈23〉〈33〉3 如果对每一xy∈AxRy蕴含着yRx那么R是对称的即A上的关系R 是对称的x y x∈A∧y∈A∧xRy→yRx 例如A 123 R4 〈12〉〈21〉〈13〉〈31〉〈11〉是对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―7所示 4 如果对每一xy∈AxRyyRx蕴含着x y那么R是反对称的即A上的关系R是反对称的x y x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x y 例如A 123 R5 〈12〉〈23〉是反对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―8所示 5 如果对每一xyz∈AxRyyRz蕴含着xRz那么R是传递的即A上的关系R是传递的x y z x∈A∧y∈A∧z ∈A∧xRy∧yRz→xRz 例如A 1234R5 〈41〉〈43〉〈42〉〈32〉〈31〉〈21〉是传递的其关系图和关系矩阵如图31―10所示例31-7 1 任何集合上的相等关系是自反的对称的反对称的和传递的但不是反自反的 2 整数集合I上关系≤是自反的反对称的可传递的但不是反自反的和对称的关系＜是反自反的反对称的可传递的但不是自反的和对称的 3 设 ab 试考察上的下列关系 i 关系与有同样长度是自反的对称的可传递的但不是反自反的和反对称的 ii xRy当且仅当x是y的真词头这里R是反自反的反对称的可传递的但不是自反的和对称的 iii xRy当且仅当x的某真词头是y的一个真词尾这里R既不是自反的又不是反自反的因为aaRaa但abRab既不是对称的也不是反对称的并且不是传递的 4 非空集合上的空关系是反自反的对称的反对称的和传递的但不是自反的空集合上的空关系则是自反的反自反的对称的反对称的和可传递的 5 基数大于1的集合上的全域关系是自反的对称的和传递的但不是反自反的和反对称的例如图31―11所示的关系 321 关系的合成前边已经指出关系是序偶的集合因此可以进行集合运算本节介绍一种对关系来说更为重要的运算合成运算假设R1是A到B的关系R2是B到C的关系参看图32-1合成关系R1R2是一个A到C的关系如果在关系图上从a∈A到c∈C有一长度路径中弧的条数为2的路径其第一条弧属于R1其第二条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合其第一条弧属于R1其第二条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合定义32―1 设R1是从A到B的关系R2是从B到C的关系从A到C的合成关系记为R1R2定义为R1R2 〈ac〉｜a∈A∧c∈C∧b〔b∈B∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕例32-11 如果R1是关系是的兄弟R2是关系是的父亲那么R1R2是关系是的叔伯R2R2是关系是的祖父 2 给定集合A 1234 B 234 C 123 设R是A到B的关系S是B到C的关系R 〈xy〉｜xy 6 〈24〉〈33〉〈42〉S 〈yz〉｜y-z 1 〈21〉〈32〉〈43〉则R·S 〈23〉〈32〉〈41〉如图32―2所示 3 设A 12345 R和S都是A上二元关系如果 R 〈12〉〈34〉〈22〉 S 〈42〉〈25〉〈31〉〈13〉则R·S 〈15〉〈32〉〈25〉S·R 〈42〉〈32〉〈14〉R·S ·R 〈32〉R· S·R 〈32〉R·R 〈12〉〈22〉S·S〈45〉〈33〉〈11〉 4 设R是A到B的二元关系IAIB分别是A 和B上的相等关系则IA·R R·IB R 5 如果关系R的值域与关系S的定义域的交集是空集则合成关系R·S是空关系下边介绍合成关系的性质定理32―1 设R1是从A到B的关系R2 和R3是从B到C的关系R4是从C到D的关系那么1 R1 R2∪R3 R1R2∪R1R3 2 R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 3 R2∪R3 R4 R2R4∪R3R4 4 R2∩R3 R4 R2R4∩R3R41 2 3 部分的证明留作练习我们仅证明 2 部分证先证明公式因为〈ac〉∈R1 R2∩R3 b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∩R3 〕b 〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∧〈bc〉∈R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2 ∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕∧b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3〕〈ac〉∈R1R2∧〈ac〉∈R1R3 〈ac〉∈R1R2∩R1R3 即〈ac〉∈R1 R2∩R3 〈ac〉∈R1R2∩R1R3 所以R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 再证包含可能是真包含举反例证明如果 A a B b1b2b3 C c A到B的关系R1〈ab1〉〈ab2〉 B到C的关系R2 〈b1c〉〈b3c〉 B到C的关系R3〈b2c〉〈b3c〉那么R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 〈ac〉此时R1 R2∩R3 ≠R1R2∩R1R3证毕定理32―2 设R1R2和R3分别是从A到BB到C和C到D的关系那么 R1R2 R3 R1 R2R3 证先证 R1R2R3 R1 R2R3 设〈ad〉∈ R1R2 R3那么对某c∈C〈ac〉∈R1R2和〈cd〉∈R3因为〈ac〉∈R1R2存在b∈B使〈ab〉∈R1和〈bc〉∈R2因为〈bc〉∈R2和〈cd〉∈R3得〈bd〉∈R2R3所以〈ad〉∈R1 R2R3 这样就证明了 R1R2 R3 R1 R2R3 R1 R2R3 R1R2 R3的证明是类似的留给读者自证上述证明也可用等价序列表达 322 关系R的幂当R是A上的一个关系时R可与自身合成任意次而形成A上的一个新关系在这种情况下RR常表示为R2RRR表示为R3等等我们能归纳地定义这一符号如下定义32―2设R是集合A上的二元关系n∈N那么R的n次幂记为Rn定义如下 1R0是A上的相等关系R0 〈xx〉｜x∈A 2 Rn1 Rn·R 定理32―3 设R是A上的二元关系并设m和n是N的元素那么 1Rm·Rn Rmn 2 Rm n Rmn 可用归纳法证明请读者自证定理32―4 设｜A｜nR是集合A上的一个关系那么存在i和j使Ri Rj而0≤i＜j≤证A上的每一二元关系是A×A的子集因为｜A×A｜ n2｜ρ A×A ｜因此A上有个不同关系所以R的不同的幂不会超过个但序列R0R1 有项因此R的这些幂中至少有两个是相等的证毕定理32―5 设R是集合A上的一个二元关系若存在i和ji＜j 使Ri Rj记d j-i那么 1 对所有k≥0Rik Rjk 2 对所有km≥0Rimdk Rik 3 记S R0R1R2Rj-1 那么R的每一次幂是S 的元素即对n∈NRn∈S 证 1 和 2 部分用归纳法证明留作练习3 对于 c 设n∈N如果n＜j那么根据S的定义Rn∈S假设n≥j那么我们能将n表示为imdk这里k＜d根据 b 部分得Rn Rik因为ik＜j这证明了Rn∈S定理中的ij在实用时宜取最小的非负整数以保证S中无重复元素例32-2 设A abcd R 〈ab〉〈cb〉〈bc〉〈cd〉其关系图如图32―3所示则R0 〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉 R2 〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉R3〈ab〉〈ad〉〈bc〉〈cb〉〈cd〉R4 〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉它们的关系图如图32―4所示由于R4 R2根据定理32―5 c 对所有n∈NRn∈ R0R1R2R3 可见不必再算了事实上易证R5 R3R6 R4 R2用归纳法可得R2n1 R3和R2n R2这里n≥1 323 合成关系的矩阵表达定理32―6 设X x1x2xm Y y1y2yn Z z1z2zp R是X到Y的关系MR 〔aij〕是m×n矩阵S是Y到Z的关系MS 〔bij〕是n×p矩阵则MR·S 〔cij〕MR·MS这里证因为如果存在某k使aik和bki都等于1则cij 1但aik和bkj都等于1意味着xiRyk和ykSzj所以xi R·S zj可见如此求得的MR·S确实表达了R·S的关系因此上述等式是正确的如果不仅存在一个k使aik和bki都是1此时cij仍为1只是从xi到zj不止一条长度为2的路径但等式仍然正确上段的论证已隐含了不止一个k的情况本定理说明合成关系矩阵可用关系矩阵布尔矩阵的乘法表达例32-3设X 12 Y abc Z αβ R 〈1a〉〈1b〉〈2c〉 S 〈aβ〉〈bβ〉则定理32―7 关系矩阵的乘法是可结合的证利用关系合成的可结合性证明MR·MS ·MT MR·S·MT M R·S ·T MR· S·T MR·MS·T MR· MS·MT 不仅合成关系可用关系矩阵表达而且关系的集合运算也可用关系矩阵表达设R和S是X到Y上的二元关系MR 〔aij〕MS 〔bij〕cij是运算后所得新关系之关系矩阵的元素则MR∩S MR∧MS cij aij∧bij MR∪S MR∨MS cij aij∨bij cij aij MR-S MR∧ cij aij∧ bij 331 逆关系在讨论闭包运算时要用到逆关系的概念因此我们先介绍逆关系定义33―1设R是从A到B的二元关系关系R的逆或叫R的逆关系记为是一从B到A的二元关系定义如下例33-11 I上的关系2 集合族上的关系的逆是关系3 空关系的逆是空关系4 B×A即A×B的全域关系的逆等于B×A的全域关系定理33―1设R是从A到B的关系而S是从B到C 的关系则定理33―2 设RR1和R2都是从A到B的二元关系那么下列各式成立 332 关系的闭包运算关系的闭包运算是关系上的一元运算它把给出的关系R扩充成一新关系R′使R′具有一定的性质且所进行的扩充又是最节约的定义33―2设R是A上的二元关系R的自反对称传递闭包是关系R′使i R′是自反的对称的传递的ii R′R iii 对任何自反的对称的传递的关系R〃如果R〃R那么R〃R′ R的自反对称和传递闭包分别记为r R s R和t R 由定义可以看出R的自反对称传递闭包是含有R并且具有自反对称传递性质的最小关系如果R已经是自反的对称的传递的那么具有该性质并含有R的最小关系就是R自身下一定理说明这一点定理33―4设R是集合A上的二元关系那么 