数学建模之土地拍卖方案

课程设计报告

课程设计题目：拍卖土地方案

姓名1：孙宏山学号：1020420201 姓名2：钟丽学号：1020420216 姓名3：朱诗悦学号：1020420210 专业通信工程

班级通信2班（10204202）

指导教师樊继秋

2011年10月20日

摘要

“拍卖土地问题”主要是探讨如何能够在满足投标人的购买兴趣的前提下获取最大福利。由题目我们知道拍卖的土地有五块，投标人有三个，经初步分析，本次问题有排列组合和最大值问题两部分。我们就是要分析，在哪种组合的情况下，政府能够获得最大的利益。因此我们就常常会需要用到数学当中数学建模来解决这个实际中的问题了，利用数学中的方法来找到一个最佳最优最完好拍卖方案。选择最优化来实现总福利最多是拍卖方案中最常见的问题，也是最有实际意义的问题。我们所要解决的就是在多种方案中，计算出最佳拍卖方案。

所以在解决此类经济学问题的时候，我们需要应用数学知识，借助数学模型来得到具体的组合方案并结合经济学的观点进行综合性的分析。在解决最优问题时，我们也会需要应用线性规划法来确定最优组合方案的决策。在具体计算中，我们也常常借助于lingo软件来计算，希望能够得到比较精确的数据，进行更有实际意义的经济揣摩，从而指导实际当中的工作。

通过精确计算所得到的数据，便于我们结合经济知识去分析和找出多种商品组合中的最优组合方案，并分析其最优方案时所需的成本。在实际经济应用中，能做到有效的节约成本，对我们是具有指导性意义的.

关键词：土地拍卖投标人出售土地最大化社会福利

一、问题重述与分析

问题：假设某国政府准备将5块土地A,B,C,D,E对外拍卖，采用在规定日期前

投标人提交投标书的方式进行，最后收到了3个投标人的投标书。每个投标人对

其中的若干块土地有购买兴趣，分别以两个组合包的形式投标，但每个投标人最

多只能购买其中1个组合包，投标价格如下表所示。如果政府希望最大化社会福利，这5块土地应该如何售出？

投标组合包投标人1 投标人1 投标人2 投标人2 投标人3 投标人3 包含的土地ABD CDE BE AD BDE CE

投标价格95 80 60 82 90 71

分析：通过对题目的分析，我们可以清晰看到，这样类型的题目是一个优化求

极值的问题，而且是代有线性约束优化条件的极大值问题.首先，我们要考虑土

地实际价值与投标者的投标价格之间的区别，政府希望最大化社会福利，也就是

希望5块土地以某种方案售出时投标价格总和最大（不一定每块土地的投标价格

都比真实价值高，只考虑总和最大化）。

当然，方案的制定是有条件约束的：注意到第一个限制， 5块土地都必须

以组合包的形式拍卖，而不能单独售出，投标者也想同时购得组合包中的几块土地，土地的多种组合方式造成拍卖方案的多样化；在第二个限制中，虽然每个投

标者给出两种选择方式，但最多只能购买一个组合包，这样有些组合方式也就不

能实现，问题得到简化。

这样我们就能通过一系列假设来建立如下的数学模型。

二、模型假设与符号说明

根据上述分析，我们作如下假设：

1．假设每个投标人确实是对自己的投标组中土地都有购买兴趣

2．假设每个投标人对各自提交的投标组都很感兴趣

3．假设所有投标者给出的投标价格是经过慎重考虑的，并且在提交投标书后

不再变更

4．假设投标是在公平公正的原则下进行的

设：

A块土地的真实价格是x1

B块土地的真实价格是x2

C块土地的真实价格是x3

D块土地的真实价格是x4

E块土地的真实价格是x5

最大福利 Max x1+x2+x3+x4+x5

三、模型建立

条件简化：

投标人土地价格

1 ABD 95

1 CDE 80

2 BE 60

2 AD 82

3 BDE 90

3 CE 71

根据投标人给出的各自的投标组列方程：

投标人1：

投标组1 x1+x2+x4<=95

投标组2 x3+x4+x5<=80

投标人2：

投标组1 x2+x5<=60

投标组2 x1+x4<=82

投标人3：

投标组1 x2+x4+x5<=90

投标组2 x3+x5<=71

最大福利：

Max x1+x2+x3+x4+x5

约束条件：

每个投标者只能购买自己所给出的两个投标组中的一个综上所述，本问题完整的数学模型如下：

目标函数：Max x1+x2+x3+x4+x5

约束条件：

x1+x2+x4<=95

x3+x4+x5<=80

x2+x5<=60

x1+x4<=82

x2+x4+x5<=90

x3+x5<=71

四、模型求解

用lingo软件做以下编程：

max x1+x2+x3+x4+x5

subject to

x1+x2+x4<95

x3+x4+x5<80

x2+x5<60

x1+x4<82

x2+x4+x5<90

x3+x5<71

End

程序运行过程：

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 166.0000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

X1 82.00000 0.000000

X2 13.00000 0.000000

X3 24.00000 0.000000

X4 0.000000 0.000000

X5 47.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 166.0000 1.000000

2 0.000000 1.000000

3 9.000000 0.000000

4 0.000000 0.000000