第七节单侧置信区间
置信区间(详细定义及计算)
21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位 kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验， 由试验所得数据得
x 6720 s 2 28 2 设钢索所能承受的张力X， X ~ N ( , 2 ) 分别估计这批钢索所能承受的平均张力 的范围与所能承受的平均张力。 0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的 S t 2 ( n 1)] 置信区间。 由公式知μ的置信区间为 [ X n 查表 t 0.05 (8) t 0.025 (8) 2.306 x 6720 s 2 28 2
S S S t 2 ( n 1)] [X t 2 ( n 1), X t 2 ( n 1)] [ X n n n 19
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
为了调查某地旅游者的消费额为X， 随机访问了 40名旅游者。 得平均消费额为 x 105 元，样本方差 s 2 28 2 设 X ~ N ( , 2 )求该地旅游者的平均消费额 μ的置信区间。 0.05 解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的 置信区间。选取统计量为
4 4
2
z0.01} 0.95
14
第一个区间为优
（单峰对称的）。 可见，像 N(0,1)分布那样概率密度
z 2 ] 的图形是单峰且对称的情况。 当n固定时以[ X n
的区间长度为最短，我们一般选择它。
若以L为区间长度，则
2 L z 2 n
可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的 16 条件下尽可能提高精度.
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时） 服从正态分布 X ~ N ( ,1), 其中μ未知,现在抽取 25个样品做试验， 得数据后计算得 1 n x xk 6 25 k 1 取 0.05 (1 0.95), 求μ的置信区间。 解
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。
一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。
常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。
正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。
二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。
2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。
常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。
中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。
百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。
二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。
置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。
置信区间(详细定义及计算)
5 1
4
s2 5
28.5 5.339
n 1 4 0.01
S
查表 t0.01 (4) t0.005(4) 4.6041
[ X n t 2 (n 1)]
则所求μ的2 置信区间为 [1259 24.58 , 1259 24.58] 21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位
kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，由试验所得数据得
只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 [ˆ1,内ˆ2 .]
这里有两个要求:
1. 要求 很大的可能被包含在区间 [ˆ内1,，ˆ2 ]
就是说，概率 P{ˆ1 ˆ2} 要尽可能大.
求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解 设μ为温度的真值， X表示测量值，通常是一个
正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式
x 1250 1 [0 15 510 25] 1259
s2
1
5 [(1250
1259)2
(1275
1259)2 ]
570
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95.
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。
分布，都近似有
当 n 充分大时，无论X服从什么
Z X EX ~ N (0,1) DX n
[X
n
z 2 ,
X
n
z 2 ]
均可看作EX的置信区间。
第七节单侧置信区间
X X P( t (n 1)) 1 （即 ~ t (n 1)） s S n n
概率统计
S P( X t ( n 1)) 1 n 于是得到 的一个置信水平为 1 的单侧置信
即: 区间ຫໍສະໝຸດ S (X t ( n 1), ) n
得:该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为219.3 (元).
概率统计
为为置信度
概率统计
二. 单侧置信区间的求法 思路: 同双侧量区间的求法 不同处： 在求单侧置信区间时不是查双侧 点，而是查单侧 分位点。
分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均 2 收入 X 234.7 （元）， s 1590.85
即:
X
s
n
t ( n 1)
X 234.7
t (n 1) t0.05 (20 1) t0.05 (19) 1.7291
概率统计
所求的 的单侧置信下限为:
s
1590.85 8.92 20 n
234.7 8.92 1.7291 234.7 15.43 219.3(元)
第 7节
问题的引出
单侧置信区间
前面介绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在 有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方 向的界限。 例如， 对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了.
这时，可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限, 这样求得的置信区间称为 单侧置信区间.
试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少？（单侧置信下限）
置信区间(详细定义及计算)
可见，对参数 作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
[ˆ1 ,ˆ2 ] 内.
1. 要求 很大的可能被包含在区间 [ˆ1 , ˆ2 ] 内，
就是说，概率 P {ˆ1 ˆ2 } 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠.