a R是自反的当且仅当r R R b R是对称的当且仅当s R R c R是传递的当且仅当t R R 证 a 如果R是自反的那么R具有定义33―2对R′所要求的性质因此r R R反之如果r R R那么根据定义33―2的性质 i R是自反的b 和c 的证明是类似的略构造R的自反对称和传递闭包的方法就是给R补充必要的序偶使它具有所希望的特性下面我们用关系图来说明如何实现这一点定理33―5 设R是集合A上的二元关系那么r R R ∪E 这里E是A上相等关系在本节中均如此证设R′ R∪E显然R′是自反的且R′R余下只需证明最小性现假设R〃是A上的自反关系且R〃R因R〃是自反的所以R〃E又R〃R所以R〃R∪E R′这样定义33―2都满足所以R′ r R 证毕设G是集合A上二元关系R的关系图我们把G的所有弧都画成有来有往即如果有从a到b的弧那么也有从b到a的弧就得到了R的对称闭包的有向图下一定理体现了这一想法定理33―7 设R 是集合A上的二元关系那么例33-2 a 整数集合I 上的关系＜的自反闭包是≤对称闭包是关系≠传递闭包是关系＜自身b 整数集合I上的关系≤的自反闭包是自身对称闭包是全域关系传递闭包是自身 c E的自反闭包对称闭包和传递闭包都是E d ≠的自反闭包是全域关系对称闭包是≠≠的传递闭包是全域关系e 空关系的自反闭包是相等关系对称闭包和传递闭包是自身 f 设R是I上的关系xRy当且仅当y x1那么t R 是关系＜定理33―8设R是集合A上的二元关系这里A有n个元素那么证设〈xy〉∈t R 于是必存在最小的正整数k使〈xy〉∈Rk现证明k≤n若不然存在A的元素序列x a0a1a2ak-1ak y使xRa1a1Ra2ak-1Ry因k ＞na0a1ak中必有相同者不妨设ai aj0≤i＜j≤k于是xRa1a1Ra2ai-1RaiajRaj1ak-1Ry 成立即〈xy〉∈Rs这里s k- j-i但这与k是最小的假设矛盾于是k≤n又〈xy〉是任意的故定理得证例33-3 设A abcd R如图33―1 a 所示则t R R∪R2∪R3∪R4如图33―1 b 所示本例即是32-2 定理33―9 1 如果R是自反的那么s R 和t R 都是自反的 2 如果R是对称的那么r R 和t R 都是对称的 3 如果R 是传递的那么r R 是传递的定理33―10 设R是集合A上的二元关系那么 1 rs R sr R 2 rt R tr R 3 ts R st R 2 注意到ER RE R 和对一切n∈NEn E可得 34 次序关系 341 偏序集合定义34―1 如果集合A上的二元关系R是自反的反对称的和传递的那么称R为A上的偏序称序偶〈AR〉为偏序集合如果R是偏序〈AR〉常记为〈A ≤〉≤是偏序符号由于≤难以书写通常写作≤读做小于或等于因为小于或等于也是一种偏序故不会产生混乱R是偏序时aRb就记成a≤b 如果R是集合A上的偏序则R 也是A上的偏序如果用≤表示R 可用≥表示R〈A≤〉和〈A ≥〉都是偏序集合并互为对偶例34-1 1 〈I≤〉是偏序集合这里≤表示整数中的小于或等于关系2 〈ρ A 〉是偏序集合这里是集合间的包含关系 3 A 2468 D代表整除关系M代表整倍数关系则 D 〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈24〉〈26〉〈28〉〈48〉M 〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈42〉〈62〉〈82〉〈84〉〈AD〉〈AM〉都是偏序集合且互为对偶例2 a P 1234 〈P≤〉的哈斯图为图34―2 b A 236122436 〈A整除〉的哈斯图为图34―3 c A 1212 〈A整除〉的哈斯图为图34―4 定义34―2 设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集 a 元素b∈B是B的最大元素如果对每一元素x∈Bx≤b b 元素b∈B是B的最小元素如果对每一元素x∈Bb≤x 例3考虑在偏序整除下整数1到6的集合其哈斯图为图34―5 a 如果B 1236 那么1是B的最小元素6是B的最大元素 b 如果B 23 因为2和3互相不能整除那么B没有最小元素和最大元素c 如果B 4 那么4是B的最大元素也是B的最小元素定理34―1 设〈A≤〉是一偏序集合且B A如果B有最大最小元素那么它是唯一的证假设a和b 都是B的最大元素那么a≤b和b≤a从≤的反对称性得到a b当a和b都是B 的最小元素时证明是类似的定义34―3设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集 a 如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且b≤x那么元素b∈B叫做B的极大元素b 如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且x≤b那么元素b∈B 叫做B的极小元素定义34―4设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集a 如果对每一b∈Bb≤a那么元素a∈A叫做B的上界如果对每一b∈Ba≤b那么元素a∈A叫做B的下界 b 如果a是一上界并且对每一B的上界a′有a≤a′那么元素a∈A叫做B的最小上界记为lub如果a是一下界并且对每一B的下界a′有a′≤a那么元素a∈A叫做B的最大下界记为glb 例34-4 a 考虑偏序集合〈〈11〉〈10〉〈01〉〈00〉≤〉这里≤按〈 ab〉≤〈cd〉a≤c∧b≤d 规定其哈斯图如图34―6 如果B 〈10〉那么〈10〉是B的最小和最大元素也是B的极大和极小元素B的上界是〈10〉和〈11〉〈10〉是最小上界B的下界是〈00〉和〈10〉〈10〉是最大下界 b 考虑偏序集合〈I≤〉设B 2i｜i∈N那么B既没有最大元素和极大元素也没有上界和最小上界B的最小元素和极小元素是0B的下界集合是 i｜i∈I∧i≤0 0是最大下界 c 考虑在偏序集合〈256101530 整除〉其哈斯图如图34―7设B是全集合256101530 那么2和5都是B的极小元素但B没有最小元素集合B没有下界所以没有最大下界元素30是B的最大元素极大元素上界最小上界定理34―2 如果〈A≤〉是非空有限的偏序集合则A的极小大元素常存在最大下界和最小上界也可能存在或不存在但如果它们存在则是唯一的定理34―3 设〈A≤〉是偏序集合且B A 如果B的最小上界最大下界存在那么是唯一的下述定理描述了存在于诸特异元素之间的某些关系定理34―4 设〈A≤〉是偏序集合B是A的子集 a 如果b是B的最大元素那么b是B的极大元素 b 如果b是B的最大元素那么b是B的lub c 如果b是B的一个上界且b∈B那么b是B的最大元素证明可由最大元素极大元素和lub的定义直接得出故略去另外读者不难给出表达最小元素极小元素和glb间关系的定理 342 拟序集合定义34―5如果集合A上的二元关系R是传递的和反自反的那么R叫做A上的拟序〈AR〉称为拟序集合常借用符号＜表示拟序拟序是反对称的虽然定义中没有明确指出但容易证明这一点因为如果xRy和yRx由R的传递性得xRx但这与R的反自反性矛盾所以xRy∧yRx常假于是xRy∧yRx→x y常真即R是反对称的例34-5 a 实数集合中的＜是拟序关系 b 集合族中的真包含是拟序关系拟序集合和偏序集合是紧密相关的唯一区别是相等关系E下述定理将说明这一点定理34―5在集合A上 a 如果R是一拟序那么rR R∪E是偏序 b 如果R是一偏序那么R-E是一拟序 343线序集合和良序集合如果≤是一偏序或a≤b或b≤a我们说a和b 是可比较的偏序集合中的元素不一定都可比较所以叫偏序下面介绍的都是可比较的情况定义34―6在偏序集合〈A≤〉中如果每一ab∈A或者a ≤b或者b≤a那么≤叫做A上的线序或全序这时的序偶〈A≤〉叫做线序集合或链例34-6 a P a ab abc 〈P〉是线序集合其哈斯图如图34―8所示 b 〈I≤〉是线序集合其哈斯图不完全如图34―9所示 c 设S是区间套的集合〔0a ｜a∈R 则〈S〉是线序集合 d 〈 1236 整除〉不是线序集合如果A是多于一个元素的集合那么〈ρ A 〉不是线序集合定义34―7如果A上的二元关系R是一线序且A的每一非空子集都有一最小元素那么R叫做A上的良序序偶〈AR〉叫做良序集合定理34―6〈N≤〉是良序集合证我们必须证明N的每一非空子集S在关系≤之下都有一最小元素因为S非空所以在S中可以取一个数n显然S中所有不大于n的数形成非空集T S如果T有最小数那么这最小数就是S中的最小数但从0到n只有n1个自然数于是T中所含的数最多是n1个所以T有最小数因此定理成立例34-8 a 每一有限线序集合是良序的 b 线序集合〈I≤〉不是良序集合因为I的某些子集诸如I自身不包含最小元素 c 关系≤是实数R的线序但不是良序例如子集A 01〕无最小元素如果A中的a是最小元素那么也在A中而≤a且不相等这与假设a是线序关系≤下A的最小元素矛盾2 应用N上的良序定义出Nn上的良序例如n 2时N2上的次序关系可如下定义〈ab〉〈cd〉a＜c∨ a c∧b d 〈N2〉是良序集合关系严格小于可如下定义〈ab〉＜〈cd〉〈ab〉≤〈cd〉∧〈ab〉≠〈cd〉类似地应用I上的线序能定义出线序集合〈In≤〉 3 应用字母表∑上的线序可定义出∑上的通常叫词典序的线序定义34―8 设∑是一有限字母表指定了字母表序线序如果xy∈∑ a x是y的词头或 b x zu和y zv这里z∈∑是x和y的最长公共词头且在字母表序中u的第一个字符前于v的第一个字符那么x≤y≤叫做词典序4 由于〈N〉和有限线序集合都是良序集合可应用它们定义出∑上的一个良序通常叫标准序定义34―9设∑是一有限字母表指定了字母表序‖x‖表示x∈∑的长度如果xy∈∑ a ‖x‖＜‖y‖或b ‖x‖‖y‖且在∑的词典序中x前于y那么x≤y ≤叫做标准序不论在词典序和标准序下∑的每一元素都有直接后继者设∑ abc 且a≤b≤cx∈∑在标准序下xa和xb的直接后继者分别是xb和xc xc的直接后继者是ya这里y是x的直接后继者在词典序下x的直接后继者是xa 在标准序下 xb和xc的直接前趋分别是xa和xb xa的直接前趋是yc这里y是x的直接前趋在词典序下 xa的直接前趋是x非a结尾的串都无直接前趋例如babaab但有无限个前趋345 数学归纳法的推广前章我们把数学归纳法第一第二原理看作是自然数域上的一个推理规则本小节我们把它推广到一般的良序集合对任一个自然数n我们先取0如果n≠0取0的后继者1如果n≠1再取1的后继者2如此进行下去最终会得出n 给定一个良序集合如果对它的任一元素x我们先取该集合的最小元素m0如果x≠m0取m0的后继者m1如果x≠m1再取m1的后继者m2如此以往最终会得出x那么就称这样的良序集合是像自然数的例 8 1 设∑ ab 良序集合〈∑标准序〉是像自然数的因为定长的串的个数有限给定任一个串x在x之前的串的个数有限所以从∧开始反复取后继者终可得出x 