高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列(例、练及答案)
专题十：等差等比数列（例、练及答案）1．等差数列的性质例1：已知数列，为等差数列，若，，则_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列为等比数列，若，则的值为（） A ．B ．C ．D ．3．等差、等比综合例3：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，则有（） A ． B ．C ．D ．或练习一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设为等差数列的前项和，若，，则（） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（）A ．4B ．2C ．D ．4．已知等差数列的前项和为，，则（）{}n a {}n b 117a b +=3321a b +=55a b +={}n a 4610a a +=()713392a a a a a ++1020100200{}n a {}n b 1q ≠()01,2,3,,i b i n >=L 11a b =1111a b =66a b =66a b >66a b <66a b >66a b <n S {}n a n 540S =9126S =7S ={}n a n n S 122n n S λ+=+λ2-4-{}n a n n S 5714a a +=11S =A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（） A ．B ．C ．1或D ．或6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（） A ．B ．0C ．5D ．77．等比数列的各项均为正数，且，则（） A ．12B ．10C ．8D ．8．设公差为的等差数列，如果，那么等于（） A ．B ．C ．D ．9．已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为（） A ．3B ．C ．D ．610．等差数列的前项和为，若，则（） A ．27B ．36C ．45D ．6611．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误．．的是（） A ． B ．C ．D ．与均为的最大值12．定义函数如下表，数列满足，，若，则（）{}n a q 1a 3a 2a q 12-2-12-1-12{}n a n n S 12a -212a -3a 11a =4S =5-{}n a 564718a a a a +=3132310log log log a a a +++=L 32log 5+2-{}n a 1479750a a a a +++=+L 36999a a a a ++++L 182-78-148-82-{}n a n n S 133215S S -={}n a 4-5-{}n a n n S 81026a a =+11S ={}n a q n K n 56K K <678K K K =>01q <<71a =95K K >6K 7K n K ()f x {}n a ()1n n a f a +=n *∈N 12a =1232018a a a a ++++=LA ．7042B ．7058C ．7063D ．7262二、填空题13．已知等差数列，若，则________．14．已知等比数列的前项和为，若公比，且，则的值是___________．15．设是等差数列的前项和，若，则_______． 16．在等差数列中，，则的值是_______．三、解答题17．已知数列中，，． （1）求；（2）若，求数列的前5项的和．18．设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前{}n a 2376a a a ++=17a a +={}n a n nS q =1231a a a ++=12S n S {}n a n 53109a a =95SS ={}n a 14101619100a a a a a ++++=161913a a a -+{}n a 12a =12n n a a +=n a n n b n a =+{}n b 5S {}n a n ()*n S n ∈N {}n b n项和为．已知，，，． （1）求和；（2）若，求正整数的值．参考答案1．【答案】【解析】∵，为等差数列，∴也为等差数列， ∴，∴． 2．【答案】C【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，从而，即所求表达式的值为．故选C ． 3．【答案】B【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，，， 因为，而为等比数列，联想到与有关，所以利用均值不等式可得：；（故，均值不等式等号不成立）所以．即．故选B ．()*n T n ∈N 11b =322b b =+435b a a =+5462b a a =+n S n T ()124n n n n S T T T a b ++++=+L n 35{}n a {}n b {}n n a b +()()()3311552a b a b a b +=+++()()553311235a b a b a b +=+-+=4610a a +=4a 6a ()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+1001a 11a 1b 11b 6a 6b 11a b =1111111111a b a a b b =⇒+=+11162a a a +={}n b 111b b ⋅6b 11162b b b +>=1q ≠111b b ≠1111116622a a b b a b +=+⇒>66a b >练习一、单选题 1．【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知，，求的值． 由等差数列的性质可知：，， 则，即中间三尺共重9斤．故选D ．2．【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式，，化简得，根据等差数列通项公式得，解方程组得，．故选C ．3．【答案】C【解析】根据题意，当时，，故当时，， ∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C ． 4．【答案】D【解析】等差数列的前项和为，， ∴．故选D ． 5．【答案】C【解析】由题意知：，∴，即， ∴或．故选C ． 6．【答案】A【解析】设的公比为，由，，成等差数列，可得，若，可得，解得，14a =52a =234a a a ++24156a a a a +=+=15332a a a +==2349a a a ++=53540S a ==959126S a ==35814a a =⎧⎨=⎩1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩123a d =⎧⎨=⎩()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=1n =11224S a λ==+2n ≥112n n n n a S S --=-={}n a 11a =412λ+=2λ=-{}n a n n S 5714a a +=57111111411111177222a a a a S ++=⋅=⋅=⋅=3122a a a =+21112a q a q a =+221q q =+1q =12q =-{}n a q 12a -212a -3a 2132a a a -=-+11a =22q q -=-+()21q =-舍去则，故选A ．7．【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知：， 且， 据此结合对数的运算法则可得：．故选B ．8．【答案】D【解析】由两式的性质可知：， 则．故选D ． 9．【答案】C【解析】设等差数列的公差为d ，∵，∴，∴．故选C ． 10．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，故选D ． 11．【答案】C【解析】设等比数列，是其前项的积，所以，由此，， 所以，所以B 正确，由，各项为正数的等比数列，可知，所以A 正确， ，可知，由，所以单调递减，在，7时取最小值，所以在，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．()()()44141125112a q S q---===----56479a a a a ==110293847569a a a a a a a a a a =====()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L 36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-{}n a 133215S S -=()112312321536a a a a a a ++==--1325a d a +=-=81026a a =+610106a a a +=+66a =()1111161111662a a S a +===11n n a a q-=n K n ()121n n nn K a q-=55611K K a q <⇒<66711K K a q =⇒=77811K K a q >⇒>6711a a q ==511a q <01q <<611a q =()121n n n n K a q-=()()113221n n n n n n K a qq--==01q <<x q ()n n 132-6n =n K 6n =12．【答案】C【解析】由题设知，，，，，， ∵，，，∴，，，， ，，……，∴是周期为6的周期数列， ∵，∴，故选C ．二、填空题 13．【答案】4【解析】∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为4． 14．【答案】15【解析】已知，则，又；∴．15．【答案】2【解析】，又，代入得．16．【答案】20【解析】根据等差数列性质，所以， 根据等差数列性质，．()13f =()25f =()34f =()46f =()51f =()62f =12a =()1n n a f a +=n *∈N 12a =()225a f ==()351a f ==()413a f ==()534a f ==()646a f ==()762a f =={}n a 201833662=⨯+()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=L 2376a a a ++=1396a d +=132a d +=42a =17424a a a +==1231a a a ++=()313111a q S q-==-q =11a q =-()()()12121121111511q a q S qq---===--()()19955315992552a a S a S a a a+==+53109a a =95910259S S =⨯=14101619105100a a a a a a ++++==1020a =1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==三、解答题17．【答案】（1）；（2）77． 【解析】（1），，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，； （2），．18．【答案】（1），；（2）4．【解析】（1）设等比数列的公比为，由，，可得． 因为，可得，故．所以．设等差数列的公差为． 由，可得．由得，从而，， 故，所以．（2）由（1），有．由，可得，整理得，解得（舍），或． 所以的值为4．2n n a =12a =12n n a a +={}n a 1222n n n a -=⨯=2n n n b n a n =+=+()()()()()234551222324252S =+++++++++()()23451234522222=+++++++++()515522277212+⨯-⨯=+=-()12n n n S +=21n n T =-{}n b q 11b =322b b =+220q q --=0q >2q =12n n b -=122112nn n T -==--{}n a d 435b a a =+134a d +=5462b a a =+131316a d +=11a =1d =n a n =()12n n n S +=()()112122122221222n n n n n T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---L L ()124n n n n S T T T a b ++++=+L ()1112222n n n n n n ++++--=+2340n n --=1n =-4n =n。
(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案.doc
等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1，，若数列 { a n }的前 n 项和为 S n 2013），则 S 的值为（A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1=，a 1= ，则 a 2017=（ ）A.B.C.D.3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334. 已知正项数列 { a n } 满足，若 a 1=1，则 a 10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295. 若数列{a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（）A. 2B.C. -1D. 20186. 已知等差数列 { a n n 6 37 ）} 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（A. 49B. 42C. 35D. 287. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2-10x+16=0 两根，则a 2+a 1007+a 2012=（） A. 10B. 15C. 20D. 408. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5，则 k=（）A.2B.3C.4D.59.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么a n=______．3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______．4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n=______．5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n= } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N______ ．6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ．7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．三、解答题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列 { a n} 是首项为 23，第 6 项为 3 的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差 d；（Ⅱ）设此等差数列的前 n 项和为 S n，求 S n的最大值；（Ⅲ）当 S n是正数时，求 n 的最大值．3.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）求数列 { S n} 的前 n 项和 T n．4.已知数列 { a n} 具有性质：① a1为整数；②对于任意的正整数 n，当 a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若 a1=64，求数列 { a n} 的通项公式；（2）若 a1，a2，a3成等差数列，求 a1的值；（3）设（m≥3且 m∈N），数列 { a n n} 的前 n 项和为 S ，求证：.等差、等比数列基础练习题答案【答案】 ( 选择题解析在后面 )1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C 9. B 10. D12. 2n 13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-116. - 17. 18. 8119.解：（ 1）当 n=1，a1= ，当 n＞1，S n+ a n=1，S n-1+ a n-1=1，∴a n- a n-1 =0，即 a n= a n-1，数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，∴a n= ．（2）S n=1- a n=1-（）n，∴bn=n，∴==-，∴=1-+-+ +- =1- = ．20. 解：（Ⅰ）由 a1=23，a6=3，所以等差数列的公差 d= ；（Ⅱ）= ，因为 n∈N*，所以当n=6 时 S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得 0＜n＜．因为 n∈N*，所以 n 的最大值为 12．21.解：（Ⅰ）列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2①．则： S n+1=2a n+1-2②，②-①得： a n+1=2a n，即：（常数），当 n=1 时， a1=S1=2a1-2，解得： a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- -2，=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，，，，，a9=0，，即{ a n} 的前 7 项成等比数列，从第8 起数列的项均为 0．（2 分）故数列 { a n} 的通项公式为．（ 4 分）（2）若 a1=4k（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知即 2 （2k ）=k+4k，解得 k=0，故a1=0；若 a1=4k+1（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k）=（4k+1）+k，解得 k=-1，故 a1=-3；（ 7 分）若 a1=4k+2（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+2）+k，解得 k=0，故 a1=2；若 a1=4k+3（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+3）+k，解得 k=-1，故 a1=-1；∴a1的值为 -3 ，-1，0，2．（ 10 分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则 a k是奇数，从而，可得当 3≤n≤m+1 时，成立．（ 13 分）又，a m+2=0，故当 n≤m 时， an＞0；当≥（ 15 分）n m+1 时， a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为 a1+a2++a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3 -1）+ +（21-1）=（2m+2m-1+2m-2++21）-m-3=2m+1-m-5，故．（18分）1. 解：∵数列 { a n} 满足 a1=a2=1，，∴从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为a3n-2a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =cos（2nπ- ）=cos（- ）=cos =-cos =- ，∵2013 ÷3=671，即 S2013正好是前 671 组的和，∴S2013=- ×671=-．