重点考点--一元二次方程的特殊解法举例

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一元二次方程的几种特殊解法-精品文档

一元二次方程的几种特殊解法关于一元二次方程的解法，有常用的有配方法、公式法、十字相乘法等。

但是有些一元二次方程可以有特殊的解法，使得方程的求解更加简便。

下面介绍几种特殊的方法。

一、利用一元二次方程的性质解题1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0）。

若满足：ac±b+1=0，则两根为x1=±c，x2=±■。

证明：如果ac+b+1=0，则ac=-b-1，由求根公式得：x=■=■=■，即：x1=■=■，x2=■=■=■=c，如果ac-b+1=0，则ac=b-1，由求根公式得：x=■=■=■，即：x1=■=■，x2=■=■=■=-c。

例1 求解一元二次方程2x2-11x+5=0。

解析：这个一元二次方程显然有解，除了用十字相乘法，运用上述性质更加简便。

根据原方程，系数a=2，b=-11，c=5。

根据计算观察，ac+b+1=0。

根据上述性质，原方程的两根x1=■，x2=5。

2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0）。

若满足，a±b+c=0，则两根为x1=±1，x2=±■。

证明：如果a+b+c=0，则a=-b-c，由求根公式得：x=■=■=■，即：x1=■=■=1，x2=■=■。

如果a-b+c=0，则a=b-c，由求根公式得：x=■=■=■，即：x1=■=■=-1 x2=■=-■。

例2 求解一元二次方程56x2+127x-183=0。

解析：这个方程的系数比较大，用传统的求根公式、十字相乘法等计算量大，容易出错。

方程的系数a=56，b=127，c=-183，根据观察a+b+c=0。

根据上述性质，原方程的两根x1=1，x2=-■。

二、积差法求解一元二次方程积差法就是把一元二次方程的二次项与一次项因式分解，常数项因式分解，使得等号两边各因式的差相等，根据大小写出等式进而求方程的解。

1.二次项系数变为1，常数项为正数，如x2+bx+c=0（c>0）的一元二次方程。

一元二次方程竞赛解题方法

一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。

除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。

以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。

我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。

进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。

二、降次法例如，考虑已知$\alpha。

\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。

我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。

三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。

S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。

我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。

一元二次方程的解法总结

一元二次方程的解法总结一元二次方程是代数学中最基本的方程形式之一，求解一元二次方程有多种方法，本文将对几种常见的解法进行总结。

方法一：因式分解法对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，首先需要将其因式分解为两个一次方程的乘积形式。

例如：x^2+5x+6=0可以分解为(x+2)(x+3)=0，然后令每个因式等于零，解得x=-2和x=-3，即为方程的解。

方法二：配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以尝试使用配方法。

配方法的基本思路是将方程中的二次项与一次项配对，并进行变量代换。

具体步骤如下：1. 将方程形式为ax^2+bx+c=0，其中a≠0。

2. 将方程两边同时除以a，得到x^2+(b/a)x+(c/a)=0。

3. 将方程右侧的常数项c/a拆分为两个数的乘积，使得这两个数之和等于b/a，即将其配对。

4. 在方程左侧增加与拆分后的两个数相等的数，构成一个完全平方项的形式。

即在x^2+(b/a)x上加上一个常数d/d，使得(x+d)^2=x^2+(b/a)x+d^2。

5. 将方程重新写为扩展后的形式(x+d)^2+d^2=c/a，这就是已经变量代换后的方程。

6. 将方程左侧完全平方项展开，并与方程右侧常数项进行化简，得到新方程x^2+2dx+d^2-d^2=c/a，即x^2+2dx=(c/a-d^2)。

7. 整理方程，得到(x+d)^2-d^2=(c/a-d^2)。

8. 使用平方差公式，将等式左侧进行运算，得到(x+d-d)(x+d+d)=(c/a-d^2)。

9. 化简等式左侧，得到(x+2d)(x)=(c/a-d^2)。

10. 若c/a-d^2≥0，即存在实数解，解方程(x+2d)(x)=(c/a-d^2)，得到x+2d=0或x=c/a-d^2。

11. 解方程x+2d=0，得到x=-2d，然后将其代入方程(x+2d)(x)=c/a-d^2中，求解得到剩下的解。

方法三：求根公式法求根公式是一元二次方程的一种解法，通过使用求根公式，可以直接求得方程的解。

一元二次方程的解法与应用

一元二次方程的解法与应用一元二次方程是高中数学中的重要概念之一，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍一元二次方程的解法以及一些实际应用。

