第11讲 解析几何之直线与圆的方程(教师版)

第11讲 解析几何之直线与圆的方程

一．基础知识回顾

（一）直线与直线的方程

1．直线的倾斜角与斜率：(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为__________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝____________.

2．直线的方向向量：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标

为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．

3

4.12112212M

的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝ ，y ＝ ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 二．直线与直线的位置关系

1．两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．

(1)两直线平行：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔_________________.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2B 2C 2≠0)，l 1∥l 2⇔________________________.

(2)两直线垂直：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1²k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝____.

2．两条直线的交点：两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l 1和l 2的________，因此，l 1、l 2是否有交点，就看l 1、l 2构成的方程组是否有________．

3.常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R)；

(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R)，但不包括l

4．平面中的相关距离：(1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________________.(2)点到直线的距离：平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________.

三．圆与圆的方程

1．圆的定义：在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．

2．确定一个圆最基本的要素是________和________．

3．圆的标准方程；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中________为圆心，____为半径．

4．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是__________________，其中

圆心为___________________，半径r ＝____________________________.

四．点线圆之间的位置关系

1．点与圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点

M (x 0，y 0)，(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2；

(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2.

2.直线与圆的位置关系：位置关系有三种：________、

________、________.判断直线与圆的位置关系常见的有两

种方法：(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方

程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别

式Δ(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大

小关系：d r ⇔________

3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦

长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB |＝1＋k

2|x A －x B |＝＋k 2x A ＋x B 2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．

4．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________.（2）判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2________；|O 1O 2|＝r 1＋r 2______；|r 1－r 2|<|O 1O 2|

2________；|O 1O 2|＝|r 1－r 2

|________；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|________．（3）两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.

二．典例精析

题型一：求直线的方程

例1：求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14

； (3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且AB ＝5.

解:(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程

为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a

＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.

(2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14³3＝－34

.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34

(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. (3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪

⎧ x ＝12x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时AB ＝5，即x ＝1为所求．设

过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0y ＋1＝k (x －1)，得两

直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2y ＝4k －2k ＋2

.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.

变式训练1：求满足下列条件的直线l 的方程：:(1)过点A (0,2)，它的倾斜角的正弦值是35

； (2)过点A (2,1)，它的倾斜角是直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0的倾斜角的一半；

(3)过点A (2,1)和直线x －2y －3＝0与2x －3y －2＝0的交点．

（4）求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．