Matlab 使用之线性代数综合实例讲解
用matlab解决线性代数的问题
生成向量（1）
• 初值:步长:终值 生成从初值开始、以步长为间隔、小于或等于终值的行向量 如果不设步长，则默认步长为1
x是行向量；x’是其转置，为列向量
节约计算时间的技巧
对于需要对其元素循环赋值的矩阵，可预先对整个矩阵赋值，例如赋值为零矩阵。 以某20X500个循环的 脚本为例：
提示：循环越多，矩阵越大， 节约计算时间就越重要。
利用函数生成矩阵（2）
• eye(n)生成n×n的单位矩阵； eye (m,n)生成m×n的单位矩阵； eye(size(A))生成与A同维数的单位矩阵
– AX=B的解是X=A\B，等价于inv(A)*B – XA=B的解是X=B/A，等价于B*inv(A)
• • • • • • • •
方矩阵A的行列式：det(A) 方矩阵A的逆：inv(A) 矩阵A的共轭转置：A’ 矩阵A的转置：conj(A’) 方矩阵A的乘方：A^n 方矩阵A的迹：trace(A) 矩阵A的秩：rank(A) 方矩阵A的特征向量(矩阵)v和特征值(对角矩阵) d ： [v d]=eig(A) • 对矩阵A作行初等变换化为行最简矩阵：rref(A) • 对矩阵A作奇异值分解：svd(A)
用matlab解决线性代数的问题
张宏浩
Matlab的一些常识
• • • • • • • • pi表示圆周率π=3.14159… i或j表示虚数单位sqrt(-1) conj(x)：取x的复共轭 log(x)：以e为底的对数函数ln(x) log10(x)：以10为底的对数函数 exp(x)：指数函数e^x sin(x),cos(x),tan(x),cot(x)：三角函数 asin(x),acos(x),atan(x),acot(x)：反三角函数
Matlab在线性代数中的应用
利用Matlab的控制设计方法，如PID控制、状态反馈控制等，可以 设计出有效的控制系统。
THANKS
感谢观看
利用Matlab的图像处理函数，可以从图像中提取 特征，如边缘、角点等，用于目标检测和识别。
在控制系统中的应用
系统建模
使用Matlab的控制系统工具箱，可以对系统进行建模，如线性时 不变系统、非线性系统等。
系统分析和仿真
通过Matlab的控制系统函数，可以对系统进行稳定性分析、控制 性能分析和仿真测试。
向量运算
向量的基本运算
包括向量的加法、减法、数乘、向量的模等。
向量的内积和外积
内积和外积是描述向量之间关系的运算，用于计算向量的长度、角 度等。
向量运算的实际应用
向量运算在物理、工程等领域有广泛应用，如描述物体运动轨迹、计 算力的合成等。
特征值与特征向量
01
特征值和特征向量 的定义
特征值和特征向量是描述矩阵特 性的重要概念，用于描述矩阵变 换的性质。
04
Matlab在线性代数中的优势与 局限性
优势
高效计算能力
Matlab提供了强大的矩阵运算 和数值计算功能，使得线性代
数问题的求解更加高效。
可视化工具
Matlab内置了丰富的可视化工 具，可以直观地展示线性代数 中的向量、矩阵和线性变换等 概念。
易于学习和使用
Matlab的语法相对简单，使得 线性代数运算变得容易理解和 实现。
解的精度和稳定性
Matlab在线性方程组求解过程中考虑了精 度和稳定性问题，能够提供可靠的解。
向量运算和特征值问题
向量运算
Matlab支持向量的基本运算 ，如加法、减法、数乘、点 积等。
#实验1 MATLAB续：MATLAB在线性代数中的应用
6 x3 5 x3
6
x4
0 0
x3 5x4 6x5 0
x4 5x5 1
A=[5 6 0 0 0 15600 01560 00156 0 0 0 1 5];
B=[1 0 0 0 1]'; R_A=rank(A) %求秩 X=A\B %求解
例2
求解方程组
3xx112xx2253xx333xx44
>>B=null(A,'r') %求解空间的有理基
得到：B =
2
5/3
-2 -4/3
1
0
0
1
MATLAB初步
于是，我们得到原线性方程组的解：
syms k1 k2 % 定义两个符号 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %写出方程组的通解 pretty(X) %让通解表达式更加精美
求解的完整代码如下：
%V已经被归一化为单位向量了
例 4： 求矩阵
MATLAB初步
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; [V,D]=eig(A)
V=
-0.7071 -0.2425
0
0
-0.7071 -0.9701
0.3015 0.9045 0.3015
1 2
有否解? 2x1 x2 2x3 2x4 3
MATLAB初步
