813运筹学
运筹学知识点
运筹学知识点运筹学是一门综合运用数学、逻辑、计算机科学等方法与技巧来解决现实世界中最优化问题的学科。
它涉及决策分析、优化模型、算法设计等多个方面的知识点。
在本文中，我将介绍一些运筹学的重要知识点，并探讨其在实际生活和工作中的应用。
首先，决策分析是运筹学的核心方向之一。
决策分析旨在帮助决策者做出理性和最佳的决策。
它涉及问题定义、信息收集、模型构建、方案评估等多个步骤。
决策分析的一个重要工具是决策树，它通过图形化地表示决策的各个阶段和可能的结果，帮助决策者清晰地分析决策过程中的风险和潜在回报。
举个例子，假设我们要决定是乘坐公共交通还是开车去上班。
我们可以构建一个决策树，考虑到可能的交通状况、费用、时间等因素，帮助我们做出最佳的选择。
其次，优化模型是运筹学的另一个重要知识点。
优化模型通过数学公式和约束条件来描述一个问题，并寻找满足目标的最优解。
常见的优化模型包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
线性规划是一种最常用的优化模型，它适用于一些具有线性关系的问题。
整数规划则适用于需要整数解的问题。
非线性规划则考虑了更为复杂的问题情况，可以通过各种算法进行求解。
优化模型在很多领域有着广泛的应用，如生产调度、物流运输、资源分配等。
举个例子，假设我们是一家制造商，我们希望通过优化生产调度来最大化利润。
我们可以使用线性规划模型来考虑各个产品的生产时间、产能、销售量、成本等因素，并寻找到一个最优的生产计划。
此外，算法设计也是运筹学的重要内容之一。
算法是为解决特定问题而设计的一系列步骤和操作。
在运筹学中，算法设计通常与优化模型紧密相关。
例如，针对某个优化模型，我们可以设计一种有效的求解算法，以找到最优解。
常见的算法包括贪心算法、动态规划、启发式算法等。
这些算法都有各自的特点和适用范围。
举个例子，假设我们需要在一个迷宫中找到一条最短的路径。
我们可以使用动态规划算法来计算每个位置到终点的最短距离，并依次进行路径选择，直到找到一条最短路径。
昆明理工大学考研试题运筹学(2012-2016年)
费用 工作
A
B
C
D
E
人
甲
7
5
9
8
11
乙
9
12
7
11
9
丙
8
5
4
5
9
丁
7
3
6
9
6
戊
4
6
7
5
11
五、某施工单位有 500 台挖掘设备，在超负荷施工的条件下，年产值 20 万元/台，但其完好率仅 为 0.4；正常负荷下，年产值为 15 万元/台，完好率为 0.8。在 4 年内合理安排两种不同负荷 下施工的挖掘设备数量，使 4 年末仍有 160 台设备完好，并使产量最高。建立该问题的动态 规划基本方程。（15 分）
其最优单纯形表如表 2 所示。
问：(1)当 c1 由-1 变为 4 时，求新问题的最优解； (2)讨论 c2 在什么范围内变化时，原有的最优解仍是最优解。 表2
cj
CB
XB
b
-1
2
1
x1
x2
x3
0
0
x4
x5
1
x2
6
1
1
1
1
0
a
x5
10
3
0
1
1
1
cj-zj
-3
0
-1
-2
0
四、求解表 3 所示运输问题的最优调运方案。（25 分）
6．若原问题中 xi 为自由变量，那么对偶问题中的第 i 个约束一定为
A.等式约束
B.“≤”型约束
C.“≥”约束
D.无法确定
7.总运输费用最小的运输问题，若已得最优运输方案，则其中所有空格的检验数
运筹学知识点
运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。
运筹学概述一、运筹学的定义 运筹学(Operational Research...