故选 D．由数列 { a n 12} 满足 a =a=1，，知从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为 a3n-2，由a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =- ，能求出 S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n 项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴- =1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为 1．∴=2+2016=2018．则 a2017= ．故选： C．a n+1=，a1=，可得- =1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2 ×2016+1=2由 a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵2 2，∴a n+1 -2a n a n+1 +a n =9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或 a n+1-a n=-3，∵{ a n} 是正项数列， a1=1，∴a n+1-a n=3，即 { a n} 是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选 B．由递推式化简即可得出{ a n} 是公差为 3 的等差数列，从而得出 a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列 { a n} 满足： a1=2，a n+1=，则a2== ，a3= =-1a4==2a5= = ，a6= =-1．a7==2．故选： A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6.解：∵等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选： B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前 n 项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n 项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程 x2-10x+16=0 的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选： B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10 是关键．8. 解：已知数列 { a n} 的前 n 项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1 满足 a n，∴a n=2n-4，∵它的第 k 项满足 2＜a k＜5，即 2＜2k-4＜5，解得 3＜k＜4.5，因为 n∈N，∴k=4，故选 C；先利用公式 a n=求出 a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k 的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9.解：∵a k=a1+a2+a3+ +a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差 d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选 B由已知 a k=a1+a2+a3++a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10.解：由等差数列的性质可得： 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即 a1+a11=6．则 S11=×=11 3=33．故选： D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.解：由 S n=n2+n，得a1=S1=2，当 n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[ （n-1）2+（n-1）]=2n．当 n=1 时上式成立，∴a n=2n．故答案为： 2n．由数列的前 n 项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得 a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，是基础题．13.解：由 = （n∈N*），可得 a2n+1=a n?a n+2，∴数列{ a n} 为等比数列，∵a1=1，a2= ，∴q= ，∴a n= ，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{ a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14.解：∵对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，∴取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，∴数列 { a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列 { a n} 前 10 项的和 S10= =-110．故答案分别为： -6；-110．对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，可得数列 {a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列 { a n}中，由，可知数列是公差为 2 的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1） =2n-1；由，可知数列是公比为 2 的等比数列，又a1=1，∴．故答案为： 2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为 2 的等差数列，由，可知数列是公比为 2 的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16.解：由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得 a n-a1=1- = ，∵a1=-1，∴a n=- ，故答案为 - ．由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），可知数列 { } 是等差数列，首项为，公差为：5．可得 = +5（n-1），解得 a n═．故答案为：．判断数列 { } 是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18.解：等差数列 { a n} 中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列 { a n} 前 9 项的和：．故答案为： 81．根据等差数列项的性质与前n 项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n 项和公式的应用问题，是基础题目．19.（1）根据数列的递推公式可得数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得 b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20.（1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前 n 项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由 S n＞0，且 n∈N*列不等式求解 n 的值．本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21.（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用．22. （1）由，可得{ a n}的前7项成等比数列，从第8 起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n} 的通项公式即可；（2）对 a1进行分类讨论：若 a1=4k（k∈Z）时；若 a1=4k+1（k∈Z）时；若 a1=4k+2（k∈Z）时；若 a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出 a1的值；（3）由（m≥3），可得 a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当 3≤n≤m+1 时，成立，又当 n≤m 时，a n＞0；当 n≥m+1 时，a n=0．故对于给定的 m，S n的最大值为 2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。
等差等比数列知识点总结和练习题(含答案)
（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa qa a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证： （1）c ba b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数n. ① ②①②[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,①②①，②⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）（A ）13+=n a n（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为 （ ） （A ）21 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ）（A ）22-=n a n（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ）（A ）97 （B ）78（C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为 （ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是 ( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}nb a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。
(完整版)等差等比数列练习题含答案.docx
一、1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列， 此数列（）（A ） 常数数列（ B ） 非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在2.、在等差数列a n 中， a 1 4 ,且 a 1 , a 5 , a 13 成等比数列，a n 的通 公式（ ）（A ） a n 3n 1（B ） a nn3（C ） a n3n 1或a n 4 （D ） a nn3或a n 43、已知 a,b,c 成等比数列，且x, y 分 a 与 b 、 b 与 c 的等差中 ，ac 的（）xy（ A ）1（B ） 2（C ） 2（D ） 不确定24、互不相等的三个正数a,b, c 成等差数列， x 是 a,b 的等比中 ，y 是 b,c 的等比中 ，那么 x 2 ， b 2 ， y 2 三个数（）（ A ）成等差数列不成等比数列（ B ）成等比数列不成等差数列（ C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列a n 的前 n 和 S n , S 2 n 14n 2 2n , 此数列的通 公式 （ ）（ A ） a n2n 2 （B ） a n8n 2（ C ） a n2n 1（ D ） a nn 2 n6、已知 ( zx) 24( x y)( y z) ，（）（A ） x, y, z 成等差数列（ B ） x, y, z 成等比数列（C ）1 1 11 1 1x , ,成等差数列 （ D ）,y , 成等比数列y zx z7、数列 a的前 n 和 S n an1 ， 关于数列a的下列 法中，正确的个数有 （ ）nn①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4（ B ）3（C ） 2（D ）18、数列 111 11,,前 n 和,3 ,5,7（）2 4 8 16（ A ）n21 1 （B ） n 21 1 （C ） n 2n1 1 （D ） n 2n1 12n2 n 122n2 n 129、若两个等差数列a n 、b n的前 n 和分 A n、 B n ，且 足A n4n 2 a 5 a 13B n5n ，b 5b13 的（）5（ A ） 7（ B ） 8（C ）19（D ） 79720810、已知数列a n 的前 n 和 S nn 25n 2 , 数列a的前 10 和（）n（ A ） 56（ B ）58 （C ） 62（ D ）6011、已知数列a n 的通 公式 a nn 5 , 从a n 中依次取出第n3，9，27，⋯3, ⋯ ，按原来的 序排成一个新的数列， 此数列的前 n 和（ ）（ A ）n(3n13) （B ） 3n5（ C ）3n 10 n 3（D ）3n 110n 322212、下列命题中是真命题的是()A ．数列a n是等差数列的充要条件是a n pn q ( p 0)B ．已知一个数列a n的前 n 项和为S n an 2bn a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C．数列a n是等比数列的充要条件a n ab n1D ．如果一个数列a n的前 n 项和 S n ab n c ( a 0, b0, b1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a c 0二、填空题13、各项都是正数的等比数列a n，公比 q 1 a5 , a7 , a8,成等差数列，则公比q=14、已知等差数列a n，公差d0 ,a1, a5, a17成等比数列，则a1a5a17a2a6=a1815、已知数列a n 满足S n11a n,则a n=416、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为三、解答题17、已知数列a n是公差d不为零的等差数列，数列a b n是公比为q的等比数列， b11,b210,b346 ，求公比q及 b n。
等差等比数列答案
等差数列、等比数列1.已知等差数列{a n}，如果点(n，a n)在直线y=2x-1上，那么公差d=.【答案】2【解析】由题意知a n=2n-1，所以公差为2.2.在等差数列{a n}中，已知S5=5，那么a3=.【答案】1【解析】由于S5=5a3=5，所以a3=1.3.在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=.【答案】10【解析】a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25，所以a5=5，所以a2+a8=2a5=10.4.已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于. 【答案】2n-1【解析】设数列{a n}的公比为q，由a2a3=a1a4=8，a1+a4=9知a1，a4是一元二次方程x2-9x+8=0的两根，解此方程得x=1或x=8.又数列{a n}递增，因此a1=1，a4=a1q3=8，解得q=2，故数列{a n}的前n项和S n=1(1-2)1-2⨯n=2n-1.5.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成等比数列，则该等比数列的公比q=. 【答案】3【解析】设等差数列公差为d，由a2，a3，a6依次构成等比数列得23a=a2a6，即(a2+d)2=a2(a2+4d)，d=2a2，所以等比数列的公比q=32aa=2222+a aa=3.6.已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=.【答案】19 2【解析】因为公差d =1，S 8=4S 4，所以8a 1+12×8×7=4114432⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭a ，解得a 1=12，所以a 10=a 1+9d =12+9=192.7.（1）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和都是等差数列，则1da = . 【答案】2【规范解答】方法一：设数列{a n }的公差为d ， 依题意得，即化简可得d =2a 1，所以1d a =2.方法二：设数列{a n }的公差为d ，由于是等差数列，所以a 1-2d=0，那1d a =2.方法三：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以可设S n =A n 2+B n ， 又因为an +b ，an +b ，即A n 2+B n =a 2n 2+2abn +b 2，所以A=a 2，B=b =0，即S n =a 2n 2，所以a 1=S 1=a 2，a 2=S 2-S 1=4a 2-a 2=3a 2，所以1d a =211-a a a =2223-a a a =2.（2）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a 1+a 3，数列是公差为d 的等差数列，则数列{a n }的通项公式为 .(用n ，d 表示)【答案】a n =(2n -1)d 2 【解析】由题意知d >0n -1)dn -1)d ，2a 2=a 1+a 3⇒3a 2=S 3⇒3(S 2-S 1)=S 3，d )2-a 1d )2，化简得a 1d +d 2=0，d ，即a 1=d 2d +(n -1)d =nd ，S n =n 2d 2，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2d 2-(n -1)2d 2=(2n -1)d 2，适合n =1的情形.故所求a n =(2n -1)d 2.（3）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{}都是等差数列，则10n nS a +的最小值为 .【答案】21【解析】由范题赏析知d =2a 1，所以a n =(2n -1)a 1，S n =n 2a 1，所以10+n n S a =2(10)2-1+n n =2121(2-1)42-1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦n n +212≥21.8.已知数列{a n }，{b n }满足a 1=3，a n b n =2，b n +1=21n n n a b a ⎛⎫-⎪+⎝⎭，n ∈N *，证明数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{b n }的通项公式.【分析】结合等差数列的概念，要证明数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，就是要证明11+n b -1n b 是一个常数.将a n b n =2代入b n +1=a n 121-1+⎛⎫ ⎪+⎝⎭nnn b a b 转化成-1n b =12，即证明数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n b 是等差数列. 【解答】(1) 因为a n b n =2，所以a n =2n b ，则b n +1=a n b n -21+n n a a =2-421+nn b b =2-42+n b =22+n n b b ，所以11+n b -1n b =1122⎛⎫ ⎪⎝⎭为常数. 又a 1=3，所以b 1=23.