2 良序集合〈N×N≤〉不像自然数这里≤按上一小节规定因为有许多元素没有直接前趋例如〈50〉就是这样因而有无限个元素前于〈50〉所以从〈00〉开始反复地取后继者不可能取得〈50〉像自然数的良序集合可以应用数学归纳法第一原理因为第一原理是建立在后继运算上而这种良序集合的每一元素都可通过重复地取后继者得到设m0是该良序集合〈S≤〉的最小元素S x 是元素x的后继者则推理规则如下对不像自然数的良序集合不能应用数学归纳法第一原理因为这种良序集合的有些元素不能由后继运算得到但对它可应用数学归纳法第二原理第二原理是建立在良序集合上的适用于一切良序集合设〈S≤〉是良序集合＜表示≤-E 即x＜y表示x≤y且x≠y 则推理规则如下下面证明良序集合上这个推理规则是有效的假设我们能证明前提例34-10〈Q≤〉是线序集合现说明在此线序集合中第二原理不是有效推理规则设谓词P x 表示x小于或等于5 i 当x≤5时 y〔y＜x→P y 〕是真P x 也真所以是真综合 i 和 ii 得在论述域Q上 x 〔 y y＜x→P y →P x 〕是真但结论x P x 是假这说明第二原理不能应用于线序集合〈Q≤〉 35 等价关系和划分 351 等价关系二元关系的另一重要类型是等价关系其定义如下定义35―1 如果集合A上的二元关系R是自反的对称的和传递的那么称R是等价关系设R是A上的等价关系abc是A的任意元素如果aRb 即〈ab〉∈R 通常我们记作a～b读做a等价于b 定义35―2 设k是一正整数而ab∈I如果对某整数ma-b m·k那么a 和b是模k等价写成a≡b modk 整数k叫做等价的模数定理35―1模k等价是任何集合A I上的等价关系证如果A 例35-1 c 已指出它是等价关系如果A≠则 i 自反的因为对任一aa-a 0·k得出a≡a modk ii 对称的因为a≡b mod k 时存在某m∈I使a-b m·k于是b-a-m·k 因此b≡a mod k iii 传递的设a≡b mod k 和b≡c mod k 那么存在m1m2∈I 使a-b m1k和b-c m2·k 将两等式两边相加得a-c m1m2 ·k所以a≡c mod k 例1 a 同学集合A abcdefgA中的关系R是住在同一房间这是等价关系因为 i 任一个人和自己同住一间具有自反性ii 若甲和乙同住一间则乙和甲也同住一间具有对称性iii 若甲和乙同住一间乙和丙同住一间则甲和丙也同住一间具有传递性现假设a 和b同住一间def同住一间c住一间则 R 〈aa〉〈ab〉〈ba〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉〈ee〉〈ff〉〈de〉〈ed〉〈ef〉〈fe〉〈df〉〈fd〉其有向图如图35―1所示 b 数中的相等关系集合中的相等关系命题演算中的关系等都是等价关系 c 空集合中的二元关系R是等价关系因为i x x∈→xRx ii x y〔x∈∧y∈∧xRy→yRx〕iii x y z〔x∈∧y∈∧z∈∧xRy∧yRz→xRz〕都无义地真所以R是等价关系集合A上的全域关系R A×A是等价关系模数等价是整数域或其子集上的等价关系并且是等价关系中极为重要的一类定理 35-1 模k 等价是任何集合A I上的等价关系证如果A 例35-1 3 已指出它是等价关系如果A≠则 i 自反的因为对任一aa-a 0·k得出a≡a mod k ii 对称的因为a≡b modk 时存在某m∈I使a-b m·k于是b-a -m·k因此b≡a modk iii 传递的设a≡b modk 和b≡c modk 那么存在m1m2∈I 使a-b m1k和b-c m2·k将两等式两边相加得a-c m1m2 ·k所以a≡c modk 例35-2 a 若R是I上模4等价关系则〔0〕4 -8-4048 〔1〕4 -7-3159 〔2〕4 -6-22610 〔3〕4 -5-13711 b 若R是I上模2等价关系则〔0〕2 -4-2024 〔1〕2 -3-1135 每一集合中的数相互等价 c 时钟是按模12方式记数的设备13点钟和1点钟有相同的记数定义35―3 设R是集合A上等价关系对每一a∈Aa关于R 的等价类是集合x｜xRa 记为〔a〕R简记为〔a〕称a为等价类〔a〕的表示元素如果等价类个数有限则R的不同等价类的个数叫做R的秩否则秩是无限的对每一a∈A等价类〔a〕R非空因为a∈〔a〕R 例35-3 1 如图35―2设A abcdef R 〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈ab〉〈ba〉〈ac〉〈ca〉〈bc〉〈cb〉〈dd〉〈ee〉〈de〉〈ed〉〈ff〉则等价关系R的等价类如下〔a〕〔b〕〔c〕 abc 〔d〕〔e〕 de 〔f〕 f等价关系R的秩是3 2 I上模4等价的等价类是〔0〕4〔1〕4〔2〕4〔3〕4 参看例2 a I上模2等价的等价类是〔0〕2 〔1〕2 参看例2 b3 集合A上相等关系的秩等于A的元素个数定理35―2 设R是非空集合A上的等价关系aRb 当且仅当〔a〕〔b〕证充分性因为a∈〔a〕〔b〕即a∈〔b〕所以aRb 定理35―3设R是集合A上的等价关系则对所有ab∈A或者〔a〕〔b〕或者〔a〕∩〔b〕。
《离散数学(第三版)》方世昌 的期末复习知识点总结资料
《离散数学》期末复习提要《离散数学》是中央电大“数学与数学应用专业”（本科）的一门选修课。
该课程使用新的教学大纲，在原有离散数学课程的基础上削减了教学内容（主要是群与环、格与布尔代数这两章及图论的后三节内容），使用的教材为中央电大出版的《离散数学》（刘叙华等编）和《离散数学学习指导书》（虞恩蔚等编）。
离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学生得到良好的数学训练，提高学生抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为：数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质）；2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部分（图的基本概念、树及其性质）。
学习建议离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学（集合论、数理逻辑和图论）有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。
教学要求的层次各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。
了解即能正确判别有关概念和方法；理解是能正确表达有关概念和方法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵活应用。
一、各章复习要求与重点第一章集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等），文氏（Venn）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明[复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。
《离散数学》方世昌 的期末复习知识点总结含例题
方法1:利用真值表求解
G
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
因此
方法2:推导法
(2)求主合取范式
方法1:利用上面的真值表
为0的有两行,它们对应的极大项分别为
因此,
方法2:利用已求出的主析取范式求主合取范式
５、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外,可借助于关系图,而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行,尤其就是对各种初等函数。
[例题分析]
例1设集合 ,判定下列关系,哪些就是自反的,对称的,反对称的与传递的:
解:均不就是自反的;R4就是对称的;R1,R2,R3,R4,R5就是反对称的;R1,R2,R3,R4,R5就是传递的。
。4
。1
。3
。2
。5
(3)当 ,B的极大元为2,4;极小元为2,5;B无最大元与最小元;B也无上界与下界,更无最小上界与最大下界。
第三章 命题逻辑
[复习知识点]
１、命题与联结词(否定、析取、合取、蕴涵、等价),复合命题
２、命题公式与解释,真值表,公式分类(恒真、恒假、可满足),公式的等价
３、析取范式、合取范式,极小(大)项,主析取范式、主合取范式
1、集合的概念
因为集合的概念学生在中学阶段已经学过,这里只多了一个幂集概念,重点对幂集加以掌握,一就是掌握幂集的构成,一就是掌握幂集元数为2n。
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系（可编辑）
⽅世昌离散数学第三版教材课件第3章⼆元关系（可编辑）⽅世昌离散数学第三版教材课件第3章⼆元关系31 基本概念 32 关系的合成 33 关系上的闭包运算 34 次序关系 35 等价关系和划分 31 基本概念311 关系关系的数学概念是建⽴在⽇常⽣活中关系的概念之上的让我们先看两个例⼦例31-1 设 A abcd 是某乒乓球队的男队员集合 B efg 是⼥队员集合如果A和B元素之间有混双配对关系的是a 和gd和e我们可表达为 R 〈ag〉〈de〉这⾥R表⽰具有混双配对关系的序偶集合所有可能具有混双配对关系的序偶集合是 A×B 〈xy〉x∈A∧y∈B 〈ae〉〈af〉〈ag〉〈be〉〈bf〉〈bg〉〈ce〉〈cf〉〈cg〉〈de〉〈df〉〈dg〉例31-2 设学⽣集合A1 abcd 选修课集合A2 ⽇语法语成绩等级集合A3 甲⼄丙如果四⼈的选修内容及成绩如下 a ⽇⼄ b 法甲c ⽇丙 d 法⼄我们可表达为S 〈a⽇⼄〉〈b法甲〉〈c⽇丙〉〈d法⼄〉这⾥S表⽰学⽣和选修课及成绩间的关系⽽可能出现的全部情况为 A1×A2×A3 〈xyz〉x∈A1∧y∈A2∧z∈A3 〈a⽇甲〉〈a ⽇⼄〉〈a⽇丙〉〈a法甲〉〈a法⼄〉〈a法丙〉〈b⽇甲〉〈b⽇⼄〉〈b⽇丙〉〈b 法甲〉〈b法⼄〉〈b法丙〉〈c⽇甲〉〈c⽇⼄〉〈c⽇丙〉〈c法甲〉〈c法⼄〉〈d法丙〉定〈c法丙〉〈d⽇甲〉〈d⽇⼄〉〈d⽇丙〉〈d法甲〉〈d法⼄〉义31―1 1 A×B的⼦集叫做A到B的⼀个⼆元关系2 A1×A2××An n≥1 的⼦集叫做A1×A2××An上的⼀个n元关系3 从定义可看出关系是⼀个集合所有定义集合的⽅法都可⽤来定义关系例31-1和例31-2是列举法的例⼦⼀个谓词Px1x2xn 可以定义⼀个n元关系R R 〈x1x2xn〉P x1x2xn 例如实数R上的⼆元关系＞可定义如下＞〈xy〉x∈R∧y∈R∧x＞y 反之⼀个n元关系也可定义⼀个谓词当n 1时R 〈x〉P x 