二次根式的概念、性质知识点及练习

二次根式的概念、性质

1.二次根式的概念：（1）一般地，把形如式子a（a≥0）的式子叫做二次根式。“”称为二次根号，二次根号下面的“a”叫做被开方数。

知识拓展：①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意a≥0是a为二次根式的前提条件。

②二次根式的定义是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，虽然9=3，但是3是9的计算结果，因此9是二次根式。

③“”的根指数是“2”，一般把根指数“2”省略，不要误把“”的根指数当作“0”。

④形如b a（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与a的乘积，注意当b为带分数时，要把b写成假分数的形式。

特别提示：判断一个式子是不是二次根式，看其是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数是非负数。二者缺一不可。

（2）二次根式有意义的条件：当a≥0时，a有意义；当a＜0时，a在实数范围内没有意义。

知识拓展：①如果一个式子中有多个二次根式，那么每个二次根式的被开方数都必须为非负数才能保证这个式子有意义。

②在解决关于代数式有意义的问题时，要注意二次根式、分式有意义的条件，即二次根式中被开方数为非负数，分式中分母不能为零。

（3）二次根式的非负性：在二次根式中，被开方数一定是非负数，并且二次根式a≥0，即非负数。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根式。

二次根式化简一般步骤：

①把带分数或小数化成假分数；

②把开方数分解成质因数或分解因式；

③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；

④化去根号内的分母，或化去分母中的根号；

⑤约分。

二次根式化简的基本技巧和方法：

1）根号下是一个正整数：将该数字拆分成一个完全平方数和某个数字的乘积，然后将完全平方数开平方放到根号外面。

2）根号下是一个分数：将该分数拆分成一个分数的平方数和某个数字的乘积，然后将分数开根号到根号外面。

3）根号下有数字和字母：这种情况下，由于不确定字母是正数还是负数，因此开放的时候要带着绝对值开方。

4）两个根式相加减：首先将两个根式通分，然后再运算。

5）两个根式相乘除：注意观察两个式子的特点，决定先化简再乘除，还是先乘除再化简。

6）开根号后分情况运算：如果根式下有数字和字母运算成平方，开方后要分情况讨论。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式,然后判断。

4.二次根式的性质：

（1）二次根式具有双重非负性，即a ≥0，（a ≥0）；

（2）（a ）2 =a （a ≥0）； (3) =

=a a 2 a （a ＞0）

a -（a ＜0） 0 （a =0）；

知识拓展：①公式（a ）2 =a （a ≥0）也可以逆用，即a=（a ）2 （a ≥0），逆用可以将一个非负数写成它的算术平方根的平方的形式。 ②2a 与（a ）2 的区别：（a ）2表示a 的算术平方根的平方，因此只有当a ≥0时，此式才有意义；而2a 表示a 2的算术平方根，a 的取值范围可以是任意实数。 ③应用

==a a 2

化简二次根式时，千万要注意a 的取值范围，特别是当a ＜0时，2a =﹣a ，易忽略负号。

练习

一、填空

1、下列各式是二次根式有

2、32、2-、 12+a 、)0(

3、二次根式有意义的条件是___________________________.

4、二次根式的性质

性质1：______________________; 性质2：________________________________;

性质3：______________________; 性质4：________________________________.

5、最简二次根式符合的两个条件：

（1）_________________________________________________;

（2）_________________________________________________.

6、几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.

二、选择题

a （a ＞0）

a -（a ＜0）

0 （a =0）；

（1）、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （ ）

A 、b-a

B 、2-a-b

C 、a-b

D 、2+a-b

（2）、化简2)21(-的结果是（ ） A 、21- B 、12- C 、)12(-± D 、)21(-±

（3）、如果2

121

--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2

三、计算

1、设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？

（1）12-x ； （2）x -2； （3）x

1； （4

（5

（6

2、化简下列二次根式

（1

（2

0)x ≥； （3

0)n ≥； （4

（5

（6）

（7

8

9

)0x ≥；（10

11

12

）0)b > （13）设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++-

3.判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：

· · · · a b 0 1