故132⎧⎫⎨⎬⎩⎭n b 是以首项为，公差为12的等差数列，即1n b =32+(n -1)×12=22+n ，所以b n =22+n .【点评】判断或证明一个数列是等差数列或等比数列最直接和常用的方法就是定义法.结合等差数列、等比数列的概念，判断或证明数列是等差、等比数列的常用方法有以下三种：(1) 定义法；(2) 等比(差)中项法；(3) 根据数列通项特征求证. 9.在数列{a n }中，已知a 2=1，前n 项和为S n ，且S n =()12n n a a -. (1) 求a 1的值.(2) 求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式. (3) 设lg b n =13n na +，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使得b 1，b p ，b q 成等比数列?若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，请说明理由. 解. (1) 令n =1，则a 1=S 1=11-2a a =0.(2) 由S n =1(-)2n n a a ，a 1=0，得S n =2nna ， ① 所以S n +1=1(1)2++n n a . ②②-①得(n -1)a n +1=na n ， ③ 于是na n +2=(n +1)a n +1. ④ ③+④得na n +2+na n =2na n +1， 即a n +2+a n =2a n +1.又a 1=0，a 2=1，则a 2-a 1=1，所以数列{a n }是以0为首项、1为公差的等差数列， 所以a n =n -1.(3) 假设存在正整数数组(p ，q )，使得b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是23pp =13+3q q ，所以q =3q 21-33⎛⎫ ⎪⎝⎭p p . ⑤易知(p ，q )=(2，3)为方程⑤的一组解.当p ≥3，且p ∈N *时，12(1)3++p p -23p p =12-43+p p<0，故数列23⎧⎫⎨⎬⎩⎭p p (p ≥3)为递减数列，于是23pp -13≤3233⨯-13<0，所以此时方程⑤无正整数解.综上，存在唯一正整数数组(p ，q )=(2，3)，使得b 1，b p ，b q 成等比数列.10.已知数列{a n }满足a 1=-1，a 2>a 1，|a n +1-a n |=2n (n ∈N *)，若数列{a 2n -1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，求数列{a n }的通项公式.【解答】因为|a n +1-a n |=2n ，所以当n =1时，|a 2-a 1|=2.由a 2>a 1，a 1=-1得a 2=1. 当n =2时，|a 3-a 2|=4，得a 3=-3 或a 3=5. 因为{a 2n -1}单调递减，所以a 3=-3. 当n =3时，|a 4-a 3|=8，得a 4=5或a 4=-11. 因为{a 2n }单调递增，所以a 4=5. 同理得a 5=-11，a 6=21.因为{a 2n -1}单调递减，a 1=-1<0，所以a 2n -1<0. 同理a 2n >0.所以当n 为奇数时(n ≥3)， 有a n -a n -1=-2n -1，a n -1-a n -2=2n -2. 两式相加得a n -a n -2=-2n -2.那么a 3-a 1=-2；a 5-a 3=-23；…；a n -a n -2=-2n -2，以上各式相加得a n -a 1=-(2+23+25+…+2n -2)，所以a n =a 1--3122(1-4)1-4+⨯n =-213+n .同理，当n 为偶数时，a n =2-13n .所以a n =21-32-13⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩n nn n ，为奇数，，为偶数，也可以写成a n =(-2)-13n .11.已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足2n a =S 2n -1，令b n =11n n a a +，记数列{b n }的前n 项和为T n .(1) 求数列{a n }的通项公式及数列{b n }的前n 项和T n .(2) 是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列?若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.【解答】(1) 因为{a n }是等差数列，所以2n a=S2n -1=12-1()(2-1)2+n a a n =(2n -1)a n ， 又因为a n ≠0，所以a n =2n -1.因为b n =11+n n a a =1(2-1)(21)+n n =111-22-121⎛⎫⎪+⎝⎭n n ， 所以T n=111111123352121⎛⎫-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭n n =21+n n . (2) 由(1)知，T n =21+n n ，所以T 1=13，T m =21+m m ，T n =21+nn .若T 1，T m ，T n 成等比数列，则221⎛⎫ ⎪+⎝⎭m m =1321⎛⎫ ⎪+⎝⎭n n ，即22441++m m m =63+nn . 方法一：由22441++m m m =63+nn ，可得3n =22-241++m m m ，所以-2m 2+4m +1>0，从而1-<m<1+，又m ∈N *，且m >1，所以m =2，此时n =12.故可知当且仅当m =2，n =12时，可使数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列.方法二：因为63+nn =136+n <16，故22441++m m m <16，即2m 2-4m -1<0， 从而1-<m<1+(以下同方法一).【课后检测】等差数列、等比数列1.已知{a n }是等差数列，若2a 7-a 5-3=0，则a 9= .2.在等比数列{a n }中，已知a 3=4，a 7-2a 5-32=0，则a 7= .3.已知等差数列{a n }中，a 4+a 6=10，若前5项和S 5=5，则其公差为 .4.已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4=22a ，a 2+a 4=516，则a 5= .5. 在等差数列{a n }中，已知a 1=2015-，其前n 项和为S n ，若101221210S S -=，则S 2 015= .6.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 5+2a 10=0，则2010S S = .7.已知等差数列{a n }的首项为4，公差为2，前n 项和为S n .若S k -a k +5=44(k ∈N *)，则k 的值为 .8.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，若2a 4+a 3-2a 2-a 1=8，则2a 8+a 7的最小值为 .9.等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n .若()341log 192m n a S ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则14n m+的最小值为 .10.已知通项公式为a n =an 2+n 的数列{a n }满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n +1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】11 --917⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由a n=an2+n是二次函数型，a1<a2<a3<a4<a5，且a n>a n+1对n≥8恒成立，得92<-12a<172，可知-19<a<-117.11. 在数列{a n}中，已知a1=35，a n=112na--(n≥2，n∈N*)，数列{b n}满足b n=11na-(n∈N*).(1) 求证：数列{b n}是等差数列；(2) 求数列{a n}中的最大项和最小项，并说明理由.12.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且a n+2=3S n-S n+1+3(n∈N*).(1) 求证：a n+2=3a n；(2) 求S n.13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=9，S6=36.(1) 求数列{a n}的通项公式.(2) 是否存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列?若存在，求出m和k的值；若不存在，请说明理由.【课后检测答案】专题六数列第1讲等差数列、等比数列1. 3【解析】方法一：设公差为d，则2(a1+6d)-(a1+4d)-3=0，即a1+8d=3，所以a9=3.方法二：由等差数列的性质得a5+a9=2a7，所以(a5+a9)-a5-3=0，即a9=3.2. 64【解析】设公比为q，则有a3q4-2a3q2-32=0，即q4-2q2-8=0，解得q2=4(负值舍去)，故a7=a3q4=64.3. 2 【解析】在等差数列{a n }中，由S 5=5a 3=5，得a 3=1.设公差为d ，则a 4+a 6=(1+d )+(1+3d )=10，解得d =2.4. 132 【解析】设等比数列{a n }的公比为q .因为a 4=22a ，所以a 2q 2=22a .又a 2≠0，所以a 2=q 2.因为22a +a 2-516=0，所以a 2=14或a 2=-54(舍去)，所以q 2=14，又q >0，所以q =12，所以a 5=a 2q 3=132.5. -2 015 【解析】因为S 12=12a 1+12112⨯d ，S 10=10a 1+1092⨯d ，所以1212S =1121112212⨯+a d=a 1+112d ，1010S =a 1+92d .1212S -1010S =d =2.S 2 015=2 015a 1+201520142⨯d =2 015×(-2 015+2 014)=-2015.6. 54 【解析】方法一：因为a 5+2a 10=0，即a 5+2a 5q 5=0，所以q 5=-12，从而2010S S =201101(1-)1-(1-)1-a q qa q q =1+q 10=1+14=54.方法二：因为a 5+2a 10=0，即a 5+2a 5q 5=0，所以q 5=-12，又S 20=(1+q 10)S 10，所以2010S S =1+q 10=1+14=54.7. 7 【解析】由题意得a n =4+2(n -1)=2n +2，S n =(422)2++n n =n 2+3n ，所以S k -a k +5=44可化为k 2+3k -2(k +5)-2=44，即k 2+k -56=0，解得k =7(k =-8舍去).8. 54 【解析】设{a n }的公比为q ，由2a 4+a 3-2a 2-a 1=8，得(2a 2+a 1)q 2-(2a 2+a 1)=8，所以(2a 2+a 1)·(q 2-1)=8，显然q 2>1.2a 8+a 7=(2a 2+a 1)q 6=628-1q q .令t =q 2，所以2a 8+a 7=38-1t t ，设函数f (t )=38-1t t (t >1)，f '(t )=228(2-3)(-1)t t t .易知当t ∈312⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，f (t )为减函数；当t ∈32∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，时，f (t )为增函数，所以f (t )的极小值为f 32⎛⎫⎪⎝⎭=54，故2a 8+a 7的最小值为54.9.【答案】52【解析】因为a n =2·3n -1，所以S n =3n -1.由log 341(1)2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦n m a S =9，得log 3(3n -1·34m )=9，所以34m +n -1=39，所以4m +n =10，所以1n +4m =14⎛⎫+ ⎪⎝⎭n m (4m +n )·110=44161⎛⎫+++ ⎪⎝⎭n m m n ·110≥2510=52，所以1n +452m 的最小值为.10.已知通项公式为a n =an 2+n 的数列{a n }满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n +1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】11--917⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由a n =an 2+n 是二次函数型，a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n +1对n ≥8恒成立，得92<-12a <172，可知-19<a <-117.11. (1) 因为a n =2--11n a (n ≥2，n ∈N *)，b n =1-1n a ，所以1+n b -b n =11-1+n a -1-1n a =112--1⎛⎫ ⎪⎝⎭n a -1-1n a =-1n n a a -1-1n a =1.又b 1=11-1a =-52，所以数列{b n }是以-52为首项、1为公差的等差数列.(2) 由(1)知b n =n -72，则a n=1+1nb=1+22-7n.设f(x)=1+22-7x，则f(x)在区间7-2∞⎛⎫⎪⎝⎭，和72∞⎛⎫+⎪⎝⎭，上为减函数.故当n=3时，a n取得最小值-1；当n=4时，a n取得最大值3.12. (1) 由题设知，对任意的n∈N*，有a n+2=3S n-S n+1+3(n∈N*)，因而对任意的n∈N*，n≥2，有a n+1=3S n-1-S n+3(n∈N*)，两式相减，得a n+2-a n+1=3a n-a n+1，即a n+2=3a n(n≥2).又a1=1，a2=2，所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1，故对一切n∈N*，有a n+2=3a n.(2) 由(1)知a n≠0，所以2+nnaa=3，于是数列{a2n-1}是首项a1=1，公比为3的等比数列，数列{a2n}是首项a2=2，公比为3的等比数列，所以a2n-1=3n-1，a2n=2×3n-1，于是S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=3(3-1)2n，从而S2n-1=S2n-a2n=3(3-1)2n-2×3n-1=32(5×3n-2-1)，综上所述，S n=-3*2*23(53-1)2-1N23(3-1)2N.2∈∈⎧⨯=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩nnn k kn k k，，，，，13.【解答】(1) 设等差数列{a n}的公差为d.由S3=9，S6=36，得1113391 615362 +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩a d aa d d，，解得，，所以a n=a1+(n-1)d=2n-1，即等差数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.(2) a m，a m+5，a k成等比数列等价于(2m-1)(2k-1)=(2m+9)2，即2k-1=2(29)2-1+mm=2(2-110)2-1+mm=2m-1+20+1002-1m，所以k=m+10+502-1m，m，k是正整数.由于m，k都是正整数，故2m-1只可能取1，5，25.当2m-1=1，即m=1时，k=61；当2m-1=5，即m=3时，k=23；当2m-1=25，即m=13时，k=25.所以存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，m和k的值分别是m=1，k=61或m=3，k=23或m=13，k=25.。
等差数列与等比数列(题型归纳)
等差数列与等比数列【考情分析】【题型一】等差、等比数列基本运算【题组练透】1.（山东省淄博市2021届高三二模数学试题）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若32342S a a a =++，则公比q =（）．A ．12B ．12-C ．1D ．2【答案】D 【解析】因为32342S a a a =++，所以()3412232a a a a a a ++=++，即41232a a a a ++=，因为10a ≠，所以232q q q ++=，即()()2210q q q -++=，因为210q q ++≠，所以q =2.故选：D2．我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A ．30.8贯B ．39.2贯C ．47.6贯D ．64.4贯【答案】A【继续】依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，由数列{a n }为等差数列，可记公差为d ，依题意得：()123451155223833.6a a a a a a d a a ⎧++++=+=⎨-=⎩，解得a 1=64.4，d =﹣8.4，所以a 5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.3．（2021·武汉市第一中学高三二模）等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1＞0，S 10＝S 20，则（）A ．d ＜0B ．a 16＜0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当S n ＜0时n ≥32【答案】ABC【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 10＝S 20，∴10a 1+45d ＝20a 1+190d ，∴2a 1+29d ＝0，∵a 1＞0，∴d ＜0，故A 正确；∴a 1+14d +a 1+15d ＝0，即a 15+a 16＝0，∵d ＜0，∴a 15＞a 16，∴a 15＞0，a 16＜0，故B 正确；∴S n ≤S 15，故C 正确；又131311631()3102a a S a +==<，130********()15()02a a S a a +==+=，∴当且仅当S n ＜0时，n ≥31，故D 错误.故选：ABC ．4．（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 中，22a =，514a =，则满足12231212n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 的值为______．【答案】3【解析】已知{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由352a a q =⋅得，3124q ⋅=，318q =，解得12q =，又22a =．∴14a =．因为21211==4n n n n a a q a a +++，所以数列{}1n n a a +也是等比数列，其首项为128a a =，公比为14．∴()1223132211432nn n a a a a a a -+++⋅⋅⋅+=-≤，从而有11464n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．∴3n ≤．故max 3n =．故答案为：3.【提分秘籍】1.在等差(比)数列中,a 1,d(q),n,a n ,S n 五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般是转化为首项a 1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.对于等比数列的前n 项和公式,应按照公比q 与1的关系分类讨论,一般地,若涉及n 较小的等比数列前n 项和问题,为防止遗忘分类讨论,可直接利用通项公式写出,而不必使用前n 项和公式.【题型二】等差、等比数列的性质【题组练透】1．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=（）A ．