称为⼀元关系它是⼀重组集合表⽰论述域上具有性质P的元素集合其意义与R xP x 相同仅记法不同⽽已例如设P x 表⽰x是质数论述域是N则质数集合可表⽰为〈x〉｜P x 或x｜P x 关系也可归纳地定义⾃然数上的⼩于关系可定义如下1 基础〈01〉∈＜2 归纳如果〈xy〉∈＜那么i 〈xy1〉∈＜ ii 〈x1y1〉∈＜ 3 极⼩性对⼀切xy∈Nx＜y当且仅当〈xy〉是由有限次应⽤条款 1 和 2 构成定义31―2 设R是的⼦集如果R 则称R为空关系如果则称R为全域关系现在定义关系相等的概念在关系相等的概念中不仅需要n重组集合相等还需其叉积扩集也相同定义31―3设R1是上的n元关系R2是上的m元关系那么R1 R2当且仅当n m且对⼀切i1≤i≤nAi Bi并且R1和R2是相等的有序n重组集合 312 ⼆元关系最重要的关系是⼆元关系本章主要讨论⼆元关系今后术语关系都指⼆元关系若⾮⼆元关系将⽤三元或n元⼀类术语指出⼆元关系有⾃⼰专⽤的记法和若⼲新术语设 A x1x2x7 B y1y2y6 R〈x3y1〉〈x3y2〉〈x4y4〉〈x6y2〉 A到B的⼆元关系R可如图31―1那样形象地表⽰〈x3y1〉∈R也可写成x3Ry1称为中缀记法读做x3和y1有关系R中缀记法常⽤来表⽰诸如＜＞等关系例如〈35〉∈＜通常写作3＜5 A叫做关系R的前域B叫做关系R的陪域 D R x｜y 〈xy〉∈R 叫做关系R的定义域R R y｜x 〈xy〉∈R 叫做关系R的值域关系是序偶的集合对它可进⾏集合运算运算结果定义⼀个新关系设R和S是给定集合上的两个⼆元关系则R∪SR∩SR-S 等可分别定义如下x R∪S y xRy∨xSy x R∩S y xRy∧xSy x R-S y xRy∧xy x y xRy 例31-3平⾯上的⼏何图形是平⾯R2的⼦集也是⼀种关系设参看图31―2 R1 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≤9 R2 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧1≤x≤3 ∧0≤y≤3 R3 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≥4 则 R1∪R2 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2 ≤9∨ 1≤x≤3∧0≤y≤3 R1∩R3〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2 ≤9∧x2y2≥4 R1-R3 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2≤9∧ L x2y2≥4 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2≥4 313 关系矩阵和关系图表达有限集合到有限集合的⼆元关系时矩阵是⼀有⼒⼯具定义31―4 给定集合A a1a2am 和B b1b2bn 及⼀个A到B的⼆元关系R 使例31-4 设A a1a2 B b1b2b3 R 〈a1b1〉〈a2b1〉〈a1b3〉〈a2b2〉则其关系矩阵为例31-5 设A 1234 A上的⼆元关系R 〈xy〉｜x＞y 试求出关系矩阵解R 〈41〉〈42〉〈43〉〈31〉〈32〉〈21〉例31-6 设 A 12345 R 〈12〉〈22〉〈32〉〈34〉〈43〉其图⽰如图31―3所⽰图中结点5叫做孤⽴点利⽤关系R的图⽰也可写出关系R 314 关系的特性在研究各种⼆元关系中关系的某些特性扮演着重要⾓⾊我们将定义这些特性并给出它的图⽰和矩阵的特点定义31―5 设R是A上的⼆元关系 1如果对A中每⼀xxRx那么R是⾃反的即 A上的关系R是⾃反的x x∈A→xRx A 123 R1 〈11〉〈22〉〈33〉〈12〉是⾃反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―4所⽰ 2 如果对A中每⼀xxRx那么R是反⾃反的即 A上的关系R是反⾃反的 x x∈A→xRx 例如 A 123 R2 〈21〉〈13〉〈32〉是反⾃反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―5所⽰有些关系既不是⾃反的⼜不是反⾃反的如图31―6 例如R3 〈11〉〈12〉〈32〉〈23〉〈33〉 3 如果对每⼀xy∈AxRy蕴含着yRx那么R是对称的即A上的关系R是对称的x y x∈A∧y∈A∧xRy→yRx 例如A 123 R4 〈12〉〈21〉〈13〉〈31〉〈11〉是对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―7所⽰ 4 如果对每⼀xy∈AxRyyRx蕴含着x y那么R是反对称的即A上的关系R是反对称的x y x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x y 例如A 123 R5 〈12〉〈23〉是反对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―8所⽰ 5 如果对每⼀xyz∈AxRyyRz蕴含着xRz那么R是传递的即A上的关系R是传递的x y z x∈A∧y∈A∧z ∈A∧xRy∧yRz→xRz 例如A 1234R5 〈41〉〈43〉〈42〉〈32〉〈31〉〈21〉是传递的其关系图和关系矩阵如图31―10所⽰例31-7 1 任何集合上的相等关系是⾃反的对称的反对称的和传递的但不是反⾃反的 2 整数集合I上关系≤是⾃反的反对称的可传递的但不是反⾃反的和对称的关系＜是反⾃反的反对称的可传递的但不是⾃反的和对称的 3 设 ab 试考察上的下列关系 i 关系与有同样长度是⾃反的对称的可传递的但不是反⾃反的和反对称的 ii xRy当且仅当x是y的真词头这⾥R是反⾃反的反对称的可传递的但不是⾃反的和对称的 iii xRy当且仅当x的某真词头是y的⼀个真词尾这⾥R既不是⾃反的⼜不是反⾃反的因为aaRaa但abRab既不是对称的也不是反对称的并且不是传递的 4 ⾮空集合上的空关系是反⾃反的对称的反对称的和传递的但不是⾃反的空集合上的空关系则是⾃反的反⾃反的对称的反对称的和可传递的 5 基数⼤于1的集合上的全域关系是⾃反的对称的和传递的但不是反⾃反的和反对称的例如图31―11所⽰的关系 321 关系的合成前边已经指出关系是序偶的集合因此可以进⾏集合运算本节介绍⼀种对关系来说更为重要的运算合成运算假设R1是A到B的关系R2是B到C的关系参看图32-1合成关系R1R2是⼀个A到C的关系如果在关系图上从a∈A到c∈C有⼀长度路径中弧的条数为2的路径其第⼀条弧属于R1其第⼆条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合其第⼀条弧属于R1其第⼆条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合定义32―1 设R1是从A到B的关系R2是从B到C的关系从A到C的合成关系记为R1R2定义为 R1R2 〈ac〉｜a∈A∧c∈C∧b〔b∈B∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕例32-11 如果R1是关系是的兄弟R2是关系是的⽗亲那么R1R2是关系是的叔伯R2R2是关系是的祖⽗ 2 给定集合A 1234 B 234 C 123 设R是A到B的关系S是B到C的关系 R 〈xy〉｜xy 6 〈24〉〈33〉〈42〉S 〈yz〉｜y-z 1 〈21〉〈32〉〈43〉则R·S 〈23〉〈32〉〈41〉如图32―2所⽰ 3 设A 12345 R和S都是A上⼆元关系如果 R 〈12〉〈34〉〈22〉 S 〈42〉〈25〉〈31〉〈13〉则R·S 〈15〉〈32〉〈25〉 S·R 〈42〉〈32〉〈14〉 R·S ·R 〈32〉 R· S·R 〈32〉 R·R 〈12〉〈22〉 S·S〈45〉〈33〉〈11〉 4 设R是A到B的⼆元关系IAIB分别是A和B上的相等关系则IA·R R·IB R 5 如果关系R的值域与关系S的定义域的交集是空集则合成关系R·S是空关系下边介绍合成关系的性质定理32―1 设R1是从A到B的关系R2和R3是从B到C的关系R4是从C到D的关系那么 1 R1 R2∪R3 R1R2∪R1R3 2 R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 3 R2∪R3 R4 R2R4∪R3R4 4 R2∩R3 R4 R2R4∩R3R41 2 3 部分的证明留作练习我们仅证明 2 部分证先证明公式因为〈ac〉∈R1 R2∩R3 b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∩R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∧〈bc〉∈R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2 ∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕∧b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3〕〈ac〉∈R1R2∧〈ac〉∈R1R3 〈ac〉∈R1R2∩R1R3 即〈ac〉∈R1 R2∩R3 〈ac〉∈R1R2∩R1R3 所以R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 再证包含可能是真包含举反例证明如果 A a B b1b2b3 C c A到B的关系R1〈ab1〉〈ab2〉 B到C的关系R2 〈b1c〉〈b3c〉 B到C的关系R3〈b2c〉〈b3c〉那么R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 〈ac〉此时R1 R2∩R3 ≠R1R2∩R1R3证毕定理32―2 设R1R2和R3分别是从A到BB到C和C到D的关系那么 R1R2 R3 R1 R2R3 证先证 R1R2R3 R1 R2R3 设〈ad〉∈ R1R2 R3那么对某c∈C〈ac〉∈R1R2和〈cd〉∈R3因为〈ac〉∈R1R2存在b∈B使〈ab〉∈R1和〈bc〉∈R2因为〈bc〉∈R2和〈cd〉∈R3得〈bd〉∈R2R3所以〈ad〉∈R1 R2R3 这样就证明了 R1R2 R3 R1 R2R3 R1 R2R3 R1R2 R3的证明是类似的留给读者⾃证上述证明也可⽤等价序列表达 322 关系R的幂当R是A上的⼀个关系时R可与⾃⾝合成任意次⽽形成A上的⼀个新关系在这种情况下RR常表⽰为R2RRR表⽰为R3等等我们能归纳地定义这⼀符号如下定义32―2设R是集合A上的⼆元关系n∈N那么R的n次幂记为Rn定义如下 