数学分析》第十二章数项级数

uN 2rN u 1, u N 3 rN u 2 r 2 u N 1 , ,
u N mrm 1u N 1,
而级数 rm1uN1收敛 ,
m1
uNm uu收敛 , 收敛
m1
nN1
当1时, 取 1, 使 r1,
当nN时, u n 1 rn u u n , ln im un0. 发散
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则nsn 不是有界数列
vn发散.
定理证毕.
n1
推 论 :若un收 敛 (发 散 )
n1
且 vnkn u (nN )k (n u vn),则 vn收敛(发散).
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
4
例 1 讨 论 P-级 数
121p31p41p n 1p 的 收 敛 性 .(p0)
解
设p1,
设 n 1u n是 正 项 级 数 , 如 果 n l i u m u n n 1 ( 数 或 )
则 1时 级 数 收 敛 ;1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 .
证明 当为有限数,时对 0, N, 当nN时, 有 un1 ,
un
即 un1 (nN )
un
12
当1时, 取 1, 使 r1,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
6
例2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n1)
证明 1 1 , n(n1) n1
而级数 1 发散 ,
n1n1
级数
1
发散 .
n1 n(n1)
7
4.比较审敛法的极限形式:
设 un
n1
与 vn 都是正项级数,如果
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0l时 ,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 v n 收敛,则 u n 收敛;
n1
n1
(3) 当 l时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
8
证明 (1)由limun l v n
n
对于 l 0,
2
N, 当nN时, l l un l l
2 vn
2
即 2 lvnun3 2 lvn (nN )
解
(1)
u n1 ( n 1)!
un
1
1 0(n ), n1
n!
故级数 1收敛 .
n1n!
16
(2)
un1 un
(1n0n11)!1n0!n
n 1 (n ), 10
故级n数 11n0!n 发散 .
( 3 ) liu m n 1lim (2n1 )2n 1, n u n n (2n1 )(2n2)
例如 , 设级数 1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0(n ) 级数收敛.
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思考题
设正项级数un 收敛, 能否推得un2收敛?
n1
n1
反之是否成立?
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思考题解答
由 正 项 级 数 un收 敛 ， 可 以 推 得 un2收 敛 ,
n1
n1
lim
n
un2 un
ln imun 0
由比较审敛法知 u n 2 收敛.
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
lnima2n
1, 6
ln im a2n1
3, 2
limun1 u n
n
ln im an不存. 在
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例 4 判 别 下 列 级 数 的 收 敛 性 :
1
(1) ;
n1n!
n!
(2) n11n 0; 1
1
(3)
.
n1(2n1)2n
(1) si1 n;
n1 n
1
(2)n13nn1 ;
解
(1)
limnsin1
n
n
lim
n
sin 1
n
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim 3 n n n 1 3n
lim n 1
1
n 3n
1,
n1
1收 3n
敛,
故原级数收敛.
11
ห้องสมุดไป่ตู้.比 值 审 敛 法 (达 朗 贝 尔 D’Alembert判 别 法 )：
§2 正项级数
1
正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s 1 s 2 s n
部分和数列{ sn }为单调增加数列.
定理 正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的数
2
3.比较审敛法 设un和vn均为正项级数，
反之不成立.
n1 1
1
例如：
n
1
n
2
收敛,
n 1 n 发散.
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练习题
一、填空题: 1、 p 级 数 当 _______时 收 敛 ,当 _______时 发 散 ；
2 、 若 正 项 级 数 u n 的 后 项 与 前 项 之 比 值 的 根 等于 , n1 则 当 ________时 级 数 收 敛 ； ________时 级 数 发 散 ； ____________时 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
1 np
1, n
则P级数发. 散
y
设p1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn12 1p3 1p n 1p
y
1 xp
(p1)
112d xpx nn1d xpx
o 1 234
x
5
1
n dx 1 xp
1p11(1n1p1) 1
1 p1
即sn有界, 则P级数收. 敛
P级数 当 当pp 11时 时,,
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n11)2nn12,
级数
1
n2
n1
收敛 ,
故级 n 1数 2n(21n1)收.敛
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7.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un是 正 项 级 数 ,如 果 ln i m nun n1
(为数 或 ),则 1 时 级 数 收 敛 ;
1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .
n1
n1
且un vn(n1,2,),若 vn 收敛,则 un收敛；
n1
n1
反之，若un发散，则vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn unvn,
n1
且 s n u 1 u 2 u n v 1 v 2 v n ,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
3
( 2 )设 s n ( n )且 unvn,
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1 . 当 1 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
例
级数
1发散 ,
n1n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
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2.条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 .
例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n数 1unn 122 ( n1)n收,敛
由比较审敛法的推论, 得证.
9
5 . 极 限 审 敛 法 ：
设un为 正 项 级 数 ,
n1
如果n l i m nu n l 0 (或n l i m nu n ),
则级数 un发散;
n1
如果有p1, 使得nl im npun存在,
则级数 un收敛.
n1
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例 3 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 :