10B ．5C ．8D ．4【答案】B 【分析】应用等比数列等比中项的性质可得32a =，运用对数的运算性质可得原式为235log a ，代入3a 可计算结果.【详解】解：因为154a a =，且0n a >，则有32a =521222324252323log log log log log log 5log 5a a a a a a a ++++===.故选：B.2．（2021·山东青岛市·高三三模）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A ．152B ．45C ．75D ．150【答案】C 【分析】先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前n 项和公式求和即可.【详解】由行列式的定义有9711(10)0a a ⨯-⨯-=，即1875a d a +==，所以11581515()1527522a a a S +⨯===.故选：C.3．（2021·广东潮州市·高三二模）已知数列{}n a 满足()*,01nn a n k n N k =⋅∈<<，下列命题正确的有（）A ．当12k =时，数列{}n a 为递减数列B ．当45k =时，数列{}n a 一定有最大项C ．当102k <<时，数列{}n a 为递减数列D ．当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项【答案】BCD 【分析】分别代入12k =和45k =计算判断AB 选项；再利用放缩法计算判断C 选项；设1=-k n k ，则1=+k nn ，所以化简得11n na a +=，可知数列{}n a 为常数数列，可判断D ；【详解】当12k=时，1212a a==，知A错误；当45k=时，1415nna na n++=⋅，当4n<，11nnaa+>，4n>，11nnaa+<，所以可判断{}n a一定有最大项，B正确；当12k<<时，11112nna n nka n n+++=<≤，所以数列{}n a为递减数列，C正确；当1kk-为正整数时，其值不妨取为n，则1=+k nn，所以11111+++==⋅=+nna n n nka n n n，可知数列{}n a为常数数列，D正确；故选：BCD.4.已知数列{a n}为等差数列，若a2＋a8＝23π，则tan(a3＋a7)的值为A ．33B ．－33CD【解析】∵数列{a n}为等差数列，∴a3＋a7＝a2＋a8＝23π．∴tan(a3＋a7)＝tan 2 3π【提分秘籍】1.利用等差(等比)数列的性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数的性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的这些性质解题.【题型三】等差、等比数列的判断与证明【典例分析】【典例】若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：}1{nS 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故}1{nS 是首项为2，公差为2的等差数列.(2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【变式探究1】本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由.【解析】因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2).所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以}1{nS 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n }1111{--+n n ＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【变式探究2】本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.【解析】由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，又a 1＝35，∴}{na n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n .【提分秘籍】1.常见的判定等差数列的方法(1)定义法:对于数列{a n },若a n+1-a n =d(n ∈N *)(d 为常数),则数列{a n }是等差数列;(2)等差中项法:对于数列{a n },若2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *),则数列{a n }是等差数列.2.常见的判定等比数列的方法(1)定义法:若n n a a 1+=q(q≠0,n ∈N *)或1-n n a a=q(q≠0,n≥2,n ∈N *),则数列{a n }是等比数列;(2)等比中项法:若数列{a n }中,a n ≠0且21-n a =a n ·a n-2(n≥3,n ∈N *),则数列{a n }是等比数列.注意:如果要证明一个数列是等差(等比)数列,则必须用定义法或等差(等比)中项法.判断时易忽视定义中从第2项起,以后每项与前一项的差(比)是同一常数,即易忽视验证a 2-a 1=d(12a a =q)这一关键条件【变式演练】1.(2021·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n .(1)证明因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列.(2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.1．（2021·山西阳泉市·高三三模（文））在正项等比数列{}n a 中，34a a m +=，1314a a n +=，则2324a a +的值为（）A ．nmB ．22n m C ．2n mD ．2n m 【答案】C 【分析】利用广义通项公式计算，可得10nq m=，即可得到答案；【详解】10101010131434n a a a q a q q m n q m+=+=⋅=⇒=，∴()14210232413n n a a a a q n m m+=+⋅=⋅=，故选：C.2．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）设n S 是某个等差数列的前n 项和，若201920202020S S ==，则2021S =（）A ．220202019-B ．220202019+C ．120201010-D ．120201010+【答案】A 【分析】由题设易得12019a d =-且20212020S S d =+，利用等差数列前n 项和公式，由20192020S =求d ，即可求2021S .【详解】由题意知：20200a =即12019a d =-，且20212020S S d =+，∴201912019201820192019(1010)20202S a d d ⨯=+=⨯-=，故22019d =-，∴2021220202019S =-.故选：A3．（2021·济南市·山东省实验中学高三二模）已知等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A ．28B ．29C ．30D ．31【答案】B 【分析】本题可设等差数列{}n a 共有21n +项，然后通过S S -奇偶即可得出结果.【详解】设等差数列{}n a 共有21n +项，则13521n S a a a a +=++++ 奇，2462n S a a a a =++++ 偶，中间项为1n a +，故()()()13254212n nS S a a a a a a a +-=+-+-++- 奇偶111n a d d d a nd a +=++++=+= ，131929029n a S S +=-=-=奇偶，故选：B.4．（2021·安徽马鞍山市·高三三模（文））在天然气和煤气还未普及时，农民通常会用水稻秸秆作为生火做饭的材料．每年水稻收割结束之后，农民们都会把水稻秸秆收集起来，然后堆成如图的草堆，供生火做饭使用．通常他们堆草堆的时候都是先把秸秆先捆成一捆一捆的，然后堆成下面近似成一个圆柱体，上面近似成一个圆锥体的形状．假设圆柱体堆了7层，每层所用的小捆草数量相同，上面收小时，每层小捆草数量是下一层的12倍．若共用255捆，最上一层只有一捆，则草堆自上往下共有几层（）A ．13B ．12C ．11D ．10【答案】B 【分析】由题可知，上面的圆锥每层的数量是以1为首项，2为公比的等比数列；设草堆自上往下共有x 层，则圆锥有()7x -层，依题意列关系式.【详解】设草堆自上往下共有x 层，则圆锥有()7x -层，由题可知，上面的圆锥每层的数量是以1为首项，2为公比的等比数列，则287122272255x x --+++++⨯= ，()771127225512x x --⨯-+⨯=-，解得：12x =∴草堆自上往下共有12层.故选：B.【点睛】知识点点睛：等比数列前n 项和()111n n a q S q-=-.5．（2021·全国高三其他模拟）已知数列{}n a 满足12a =，()11312,n n n n a a a a n n N *--+=-≥∈，若123nn Ta a a a =⋅⋅⋅，当10n T >时，n 的最小值为（）A ．3B ．5C ．6D ．7【答案】C 【分析】将已知递推关系式变形可得1111112n n a a --=--，由此可知数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，由等差数列通项公式可取得11n a -，进而得到n a ；由123n n T a a a a =⋅⋅⋅可上下相消求得n T ，结合n *∈N 解不等式可求得n 的最小值.【详解】由1131n n n n a a a a --+=-得：11311n n n a a a ---=+，()11111121312211111n n n n n n n a a a a a a a ---------∴-=-==+++，()()111111121111212112n n n n n n a a a a a a -----+-+∴===+----，即1111112n n a a --=--，∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项，12为公差的等差数列，()11111122n n n a +∴=+-=-，则31n n a n +=+，()()123234562323416n n n n n n T a a a a n n ++++=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=+∴，由10n T >得：()()23106n n ++>，又n *∈N ，6n ∴≥且n *∈N ，n ∴的最小值为6.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的不等式的求解问题，解题关键是能够根据已知的递推关系式，构造出全新的等差数列，利用等差数列通项公式求得通项后，即可确定n a .6．（2021·四川内江市·高三一模（理））若数列{}n a 满足1120n na a +-=，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且1231b b b ++=，则678b b b ++=（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】D 【分析】利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”{}n a 是公比为12的等比数列，进而结合题意可知数列{}n b 是公比为2的等比数列，由此可得()56781232b b b b b b ++=++，即可得解.【详解】由题意可知，若数列{}n a 为“梦想数列”，则1120n n a a +-=，可得112n n a a +=，所以，“梦想数列”{}n a 是公比为12的等比数列，若正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，则1112n n b b +=，所以，12n n b b +=，即正项数列{}n b 是公比为2的等比数列，因为1231b b b ++=，因此，()5678123232b b b b b b ++=++=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为12的等比数列，解题要将这种定义应用到数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，推导出数列{}n b 为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解.7．（2021·全国高三其他模拟）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且220a =，798S =，则（）A ．1534a a +=B ．89a a <C ．9n S S ≤D ．满足0nS <的n 的最小值为17【答案】AD 【分析】先由等差数列的性质及798S =求得414a =，结合220a =及等差数列的性质即可判断选项A ；由选项A 得到数列{}n a 的公差，进而得到等差数列{}n a 的通项公式，然后求出8a ，9a 的值，结合{}n a 的增减性即可判断选项B ，C ；由等差数列的性质及8a ，9a 易得到16S ，17S 的值，结合{}n a 的增减性即可判断选项D ．【详解】因为()177477982a a S a +===，所以414a =.又220a =，所以152434a a a a +=+=，A 选项正确；设等差数列{}n a 的公差为d ，由4226a a d -==-，解得3d =-，所以()()223263n a a n n =+-⨯-=-.826382a =-⨯=，926391a =-⨯=-.所以89a a >，B 选项不正确；由3d =-知数列{}n a 为递减数列，又820a =>，910a =-<.所以8S 为n S 的最大值，C 选项不正确；因为()()1161689168802a a S a a +==+=>，()11717917171702a a S a +==⨯=-<.所以满足0n S <的n 的最小值为17，D 选项正确.故选AD ．【点睛】结论点睛：在处理等差数列及其前n 项和问题时，通常会用到如下的一些性质结论；1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .2.前n 项和的性质：(1)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .8．（2021·全国（文））《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（）A ．甲得钱是戊得钱的2倍B ．乙得钱比丁得钱多12钱C ．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D ．丁、戊得钱的和比甲得钱多13钱【答案】AC 【分析】由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，结合已知求a ，d ，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，且22a d a d a a d a d -+-=++++，即6a d =-，又2255a d a d a a d a d a -+-+++++==，∴1a =，16d =-，即1421263a d ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，17166a d ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，15166a d ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，1221263a d ⎛⎫+=+⨯-= ⎪⎝⎭，∴甲得43钱，乙得76钱，丙得1钱，丁得56钱，戊得23钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A 正确；乙得钱比丁得钱多751663-=钱，故B 错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的413276+=倍，故C 正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多52416336+-=钱，故D 错误．故选：AC ．9．（2021·全国高二专题练习）数列{}n a 为等比数列，公比q >1，其前n 项和为S n ，若a 5﹣a 1=15，2416a a ⋅=，则下列说法正确的是（）A ．S n +1=2S n +1B ．a n =2nC ．数列{log 3(S n +1)}是等比数列D ．对任意的正整数k (k 为常数)，数列{log 2(S n +k ﹣S n )}是公差为1的等差数列【答案】AD 【分析】根据条件可求出12n n a -=，21nn S =-，然后逐一判断即可.【详解】因为公比为q >1，由512415,16,a a a a -=⎧⎨⋅=⎩可得41131115,16,a q a a q a q ⎧-=⎨⋅=⎩，即421154q q -=，所以4q 4﹣15q 2﹣4=0，解得q 2=4，所以112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=，()1122112n n nS ⋅-==--，所以112121n n n S S ++=-=+，S n +1=2n ，所以log 3(S n +1)=n log 32，所以数列{log 3(S n +1)}是等差数列，对任意的正整数n ，k ，S n +k ﹣S n =2n +k ﹣2n =(2k ﹣1)2n ，所以log 2(S n +k ﹣S n )=n +log 2(2k ﹣1)，所以数列{log 2(S n +k ﹣S n )}是公差为1的等差数列，故选：AD10．（2021·济南市历城第二中学高二开学考试）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020220212020S S -=，则数列{}n a 公差为___________.【答案】4【分析】由等差数列性质可知，112n S n a d n -=+，从而得到结果.【详解】由等差数列性质可知，112n S n a d n -=+又20212020220212020S S -=，∴2019101022d d -=,解得，4d =故答案为：411．（2021·河南高三月考（理））已知数列{}n b ，()1*12N n n b b b n +-==∈，等比数列{}n a 中，11a b =，48a b =，若数列{}n b 中去掉与数列{}n a 相同的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，则{}n c 前200项的和为___________.【答案】42962【分析】根据等差数列的定义，结合等比数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】∵12n n b b +-=，∴{}n b 为等差数列，又12b =，∴2n b n =，∴12a =，416a =，则等比数列{}n a 的公比为2=，∴2n n a =.∵208416b =，12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，664a =，7128a =，8256a =，9512a =.∴()()1220012208128c c c b b b a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()82122082416212⨯-⨯+=--()920920822=⨯--42962=.故答案为：4296212．（2021·广东汕头市·高三三模）已知数列{}n a 满足()12335213nn a a a n a ++++-= ，则3a =__________，若对任意的N n *∈，()1nn a λ≥-恒成立，则λ的取值范围为_____________.