ˆ ˆ 2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 2 1 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
18
当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1)} 1 n n
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值， 可以得到不同的置信区间。
15
ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 这里有两个要求:
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 1245 0 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解
设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n 则所求μ的置信区间为 [1259 24 .58 , 1259 24 .58]
第7节 单侧置信区间
解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα
(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α
置信区间详解(详细定义及计算)
38
代入样本值算得 估计为
, 得到μ的一个区间
[12.706，13.294].
注：该区间不一定包含μ.
总结此例，做了以下工作： 1）根据优良性准则选取统计量来估计参数；
是μ的优良估计量：无偏、有效、相合.
39
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
σ2差多少？ 容易看出把
看成随机变量，又能找到
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
的概率分布是难以计算的，而
对于给定的
23
则得到σ2随机区间
以 的概率包含未知方差σ2，这就是σ2的置信度为
1－α的置信区间。
24
某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）
例如，通常可取显著水平
等.
即取置信水平
或 0.95，0.9 等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间 ，使
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的 指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形 数学期望 和方差 的区间估计。
5
设
为总体
的样本，
分别是样本均值和样本方差。 对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一 个区间，它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间 设
则随机变量 令
7
这就是说随机区间
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
置信上限
置信区间
1)sn2
mn
mn(m
n
2)
例1.有两台车床A和B同生产一种型号的 零件，为了比较这两台车床所生产的零件 的直径的均值，随机地抽取A车床生产的 零 差件s8A个 0，.3测1(。m得m随平) 机均地直x抽A 取15.B20车(m，m床)标生准产离的零 件 差9个，测得sB。平根0均.2据8直(m以m往) 经验y，B可标以14准.认82离(为mm，) 这两台车床所生产的零件的直径都服从正 态 值分差布，且的它95们%的置方A信差区相B间等。，求二总体均
2
P{| U | z } 1 1 2
即
P
x
/
n
z1 2
1
P
x
z1 2
n
x
z1 2
1
n
区间
[x z12
,
n
x z12
]
n
即为的置信区间。称z1-/2为在置信 度1-下的临界值，或称为标准正态分布
的双侧分位点。
当＝0.05时,查标准正态分布表
得临界值
z12 z0.975 1.96
样本均值和样本方差分别记为 和 .
我们的x 任, s务m 2 是求y
,
s
பைடு நூலகம்
2 n
1 2
的置信区间.下面按总体方差的不同情况
分别进行讨论。
1. 方差 和12 都 22已知
由第七章第三节中的结论可知
x
~
N
1,
12
m
,
y
~
N
2
,
2 2
n
x
y
~
N (1
2
,
2 1
m
2 2
置信区间的名词解释
置信区间的名词解释嘿，朋友！你知道置信区间不？这玩意儿啊，就好比是你在茫茫大海里找宝藏的一个范围！比如说你觉得宝藏可能在这片海域的某个地方，那这个可能的范围就是置信区间啦！（就像你找手机，你大概知道可能在桌子上或者沙发上，这就是个类似的范围。
）想象一下，你想要知道一个城市里所有成年人的平均身高。
你不可能去量每个人的身高吧，那多累啊！所以呢，你就找了一部分人来量，然后根据这些人的身高数据去推测整个城市成年人的平均身高。
而这个推测出来的可能的身高范围，就是置信区间啦！（这不就跟你通过几个朋友的喜好去推测大家普遍喜欢的东西一样嘛！）置信区间它可不是随便说说的，它是有根据的哦！它就像是给你一个靠谱的估计，告诉你这个平均值大概在哪个范围内。
比如说 95%的置信区间，那就是说有95%的把握认为真正的平均值就在这个范围内。