运 筹 学 概述
一、运筹学的定义 运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究” 由于运筹学研究的广泛性和复杂 性，人们至今没有形成一个统一的 定义。以下给出几种定义： 1、运筹学是一种科学决策的方法 2、运筹学是依据给定目标和条件从 众多方案中选择最优方案的最优化 技术。
4、1947年，美国数学家丹捷格(G.B.Dantizg)发表了关 于线性规划的研究成果，所解决的问题是美国空军军 事规划时提出的，并给出了求解线性规划问题的单纯 形算法。事实上，早在1939年苏联学者康托洛维奇 (Л.В.Канторович)在解决工业生产组织和计划问题时， 已提出了类似线性规划的模型，并给出的求解方法。 由于当时未被领导重视，直到1960年康托洛维奇再次 发表了《最佳资源利用的经济计算》一书后，才受到 国内外的一致重视。为此康托洛维奇获得了诺贝尔经 济学奖。
（2）它是广泛利用多种学科的科学 技术知识进行的研究。运筹学研究不 仅仅涉及数学，还要涉及经济科学、 系统科学、工程物理科学等其他学科。
2、实践性
运筹学以实际问题为分析对象， 通过鉴别问题的性质、系统的目标 以及系统内主要变量之间的关系， 利用数学方法达到对系统进行最优 化的目的。更为重要的是分析获得 的结果要能被实践检验，并被用来 指导实际系统的运行。
运筹学研究的模型主要是抽 象模型——数学模型。数学模型 的基本特点是用一些数学关系 （数学方程、逻辑关系等）来描 述被研究对象的实际关系（技术 关系、物理定律、外部环境等）。
昆明理工大学813运筹学2010--2020年考研真题
0
-1
2
0
0
表2
x4 (F) x5 4
cj zj
x1 (G) 0 (H) 1 0
x2 2
(I)
-7
x3
x4
x5
-1
1/2
1
1/2
(J)
(K)
(L)
三、已知线性规问题
max z 2x1 x2 x3
x1
x1
x2 x3 2x2
6
4
x1, x2 , x3 0
先用单纯形法求解，再分析在下列条件单独出现的情况下最优解的变化。(20分) (a)目标函数变为 max z 2x1 3x2 x3 6 3 (b)约束条件右端由 4 变为 4 。
工序F、C的紧后工序是G；
工序E、H的紧后工序是I、J；
工序C、D、F、J的紧后工序是K；
工序K的紧后工序是L；
工序I、G、L的是结束工序。
画出此加工的网络计划图。(20分)
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昆明理工大学2012年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)
考试科目代码：813
考试科目名称 ：运筹学
6、 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。 7、 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。 8、 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
运筹学的主要内容及如何学好运筹学
管理运筹学阶段 战后人员三分:军队、大学、企业 大学：课程、专业、硕士、博士 企业：美国钢铁联合公司 英国国家煤炭局
运筹学在中国：50 年代中期引入 华罗庚推广 优选法、统筹法 中国邮递员问题、运输问题
1.3 学科性质 应用学科 Morse&Kimball 定义：运筹学是为决策机构在对其控制的业务活动进行决策时提供的数量化 为基础的科学方法。 Churchman 定义：运筹学是应用科学的方法、技术和工具，来处理一个系统运行中的问题， 使系统控制得到最优的解决方法。 中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力 等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
2 动态规划
多阶段决策问题、动态规划基本方程、动态规划的递推方法、解析法和数值法。
3 整数规划
整数规划问题的数学模型；分枝定界法与割平面法的基本原理；0‐1 规划问题与隐枚 举法；分配问题。
4 图与网络规划
图与网络的基本概念，树与最小树问题，最短路问题，网络最大流问题，最小费用最 大流问题。
5 存贮论
二、考试的学科范围