【答案】185[]3,2-【分析】由1n =可求得1a 的值，令2n ≥由()12335213nn a a a n a ++++-= 可得出()1123135233n n a a a n a --++++-= ，两式作差可得出数列{}n a 的通项公式，可得出3a 的值，然后分n 为奇数和偶数两种情况讨论，分析数列{}n a 的单调性，由此可求得实数λ的取值范围.【详解】当1n =时，13a =；当2n ≥时，()()12313523213nn n a a a n a n a -++++-+-= ，可得()1123135233n n a a a n a --++++-= ，上述两式作差可得()11213323nn n n n a ---=-=⋅，即12321n n a n -⋅=-，13a =不满足12321n n a n -⋅=-，所以，13,123,221n n n a n n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪-⎩，则23231855a ⨯==.当2n ≥时，()()()118312323021212121n n n n n n a a n n n n -+⋅⋅-⋅⋅-=-=>+--+，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 从第二项开始为递增数列，对任意的N n *∈，()1nn a λ≥-恒成立.①若n 为正奇数，则n a λ≥-，1351835a a a =<=<< ，则3λ-≤，可得3λ≥-；②若n 为正偶数，则n a λ≥，可得22a λ≤=.综上所述，32λ-≤≤.故答案为：185；[]3,2-.【点睛】思路点睛：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a 的步骤：（1）当1n =时，11a S =；（2）当2n ≥时，根据n S 可得出1n S -，化简得出1n n n a S S -=-；（3）如果1a 满足当2n ≥时1nn n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式为1n n n a S S -=-；如果1a 不满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式要分段表示为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.13．（2021·山东临沂市·高三二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足21444n n S a n +=--，且1112a b =+=，44a b =．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若从数列{}n a 中去掉数列{}n b 的项后余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，求123100c c c c +++⋅⋅⋅+．【答案】（1）证明见解析；（2）11302．【分析】（1）由递推公式，将n 换成1n -，与原式作差，化简，求出1a ，结合等差数列的定义可证明.（2）先求出,n n a b 的通项公式，求出数列{}n a 的前100项中，与{}n b 重合的项，然后再求和即可.【详解】（1）证明：∵21444n n S a n +=--，∴当2n ≥时，2144n n S a n -=-，所以22n n 1n4a a a 4+=--，∴()2212n n a a +=+，又0na >，所以12n n a a +=+．当1n =时，21248S a =-，即21248a a =-，又12a =，∴24a =，212a a -=适合上式，所以数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列．（2）由（1）可知2n a n =，设{}n b 的公比为q ，又448b a ==，1111b a =-=，∴38q =，∴2q =，∴12n n b -=．∴11b =，212b a ==，324b a ==，448b a ==，5816b a ==，61632b a ==，73264b a ==，864128b a ==，9128256b a ==．∴()()123100123107238c c c c a a a a b b b +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()7212107221411302212-+=-=-．【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系证明数列为等差数列，数列求和问题，解答本题的关键是应用1111n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩时，注意n 的范围，以及求和时根据条件123100c c c c +++⋅⋅⋅+()()123107238a a a a b b b =+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+，属于中档题.14．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知数列{}n a 中，121a a ==，且212n n n a a a ++=+.记1n n n b a a +=+，求证：（1）{}n b 是等比数列；（2）{}n b 的前n 项和n T 满足：3121223112n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将212n n n a a a ++=+变形为()2112n n n n a a a a ++++=+，并计算1b 的值，由此根据定义可证明{}n b 是等比数列；（2）先根据等比数列的前n 项和公式求解出n T ，然后根据1111n n n n n n n b T T T T T T ++++-=⋅⋅并采用裂项相消的方法求解出11n n n b T T ++⎧⎫⎨⋅⎩⎭的前n 项和，最后分析11n n n b T T ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和并完成证明.【详解】（1）证明：由212n n n a a a ++=+，得()121122n n n n n n b a a a a b ++++=+=+=，又11220b a a =+=≠，所以{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，()22222112n n n T -⨯==--.于是1111111111122121n n n n n n n n n n n b T T T T T T T T ++++++-⎛⎫==-=- ⎪⋅⋅--⎝⎭.31212231n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅1223111111112212121212121n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111221n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.因为11021n +>-，所以3121223112n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅.。
等差、等比数列复习试题+答案解析
等差数列、等比数列1．(2014·山东青岛二模)数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝________2. (2014·河北邯郸二模)在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________3.(2014·河北唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________4. (2014·福建福州一模)记等比数列{a n }的前n 项积为Ⅱn ，若a 4·a 5＝2，则Ⅱ8＝________5．(2014·辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则________A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >06．(2014·四川七中二模)正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4n的最小值为________ 7．(2014·安徽卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.8．(2014·河北衡水中学二模)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________. 9. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n的取值范围是________．10．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．11．(2014·山东菏泽一模)已知数列{a n}，a1＝－5，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋a n，B(n)＝a2＋a3＋…＋a n＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋a n＋2(n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和．1．(2014·九江市七校联考)已知数阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a11a 12 a 13a21 a 22 a 23a31a 32a 33中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22＝2，则这9个数的和为________2．(2014·江苏南京一模)已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n ≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．3．(2014·山东淄博一模)若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝9，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数．(1)证明数列{a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项积为T n ，即T n ＝(a 1＋1)(a 2＋1)…(a n ＋1)，求lg T n ；(3)在(2)的条件下，记b n ＝lg T nlg a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n >4 026的n 的最小值．高考专题训练(九) 等差数列、等比数列A 级——基础巩固组一、选择题1．(2014·山东青岛二模)数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝( )A ．5B ．－1C ．0D ．1解析 设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＝a 1a 1＋2d ，a 1＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝1，故选D答案 D2．(2014·河北邯郸二模)在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝26.答案 B3．(2014·河北唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S na n＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 42n＝2n －1，选D.答案 D4．(2014·福建福州一模)记等比数列{a n }的前n 项积为Ⅱn ，若a 4·a 5＝2，则Ⅱ8＝( )A ．256B ．81C ．16D ．1解析 由题意可知a 4a 5＝a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝2， 则Ⅱ8＝a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8＝(a 4a 5)4＝24＝16. 答案 C5．(2014·辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析 依题意得2a 1a n >2a 1a n ＋1，即(2a 1)a n ＋1－a n <1，从而2a 1d <1，所以a 1d <0，故选C.答案 C6．(2014·四川七中二模)正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4n的最小值为( )A.256B.134C.73D.32解析 由a 3＝a 2＋2a 1，得q 2＝q ＋2，∴q ＝2(q ＝－1舍去)，由a m a n ＝16a 21得2m －12n －1＝16，∵m ＋n －2＝4，m ＋n ＝6， 所以1m ＋4n ＝m ＋n 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋n m ＋4m n≥16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋2 n m ·4m n ＝32. 答案 D 二、填空题7．(2014·安徽卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， ∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1.∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.答案 18．(2014·河北衡水中学二模)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.解析 ∵1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，而a 8a 9＝a 7a 10，∴1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 7a 10＝158－98＝－53. 答案 －539．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n的取值范围是________．解析 因为{a n }是等比数列， 所以可设a n ＝a 1q n －1.因为a 2＝2，a 5＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 4＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝8－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.因为0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，所以4≤S n <8.答案 [4,8) 三、解答题10．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．11．(2014·山东菏泽一模)已知数列{a n }，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列， ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3.∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ≤2时，S n ＝n 5＋8－3n2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋n －21＋3n －82＝3n 22－132n ＋14；综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.B 级——能力提高组1．(2014·九江市七校联考)已知数阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a11a 12 a 13a21 a 22 a 23a31a 32a 33中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22＝2，则这9个数的和为( )A ．16B ．18C ．9D ．8解析已知数阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a11 a 12 a 13a21a 22 a 23a31a 32a 33中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22＝2，由等差数列的性质得：a 11＋a 12＋a 13＋a 21＋a 22＋a 23＋a 31＋a 32＋a 33＝9a 22＝18.答案 B2．(2014·江苏南京一模)已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n ≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．解析 易得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43，而y ＝S n －1S n 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤89，43上单调递增，所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1772，712⊆[A ，B ]，因此B －A 的最小值为712－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1772＝5972. 答案 59723．(2014·山东淄博一模)若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝9，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数．(1)证明数列{a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项积为T n ，即T n ＝(a 1＋1)(a 2……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………11 / 1111 / 1111 / 11 WORD 格式整理 ＋1)…(a n ＋1)，求lg T n ；(3)在(2)的条件下，记b n ＝lg T n lg a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n >4 026的n 的最小值．解 (1)由题意得：a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，即a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，则{a n ＋1}是“平方递推数列”．对a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2两边取对数得lg(a n ＋1＋1)＝2lg(a n ＋1)，w 所以数列{lg(a n ＋1)}是以lg(a 1＋1)为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知lg(a n ＋1)＝lg(a 1＋1)·2n －1＝2n －1lg T n ＝lg(a 1＋1)(a 2＋1)…(a n ＋1)＝lg(a 1＋1)＋lg(a 2＋1)＋…＋lg(a n ＋1)＝1·1－2n1－2＝2n －1 (3)b n ＝lg T n lg a n ＋1＝2n －12n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 S n ＝2n －1－12n 1－12＝2n －2＋12n －1 又S n >4 026，即2n －2＋12n －1>4 026，n ＋12n >2 014 又0<12n <1，所以n min ＝2 014.。