A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];%输入系数矩阵A的值
% first,input the coefficient matrix A
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
用MATLAB做线性代数实验
【2】参数方程解的判别 【注意】 ：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用 Matlab 中 的函数：rank,rref,因为 Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应 该编写独立的过程加以讨论。 试就参数 s 的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：
sx y z 1 x sy z s 。 2 x y sz s
p1 ( x ) q( x ) p2 ( x ) r ( x ) , d (r ( x )) d ( p2 ( x ))
例如，求多项式 f ( x ) x 3 6 x 2 11 x 6 , g( x ) x 5 2 x 2 1 的最大公因式和最小公倍 式。 p=[1 -6 11 -6]; q=[1 0 0 -2 0 1]; [q1,r1]=deconv(q,p) [q2,r2]=deconv(p,r1(4:6)) %注意保证第一个分量不能为零 [q3,r3]=deconv(r1(4:6),r2(3:4))
x2 x3 2 x2 3 x 2
分解为最简分式之和的程序如下：
-0.5000 - 1.3229i -1.0000 r = [] 结果表示出来即是：
f ( x)
如果是在实数范围内分解：
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
用 MATLAB 做线性代数实验
1. 多项式运算
【1】表示方法与根 表示方法：降幂，向量形式. 例如， p( x ) 2 x x 3 x5 被表示为向量 p=[-1 0 1 0 2 0] 而不是 p=[0 2 0 1 0 -1] 或者 p=[2 1 -1]. 相关 MATLAB 函数 函数名 含义 %注意保证第一个分量不能为零
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB是一个具有强大计算和图形处理功能的数学软件，它广泛应用于各个领域，包括线性代数教学。
在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解和应用矩阵和线性方程组等基础概念。
首先，在矩阵的操作方面，MATLAB可以用来进行矩阵的创建、转置、逆矩阵计算、乘法运算、矩阵方程求解等操作。
例如，通过输入命令行“A=[1 2;3 4]”创建一个
$2\times 2$矩阵，通过输入命令行“B=A'”可以得到A的转置矩阵，通过输入命令行
“inv(A)”可以得到A的逆矩阵，通过输入命令行“C=A*B”可以得到A和B的乘积矩阵，在输入命令行“x=A\b”可以求解矩阵方程$Ax=b$。
其次，在解决线性方程组的问题上，MATLAB可以用来求解线性方程组、得到线性方程组解的唯一性和存在性，并且可以比较不同求解方法的效率。
例如，通过输入命令行
“x=A\b”就可以得到线性方程组$Ax=b$的解，通过输入命令行“rank(A)”可以得到矩阵
A的秩，通过输入命令行“cond(A)”可以得到矩阵A的条件数。
此外，在线性代数的复杂问题求解上，MATLAB可以用来进行特征值和特征向量的计算、矩阵的奇异值分解等问题的求解。
例如，通过输入命令行“[V,D]=eig(A)”可以得到矩阵
A的特征值和特征向量，通过输入命令行“[U,S,V]=svd(A)”可以得到矩阵A的奇异值分解。
总之，MATLAB的强大计算和图形处理功能，可以为线性代数教学的理解和应用提供很好的帮助。
通过学生编写MATLAB程序，实现矩阵和线性方程组的数值求解，可以加深对
线性代数基础概念的理解，提高线性代数教学的效果。
使用Matlab求解线性代数问题（一）