应考范围包括：线性规划、动态规划、整数与网络规划。具体考查要点详见本纲第二 部分。
三、评价目标
运筹学考试的目标在于考查学生运筹学的基本概念、基本理论和方法的掌握以及对实
际问题的分析、建立必要的数学模型和求解问题的能力。考生应能： 1. 正确理解运筹学中的基本概念和基本理论。 2. 正确分析实际问题并建立相应的数学模型。 3. 掌握求解运筹学中常见问题的方法。 4. 能正确的解释所求问题的计算结果。
模拟模型：建港口，模拟船只到达。学生模拟企业管理系统运行。
数学模型：用符号或数学工具描述现实系统。V=F（xi,yj,uk) G(xi,yj,uk)≥0
813运筹学考试内容
813运筹学考试内容运筹学是一门关于决策和优化的学科，它通过研究各种数学模型和方法，致力于解决实际问题中的最优化和规划等相关问题。
在813运筹学考试中，涉及到了一些重要的主题和概念，下面我将为大家介绍一些考试内容。
首先，线性规划是运筹学中的一个基础概念。
线性规划主要研究线性约束条件下，如何找到一个最优解。
考试中可能会涉及到线性规划的模型建立和求解方法。
例如，需要学生掌握如何通过构建目标函数和约束条件，来建立一个线性规划模型，并且运用单纯形法或者其他算法来求解最优解。
此外，还需要了解线性规划的灵敏度分析，即当模型参数发生变化时，最优解的变动情况。
其次，离散优化也是运筹学考试的一个重要内容。
离散优化研究的是在离散决策变量的情况下，如何找到最优解。
在考试中，可能会涉及到一些经典的离散优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
学生需要掌握针对不同问题的建模方法和求解技巧。
此外，网络优化也是一个重要的考试内容。
网络优化研究的是在网络结构中如何找到最优解。
在考试中，学生可能需要了解最小生成树、最短路径、最大流等经典算法，以及如何应用这些算法来解决实际问题。
还需要了解网络优化问题的建模方法和常用的求解算法。
最后，多目标规划也是一个重要的考试内容。
多目标规划研究的是在多个目标之间如何找到协调的最优解。
在考试中，学生可能需要了解多目标规划的概念和常用的解法，如线性权重法、ε约束法等。
同时，也需要学生了解多目标规划中的灵敏度分析和多目标决策的方法。
综上所述，813运筹学考试内容涉及线性规划、离散优化、网络优化和多目标规划等多个主题。
为了取得好成绩，学生应该掌握这些主题的基本概念和解法，并且通过练习大量的例题，加深对知识的理解和掌握。
此外，学生还应该加强对运筹学方法在实际问题中的应用能力，培养分析问题和解决问题的思维能力。
只有全面理解和掌握相关知识，并将其运用到实际问题中，才能在813运筹学考试中取得好成绩。
816运筹学参考书目
816运筹学参考书目【实用版】目录1.运筹学概述2.816 运筹学参考书目简介3.运筹学的应用领域4.学习运筹学的建议正文一、运筹学概述运筹学是一门运用数学方法，通过建立模型和算法来研究决策问题并寻求最优解的学科。
它主要涉及线性规划、整数规划、动态规划、排队论等领域，广泛应用于工程、经济、管理等各个方面。
运筹学的目标是在有限的资源和条件下，寻找最有效的决策方案，以实现最佳效果。
二、816 运筹学参考书目简介816 运筹学是一门针对研究生的课程，主要涉及运筹学的基本理论和方法。
为了更好地学习这门课程，以下是一些推荐的参考书目：1.《运筹学》（第四版），运筹学教程编写组编著2.《运筹学教程》，胡运权编著3.《运筹学方法与应用》，陈立新、张永安编著4.《运筹学及其应用》，陈立新、黄云川编著这些参考书目都涵盖了运筹学的基本理论和方法，以及大量的实例和应用。
学习这些书籍，可以更好地理解运筹学的基本概念，提高解决实际问题的能力。
三、运筹学的应用领域运筹学在各个领域都有广泛的应用，以下是一些主要的应用领域：1.生产与经营管理：通过优化生产计划、库存管理等，提高生产效率，降低成本。
2.交通运输：通过优化运输路线、调度车辆和船舶等，提高运输效率，降低运输成本。
3.资源优化配置：通过优化资源分配，提高资源利用效率，实现可持续发展。
4.金融与投资：通过优化投资组合，降低风险，提高收益。
5.医疗管理：通过优化医疗资源配置，提高医疗服务质量，降低医疗成本。
四、学习运筹学的建议学习运筹学需要一定的数学基础，特别是线性代数、概率论和统计学等。
以下是一些学习运筹学的建议：1.扎实掌握数学基础知识，提高数学运算能力。
2.学习运筹学的基本理论和方法，理解模型的建立和求解过程。
3.多做练习题，提高解决实际问题的能力。