（这就好像天气预报说明天有 90%的概率会下雨，那你是不是就会大概率带上伞呀！）在很多领域都要用置信区间呢！比如在科学研究里，研究者们想要知道某种药物是不是真的有效，他们就会通过实验数据来计算置信区间。
如果置信区间显示药物很有可能有效果，那就是一个很重要的发现啦！（就像你尝试一种新的学习方法，你通过观察自己的成绩变化来判断这个方法有没有用。
）再比如在市场调查中，公司想要知道消费者对某个产品的满意度，也会用置信区间来估计。
这样他们就能更好地了解消费者的想法，做出更好的产品啦！（这跟你想知道朋友对你做的菜的评价差不多，通过他们的反馈来改进嘛。
）总之呢，置信区间是个很有用的东西，它能帮我们在不确定的世界里找到一些靠谱的范围和估计。
你说它是不是很神奇呀！所以啊，一定要好好理解它哦！我的观点就是：置信区间是我们探索和理解世界的一个重要工具，能让我们在面对不确定性时有个大致的方向和判断依据。
置信区间
sn2
m n
作为1 的2近似置信区间。
3.方差
2 1
22且 为2 未知
由第七章定理五知,统计量
(x y) (1 2 ) mn(m n 2)
(m
1)S
2 m
(n
1)S
2 n
mn
服从t(m+n-2)分布。由此可得1 2
的置信区间为
(*)
x
y
t1 2
(m
n
2)
(m
1)s
2 m
(n
于是
x1.96
14.75
n
x 1.96
15.15
n
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
上面的讨论是在DX已知的情况下进行的， 但实际应用中往往是DX未知的情况。
设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个 样本，由于2未知，我们用样本方差S2来
代替总体方差2，
n
1
2
n
欲使区间长度
2z 1 2
L n
2
z 1
2
L
n
即要求
4(z ) 2 2
1
n
2
L2
第五节 二正态总体均值差和方差比的区间估计
一. 二正态总体均值差的区间估计
设 x1 , 和, xm y分1 ,别来, y自m 于正态总
体N 和N (1,的12 ) 两独立(样2 ,本22 )，相应的
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当＝0.05时，1-=0.95,查表得
z1 z0.975 1.96
单侧置信区间
(n
1)
2 0.95
(5)
1.145,
S 2 0.039
标准差σ的单侧 0.95 的置信上限
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
5 0.039 0.41 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 )，其中 2已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
布, N (, 2 ),, 2未知.从某天生产的滚珠中随机地抽
取6个滚珠,测得直径（毫米）为
14.7， 15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1
求标准差σ的单侧 0.95 的置信上限.
解： 2的单侧 0.95 的置信上限是
2
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
2
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ), 由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1, X2 ,, Xn ), Θ, 使得
P{ } 1 ,
称随机区间( ,) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限.
2
(n 1)S 2
12 (n 1)
1
2 的置信水平为1-α的单侧置信区间
0,
(n 1)S
12 (n
2
1)
2 的置信水平为1-α的单侧置信上限为
2
(n 1)S 2
2 1
(n
置信区间(详细定义及计算)
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的 两个统计量
1 1 ( X 1 , X 2 , , X n ),
2 2 ( X 1 , X 2 , , X n )
T X S
2
~ t (n 1)
由公式知μ的置信区间为 [ X S t ( n 1)] 2 n 查表 t 0.05 (39) t0.025 (39) 2.0227 则所求μ的置信区间为 即 [103 .45 , 106 .55]
2
n
若σ2＝25 μ的置信区间为
5 1.96] [X z 2 ] [105 40 n 20
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 1245 0 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解
设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n 则所求μ的置信区间为 [1259 24 .58 , 1259 24 .58]
2
n
置信区间的计算与解释
置信区间的计算与解释在统计学中，置信区间是用来估计总体参数的范围，通常以一定的置信水平表示。
置信区间的计算与解释在实际应用中非常重要，可以帮助我们更好地理解数据和做出正确的决策。
本文将介绍置信区间的计算方法，并解释如何正确理解和解释置信区间的含义。
一、置信区间的计算方法1. 样本均值的置信区间计算当我们想要估计总体均值的置信区间时，可以使用样本均值和标准误差来计算。