一、一元二次方程的解法一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

解一元二次方程的方法主要有两种：因式分解法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，可以利用因式分解法解方程。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以将其分解为(x - 1)(x - 3) = 0。

由此可得方程的两个解为x = 1和x = 3。

2. 求根公式法求根公式是解一元二次方程的常用方法，它通过求解方程的判别式来得到方程的解。

一元二次方程的判别式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ大于0时，方程有两个不相等的实根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实根；当Δ小于0时，方程没有实根，但可以有复数解。

根据求根公式，一元二次方程的解可表示为x = (-b ± √Δ) / (2a)。

其中，±表示正负两个解，√Δ表示判别式的平方根。

二、一元二次方程的应用一元二次方程在日常生活、工程、物理学等领域中有着广泛的应用。

下面将介绍一些常见的应用场景。

1. 抛物线的运动轨迹一元二次方程的图像为抛物线，抛物线在物理学中有着重要的应用。

例如，通过解一元二次方程，可以确定抛物线的顶点坐标、对称轴方程以及抛物线的开口方向。

这些信息对于研究物体的运动轨迹和确定最优解等问题具有重要意义。

2. 工程中的应用一元二次方程在工程中也有广泛的应用。

例如，在桥梁设计中，通过解一元二次方程可以确定桥梁的最大跨度和最小支撑点等参数。

此外，在建筑物的设计过程中，一元二次方程可以模拟物体的运动、变形等情况，从而优化建筑结构。

3. 经济学中的应用一元二次方程在经济学中有一些实际应用的例子。

例如，通过解一元二次方程，可以确定某个企业的成本函数和收益函数之间的平衡点，即企业达到盈亏平衡的产量和价格。

一元二次方程及其解法(一)特殊的一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．-3，2B ．3，-2C ．2，-3D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩ 【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x 的值，得到两个关于p 、q 的方程，解方程组可求p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x 2=24，x 2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1)(x+5)2=225；(2)(3y-2)2=27； (3)3(b+4)2=96.【答案】(1)∵ (x+5)2=225，∴ x+5=15或x+5=-15．所以，原方程的根为x=10或x=-20．(2)∵ (3y-2)2=27，∴ 3y-2=或3y-2=-．所以，原方程的根为y=或y=．(3)原方程可化为(b+4)2=32，所以有b+4=或b+4=-．所以，原方程的根为b=-4+或b=-4-．类型五、因式分解法解一元二次方程5．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．6．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】()()()21 85860;x x +-++= （2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=.。

初中数学重点梳理：一元二次方程

一元二次方程知识定位一元二次方程是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种。

要熟练掌握一元二次方程的定义及定理以及解法和根的判别。

同时一元二次方程的实际应用题，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中一元二次方程相关问题的常见题型及其求解方法。

本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x a =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b c +=±④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+=此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b aca x c x a a a a -⇒+=-⇒+=示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

一元二次方程及其解法

一元二次方程及其解法一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、公式法和完成平方法等。

本文将逐一介绍这些解法，并通过例子加深理解。

一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解的形式将方程解出。

具体步骤如下：1. 将方程ax^2 + bx + c = 0进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式；2. 根据分解得到的(x + m)(x + n) = 0，可得到两个线性方程x + m = 0和x + n = 0；3. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -m和x = -n。

例如，解方程2x^2 + 5x + 3 = 0：1. 将方程因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0；2. 得到两个线性方程2x + 1 = 0和x + 3 = 0；3. 解得x = -1/2和x = -3。

二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以利用配方法将其转化为可因式分解的形式。

具体步骤如下：1. 对方程ax^2 + bx + c = 0，将b项的系数b拆分成两个数p和q，使得p + q = b且pq = ac；2. 将方程重写为ax^2 + px + qx + c = 0，并进行合并得到ax^2 +(p+q)x + c = 0；3. 将方程的前两项进行因式分解，并重写为a[x^2 + (p+q)x] + c = 0；4. 提取公因式，得到a[x(x + (p+q))] + c = 0；5. 将方程重新整理为a(x + p)(x + q) = 0的形式；6. 根据分解得到的(x + p)(x + q) = 0，可得到两个线性方程x + p = 0和x + q = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -p和x = -q。

