数学之流水行船问题(经典例题)

流水行船教学目标1、掌握流水行船的基本概念2、能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系知识精讲一、参考系速度通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。

二参考系速度——“水速”但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：①水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。

（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。

三、流水行船问题中的相遇与追及①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.模块一、基本的流水行船问题【例 1】两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。

【解析】（352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小时）．【巩固】光明号渔船顺水而下行200千米要10小时，逆水而上行120千米也要10小时．那么，在静水中航行320千米需要多少小时？【解析】顺水速度：2001020+÷=（）÷=（千米/时），静水速度：2012216÷=（千米/时），逆水速度：1201012（千米/时），该船在静水中航行320千米需要3201620÷=（小时）．【巩固】一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140千米，水速是每小时3千米，需要行几个小时？【解析】顺水速度为25328+=(千米/时)，需要航行140285÷=(小时)．【例 2】甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

【解析】顺水速度：208÷8=26（千米/小时），逆水速度：208÷13=16（千米/小时），船速：（26+16）÷2=21（千米/小时），水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）【巩固】甲乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？【解析】从甲到乙顺水速度：234926÷=（千米/小时），÷=（千米/小时），从乙到甲逆水速度：2341318船速是：2618222（）（千米/小时）．-÷=（）（千米/小时），水速是：261824+÷=【例 3】(2009年五中分入学测试题)一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒，则在无风时他跑100米要用秒．【解析】本题类似于流水行船问题．根据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为90109÷=米/秒，那么÷=米/秒，逆风速度为70107他在无风时的速度为(97)28+÷=米/秒．在无风时跑100米，需要的时间为100812.5÷=秒．【巩固】某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？【解析】从甲地到乙地的顺水速度为15318⨯=(千米)，从乙地到+=(千米/时)，甲、乙两地路程为188144甲地的逆水速度为15312÷=(小时)．-=(千米/时)，返回所需要的时间为1441212【例 4】一只小船在静水中的速度为每小时25千米．它在长144千米的河中逆水而行用了8小时．求返回原处需用几个小时？【解析】4.5小时【巩固】一只小船在静水中速度为每小时30千米．它在长176千米的河中逆水而行用了11小时．求返回原处需用几个小时？【解析】这只船的逆水速度为：1761116-=(千米/时)；返回原处所需时÷=(千米/时)；水速为：301614间为：176(3014)4÷+=(小时)．【例 5】（难度等级※）一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时．求：这两个港口之间的距离?【解析】（船速+6）×4=（船速-6）×7，可得船速=22，两港之间的距离为：（22+6）×4=112千米．【例 6】甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，4小时后相遇．已知水流速度是6千米/时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？【解析】在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，乙船逆水．甲船的顺水速度=船速+水速，乙船的逆水速度=船速-水速，故：速度差=(船速+水速) -(船速-水速)2=⨯水速，即：每小时甲船比乙船多走6212⨯=(千米)．4小时的距离差为12448⨯=(千米)．甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇．已知水流速度是4千米/时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？【解析】在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，乙船逆水．甲船的顺水速度=船速+水速，乙船的逆水速度=船速-水速，故：速度差=(船速+水速) -(船速-水速)2=⨯水速，即：每小时甲船比乙船多走428⨯=(千米)．3小时的距离差为8324⨯=(千米)．【例 7】 （难度等级 ※※）乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【解析】 乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）。

水流速度：（60-30）÷2＝15（千米/小时）.甲船顺水速度：12O÷3＝4O （千米/小时）。

甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）。

甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）．【巩固】 一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米．已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等．求船速和水速．【解析】 这只船的逆水速度为：182312⨯÷=(千米/时)；船速为：(1812)215+÷=(千米/时)；水流速度为：18153-=(千米/时)【例 8】 （难度等级 ※※）船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。

由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时?【解析】 本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度.船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）.暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）.暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小时）.暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（15-5）=18（小时）．【例 9】 两港相距560千米，甲船往返两港需105小时，逆流航行比顺流航行多用了35小时．乙船的静水速度是甲船的静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？【解析】 先求出甲船往返航行的时间分别是：10535270+÷=（）（小时），10535235-÷=（）（小时）．再求出甲船逆水速度每小时560708÷=（千米），顺水速度每小时5603516÷=（千米），因此甲船在静水中的速度是每小时168212+÷=（）（千米），水流的速度是每小时16824-÷=（）（千米），乙船在静水中的速度是每小时12224⨯=（千米），所以乙船往返一次所需要的时间是56024÷+（456024448+÷-=）（）（小时）．【巩固】 乙两港相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆水航行比顺水航行多花了5小时，现在有一艘机帆船，静水中速度是每小时12千米，这艘机帆船往返两港需要多少小时？【解析】 轮船逆水航行的时间为()355220+÷=(小时)，顺水航行的时间为20515-=(小时)，轮船逆流速度为3602018÷=(千米/时)，顺流速度为3601524÷=(千米/时)，水速为()241823-÷=(千米/时)，所以机帆船往返两港需要的时间为()()36012336012364÷++÷-=(小时)【例 10】 （难度等级 ※※）一条小河流过A ，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A,B 两镇间的距离是多少千米?【解析】 如下画出示意图有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时．而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时．设AB 长x 千米,有50712.55x x -+=,解得x =25．所以A,B 两镇间的距离是25千米.【例 11】 （难度等级 ※※）河水是流动的，在 B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 A 点到B 点，然后穿过湖到C 点，共用 3 小时；若他由 C 到 B 再到 A ，共需 6 小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从 B 流向 C ，那么，这名游泳者从 A 到 B 再到 C 只需2.5小时；问在这样的条件下，他由C 到 B 再到 A ，共需多少小时？【解析】 设人在静水中的速度为 x ，水速为 y ，人在静水中从 B 点游到 C 点需要 t 小时．根据题意，有 6(6)3(3)x t y x t y --=+- ，即2(3)3x t y =-，同样，有 2.5 2.53(3)x y x t y +=+- ，即(21)x t y =-；所以，22133t t -=-，即 1.5t =，所以 2x y =；(2) 2.5(2)7.5x y y y +⨯÷-= (小时)，所以在这样的条件下，他由 C 到 B 再到 A 共需 7.5 小时．。