考研数学之高等数学 加强课讲义(四)

1、在一高为4m 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置。如果椭圆方程为2214

x y +=，问： (1)液面在y(11y -≤≤)处时，容器内液体的体积V 与y 的函数关系是什么？

(2)如果容器内储满了液体后，以每分钟0.16m 3的速率将液体从容器顶端抽出，当液面在y=0时，液面下降的速率是每分钟多少m ？

(3)如果液体的密度为1N/m 3，抽完全部液体需作多少功?

2、设函数32ln(1) 0arcsin 1()12 0sin 6x x x x x f x e x x x x x -⎧+<⎪-⎪⎪=⎨++-⎪>⎪⎪⎩

，121arctan ()1x x e x g x e =+，求0lim [()]x f g x → 3、2lim (arctan arctan ),01

n a a n a n n →∞->+ 4、设f(x)在[0,1]上连续，证明：存在()0,1ξ∈，使得

1

201()()3f x dx f ξξ=-+⎰ 5

、222max x dx -⎧⎫⎪⎨⎪⎩⎰ 6、一块1000kg 的冰块要被吊起30m 高，而这块冰以0.02kg/s 的速度溶化，假设冰块以0.1m/s 的速度被吊起，吊索的线密度为4kg/m 。求把这块冰吊到指定高度需作的功。(设重力加速度为10m/s 2)

7、求微分方程2x y y y xe '''++=的通解