例如，解方程2x^2 + 7x + 3 = 0：1. 将方程配成2x^2 + 6x + x + 3 = 0；2. 可以选择p = 3和q = 1，满足p + q = 7且pq = 6；3. 将方程重写为2x(x + 3) + (x + 3) = 0，并合并得到2x(x + 3) + (x +3) = 0；4. 提取公因式，得到(x + 3)(2x + 1) = 0；5. 因式分解后得到(x + 3)(2x + 1) = 0；6. 得到两个线性方程x + 3 = 0和2x + 1 = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -3和x = -1/2。

一元二次方程解法例子

一元二次方程解法例子一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a不等于0。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式以及图像法等。

下面将分别以这些方法为例，详细介绍解一元二次方程的步骤和原理。

一、因式分解法：因式分解法是一种常用的解一元二次方程的方法，适用于方程可以通过因式分解得到的情况。

具体步骤如下：1. 将方程移到一边，使方程等于0。

2. 尝试将方程进行因式分解，将其拆分为两个一次因式的乘积。

3. 令每个一次因式等于0，解出对应的一次方程。

4. 得到方程的解。

例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0：1. 将方程移到一边，得到x^2 - 5x + 6 = 0。

2. 尝试将方程因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

3. 令每个一次因式等于0，解出x - 2 = 0和x - 3 = 0，得到x = 2和x = 3。

4. 方程的解为x = 2和x = 3。

二、配方法：配方法是解一元二次方程的另一种常用方法，适用于方程无法通过因式分解得到的情况。

具体步骤如下：1. 将方程移到一边，使方程等于0。

2. 通过添加或减去一个适当的常数，将方程转化为一个完全平方的形式。

3. 对得到的完全平方进行求根运算，得到方程的解。

例如，解方程2x^2 + 7x - 3 = 0：1. 将方程移到一边，得到2x^2 + 7x - 3 = 0。

2. 通过添加或减去一个适当的常数，将方程转化为一个完全平方的形式。

这里可以通过添加3/2来转化方程，得到2x^2 + 7x + 3/2 - 3 - 3/2 = 0，化简得到2x^2 + 7x - 3/2 = (x + 3/2)^2 - 25/4 = 0。

3. 对得到的完全平方进行求根运算，得到x + 3/2 = ±√(25/4)，即x + 3/2 = ±5/2，解得x = -3/2 ± 5/2，即x = -4或x = 1/2。

一元二次方程的几种特殊解法

一元二次方程是中考的重点内容，也是初中数学学习的重点，解一元二次方程是重要的应用，不管是直接开平方，还是配方法、公式法、因式分解法等等方法解方程，四种解法各有不同，不同的依据，不同的适用范围，都需要同学们重点掌握的，然后根据题目的实际情况，选择最佳的解题方法。

下面我们通过实例讲解一元二次方程的四种解法，让同学们在考试中得心应手，同时也希望同学们谨记各部分的注意事项，记住各种方法的适用方位，在考试中灵活运用，避免出现错误。

一、直接开平方法：依据的是平方根的意义，步骤是：①将方程转化为x=p或（mx+n)=p 的形式；②分三种情况降次求解：①当p>0时；②当p=0时；③当p<0时，方程无实数根。

需要注意的是：直接开平方法只适用于部分的一元二次方程，它适用的方程能转化为x=p或（mx+n)=p的形式，其中p为常数，当p≥0时，开方时要取“正、负。

二、配方法：把一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≥0)左端配成一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数，进而可用直接开平方法来求解。

一般步骤：移项、二次项系数化成1，配方，开平方根。

配方法适用于解所有一元二次方程。

三、公式法：利用求根公式，直接求解。

把一元二次方程的各系数代入求根公式，直接求出方程的解。

一般步骤为：(1)把方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b-4ac的值；(4)当b-4ac≥0时，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b-4ac<0时，方程没有实数根。

需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来。

求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免繁杂的配方过程。

因此没有特别要求，一般不会用配方法解方程。

四、因式分解法：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述很多实际问题。

在解一元二次方程时，我们需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将介绍一些常见的解一元二次方程的方法，并探讨它们的应用。

首先，我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c是已知的实数，且a不等于0。

解一元二次方程的关键在于求出方程的根，即方程的解。

下面将介绍几种常见的解法。

一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

根据因式分解的性质，我们知道当两个因子中的任意一个为0时，方程成立。

因此，我们得到两个根x = 2和x = 3。

二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法求解。

配方法的基本思想是通过添加一个适当的常数，将方程转化为一个可以因式分解的形式。

例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + 3)^2 - 1 = 0。

然后，我们可以将其分解为(x + 3 + 1)(x + 3 - 1) = 0，得到两个根x = -4和x = -2。

三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。

根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以代入a = 1，b = -4，c = 4，然后使用求根公式计算得到两个根x = 2和x = 2。