4.关注运筹学的最新发展，了解其在各个领域的应用。
5.结合实际案例，深入理解运筹学的应用价值。
总之，运筹学是一门具有广泛应用价值的学科，通过学习运筹学，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高决策效果。
813运筹学考试试题D卷
昆明理工大学硕士研究生招生入学考试试题(D 卷)考试科目代码：813 考试科目名称 ： 运筹学一、将正确的答案填在空格处。
(每空1分，共20分)1、线性规划的解可能出现的几种情况：唯一最优解、无穷多最优解、 、无可行解。
2、若要求目标函数实现最小化，即min z =CX ，则只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令z ′= −z ，于是得到目标函数 。
3、线性规划约束方程组具有的基解的数目最多是 个，一般基可行解的数目要小于基解的数目。
4、若 为一个基可行解，对于一切j=m+1，…,n ，有σj ≤0，又存在某个非基变量的检验数σm+k=0，则线性规划问题有 解。
5、单纯形表中基变量的检验数σ=0；非基变量xj 的检验数σ= 。
6、若X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。
则存在 。
7、若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值 。
8、运输问题中用最小元素法确定初始基本可行解的基本思想是 。
9、表上作业法中的闭回路：它是以某空格为起点，用水平或垂直线向前划，当碰到一个数字格时 后，继续前进，直到回到起始空格为止。
10、在目标规划中，引入正偏差变量d ＋表示决策值 的部分。
11、在目标规划中，若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差变量均尽可能地小，这时，目标函数的形式为 。
12、指派问题的最优解有这样性质，若从系数矩阵(c ij )的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的最小元素，得到新矩阵(bij)，那么以(b ij )为系数矩阵求得的最优解和用原系数矩阵求得的 。
13、在动态规划中， 是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。
14、在动态规划问题中，作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成 。
15、在Dijkstra 方法中，表示从v s 到该点的最短路的权，称为 。
16、在运输网络中，每个弧上的流量不能超过该弧的 。
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解(圣才出品)
2011 年南开大学信息技术科学学院 813 运筹学考研真题及详解
南开大学 2011 年硕士研究生入学考试试题 学院：034 信息技术科学学院
考试科目：813 运筹学（信息学院） 专业：运筹学与控制论
一、（35 分）已知某工厂计划生产 A、B、C 三种产品，备产品均需使用甲、乙、丙这 三种设备进行加工，加工单位产品需使用各设备的时间、单位产品的利润以及各设备的工时 限制数据如下表所示。试问：
8x3 400 10x3 420
xi 0(i 1, 2,3)
添加人工变量 x4，x5，x6 利用单纯形法计算如下：
cj
3
2
2.9
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
304
[8]
16
10
1
0
0
0
x5
400
10
5
8
0
1
0
0
x6
420
2
13
10
0
0
1
j
3
2
2.9
0
0
0
3
x1
38
1
2
5/4
（1）应如何安排三种产品的生产使得总利润最大? （2）若另有两种新产品 D、E，生产单位 D 产品需用甲、乙、丙三种设备 12 小时、5 小时、10 小时，单位产品利润 2.1 千元；生产单位 E 产品需用甲、乙、丙三种设备 4 小时、 4 小时、12 小时，单位产品利润 1.87 千元，请分别回答这两种新产品投产是否合算? （3）若为了增加产量，可租用其他工厂的设备甲，可租用的时间是 60 小时，租金 1.8 万元。请问是否合算? （4）增加设备乙的工时是否可使工厂的总利润进一步增加?