一般情况下，我们使用 t 分布来计算置信区间，计算公式如下：置信区间 = 样本均值± t * 标准误差其中，t 是自由度为 n-1 时对应于所选置信水平的 t 分布的临界值，标准误差的计算公式为标准差/ √n。
2. 样本比例的置信区间计算当我们想要估计总体比例的置信区间时，可以使用二项分布来计算。
计算公式如下：置信区间 = 样本比例± z * 标准误差其中，z 是对应于所选置信水平的标准正态分布的临界值，标准误差的计算公式为√(样本比例 * (1-样本比例) / n)。
二、置信区间的解释1. 置信水平的含义置信水平是指在重复抽样的过程中，置信区间包含总体参数的概率。
例如，95% 的置信水平表示在进行多次抽样时，有95% 的置信区间会包含总体参数。
2. 置信区间的解释当我们得到一个置信区间时，我们可以解释为：我们有95%（以95%置信水平为例）的把握认为总体参数落在这个区间内。
换句话说，如果我们进行多次抽样，大约有95% 的样本会包含总体参数。
3. 置信区间的宽度置信区间的宽度取决于样本大小和置信水平。
一般来说，置信水平越高，置信区间就越宽；样本大小越大，置信区间就越窄。
因此，在解释置信区间时，我们需要考虑到置信水平和置信区间的宽度。
4. 置信区间与假设检验的关系置信区间和假设检验是统计推断中常用的两种方法。
置信区间可以帮助我们估计总体参数的范围，而假设检验则用来判断总体参数是否符合我们的假设。
在实际应用中，我们通常会同时使用这两种方法来进行推断。
7.7 单侧置信区间
S n
t
(
n
1),
单侧置信上限
X
S n
t
(n
1),
,
单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信度为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
.
单侧置信上限 2
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1), 若由样本 X1 , X 2 , ,
X n 确定的统计量 ( X1 , X 2 , , X n ) , 对于任意
满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单
侧置信下限 .
又如果统计量 ( X1 , X2 , , Xn ), 对于任 意 满足
P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧
置信上限.
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
例如对于正态总体X，若均值, 方差 2 均为
未知 , 设 X1, X2, , Xn 是一个样本, 由
X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(n
1)
1
,即P Nhomakorabea S n
t
(n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为1 的单侧置信区间
7.5正态总体均值与方差的区间估计7.7单侧置信区间
7 2
随机区间 1 , 是的置信度为1 的单侧置信区间 。
P 2 X1 , 则称 2 X 1 ,
又若将 7 2 式改为： , X n 1 , , X n 为的单侧置信上限 。
7 3
随机区间 , 2 是的置信度为1 的单侧置信区间 。
, X n 2 X1,
, X n 1
7 1
则称随机区间 1 , 2 是的双侧 1 置信区间 ；称 1 为置信度；
1和 2分别称为双侧置信下限和双侧置信上限。
2
第3页
上述置信区间中置信限是双侧的，但对于有 些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的 界限，即上限或下限. 例如：对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿 命过长没什么问题，过短就有问题了.
10
2 2 n 36, X 15, S 16
第11页
S S 置信区间为： X t 2 n 1 , X t 2 n 1 n n
S S 由P X t0.025 X t0.025 1 0.05 n n
查表得：t0.025 35 2.0301
又： 15 2.0301 4 13.647,15 2.0301 4 16.353 6 6
的置信区间为13.647,16.353
？求置信度为99％时 1 2
两种情况下的置信区间
? 答案：1 13.333,16.667
2 1
n1
2 1
~ N 0,1
n2
置信区间(详细定义及计算)
在交通工程中需要测定车速（单位 km/h),由以往
例5
解
由置信区间的概念，所求μ的0.99的 置信区间为
2、现在作了150次观测，试问平均测量值的误差在
的经验知道，
即
测量值为X，
测量值的误差在 之间。
1、至少作多少次观测，才能以0.99的可靠性保证平均
之间的概率有多大？
由题意要求
用平均测量值 来估计μ
为了调查某地旅游者的消费额为X，
例4
40名旅游者。
解
本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
置信区间。
选取统计量为
由公式知μ的置信区间为
查表
则所求μ的置信区间为
随机访问了
得平均消费额为
元，样本方差
设
求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。
若σ2＝25
μ的置信区间为
即
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得
解
μ的置信区间为
代入样本值算得 ,
[12.706，13.294].