需要注意的是，当方程的判别式b^2 - 4ac小于0时，方程没有实数根，只有复数根。

四、图像法图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。

我们可以通过绘制方程的图像来观察方程的根。

当方程的图像与x轴相交时，对应的x值即为方程的根。

一元二次方程四种解法例题

一元二次方程四种解法例题一元二次方程是我们学习高中数学课程中的重要内容，解一元二次方程是解决实际问题和数学推理的基础。

本文将介绍一元二次方程的四种解法，通过例题来演示每种解法的具体步骤和思路。

一、配方法解一元二次方程配方法是一种常见且基础的解一元二次方程的方法。

这种方法的核心思想是将方程化简为一个完全平方的差或和的形式。

下面通过一个例题来说明配方法的具体过程。

例题：解方程x^2+6x+8=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=6，c=8。

Step 2: 将方程化简为完全平方的差在这个例题中，我们需要找到两个数m和n，使得x^2+6x+8能够表示为(x+m)^2+n的形式。

通过观察和试验，我们可以得到(x+2)^2-4的形式。

Step 3: 利用完全平方的差公式进行化简将方程x^2+6x+8=x^2+4x+4-4化简为(x+2)^2-4=0。

Step 4: 得到方程的解因此，方程的解为(x+2)^2=4，解得x+2=±2，即x=-4和x=0。

通过配方法解决问题，我们得到了方程x^2+6x+8=0的解为x=-4和x=0。

二、因式分解解一元二次方程因式分解是一种常用的解一元二次方程的方法，通过分解方程的左边和右边为两个因式相乘的形式，进而解得方程。

下面通过一个例题来说明因式分解的具体过程。

例题：解方程x^2-5x=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=-5。

Step 2: 因式分解方程将方程x^2-5x=0因式分解为x(x-5)=0。

Step 3: 得到方程的解因此，方程的解为x=0和x=5。

通过因式分解解决问题，我们得到了方程x^2-5x=0的解为x=0和x=5。

三、完成平方解一元二次方程完成平方是一种常用的解一元二次方程的方法，通过将方程两边进行平方，消去符号，进而解得方程。

下面通过一个例题来说明完成平方的具体过程。

例题：解方程3x^2-4x+1=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=3，b=-4，c=1。

一元二次方程知识点归纳

①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②销售问题;利润问题,利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
解一元二次方程时注意观先特殊后一般即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法不能用这两种方法解时再用公式法
一元二次方程知识点
一、知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,
等.
失分点警示
在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.

一元二次方程的特殊解法知识点总结和重难点精析

一元二次方程的特殊解法知识点总结和重难点精析【知识点总结】一元二次方程的特殊解法是九年级数学的一个重要知识点，主要包括直接开平方法、因式分解法和公式法等。

1.直接开平方法是通过将方程化为平方的形式，直接开平方求得方程的解。

如：x²=64.可以直接开平方得到x=±8.2.因式分解法是将方程的左边分解成两个一次因式的乘积，从而得到方程的解。

如：x²-7x+6=0.可以分解因式得到(x-1)(x-6)=0.解得x=1或x=6.3.公式法是适用于所有一元二次方程的解法，根据方程的系数，使用公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a求得方程的解。

【重难点精析】一元二次方程特殊解法的重点在于正确使用各种解法，并理解各种解法的适用范围和条件。

1.直接开平方法适用于形如x²=p或(nx+m)²=p的方程，需要注意的是，当方程化为平方的形式后，需要对p进行判断，当p≥0时，可以直接开平方;当p<0时，方程没有实数解。

2.因式分解法适用于方程的左边可以分解成两个一次因式的乘积的情况。

在使用因式分解法时，需要注意的是将方程的左边分解因式后，要善于观察两个一次因式中未知数的系数和常数项之间的关系，从而得到方程的解。

3.公式法适用于所有一元二次方程，但在使用公式法时，学生容易出现错误。

需要注意的是，在使用公式求根时，要根据方程的系数准确计算出b²-4ac的值，并判断出方程的根的情况。

同时，在计算过程中要注意符号和运算的准确性。

【题目解析】以下是一个关于一元二次方程特殊解法的题目：已知方程x²-6x+9=0.求方程的解。

解析：该方程可以化为(x-3)²=0.直接开平方得到x-3=0.解得x=3.【总结】一元二次方程的特殊解法是九年级数学的一个重要知识点，也是学生需要掌握的一个重要技能。