高二等差等比数列练习题及答案
等差、等比数列练习一、选择题1、等差数列a n中， S10120 ，那么 a1 a10（）A. 12B.24C.36D.482、已知等差数列a， a n2n19 ，那么这个数列的前n 项和 s n（）nA. 有最小值且是整数B.有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D.有最大值且是分数3、已知等差数列a n1a4a10080 ，那么 S100的公差 d， a22A ．80B ．120C ．135D ． 160．4、已知等差数列a n中， a2 a5a9a1260 ，那么 S13A． 390B． 195C． 180D． 1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A. 0B.90C.180D.3606、等差数列a n的前m项的和为30，前2m 项的和为 100，则它的前 3m项的和为 ()A. 130B.170C.210D.2607、在等差数列a n中， a2 6 ， a8 6 ，若数列a n的前 n 项和为 S n，则（）A.S4 S5B. S4 S5C. S6 S5D. S6 S58、一个等差数列前 3 项和为 34 ，后 3 项和为 146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n 项之和 n3为，且前 n 个偶数项的和为 n 2 (4n3) ，则前 n 个奇数项的和为（）A ．3n 2 (n1) B． n2 (4n 3)C．3n 2D．1n3210 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A． 6B．8 C．10D． 12二．填空题1、等差数列a中，若 a6a3a8，则s9.n2、等差数列a n中，若 S n3n22n，则公差 d.3、在小于100的正整数中，被 3 除余 2 的数的和是4、已知等差数列{ a n}的公差是正整数，且 a 3a712, a4 a6 4 ，则前10项的和S10=5、一个等差数列共有 10 项，其中奇数项的和为25，偶数项的和为15，则这个数列的第 6 2项是*6 、两个等差数列a n和 b n的前n项和分别为S n和T n，若 S n7n 3，则a8.T n n3b82、设等差数列a n的前 n 项和为 S n，已知 a3 12 ， S12>0，S13<0，①求公差 d 的取值范围；② S1 , S2 ,L , S12中哪一个值最大并说明原因.3、己知{ a n}为等差数列，a12, a2 3 ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数组成一个新的等差数列，求：（ 1）原数列的第 12 项是新数列的第几项（ 2）新数列的第 29 项是原数列的第几项一、选择题1.(2009 年广东卷文 ) 已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 · a 9 =2 a 5 2 ， a 2 =1，则 a 1 = A.1B.2 C. 2222、若是1,a,b, c, 9 成等比数列，那么（）A 、 b 3, ac 9B 、 b3, ac 9 C 、 b3, ac 9 D 、 b 3, ac93、若数列 a n 的通项公式是 a n(1) n(3n 2), 则 a 1 a 2a10（ A ）15 （B ）12（C ）D）4. 设 { a n } 为等差数列，公差 d = -2 ， S n 为其前 n 项和 . 若 S 10 S 11 ，则 a 1 =（）5. （ 2008 四川）已知等比数列a n 中 a 2 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 () A.,1 B.,0 U 1,C. 3,D.,1U3,6. （ 2008 福建 ) 设｛ a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7, a 5=16, 则数列｛ a n ｝前 7 项的和为 ( )7. （ 2007 重庆）在等比数列{ a n } 中， a 2 ＝8， a 5＝ 64，，则公比q 为（）A ． 2B． 3C． 4D． 88．若等比数列 { a n } 知足 a n a n+1=16n ，则公比为A ． 2B ． 4C ． 8D ． 169．数列 { a } 的前 n 项和为 S ，若 a =1， a n+1 =3 S （n ≥ 1），则 a =nn 1 n 6（A ）3 ×44（B ）3 ×44+1（C ）44（ D ）44+110.(2007 湖南 ) 在等比数列 { a n } （ n N*）中，若 a 1 1 ， a 41 ，则该数列的前 10 项8和为（ ）A ． 21 B． 21C． 21122210D ． 22421112. （ 2008 浙江）已知 a n a 2， a 51a 2 a 3a n a n 1 =是等比数列， 2，则 a 1a 24（ ）（ 14 n ）（ 12 n ）C. 32（1 4n） D.32（ 1 2 n）33二、填空题：三、 13.（ 2009 浙江理）设等比数列{ a n}的公比q 1S4．，前 n 项和为 S n，则2a414. （ 2009 全国卷Ⅱ文）设等比数列{ a n } 的前 n 项和为s n。
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。
等差数列与等比数列十大例题
等差数列与等比数列十大例题例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a从而））（（）（））（（n nn 211382112114--=----=S 10分 例 4、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。
等差等比数列经典例题以及详细答案
【本讲教育信息】一. 教学内容：等差等比数列综合应用二. 重点、难点1. 等差等比数列综合题2. 数列与其它章节知识综合3. 数列应用题【典型例题】[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。
解：等差数列为d a a d a +-,,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=+⋅-22)32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-)2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 223232168a d a a =-++-0432=-+d a 代入（1）16)24(3182+-⋅-=-d d0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 926=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、950[例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求：（1）求n n b a , （2）解不等式2211601b m a a mm -≤++++解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d∴ 3996-=n a n 2011=-qb 109=q ∴ 1)109(2-⋅=n n b 不等式10921601)(2121⋅⋅-≤++⇔+m a a m m m)1(1816)399123936(21+⋅⋅-≤-+-⇔m m m m0)1(181639692≤+⋅⋅+-m m m032122≤+-m m0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m[例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥<n b a n n解：q a d a b a 1122=+⇒= ∴ )1(1-=q a dd n a q a a b n n n )1(111---=--)]1)(1()1[(11----=-q n q a n )]1)(1()1)(1[(321---+++-=--q n q q q a n n )]1()1)[(1(21--++-=-n q q a n)]11()1()1()1)[(1(321-+-++-+--=--q q q q a n n *)1,0(∈q 01<-q 01<-n q ∴ 0*> ),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*>∴ N n ∈ 3≥n 时，n n a b >[例4] （1）求n T ；（2）n n T T T S +++= 21，求n S 。
高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题(含答案解析)
高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题（含答案解析）一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d a 1＋4d24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．]2．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0 ，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B ．]3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝a 1＋2a 3，a 4＝1，则S 4＝( )A ．78B ．158C ．14D ．15D [由S 2＝a 1＋2a 3，得a 1＋a 2＝a 1＋2a 3，即a 2＝2a 3，又{a n }为等比数列，所以公比q ＝a 3a 2＝12，又a 4＝a 1q 3＝a 18＝1，所以a 1＝8.S 4＝a 11－q 41－q＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.故选D ．]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0,a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]5．(2018·衡水模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [在等比数列中，因为S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，所以a m ＝S m －S m －1＝－11－5＝－16，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32.则公比q ＝a m ＋1a m＝32－16＝－2，因为S m ＝－11， 所以a 1[12m ]1＋2＝－11，①又a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32，② 两式联立解得m ＝5，a 1＝－1.] 6．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1B [a na 2n ＝a 1n －1da 12n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd，若a 1＝d ，则a na 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.] 7．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为( )A ．9B ．27C ．54D ．72B [根据等比数列的基本性质有a 2a 10＝a 26＝6a 6，a 6＝6，所以b 4＋b 6＝a 6＝6，所以S 9＝9b 1＋b 92＝9b 4＋b 62＝27.]8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝8,16a 24＝a 1a 5，则数列{a n }的前n 项积T n 中的最大值为( )A ．T 3B ．T 4C ．T 5D ．T 6A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则16a 24＝a 1a 5＝a 2a 4＝8a 4，a 4＝12，q 2＝a 4a 2＝116，又q ＞0，则q ＝14，a n ＝a 2q n －2＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＝27－2n ，则T n ＝a 1a 2…a n ＝25＋3＋…＋(7－2n )＝2n (6－n )，当n ＝3时，n (6－n )取得最大值9，此时T n 最大，即(T n )max ＝T 3，故选A ．]二、填空题9．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为________．2 [根据等比中项有a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，化简得a 1＝－4d ，S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝－2d －d＝2.] 10．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________． 16 [S 10＝10a 1＋a 102＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16， 当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．]12．已知函数{a n }满足a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3，且a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1的前20项和为________．780 [由a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3得2a n ＋3a n ＋1＝1a n ＋1＋1，即1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以12为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＋1＝2n －32，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]三、解答题13．(2018·德阳二诊)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 . (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1， ∴2na n a n ＋1＝2n2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1，∴T n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)， 所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列， 因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n＋3＝(a1＋3)×2n－1，a n＝3(2n－1)(n∈N*)．。
高三复习数学31_等差数列、等比数列 (3)(有答案)
3.1 等差数列、等比数列一、选择题。
1. 设{a n }是首项为a 1，公差为−1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=( )A.−12B.12C.2D.−22. 等差数列{a n }的公差为2，若a 2,a 4,a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =（ ）A.n (n−1)2 B.n (n+1)2 C.n (n +1) D.n (n −1)3. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3,S 4=15，则S 6=（ ）A.64B.63C.31D.324. 设等差数列{a n }的公差为d ．若数列{2a 1a n }为递减数列，则（ ）A.a 1d >0B.a 1d <0C.d <0D.d >05. 已知{a n }是等差数列，S n 为其前π项和，若S 21=S 4000，O 为坐标原点，点P (1,a n ),Q(2011,a 2011)，则OP →⋅OQ →等于（ ）A.1B.0C.2011D.−20116. 若a ，b 是函数f (x )=x 2−px +q (p >0,q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，−2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于（ ）A.9B.8C.6D.7 二、填空题。
等比数列{a n }中，a 4=2,a 5=5，则数列{lg a n }的前8项和等于________．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11+a 9a 12=2e 5，则ln a 1+ln a 2+⋯+ln a 20=________．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =2√2，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；⋯．依此类推，设BA =a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3，⋯，A 5A 6=a 7，则a 7=________．三、解答题。
(完整版)2019高考数学专题等差等比数列含答案解析