使用Matlab求解线性代数问题一、用行列式求解线性方程组x1+ x2–2*x3 = -35*x1–2*x2+ 7*x3 = 222*x1–5*x2+ 5*x3 = 4解法1：使用矩阵求解方程组在Matlab 7.1命令行界面中输入（A表示系数矩阵，b表示向量）A = [1 1 -2; 5 -2 7; 2 -5 5]; % 系数矩阵b = [-3; 22; 4]; % 向量format rat; % 设置结果的显示形式为分数x = A\b; % 计算结果x = x' % 转置以行向量形式显示界面显示结果为x = 47/56 163/56 27/8即方程的解为x1 = 47/56; x2 = 163/56; x3 = 27/8解法2：使用Cramer法则求解方程组在Matlab 7.1命令行界面中输入D（系数行列式）D = [1 1 -2; 5 -2 7; 2 -5 5]; % 系数矩阵DD1 = [b D(:,2) D(:, 3)]; % D1D2 = [D(:,1) b D(:, 3)]; % D2D3 = [D(:, 1) D(:,2) b]; % D3format rat; % 设置结果的显示形式为分数x1 = det(D1)/det(D)x2 = det(D2)/det(D)x3 = det(D3)/det(D)输出结果为x1 = 47/56x2 = 163/56x3 = 27/8即方程的解为：x1 = 47/56; x2 = 163/56; x3 = 27/8二、求排列65872134的逆序数，并确定其奇偶性。
解：排列的逆序数定义为：如在1,2,3,…,n的一个全排列（s1 s2 s3…s n）中，有i<j时，s i >s j，这时s i、s j违反了自然顺序，就说它们构成了一个逆序。
排列（s1 s2 s3…s n）中逆序的总数称为该序列的逆序数。
根据定义计算逆序数的Matlab程序如下：a = [6 5 8 7 2 1 3 4]; % 将排列看作行向量Num = 0; % 逆序数初始值设为0Len = length(a); % 行向量中元素的个数for i = 1:1:(Len-1)n = length(find( a(i+1: Len) < a(i))); % 计算第i个元素% 的逆序数disp(strcat('第', num2str(i), '个元素', num2str(a(i)), '的逆序数为', num2str(n) ));Num = Num + n; %增加序列逆序数的个数end;disp(strcat('排列', num2str(a), '的逆序数为', num2str(Num)))将上述Matlab命令输入Matlab窗口命令行，执行结果为：第1个元素6的逆序数为5第2个元素5的逆序数为4第3个元素8的逆序数为5第4个元素7的逆序数为4第5个元素2的逆序数为1第6个元素1的逆序数为0第7个元素3的逆序数为0排列6 5 8 7 2 1 3 4的逆序数为19即排列65872134的逆序数为19，由于19为基数，所以排列65872134为逆排列。
《基于MATLAB的线性代数实用教程》第十二章：综合实例(3)
• • • • • • • • • • • •
>> xmin=2; >> xmax=4 >> ymin=2 >> ymax=4; >> x1=linspace(xmin,xmax,20); >> x2=linspace(ymin,ymax,20); >> [X1,X2]=meshgrid(x1,x2); >> [Z,DZ1,DZ2]=jt(X1,X2); >> subplot(122) >> contour(X1,X2,Z,40) -1 0 2 3 4 >> hold on 1 >> quiver(X1,X2,-DZ1,-DZ2)
年代 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 27.3 16.0 15.9 14.8 19.7 百分比 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4
• 试建立一个食饵-捕食系统的数学模型，定量地回答这个 问题，并用MATLAB进行分析和仿真。
12.10 滤除高频噪声
• 本实验通过在原信号中混入和滤除噪声信号，展 示MATLAB在信号处理中的应用。首先让我们导 入一个音频文件，在MATLAB中，输入：
• >> load handel
在线性代数中的Matlab简单应用
1
6
2
5
17
5.0000 -7.5000 （2） 向量的点积 >>x*y’ %向量的点积 ans = -12
2.5000
12.5000
17.5000
20.0000
(3)向量组的规范正交化 利用施密特正交化过程可以对向量组规范正交化，在 MATLAB 中，利用 qr 函数： 例：将向量组 a1=(1,2,-1),a2=(-1,3,1),a3=(4,-1,0) 规范正交化 >> A=[1,-1,4; 2,3,-1;-1,1,0] A= 1 -1 4 2 3 -1 -1 1 0 >>[Q,R]=qr(A); >>Q %矩阵 Q 的列向量组就是所求的规范正交化向量组 Q= -0.4082 0.5774 0.7071 -0.8165 -0.5774 0.0000 0.4082 -0.5774 0.7071 即 q1=（-0.4082，-0.8165，0.4082） ，q2=（0.5774，0.5774，-0.5774） ，q3=（0.7071，0.0000， 0.7071） 为所求的规范正交向量组。 我们还可以用下述命令验证 q1， q2， q3 的规范正交性。 >>Q’*Q %验证规范正交性，应得到 E，说明 Q 是正交矩阵。 ans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
