算子解法

(1 + x )
2
= [ x 2 x + 3] =
1 D 2
1 D 2
2 2
x3 3
2
x + 3x
2
1 D 2
又 y* = [(1 D + D )(1 + x )]
= [ (1 D + D )](1 + x )= ( 1 + D )(1 + x )
1 D
=
x3 3
x + 3x 1
2
例. 求特解
D y + pDy + qy = Pn ( x ),
2
( D + pD + q ) y = Pn ( x ) .
2
1 Pn ( x ) 特解 y* = 2 D + pD + q
1 次项为止） 将 2 展开为泰勒级数 到 n 次项为止） （ D + pD + q
例. 求特解 2 y"+2 y'+ y = x + 2 x 1
D 2t D 3t
D ( 3t ) D ( 2t ) t2 1 = = 21= 2 2 2D D D 2D 2 D
D D
x '+ y '+ x + y = 2 t 例 2. 设 ， 求特解。 求特解。 y = 3t x '+ 2 y ' ( D + 1) x + ( D + 1) y = 2t 解：算子形式为 Dx + ( 2 D 1) y = 3t
1 1 2 则y = （x + 2 x 1), 求逆算子 2 2D2 + 2D + 1 2D + 2D + 1 1 1 2 展开式 = 1 x + x2 x3 +L 1 + ( 2 D + 2 D) 1+ x
*
= 1 ( 2 D + 2 D) + ( 2 D + 2 D) ( 2 D + 2 D) + L
λx
是实函数。 v 可以是复数， 其中 λ 可以是复数， ( x ) 是实函数。 此时有公式
1 f ( D)
e v( x) = e
λx
λx
1 f ( D+λ )
v( x)
y"4 y'+4 y = e 2 x 的特解。 的特解。 例．求方程
解：方程为 ( D 2) 2 y = e 2 x .
特解为： 特解为：
v 1 , v 2 ,Lv m 是 m 个函数， 则 个函数，
1 f ( D)
[a1v1 + a2 v2 + L + am vm ]
1 f ( D) 1
= a1
v + a2
1 f ( D)
v2 + L + am
1 f ( D)
vm
u 都是实函数， ② 记 i = 1 ， ( x ) , v ( x ) 都是实函数，则
e
3x
sin 2 x
( 3+ 2 i ) x
=
= Im[e 3 x ( sin42 x
x = 4 e 3 x cos 2 x
x cos 2 x 4
1 D 2 6 D +13
Im e
= Im( D2 61D +13 e ( 3+ 2 i ) x )
= Im[e ( 3+ 2 ix )
1 ( D + 3+ 2 i ) 2 6 ( D + 3+ 2 i ) +13
1 D 2 1
( x + 1)
4
= 1 D 2 D 4 D 6 L
则 y* = ( 1 D 2 D 4 )( x 4 + 1)
= ( x 1) (12 x ) 24
4 2
= x 12 x 25
4 2
验证 ( D 2 1) y* = D 2 y * y* = ( 12 x 2 24 ) y *
x = 4 e 3 x cos 2 x
= e 3 x Im[e 2 ix
1 D ( D+4 i )
1]
或.
y"6 y'+13 y = e
1 ( D 2 6 D + 13 )
3x
sin 2 x
i )]
解：方程为 ( D 2 6 D + 13) y = e 3 x sin 2 x , 特解为
y=
1 f (D)
Im[ u( x ) + iv ( x )] = Im[
1 f (D)
( u( x ) + iv ( x ))]
1 f ( D)
Re[u( x ) + iv ( x )] = Re[ f (1D ) ( u( x ) + iv ( x )]
（1）当自由项 f(x)为n 次多项式时 为
1 2 2 2 = 1 2 D 2 D2 + L = 1 D D + L 3 9 27 3 3 9
1 2 D 2 D 2 (x 2 + 2 x 1) = 25 + 2 x + 1 x 2 则特解为 y = 27 9 3 27 3 9
（2）自由项
f ( x ) = e v( x )
1 1 x 2 t 于是 D 1 2 y = 3 t ,
1 1 x 1 2t 1 2 y = D 3t =
t2 2 3 2 t
两端同乘逆矩阵得
x 2 1 = y 1 1
1 t2 t = 2 3 2 1 2 2 t 2 t
= x +1
4
例
求
y"+ y' = 1 + x
1 D2 + D
2
的特解。 的特解。
解：方程的算子形式为 ( D 2 + D ) y = 1 + x 2 特解为 y* =
=
1 1 D D +1
[
(1 + x )] =
2
(1 + x ) =
2
1 D
[(1 D + D )(1 + x )]
2 2
1 D ( D +1 )
2
即
x = t ，y = t
1 2 2 1 2
2
或
例1.
设
x '+ y ' = 2 t ，求特解 x '+ 2 y ' = 3 t
x=
y=
Dx + Dy = 2t 解：其算子形式为 Dx + 2Dy = 3t 则 2t D t2 1 2 D ( 2t ) D ( 3t ) D D = = 21= 2 2 3t 2 D 2 2D D D D 2D
1 [( D + 2 ) 2 ]2
y* =
1 ( D 2 )2
e
2x
=e
x2 2
2x
1
=e
2x 1 D2
1=
e
2x
例. 求特解
y"2 y'+ y = xe
x
( D 1) 2 y = xe x 解：方程为
特解为
y* =
1 ( D 1 ) 2
xe = e
x
x 1 D2
x=
x3 6
e
x
例. 求特解 y"6 y'+13 y = e
2
2 3 2 3
D 2 D2 3 4 4 2 3 D9D 9D
2 9
D + D3
2 4 9
1 2 D 2 D 2 (x 2 + 2 x 1) = 25 + 2 x + 1 x 2 则特解为 y = 27 9 3 27 3 9
或. 求特解
2
2 y"+2 y'+3 y = x + 2 x 1
2 2 2 2 3
= 1 2D + 2D2 + L
y* = (1 2 D + 2 D 2 )( x 2 + 2 x 1) = x 2 2 x 1
的特解。 例．求 y'' y = x + 1 的特解。
4
解：方程的算子形式为 ( D 1) y = x + 1.