1R0是A上的相等关系R0 〈xx〉｜x∈A 2 Rn1 Rn·R 定理32―3 设R是A上的⼆元关系并设m和n是N的元素那么 1Rm·Rn Rmn 2 Rm n Rmn 可⽤归纳法证明请读者⾃证定理32―4 设｜A｜ nR是集合A上的⼀个关系那么存在i和j使Ri Rj⽽0≤i＜j≤证A上的每⼀⼆元关系是A×A的⼦集因为｜A×A｜ n2｜ρ A×A ｜因此A上有个不同关系所以R的不同的幂不会超过个但序列R0R1 有项因此R的这些幂中⾄少有两个是相等的证毕定理32―5 设R是集合A上的⼀个⼆元关系若存在i和ji＜j使Ri Rj记d j-i那么 1 对所有k≥0Rik Rjk 2 对所有km≥0Rimdk Rik 3 记S R0R1R2Rj-1 那么R的每⼀次幂是S的元素即对n∈NRn∈S 证 1 和 2 部分⽤归纳法证明留作练习3 对于 c 设n∈N如果n＜j那么根据S的定义Rn∈S假设n≥j那么我们能将n表⽰为imdk这⾥k＜d根据 b 部分得Rn Rik因为ik＜j这证明了Rn∈S定理中的ij在实⽤时宜取最⼩的⾮负整数以保证S中⽆重复元素例32-2 设 A abcd R 〈ab〉〈cb〉〈bc〉〈cd〉其关系图如图32―3所⽰则R0 〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉 R2 〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉 R3〈ab〉〈ad〉〈bc〉〈cb〉〈cd〉 R4 〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉它们的关系图如图32―4所⽰由于R4 R2根据定理32―5 c 对所有n∈NRn∈ R0R1R2R3 可见不必再算了事实上易证R5 R3R6 R4 R2⽤归纳法可得R2n1 R3和R2n R2这⾥n≥1 323 合成关系的矩阵表达定理32―6 设X x1x2xm Y y1y2yn Z z1z2zp R是X到Y的关系MR 〔aij〕是m×n矩阵S是Y到Z的关系MS 〔bij〕是n×p矩阵则MR·S 〔cij〕 MR·MS这⾥证因为如果存在某k使aik和bki都等于1则cij 1但aik和bkj都等于1意味着xiRyk和ykSzj所以xi R·S zj可见如此求得的MR·S确实表达了R·S的关系因此上述等式是正确的如果不仅存在⼀个k使aik和bki都是1此时cij仍为1只是从xi到zj不⽌⼀条长度为2的路径但等式仍然正确上段的论证已隐含了不⽌⼀个k的情况本定理说明合成关系矩阵可⽤关系矩阵布尔矩阵的乘法表达例32-3设X 12 Y abc Z αβ R 〈1a〉〈1b〉〈2c〉 S 〈aβ〉〈bβ〉则定理32―7 关系矩阵的乘法是可结合的证利⽤关系合成的可结合性证明 MR·MS ·MT MR·S·MT M R·S ·T MR· S·T MR·MS·T MR· MS·MT 不仅合成关系可⽤关系矩阵表达⽽且关系的集合运算也可⽤关系矩阵表达设R和S是X到Y上的⼆元关系MR 〔aij〕MS 〔bij〕cij是运算后所得新关系之关系矩阵的元素则 MR∩S MR∧MS cij aij∧bij MR∪S MR∨MS cij aij∨bij cij aij MR-S MR∧ cij aij∧ bij 331 逆关系在讨论闭包运算时要⽤到逆关系的概念因此我们先介绍逆关系定义33―1设R是从A到B的⼆元关系关系R的逆或叫R的逆关系记为是⼀从B到A的⼆元关系定义如下例33-11 I上的关系2 集合族上的关系的逆是关系3 空关系的逆是空关系4 B×A即A×B的全域关系的逆等于B×A的全域关系定理33―1设R是从A到B的关系⽽S是从B到C 的关系则定理33―2 设RR1和R2都是从A到B的⼆元关系那么下列各式成⽴ 332 关系的闭包运算关系的闭包运算是关系上的⼀元运算它把给出的关系R扩充成⼀新关系R′使R′具有⼀定的性质且所进⾏的扩充⼜是最节约的定义33―2设R是A上的⼆元关系R的⾃反对称传递闭包是关系R′使 i R′是⾃反的对称的传递的ii R′R iii 对任何⾃反的对称的传递的关系R〃如果R〃R那么R〃R′ R的⾃反对称和传递闭包分别记为r R s R和t R 由定义可以看出R的⾃反对称传递闭包是含有R并且具有⾃反对称传递性质的最⼩关系如果R已经是⾃反的对称的传递的那么具有该性质并含有R的最⼩关系就是R⾃⾝下⼀定理说明这⼀点定理33―4设R是集合A上的⼆元关系那么 a R是⾃反的当且仅当r R R b R是对称的当且仅当s R R c R是传递的当且仅当t R R 证 a 如果R是⾃反的那么R具有定义33―2对R′所要求的性质因此r R R反之如果r R R那么根据定义33―2的性质 i R是⾃反的b 和 c 的证明是类似的略构造R的⾃反对称和传递闭包的⽅法就是给R补充必要的序偶使它具有所希望的特性下⾯我们⽤关系图来说明如何实现这⼀点定理33―5 设R是集合A上的⼆元关系那么r R R ∪E 这⾥E是A上相等关系在本节中均如此证设R′ R∪E显然R′是⾃反的且R′R余下只需证明最⼩性现假设R〃是A 上的⾃反关系且R〃R因R〃是⾃反的所以R〃E⼜R〃R所以R〃R∪E R′这样定义33―2都满⾜所以R′ r R 证毕设G是集合A上⼆元关系R的关系图我们把G的所有弧都画成有来有往即如果有从a到b的弧那么也有从b到a的弧就得到了R的对称闭包的有向图下⼀定理体现了这⼀想法定理33―7 设R 是集合A上的⼆元关系那么例33-2 a 整数集合I 上的关系＜的⾃反闭包是≤对称闭包是关系≠传递闭包是关系＜⾃⾝b 整数集合I上的关系≤的⾃反闭包是⾃⾝对称闭包是全域关系传递闭包是⾃⾝ c E的⾃反闭包对称闭包和传递闭包都是 E d ≠的⾃反闭包是全域关系对称闭包是≠≠的传递闭包是全域关系e 空关系的⾃反闭包是相等关系对称闭包和传递闭包是⾃⾝ f 设R是I上的关系xRy当且仅当y x1那么t R 是关系＜定理33―8设R是集合A上的⼆元关系这⾥A有n个元素那么证设〈xy〉∈t R 于是必存在最⼩的正整数k使〈xy〉∈Rk现证明k≤n若不然存在A的元素序列x a0a1a2ak-1ak y使xRa1a1Ra2ak-1Ry因k＞na0a1ak中必有相同者不妨设ai aj0≤i＜j≤k于是xRa1a1Ra2ai-1RaiajRaj1ak-1Ry 成⽴即〈xy〉∈Rs 这⾥s k- j-i但这与k是最⼩的假设⽭盾于是k≤n⼜〈xy〉是任意的故定理得证例33-3 设A abcd R如图33―1 a 所⽰则t R R∪R2∪R3∪R4如图33―1 b 所⽰本例即是32-2 定理33―9 1 如果R是⾃反的那么s R 和t R 都是⾃反的 2 如果R是对称的那么r R 和t R 都是对称的 3 如果R是传递的那么r R 是传递的定理33―10 设R是集合A上的⼆元关系那么 1 rs R sr R 2 rt R tr R 3 ts R st R 2 注意到ER RE R 和对⼀切n∈NEn E可得 34 次序关系 341 偏序集合定义34―1 如果集合A上的⼆元关系R是⾃反的反对称的和传递的那么称R为A上的偏序称序偶〈AR〉为偏序集合如果R是偏序〈AR〉常记为〈A ≤〉≤是偏序符号由于≤难以书写通常写作≤读做⼩于或等于因为⼩于或等于也是⼀种偏序故不会产⽣混乱R是偏序时aRb就记成a≤b 如果R是集合A上的偏序则 R 也是A上的偏序如果⽤≤表⽰R 可⽤≥表⽰R〈A≤〉和〈A ≥〉都是偏序集合并互为对偶例34-1 1 〈I≤〉是偏序集合这⾥≤表⽰整数中的⼩于或等于关系 2 〈ρ A 〉是偏序集合这⾥是集合间的包含关系 3 A 2468 D代表整除关系M代表整倍数关系则 D 〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈24〉〈26〉〈28〉〈48〉 M 〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈42〉〈62〉〈82〉〈84〉〈AD〉〈AM〉都是偏序集合且互为对偶例2 a P 1234 〈P≤〉的哈斯图为图34―2 b A 236122436 〈A整除〉的哈斯图为图34―3 c A 1212 〈A整除〉的哈斯图为图34―4 定义34―2 设〈A≤〉是⼀偏序集合B是A的⼦集 a 元素b∈B是B的最⼤元素如果对每⼀元素x∈Bx≤b b 元素b∈B是B的最⼩元素如果对每⼀元素x∈Bb≤x 例3考虑在偏序整除下整数1到6的集合其哈斯图为图34―5 a 如果B 1236 那么1是B的最⼩元素6是B的最⼤元素 b 如果B 23 因为2和3互相不能整除那么B没有最⼩元素和最⼤元素 c 如果B 4 那么4是B的最⼤元素也是B的最⼩元素定理34―1 设〈A≤〉是⼀偏序集合且B A如果B有最⼤最⼩元素那么它是唯⼀的证假设a和b都是B的最⼤元素那么a≤b和b≤a从≤的反对称性得到a b当a和b都是B的最⼩元素时证明是类似的定义34―3设〈A≤〉是⼀偏序集合B是A的⼦集 a如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且b≤x那么元素b∈B叫做B的极⼤元素b 如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且x≤b那么元素b∈B叫做B的极⼩元素定义34―4设〈A≤〉是⼀偏序集合B是A的⼦集a 如果对每⼀b∈Bb≤a那么元素a∈A叫做B的上界如果对每⼀b∈Ba≤b那么元素a∈A叫做B的下界 b 如果a是⼀上界并且对每⼀B的上界a′有a≤a′那么元素a∈A叫做B的最⼩上界记为lub如果a是⼀下界并且对每⼀B的下界a′有a′≤a那么元素a∈A叫做B的最⼤下界记为glb 例34-4 a 考虑偏序集合〈〈11〉〈10〉〈01〉〈00〉≤〉这⾥≤按〈 ab〉≤〈cd〉a≤c∧b≤d 规定其哈斯图如图34―6 如果B 〈10〉那么〈10〉是B的最⼩和最⼤元素也是B的极⼤和极⼩元素B的上界是〈10〉和〈11〉〈10〉是最⼩上界B的下界是〈00〉和〈10〉〈10〉是最⼤下界 b 考虑偏序集合〈I≤〉设B 2i｜i∈N那么B既没有最⼤元素和极⼤元素也没有上界和最⼩上界B的最⼩元素和极⼩元素是0B的下界集合是 i｜i∈I∧i≤0 0是最⼤下界 c 考虑在偏序集合〈 256101530 整除〉其哈斯图如图34―7设B是全集合 256101530 那么2和5都是B的极⼩元素但B没有最⼩元素集合B没有下界所以没有最⼤下界元素30是B的最⼤元素极⼤元素上界最⼩上界定理34―2 如果〈A≤〉是⾮空有限的偏序集合则A的极⼩⼤元素常存在最⼤下界和最⼩上界也可能存在或不存在但如果它们存在则是唯⼀的定理34―3 设〈A≤〉是偏序集合且B A 如果B的最⼩上界最⼤下界存在那么是唯⼀的下述定理描述了存在于诸特异元素之间的某些关系定理34―4 设〈A≤〉是偏序集合B是A的⼦集 a 如果b是B的最⼤元素那么b是B的极⼤元素 b 如果b是B的最⼤元素那么b是B的lub c 