（4） 向量组的线性相关性 利用向量组构成的矩阵的秩 rank(A)，判定该向量组是否线性相关。 判定向量组 a1=（1,2,-1,4） ，a2=（9,100,10,4） ，a3=（-2，-4,2，-8） ，a4=（3,1,2,0）的线性 相关性。 >>A=[1,9,-2,3;2,100,-4,1;-1,10,2,2;4,4,-8,0]; >> rank(A) ans = 3 因为 rank（A）<4，所以该向量组线性相关。 (5) 向量组的秩与最大无关组 向量组的秩等于它构成矩阵 A 的秩，再利用 rref(A)函数将 A 化成行最简型，即可求得 向量组的最大无关组。 >> rref(A) ans = 1 0 -2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 即 a1，a2，a4 构成了向量组的一个最大无关组，且 a3 = -2a1
matlab实验1：线性代数方法
奇异值分解： 奇异值分解： 其中U,V均为正交矩阵,S为一 个对角阵, 其中U,V均为正交矩阵,S为一 个对角阵,且对角线 U,V均为正交矩阵,S 元素恰好为A的奇异值(A’*A (A’*A的特征值的算术平方 元素恰好为A的奇异值(A’*A的特征值的算术平方 根). A=U*S*V’ 用于处理一些病态方程组的求解 格式一：只返回方阵A 格式一：只返回方阵A的特征值 格式二：其中D是由A 格式二：其中D是由A的特征值组成的对角 矩阵,V为对应特征向量组成的矩阵. ,V为对应特征向量组成的矩阵 矩阵,V为对应特征向量组成的矩阵. 求矩阵的迹: 求矩阵的迹:矩阵的迹等于矩阵的特征值之和
eig(A) [V,D]=eig(A) trace(A)
上机作业
找出你的代数书，利用 重做其中的几个作业。 找出你的代数书，利用Matlab重做其中的几个作业。 重做其中的几个作业源自函数 [Q,R]=qr(A)
功能 (QR分解 分解) 正交变换 (QR分解)： 对A进行QR分解,就是把A分解为一个正交矩阵Q和 进行QR分解,就是把A分解为一个正交矩阵Q QR分解 一个上三角矩阵R的乘积形式. 其中Q*Q’=E, 一个上三角矩阵R的乘积形式. 其中Q*Q’=E, 正交 阵!
[U,S,V]=svd( A)
%对高阶的大方程组通常用：LU、QR和cholesky分解 对高阶的大方程组通常用： 、 对高阶的大方程组通常用 和 分解 等方法求方程组的解 其优点是运算速度快、 等方法求方程组的解 。其优点是运算速度快、可以节省 磁盘空间、节省内存。 磁盘空间、节省内存。
3 求线性方程组的通解
的通解。 例：求下面线性方程组Ax=B的通解。 求下面线性方程组 的通解 输出结果： 输出结果：
解法2 解法2：利用 rref 函数
第5章 MATLAB 线性方程组的求解实例解析
0 1 − 1 4 1 − 4
1 4 1 − 4 − 1 0
1 1 − 2 4 1 x1 1 − 4 x2 2 = x 1 0 3 x4 2 1 1 2
分别利用jacobi法，Gauss-Seidel法和超松弛法求解，编写如下语句： A=[eye(2) -1/4*ones(2); -1/4*ones(2) eye(2)]; % 构造系数矩阵 b=1/2*ones(4,1); % 右端向量 [x1,iter1]=Jacobi_iter(A,b) % 利用Jacobi迭代法求解线性方程组 [x2,iter2]=seidel_iter(A,b) % 利用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 w=1:0.1:2; % 松弛因子 for k=1:length(w) [x,iter,exitflag]=SOR_iter(A,b,w(k)); % 根据不同松弛因子求解线性方程组 N(k)=iter; % 将迭代次数存入向量N 运行结果： end x=[1.0000,1.0000,1.0000,1.0000] N iter1=19,iter2=11,w=1.1 iter=6 w_opt=w(N==min(N)) % 寻找迭代最快的方式
1 ∂ 2ϕ ∂ϕ ϕ x = ϕ0 + ( x − x0 ) + 2 ( x − x0 )2 2! ∂x x = x ∂x x = x0 0
1 ∂ 3ϕ 1 ∂ 4ϕ 3 + 3 ( x − x0 ) + 4 ( x − x0 ) 4 + L 3! ∂x x = x 4! ∂x x = x
• • • • • • • •