得到μ的一个区间估计为
注：该区间不一定包含μ.
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
又如，上例中同样给定
可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
则μ的置信度为0.95的置信区间为
两个统计量
随机区间与常数区间
不同，
其长度与在数轴上
的位置与样本
有关。
当一旦获得样本值
那么，
都是常数。
为常数区间。
设 是总体X的 一个未知参数，
定义7.7
若满足
的置信区间.
（双侧置信区间）.
的置信水平（置信度）为
单侧置信限——精选推荐
单侧置信限正态总体的均值与⽅差的置信区间设总体是来⾃总体的样本，与分别为样本均值与样本⽅差。
给定置信度为。
（1）单个正态总体的均值置信区间1° 为已知，均值的置信度为的置信区间为2° 为未知，均值的置信度为的置信区间为（2）单个正态总体的⽅差的置信区间1° 为已知，⽅差的置信度为的置信区间为2° 为未知，⽅差的置信度为的置信区间为标准差（均⽅差）的置信度为的置信区间为。
（3）两个正态总体，的均值差的置信区间设总体，总体，与相互独⽴。
是总体样本，是总体的样本，这两个样本相互独⽴。
设，，。
给定置信度为。
1° 与为已知，均值差的置信度为置信区间为2° 为未知，均值差的置信度为的置信区间为其中。
（4）两个正态总体⽅差⽐的置信区间1° 与为已知，⽅差⽐的置信度为的置信区间为2° 与为未知，⽅差⽐的置信度为的置信区间为三. 重点、难点分析本节的重点是掌握单个正态总体的均值与⽅差的置信区间的计算公式。
四. 典型例题例1．设总体，若已知，问需要抽取多⼤容量的样本，才能使的置信度为的置信区间长度不超过？解：，且已知，则的置信度为的置信区间长度为．由得例2．从某种⾹烟雾中随机抽取12只，测得尼古丁含量（单位：mg）为 28，26，27，30，29，22，24，25，31，28，27，23．设尼古丁含量服从正态分布，求该批⾹烟平均每⽀尼古丁含量的95%置信区间．（1）已知(mg)；（2）未知．解：（1），查表．所以；．即该批⾹烟平均每⽀尼古丁含量的95%的置信区间为（26.661,26.673）．（2）未知，．查表，，．所以；．即该批⾹烟平均每⽀尼古丁含量的95%的置信区间为（24.904, 28.430）．例3．从某轧钢车间⽣产的钢板中随机抽取6张，测得其厚度（单位：cm）为 0.341, 0.382, 0.365, 0.375, 0.353, 0.376．设钢板厚度服从正态分布，试求厚度标准差的99%置信区间及钢板厚度的95%单侧置信上限．解：（1），．由于，，查分布表得：， 1．未知时，的置信区间为，即[0.0086, 0.0546]．（2）未知时，的单侧置信上限为．对于，，查表得．所以．。
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即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
第7节 节 问题的引出
单侧置信区间
前面介绍的置信区间中置信限都是双侧的, 前面介绍的置信区间中置信限都是双侧的,但在 有些实际问题, 有些实际问题,人们所关心的只是参数在一个方 向的界限. 向的界限. 例如, 例如, 对于设备,元件的使用寿命来说, 对于设备,元件的使用寿命来说,平均寿命过 长没什么问题,过短就有问题了. 长没什么问题,过短就有问题了 这时, 这时,可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限 而只着眼于置信下限, 而只着眼于置信下限 这样求得的置信区间称为 单侧置信区间. 单侧置信区间
得:该区域职工家庭人均月收入的 该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为219.3 (元). 最低下限为 元
概率统计
�
的置信度为 1 α 的单侧置信下限
X X P( < tα ( n 1)) = 1 α(即 ~ t ( n 1) ) s S n n
概率统计
区间
S P( > X tα ( n 1)) = 1 α n 于是得到 的一个置信水平为 1 α 的单侧置信
即:
S (X tα ( n 1),+∞ ) n