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______ 【答案】35【解析】∵{}n a ，{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++，∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200【答案】C【解析】与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，从而()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式的值为100．故选C ．3．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <【答案】B【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =⇒+=+， 因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，所以利用均值不等式可得：11162b b b +>=；（1q ≠故111b b ≠，均值不等式等号不成立）所以1111116622a a b b a b +=+⇒>．即66a b >．故选B ．一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤 B ．7斤 C ．8斤 D ．9斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a =，52a =，求234a a a ++的值． 由等差数列的性质可知：24156a a a a +=+=，15332a a a +==， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤．故选D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（ ） A ．66 B ．68C ．77D ．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式53540S a ==，959126S a ==，化简得35814a a =⎧⎨=⎩，根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得123a d =⎧⎨=⎩，()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=．故选C ．3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-【答案】C对点增分集训畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， ∵数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（ ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222a a a a S ++=⋅=⋅=⋅=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12【答案】C【解析】由题意知：3122a a a =+，∴21112a q a q a =+，即221q q =+， ∴1q =或12q =-．故选C ．6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（ ） A ．5- B ．0C ．5D ．7【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，212a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+，若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去，则()()()44141125112a q S q---===----，故选A ．7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知：56479a a a a ==，且110293847569a a a a a a a a a a =====， 据此结合对数的运算法则可得：()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L ．故选B ．8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（ ） A ．182- B ．78- C ．148- D ．82-【答案】D【解析】由两式的性质可知：36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++， 则36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-．故选D ．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3 B ．4- C ．5- D ．6【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵133215S S -=，∴()112312321536a a a a a a ++==--，∴1325a d a +=-=．故选C ． 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．66【答案】D【解析】∵81026a a =+，∴610106a a a +=+，∴66a =，∴()1111161111662a a S a +===，故选D ．11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】设等比数列11n n a a q-=，n K 是其前n 项的积，所以()121n n n n K a q -=，由此55611K K a q <⇒<，66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>所以6711a a q ==，所以B 正确，由511a q <，各项为正数的等比数列，可知01q <<，所以A 正确，611a q =，()121n n n n K a q-=可知()()113221n n n n n n K a qq--==，由01q <<，所以x q 单调递减，()n n 132-在6n =，7时取最小值，所以n K 在6n =，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （ ）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262【答案】C【解析】由题设知()13f =，()25f =，()34f =，()46f =，()51f =，()62f =， ∵12a =，()1n n a f a +=，n *∈N ，∴12a =，()225a f ==，()351a f ==，()413a f ==， ()534a f ==，()646a f ==，()762a f ==……，∴{}n a 是周期为6的周期数列， ∵201833662=⨯+，∴()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=L ，故选C ．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________【答案】4【解析】∵2376a a a ++=，∴1396a d +=，∴132a d +=，∴42a =，∴17424a a a +==．故答案为4．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，若公比q =1231a a a ++=，则12S 的值是___________． 【答案】15【解析】已知1231a a a ++=，则()313111a q S q-==-，又q =11a q =-；∴()()()12121121111511q a q S qq---===--．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53109a a =，则95SS =_______． 【答案】2【解析】()()19955315992552a a S a S a a a +==+，又53109a a =，代入得95910259S S =⨯=．16．在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是_______． 【答案】20【解析】根据等差数列性质14101619105100a a a a a a ++++==，所以1020a =， 根据等差数列性质，1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==．三、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=． （1）求n a ；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）77． 【解析】（1）12a =，12n n a a +=，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643则数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -=⨯=； （2）2n n n b n a n =+=+，()()()()()234551222324252S =+++++++++ ()()23451234522222=+++++++++()515522277212+⨯-⨯=+=-．18．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N ；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*n T n ∈N ．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+． （1）求n S 和n T ；（2）若()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，求正整数n 的值． 【答案】（1）()12n n n S +=，21n n T =-；（2）4．【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=． 因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112nn n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ． 由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+得131316a d +=，从而11a =，1d =， 故n a n =，所以()12n n n S +=．（2）由（1），有()()112122122221222n n n n n T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---L L ．由()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．。
等差数列和等比数列习题及答案
等差数列和等比数列习题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．62．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．643．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．94．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－225．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为( ) A ．2B ．16C ．114D ．326．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝23，d ＝________. 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝___________8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为_______.9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p (n ∈N *)，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．10．(文)(2017·蚌埠质检)已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 23a 2n ＋3，且{b n }为递增数列，若c n ＝4b n ·b n ＋1，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1.【参考答案】1． D[解析] 本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式．由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D ．2． C[解析] 解法一：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15， ∴q ＝2.∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63. 解法二：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.3． D[解析] 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，所以a >0，b >0，不妨设a >b ，所以等比数列为a ，－2，b 或b ，－2，a 从而得到ab ＝4＝q ，等差数列为a ，b ，－2或－2，b ，a 从而得到2b ＝a －2，两式联立解出a ＝4，b ＝1，所以p ＝a ＋b ＝5，所以p ＋q ＝4＋5＝9.4． C[解析] 本题主要考查等差数列、等比数列．∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2， 即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 5． C[解析] 设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝－1(舍)或q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m ＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114. 6．－1[解析] 由题可得(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，故有3a 1＋2d ＝0，又因为2a 1＋a 2＝1，即3a 1＋d ＝1，联立可得d ＝－1，a 1＝23.7．91.[解析] 因为任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1＝a n ＋2，因为a 3＝a 2＋2＝4，所以a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2＋(n －2)×2＝2n －2，n ≥2，所以S 10＝a 1＋a 2＋a 3…＋a 10＝1＋2＋4＋…＋18＝1＋2×9＋9×82×2＝91. 8．2.[解析] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12， ∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2. 9．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)， 则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3. 所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列． (2)因为a 1＝1，则a n ＝(43)n －1， 由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1， 当n ≥2时，由累加法得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1， 当n ＝1时，上式也成立．∴b n ＝3·(43)n －1－1. 10．[解析] (1)设该等比数列的公比为q ，则根据题意有3·(1＋1q ＋1q 2)＝9， 从而2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a n ＝3；当q ＝－12时，a n ＝3·(－12)n －3. (2)证明：若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符，故a n ＝3(－12)n －3， 此时a 2n ＋3＝3·(－12)2n ， ∴b n ＝2n ，符合题意．∴c n ＝42n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1， 从而c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1－1n ＋1<1.。
等差数列、等比数列历年高考题及详细解析
3．解析：∵a1＋a2＋…＋a10＝30，得a5＋a6＝ ＝6，又an>0，
∴a5·a6≤ 2＝ 2＝9.
答案：C
4．解析：∵{an}的公差d＝ ＝－2，∴{an}的通项为an＝7－2(n－2)＝－2n＋11，∴{an}是递减数列，且a5＞0＞a6，a5＋a6＝0，于是S9＝9a5＞0，S10＝ ·10＝0，S11＝11a6＜0，故选A.
答案：A
二、填空题
9．解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则由a4＝a1＋3d，得d＝ ＝ ＝3，
由b4＝b1q3得q3＝ ＝ ＝－8，∴q＝－2.
∴ ＝ ＝ ＝1.
答案：1
10．解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，
所以a10a11＝e5.
所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________.
三、解答题
13．已知等差数列{an}中，a2＝5，前4项和S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．
答案：8
12．解析：设等差数列{an}的公差为d，则
由 得
∴Sn＝n×1＋ ×1＝ ，
＝ ＝2 .
∴ ＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝2 ＝2 ＝ .
答案：
三、解答题
13．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得
∴
∴an＝a1＋(n－1)×d＝4n－3.
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用【典型例题】［例1］一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列, 等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。
解：等差数列为a d,a,a d(a d) (a d) (a 4)2(a d)(a 2d 32) a2 a d2 2 a2 8a 16(1)(a2d2) 232(a d) a (2)2a 8a 16 32 32d 2 a2 3a 4d 0代入（1)d 2 8 1-(4d 2)3163d； 2 32d 64 0 (3d 8)(d 8) 08 26① d 8 a 10 ②d a3 9此三数为2、16、18或-、10、509 9 9｛b n｝所有项和为20，求:（1）求a n,b n2印3d 768a n 6n 399 209 10不等式2声)n11 m(a m 1a2m )160如果再把这个［例2］等差数列｛a n｝中，印393 ,a2 a3 768 ,{g}是等比数列，q (0,1) ,b1 2 ,（2）解不等式•步a2m 160b2101m(6m 393 12m 399)16 18 (m 1)2n 1 n 1 2n2 23 2 29m 2 396m 16 18 (m 1) 02m 12m32 0T n 中共2n 1个数，依次成等差数列2n13 22n 2 3 2n 2(m 4)(1 m 8)0 m{4 ,5,6,7 ,8}[例 3] { a n }等 差，{b n }，等比,a 1b 1 0 , a 2b 2 0 , a 1解:a 2b 2 a 1 da 1q• d a1(q 1)b n a nn 1a 1 (n 1)dad(q n1 1) (n 1)(qa h [(q 1)(q n2n 3q1) (n 1)(q1)]a h (q 1)[(q n21) (n1)]a h (q 1)[(q n2 1) / n(q 3 1) ' (q 1) (1 1)]*q (0,1) q 1 0i q n 1 0 • * 0q (1,)q1 0nq1 0 •* 01)]a 2,求证：a nb n (n 3)[例4](1)求 T n ； (2) S n T n ，求 Sn 。
高考数学专题三数列 微专题21 等差数列、等比数列
设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且q>0， 因为 S14＝7(a10＋3)，则 14a1＋14×2 13d＝7(a1＋9d＋3)，可得 a1＋4d＝ 3，即 a5＝3，
因为b5＝b＝16，则b1q4＝(b1q)4＝16，可得q＝2，b1＝1， 因为cn＝an＋bn， 所以T9＝c1＋c2＋…＋c9＝(a1＋a2＋…＋a9)＋(b1＋b2＋…＋b9) ＝a1＋2 a9×9＋b111－－qq9＝a5×9＋11－－229 ＝3×9＋11－－229＝538.