在实际解题过程中，学生应该根据方程的特点选择合适的解法，并注意一些容易出现的问题，如计算准确、符号正确等。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。

掌握一元二次方程的解法对于学生来说是十分重要的，因为它不仅能够帮助学生解决实际问题，还能够培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

本文将介绍一元二次方程的解法，并通过实例进行说明。

一、解法一：因式分解法对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解决。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。

根据乘法逆元的性质，我们知道只有当(x + 2) = 0或者(x + 3) = 0时，方程才能成立。

因此，方程的解为x = -2或者x = -3。

二、解法二：配方法如果一元二次方程无法通过因式分解法解决，我们可以尝试使用配方法。

例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 2)(x + 4) = 0。

然后，我们可以得到(x + 2) = 0或者(x + 4) = 0，进而求得方程的解为x = -2或者x = -4。

三、解法三：求根公式如果一元二次方程无法通过因式分解法或者配方法解决，我们可以尝试使用求根公式。

一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

其中，a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。

例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以通过求根公式得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*3)) / (2*2)。

进一步计算可得x = -1或者x = -1.5。

因此，方程的解为x = -1或者x = -1.5。

四、解法四：图像法除了上述的解法，我们还可以通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以绘制出它的图像。

通过观察图像，我们可以发现方程的解为x = 1或者x = 3。

1一元二次方程特殊的一元二次方程的解法

一元二次方程特殊的一元二次方程的解法知识与方法1，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程例：下列方程中是一元二次方程的是（1）22352x x x +=- ；（2）22=y ；（3）()2221x x -=+；（4）4132=+-x x （5）02=-x x ；（6）关于x 的方程：4322=-a x ；（7）()0112=---x x m2，一元二次方程的一般式方程()002≠=++a c bx ax ，叫做一元二次方程的一般式其中2ax 叫做二次项，a 是二次项的系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数，c 叫做常数项例：一个关于x 的一元二次方程，它的二次项系数是5，一次项系数是0，常数项是-3，那么这个一元二次方程的一般式是A. 352-=xB.0352=-x xC. 0352=-xD.253x = 3，把一元二次方程化成一般式在解题过程中遇到的方程形式是多种多样的，为了便于求解，我们一般要求把方程化成一般式例：把下列关于x 的方程化成一元二次方程的一般式，并写出方程中各项与各项的系数（1）()()()x x x -+=-232332（2）()()()222322≠+-=--p p px x px4，方程的解能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根例：已知关于x 的一元二次方程()04#222=-+++m x x m 有一根为0，求m 的值5，开平方法解一元二次方程对于一元二次方程d x =2，如果0≥d ，那么就可以用开平方法求它的根。

当0〉d 时，方程有两个不相等的实数根d x d x -==21,；当d=0时，方程有两个相等的实数根021==x x 。

例：用开平方法解下列方程：（1）02732322=-x ；（2）()0542232=--x6，利用因式分解求解一元二次方程通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积对于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

一元二次方程解法归纳总结

一元二次方程解法归纳总结一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的过程基于求根公式，通过代入已知数值并进行计算，可以得到方程的解。

本文将对一元二次方程的解法进行归纳总结，并以示例来说明每种解法的具体步骤。

一、因式分解法当一元二次方程可以被因式分解时，可以利用因式分解的性质来解方程。

具体步骤如下：1. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式；2. 设方程两边分别等于0，并利用因式分解的性质，将方程的左侧分解为两个因子的乘积；3. 令每个因子分别等于0，解得每个因子的解，即得到方程的解。

例如，考虑方程：x^2 - 5x + 6 = 01. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式：(x - 2)(x - 3) = 02. 令每个因子分别等于0：x - 2 = 0 或者 x - 3 = 03. 解得x的值：x = 2 或者 x = 3所以，方程的解为x = 2或者x = 3。

二、配方法当一元二次方程无法通过因式分解来解时，可以使用配方法（也称为“加法配平法”）来解方程。

具体步骤如下：1. 将方程化为一个可完全平方的形式，即将方程的左侧表示为完全平方的平方差形式；2. 根据配方法的原则，将方程的右侧与左侧进行配平，使得方程两侧相等；3. 对方程两侧进行化简，得到一个可求解的简化方程；4. 解简化方程，即可得到原方程的解。

例如，考虑方程：x^2 - 6x + 9 = 41. 将方程化为一个完全平方的形式：(x - 3)^2 = 42. 配方法的原则是：对方程的右侧加上一个适当的数，使得方程两侧相等。