Matlab 使用之线性代数综合实例
一、上机目的1、培养学生运用线性代数的知识解决实际问题的意识、兴趣和能力；2、掌握常用计算方法和处理问题的方法;二、上机内容1、求向量组的最大无关组；2、解线性方程组；三、上机作业1、设A=[2 1 2 4; 1 2 0 2; 4 5 2 0; 0 1 1 7]；求矩阵A列向量组的一个最大无关组.>> A=[2 1 2 4;1 2 0 2;4 5 2 0;0 1 1 7]A =2 1 2 41 2 0 24 5 2 00 1 1 7>> rref(A)ans =1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1所以矩阵A的列向量组的一个最大无关组就是它本身；2、用Matlab解线性方程组（1）>> A=[2 4 -6;1 5 3;1 3 2]A =2 4 -61 5 31 3 2>> b=[-4;10;5]b =-4105>> x=inv(A)*bx =-3.00002.00001.0000>> B=[3 41 -62;4 50 3;11 38 25]B =3 41 -624 50 311 38 25>> c=[-41;100;50]c =-4110050>> x=inv(B)*cx =-8.82212.58901.94653、（选作）减肥配方的实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了20世纪80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。
现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？四、上机心得体会通过此次上机实验，我进一步的认识到了Matlab软件的功能。
Matlab 操作简单、功能强大，它使一些复杂的线性代数问题的计算变得更加简单，有效地提高了人们计算的效率。
而且把一些复杂的实际问题转化为矩阵后再利用Matlab求解既简单有快捷。
利用Matlab解决常见数学问题的案例分析
利用Matlab解决常见数学问题的案例分析概述：Matlab是一款流行的科学软件，广泛应用于数学建模、数据分析、图像处理等领域。
本文将通过几个实际案例，介绍如何利用Matlab解决常见的数学问题，并分析其解决方法和效果。
案例一：线性方程组的求解线性方程组是数学中常见的问题之一。
假设有如下线性方程组：3x + 2y = 14x - 3y = 5可以使用Matlab中的线性方程组求解函数`linsolve`来求解。
首先，定义系数矩阵A和常数矩阵b，并调用`linsolve`函数求解方程组：```matlabA = [3 2; 4 -3];b = [1; 5];x = linsolve(A, b);```运行上述代码后，可以得到方程组的解x为：x = 3y = -2案例二：函数曲线绘制Matlab具有强大的绘图功能，可以绘制各种函数曲线。
例如，我们可以绘制正弦函数sin(x)在区间[-2π,2π]上的曲线。
首先，定义x的取值范围，并计算对应的y 值：```matlabx = -2*pi:0.1:2*pi;y = sin(x);```接下来，使用`plot`函数将曲线绘制出来：```matlabplot(x, y);```运行代码后，可以得到正弦函数的曲线图。
案例三：最小二乘拟合最小二乘拟合是一种常见的曲线拟合方法，用于将一组数据拟合成一条曲线。
假设有一组离散的数据点，我们希望找到一个曲线来拟合这些数据。
在Matlab中，可以使用`polyfit`函数进行最小二乘拟合。
例如，假设有一组数据：x = [1 2 3 4 5];y = [0.5 2.5 2 4 3.5];可以使用`polyfit`函数进行线性拟合：```matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中，第一个参数x是自变量的取值，第二个参数y是因变量的取值，第三个参数1表示进行一次多项式拟合。
拟合的结果保存在向量p中，p(1)为拟合曲线的斜率，p(2)为截距。
03-Matlab-线性代数实验解析
矩阵生成示例
思考与练习：生成如下矩阵
5 2
1 2
5 2
9
2
4
A
5
2 5
2
5
B
636
3
4
8
1 5
矩阵处理
triu(A) 生成一个第k条对角线及以上元素为A的 triu(A,k) 元素，其余元素都为零的与A同阶的上三
齐次方程组Ax=0求解
若A 不满秩，则方程有非零解
rref(A) %求得A的行最简形矩阵 null(A) %求得基础解系
A=magic(8) rank(A) rref(A) null(A)
非齐次线性方程组Ax=b求解
r(A)=r(A,b)=n,方程有唯一解 x=A\b 或x=inv(A)*b.