2 4
求特解 y* =
1 2 D 1
2
2 y"+2 y'+3 y = x + 2 x 1
2
2
解： 2 D + 2 D + 3) y = x + 2 x 1, (
2 2 1 2 D D 27 3 9
1 求 ( 2 D 2 + 2 D + 3)
3 + 2 D + 2 D 1 + 0D + 0D2 + L 1 + 2 D + 2 D2 3 3
Baidu Nhomakorabea 如
( 2 D 2 + 3 D + 4)( x 3 + 1) = 2( x + 1)"+3( x + 1)'+4( x + 1)
3 3 3
= 12 x + 9 x 2 + 4 x 3 + 4
对于二阶非齐次方程
y′′ + py′ + qy = f (x)
可记为： D 2 y + pDy + qy = f ( x ), 可记为：
其中 a0 , a1 , L , an 是常数 .
对于函数 y = y( x )
规定 : ( an D n + an1 D n1 + L + a1 D + a0 ) y = an D n y + an1 D n1 y + L + a1 Dy + a0 y = an y ( n ) + an1 y ( n1) + L + a1 y'+ a0 y +
1 D2 +4
=e
3x
Im[e
2 ix 1 D
( 41i )] 4i
i]
3x
Im e
e
2 ix
= e 3 x Im[e 2 ix 4xi ]
)
1]
3x
Im(
1 D2 +4
2 ix
= e 3 x Im[ sin42 x
x cos 2 x 4
= e 3 x Im[e 2 ix
1 ( D + 2 i )2 +4
3x
sin 2 x
解：方程为 ( D 2 6 D + 13) y = e 3 x sin 2 x , 特解为
y=
=e
=e
=e
1 ( D 2 6 D + 13 )
e
3x
sin 2 x
sin 2 x
=e
3x
Im[e
2 ix 1 D
1 ( ( D + 4 i ) 1)]
3x
1 [( D + 3 ) 2 6 ( D + 3 ) + 13 ]
( D 2 + pD + q ) y = f ( x ) . 记 F ( D ) = D 2 + pD + q . 则方程可写为 F ( D ) y = f ( x ) . 1 y* = f ( x) 从而特解可表示为 F ( D)
1 称 F ( D)
的逆算子。 为 F ( D ) 的逆算子。
1 D
2
2D 2D 2 D 4 D2 4 D3 2 3 2D + 4D
y* = (1 2 D + 2 D 2 )( x 2 + 2 x 1) = x 2 2 x 1
或. 求特解 2 y"+2 y'+ y = x + 2 x 1
2
( 2 D 2 + 2 D + 1) y = x 2 + 2 x 1, 解：
2
( 2 D 2 + 2 D + 1) y = x 2 + 2 x 1, 解：
1 1 2 则y = （x + 2 x 1), 求逆算子 2 2D + 2D + 1 2D2 + 2D + 1 2D + 2D2 1
*
1 + 2 D + 2 D 1 + 0D + 0D2 + L
2
1 + 2D + 2D2
D +1 D +1 D +1 0 系数行列式： 系数行列式： = = ( D + 1)(D 1) = D2 1 ≠ 0 D 2D 1 D D 1
令： 1 = 2t D + 1 3 t 2D 1 = ( 2 D 1) 2 t ( D + 1) 3 t = 1 5 t
D +1 2t 令： 2 = = ( D + 1 ) 3 t D ( 2 t）= 3 t + 1 D 3t 1 1 5 t x= = 2 = ( 1 D 2 D 4 L)(1 5 t ) = 5 t 1 由克莱姆 D 1
1]
= Im[e ( 3+ 2 i ) x
1 D ( D+4 i )
1]
= Im[e
( 3+ 2 i ) x x 4i
]
微分方程组的算子解法
x '+ y ' = 2 t 例1. 设 ，求特解 x '+ 2 y ' = 3 t D D x 2 t 解：其算子形式为 D 2D y = 3 t
如
2
Dx = 2x, 则
2
2
(2x) = x = ∫ 2xdx
2
D x = 2, 则
一般有
1 Dk
1 D
1 D2
(2) = [ (2)] = [2x] = x
1 1 D D 1 D
2
q( x ) = ∫ q( x )dx ,
k
[q( x )] = ∫ L ∫ q( x )(dx )
k 个
逆算子有如下的性质 线性性质： ① 线性性质： 设 a 1 , a 2 , L a m 是 m 个常数， 个常数，
算子解法
d d2 dn 2 = D, = D LL n = D n . 规定 dx dx 2 dx
记 D0 = 1 .
对于函数 y = y( x) :
dy = Dy , dx
dny d y 2 LL n = D n y =D y 2 dx dx
2
an D n + an1 D n1 + L + a1 D + a0 称为 n 阶算子多项式.
2
2
解： 2 D + 2 D + 3) y = x + 2 x 1, (
1 1 = 2D2 + 2D + 3 3 1 2 1 + ( D + D2 ) 3
1 求 ( 2 D 2 + 2 D + 3)
1 2 3 = 1 x + x x +L 1+ x
1 2 4 2 2 2 = 1 ( D + D ) + ( D + D ) + L 3 3 9