重点考点--一元二次方程的特殊解法举例

一元二次方程的特殊解法举例

解一元二次方程并不是中考单独考查的重点，但它是解题的工具，许多题目都要用到它。熟练掌握解一元二次方程的方法，做到解题快速、准确，是提高成绩必不可少的。常规的公式法等这里不再赘述，只对有些特殊方程特殊解法做一些介绍。

一、当方程含未知数的项与完全平方式相近并且系数较大时，常采用配方法解这个方程。

例1 解方程x 2－12x=9964。

分析：此题常数项绝对值较大，因数较多，采用因式分解法、公式法都不简便，应考虑配方法。

解：原方程即x 2－12x ＋36=10000，(x －6)2=1002。

两边开方，得x －6=±100，即x 1=106，x 2=－94。

二、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的系数满足a ±b ＋c=0时，x=±1是方程的根，这时可先将方程左端分解出因式x=±1。

例2 解方程9406x 2－8289x －1117=0。

分析：这个方程各项系数的绝对值都比较大，用公式法解计算量很大。仔细观察原方程，发现各项系数的和为零，故方程有一根为1。因此方程左边可分解为(x －1)(9406x ＋1117)，则另一根为x=－9406

1117。 解：观察可知方程有一根为1，则。 ∴ x 1=1，x 2=－

94061117。 三、当二次项系数比较复杂时，常将二次项系数化为1或化为完全平方数。

例3 解方程169x 2－39x －2=0。

分析：这个方程的二次项169x 2=(13x)2，一次项－39x=－3(13x)，故可将13x 整体解出。 解：原方程即 (13x)2－3·(13x)－2=0。

解得 13x=2173+或13x=2

173-。 ∴ x 1=26173+，x 2=26

173-。 例4 解方程6x 2＋19x ＋10=0。

解：将原方程两边同乘以6，得到 (6x)2＋19·(6x)＋60=0。

解得 6x=－15或6x=－4。 ∴ x 1=－25，x 2=－3

2。 四、对于广义的“一元二次方程”，可采用换元法求解。

例5 解方程x

x x ++2226＋62422++x x x =3。 解：令x

x x ++2226=t ，则原方程转化为t ＋t 2=3，即t 2－3t ＋2=0。解得t 1=2，t 2=1。

当x

x x ++2226=2时，解得x 1=3191+-，x 2=3191--； 当x

x x ++2226=1时，解得x 3=－3，x 4=2。 经检验x 1、x 2、x 3、x 4都是原方程的根。

例6 解方程(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)=48。

解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]=48，

即 (x 2－5x ＋4)( x 2－5x ＋6)=48。

设x 2－5x ＋5=y ，则原方程变为(y －1)(y ＋1)=48。

解得y 1=7，y 2=－7。

当x 2－5x ＋5=7时，解得x 1=2335+，x 2=2

335-。 当x 2－5x ＋5=－7时，△=(－5)2－4×1×12=－23＜0，无实数解。

原方程的根为x 1=2335+，x 2=2

335-。 说明：本题的换元法也称为平均值换元法，因为y=2

)65()45(22+-++-x x x x = x 2

－5x ＋5。另本题也可设y= x 2－5x ＋4或y= x 2－5x ＋6，同学们不妨试试看，并比较几种换元法的异同点。

例7 解方程6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6=0。

解：经验证x=0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得

6x 2－35x ＋62－

x 35＋26x =0。 即 6(221x

x +)－35(x x 1+)＋62=0。 （﹡） 设y=x x 1+，则221x

x +=y 2－2。 方程（﹡）变为 6(y 2－2)－35y ＋62=0。

解得 y 1=

310，y 2=2

5。 当x x 1+=310时，解得x 1=3，x 2=3

1； 当x x 1+=25时，解得x 3=2，x 4=21。 说明：换元法解分式方程，是中考命题的一重点，统计2003年全国中考试卷发现，大多数省市都有这一类试题。同学们一定要掌握这一，并能熟练运用。