高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案

等差等比数列综合应用

【典型例题】

[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为d a a d a +-,,

∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=+⋅-2

2

)32)(()4()()(a d a d a a d a d a

∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-)

2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a

∴ 2

23232168a d a a =-++-

0432=-+d a 代入（1）

16)24(3

1

82+-⋅-=-d d

0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d

① 8=d 10=a ② 38=d 9

26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9

50

[例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求：

（1）求n n b a ,

（2）解不等式

2211601

b m a a m

m -≤++++

解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10

9

=q ∴ 1

)10

9(

2-⋅=n n b 不等式10

921601)

(21

21⋅⋅-≤++⇔+m a a m m m

)1(1816)399123936(2

1

+⋅⋅-≤-+-⇔

m m m m 0)1(181639692≤+⋅⋅+-m m m

032122≤+-m m

0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m

[例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥

解：q a d a b a 1122=+⇒= ∴ )1(1-=q a d

d n a q a a b n n n )1(111---=--)]1)(1()1[(11----=-q n q a n

)]1)(1()1)(1[(321---+++-=--q n q q q a n n )]1()1)[(1(21--++-=-n q q a n

)]11()1()1()1)[(1(321-+-++-+--=--q q q q a n n *

)1,0(∈q 01<-q 01<-n q ∴ 0*> ),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*>

∴ N n ∈ 3≥n 时，n n a b >

[例4] （1）求n T ；（2）n n T T T S +++= 21，求n S 。

解：⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+++-=+++221

04811598

7654d a a a a a a a a

n T 中共12-n 个数，依次成等差数列

11~-n T T 共有数1222112-=+++--n n 项

∴ n T 的第一个为2)12(211

21⋅-+-=--n n a

∴ 2)12()2(2

1

)232(2

111

⋅-⋅+-⋅=---n n n n n T

122112222232-----+⋅-=n n n n 2222323+-⋅-⋅=n n

n n T T T S +++= 21

)]22()222[(3232220+-++-+++=n n

]21)21(241)41(1[33-----⋅=n n 2423143+⋅--=+n n

)12)(232(232244--=+⋅-=n n n n 1221-+++=n a a a

[例5] 已知二次函数)(x f y =在2

2

+=t x 处取得最小值)0(42>-t t ，0)1(=f

（1）求)(x f y =的表达式；

（2）若任意实数x 都满足等式)]([)()(1

x g x b x a x g x f n n n +=++⋅为多项式，

*N n ∈，试用t 表示n a 和n b ；

（3）设圆n C 的方程为2

22)()(n n n r b y a x =-+-，圆n C 与1+n C 外切),3,2,1( =n ；

}{n r 是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n n S r ,。

解：（1）设4

)22()(2

2t t x a x f -+-= 由0)1(=f 得1=a ∴ 1)2()(2

++-=x t x x f （2）将)]1()[1()(+--=t x x x f 代入已知得：

1)()]1()[1(+=+++--n n n x b x a x g t x x

上式对任意的R x ∈都成立，取1=x 和1+=t x 分别代入上式得：

⎩⎨⎧+=++=++1

)

1()1(1n n n n n t b a t b a 且0≠t ，解得]1)1[(11

-+=+n n t t a ，])1(1[1

n n t t

t b +-+=

（3）由于圆的方程为2

22)()(n n n r b y a x =-+-

又由（2）知1=+n n b a ，故圆n C 的圆心n O 在直线1=+y x 上