①
由 a1＋S11＝67，得 12a1＋11×2 10d＝67，即 12a1＋55d＝67.
②
由①②解得a1＝1，d＝1，所以an＝n， 于是a3a10＝3×10＝30，而a30＝30，故a3a10是{an}中的第30项.
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2.(2023·武汉模拟)已知等比数列{an}满足a6＝2，且a7，a5，a9成等差数列，
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d，且 d>1.令 bn＝n2a＋n n， 记 Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前 n 项和. ①若 3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
∵3a2＝3a1＋a3， ∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，
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3.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a5－a3＝12，a6－a4＝24，则Sann等于
A.2n－1
√B.2－21－n
C.2－2n－1
D.21－n－1
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方法一 设等比数列{an}的公比为q， 则 q＝aa65－－aa43＝2142＝2. 由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1. 所以 an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝a111－－qqn＝2n－1， 所以Sann＝22n－n－11＝2－21－n.
高三复习数学31等差数列、等比数列(有答案)
3.1等差数列、等比数列一、解答题。
1. 已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0． 求a 2,a 3；求{a n }的通项公式．2. 已知数列{a n }中，a 1=1,a n ⋅a n+1=(12)n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n =a 2n +a 2n−1,n ∈N ∗．判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； 求T 2n ．3. 在数列{a n }中，若a 1=1,a 2=12,2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N ∗)，则该数列的通项为（ ） A.a n =2n+2 B.a n =1nC.a n =3nD.a n =2n+14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ） A.32钱B.54钱C.43钱D.53钱5. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25，则a 2+a 8=________．6. 已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n =a n+1a n，若b 10⋅b 11=2，则a 21=________．7. 在等差数列{a n }中，a 1=−2018，其前n 项和为S n ，若S1212−S 1010=2，则S 2018的值等于（ ）A.−2019B.−2018C.−2017D.−20168. 在等差数列{a n}中，S10=100,S100=10，则S110=________．9. 设等差数列{a n}满足a1=1,a n>0(n∈N∗)，其前n项和为S n，若数列{√S n}也为等差数列，则S n+10a n2的最大值是（）A.180B.310C.121D.21210. 设等比数列{a n}的前π项和为S n，若S6S3=12，则S9S3=________．11. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C=2sin(A+C)；若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．12. 将函数f(x)=sin14x⋅sin14(x+2π)⋅sin12(x+3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n}(n∈N∗)．求数列{a n}的通项公式；设b n=2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．13. 已知数列{a n}满足a1=3,a n+1−3a n=3n(n∈N∗），数列{b n}满足b n=3−n a n．求证：数列{b n}是等差数列；设S n=a13+a24+a35+⋯+a nn+2，求满足不等式1128<S nS2n<14的所有正整数n的值．14. 设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0，已知a1=b1=3,b2=a3,b3= 4a2+3．求{a n}和{b n}的通项公式；设数列{c n}满足c n={1，n为奇数,b n2,n为偶数． 求a1c1+a2c2+⋯+a2n c2n(n∈N∗)参考答案与试题解析3.1等差数列、等比数列一、解答题。
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等差等比数列综合应用【典型例题】[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。
解：等差数列为d a a d a +-,,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=+⋅-22)32)(()4()()(a d a d a a d a d a∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-)2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a∴ 223232168a d a a =-++-0432=-+d a 代入（1）16)24(3182+-⋅-=-d d0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d① 8=d 10=a ② 38=d 926=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、950[例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求：（1）求n n b a ,（2）解不等式2211601b m a a mm -≤++++解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 109=q ∴ 1)109(2-⋅=n n b 不等式10921601)(2121⋅⋅-≤++⇔+m a a m m m)1(1816)399123936(21+⋅⋅-≤-+-⇔m m m m 0)1(181639692≤+⋅⋅+-m m m032122≤+-m m0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m[例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥<n b a n n解：q a d a b a 1122=+⇒= ∴ )1(1-=q a dd n a q a a b n n n )1(111---=--)]1)(1()1[(11----=-q n q a n)]1)(1()1)(1[(321---+++-=--q n q q q a n n )]1()1)[(1(21--++-=-n q q a n)]11()1()1()1)[(1(321-+-++-+--=--q q q q a n n *)1,0(∈q 01<-q 01<-n q ∴ 0*> ),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*>∴ N n ∈ 3≥n 时，n n a b >[例4] （1）求n T ；（2）n n T T T S +++= 21，求n S 。
解：⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+++-=+++221048115987654d a a a a a a a an T 中共12-n 个数，依次成等差数列11~-n T T 共有数1222112-=+++--n n 项∴ n T 的第一个为2)12(21121⋅-+-=--n n a∴ 2)12()2(21)232(2111⋅-⋅+-⋅=---n n n n n T122112222232-----+⋅-=n n n n 2222323+-⋅-⋅=n nn n T T T S +++= 21)]22()222[(3232220+-++-+++=n n]21)21(241)41(1[33-----⋅=n n 2423143+⋅--=+n n)12)(232(232244--=+⋅-=n n n n 1221-+++=n a a a[例5] 已知二次函数)(x f y =在22+=t x 处取得最小值)0(42>-t t ，0)1(=f（1）求)(x f y =的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)]([)()(1x g x b x a x g x f n n n +=++⋅为多项式，*N n ∈，试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为222)()(n n n r b y a x =-+-，圆n C 与1+n C 外切),3,2,1( =n ；}{n r 是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n n S r ,。
解：（1）设4)22()(22t t x a x f -+-= 由0)1(=f 得1=a ∴ 1)2()(2++-=x t x x f （2）将)]1()[1()(+--=t x x x f 代入已知得：1)()]1()[1(+=+++--n n n x b x a x g t x x上式对任意的R x ∈都成立，取1=x 和1+=t x 分别代入上式得：⎩⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且0≠t ，解得]1)1[(11-+=+n n t t a ，])1(1[1n n t tt b +-+=（3）由于圆的方程为222)()(n n n r b y a x =-+-又由（2）知1=+n n b a ，故圆n C 的圆心n O 在直线1=+y x 上又圆n C 与圆1+n C 相切，故有111)1(2||2++++=-=+n n n n n t a a r r设}{n r 的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧><+=+><+=+++++2)1(21)1(22111n n n n n n t q r r t q r r <2>÷<1>得11+==+t r rq nn 代入<1>得2)1(21++=+t t r n n∴ 1)1()(222122221--=+++=q q r r r r S n nn ππ]1)1[()2()1(2234-+++=n t t t t π[例6] 一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（)1.1008.112=分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。
解析一：设每期应付款x 元第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为11)008.01(+x 元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为10)008.01(+x 元，……，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x x 1008.11008.1)008.1008.11(1211--=+++ 又所购电器的现价及利息之和为12008.12000⨯∴1212008.120001008.11008.1⨯=--x 解得1761008.1008.1161212=-⨯=x 元 ∴ 每期应付款176元解析二：设每期付款x 元，则第1期还款后欠款x -+⨯)008.01(2000第2期还款后欠款x x x x --⨯=-⨯-⨯008.1008.12000008.1)008.12000(2……第12期还款后欠款为x )1008.1008.1(008.12000101112+++-⨯第12期还款后欠款应为0 ∴ 0)1008.1008.1(008.12000101112=+++-⨯x解得1761008.11008.1008.120001212=--⨯=x 元 ∴ 每期应还款176元[例7] 设数列}{n a 的各项都是正数，且对任意+∈N n 都有22133231)(n n a a a a a a +++=+++ ，记n S 为数列}{n a 的前n 项和。
（1）求证：n n n a S a -=22；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）若an n n b 2)1(31⋅-+=-λ，（λ为非零常数，+∈N n ），问是否存在整数λ，使得对任意+∈N n 都有n n b b >+1。
解：（1）在已知式中，当1=n 时，2131a a = ∵ 01>a ∴ 11=a当2≥n 时，3313231n n a a a a ++++- 2121)(n n a a a a ++++=- ① 2121313231)(--+++=+++n n a a a a a a ② ①－②得)222(1213n n n n a a a a a a ++++=-∵ 0>n a ∴ n n n a a a a a ++++=-1212222 ，即n n n a S a -=22 ∵ 11=a 适合上式 ∴ )(22+∈-=N n a S a n n n （2）由（1）知，)(22+∈-=N n a S a n n n ③ 当2≥n 时，11212----=n n n a S a ④③－④得11212)(2---+--=-n n n n n n a a S S a a 112--+=+-=n n n n n a a a a a∵ 01>+-n n a a ∴ 11=--n n a a∴ 数列}{n a 是等差数列，首项为1，公差为1，可得n a n =（3）∵ n a n = ∴ n n n a n n n nb 2)1(32)1(311⋅-+=⋅-+=--λλ[例8] 已知点),(n a a n A 为函数1:21+=x y F 上的点，),(n n b n B 为函数x y F =:2上的点，其中*N n ∈，设)(*N n b a c n n n ∈-=（1）求证：数列}{n c 既不是等差数列也不是等比数列； （2）试比较n c 与1+n c 的大小。
（1）证：由已知12+=n a n ，n b n = ∴ n n b a c n n n -+=-=12假设}{n c 是等差数列，则必有 3122c c c +=（1） 而)25(2)212(2222-=-+=c4102)313()111(2131-+=-++-+=+c c由（1）5210252=⇒+=⇒矛盾∴ }{n c 不是等差数列假设}{n c 是等比数列，则必有3122c c c ⋅= 即)310)(12()25(2--=-1023)51(6--=- 即52147=矛盾∴ }{n c 不是等比数列综上所述，}{n c 既不是等差数列，也不是等比数列 （2）0)1(1)1(21>+-++=+n n c n 012>-+=n n c n∴ )1(1)1(11)1(1)1(22221++++++=-++-++=+n n n n nn n n c c nn∵ 1)1(1022++<+<n n10+<<n n ∴ 1)1(1)1(1022<++++++<n n n n∴ 101<<+nn c c 又∵ 0>n c ∴ 1+>n n c c[例9] 设)2()(+=x a x x f ，)(x f x =有唯一解，10031)(1=x f ，)()(*1N n x x f n n ∈=+（1）求2004x 的值；（2）若40094-=n n x a 。