粘性不可压缩流体运动

2u r 2
1 r
u r
1 r
2u
2
P
2u r 2
1 r
u r
P
1 d r du P r dr dr
d r du rP dr dr
Hale Waihona Puke Baidu
r
du dr
r2 2
P
C1
du r P C1
dr 2
r
20
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
du r P C1 dr 2 r
u
P 4
r
2
C1
ln
r
C2
在边壁 在中心
r a，u 0 r 0，u
C1 0
C2
P 4
a2
u P a2 r 2 pa pb a2 r2
4
4l
21
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
u P a2 r 2 pa pb a2 r2
4
4l
粘性不可压缩流体运动－轴对称圆管内定常层流
在截面b处，即x=l，满足： p pb 16
P pa pb
l
p
pa
l
pb
x
pa
压力沿轴向线性下降
2u y 2
2u z 2
P
泊松方程 pa
pb
0
l
17
2u 2u y2 z2 P
pa pb
l
二元二阶偏微分方程
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
(2) 平面运动：两个平行x-z坐标面的无限长平面间的粘性 流体运动
u 0 v w 0
t
12
u 0 x
连续性方程
0 1 p u x
0 1 p
y
N－S方程
0 1 p
z
v w 0 u 0
t
13
边界条件
静止固壁上：满足粘附条件 u 0 在截面a处，即x=0，满足： p pa 在截面b处，即x=l，满足： p pb
pa pb
14
u 0 x 0 1 p
v z
w y
1 2
u z
w x
1 2
v z
w y
w
z
7
第二节 粘性不可压缩流体运动方程组的 求解途径
v 0
dv F 1 gradp v
dt
P pI 2S
连续性方程 N－S方程 本构方程
方程组的特点：二阶非线性偏微分方程组 解的存在和唯一性？
8
第二节 粘性不可压缩流体运动方程组的求解
10
v 0 u v w 0 x y z
连续性方程
一维流动 v w 0
u
0
x
11
dv F 1 gradp v
dt
N－S方程
u u u v u w u 1 p u t x y z x
v u v v v w v 1 p v t x y z y
w u w v w w w 1 p w t x y z z
v
v
divP
dt
微分形式的动能定理
dU
dt
内能的变化率
P : S div(kgradT) q
变形面力作的 热传导传入
功
的热量
辐射或其他原因 传入的热量
6
粘性流体运动的一般性质
(3) 机械能的损耗性：由于粘性的存在，面力所做的功只有一 部分转化为动能，另一部分被粘性应力耗损变成了热能，单位 体积内耗损的动能由耗损函数确定：
4
粘性流体运动的一般性质
(1) 有旋性：绝大部分粘性不可压缩流体运动都是有旋的 (2) 涡旋的扩散性：涡旋强的地方将向涡旋弱的地方输运 涡量，直至涡量相等为止。
d ( )v
dt
5
d t
U
V2 2
F v
v divP P : S
div(kgradT) q 微分形式的能量方程
d
V2 2
F
22
(a) 速度分布剖面
u P a2 r 2 pa pb a2 r2
4
4l
umax
pa pb
4l
a2
23
(b) 流量及平均速度
u pa pb a2 r 2 4l
a
Q 0 u2rdr
v 0
连续性方程
dv F divP
dt
运动方程
dU dt
P: S div(kgradT)
q
能量方程
P pI 2S
本构方程
p f (T,V )
状态方程
2
粘性不可压缩均质流体运动方程组
v 0
dv F 1 gradp v
dt
P pI 2S
d ( )v
dt
（流体正压，外力有势）
连续性方程 N－S方程 本构方程 涡旋运动方程
3
初始条件与边界条件
(1) 初始条件：t=0时，流场中已知速度分布及压力分布
v v(x, y, z) p p(x, y, z)
(2) 边界条件：
静止固壁上：满足粘附条件 v 0 运动固壁上：满足 v流 v固 自由面上：满足 pnn p0 pn 0
第一节 粘性不可压缩流体的运动特点
研究粘性不可压缩流体运动的特点：产生内磨擦及传热有关的能 量耗损过程 主要解决的重点：流动过程阻力的产生机理、计算与控制；
考虑粘性作用的情况有： (1) 流体运动能量损耗的过程 (2) 粘性力与惯性力同阶或较惯性力大得多的时候（如在边界层内）
1
粘性不可压缩均质流体运动方程组
准确解
粘
性
层流
小Re数
不 可
近似解
大Re数
粘性力 惯性力
？
压
中Re数
缩
流
统计理论
混合长度理论
体 运 动
湍流
模式理论
K-ε方程 RSM模型
9
9.2.1 粘性不可压缩流体层流运动的准确解
粘性不可压缩流体在无限长柱形管道内的定常运动 已知：管截面上的形状及两个截面上的压力 求：管截面上速度分布、流量及管道中的阻力系数
2S 2 2S : S
dU
dt
P: S div(kgradT)
q
S 0
1 2
u y
v x
u y
xvP
pI 0
2
1 2
u z
w x
u x
S1
2
v z
w y
1 2
u y
v x
u w z x
1 2
v z
w y
0
1 2
u z
w x
1 2
u y
v x
v
y
1 2
y
0 1 p
z 0 1 p u
x
u u(y, z)
p p(x)
2u 2u 1 p
y2 z 2 x
15
u u(y, z)
p p(x)
2u y 2
2u z 2
1
p x
2u 2u 1 p
y2 z2 x P
P为常数
1 p P
x
p Px C1
在截面a处，即x=0，满足： p pa
一元二阶常微分方程
边界条件 直接积分
准确解
18
2u 2u y2 z2 P
pa pb
l
二元二阶偏微分方程
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
2u y 2
2u z 2
P
结构轴对称
2u r 2
1 r
u r
1 r
2u
2
P
流动分布轴对称
0 u u(r)
19
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动