如果b是B的⼀个上界且b∈B那么b是B的最⼤元素证明可由最⼤元素极⼤元素和lub的定义直接得出故略去另外读者不难给出表达最⼩元素极⼩元素和glb间关系的定理 342 拟序集合定义34―5如果集合A上的⼆元关系R是传递的和反⾃反的那么R叫做A上的拟序〈AR〉称为拟序集合常借⽤符号＜表⽰拟序拟序是反对称的虽然定义中没有明确指出但容易证明这⼀点因为如果xRy和yRx由R的传递性得xRx但这与R的反⾃反性⽭盾所以xRy∧yRx常假于是xRy∧yRx→x y常真即R是反对称的例34-5 a 实数集合中的＜是拟序关系 b 集合族中的真包含是拟序关系拟序集合和偏序集合是紧密相关的唯⼀区别是相等关系E下述定理将说明这⼀点定理34―5在集合A上 a 如果R是⼀拟序那么rR R∪E是偏序 b 如果R是⼀偏序那么R-E是⼀拟序 343线序集合和良序集合如果≤是⼀偏序或a≤b或b≤a我们说a和b是可⽐较的偏序集合中的元素不⼀定都可⽐较所以叫偏序下⾯介绍的都是可⽐较的情况定义34―6在偏序集合〈A≤〉中如果每⼀ab∈A或者a≤b或者b≤a那么≤叫做A上的线序或全序这时的序偶〈A≤〉叫做线序集合或链例34-6 a P a ab abc 〈P〉是线序集合其哈斯图如图34―8所⽰ b 〈I≤〉是线序集合其哈斯图不完全如图34―9所⽰ c 设S是区间套的集合〔0a ｜a∈R 则〈S〉是线序集合 d 〈 1236 整除〉不是线序集合如果A是多于⼀个元素的集合那么〈ρ A 〉不是线序集合定义34―7如果A上的⼆元关系R是⼀线序且A的每⼀⾮空⼦集都有⼀最⼩元素那么R叫做A上的良序序偶〈AR〉叫做良序集合定理34―6〈N≤〉是良序集合证我们必须证明N的每⼀⾮空⼦集S在关系≤之下都有⼀最⼩元素因为S⾮空所以在S中可以取⼀个数n显然S中所有不⼤于n的数形成⾮空集T S如果T有最⼩数那么这最⼩数就是S中的最⼩数但从0到n只有n1个⾃然数于是T中所含的数最多是n1个所以T有最⼩数因此定理成⽴例34-8 a 每⼀有限线序集合是良序的 b 线序集合〈I≤〉不是良序集合因为I的某些⼦集诸如I⾃⾝不包含最⼩元素 c 关系≤是实数R的线序但不是良序例如⼦集A 01〕⽆最⼩元素如果A中的a是最⼩元素那么也在A中⽽≤a且不相等这与假设a是线序关系≤下A的最⼩元素⽭盾2 应⽤N上的良序定义出Nn上的良序例如n 2时N2上的次序关系可如下定义〈ab〉〈cd〉a＜c∨ a c∧b d 〈N2〉是良序集合关系严格⼩于可如下定义〈ab〉＜〈cd〉〈ab〉≤〈cd〉∧〈ab〉≠〈cd〉类似地应⽤I上的线序能定义出线序集合〈In≤〉 3 应⽤字母表∑上的线序可定义出∑上的通常叫词典序的线序定义34―8 设∑是⼀有限字母表指定了字母表序线序如果xy∈∑ a x是y的词头或 b x zu和y zv这⾥z∈∑是x和y的最长公共词头且在字母表序中u的第⼀个字符前于v的第⼀个字符那么x≤y≤叫做词典序4 由于〈N〉和有限线序集合都是良序集合可应⽤它们定义出∑上的⼀个良序通常叫标准序定义34―9设∑是⼀有限字母表指定了字母表序‖x‖表⽰x∈∑的长度如果xy∈∑ a ‖x‖＜‖y‖或b ‖x‖‖y‖且在∑的词典序中x前于y那么x≤y ≤叫做标准序不论在词典序和标准序下∑的每⼀元素都有直接后继者设∑ abc 且a≤b≤cx∈∑在标准序下 xa和xb的直接后继者分别是xb和xc xc的直接后继者是ya这⾥y是x的直接后继者在词典序下x的直接后继者是xa 在标准序下 xb和xc的直接前趋分别是xa和xb xa的直接前趋是yc这⾥y是x的直接前趋在词典序下 xa的直接前趋是x⾮a结尾的串都⽆直接前趋例如babaab但有⽆限个前趋 345 数学归纳法的推⼴前章我们把数学归纳法第⼀第⼆原理看作是⾃然数域上的⼀个推理规则本⼩节我们把它推⼴到⼀般的良序集合对任⼀个⾃然数n我们先取0如果n≠0取0的后继者1如果n≠1再取1的后继者2如此进⾏下去最终会得出n 给定⼀个良序集合如果对它的任⼀元素x我们先取该集合的最⼩元素m0如果x≠m0取m0的后继者m1如果x≠m1再取m1的后继者m2如此以往最终会得出x那么就称这样的良序集合是像⾃然数的例 8 1 设∑ ab 良序集合〈∑标准序〉是像⾃然数的因为定长的串的个数有限给定任⼀个串x在x之前的串的个数有限所以从∧开始反复取后继者终可得出x 2 良序集合〈N×N≤〉不像⾃然数这⾥≤按上⼀⼩节规定因为有许多元素没有直接前趋例如〈50〉就是这样因⽽有⽆限个元素前于〈50〉所以从〈00〉开始反复地取后继者不可能取得〈50〉像⾃然数的良序集合可以应⽤数学归纳法第⼀原理因为第⼀原理是建⽴在后继运算上⽽这种良序集合的每⼀元素都可通过重复地取后继者得到设m0是该良序集合〈S≤〉的最⼩元素S x 是元素x的后继者则推理规则如下对不像⾃然数的良序集合不能应⽤数学归纳法第⼀原理因为这种良序集合的有些元素不能由后继运算得到但对它可应⽤数学归纳法第⼆原理第⼆原理是建⽴在良序集合上的适⽤于⼀切良序集合设〈S≤〉是良序集合＜表⽰≤-E 即x＜y表⽰x≤y且x≠y 则推理规则如下下⾯证明良序集合上这个推理规则是有效的假设我们能证明前提例34-10〈Q≤〉是线序集合现说明在此线序集合中第⼆原理不是有效推理规则设谓词Px 表⽰x⼩于或等于5 i 当x≤5时 y〔y＜x→P y 〕是真P x 也真所以是真综合 i 和 ii 得在论述域Q上 x 〔 y y＜x→P y →P x 〕是真但结论 x P x 是假这说明第⼆原理不能应⽤于线序集合〈Q≤〉 35 等价关系和划分 351 等价关系⼆元关系的另⼀重要类型是等价关系其定义如下定义35―1 如果集合A上的⼆元关系R是⾃反的对称的和传递的那么称R是等价关系设R是A上的等价关系abc是A的任意元素如果aRb 即〈ab〉∈R 通常我们记作a～b读做a等价于b 定义35―2 设k是⼀正整数⽽ab∈I如果对某整数ma-b m·k那么a和b是模k等价写成a≡b modk 整数k叫做等价的模数定理35―1模k等价是任何集合A I上的等价关系证如果A 例35-1 c 已指出它是等价关系如果A≠则 i ⾃反的因为对任⼀aa-a 0·k得出a≡a modk ii 对称的因为a≡b mod k 时存在某m∈I使a-b m·k于是b-a-m·k 因此 b≡a mod k iii 传递的设a≡b mod k 和b≡c mod k 那么存在m1m2∈I 使a-b m1k和b-c m2·k 将两等式两边相加得a-c m1m2 ·k所以a≡c mod k 例1 a 同学集合A abcdefgA中的关系R是住在同⼀房间这是等价关系因为 i 任⼀个⼈和⾃⼰同住⼀间具有⾃反性 ii 若甲和⼄同住⼀间则⼄和甲也同住⼀间具有对称性 iii 若甲和⼄同住⼀间⼄和丙同住⼀间则甲和丙也同住⼀间具有传递性现假设a和b同住⼀间def同住⼀间c住⼀间则 R 〈aa〉〈ab〉〈ba〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉〈ee〉〈ff〉〈de〉〈ed〉〈ef〉〈fe〉〈df〉〈fd〉其有向图如图35―1所⽰ b 数中的相等关系集合中的相等关系命题演算中的关系等都是等价关系 c 空集合中的⼆元关系R是等价关系因为i x x∈→xRx ii x y〔x∈∧y∈∧xRy→yRx〕iii x y z〔x∈∧y∈∧z∈∧xRy∧yRz→xRz〕都⽆义地真所以R是等价关系集合A上的全域关系R A×A是等价关系模数等价是整数域或其⼦集上的等价关系并且是等价关系中极为重要的⼀类定理 35-1 模k等价是任何集合A I上的等价关系证如果A 例35-1 3 已指出它是等价关系如果A≠则 i ⾃反的因为对任⼀aa-a 0·k得出a≡a mod k ii 对称的因为a≡b modk 时存在某m∈I使a-b m·k于是b-a -m·k因此b≡amodk iii 传递的设a≡b modk 和b≡c modk 那么存在m1m2∈I使a-b m1k和b-c m2·k将两等式两边相加得a-c m1m2 ·k所以a≡c modk 例35-2 a 若R是I上模4等价关系则〔0〕4 -8-4048 〔1〕4 -7-3159 〔2〕4 -6-22610 〔3〕4 -5-13711 b 若R是I上模2等价关系则〔0〕2 -4-2024 〔1〕2 -3-1135 每⼀集合中的数相互等价 c 时钟是按模12⽅式记数的设备13点钟和1点钟有相同的记数定义35―3 设R是集合A上等价关系对每⼀a∈Aa关于R的等价类是集合 x｜xRa 记为〔a〕R简记为〔a〕称a为等价类〔a〕的表⽰元素如果等价类个数有限则R的不同等价类的个数叫做R的秩否则秩是⽆限的对每⼀a∈A等价类〔a〕R⾮空因为a∈〔a〕R 例 35-3 1 如图35―2设A abcdef R 〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈ab〉〈ba〉〈ac〉〈ca〉〈bc〉〈cb〉〈dd〉〈ee〉〈de〉〈ed〉〈ff〉则等价关系R的等价类如下〔a〕〔b〕〔c〕 abc 〔d〕〔e〕 de 〔f〕 f等价关系R的秩是3 2 I上模4等价的等价类是〔0〕4〔1〕4〔2〕4〔3〕4 参看例2 a I上模2等价的等价类是〔0〕2 〔1〕2 参看例2 b3 集合A上相等关系的秩等于A的元素个数定理35―2 设R是⾮空集合A上的等价关系aRb 当且仅当〔a〕〔b〕证充分性因为a∈〔a〕〔b〕即a∈〔b〕所以aRb 定理35―3设R是集合A上的等价关系则对所有ab∈A或者〔a〕〔b〕或者〔a〕∩〔b〕证如果A 断⾔⽆义地真现设A≠若〔a〕∩〔b〕≠则存在某元素c∈〔a〕和c∈〔b〕根据定理35―2得〔a〕〔c〕〔b〕⼜因〔a〕和〔b〕都⾮空〔a〕∩〔b〕和〔a〕〔b〕不能兼得因⽽定理得证定义35― 4 给定⾮空集合A和⾮空集合族πA1A2Am 如果那么称集合族π是A的覆盖定理35―4设R是集合A上的等价关系则证先证定理35―5设R1和R2是集合A上的等价关系那么R1 R2当且仅当〔a〕R1｜a∈A 〔a〕R2｜a∈A 证必要性因为R1 R2所以对任意a∈A有〔a〕R1 x｜xR1a x｜xR2a〔a〕R2 故〔a〕R1｜a∈A 〔a〕R2｜a∈A 充分性因为〔a〕R1｜a∈A 〔a〕R2｜a∈A 得〔a〕R1 〔a〕R2所以对任意x∈A 有xR1a x∈〔a〕R1 x∈〔a〕R2 xR2a ⼜a是任意的故R1 R2证毕定理35―6 设R是A上的⼆元关系设R′ tsr R 是R的⾃反对称传递闭包那么 a R′是A上的等价关系叫做R诱导的等价关系 b 如果R〃是⼀等价关系且R〃R那么R〃R′就是说R′是包含R的最⼩等价关系证 a 根据闭包运算的定义和定理33―9可得 r R 是⾃反的 sr R是⾃反的和对称的 tsr R 是⾃反的对称的和传递的因此R′ tsr R 是A上的等价关系 b 设R〃是任意的包含R的等价关系那么R〃是⾃反的和对称的所以R〃R∪∪E sr R 因为R〃是传递的且包含sr R 所以R〃包含tsr R 证毕例4设A abc 且A上的⼆元关系R如图35―3所⽰则tsr R 如图35―4所⽰352 划分定义35―5给定⾮空集合A和⾮空集合族π A1A2Am 如果 i π是A的覆盖即ii Ai∩Aj Φ或Ai Aj ij 12m 那么集合族π叫做集合A的⼀个划分划分的元素Ai称为划分π的块如果划分是有限集合则不同块的个数叫划分的秩若划分是⽆限集合则它的秩是⽆限的划分的秩就是划分的⼤⼩例35-5 1 设S 123 有 A 12 23B 1 12 13C 1 23D 123E 1 2 3F 1 12 2 将⼀张纸撕成⼏⽚则所得的各个碎⽚是该纸的。