在本例中，我们需要加上5。

所以，将方程两侧加上5：(x - 3)^2 + 5 = 4 + 53. 化简得到简化方程：(x - 3)^2 + 5 = 94. 解简化方程：(x - 3)^2 = 4由于平方的结果是4，所以x - 3 = ±2解得x的值：x = 3 ± 2所以，方程的解为x = 1或者x = 5。

考点05一元二次方程-中考数学考点一遍过

考点05一元二次方程-中考数学考点一遍过一元二次方程是中考数学中的重要考点之一，它是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数常数，且a≠0。

一元二次方程的求解方法主要有三种：因式分解法、配方法和公式法。

一、因式分解法如果一元二次方程可以因式分解为(x+m)(x+n)=0，那么方程的解为x=-m或x=-n。

例如，对于方程x²-5x+6=0，如果能够将其因式分解为(x-2)(x-3)=0，那么方程的解为x=2或x=3二、配方法1. 对于形如x²+bx+c=0的一元二次方程，如果通过对其两边加上或减去常数项来配方，可以将其变成一个完全平方的形式。

例如，对于方程x²+6x+8=0，我们可以通过加上或减去4来完成配方，得到(x+3)²-1=0或(x+3)²=12. 对于形如ax²+bx+c=0的一元二次方程，如果a≠1，可以通过乘上常数项等于a的倒数来转化为一个系数为1的一元二次方程。

例如，对于方程2x²+7x-6=0，我们可以通过乘上常数项等于2的倒数，得到x²+(7/2)x-3=0。

三、公式法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以利用求根公式来求解。

求根公式为：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

例如，对于方程2x²+5x-3=0，根据求根公式，可以得到x=(-5±√(5²-4*2*(-3)))/(2*2)。

需要注意的是，根的个数取决于方程的判别式，判别式D=b²-4ac:1.当D>0时，方程有两个不相等的实根；2.当D=0时，方程有两个相等的实根；3.当D<0时，方程无实根，但可能有虚根。

最后，我们还需要特别注意一元二次方程的解的合法性。

在实数范围内，如果方程有实根，则解一定存在；如果方程无实根，则解不存在。

一元二次方程特殊解法

一元二次方程特殊解法整体换元法：在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的．【例题】1、解方程 (1)x x x x x 2212−6++2+=0 (2)()()x x x x 222+16+1+=7+1+1【练习】1、解方程()()x x x x 22++1+=2利用根的定义构造方程如果m 、n 分别是一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根，那么有am bm c 2++=0，an bn c 2++=0，相反的，如果已知m 、n 分别满足am bm c 2++=0，an bn c 2++=0，且a ≠0，那就可以构造一个一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0使得m 、n 是它的解．【例题】1、已知a ，b 是不相等的实数，且a a 2+−1=0，b b 2+−1=0，求a b ab 22+的值．2、如果实数a ，b 分别满足a a 2+2=2，b b 2+2=2，求a b11+的值．【练习】 1、已知实数a b ≠，且满足()()a a 2+1=3−3+1，()()b b 23+1=3−+1，求①a b +；②a b11+；利用根系关系构造方程如果m 、n 分别是一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根，由韦达定理，b m n a+=−，c mn a =，相反的，如果已知m 、n 分别满足b m n a +=−，c mn a=，且a ≠0，那就可以构造一个一元二次方程使得m 、n 是它的两根．【例题】1、已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足：b c +=8，bc a a 2=−12+52，试确定△ABC 的形状．2、若一直角三角形两直角边的长a 、b ()a b ≠均为整数，且满足a b m ab m +−−2=0⎧⎨−4=0⎩．试求这个直角三角形的三边长．【练习】1、已知x 、y 均为实数，且满足xy x y ++=17，x y xy 22+=66．求：（1）x y 22+；（2）x y x y xy 3223++；（3）x x y x y xy y 432234++++．课后作业1、解方程x x x x 2⎛⎫⎛⎫+5+6=0 ⎪ ⎪+1+1⎝⎭⎝⎭2、若2210a a −−=，2210b b −−=，求a b b a+的值3、已知m m 22−5−1=0，n n 215+−2=0，且m n ≠，则m n 11+的值为_________．4、已知x 、y 是正整数，并且xy x y ++=23，x y xy 22+=120，则x y 22+=_________．5、已知：a ，b ，c 三数满足方程组a bab c 2+=8⎧⎪⎨=48+−⎪⎩，试求方程bx cx a 2+−=0的根．。

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