高考数学(人教a版,理科)题库：古典概型(含答案)

第4讲 古典概型

一、选择题

1．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是( ) A.5216 B.25216 C.31216 D.91216 解析 抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件．一次也不出现5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5×5×5＝125.于是没有出现一次5点向上的概率P ＝125216，所求的概率为1－125216＝91216

. 答案 D

2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 ( )．

A.15

B.3

10

C.2

5

D.12

解析 基本事件有C 25＝10个，其中为同色球的有C 23＋C 2

2＝4个，故所求概率

为410＝25. 答案 C

3．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是

( )．

A.12

B.1

3

C.1

4

D.15

解析 (甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P ＝24＝12. 答案 A

4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )

A.3

18 B.

418 C.

5

18

D.

618

解析 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于518.

答案 C

5．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )．

A.112

B.110

C.325

D.1125

解析 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为：81 000＝1125.

答案 D

6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为

( )．

A.18

B.3

16

C.1

4

D.12

解析 由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为1

4. 答案 C 二、填空题

7．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________． 解析 由题意得到的P (m ，n )有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x 2＋y 2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝1

3.

答案 13

8. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．

解析 组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的

这个数小于8的概率为5

3.

答案 5

3

9．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4

个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．

解析 方法1：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A 分拆为B ：“甲选乙判”，C ：“甲选乙选”，D ：“甲判乙选”三个互斥事件， 则P (A )＝P (B )＋P (C )＋P (D )．

而P (B )＝C 16C 14C 110C 19，P (C )＝C 16C 15C 110C 19，P (D )＝C 14·C 1

6

C 110C 19

，

∴P (A )＝

2490＋3090＋2490＝7890＝1315

. 方法2：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为A ：

甲乙两人均抽判断题．∴P (A )＝C 14C 1

3

C 110C 19＝1290，∴P (A )＝1－1290＝7890＝1315

.

故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1315

. 答案

13

15

10．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．

解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求

解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3

种选法，其中“有且仅有两

人选择的项目完全相同”的基本事件有C23C13C12个，故所求概率为C23C13C12 (C23)3

＝

2

3.

答案2 3

三、解答题

11．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率．

解(1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×

21

21＋14＋7

＝3；

从中学中抽取的学校数目为6×

14

21＋14＋7

＝2；从大学中抽取的学校数目为

6×

7

21＋14＋7

＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．

②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．

所以P(B)＝3

15＝

1

5.

12．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．

(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．

解析设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种．

(1) 设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，