离散数学方世昌答案
离散数学方世昌答案【篇一：070101118《离散数学》教学大纲】txt>《离散数学》课程教学大纲（discrete mathematics）一、课程简介1、课程性质：专业基础必修课．2、开课学期：第三学期3、学时学分：总学时： 68 学分： 34、适用专业：计算机科学5、课程修读条件：在修完高等数学与线性代数课程之后开设。
6、课程教学目的：离散数学是计算机科学中基础理论的核心课程。
通过本课程的学习，培养学生的抽象思维和严密的逻辑推理能力，应用自如的解题技巧，以及训练有素的演算能力，使学生能处理各种离散结构事物的描述工具与方法，为进一步学习专业课打好基础，并为学生今后处理离散信息，提高专业理论水平，从事计算机的实际工作提供必备的数学工具。
二、教学基本要求或建议：1、掌握一些现代数学语言2、理解有关基本概念3、掌握有关基本理论知识 4、熟练掌握一些重要方法三、内容纲目及标准：第一章命题逻辑[教学目的]正确理解命题、命题联结词、真值表、命题公式的递归定义等概念，掌握命题符号化方法，命题公式真值表的求法，命题演算的基本方法、命题公式范式的判定及求法及应用命题演算基本公式和推理规则进行正确的推理和应用，为学习下一章谓词（一阶）逻辑打下扎实基础。
[教学重点与难点]（1）命题公式与符号化；真值表与等价公式（2）重言式与蕴含式；其他联结词（3）对偶与范式（4）推理理论（难点） [教学内容纲目]第一节命题逻辑辑基本概念一、命题与联结词概念二、真值表三、命题公式与赋值第二节命题逻辑等值演算一、等值式二、析取范式与合取范式三、联结词完备集第三节命题逻辑的推理理论一、推理的形式结构二、自然推理系统第二章谓词逻辑[教学目的]正确理解谓词，量词，永真公式，前束范式等基本概念，理解命题演算和谓词演算的相互关系，了解公理化理论的基本思想及公理化理论在计算机科学中的地位和作用。
[教学重点与难点] （1）量词与变元（2）等值公式演算（3）前束范式（4）谓词演算推理（难点） [教学内容纲目]第一节谓词（一阶）逻辑基本概念一、一阶逻辑命题符号化（一）个体变项与常项（二）谓词与量词（三）谓词公式二、一阶逻辑公式及解释（一）变元（二）解释（三）等值公式三、公式分类第二节一阶逻辑公式等值演算与推理一、一阶逻辑等值式与置换规则二、一阶逻辑前束范式三、一阶逻辑的推理理论（一）一阶逻辑的公理化理论（二）谓词演算与逻辑程序设计语言第三章集合论[教学目的]（1）正确理解集合、关系、映射的基本概念，理解多元运算的概念，能正确判定单射、满射、双射。
离散数学方世昌课后习题答案
离散数学方世昌课后习题答案
《离散数学方世昌课后习题答案》
离散数学是计算机科学和数学中非常重要的一个分支，它研究的是离散的数学
结构和离散的数学对象。
方世昌老师的离散数学课程是非常受欢迎的，他的课
后习题也备受学生关注。
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散数学课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 证明：如果一个图G有一个奇数度的顶点，那么G一定有偶数个奇数度的顶点。
解答：首先，我们知道一个图中所有顶点的度数之和等于图中边的数量的两倍。
而奇数度的顶点的个数一定是偶数个，因为如果奇数度的顶点的个数是奇数个，那么所有顶点的度数之和就是奇数，与实际情况不符。
因此，如果一个图G有
一个奇数度的顶点，那么G一定有偶数个奇数度的顶点。
2. 证明：如果一个图G有n个顶点，每个顶点的度数都不小于n/2，那么G一
定是连通图。
解答：假设G不是连通图，那么G一定是由两个或多个连通子图组成的。
而每
个连通子图中的顶点个数一定小于n，因此每个连通子图中的顶点的度数一定
小于n/2。
这与题目中所给条件矛盾，因此G一定是连通图。
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离散数学是一门非常重要的课程，希朩大家能够认真学习，掌握其中的
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离散数学课后习题答案二
离散数学课后习题答案二习题3.71. 列出关系}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3, 1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛09:10 Nadir 32234底特律09:44解略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><="">解略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？解略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班登机口起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝后得到的二维表航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
word版,《离散数学(第三版)》方世昌期末复习知识点总结,文档
《失散数学》期末复习概要《失散数学》是中央电大“数学与数学应用专业”（本科）的一门选修课。
该课程使用新的教课纲领，在原有失散数学课程的基础上减少了教课内容（主假如群与环、格与布尔代数这两章及图论的后三节内容），使用的教材为中央电大第一版的《失散数学》（刘叙华等编）和《失散数学学习指导书》（虞恩蔚等编）。
失散数学主要研究失散量构造及互相关系，使学生获得优秀的数学训练，提升学生抽象思想和逻辑推理能力，为从事计算机的应用供给必需的描绘工具和理论基础。
其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为：数据构造、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容1、会合论部分（会合的基本观点和运算、关系及其性质）；2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部分（图的基本观点、树及其性质）。
学习建议失散数学是理论性较强的学科，学习失散数学的要点是对失散数学（会合论、数理逻辑和图论）相关基本观点的正确掌握，对基来源理及基本运算的运用，并要多做练习。
教课要求的层次各章教课要求的层次为认识、理解和掌握。
认识即能正确鉴别相关观点和方法；理解是能正确表达相关观点和方法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵巧应用。
一、各章复习要求与要点第一章集合[复习知识点]1、会合、元素、会合的表示方法、子集、空集、全集、会合的包含、相等、幂集2、会合的交、并、差、补等运算及其运算律（互换律、联合律、分派律、汲取律、DeMorgan律等），文氏（Venn）图3、序偶与迪卡尔积本章要点内容：会合的观点、会合的运算性质、会合恒等式的证明[复习要求]11、理解会合、元素、子集、空集、全集、会合的包含、相等、幂集等基本观点。
2、掌握会合的表示法和会合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握会合运算基本规律，证明会合等式的方法。
4、认识序偶与迪卡尔积的观点，掌握迪卡尔积的运算。
[本章要点习题]P5~6，4、6；P14~15，3、6、7；P20，5、7。
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
《离散数学第三版》方世昌的期末复习知识点总结
1、集合的概念
因为集合的概念学生在中学阶段已经学过,这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握,一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2ｎ。
２、集合恒等式的证明
通过对集合恒等式证明的练习,既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在 证明中的特殊作用。
6、理解函数概念：函数、函数相等、复合函数和反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。
[本章重点习题］
Ｐ25,１；Ｐ32~33,4，8,10;Ｐ４3，2，3,５;P５1~52,5，6；P59,1,2;P64，3;P74~75,2,4，6，7；Ｐ81，５,7；P8６，1，2。
[疑难解析]
[复习要求]
1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
２、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律,证明集合等式的方法。
４、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]
P5~6,4、６;Ｐ14~15,3、6、7；P20,５、７。
3、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论:定理2， ；定理3， ；定理４,推论 。
4、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大(小)元，极大(小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大(小）元只能在子集内确定,而上界与下界可在子集之外的全集中确定,最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集中的任一元素,可以与某一元素相等,最大下界也同样。
精品文档-离散数学(方世昌)-第6章
第六章 代 数
(2) 幂集合ρ(S)、并、交、补、
S可构成一个代数。
①载体是S的幂集合ρ(S)。
②定义在载体上的运算是: 二个二元运算∪和∩、 一个
一元运算。
③
S。
这个代数可记为〈ρ(S), ∪, ∩,
, , S〉。
第六章 代 数
在不产生误解的情况下, 标示代数的记号可以简化, 不一 定将所有成分都写出, 有时常数可以不写, 有时仅用载体标记该代 数。
