2019考研高数模拟考试题库(含答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

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一、解答题

1．一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程.

解：依题意知：22y x '=-

两边积分，有2

2y x x c =-+

又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+.

2

．设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z

∂∂∂∂∂∂. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，

3．球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？

解： 324d π,π,.3d r V r A r v t

=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r r v t r t A A r r v t r t

=⋅=⋅=⋅=⋅

4．一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.

解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩

d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t

ϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=

5．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.

解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)

当x =2时， 0,2y y '''==- ，

故 23/2

2.(1)y k y ''=='+

6．求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.

解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩

解得交点为(1，0). 11121

1

1,

1 1.x x x x y x y x ===='=

=''=-=- 故曲率中心 212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩

曲率半径为R =故曲率圆方程为：

22(3)(2)8x y -++=.

7．设总收入和总成本分别由以下两式给出：

2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+

其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？

解：(1) 边际成本为：

()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=

(2) 利润函数为

2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q

=-=--'=- 令()0L q '=,得650q =

即为获得最大利润时的产量.

(3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q )

即 3.9q －0.003q 2－300=0

q 2－1300q +100000=0

解得q =1218(舍去)，q =82.

8．利用洛必达法则求下列极限：

⑴ πsin 3lim tan 5x x x →; ⑵ 3π2

ln sin lim (2)x x x π→-; ⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin lim x a x a x a

→--; ⑸ lim m m

n n x a x a x a →--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x

→+∞+; ⑺ 0ln lim cot x x x +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→; ⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )x x x

+→; ⑾ 2lim (arctan )π

x x x →+∞⋅; ⑿ 10lim(1sin )x x x →+; ⒀ 0lim[ln ln(1)]x x x +→⋅+; ⒁

lim )x x →+∞

; ⒂ sin 0e e lim sin x x x x x →--; ⒃ 21

0sin lim()x x x x

→; ⒄ 1101lim[(1)]e x x x x →+.

解：⑴ 原式=2π3cos33lim 5sec 55

x x x →=-. ⑵ 原式=2ππ22

1cot 1csc 1lim lim 4π-2428x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22

x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++. ⑷ 原式=cos lim cos 1

x a x a →=. ⑸ 原式=11lim m m n n x a mx m a nx n

---→=. ⑹ 原式=2222

1()11lim lim 111x x x x x x x x x →+∞→+∞⋅-++==+-+. ⑺ 原式=22001

sin lim lim 0csc x x x x x x

++→→=-=-. ⑻ 原式=001

ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x

++→→==-⋅.