r(A)=r(A,b)<n,方程有无穷解
线性代数实验
1 矩阵处理和分析 2 矩阵的特征值与特征向量 3 Matlab线性方程组求解 4 工资问题和动物繁殖问题
特殊矩阵的生成
A=ones(m,n)
A=eye(n) n阶单位阵
A=hilb(n) n阶Hilbert矩阵hij=1/(i+j-1)
H=invhilb(n) n阶Hilbert逆矩阵，n大时坏条件
动物繁殖问题
某农场饲养的动物所能达到的最大年龄为15岁,将其分 为三个年龄组:第一组,0 ~ 5岁;第二组6 ~ 10岁;第三组11 ~ 15岁。动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统 计,第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代,第三 组在其年龄段平均繁殖3个后代,第一年龄组和第二年龄 组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2 和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头,问15 年后农场饲养的动物总数及农场三个年龄段的动物各将 达到多少头?指出15年间,动物总增长多少头及总增长率.
《基于MATLAB的线性代数实用教程》第十二章：综合实例(2)
基于MATLAB的线性代数 实用教程
第十二章 综 合 实 例
王 亮
北 京 交 通 大 学
12.5 小船渡河问题
• 问题提出
• 一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸 B点。已知船在静水中的速度 与水流速 之比为k。小船运 动过程中，船头始终指向B点，求： • 1）建立小船航线的方程，求其解析解； v2 2m / s，用数值解法求渡河所 v1 1m / s ， • 2）设d =100 m， 需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，做图并与解析 解比较； • 3）若流速 为0.5，2和2.5 (m/s)，试分析结果将如何？
V 195m3。即花岗岩巨石的体积约为195m3 • 于是，
习 题
车灯线光源优化设计的实施方案
12.5 小船渡河问题
• MATLAB仿真
• 我们可以通过MATLAB观察小船的运动轨迹：
• • • • • • • • • • • • • • >> a=pi/2:-0.01*pi:0; d=100; k=2; >> r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a)); >> polar(a,r,'-o') >> hold on >> k=1; >> r= d*abs(tan(a/2).^k./sin(a)); >> polar(a,r,'.') >> k=5 >> r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a)); >> polar(a,r,'-^') >> k=0.8; >> r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a)); >> polar(a,r,‘-*’) >> legend('k=2','k=1','k=5','k=0.8')
《基于MATLAB的线性代数实用教程》第十二章：综合实例(1)
•
3）生产系统生产方式存在3种形式：正 常班次生产、加班生产和外协。见表
项 目 成 本 0.3元/季度
1 2 3
4
450 450 750
450
90 90 150
90
20 200 200
60
单位产品的库存价格
单位产品的正常班次生产成本 单位产品的加班生产成本 单位产品的外协成本
1.00 1.50 1.90
项 目 成 本 0.3元/季度 1.00 1.50
1.90
3 4
单位产品的库存价格 单位产品的正常班次生产成本 单位产品的加班生产成本
单位产品的外协成本
需求期1 c1 =1.0 c2 =1.5 c3 =1.9 c4 =0 c5 =0 c6 =0 c7 =0 c8 =0 c9 =0 c10 =0 c11 =0 c12 =0
lb (0,0)
ub (1200,2000)
2 4 A 3 1
即最优解为 ： ，Aeq=()，beq=()
x1＝900，x2＝ 1950
可获得最大利润为112500元。
线性规划练习
• •
季度 需求
在生产计划编制过程中，遇到下述情况 ，希望通过优化设计取得最佳方案： 1）计划期内每一时间单位的预测需求量 是已知的，如表所示：
MATLAB求解
• 在MATLAB中，线性规划问题的标准形式描述为
min : fx x R n sub.to : A x ≤ b Aeq x beq lb ≤ x ≤ ub
• 式中f，x，b，beq，lb，u为矢量；A，Aeq为矩阵。 • 函数linprog用于求解线性规划问题，调用形式为： • [x, fval, exitflag, lamda]=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) • 式中，x为最优解，fval为目标函数最优值，exitflag为终止 迭代的错误条件。
线性代数matlab实验指导
实验四 行列式及应用
第1章 矩阵与行列式
实验四 行列式及应用 【实验目的】 1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质 2．掌握行列式的计算方法 3．掌握Gramer法则求解线性方程组 【实验要求】掌握计算行列式det、解线性方程组solve、生成Vandermonde行列式vander等命令 【实验内容】 1．计算下列行列式的值： （1） ；（2） ；
第1章 矩阵与行列式