那么〈Q, +, ·, -, 0, 1〉和〈R, +, ·, -, 0, 1〉是同类代数, 但〈ρ(S), ∪, ∩, -, , S〉, 这里“-” 表示集合的非, 是 不同类的, 因为公理(6)对这个代数不成立。
第六章 代 数
6.1.2 么元和零元
定 义 6.1-1 设 * 是 S 上 的 二 元 运 算 ,1l 是 S 的 元 素 , 如果对S中的每一元素x, 有
中有二个二元运算, 对运算∪, 是么元, S是零元。对运算∩, 是零元, S是么元。
第六章 代 数
定理 6.1-1 设*是S上的一个二元运算, 具有左么元1l和 右么元1r, 那么1l=1r, 这元素就是么元。
证 因为1l和1r是左么元和右么元。
1r = 1l·1r = 1l
证毕。
第六章 代 数 定理 6.1-2 设*是S上的二元运算, 具有左零元0l和右
第六章 代 数
第六章 代 数
6.1 代数结构 6.2 子代数 6.3 同态 6.4 同余关系 6.5 商代数和积代数 6.6 半群和独异点 6.7 群 6.8 环和城
第六章 代 数 6.1 代数结构
6.1.1 代数的构成和分类方法 代数通常由3部分组成:
离散数学方世昌第5节
无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但 对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
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3. 证明方法
3).直接证明法 假设P是真，如果能推得Q是真，则P→Q是真
H1∧H2∧ …∧Hn C，由前提利用推理规则直接推 出 C。
P→Q，R→ ¬ Q，R ¬ P
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即证 证： 步骤 （1） （2） （3） （4） （5）
P→ Q， R→ ¬ Q， R ¬ P
断言(真) R R→ ¬ Q ¬Q P→Q ¬P 根 据 P P T,(1),(2),I3 P T,(3),(4),I4
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定理常见的形式是“P当且仅当Q”，“如果P，那么
Q”。 而前者又相当于P→Q并且Q→P， 所以归根结
底，定理的主要形式是P→Q。至于其它形式，诸如：
P形式，只需证明P是假; P∧Q形式，只需证明P、Q
俱真; P∨Q形式，可转化为
P→Q形式。
我们主要从策略意义上说明如何证明P→Q形式 的命题，具体的技巧，仍需通过例题来学习。
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3. 证明方法 （P→Q）
赛。
解 设A: A参加球赛，B: B参加球赛，C: C参
加球赛，D: D参加球赛。要证明的是A→ D可从
A→B∨C，B→ A，D→ C 推出。
27
28
利用CP规则证明以下例题 练习：证A →(B → C)， ¬ D A，B D → C
证： (1)
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
6
如： Q是P，(P Q) 的有效结论。 即 P(P Q) →Q 是一个永真式。
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离散数学方世昌答案
【篇一：070101118《离散数学》教学大纲】
txt>《离散数学》课程教学大纲（discrete mathematics）
一、课程简介
1、课程性质：专业基础必修课．
2、开课学期：第三学期
3、学时学分：总学时： 68 学分： 3
4、适用专业：计算机科学
5、课程修读条件：在修完高等数学与线性代数课程之后开设。
6、
课程教学目的：
离散数学是计算机科学中基础理论的核心课程。
通过本课程的学习，培养学生的抽象思维和严密的逻辑推理能力，应用自如的解题技巧，以及训练有素的演算能力，使学生能处理各种离散结构事物的描述
工具与方法，为进一步学习专业课打好基础，并为学生今后处理离
散信息，提高专业理论水平，从事计算机的实际工作提供必备的数
学工具。
二、教学基本要求或建议：
1、掌握一些现代数学语言
2、理解有关基本概念
3、掌握有关基本
理论知识 4、熟练掌握一些重要方法
三、内容纲目及标准：
第一章命题逻辑
[教学目的]正确理解命题、命题联结词、真值表、命题公式的递归定义等概念，掌握命题符号化方法，命题公式真值表的求法，命题演
算的基本方法、命题公式范式的判定及求法及应用命题演算基本公
式和推理规则进行正确的推理和应用，为学习下一章谓词（一阶）
逻辑打下扎实基础。
[教学重点与难点]
（1）命题公式与符号化；真值表与等价公式（2）重言式与蕴含式；其他联结词（3）对偶与范式（4）推理理论（难点） [教学内容纲目]
第一节命题逻辑辑基本概念一、命题与联结词概念二、真值表三、命题公式与赋值第二节命题逻辑等值演算一、等值式
二、析取范式与合取范式三、联结词完备集
第三节命题逻辑的推理理论一、推理的形式结构二、自然推理系
统
第二章谓词逻辑
[教学目的]正确理解谓词，量词，永真公式，前束范式等基本概念，理解命题演算和谓词演算的相互关系，了解公理化理论的基本思想
及公理化理论在计算机科学中的地位和作用。
[教学重点与难点] （1）量词与变元（2）等值公式演算（3）前束范式
（4）谓词演算推理（难点） [教学内容纲目]
第一节谓词（一阶）逻辑基本概念一、一阶逻辑命题符号化（一）个体变项与常项（二）谓词与量词（三）谓词公式二、一阶逻辑公
式及解释（一）变元（二）解释（三）等值公式三、公式分类
第二节一阶逻辑公式等值演算与推理一、一阶逻辑等值式与置换
规则二、一阶逻辑前束范式三、一阶逻辑的推理理论（一）一阶
逻辑的公理化理论（二）谓词演算与逻辑程序设计语言
第三章集合论
[教学目的]（1）正确理解集合、关系、映射的基本概念，理解多元
运算的概念，能正确判定单射、满射、双射。
（2）熟练掌握集合、
关系、映射的运算极其性质。
（3）理解和掌握偏序关系、相容关系、等价关系的概念和作用。
（4）正确认识无限集合的本质特征，理解
集合基数的实质，掌握比较集合基数大小的方法。
[教学重点与难点]集合的运算与性质，关系的概念与表示，关系的运算，关系的性质与闭包（难点），次序关系（难点），等价关系
（难点），映射，无限集的特征，集合的基数（难点）。
[教学内容
纲目]
第一节集合的概念与运算一、集合的基本概念（一）元素与集合（二）集合的相等（三）子集和幂集二、集合的运算
（一）集合的交、并、差（补）运算（二）集合的运算律（三）有
序对与笛卡儿积三、集合恒等式第二节二元关系一、关系的概念
极其表示（一）关系（二）图表示（三）矩阵表示二、关系的运
算（一）交、并、差（补）（二）复合
三、关系的性质与闭包（一）自反性，非自反性（二）对称性，非
对称性（三）传递性（四）关系的闭包四、等价关系与划分（一）等价关系与等价类（二）商集（三）集合的划分五、次序关系（一）拟序，偏序，线性序
（二）极大（小）元，最大（小）元，上（下）界，上（下）确界
第三节函数一、函数的定义与性质（一）单射（二）满射（三）
1-1映射
二、函数的复合与反函数（一）函数的复合（二）逆涵数
三、无限集（一）无限集的特征（二）集合的基数
第四章代数系统
[教学目的]
（1）理解和掌握代数系统的概念和性质（2）熟悉半群的概念和特
性
（3）正确理解群、子群、正规子群、商群、群同态与群同构的概念，熟悉它们的性质，掌握它们的
判定方法。
（4）理解变换群、置换群的概念和作用，理解置换的计算。
（5）
掌握循环群的特性和结构。
（6）理解lagrange定理和同态基本定理，并能正确应用。
（7）
理解格和boole代数的概念和性质。
（8）了解代数系统在计算机科学研究中的地位与作用。
[教学重点
与难点]
半群，群与子群，同态与同构（难点），格，布尔代数（难点），
布尔表达式（难点）。
[教学内容纲目]
第一节代数系统的基本概念一、二元运算及性质（一）单位元（二）逆元（三）同态与同构二、代数系统第二节半群与群一、
半群与独异点二、群的定义与性质三、子群
四、陪集与lagrange定理五、正规子群与商群六、群同态与同构
基本定理七、循环群与置换群第三节格与boole代数一、格的定
义与性质二、子格与格同态三、分配格与有补格四、boole代数
第五章图论
[教学目的]
（1）正确理解图论中的基本概念，理解图的连通性。
（2）理解euler图和 hamilton图的特性，并能正确判定。
（3）熟悉掌握图
的矩阵表示
（4）熟悉平面图的概念
，判断和有关着色。
[教学重点与难点]路与回路的概念，图的矩阵表示，欧拉图与汉密尔顿图，平面图，对偶图与图的着色（难点）。
[教学内容纲目] 第一
节图论基本概念一、图、通路与回路二、图的连通性三、图的矩
阵表示
第二节 euler图和hamilton图一、euler图二、hamilton图三、带权图与货郎担问题第三节平面图及图的着色一、平面图的基本
概念
二、平面图的判断与kuratowski定理三、平面图的点着色与边着
色（二）实践部分无实验
四、课程学时分配：
五、分专业、层次的不同要求的有关说明：
对计算机科学与技术，网络工程本科专业（64学时），必须根据实
际情况完成主要教学内容。
对专科学生，相应降低要求。
在教学目标、教学内容及要求、教学方法、教学手段、考试、参考书目等方
面差异不大。
六、课程作业与考核评价：
课程作业训练每周2次，每次2-4个题目，具体作业类型参见教材，课堂讨论课考查学生课堂表现及学习理解能力，期中期末考试形式
为闭卷考试，课程试卷试题结构为判断题，填空题，计算
【篇二：离散数学授课计划-计算1101】
>2012—2013学年第二学期
院、系：基础部课程名称：离散数学课程类别：专业基础必修
课计划学时 / 学期总学时： 80/80 授课班级：计算1101 授课教师：教研室主任签字：系主任签字：教学院长签字：
填报日期：二○一三年三月十六日
济南大学泉城学院基础部2012—2013学年第二学期授课计划
专业：计算课程：离散数学 2013年3月16日制
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【篇三：离散数学-授课计划表】
>学院：计算机学院 2014 /2015学年第一学期主讲：罗卫兰专业：软件工程《离散数学》授课计划表辅导：罗卫兰班级：
b130409-12
考查）审查(系、教学中心)：课程编号: b0302021s 学时: 64 学分: 4批准(学院)：
教材：《离散数学》，左孝凌等，上海科学技术文献出版社，2011年。
参考书：《离散数学: 理论.分析.题解》，左孝凌等，上海科技文献出版社，2011年。
《离散数学及其应用》，kenneth h.rosen 著，机械工业出版社，2008年。
第2页填表日期：2014年 9 月 1日。