运筹学知识点
运筹学知识点运筹学是一门应用广泛的学科，旨在通过科学的方法和技术来解决各种决策和优化问题。
它综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识，为管理和决策提供有力的支持。
下面让我们来了解一些运筹学的重要知识点。
一、线性规划线性规划是运筹学中最基本也是最重要的内容之一。
它研究的是在一组线性约束条件下，如何找到目标函数的最优解。
例如，一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产单位 A 产品需要消耗 2 单位的原材料和 1 单位的劳动力，生产单位 B 产品需要消耗 3 单位的原材料和 2 单位的劳动力。
工厂现有 100 单位的原材料和 80 单位的劳动力，A 产品的单位利润是 5 元，B 产品的单位利润是 8 元。
那么，如何安排生产才能使工厂的利润最大化？解决这个问题，首先要建立线性规划模型。
设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，目标函数就是利润最大化：Z ＝ 5x ＋ 8y。
约束条件包括原材料限制：2x ＋3y ≤ 100；劳动力限制：x ＋2y ≤ 80；以及非负限制：x ≥ 0，y ≥ 0。
通过求解这个线性规划模型，可以得到最优的生产方案，即生产多少 A 产品和多少 B 产品能够使利润达到最大值。
二、整数规划整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量必须取整数的规划问题。
比如，一个项目需要选择一些地点建设仓库，每个地点的建设成本和运营效益不同。
由于仓库的数量必须是整数，这就构成了一个整数规划问题。
整数规划的求解比线性规划更加复杂，常用的方法有分支定界法、割平面法等。
三、动态规划动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。
以资源分配问题为例，假设一家公司有一定数量的资金要在多个项目中进行分配，每个项目在不同的投资水平下有不同的收益。
要在有限的资金条件下，使总收益最大。
这个问题就可以用动态规划来解决。
动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题的最优解来逐步得到原问题的最优解。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
875运筹学参考书目
875运筹学参考书目
1. 《运筹学教程》：这是一本经典的运筹学教材，内容涵盖了运筹学的各个方面，包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
2. 《运筹学及其应用》：这本书也是一本经典的运筹学教材，内容涵盖了运筹学的各个方面，包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
3. 《运筹学及其应用(第四版)》：这本书是《运筹学及其应用》的第四版，内容更加全面和深入，包括了许多新的理论和方法。
4. 《运筹学(第五版)》：这本书是《运筹学》的第五版，内容涵盖了运筹学的各个方面，包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
5. 《运筹学(第四版)》：这本书是《运筹学》的第四版，内容涵盖了运筹学的各个方面，包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
6. 《运筹学教程(第三版)》：这本书是《运筹学教程》的第三版，内容更加全面和深入，包括了许多新的理论和方法。
7. 《运筹学(第三版)》：这本书是《运筹学》的第三版，内容涵盖了运筹学的各个方面，包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
此外，还有一些其他的参考书目，如《运筹学基础》、《运筹学原理及应用》等。
这些书籍都是经典的运筹学教材，内容涵盖了运筹
学的各个方面，包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
南开大学计算机与控制工程学院运筹学历年考研真题汇编含部分答案
南开大学计算机与控制工程学院运筹学历年考研真题汇编含部分答案Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】目 录说明：（1）2013年7月，南开大学对信息技术科学学院学科进行优化整合，分别组建计算机与控制工程学院和电子信息与光学工程学院。
（2）2004年和2015年南开大学信息技术科学学院的“运筹学”科目代码不详。
南开大学计算机与控制工程学院 806运筹学历年考研真题汇编（含部分答案）最新资料，WORD 格式，可编辑修改！第一部分南开大学806运筹学历年考研真题2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解南开大学2011年硕士研究生入学考试试题学院：034信息技术科学学院 考试科目：813运筹学（信息学院）专业：运筹学与控制论一、（35分）已知某工厂计划生产A 、B 、C 三种产品，备产品均需使用甲、乙、丙这三种设备进行加工，加工单位产品需使用各设备的时间、单位产品的利润以及各设备的工时限制数据如下表所示。
试问：（1）应如何安排三种产品的生产使得总利润最大?（2）若另有两种新产品D 、E ，生产单位D 产品需用甲、乙、丙三种设备12小时、5小时、10小时，单位产品利润2.1千元；生产单位E 产品需用甲、乙、丙三种设备4小时、4小时、12小时，单位产品利润1.87千元，请分别回答这两种新产品投产是否合算?（3）若为了增加产量，可租用其他工厂的设备甲，可租用的时间是60小时，租金1.8万元。
请问是否合算?（4）增加设备乙的工时是否可使工厂的总利润进一步增加?答：（1）设生产A 、B 、C 三种产品的数量分别为x 1，x 2，x 3单位。
则可以得出数学模型：（2）增加新变量x 7，x 8，对应的c 7＝2.1，c 8＝1.87，约束矩阵增加两个列向量[][]125104412T Tαβ==，，，，，11 0 0381225- 1 051041071- 0 14A αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==•=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，11 0 018425- 1 041412111- 0 14A ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==•=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 其检验数为：77322.1(3,0,0)10 2.47B c C σσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，77121.87(3,0,0)10.3711B c C σσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则判断出：产品D 的投产不合算，产品E 投产合算。
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