>> G=inv(A) 运行结果： G = 1/4 1/4 -1/4 1 -2 1 -3/4 5/4 -1/4 >> H=A^5 运行结果： H = 1492 1006 1460 1558 1069 1558 1914 1331 1946
第1章 矩阵与行列式
【矩阵与行列式简介】 在计算机日益发展的今天，线性代数起着越来越重要的作用。线性代数起源于解线性方程组的问题，而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组的方法。矩阵是数学研究和应用的一个重要工具，利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性方程组等问题。特殊的矩阵方阵的数字特征之一是方阵的行列式，使用行列式可以描述方阵的一些重要的性质。通过计算行列式可求逆矩阵，n个
第1章 矩阵与行列式
实验三 Gauss消元法
【实验目的】掌握解线性方程组的Gauss消元法 【实验要求】掌握矩阵赋值命令、初等变换相关命令、简化矩阵为阶梯形式rref等命令 【实验内容】
用Gauss消元法解线性方程组：
；
第1章 矩阵与行列式
【实验过程】 1．（1）解法一：Gauss消元法． >>A=[1 2 1 8;1 2 3 10;2 3 1 13;1 2 2 9] ; >>A(2,:)=A(2,:)-A(1,:); >>A(3,:)=A(3,:)-2*A(1,:); >>A(4,:)=A(4,:)-A(1,:) 运行结果： A = 1 2 1 8 0 0 2 2 0 -1 -1 -3 0 0 1 1 >> A([2,3],:)=A([3,2],:) 运行结果： A = 1 2 1 8 0 -1 -1 -3 0 0 2 2 0 0 1 1
第六讲-MATLAB求解线性代数问题
MATLAB之线性代数应用
MATLAB矩阵分析与处理
【例】 size、length函数 >>a=ones(4,6)*6 >>m=size(a) >>len=length(a) >>b=1:5; >>length(b) >>c=b’ >>length(c)
size函数返回变量的大小，即变量数 组的行列数
diag(A,k) 与diag用法相同，不同在于结果体现在第k条对角线
矩阵求逆
求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。
例:求方阵A的逆矩阵，且验证。 A = [1,-1,1;5,-4,3;2,1,1]; B = inv(A); A*B
解线性方程组
x + 2 y + 3z = 5
x
+
4
y
+
9z
矩阵秩Байду номын сангаас
在Matlab中，使用函数rank(A)得到矩阵秩的值
例如： >> A = rand(5) >> r = rank(A)
>> a = rand(3,1); >> b = rand(3,1); >> A = [a, b, a+b]; >> rank(A)
向量极大无关组
化为行最简形 rref(A) 例：求下列矩阵列向量组的一个最大无关组.
= −2
x + 8 y + 27z = 6
A = [1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b = [5,-2,6]’; x = inv(A)*b %x = A\b
矩阵行列式值
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、上机目的
1、培养学生运用线性代数的知识解决实际问题的意识、兴趣和能力；
2、掌握常用计算方法和处理问题的方法;
二、上机内容
1、求向量组的最大无关组；
2、解线性方程组；
三、上机作业
1、设A=[2 1 2 4; 1 2 0 2; 4 5 2 0; 0 1 1 7]；
求矩阵A列向量组的一个最大无关组.
>> A=[2 1 2 4;1 2 0 2;4 5 2 0;0 1 1 7]
A =
2 1 2 4
1 2 0 2
4 5 2 0
0 1 1 7
>> rref(A)
ans =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
所以矩阵A的列向量组的一个最大无关组就是它本身；
2、用Matlab解线性方程组
（1）
>> A=[2 4 -6;1 5 3;1 3 2]
A =
2 4 -6
1 5 3
1 3 2
>> b=[-4;10;5]
b =
-4
10
5
>> x=inv(A)*b
x =
-3.0000
2.0000
1.0000
>> B=[3 41 -62;4 50 3;11 38 25]
B =
3 41 -62
4 50 3
11 38 25
>> c=[-41;100;50]
c =
-41
100
50
>> x=inv(B)*c
x =
-8.8221
2.5890
1.9465
3、（选作）减肥配方的实现
设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了20世纪80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。
现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？
四、上机心得体会
通过此次上机实验，我进一步的认识到了Matlab软件的功能。
Matlab操作简单、功能强大，它使一些复杂的线性代数问题的计算变得更加简单，有效地提高了人们计算的效率。
而且把一些复杂的实际问题转化为矩阵后再利用Matlab求解既简单有快捷。
通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。
同时，该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。
所以我们要掌握Matlab，并熟练地使用它来解决遇到的实际问题。